Calculation of 7T to 100,000 Decimals By Daniel Shanks and John W. Wrench, Jr.

1. Introduction. The following comparison of the previous calculations of x per- formed on electronic computers shows the rapid increase in computational speeds which has taken place.

Au thor Machine Date Precision

Reitwiesner [1] ENIAC 1949 2037D 70 hours Nicholson & Jeenel [2] NORC 1954 3089D 13 min. Felton [3] Pegasus 1958 10000D 33 hours Genuys [4] IBM 704 1958 10000D 100 min. Unpublished [5] IBM 704 1959 16167D 4.3 hours

All these computations, except Felton's, used Machin's formula :

(1) x = 16 tan-1 i - 4 tan-1 ^.

Other things being equal, that is, assuming the use of the same machine and the same program, an increase in precision by a factor / requires / times as much memory, and f times as much machine time. For example, a hypothetical com- putation of x to 100,O00D using Genuys' program would require 167 hours on an IBM 704 system and more than 38,000 words of core memory. However, since the latter is not available, the program would require modification, and this would ex- tend the running time. Further, since the probability of a machine error would be more than 100 times that during Genuys' computation, prudence would require still other program modifications, and, therefore, still more machine time.

2. A New Program. We discuss here a computation of x to more than 100,000D, which required 8 hours 43 minutes on an IBM 7090 system. This increase in speed by a factor of about 20 is largely due to the increased speed of the 7090 (it is about 7 times as fast as a 704), but substantial gains were also obtained by programming changes. The formula we used, namely,

(2) x = 24 tan ' £ + 8 tan " -fr + 4 tan ' ^, is due to Stornier [6], and has not been previously used in high-precision computa- tion. The computation time breaks down as follows:

8 tan-1 -¿i : 3 hours 7 minutes

4 tan-1 yj^: 2 hours 20 minutes

24 tan-1 $■: 2 hours 34 minutes Received September 7, 1961. 76

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF X TO 100,000 DECIMALS 77

Conversion (binary-to-decimal): 42 minutes. To obtain these favorable times, two devices were used. a) Instead of evaluating the Taylor series

(V\ A ton-1 l - V (-DhAm [ó) AUn m * tí (2fc + l)m*<*+» term by term, one may compute two terms at a time by using U) Ai ->± =Y ¿W(4fc + 3)m2 - (4fc + 1)] tl m ¿o (16fc2+ 16A;+ 3)m4<*+1) ' This substitutes 2 (multi-precision) divisions, 1 multiplication, and 1 addition for 4 divisions, 1 subtraction, and 1 addition, and this eliminates 27% of the computa- tion time. Further improvement in this direction, i.e., three terms at a time, is not possible here, since the divisors in (4), m* and (16fc2 + 16k + 3), already tend to fill a 7090 word, whose maximum numerical size is 235 — 1. b) Since the 7090 is a binary machine, the (multi-precision) division by m4 and the multiplication by [(4fc + 3)m2 — (4A;+ 1)] may be replaced by a simple shift- ing operation for the case m = 8 in 24 tan-1 £. Had this not been done the 2 hours 34 minutes listed above would be, instead, 6 hours 7 minutes with the double-term formula, (4), or 8 hours 21 minutes with (3). The program using (4) requires three blocks of storage, one for the current Am/mi(k+1), one for the current term, and one for the partial sum. Since a 7090 word is equivalent to 10.536 decimal digits, the working storage for an iV-place x is 3ÍV/10.536. Therefore, a core memory of 32,768 easily suffices for a computation to more than 100,000D.

3. The Check. Inasmuch as such a computation requires billions of (arithmetical) operations, it is clear that a check is necessary. This was obtained with Gauss's formula [7]: (5) x = 48 tan-1 tV + 32 tan-1 -fr - 20 tan-1 ^. During the computation, using (2), the numbers A = 8 tan- -£? and B = 8 tan-1 -^ + 4 tan-1 ?$? were written on tape. At the start of the check A and B were read into memory and 9^1 — 57? = 32 tan- ^V — 20 tan- ^^ was computed (in 1 second). To this difference was added the new number 48 tan-1 xV, which was computed by (4) in 4 hours 22 minutes. The check, therefore, takes less time than the original run (8 hours 1 minute), and is perfectly valid, since an error in any of the four arc- tangents will lead to a discrepancy between the results of (2) and (5).

4. The Result. The run and the check were both made on July 29, 1961, and such a discrepancy did in fact occur. The two values of x, in binary form, were com- pared by the machine in £ second, and were found to agree to only 234,848 bits. This is equivalent to 70,695 decimal places. Subsequently the error was isolated. It

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use 78 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

was found to have occurred in the computation of 24 tan-1 £. The second value of x, computed using (5), was therefore correct throughout. When 24 tan-1 \ was recomputed, the two values of x agreed up to the last word. This comprised 333,075 bits, or 100,265 decimal places. The first 100,000 of these are given here. The computation was of such a character that it was known a priori that the term involving tan-1 ^4^ contains most of the round-off and truncation error, and consequently that we have the inequalities: x computed by (2) free from error.

5. A Million Decimals? Can x be computed to 1,000,000 decimals with the com- puters of today? From the remarks in the first section we see that the program which we have described would require times of the order of months. But since the memory of a 7090 is too small, by a factor of ten, a modified program, which writes and reads partial results, would take longer still. One would really want a computer 100 times as fast, 100 times as reliable, and with a memory 10 times as large. No such machine now exists. There are, of course, many other formulas similar to (1), (2), and (5), and other programming devices are also possible, but it seems unlikely that any such modifica- tion can lead to more than a rather small improvement. Are there entirely different procedures? This is, of course, possible. We cite the following: compute 1/x and then take its reciprocal. This sounds fantastic, but, in fact, it can be faster than the use of equation (2). One can compute 1/x by Ramanujan's formula [8] :

(R) 1 = 1 A123 _ 22583I !l? i 44043hi i"3"5"7 ■ W x 4\882 8823 2 ' 42 8826 2-4' 42-82 The first factors here are given by ( —1)* (1123 + 21460&). A binary value of 1/x equivalent to 100,000D, can be computed on a 7090 using equation (6) in 6 hours instead of the 8 hours required for the application of equation (2).* To reciprocate this value of 1/x would take about 1 hour. Thus, we can reduce the time required by (2) by an hour. But unfortunately we lose our overlapping check, and, in any case, this small gain is quite inadequate for the present question. One could hope for a theoretical approach to this question of optimization—a theory of the "depth" of numbers—but no such theory now exists. One can guess that e is not as "deep" as x,t but try to prove it! Such a theory would, of course, take years to develop. In the meantime—say, in 5 to 7 years—such a computer as we suggested above (100 times as fast, 100 times as reliable, and with 10 times the memory) will, no doubt, become a reality. At that time a computation of x to 1,000,000D will not be difficult.

* We have computed 1/ir by (6) to over 5000D in less than a minute. t We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program. This takes 2.5 hours instead of the 8-hour run for t by (2).

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF X TO 100,000 DECIMALS 79

6. Acknowledgement. We wish to thank the IBM Corporation for its generosity in allowing us to use, free of charge, the 7090 in the IBM Data Processing Center, New York, for the computation described above.

Applied Mathematics Laboratory David Taylor Model Basin Washington 7, D. C. 1. G. Reitwiesner, "An ENIAC determination of x and e to more than 2000 decimal places," MTAC, v. 4, 1950, p. 11-15. 2. S. C, Nicholson & J. Jeenel, "Some comments on a NORC computation of x," MTAC, v. 9, 1955, p. 162-164. 3. G. E. Felton, "Electronic computers and mathematicians," Abbreviated Proceedings of the Oxford Mathematical Conference for Schoolteachers and Industrialists at Trinity College, Oxford, April 8-18, 1957, p. 12-17, footnote p. 12-53. This published result is correct to only 7480D, as was established by Felton in a second calculation, using formula (5), completed in 1958 but apparently unpublished. For a detailed account of calculations of x see J. W. Wrench, Jr., "The evolution of extended decimal approximations to x," The Mathematics Teacher, v. 53, 1960, p. 644-650. 4. F. Genuys, "Dix milles decimales de x," Chiffres, v. 1, 1958, p. 17-22. 5. This unpublished value of x to 16167D was computed on an IBM 704 system at the Commissariat à l'Energie Atomique in Paris, by means of the program of Genuys. 6. C. Stürmer, "Sur l'application de la théorie des nombres entiers complexes à la solu- tion en nombres rationnels, xi, xt , ■■• , x» , Ci , c2 , • • • , Cn , k de l'équation c¡. arctg xi + et arctg Xï + • • ■ + Cn arctg x* = for/4," Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, v. 19, 1896, p. 69. 7. C. F. Gauss, Werke, Göttingen, 1863; 2nd ed., 1876, v. 2, p. 499-502. 8. S. Ramanujan, "Modular equations and approximations to x," Quart. J. Pure Appl. Math., v. 45, 1914, p. 350-372; Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Cambridge, 1927, p. 23-39. Note added in proof, December 1, 1981. J. M. Gerard of IBM United Kingdom Limited, who was then unaware of the computation described above, computed x to 20,000 D on the 7090 in the London Data Centre on July 31, 1961. His program used Machin's formula, (1), and required 39 minutes running time. His result agrees with ours to that number of deci- mals.

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use so DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

OOPOdNNmOPOO — CMCM o in o m PO PO o ro cmco-oinco J-j inoNONtnmocoo mooro — — rooro — r-^r-O-^fOfOl/IOtD m — — s- m o m co o o o co CO O CM lO O J- — ino — — roNmmo dOPONONOO — N o — noo — Ncoroo — o o cmo» o POPOco o cmro ro m — 00 ro ro cMcoo — dtnoooro ococoooinocMinN ro d d N N 00 d d — o 00 — jj- 00 — po .* o dO-ON — comNNO — oomoo — ONrod — NO O O PO — co — m •o 00 CMCM ■* O PO O o m — Mlfl-Oifl-ONiilO oooNinNNddO ,- o — — •- d m o — cm O CD -O O PO O d non o -o — O CMJt CMP- d- CM ooomoooromo NdNOdPOrOONO •-room-ONOod P- CD O o o n o m o cm m d- m -O PO CMO CMp- Jt mooN — Neo — ro^ — — C0N — rOOOON ojod — o-ooooo j- d O CMO CMPO co o o o flOo m s co d o •o o — NO — — dNOCM — — ooOOOroOCOro jidNdroocooo- ro co m d m p- n O p- CO ro cmcoiP-r-s> O d OmCOONOCDN — — OONOOdOOPO — rO>nOO,COr-"0'-ri>CM co o* CMo h- p- o ■OfMS m o o co — — ro m COo OONOONNOrON comNinmino — Od tnoo— — -oocoso CMO ÍOC* P- O CO CM* m ro •o m co o cmro -o co O O ro n d o — N CO N d d N m ro d ro d d N m eo n m oo jí f» cm^ o in o CO CMN r- ro p- cmo jt m o o m o * — O ro ro N ro m N — N N O — o —N m ro o o co a» jso-focoMinNO no •OSO O CM— O O p* p» CNco m o — d* — P- m m O N ro m m d d N n m N N m 00 d N N O dOo P» CDcm *o in ro po O A O O -Oíino 00 o o ro 00 N N O o o d O d — m o •o jroioo-jom- o d — CM— O «O PO P- o o *o o CMCD m cm0"-oa) — d . CM o( 00 d m in — o oo O ro m — ro o CO O — — CO CO — O CQ O CMO O O O J* a CM— O po 00 -O CMm o p- o o d- N O m m o N d co o o ro m d — d N O N 00 CD O» > N N rf rO N <- d PO -O sco-o jm — ocMcopnoro — — p- N d — N — m n o co N OOOOdONdNNO omcotnNNroin CO CO or- •o -o m m o co cmJt Od-cMinoeoCM — 000 N PO N m cmm o 00 ro o N — OOdO — — NO « in ^-o M/urt o> O N co CMj- cmo Nieoj>o d-incMCMOo-oroN-j-m O N n o d d o m co — NrodinrON — rooco o*tn -ootMi»-©» CMCM PO o PO PO o — O O O CM ON--CCMOC0 — COCOCM d — o o d ro O N O N OdincONNooino NOOdinOUld ro o — o m p- o JJ4>Olfl cMOrocMdcMin — jf — m o d N ro ro o n OddCMONindrON ro — J- o p- ¿* CMco co o in co ocMP-p--ooinp-oo — o — CDd o o m *-Jtp~C4p-t^Jt004p~ oo — ro N m — d co m o o d Jt -oo «--co=*in op-oomp-inm — -o N O m n o ro O O N N ooroooONdO — oro NNdcoeoromN r- o o o o o o COJ- -o o o OP»rOCMd- — P-OOCM O 00 o d O N o d ro ro indoNoodNino omincDcoo"-coi/ioro d o ON OdNOOOOOON o -o o co 00 d m d 00 o m p- O O — m 00 O O PO ro N o — — — o o rOd O — d CMd d co n — N pomcopoooroeo CMP- — 00 o -o N m m n o CO O m m O O N N o m n — -o O O COn m + CM— O O d O * GOo m mNdroNO-co O P» p- o in « m co -o ro 00 ro POO — N n — d po o o o m n N O 00 — C0 m o • co co un co n o d — — co Kii-jmmioo« PO «O -o p- d •- d CMCM p- -o co 00 o ro n m m 00 d 00 f- jt — O O d N co N OO m m d -s- n o -o o co o* cmin-o <- m cmm co d o CMCM CM 00 O o o m ro o m d n d co — N N O N C0 d N H O CO — O CO CO cm fO wt •- in O CO CM— P- P--0 d 00 N P- O LOCO- ooco — o o o ooNd — oodoo r--OtDN mcoi <-=» m ¿t ¿t •- CD p- m co O O -O 00 *- o — dcoo — dm o 00 mooin — ooNforo t_« m-OrfirlN 00 o co n o o p- in s- m m m m cm o p- *o00 ro co d «o mmomroo — n — N omdNom — NNO a. s(DO"Oco«- n e>«- in ■"Oroioo in oo cmo r- d -o d ON<0>0 m — inNONinNcoo — CN Nin — inmcoo'Odo m o — rn — cm— o •r o o m co o cmP- 'OO CM— o d cmo 00 ro co — d CM copón — romd«0 O O ocoroNdom — mm O d o m — o s m PO P- P- — 00 p- m m m o co -o in *. r-*- t> p- do NNOOoomro — N 00 — ^NNOO — dON O o CM— LD N o o -o o — o po m cmp- d o cmO CMO O CM ro o co co o n — o — N •—ÑOPO — ONONPO MlfC-r-OO po o p- m -o P- P- CM NON O P- O CMd CMCO — mN—Nrood N PO ONinOONNONO o m n — — o CMC0 O — CO J* O P- CM— O c\i -O-OCOfO PO — NCOO-OmdON ON OCOd — NOO — — dO «tflNO-fO«- n d < CO CO Jt CO CMPO — CM m cmo — -o m -o — fOP- ON — NPO — NO N N NNONNNNNON f- CM inooN-Mnirt •o m o ro o co J» J* cm -o OCMdO-Od — — COPO N d O 00 CO NO m o o m o o m d O PO N N O f-r- OdNiOONrON o m oo o po — j- co j- ro CMP-OOd — CMrO-OCM m d m — — — O N — «- o N 00 d m d n m o co o — -l/lf"SOOOC0 p» ooO 00 O CO— _ o o OrO — P-iOrocOCMO — on d o n m m m o d o m ro m d — N CD C0 N — m mCM'-rf-OCMiflN CMP- — in tn co j- cmo m cMorop-oodincom 00 — — CO CD N o co PO oo o m o o m o po — 00 d CMCOO-OCNJO-OCOrO 00 CM■o o •- o — CMO O (MOdOOOOCOOdd N d N 00 n o m — PO j- o n o N O — O "O PO O CO CMNNNNOOmOin — P- 04.K1- O CM00 O coinoodoP-rocON d — m n N — N — ON o o po o O O CDN O d CO COocommN — dm 00 — m cm-o —U1 o o o mtMininini-oNp.ro — ONO N — O o ro o — O N O 00000m cmm CONOONOOdN ro -o m o 00 o ro — o O cMoorocMNCMindd O N m N po m d POro n PO PO N d N 00 N 00 d O o o N « — m m o m co ro oom «o m o CMcm m -O oomrodCMo — roco*o po m o ro 00 — o N o d m o o n co o o — o o in m m o-co-o Nin ro œ m -o o ^o.* x P- 00 co O-Otn — IONPONOO o n d m m m n 00 N O o 00 m m N — N O O O o in momdN—mm ■-•-no cmin h- o o r o o o o co 00 o d c — ocoocoodpoooo O O O N — ro coo o ro r- o NNNOdOON-O o -o j* o -o r N O in *o ro ao co m r oomroNd — ooroo N o n m m o — n m po CM O C00r""Jt'O,,"C0C0 ro po o m o -o — cmro • in — dm — cv— ro : 00OO — NOOOO— O ao — a o N n m — — po m « J-O — O — dON O PO•- o -ON-O-Of o o CM— CMCM 00 — ¿ POOPONNNNdOPO o d o o m rO N N O O ONorONdroo in m co cmCMco N- 10 co r m o m n m m n d r odNd — omm — o o d n m ro o *—m m co ir)4 inmco-NfONin o o — o -i-inM CMCO CMN CMCM O — C O — d — N — OOOOPO d o d ro — m n -o o d m co N--Ni/IO(M0» CO CMO >—J* O CMCD PO • m o o o m o d — p — dNmoOONNO ro d o o m n ro o m d j* m dcoNOcodinin CO 00 *—CM «o ro ro a 00 r ro cmm n o d m m c rommNomooro — co o N d co N d ro o o d o o coajxs-ocM1- sosin — CMP- O 00 ¿ co d m o 00 o m o < CMOfO — m — ON — — N PO N o < o o o d co CMO NiOCOSCO J<- cmm j* p- (MO<-jtm into-ororo-oss-orf n m m * *

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF 7T TO 100,000 DECIMALS 81

mNooNNNmmmo m n m o N O — r>-¿t r- j m CD O N o o N N ) — o oo co o n n n m m co — N d d co m — ao m--mmooo — — N-o m m d — d — o — o o J O d CO o N n m N -OON o o — n — d CO N O — m m d N O N dONmNO — dNd d n n m o o m o m co . o m d co m o — — 1 N O N O N n m o m co o co d n o oo o o o n — o — «omroNN n — co oo m n m — d N > N O — O n o m o ■ooo O — n — n o m co o o m co jt o n m cocomom — OdmN m n o m CO N co n m o ao m r+-— j* — — d o m î — O — N N co m oo n d o d m o m O CO CO N Q d oo d — d n o — m N m o d m m o o d — o CD COn m co o n co n o » m m oo O O — n d o m n N m co d n o m m o o m meo o n m o m co o o d co o m O N O d O N n — o m o co o m > o m n m m m o n o n m N d N m N j* O O o o — n n d o d d o-o n — oo — co m ro O d O co d d cm— N N N î — co — n d N O O CO n m d ao — d o m o d o d co n ro n m ro o d — N 00 m CMN N O 00 — — fO jT ro O co d i o d m N d oo co o m co —— o o m d N o oodcoo — o — o m O N — CO O O o co ro m — j* o m m co ) m cmm m m o m d n o o N — o co — m OCOdOOOdNOd d o — o m —in o — n O N o co m o n n N O o o N O — N o m o O — m o o o m oNmmoommoNoo N — O 00 co — d N N O N O o o n o co o n m o m m — o o n o oo m d m n o o o o comoON- roromotn — o m o o N m n d o O 00 o m n — — m — o m o — n m o o o m — O d — oo m in n — h- OmdONCONONO o o o o d co omm — m n N m co N moom d O m n d O O N N O o o NNO m m o — o ooo — — ooomm N O O 00 co m o oo m n n m O o oo m — NNO O O — o d N O O O O o m m d n o n m o — a oo oo o o m o o — co m N O O N o m m n n — O ro n d n oo NONO N O m o m m n d o o m n Odd O O N O O — NNCoodroNdom m o O O ro o m n m oo co — N O co o CO O 00 d 00 N o d oo m n — co m d O O d N o m m d O o con — m — omrod — N O co d m oo d o n o N d d — o —m o d — — O co d m co o — d co d m co o d — oooo o m — dOONOONro d O cm r o o n m m o d m P- o m o m o n o N m o o N N N O d — co N OON ■ cm r m m NmmNdOOroco — o o m co m o* m m m —o m n — m oo d o m o o d — O N O O C0 — o ON — d N N O O COO — ONmOOOdN N d co — — o- m d o n n m o m d o co m o o — ooNomoo N CDm o N O O d d N N — dOOOrOtONN co — m o o co o d m oo N O m m m m o co — n Nino — dinopo O N NON r-. p«.P-- d- cn X oNmomoNoom m m — d d o m m m o m n m o d o m n o d Ninomm — coo o m CD N O o o o o m O Od — drood — dm o — o ro m m o m co d m o — o o d co o cmo m — — OOOONOOdd — m N O d m m o o — OS NONOdNd — dd O CO N co N o o o m o d — co — d — N O — N o o m — j-omNmo — N o m o O O O O 00 u. oNinco — »doom PO N N o — m o m d m — o m N d m n o o o N CONOdOoaoom N O m co m a- — n m ao ONONOOOmNNd ONN n m o O d N o O N m n m o — o co m m d p«-— NNcoromo d O mNO o o o d o oom — ooN—moom O O — m n n o m d o m o o o d O O N N CO o m roNmo — Nom m — m co o co —■00 o o OOdOONNdOON oo — m OON o n n m m m m m n o m o m o o o — dooo — mN n o NN- f^ m h- ro \n oindONONtncoo oo o d m m m — o m m oo o — o o ooomm m o omooNNOO oo m dON m n o m o o — moNdincooo oo m roNooo — ooo o o o co n o — n m — o — mmNmmNO — o d n n m m o 00 o moom — noo N N roNNdOooom N N o o o n o o m 00 CM— NOOOdOjfd CO N OOd m o m m o o CN— NrONOO — O N NroNONrooro C0 CD— o n oo — m d o — o — o -o o — — -Q NON O d N O N o m Nmco — oom — N O NOmNOOOO d m o m O d N N in n o — oinroddO m n n n m n m m co n m N OOdOONONO m n ONinoomNO o d o N m — m n dODN — mNO — oo o — m m n m d — o o d o NOmmNNNO N d mooNincod — m o d o o o m n OOOmON — — ON d O co - CMO CO00 o co m co o — ooomNm co oo OON — o ro m — N CDo d N O o — N N ONinNNNNOOOm N N oo d o m o o m o o o roomoooONOo n m eo^-NNmm — — O O N O m — m — m o ooommeodoo — m oo m mod m o o m o d n ONCOON — mo m o oinroNOinmco d N O O d n N CD N O oinoPON — oddo d o n o oo oo m m o o n m N — mNOmoN noo — o — ddN O N po m d m d O N N Nd — OdPOOONdO d m o d o m m n d o ocoooNOONcomm O N O d d m m n m m 00 O NOOdNOOd d — —dNmooNO omNO — ONN csim — o — o — coooo d 00 N m o n d d o o O COm o m o m o* mm oocooaodococod mo — mNromoo o oo NNdON — pon-o m co —N m — o o n m N m — m«— ONOlON OPOd — COCOrONNN OONCOmONOO m jt dmmNd — NmmN n — m O O N O O O — — o NNroNin — mN tnNNONCONdOin docoomo — d d O NomNmNOdood m m o O d O o — oo d d N Odmmdmmo m — inooomdomN OdONOOO — N CD N NCOONinNCOONO o m oo o o co d d o — N O momNoooN oooN — omdddN mooNinodco d — ooooomdN — dN d co m CDN N m O O N m m moi—ocomoco NNdoooooommo mmONdoom N O OOOONN — mcocod — o o o co n co n m m o —O — OCOrONCDCO OOmOOddNNO NONTO — moo o — N — ONN — — NiON o n m — CM00 O O 00 N d — oooo — md — n dmommcoNooo moNommmo — o dNOmNmNdcoN o oo m o oo n m — oo co — o — mommooNoo ONNd — tnoroNN dOOONNNN N JT O N — m n m N O N O r- — jt o o m o o 00 o co o co m — m — drod OCOOdNO — O m m m co o o — n o m d co N 00 m d o m n m n m NOO o o n — m m co roNNN — NinmooN NiONmNNdin m n o o d m oo — n o N m NO o m m 00 O — O N m n m d n — o m N O OONOOOOOt-«- ommo — Nom •-m mNO m m d o — n n N m O O d m — o m o mom d o — o m m p~ mmmNOdoo — do NdONOCONN o o NON N d — o m O n O N — m o O O N O d m n n d o n m m m ro pONintnr-roNdON ood — mmoo Nom m d N N O O N — O d d m C^ 04 Jt Oi jf d m m tn in co N m d N co — m — mmmoooo O00 — mNONO oo m o «- d o o oo — oo d-ro n m m N N — CD O o n oo o m o N o Jt r^ O — — dOdd — on NmroNin— cod o co oo n d m — m d N o oo NN N N O m co m d -o ooo o jt jt ro o C4 COONPON — dOON n — omomroN n o n d d ■—o o co m d o O N N O 00 d n «- on m o — d mco d n oomNOdO — no — — dooomcoo o o m o —n oo — m m n d C4jt N N N N N O N O o n m o m n m o — NNNomdmt-m on-mooi/io N N omm m oo — d d o n — OONOOOdflOdN — o o o o o n o o oo co m o m m o 00 O N O p-^-momNcoodN m o — OON O — n m m 00N — NNmcONNO ooo o o d o — o co N 00 o m d m — N 00 O OCOONfOONdOO d n o co oo m m o m in roNto —NinNinNm o n m oo m m d m o o N O d N ao N O d CMco ONinrocoN — rodo o d m co o d o m o o mommdNcomN — NOO m d m o m d n m n o d n co m m o o mmNNcooomoco o —o o d m d o — N mo«ddom«-oo o —o O 00 N O O — N o m o d m d O — O d doomNOcoNmooeo o m N N CDN O O d N NOdmin^d — mo — o m o — m oo m m m o m N CO— o n d o m mroddddNOdd oo o m n n —— m m o on — NmdNdcom o ——o m n o o oo d ¿toi m o — N moom Nrnod — N — — om m o o n m oo n o — n —omNoodomd n m m d m N — N o co ON n m 00 O O CMO O OO00 — NOlONPON m n N n m o o d m m modcommoomo d n o O — O — 00 d N — 00 o —— O d N O G0 COOdNCOOCONNO o o d — o m o o oommoooNoo — trtro — d N 00 co o n m o d d m CO CDO O N O C0NON — dm— — o co m m co m o n o — o n o nn d co co o o o oooo — mmoN ONoroNPOmincoN ddrOdNdinNmo Jt'-NN'-OOailO"- m co m co o n o o m o — ro Nd — NOO00O O — NddmNNON omo — dO-NorON ddOONNNNOm o n o m m m m n oo n N O ddNomoNin NrororomN — oon NdPOtnNooNmo mNomoaoaoomo — m no m n o — o d N — NdrocoNdin — OONO — N — NOOO ommcomomm — N OONOdNmdNN CO N N — r^- st ^ iño^- m —d — mmodco — mNNmooNdONin eodNooomomm — ONNOOdONNm om NN 04 \n t

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use 82 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

m — inomocoroj*1 — ONNlONPOCOO co o omom — co — moo o m d co n m N d co o o oom jt o m Nd — dNdOCOON OONOONPON d d — mmoN — dcoooo oo —o « m n co o co o o N oo o m n Noom-omooNN NONOOOrOOO o — 00 — — NOPOdOOO m co — m m —— — 00 oo n m co ao O N m o o n ooindommmNin OOcOdOOmd N N — Ndomco — — noo CON o —r- — m « o n O N m d N O n d no m — oo — o m o co co — — oo — ood o m OOtON — NNNdO O d N N o o n m 00 N 00 o o —O N — — oo o momNinmdocoN ooomdOdo N O om — oomdd — o — d O O N « o m Nd m m O CON — o m o n mNdommmmmN mooooNmo m — N—mmNNOOOON n m m o 00 o N 00 O O m — n m o m O COCO N NmNmmo — omd NOddm — ON N N cooooomcONinod N d n o o m — m o n — d N 00 m d d o m d mmoNmomNdo coNdino — dm co d NOO — dNNCONm m — d o « o co O « « o m N d N N N O CO CO Nddomoocooro d — comooom — N corn — moodNom o o o o n m CO 00 O N n m m m — o d d — o dmmONoomNOd m — — NONinoNco ^- d n m — N — N — N oo d NOO — N — N O Odd d d N — O N CD oo — mmoommo O-dNOdNONOCO NNOCONindNOm o —d m d m m n m n r- Jt ro CO N d N co m o NNomoooooNo comodomooom ddm — n — oodco o o n o o m m — o n co oo N N C0 o m n m m dmN — oomomo m — dcoroNNindo domcoNCoo — mm d d — ONO N d « co ddm ao N N — o m — oo — ddm — mo — d Nrocorod — Ninom i-NNfON'-'-COeON o m o m d m o n m N ONm ao m m m o — — ON— NOmNN — O OCONPOdOPONNfO mNO — dN —ONm d O (MO « — on m m ONO N CDo o n m m omNmmmmoocod d — NOOOON — O mmo—mmNdOd Jtt- jt -*-jt — dm — droocooNO — co OdNOjTNOmNd CMO N — n « N — OON m o mNO m o o o o NONGDOmONOin NooNininjTNinom Odmdo — dddd — m o N m « m o m m o m o oo o m — m n m mNOdmoomom — NdCONOOON — OONCOd — NOdO m m co o d o m — « m co m \n — r^ d — n o N m — ooNONcomN ddo — OdON — m OOOddO — NCON « — m o m m o o o co — m O — 00 cmo n co o dN — ooNN — mo oroNNOod — oo oooroo — — oom — m m m m ñ m co m oo N N m — d o — m o oo ommmo — dGONm mmd — Nm — oood — OOOOOOOdON o n o N n o *- N d d O d m Jtro ro Jt ro \n Jt coNoro — mooON ONdocoodinoo cood — poNNminin oo d n m m m O d oo o 00 o d n o co m N d N odmNdmodO— ommdNOOCOdco — ooooNoo — dm ao m oo o « d o n m o m m — o co m m — m d mmoNromdNmin N- — Nommoomco — dNOONmcodco — n o d o o n oo co d n o O d N co m co m oo o o m n o N m co m n — o —N N o d co d m N m N N O o m o co n o m m m doot-NNN om rOOCONNOOCO N — o o d m co o m m m m o — N co m o o N CD 00 m n oo ONN«« momo d o o o n m o d NmmNNNCOO CO d d CD N N d O d o m m oom d n m N N d CD O d o m d d m n m m o oo o NNoomom NN dON — NdNN O o o n m o moom oo m m o o m oo — co o d — d o — « d co n d o m o « OdcoNinN md NOdONPOOO n m m m o n N N N d o o oo o o m d co m m O 00 N m m — N N CDO m — m oo NdroNOin dm OdONNNmO m o o d o N d co n m — m o 00 CD— momo o o mNO n oo m co co fO o n o oddmo— om NOONNOinN m o m d o oo o m d m COco o N O m n N -o d o o ddm cmin « « — n o m o co N n N — m NN — Nd — cONdd o o n o n co O — N O co n m — N o o o n o n m m m N- O N « N O m o n m O N O N « d o OdOdO — ON n m N o — m jt o o m d n m o m r^ Jt Jt — jt o o — m o*m n o — co d o m o O N O N i — co mooddNdCom d m o m n m oooo o N d o o — omom m n o o jt O N CO00 — o o m o p- m m o , n m drod — Ninoo o o d d m o oo o o 00 m m d — o co co n o co dNd — codoo«m comoo — dNN o o N N 00 o o o oo n m oo o o d n — ON co n — Nmooo o o co n m no — dmm — ONN NNtndommN m o G0 d d n n co o m d m O d N CDm m d m n d m o m n n o o o d N oooomNOOomNm ddmcod — d — o oo o m n o co n m n m — m o o o O N O ooo m — co p- — N N O O 00 o — coodoomoNd meo — — — oo — N O o co m o n d o o d m o m N CO o n m N O CO d o — m — o o — o o NN — NomNomN coooo- dO — N d — — m o d n m n m n — oo N m n d con d o o o n — o m O O CON O oo — NN — mmNdo oominmo — m — N — co co n o m o m o n d oo d m Jt *- Jt n m o o o m m m m oo oo — m coooroN — co — m — odNO — mNO — d omd n o m — n o m m n m o m m m ooo — m o d o 00 O — O 00 mmmoomddom Nooco — moco m — omm co co o o m o n d O n m m o n o o d o m co m n o o n m o C0C0NOO — — OCON — — oooo — N m o oo o m o « n d « — — d m o d m d n d co o m oo d m m O N N O O NNOdommd — n m — OONrONtn o N moo m d « d n o — m — o Odd o m d o n o n n m N O d O N m — n m o m m m « « O CD O d m oo o o — o N — dmN — — — mo OON d N m m o n o m m o n co d n m m n m d n m co d n oo d m O d O o oo — o co m « — dOdN — roromm mom NON o d o N m oo o o o f^ — r- n n co o oo o co o d d — — m o co « d N o m m n — m — « — mocom« o m co m o n o o m n — d o o — m m co co m N d N d o d n o o N CM— O m o — o — — m oocodm — o«noo o m n O d N O N N O d o co n — n o co d m o co o N O — N N oo m ONm dmN dcomdOdNoodd n m m co o o — d o — o d m o co m o n o oo o d o « CON N N O N co m o o m co m mmd ooocoo — comorod — o o 0> — — m m o — o m o d o d m m m m co — o m oo n d m m o n o co ao m N m — O d mm«ONNm«mo m o —d N O N 00 00 N o m m m d m d n N — d o co co o o — o m n — o co o oo oo m O — « Nrodcom — « — jt Jt m m n d d o — O N d m n o — d m o n O N O CD O n m m — d m d N « d o o co —m m « OdNcomodm«o d m o — t-^ Jt o d n m d d n o o m m — oo — — N COo o d o n d o N m o o d o m o m — mcomN — dNdNd m o — N NON — NO m m m o COco n o m N domoNNroeooo n o m m n o o — N N oo n m m m m o — o o d n m o d o o ONO m co — ro m oo N N O — NONd« — ««NOO o m o o d o m o o d N n — N d o OON — d co — N m — o m o o N N — co m n n m N o d«Ncocoo — dmm m d m m o — d o m o 00 O N jt -oro OOOO N d o « o — o co n m N co d — o m O N N — omotnN«ONinN m — — m m o n ONm — Jt O N o d oom — co — N O mom co co m N N d m m m o o m co odOdoomoNO — o m co m o o — o d NOO « « co d co o co — N d o NON o N d d d o m m o j- r- — m — m — Ndoo — Nm d n n d o — o m d o « N N oo m —oo o O d m m o o co d o co co co — ON o n —co n m o m — oo — m n d m N o m n n o o o — mm N N m m n m n m o — N N 00 o o d o co o d ONN n — m j- p- — o inoood — inoNm o co n o o n m o d m — O O n m o n m o o o o o o o oo o ooo O CD jT Nom O ■—N 00 ooNd — oomoN n co n d « m m m d o N N m co d — m o — m m o co o — o m o — m d m o d m m m — o m N«rONindNNN — N N CD N O O m m o n — N « m m n n m o « d o 00 N o o N o m N o m d m m o o — o o OdCONjTNONNd n-NmoNNmmm Ndocom — o — NO m o CO N n co o — d o m m co N n N o n m N roNroNN — ooo — o dmmNdom-no md — rodoin — no co m d d N COd o o o n m d co d n — ooo rodONro — — o — m NNNdNm — ooo OOCOONNOOOO m m m o N CON O 00 N m n O N CD — d CDO o mOOOON — «NON aomocoNONNd« omNNNmmmmco m d n —m n d O O o n m N O O d m n m o NONOmmm«mo NdcodooooN«m — d — moommooo co o o m o m m N m n co m co o o d o co d m OO — «ONNN — — «moinrodONinco ocooo — aomcoNro co m N N o m N d N O n o n m o m N d O N dNON«mmmdN NNONO — modco co — rONOONminN d — m m m m O — CO N N O O N O 00 CD — O 00 — NONOONNOCO oocom«dmdON« oco — oocooNino 00 o o o N « d O N O d O O O O N N m NNmoNmooodo «OOCOdOCO — — coo mpoddOOONOro d N n N N o o d m d d d o m o n NOO — coooNmrON — Nm OfONO — NON — m noo-cocoocooco O o m co o o d O O N ONm m d — m n co co NooNmmmo — NN OdNNNmdNNO COONNOmONd — n m co N co d m o co o o — co m n m n d — m CMO — ONOOO — O ONNococom — OCO oaûNdOOoo— md N — o — m m r^ jt r~-c^i — o m o m o co in o m — oinrouioo — Od — ooorodcooNd NrnoNNGO — — o r- co d co o m m o m o o m m o N N m n o — — — m — moo — oooo — odmNNomodN OOOOdCON — OOPON N O n o o n m d o co m N O co n d — co d — ooaorONmom orno — mdocoooN ONOONNOdNOin m o o N o m o o m m n n m O 00 p- r*~t^ Jt — ocodcor-o — — — — momomcoodom inmoddo — odN co o N d N N m m co o OON N O o m o n — oomocomoN — o — coNOdmcOdmco mmmodNOooo co N m o m o co o — o co o — N d n m m o o COdOOOO— — co n m ooocoooNomo doo — modocoo O d m n N N o o n m o co — ■m co o — — co omdooo — rONd ONinoNN«ooo mmmo — ooo — n — — O n m d N OONO co n m in —m n m n o oooo — Nm — mm — mNmomoom — o — mocodomdooN CON — ONNdin o m o o — N m co o o o co d m o m jt d OdNNO — m — dd o d o o co » o o om — drooo — m n N N o m co co m co o N — o o m n m m m — COCOONONNPOO o N n d o o — O N O — ONNOdO n o N N m m d — n o m d N o o co m co — o mm — roNNNroNro o m o o o — —ONm N O — NmOOONdN — m m —co co m n d o m m n m m m oo m oo o oom — om — — — o O N n m m o co m co n N CD JTCOOOCOONO o o m m in n co n d — d o n m d m n co NCOONNfO — od — d n o — n oo m d CD N N — oodoomON m co — o m — d N O d O N O N m o oo n dd — Noom — Nd N O — — n d m CD O N N d odmmom — o — co co N o o o cmco m co o o —n n o o modNmoNOdo m d o co — o m m m o o m ocooN — omm m o O N o o co m N CO m m d o d — m m NCOONNNCOOOd m o o N ONm N O CO o o mmoNcoddo co N m o o o O d N N m o « m m — o co NmoocoNocom — — > O N O CO N d O N m n d — — O JT d N O m o o o N N — N N CO o co « N cm— o co dNmomminNoo co N — o c4 in r*^ON —

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF If TO 100,000 DECIMALS 83

o —Od — PON jt m o — d CON O — n « n m m — « — moo m o d d —«o m n m m m N N N NO n « — no « — co o —o d OON m « « N O O O 00 m oo o o d o m — — d o o co o o o N co N oo co d « n m N 00 NddONm — n ojm do NOO m m n O N N O N O d o o o o o o n m o n m o — CD N — on o com o n O 00 « — ooooo — d» jtro N — O d m d n m m m m n m N O N — dmN om — mNO d do d co N m m —n NN Nmdoodom coco oo n meo roto to m n m.co n o m o o o m — m NNo o oo m o — o m — omo o NOO o d «dlOOPONNin co « «m — — o o cmm on Odrn o — oo m n o m oo co co o m n o o oo m m n d mo m n n — m — m«C0 — «NN mo o —NOO N O d m o — — m n o o d d o m o o oo ooooo mN mNO n m noo m m o CON NO — OdNOO n m d m o m m m d n n co d O N O d N — m m o m o cm« co — — — o m d oo o — d o mm d — oooomo NdPO co m — N O N 00 N m m m m — m — m n oo o m m n — m o d n o « —d oo « o oomN«N — mod V4\f,f- m oo m o d m o m d oo d O O m CON N N 00 N 00 N O d o — « « o o m co o oocodtnocoo o — co d m m o o o n mm NinNcocoomm n o NCO«rOONOO mommood«« — N ) N O d O N N oo d N dd meo d ON O — N N NomdONm— m n comoocomdO mcomNmom — oo ■mo m — n NON — m m o o m d O O O N d o NmooomNN m —NO — N O « O O m — N«rod — odN t — d NON dm — oo n co Jt d m O d*C0NN com momooodco — m m — od«Ninm dmcoN — ooo — — N »odO oo m co N N ro « n o o N — O ON om tnocomdrON« o N «POPO — dPOOm — «mcodN«coinm . m o n m m NOO N CO O eod —co o ooo o — m oo OON — ONON oorodON — no NNOOCOm — COCON » d m m co ooON o d o m n n — N —NO N n o OCOCOOPOd — N m — om — o n co «d«C0C0««dNN » o « m o m mN« d O d n co m o m o m d d n m mmooomodm «o NO — NOONNO — ONdOONmNNOO . o o co — o o m o n O m o n n —opon O d do — n o oo n m d N — N m — — oom — NN ocoPONinNOOom ' m — d co m o « co o m p- d m o « m mN o oo o m NooNONmmo o m mmoooNm — m «ON — — NOmN- ■o « n n m COd CMco m m n m n — m o m oo m n n m — m n r^ — jt oomNco — omoco ONddNOOOON n «m O N 00 omo — o —N co o m n o o d — o — oo co d N o — oo mmmoommdomd mO«C0NNOOOd NNO « N m oo d d n co m O N O N N OOO o o d m m m n m co o NcooinocooflON — COONOCONdONm oo —ood OONO OON OOON ONN — n oo m d m m d o m ooo« — COdNmON om — oomcoNoeo co m o O CD— «moo o —d md — o NOO m oo — o n o N OON no- n- mdcooco mNooooNmmN d o o N 00 O dO N — 00 O N — mN N d Od m m — m m — m OON Nfl0««ocoindinco NdddNOONNCOd — Nm roto —o m d o o — o o co o m o d o — O m o o co m N m m «Ncocomm — mm« — doco — mom — d « o « moo oooo NNO IHN — O Ott) jT O N N o n m o co d — oodm — com — pon OOd — NdN — CMCD oo m n N O 00 «d m o m d m dNNOO o mN d m dN do oo oo o N coocoNdooomdflO — tO — NPOd«d«N NN « m n m ooo« mom O — O N mod co m m o o m n oom Nmoooo«dmoom oo — oooodmmm CO 00 O m co o O N O O Nm oiodinmcodro ooroN — oomNm ooNrooNind — m doom- — con- m — o — co — oo o d co o — n m ON — OO»—ON — — nconoo — mm — o m«NmNomooo ONmo — md*mNN omoNcommN r^r- mN jTN-r-mroNOin m o — o m d d n n m doo«moNO — m« pONOdomom — — dutNOdO — N — m — d- ddmooNoomo O — OONNCONCON md — meo — moNN Od — dOCON — NOO COOO — — NOON ooo o oo mONUiNNdd NOO — co — Nmooo oco«mdoOd — o ooomoddoomo codNcomo — o o co « m orooodOOd n — mmdNoooNd meooN — dNin — o ddomdmNdmo ococo — ocomd o N cmcm oomo — — N — ooooomoocomm oooo — d — n m o — ocoN«oommmm od«m — omN n m •—« m n o m — o co Jt poooNN — mcooo ONONOONGOOd o««o«NOdom NmCONN — oo — d o «N ddfONOON — ^-NmNNOmmom mooNOO« — «o OdO — NONmoo« No««m««« m n o m poodd — — oo o — moomONdmm omoooooodind mmmmNmommN »-ONm — dm — NN ooo dm moom NN mooooNdmooo « — COOdOONONOO N — d «co NN m o N n in n —«NOO N — dco CMm — N mNONin — NOdm OOOOmONdNO m n o d oo o m d « d mmoN — o d m O d N N — d m o POOdNNNONinm N«ONP0in«o«m o o m m o n — o n m o m — co oo n o o — N o m o o O N NN m d dNOOOOOONdO *- in m — o — «dmm o — n m m d m o Nm n n n m N N d O — « N d Od OOO« o m Nmoo — n — mmcoN — ooo — n« — com — oo — n o oom co n oo m Nm m d n co m N o o m m m d 00 d d O d m o«NNooomm — « NNNomooN — dN o n o m Oo« N « N N N m m co —— — o 00 — o m n m mmN d o m oNmodNmco«N inm«NNin — moN oo o o m —m n m co n NNO — « N N o m o o o o o m n d o n oo m •- m — n o m m o Jtt^ m d o m oom o o oo om — coon — mmd — NI • co co — n n m m d co o co o m n o o d m o n n o m m m d co o n m n m — co coooomodOdco o m ' ■n m o — m o — d O m N d n o o o m cm m N CMONON n m o co m m mmd 00 o — oooomdNcoom o co i > om o m o o — « N d co o o d oo co — — Nd o ONO« mN o d m m OON NO« — Jt m — co co d m n — 00 « I ■o n O O N N O N O ood jt r~ Jt ^ o> — ddm « O N d NOON N o m OOO mN — ooNin — — — o CO COI ■— m o o o m — N d ON« O N « N CO m — n n d m d m ON o m — o m m o ONO ONO — mON — ON — mi ■o m o N m m d NN N m — o m n co m n o o m N N N O ON m n co m Nm o n m co oinroNcocoo — com m o i > o —co m o oo o n m N N 00 jt CMior^ a moom m co o n o o N o d 00 n — m o oo o roNONCO — N — NO m o i i m o o n co — m « o to « m o « co o co O N d O a — jt Jt m o o o — —00 o o CM« — ooooomNOdm — « «< • ON N o m n o — d « m n n m — m n N n m co co « o — OON — m N d m co m n m d — o o co d o m m d d ONO N o o n m o o N co o N CO N n o o m dinorONNPOeoco — n m « m 00 « N « N 00 N N — n d — — m m o — dm m — o n o m o o m co CO CD O n o o m oocooNO — omoo n « n o m o d — co o Jt — Jt N — — CD O Jt N oo o m co n m O N d co d CD O d N ro N N d N ooroNdm — noo n d m o m d m o — — o — — — CO flO N O N O ONm — d m o n N o m d oo 00 o « d N O N n — — omd — ddm — m n —d m o m n n ONN — O O N O OO N n m co o o oo m o o — dmm d n m momo NooNdmNomod d d « O o n m n m « OON m o o — o n co co n — O N d N O m n md — moo — N O CO dNONdNdONO N(MO- 00 N 00 O — o co d d n co o o m co o o o « o o o — m o — d « o m — n — co m m mdom — tooN — m m m o m m co n N d — omo m n o n — o o mom oo o d m o N O N 00 N co co m o m oo n ooN — dmdmo« m d n m to d n m m N — 04 Jt o m m o o — o NNO m m d o m o m dmm ONN m o d m ON — mOONOOON d mN o o o co d — Jt m m —o o — m — o m NOO o o m n o o o N N N CO N N o m « « ddoodoooodom m m m N O — m m — m o n m m co d — 00 o o n m m m m m m — m N N O N O o co o N f». O O N « — m m — o Jt C4 Jt N O 00 — m ONN O O — 00 N C4t- Jt m n oo d n d o o o m m — m o oo o d oo o o N ood O N o m m n — d flOOOO — o co m n d m oo d d n oo d o m cmm n n o ON« o m n d m o n m n m m m n m o m n ro — « oo OON ooo ON ONN o o m m o N N o — N ro n — — oo o m n m « n m m —■m oo n o — m m o o N O — oo « o N — « n m m O N — — N OONO — d N o — o — m — o co n m m m o n m o n o 00 N d N o co o m N d — o m d r- Jt Jt n m d — m Odd co m o co n o o O N 00 o m m o — n — N « d o m n n m o — m m — co n m m — m o o o o oo o OON to- ONN d — O O N m o Odrn o m m d co Nom n « ÍNÍNJ N N O N ONON md- d O N O m o n oom ro m ONO m m o o n m o n co o oo o o m oo oo m n o o — O O CD JT d N d o oooo m d n m o m m oo o o o oo co m m o m N d CDO 00 n d OON o co n o m « m o d n m — m — d m o n o i/) tO — N m m o O « 00 NNO — O — oo ONO CMN — O 00 o o in m — n o o n m m d « — m o m o N N omom m m o N mN n m N m m — o co o m N o m n n o m o m co — d o m 00 N — CD— « oo o « N d O d n m co — CNo co o oo m m « o n m n n m d m d co o — o o m n o o o d m o d o co — d — o m n — m N O « 00 co o o m d o co « o co m — N O mmN o o — n m m o d omom N d — o co n m m n m m co « o o to co m o p- r- Jt — d « o o m m d o m o o o — O 00 — N 00 co d N n o — m ooo n — — m O N « N n m — o o n m d momo — o d o N N N N m o co o o n o m o m co o o r^ ro Jt — ooo CO — N — d m n m m d — COo d « o O CM O — t^ Jt Jt — m d o n oo o do — m m o co — oom m d oo d CD CD — d N O d o d o N o « dco m — — o — o o co m o O — N O O N — N o o d— N n m o m o o o « m n o N oom d d dco « n m d — N d m n o o o n m d m o o n o m N n m O N n m mNO N d co o m •o Jt ro N N N — O CO N « o — m n n m m n d o d co — o o N d O N o m m o d * N O — N d o o d o n m O N o ONO m m o n moo n o oo m f* r^ Jt r^ N co d m O N O O 00 N O N m « m d o m — d m N jt Jt co m co n — n m d m « m ooo — ONO n m « — CON o o o m n o N CD— m m n n oo N o oo — — o

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use 84 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

ON — OOOdNPON m n com —m n — NN OONmdNO— mm« o d co o N —o CMN d oco Jt — CD N N coom — — «mNO — m « co a jt N 00 O O N mOONCM — — o N O d N — NinN — 00 O « co o m — o OON m«moNNcoooo o — o m cm\nt* c4f* Jt 00 O omodcom —— ON00 o j* Jt do m o m o co n — m m O O 00 mNNmmooocoNoo ooo — « m — «d o m « odo — do — m — oo co on m —N N — NO o n o co o O O00 oomN — oodoom ONO — m O O OlON m cono — ommooo GOd o m m — o o O N O o m o o o —00 O N momm—NNONm N m o m d o co co co « N N mom — Nmod oo — d m o — n NO — o m n o o m — o m oooooodNdoONd NN m CD « « n o « m «00 dNOdinoNin ONO d"iNin-o md Jt04 co co oo m jt ooo o co — to — Nomoo oom co « o - m co n co co C0ONC0 — OON — d — m o — m o o — O o o m o n m m —oo domNNmcooom- n — m N O N m NON — co ONomdONd- — mm co « m — o Nd 00 o m m — o —m . m »-md — on — o — o ©•m m m m co — — « d m m — NONJdOON odo d-m —o m oo o o — m o co d — o o N — ONm m o o o d m n m o co o « — oo « NNm — dooco — co ooo md — co d N O m co d m m m o o o o — o o n d co o n m d o oo — o o n O m o d NmdomoNoocod mom m o N m m co o CO O N n N m m d o o m d ONO n — m m n « — — d « co N jt jt — doo — noo — mdN mom — « — n d oo d m o oo — m d co in — m n co m N N o n — m « m co o m o n NNO OOOCONNdOO- moo o —o o —— o ONO Jt o o o o oo m jttí> N 00 « — m « co n Jt Jt — p-* 04 t" \0 « — N Nm — momm — do on d n o «O N NO ooo CD O d co d co o co d — O O m co o n d OO N ON N O — 04t*- cororodroindinroN co j mo m m o n n o —o O COm m o n o o oo N 00 d n « — m m o m N — m m o d N CO ommmdmm — dN CON O — N do «mo m o — N d n co o — m o m Jt — Jt o m o co m d m o co o m m oo « m OOmNNOOOOOdO O O — N d N O d O N N f COoo m o n m o N «m O N 00 — — mom n n oo co o co « O « N OOOCO — fONNPOO O 00 o O N m o co « co NO m co — oo n m oom o n o o d m o o n d o co o oo« «o «omNmmNm — « com d — O —n m n o m m m o d n m N m U">N O dN omm ONN d — o o m « « mmeodNmeom — d 00ON n m m co o oo NOdONNinNCO — dO ON m — m «OON m « n o OON NN m ddNOmcocoNNd 00 dCM «mN dco NO mdo — o — mdNco oo — m m n m o oo m N o co m o m n o o d N m«NCOONdO«co N d co N n « m — co d Omoo — NOOON co o — N N m co «dm d n o m d N O « o m — omeo«oNmN — oo « m n m o o o d O oomdNmNmmN n dco o n m co o — — jtt^Jt m — n m corn« NNco — OdNm«m N JttO d o d o n mm o — oommdNdNo ON O O OON md o « N CDon n o mN m moood^Ndooco NOO n m co m o m o — N — NONOC0C0O m O N N « — O m oo N 00 — oo mdmN — t^ to modONdNmoo N O m m o m o n oo o Noo — NN — omm — o m m o m m m m o « NOO « n n —n d m — d O N — CON — — N CO CO N « m N m n n oo ddoNomo — mN CMN CO N « NN n m co oom m m n o OO — no — ineoodoomo m « co N m o co « NdNcoo — mrodd NOO d m m o m oo m d oo d — N N — — m OO — — GONOCOCO — on d N m O — — m d NNOd — comcocoo m o d o m o d n n m r~-o^>rojtt^jtt~ NO — d m m co oo d m Odo« « d co n o m — — n — m m o m d o o m — h- N N — OON mminorOdPOd ONO d m « o m o o cmo — N o n n — m « N m o m m — o d o o o « 00 O d 00 o m d n d — n « N jt m « « o m — n n mN ON m dd « d m o d m o n o n om « m — — n jtf*' o m n o o m — o ojTcommooo« — m n — — d d co — o m m n —co o « — d co m n — n m o — o n m Jt iO- — 04 mN n m n moN — o — od m m o m N d o o n o N dN O n d o o n o o n o — m « n o m N d — m m n — oom o « o m OCOdOONOCO m co « o d oo co o m d N — d O — o o n — m — n m m n o o co m « co d d o m « co mN m « m dooo — o — o — « o d N N m O N N oom —oo co m m d o n — ood « co o m m d d — « N CD « — o co — d OC0NON- OO n o d m n o o o o « — m « o NPOCM — o m m m o o n n o o d m mN d o comm N N « m«« — ddNN omm — N N d N — CD o m «N n m — o co o co o NOO n o m n « NO o d o d N oo mm oo m — ocomoom N m — jT O O — O N O n m o m m n — o o — — O N N OO« oo n m co NN m m n ooN — N 00 « « o m O N m n d d — m n m «d — o md — ifr— tO — n — — m o «dOOddmmcoN d O oooo — 00 N O d m O N r- Jt o oo n co — NCO co — N CMO dN O d 00 o o N O O CO— m«NNNd« — o — O« oooo m m d oo m o o d N O o o m m o m o n — o dco N n O d o — o m o m oo o — dNmmoddco« OO m o on « N N « oo « m o m o 00 00 o co O dO N m o o d « 00 o d d d o co co — n m •o Jt to — con — Nmm om O ONN oo m « m NO N N O N mdmN d dmN mN o o —o n m co m m N O O N O dinrodNcopN- — n d d no d oo o « m m o o m N O m co N N — — ON d — NO do — n « m —CO O N CD d r* rot*- Jt— «n — oo cod- oo n d o «moo oo co N N m co O — CON momo oooo « o N « N d CDco o — m m NNNO« — coocom o N n o « m « oo d m n m COo o N moo — n d o o m m o o Jt o m o o oo d n co o o m oocoo — m — — mm m m o o« —o m oo n CMN oo m m N « — « oo — d — mod oo m d o — m m ON O d — NooinoNNPominm ON m co o o n « m o — d — m n o 00 N n m m m — o dNoo m N m o m d o n N m N o d N«d«NOO00C0C0 o m mdm«NNmcD m m o « m n « o — d o oo o o « o m m o d O —N momm n m n Nm — NN — dm co o ON ©NommNCON — m 040 Jt Jt Jt m d d n oo o d o «o i —m . co NOO oo m o o n m o «cococoomoN - o — o Nm — — d co m m N COm n — m m mom m o N N oo m d mom O O d m d o m ONN rooo — ocodN m m n m tn«N«OOOON o m m co n o o OON — mom — « N d ON o o co dd oo O JT N COOOOCOjT — O — N m — o« — «Nm — m N N « d o — o dmN d dN« .f oo n m m NO- ro co o —— N N NCOOddNNN o o NCO oNNNdcomm — O O 00 « CO C0 co d m oooo co COo oto o ON— N n « m oom NrOdNOrood n d N — « — dcoroN — d o m N O O d « n m n d o o o omo dco m o o — o m o n Odrn mmmmoONo m n OO NN00OOO — m 04 Jtt» — - m« o O O O N jt Jt Jt — dm N O d moom o o d — — N00OONN N — com — mNoomo« « d d o d «co o « n — m m co n d o-o O O d — N m n d — o ommn — moo o m oNcoflOomo — — OON — m o — co omo o d N md o m « « « o — d — rodrocoorocD o m o co NNoocodomm m o n N — N n m • m oNmroNNmin NommmNNooN — m docoommNN moo — co o n o « co co o o — d o N o m co m' n m m d n m omp-omNdco — o Jt t*- oooomdN«co ON moo« — PONcoo NO« — n m d co coNNinoco — o coNNNroN — — om — o comcodNNOm trtc4 dcoNin«oom « N d — « o « n m o m n mmmotoNo — cooomooooNNoo co m ro — moNNN — n m ONdinoom — d — « m d m n m — n N d mo — — wmo — n — — ooNmoomoo co N o — doo — Od o o co — omcomdd co d ooo co co o m m o co ocommoomN NPOoinNincocoo« — m ONNNOdOO o o o — coorod — o m n N « N n co m co m o m — Nooo — com Jt — NrONON — NN o d ONNCONNdd d o ooomcoomd o —ONO O O O « N d — cono — o d d co coopooroNdNPOco m d Nintno — inNN d — «•- — mooooN o o N 00 CDm co « m n N m r- o jt jt 04 — o — CONPOCO — — O — OO O N dONONom— oo « «dooorodo o — O d N o — « m d o — OONO — m — N — — NNONlOd « d com — ddOmN NOdin — o« — NN O N « o m d O d N N m m m d m m o d n — m oo m m — mo — Ncoo — PONNNinddNcoin m —d m o « N O O N m n m m — o o — m cmo o — d — cm m o ddONinooN dddm — coNroNd m co m m o —m n — « co o N d NONO n — NO — « n m n — o o m o — oommdoco mmNNmmommo — m oo « m co m n n m N O — m o o n m d o — o m jt T^ ro ro — — Jt m — OmOCONNON — NKiinONincoo« m n co — « —o oo o co o m m N o co d o m o jtt-ro — « d — o o m n m omdomcooom N«NrndC0 — om« d n CO 00 N COco o « o m o o o m m m o m o m o d « — n m o n m n o n — inmtncoroN mmd«mmdoroN — m m m n ooco o n m o o o m o N d N n — m oo d o co n oo N m m o — Odooodmo •-»-mcoroNinoNN o —N « N N m « co — d o o o oooo o m co — JT m — d « n n « — N CONNONrONO dm«Ncommodm — oo m — N o o m m —— o « — o o m o oom o m o m o d d — N Nm — coocom« — cootooNmmoco m co n o — m cmoo n o d d m n o m — oo d m co m co m m co o d co m N- o — commomd d o « d « o o n m m — p«-m o m o o co o — co o o m o o co co m m o oo co d n d — o o d «ONino«rodinm o m d « co n — n o o o oo d d o m m N — O co o o o o o — OON o o o co ONN — mm o — mooooooNN m n m n —n oo co — d NO« m o n — O — N o m co n ONm OdO co N m o d 00 N n m o omNom — OONN N O N n m d o n o m — O « omo —N O d cmm oo — O « N oom m m n d n m m m to m comm — NNdPomo N — d 00 N oo o d o m N COO ro cmm n o m n O O CO d ooo m m o « — o m m n n m o co oomooooco — md d d N « d co m m oo d — m n O CO N N ooo O N O 00 N 00 d o n d N — o n co co o n d co POddN- ON — CON o o d O N o n n m — co co o d o n m m n n co d d O m n m omo N O d o d o o co co m NN — NdPOCOOOCO — omo« OPON — — m o « o o m m o co o m n o o o co o o — m CD d m o co o o Nom Nmm — codommN o n « m N d « o m m moo d co o m —N N PO m o — n n m m m o n m m ON — o o NON ONNOd — COdON o o d o —co n m o N o o —« on « 04 jt r* m — o o o m n ONO n o d n m o co m o d roNNO — — mm — o omm O N O CO « m d « N d N ON N COd d NcodONinmdNO ON — «NOO mmocomomtooN o m « m n o o o co o NOO o o m O O N N mo — oNomomo N d N — ooo — oNddm — ooo m — o m m « n m co m n m m N NO «CO— — oodNOO — — mm m — m d n d o NOO — COdOOmjT m — o 04 Jt 04t^ Jt ao « m oo « m m — m n d m mcomococoNooN — o d co — o o o o — COONNO — m co o — «Nm n n m — m — N d oo o o o m n n m o NOdoodNm — co d n o NOO — — o m ONomoooo — o mNo m N CDCD — d o ONO m mm m — d n dmdooNommd o m d OOO n m o o Nm« — — — no — m oo — o 04t^ t^ Jt O- 00 o m o « m co o n n oo — oooooomoommo o m —m — — n o — d OdNd — — N«m« to jtr- — O N NN o m o — o N d — NO —00 ONN — mocooomo o m d N N 00 co — o d ONOC0«C0C0dNd o o d d O N N « d « d co N o m m n n m n NflOON — no — com omo — O 00 co co m — ooocommmoooN N o d m n o o —o m co d o N d ON O— O OOdNOOOO — C0ON n m n m m m m — d o ooomo — oooodm

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF TVTO 100,000 DECIMALS 85

jt o d o m m d m O CD N m o m — m n m n — o — d m m m n m omoo O COm « n m coo — POOdNincoco O OPONGO d Jt>Jt ON d jtto — m m m omm n m m —n d m o ONON O O NNO — mcoocommNOdN N GOo o m O N 00 m — oo o o n m o o n o — o o n m N N d — oo n m o N — m d m « n — dNmNO — cod o co d d m coco d Od- omm n d cd m n o — N — — o — n d m — N 00 00 m n m o d m — dmNCOdN — CON m cooxo o m d o NO oom d ON — t^ — 04 — m O o Od o d — N 00 00 N — o m o « d m CMNN — CO0OdN«CO m m n n» oom mN d n o d N O N — O CO m o O N N d m o n co — — m —o d m o o d roNm — oooomo m o m o n meo o d N Nmm ONON ooo n m m —o ao mmom o m oo n co o o o — — «00 — d — 00« — N — o « d co — — Jt Jt o m « O — o o m d co — o co m — m co o omoo N 00 n m 00 co m N N N oodN—«ONmm d o — o m — — jt o o N O d CMO O O ooo m — o o N — — O 00 00 n o « m m d m « m o NdNO — dOOOd o co o d m d N o Jt ro ro d O N — co m o o d ON ON m m o n d d NGO d o N co m o oooocoocoocoo tomroNrod — Ndo ONN o o m n oom — n- — Nm— PO N N N — N o o co O« N N — O CO N O d n m m o o o mmdNO — — Nm — toro — d — dm mN m NmNinmcooNdo « m doo O O N d N moo n- m o — o o o NcommdcomNNm Odd o — o o o co o o — — oooNOdm m —— O — m m o o d 00 00 — co d o — o — o ONroodONcoinco m — o NN — d o co m NmoodNdNdo « d — NO n m m co o m co o o o o —md m CONGO- OOOOd — ooo o co O O N CON OmONNO — ONd m o O CO — m oo co d d ONd uin n oinmo — mmmNO — — — n d d o CDd co — Nmm NOdmmo — omm m n co m o n co o m GO d N 00 m m — mm m m ONinNOOOOCOO ooo n — d m moo — tONOONOPOincO o o o m n m o m o o n o m o m m d — co o omooN — ininNco Odd mo — oomNO ddONdmoOdO o — d co N m o m n o n — m — oo n o m o o omoomN — oo — o OO- o d m o o m — oooomco — co — o « o n — o n o d m m Odd n n m co n o n comdNNONNin — OOd co o m m ONm modcomcocoNNd Jt o ONN non« — o m n N d O O O 00 00 oomoomNoocomo ooo-NdNommN m m m OON N « N N N 00 Nom ooomm dm — — oommo — N mmmmcoN—coon mo — — — — NNCOO O d O N N d N O — O m d N d o CMN N O N — OOOinNNO N — OONNCOOOdOdN — — modOdNOO ONO omm d 00 — d d n — m n O o o co m roNmodN — — N N mNNO — — NO00N OddOcodNNOm N O — O oo — m m d n m n n d m O d d — N NNNommN— N N — — o — dN — — corn NN— co — OOddO m oo n r*. r- — N d d O m m mom m CO O N N minoNro — — n O G0 corn« — roNONom omcommroNNinN — ON omo JT « N 00 d d o — d m o n m o — moommcoN O N NOdOGONdOOO oo — OddOm — noo co co m OON m — co d o o CO— N CO O O d — ONON — OOCDO m m NdN — dmdN — o cONOmmddNdO N co m OdO m co n m m m d o d — m m d m dOmddNdN m n coomdmocoocoo NdNNNNKl — OCO n m o d — o o m m co O 00 N 00 O o m n d m mONOPON — — N — ONC0C0NNG0NN — on — mmoNdNoo d n m NOCO m m — n N O m m m CO — O N N NinjT — ooom o m N d omN — odoo ooo n o m m OON Nom« CM— CD o o co O N m n m N N O d — n oo m omm co o « N N O — NNNPOmmo ooo — d N O o md- — co n m oo d m O 00 00 m m mom 00 d O O N — CM00 — 00 o m m « d m m om»— npoopopo ONN O N O d OO00 N N O — — o o d ooo d m ONm m d m n — m o m — — N « N « 00 — N NOdO — NPOCO — Jt 04 — d N CDooo co — m N n n m Odo m o Nmm ro n n m o N —— moo o o m o o m ONinONN — d — ON m d o co mNO — o o —n m —d — — o — o m n n d o oo d — O O m o « o d — oo o co — cooooddN co co o m N co N O 00 d « N 00 O m — m Nom o o ONO O O O N N N CO N GO d — n o m co co — NNCONPONd — d O N moom N d co N 00 O — omo O d co N d omm m co m n o O 00 N NON o co m n co o ON-o — m n N m NON N CO O N moo co o m « m oo m N. N- — — o — m n co co o o — m — d moo d N N O CON ro o o o m n — o dco — CO O O CMn n m o « — co — — CMd O m m —n co m O d o co o d o o n m n d OON N N COdNmdm — — — NOO m n o m OOO N N CO — N m d — m n m mm oo o m o m o n co N 00 N « m oo N m N N NOOOdOOOCD N N — opoNinmdPONN NON — N — o N m d m d o o o m m n o o oo m m cmo o — o m m mcomdNdON N N OOOOjTNCO — dN d N O N d o m o — o o m m o o o o — co JT o m ooo — O N d — o mN — ocomcom N O N — dlONN — OOOO CO O N « m d o n n — m m o N d O O N N O 00 oo o — co m o co cMoco — momo — N dNdomom — mo d m co co ONOOOO — co moo N d — o o d n m — O d N Jt N d mmom — codo — O ONNNo — omoo m o o — co N d m m d N d omo d o m m d mom O O O N o m N — ONCOOOCOd N O ocoomoddmpoin — ONO — O N — — N 00 N m r N n m m m o ONO — o m m n o n moooN — — —m o ddmo — — co — con — co d o « m m o n o n m Nmm d O CO N N — NO o — — o d m — — — co — ONm — m m OCONOOmONOO — N OCO m n m — n o d m oo n o d oo m m d NOO o o o m o o n omomoNN— N d mNNmcod — Nmm O — — N O O N CO N N — o o o co N o m N N ONO N d N O N — N N—NOONON o — — corn»— oooo — o o m o d o o co — o N N Nom O O N d o m N co o « o m m « n oo oo o m — o m o — o moo o o O O N N O n m oo m — n co CO GO d N o oo o m m o n o « m m o « d m o — — n m N d — m m d o o co o o d O n m oo m o o — o m «oom m m COO N O N O — 00 O 00 o m o co n d m m — o n n d m — o m n m o — ON d O co co m m n m m co d O O N N N N d o m n o m N N N 00 n o m — N CN N N N 00 o m o o n — m d m m n m o o o ON d o o d n m n omom — o — m « o o m O N d m O 00 N d N — d o — m -o ro Jt — jt o. o — n m d o d o —m d n o m co co — m m o N N O GO «ONN m o m — n d o N — m o oo n d d m m d d co o — n o o o o m n m m N 00 — O O omoo o m n m N d « m d — m co o m n d o m d m d n n m o o m o o m — co o — co d N CD CO om n d m n m n m o d d 00 co d — d mmom co N O O O N N N O N O o m N N N m n m o o o oo oo — n N O 00 N N m d o oo o m o oo d co o m n o o co co m d — 00 m n m o m N N O N N N O O N n co o N d d O CO N O m m o 00 00 m n co o m n — d o — CM O O o o N « co m o — «ON — m o o m m m d 00 N N o oo o d oo o d — oo mmd — m — oo m n o m o N co N N O N O O n o o m GO O N n m m d — CD N O o d o m o inNoroNomm mooNOorodON NinooroN — mcod omo n d m o ooo d o N N o d o N m n m — NNOomj- odo — Ncodmmm oodmcoomoom — m m n m O N d O oo m — moom « O CO N o —Nominrodod oroNin — otoN — o — — o — mmdmNO — co o CM— O O CD O O co co m o o o m d n d NoommoNdd OOCOOOOONOONin o — m — d — non — o co m m o — o ONN n n co m (O N « N o m dm — dONom OdO—N — mNNO mooroN — m — nnn O O d — m — m NON m m o oo N d O 00 o — ood — NONm coeooNoNomdO NNONNNCOmOm n m co o o o m OOO ON — — o m N 00 N 00 d d — t>r*~t^Jtt^oto — podinmomcoo — mcodNNN«m«d m m m m d m co O GO O — N co m m d d o — o o o NN— ONOOOO inmcoNrodod — o NcocomNommmN d co o o oo o — — N 00 d m N O N d m o m n o o — dmNNcomco NinooNdomcoto co«ooooooodm N m o Jt o o o Nmm o m o d m oo — — N OO CON — moomooo mrONCoodOdNin Ncoooomoo«dco 00 N — o m n o m d o m o — — d o m N O GO ONNOO — NdOO 00 N O ON — co o d o « N N O O N N CO O O d — O — o — co N m d — oo m m o — o o dNONNOOOOOd O O m n m m m m m m m o n co m co n ONd n o — o4 Jt d o — o o jt ro \0 t^ Jt rrt N d N N corn — dcoNdNom N O mNNO d n d m o d m m d m n O 00 CO N CO O 00 — o m n o — — o co o co co — m d n omNNtnNcood — m n ao m o o d O — o CMN — O O — COdmN 00 o N 00 N — NONO O — — m o — CMO CD O oomm — omoiON N O o o o co OONO O — N O — d — oo o d — co N — O N CO 00 — O o o o o m d m — n n OOdNNdOdOOO ON N d O — oomm — n n o m m o mom N N t- t^ Jt n d co — m o o — « o m N N O N dCOOdNN — ONm d ao n m — m o n — O N « d d n ooo o m N Jt Jt O N «O — NNromodm

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use 86 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

— m o — n — co — — n do — d m n co d o o oo « o o — in noo o o « go o o oo o m o noo n o co n d co — n co n — n m co o o co oo o m o m n m o co n n n o co m d m — m n m — m n N d o m o d o m o moooNNmmom oo m o o « n o co — o m n m m — — m d d oo d o n o — m oo m d n — m co n d — « d n d — n m o o in m « — « n o n m m o n oo oo oo n d m co m m m n o n m d d m m m d co o m m d o m m « o n n co o n m n co o oo m m— «omocoddoodo co — mmmNomcoco ocoomNoommN mdoommNNNO NoocooocoNNm — NPOmcOOmOON NNdO— «OCONCO — N«cOOmrONPO— m0000dm««ONd dd — — NC0NO — « d m m co — m — « « o mmo —mmomom o n in in — o«Nmo o o « m oo m — oo o « m o o o co d — m m n NONOoomeoo — — dmo«moNmmo incoco — oooomNd NNddmoNNmN d«dNootnm — «n «rONomodNON —oooo — omdmcoo «ococoom« — ooo — ot Jt — m o o co o cm mcoNom««NON mmNdNmNmdm NmNmmoo«o— ONNm — con- com mmmNd — « — dm —oocomcoo —o — d N o o o d — co — N N — CO d — CD N N o N o d — o N m o — co m o m co O O O N N O N co CO N « N N N N n m mooNooNcoNcoN om — m — ONmom o — m — noo — no mm — o « d o n n d «N«coNdNPONN co o oo « o — co — n n mo —o —No« —« o o m co d o m — co o o — o n o o m m o oo ro « m d m d — moo ooNNNmmco — om ocooo — n co o n m « ocoNddincodu-iN mN — — moddNco NmNNod«roNO coNooooodmN oj —mmoooomoN—■ ni ni w vu v ui w r* mNONmnui w r" m '——mcood u p w w ¿* oomNdO —dod ooN.d —— NNind n o o in d m o o n d 04>j otn ^d r^n o« dJt r>~n t^n t-n rom inm oooo oo Ncomn oo m d m o m mmmmco — m o d — o co o n m n o m n — — luWwni^iruiNco co o « m — ooN oo««mmoomm—wio««mmoomm— ir> il v ni ni w m ni ■- «oco«oco-nw —omNcodoo"-•yuir*Uiii=rv'*ir*»N — n ooNOdmoNom.—. A. ai j~* _*. fc^-s ^~y K^. #—% hS\ nh- - —__ — d _*. nNk_ mlA o.rt oof^ or*- or^ ooNONmodmNo**~* o/■*. Nh. of~\ nm m. n oi—^ d -*- in* /-* nK_ miw*% oorr% o-i-i or—\ co«*. mij*\ mv\ coyrt of^. o-f-\ Noodm . r^ *—. ^ ——__ mm dNdO -b Al ^ .r> — NroNdinN- «o on»N- — domdN«oodOrOdN«GO to — commNcoNNoCOmmNCONNO n — on — NNmmm oodN — dNN«o o ONNNNNO«NCO — N— OinmrO — Od mdmONNNNmN N — NOmONN«N POOPONCO««ONCO m mdo — m«ooNNd moooNcoddN« moo«mNOdmNm n « «NinroNooo o — n — «o«codN ommNddom —m m m « o « — « « m d o oo n o n « m — d « n oo n n n « m n n m — m — mN — m n o « — oomoco — noo — m mcoom« — omN« — mooNNoNcoNN o«nn«««onco «roNocoNNomN n«co — Nmm — n— oocoooNNNmd mNmcodo«mooN Noooo««dd0oco NONmocoomdin o « — n n « m m o — —ooood —noo o n — n n « n « co m NONdNO —ooo o co o m m m n n o m n co m — — co o o o d «dOPONNN« — m NN — d m o — omm « m n m m n o m « co n o m « n m co oo m go co n n o n o m m — « ONoomco«NNN «cM.mdON —oom « m o — n m co « d « m n d n o m m — m co moco — ommmmco Nco«m — mooo« oo— ocoNOd«— oinocor-ococoo« NNoocoNdm — — momo — omcood ooo — — NOONin — domomcoodm NtnjiN-cocoNocoN oooo — Nomomoo co — mcomNNcoooo dcooNOONomo coNdmcoomNNo oooomNmmcod- mcodmd — mNN — NNooom — oooo — NN odroodNN —mmodommoco opooncoonn — m oomcodNoomNOO N N m m — co m o o o co n n d d d N o n co oNNomoNd — n n co o co n m n — — co mdOdd — n N in— cooNONom — — n ONONNOONmco d — dONd — — n— oood — dN — mo— mmo — dONm — o ro t- ro to to t- — no— coococodoomoN ocoomcodoooo oocoooddooN NNNm — ONONm Odo — mN — oooo NomcoomoooNm n — ooNom — no Ninmd — omocoN ONOomooNNom dNNONmoNmm — o o — d d m n o co co n m n m d m o o m domodo —oom o — m m m co n — — o n in n d d N m in n n n — n n m co — n o m m o o — co n o o n m m m ao o d o o o o d jt o — d m co o o n — cONCDOOo — d — oo domdNo — dinco — roNddcooodO codmoNO — NNm noono — o — con docoooommood ononpo — moo — oo n — oco — — Nrocom — doo — cocon — ooo dNNcoNNommN — ommmmdNNN moNmmmmcoom ONddm — — oon —moNmmmNom NdCOoroNcooNO dNdNm — Ncom— md — modm — oo NdomNroroNOd nuinponoonno ONmoNdNOomo n m o O o d d n d co oo o co n co o n o o n m m o m o N d n o o o n m n n o o o o co n d m d m o d o d co omcomNOco — om NmmcoooddNO — oo — oodtoNmN tomoNtoNoo — oo omNON — omoom Od — cocoomorom on — coooo — Nmo m — mo — commcom dONmoomdNm o — ommN — omm NNOONONN — n — ro Jt N n n oo co m m d — oo — m m d m — o n o co o o n o o d m o —Ndom —ddO — ooooNcoooooo roNOOooinco — mo NNNOooomcoNd — NromNcoco«coN o — omoNOCONm CO — OdNOfONNO GOOOdNNNO — O OOmN — NCO00NN NCONOOONCOdO OOOONO — ONm NN —momoNom n « m n co n o n o n n « oo o n d n — o n dNo —o —dONN in o m o m o n d o o mdodocomdoo omo«omNOO« NmcoNom — NNm n — mooo — oooo coomoooocodm dm« — « co o d oo d d«o — NNOONd m«oo«ooood- o mo — modomco« NONNm«coomm — d«coo«N-m«o oon — N« — romeo modNddNPOcoN oN«dcomcoocoo NNNommmNON NNNm — «NmoN Nomm««Nomm o«oommmmNm cococomcoNo — o« —domoom — d« o«Noo«o«mm« ocod«coN — «d« NN««omNNd« dmomomNNoo —mNdoodN — o — — co — co — o co m — n d m — d n o o n co o d m o m « n o o — n N d o d n o « co o roN««ONOOdo mNNPO — o«mmo omdoONco — — m mcommNoo — omo inococoNdom — — mmddmm — ooo dmdcoococodNN oco —,o m co oo co — N «oo«poncono« aod«ONOONO« dcomoco — — « — « moooNooco«— oomdmoNOdo mcooNmm — mmd mNmomdcoNNoo —dmmmoNNNO o m co n m o o — — o « co m m « « n o o m co « o n « co o o m o n in d m o o o « « n co « n co n co n — n d «mo««ommom o — n — Nomooco co — ocoono-aoo cooNNm«o — — — dNd«N — NOdo dddomeoroN«d NdcocoN«ONON odoommmmoN NmmmoNcommd ommcodmo« — o Nodmmm«ddd o — — d m m co — o o m m n co N m o n o « n n « « — n d d m m m o co m « o o o d— jtN- o«moco«o NNomom — n — n Ncomco«Nm« — co co — mNdNd« — oo «dm — mo«Noo ONOomin — — ooo —ONooodmmo oodoocoo — mm oodNooNdoN mo — coooocoom r>^t-— n —oroNdin m — mmmdmmcoo mNomoodcoN— — moN — o — mmm ooo —odrn-nn no — o o d m o o o m o m o m o oo n — n —moo — NONdm o n o n n oo — o o o N o n co o o o m n co NNN — mocoNmd —ommmodooN nconn — doN — co —nnnoooono« NNcococod — «mm — n o n o n oo « m d «NdNONddO« d m to d d N — — co « no —— omoomm — oponoon- d — n n d o d « co o o n — — — in o d n o — m o o m m d d m N n o m n « n d n o m — o to ^o jt r- — n m n n n mmmmcoNO —oo mmoo —oeomeo— «o —o«dmcoN« m oo « m co m o n o o NO«meo«mocoN m o co n m « o n m d o n o o m © in n o o m o n o — — m co d — n o n in o n n d — m m n o o m — o m m d ooNdmocoPONd noon — NiONom mommoNNooom oNocomoincooo d — ooom« — omN gooonon- codN NmNNmNONmo mmtoo«m«- — co NmooNNdmm« — d — oo«m — mco NmmootDNOooo oodmNNdm — no omNcoooo — n— dco«Nmm — dmN do — NcodcomdN omoo — coNNdoo ONNdNOO — o« — oin — «NNmNd ONomdm«NN— o — doom — otnoN d«domNdcomN meoom«mNNmN oomocomNNom— o — mmm — mcoNco ooocoo««mm — ONNdPONdN — m domdN — mdOd m — — rodmom — — Nmodo — m«mo d — m — n d oo o « — NOd«NNcodo« — NONinm«m«co mm — oNmmocom NcodNONONmo codorno-ooo«co om«moN — «oo co — «NmmNNmd co«ocommNaomco OdNONmmNm— coododNmmeoco oommoN — ONd ood — «dNmmN m — m — oo«d — o« —«no — cM«oom — ommooeomoeo — oooNoo««mNm npocoo — Ncod«N mNm«NmmcocoN n — « — «onnpopo NcoNooNcoom — cocomooNNm«N moNooooNON cocoNcorocoNooco ddNNNOdomd comeo-mocoodco Noo — NcodNNoo ooodmmmdNo Ncoodo — o — mo mNmdooNoco— — moNN — m — coo odNONdN — do o — Odommaomm mmmoomcooNmm n — mocoNdomo nnono — oonn j — CMN-—n — mdo dON — omo — dm comdONON«-n coNmN-dmcocom moNmoommooo inmcodmdmN — co oNommNONm— o — mdN — doood NdoooooNdco NNOOd — cooodm momeo — o — moo m — — m — — oonn mmmoNNmoNoo mNoomcommod noo — coNoocom mmmcoNcocodmN —ddNmNdcodN Ncocod«domd— —dN« — Nm« — m orn«cooroN« — o comNdm — mmod ommoNdd — om mNNO — moooo— omNNN — oocooo NdNONNONood oooodmdOcooNO ommmcoomNNm oddcoooo — on coNONmmNmoN oon — onoooo odmmoN — — on coNOdcoococomo — ooNNmo — oo coNNONmmdom n — n — mdmNoom — dNNOoomcoo« dooodmcocojT — m — NdcoooN — m— — NindrONroNNin NmdOd«oco — o oomodd — NNm ONm — NdNm — o ONmmN«odco« onnponn- noo omoN — mNNNN omNdOomNNN domomooomo omNOddoo — o on — Nmo — moo mo — commdcoNd mNN — — NmmoN mco — noo — Nmo mmm — moomoo ONcomcoomdoco ncoo — m — o — on odOddooomod NNmNONOcomd oojromNcocommN mmoo — dmN — n ONONcommNNco o m o m o o « oo o oo «mNroN — onno *-n m co o n co « m co moodOdONNN d co n m o o d o m d NOONN«omNm NNmmoN«co — o oN«dooomo — m Nmdooto — noo — o od — mcommmmm Ncoeo — dN« — mN Ncom — Noomoo coooNm — mo — o —oonn — dONm —mo — d — Nmmm mo — omomaooN NOONm — omoo m — Ncodm — dcoN omNdmoomoo NNomooaodN — mmeo — codoomm nn Nmooococooo mNcoo«mNOmm momo«mdmcoco comdmmomdco —

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF IT TO 100,000 DECIMALS 87

o«oomoN«od — oomomtnNoo oom — mo-oo«m coN«NN-mo — « oooooNoom— — Ncodromin«ON oodmNommcoco inorodro — nooo — OdOONPOmPOPON m — — — doo«Nin o««Ndooom— inNcoNNNm — mo NdONoodmooeoN oooomoomdmdN — dNNNmNCOO« — mood««oNO cMOoo — mmNom mooomON«od toomcoNm«Noo Noooocojrmo-n moNNdooNmm NONmo — Ndom mdaod«mNNdO OONO — C0OONC0 oo — ONoommNm Nd« — momodN momoo — ooind NOdmomcooo — — o««oom — m« oom — odmococo COONCOdOCONdCO comdomNN — — « ««oNmm«o — n mm — ocomNNNd od — ««no« — m — ON«m«ONN — C0«ONdNNmON NrooomNinocoN dcod — NNm« — n meo — d««NONN omNNcoinoomo «omdNONm«N NmdmoNOdNoo mcoooomdm«NO «oco — mmcoo-d comoGomddddo OmC0«NONNC0C0 md — NtoNNNdd NNdNN««NrOO — coNomcomd — n mocoNcocooocoo Ndmmoom — dm om — d«ommod NdmmN«m«oo om — d— «NNdm N — OOCO — ddON on — cooooo — o Ndomoo — coorod co m N O N 00 — co « o OC0Nd«N«NinN dooocoNcoomm — OCO — NNm — N 00- d m«coooNm«ON oddNrnomoNO oNNd«NNm«m — oooo — m — mdo ooinroNdNcocoin — cocomommNON NOCONdONNmeO doco« — mmN — m OdNNdNO — do 00 — NOONO — N — «om«NO — «Neo coNmmcooNooN PONmNOOONN- — — om — lONomd om«Nm — coo«n N — mNdNNomo d — ONNNinoO — moo«mo«moN NOmdNNmNNO OdNUlNddNON co — — «mmcocooN rONN — N — OdON OdO — mmmcoo« «dmco««oodO NOmOOdNNO« codoocododdo CONOCOCONOOOd O«OmONdC0NN ddONmNooNm — Ndmoo«ommmo dcom — dOONm- ominroNindOdco NN«ocomNm — m O — NONOOO — O — OO — OONNdOO oomNNcodo — d COddCOOONOONO mcoNoNNmm — co — comdcom — — — m NmoNmomodN OdomNd — mcoN N — docoN«om« PONCOOd — ONNO POiOdONNNPOOO cocoNNommNdd — d — COCOONdOO m — Nmdmmd — n dmmooodNdd COd — NCOOONNO NONoeodmmdO dmcoo — NoNdO m — NNdd«mNO domNcoommo — dOocoN — Ndom dommNinmoinN ONdmoNmoN— ddNrONdino«d — o — ONdmdoco oommmddNincoeo NOOOmONNON omomNdOcoom mommcomm — od mmoNoomd — N dONNmNNO — N dNoomcomdoo — omoNNmj-ocoN ONC000NNNO — m N Jt co —■— n o o o o — Od — pooinddN dNdONONmom — — oocodmo — o co»—meo — — Noom OOONOdONOOO dCOOO — NONO — N«OC0 — 0«ON — NindOONdroN — — dNOddCOOO — O— O00«N — OON doeoco — — domo — — dONNCOOO — o — mmomoodco NdNommomoN omcoo — NdNOd commm««oo — n Ncoommomodco OPOindlONNCONCO inNONONNtnNO — C0ON — mocooN Ndco — mmNcomo Nm — inNNinNinN Ndcoodooommo doomeoommdo OCONCONNO — — O OO««NO00NOO o — o — ONd — mo dNNNOOdmo— o — dNmomNOd ONOddNOdom NomdcoocMm — o con — oooomNNO 00 — NdNN«m«« dNcooo — — ocom COOOO — COON — ON NNOooNm — — m Nm — modcoNNO NOtn«co«oinNm NmNmNNoONmN ONONONdOdO — dNroNOomom coooo — NNmmmd mmdoo — co««o — COCONin — OOON coom — coco — dNin COONON — ddNOO — — ONOcoco — mo «mN«ON«om« cocoooNNmmdo COmNNN — N — dO comdommmoN« mNNmNdmmmo do — — mmo«md m — co — mmd — n — oomoeoNdmoN modON — NOinco dNomooco — no «NcomdNOomN o — oodcommmm — mmmdNmodN moommoo — m« NO — N — PONNOCO NNOONOONtnO o — cooNomoNm Ndomdommoo «coONmco — ooo Od — como — o — m NmNNNOcommo coNNcoN — mNom «« — «o — cooN-m cONmdmN — dod Nd — oNomNOd mm«NcocoNNmm comooNdNNmm oo — ocom — n — o d — o« — ONdNoo dNdOcoomo — d NNNONmOO«« OONNN-COdN- mcoodocodco« — —NOmmmmdom — NCONNdmONO — ddo — omNcod mONdNNcomoN NONommmmm— — Nmo — N««NO eooNOo — dooco m«ooroNinNN« NdOdmNNm«m dorn — — dooom« ONd« — o — dd — NO«NdmodON 04 — «mN«dmmN o — NOdomoo« OdO«NONdNO mmdNOONOooo OmCOCONNd — ON docoo«NmoNm ooooddcod — mmN o co n « « — omdd NOC0C0O«C0ddN ONdco«moocoN dNNcomco — oo — — roNcoinNinindcoo dNm«dmNmmo — mmocoNooom Noommo — dcom mO — « — NPON — o oooroNocococo — dNOdmNO«0« dN« — — C0d«C0O ONm — coNooomN mdNmmmdNcoo mcom« — NmdmN mdoocooNdm — o «NCM«OC0C0dON ONOmON — ooo «ooNddocomm ddcooooooodood mcooNm««NNd ONdom — NmdN NinmcoNroNNoo COCOONOOdCDON dcommNmm — — o dNcomdONmN« NmNom — m — no oooomdooNm N — omNmNNOd — — mmNomNO« dcooNd — mmoN mNmom- — o — d dmmoN — m — dco — morONrooooco dN — — — «omo — mm — OON«NNN OONOOdNmNN Nco«mmoo«oo«m — r-Nco«odOcoo OOONmN — o co « omm«m« — — dd ddooNmmmmmo NNmmooococo — oon — mcoodNo dinroininddpoNro «o — do — Nmmo •—ONomomod« mmo — o — — NNO ooooom — o — oco N«d«ddmNNN omo«Ncom — N — « — ONmNoomo« omd«NinNC0Nö — m oo o m o o n n o omN«««OdNm «inNNONNOOO cONmoNCM — moo oommommoo«N CMinO — ONNOON momNdOONNN NONN — «m — — N C0d«d«O — «ON N«« — doddoo cooNN — mdOdco o — doomooo-— — mNPOcomoo — NdN O«C0ONOC0NON — ddNinçM — oo to m OmNOOOOdONCO CMNNO — ooommo md«oomdm — dN NmNNNONCOdO oomo — dmmmoN CONNmcOmOONN — N — NdmcoomN O — OO — — O — NN mdm — ON«oeom moo — NONO — d Ncododcoommm noo — mNO«mN NNdONOdmco — mmNmmomoom — NcomON — o — o NomcooocoNdco OOOO — N«00OOd m — mNomNmmm — meo« — «NO — N n n « o « — rnNdtn NNmmcoommmco OOOONOOONmoo minmNNCON — Nm ocoomcoom«oN CO— NNN««« — m Nmd — ONPOOroo NO — mNO — ooo N — — mmcoo«NN NmdNOom — Nm m — oco — dNco — m rOdmOdinddiOin rooco — d — — mood mddONOOOOCON comeommNN — mo N«mmNNmddm oco — oocoNNmm — OdNN — NNCOO Noooomdomo mN — oooo — NNm m«coodom — nn o — dNmm — mNo omNm — oo — cood mooodNinroN — N — — m co co n o co — N«indcom — m — o NomoooNdmo momddmd — Od ocommNmmNOd oco — moocom«m mON — — NCMOCON nn — omdomoco jt m m o o o o n.co — NmoNmNmdNO — m — N — CONNPO — N — NNm — OONO Od«ooeo«oN — co cod — omodoom mNdd — ONNmN m«oo«mcocoN- co mNNOO — d — NO Nmmdmcoo — mm oomo — — mm« — omom — on — coo «mcomooooocom ocoNmoodNmo ocoocommoodco ONO — mdNONCO oomNooomoN — o — ocoN«odomco oooodcomNdN — oNomNNOdm NdNNm«ococom ñoco — mcodcocoN nn — NinNdto«m mmoocONO — — oo mooo — coooodm modmmd«««d mN — oooommN dd«oON«oom mcooocooeoco — n NCDdON-mdONm N — ocoomocoNN mooomodmmN oocoon — oo — m «N«0 — ONNNO NdOOCOOOdNmo — «NcoommNmd NNNincOCOCOOON m — — o o o d m d — NNmodeomcom« cod — odmmdmN — moomodo«m mmmNcodNmmN NNCOOOONCONmCO ONNindCONNN — NoodomomNm ONomNNinNN — NNN — OOOd — NO meo — doomm«m oooocooodmo — o omommdN — oo moco — mrododo omNcoodmcoNO momoN — odNO coo — mN — mmmd m — — commmomo mooo- «oco — mm m — — om — n — nn to^Q-t+pto — — t-m — — dNOdmONNN moNomNN — Jt — comNm — — omoco om — dodcooom OdOOCOONtO — o f^^fw. — CONOONO omoocoNmmmm O — oodm — moom onoo — momeo — coooooNm — dm« oooocom — Nmd mooNooNcodmo — d«««oopoNro ommNmNONNN OCONddOONCO — co — oNmmN — mN NNNNNN — mOO «omNm — ommN NNdmmococoo — dmoom««dNOO m — OdOONrooin mo — ONmodNO mdCOGONdNdON o—oNmommoo NdNddcoo« — m dNm«ddOd — « mmNON«om«— no — omNOomN on — o — ocommm inNOONNcOOO — md — dONNomm — ood — Nom — N oo — NOd — mooo NOOONOdOCOmO O« — omONONN dNdOcoodomd dmoodN«dOom coo — codooomN — mmocooomom — om — oomm — oo dm — meo — «NNo mco — Noodcoo — mOONNdNNOOO dNcooNomomo roNmcod — o«no Npoomrodinodm — OdNO — moNN oocomNdNmcoco modcoNNO — meo ocoo — Nm — — meo COOdNGONNm- o — on«on — orneo OOOOOOdmNONCO «inNNNmmNcoo «ooNmmNm«o dmoNdeooomm NOomommdNN ommocooNmmN NcomoooocoNm «mdNomo«oo moo — roNincooN GOGOO««mNOCO- CONONPONinNCO — «o«NmNomm« Nmo on « o o d d CO— O — COCOOONN coommo — dmcom oNOOdONdOd mdNomo — onoo oodmNomdON dNCONOmoomNN ONONNO — OOOO moooomdmmm OOOOONONO— ON — OO —«NN« O — dC0NOC0««C0 ddmoNN — mmo mONdONOCO — o OONNNmdOCON NCONOiONCOininN omoodooooomcoo dOOdCONtnoON — coooo — dmoodm comNNommdoo NONmddomoo — — omooNNdm codNmm — — — dm — OOON— dCONN o o co co n o — moo n — odmoocomN mocoomocomoo dmoNdmo—no

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use 88 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

m o o n n n m m N N © o OOONNOON d — mmNommom «ONromomo — — mmd — odmin co o ONNC0«00md N m m o o d — ONd mNOOOO — ©o« Nmoœ«N©m«m NNNinmNN — n co n — coocomcod n d N«O0 — NN© ONON©mmmmm m«Nm — d — moo mraoooodo « m — odeooooo © o ooNinomNN O — — — « — ©N — N OONNNinO — o« — — — NNO ino d o « N d — omdomo m m NOmNdPO — N omomo — n©©o inrOddmom©©d "-nn- Ndm© d m N N moNNONinin ON mraodmoo— ooNOd-omo- o NtndomoineMoro romdmdd — n O © O d «COOO — NNd N d drooooONN NNNmm — NOd — O — OON — dN«d o©Œd — «NN m o N COmNO — NNNm N O ©m — ONNdN mmomooNmoo dN«ON©m««d — Noommom d m NO »-dm — mN« — © O Nmommomo OONN«N — — dN œm©oN — in d n — n— d o « © d N m o m m oo«oom«m« NOdd©OOd mmmmo — n©n — dOdNdomo©m orom«oo — — d — o m m d N N CO N p- o — inNOdd «o — NOdNmm© NNNO© o — m m d — O JT mmoo — ON o o — — o d N,ro d O g m — o — no — mm N«do©oNomœ m — d o d N N O O O m n m ©omm N o m o m N d d o mNNO o o — o — omo — OdWNOinrONdN m o — — n m n m o — ood m n o m mmm oo o oo n d m m m d o m o NONOoœmN dNiON — m- n — m — o m m o — o o ra o ooo d O — N NNm o m co oo n o ON«« N — O — dO — ONd Od«ON — »mo© o m m m d o m œ — m oom O O © © omo o m o co « N co o o — d — lOdNONOO© NinroNm©«©oo n m — © m ©©NNO oom — ©N © m — n O d C0 N — O m n m m — o Ndd — ©OO© o — ««domoN« n o n © m O N N « O ooo — O « N ONO m m n n n o co m n n N O mmomooo — — O — OŒNdNNdd © n © m © N d © — m moo ONN© © co o d m o n o m NO© — O O mdoodNN— dm«©Nmœ — Nm o d m o m n m « « « ooo m O N — mNN o o — oo d co oo m n o N d noo — momm dOdNo — © — Nm o o n m o — d O «N m ra m N o d O ooo o N — m oo d m o m n O N NN m N o © m m Odo o o o m o o o mminroNNO«© — m d o m o o f- — Jt CO — o o d co co N O N N n m o © o d m m co © d m o m n o o o d o r-- — — omo — ro co o m n o o N d — œ o o o o m o o co »- — o m m © N O o»-m m n co N d o o d — o o o — m Nooomomomm o —m o dO d n m n N O m n n d n o m m o m d d m m n o N d o © N œ © n — o — o m o n « o — mmoo © —o o o m o © o m — O o o — m — moo m d o — m o o m — m NON d n « m n m m oNON©omoo— o © Jt Jt m n n n d — do « N m d d o o o — m o m roto m — in n m o m m m — o o oo — Nmo — dorn oo m o o m o oo d o o m n 0ON — o — dmN © N — m d N o o n © m m n o n d n — oomoomNmo— — o d m o —n o m N — d m n o o o — o o N N o — d m m o n o O N — m d o o m o m NNOroroNininoo « —d © O N o — o m N 00 d « CO N m d m m d d to © m o ©ooo iO- Jt N O O — 00 N d œ — ONNœdd — o N O o m d O m — o m 00 O m « O O m d — o m n m o n m m © m m omo m o o o o m n oo — Jt a> ro — ra d — o d œ d I*- O o n o m o m o « « d — o co o >oo m m n o o — oNNinNromœN — d m n m N d d — o m o © o n d d œ n — O N N N O N o oo o m ■n N m d o © Nm — oœ — m m n m o o omm m m o o n — o m o d o d o m — N O O d m o — o — o ■o n œ N © © on — m o œ © o — © o o dmN œ m n m © d o o m d © © Nmm n m o m m o — n co m -Nmd t^ — ro Jt m n mod- oroNorom o m — mm m o © n — OdO m n o —œ œ — d m m d co o co o o m tO N d oomo n o ommNONNomN n m © m o m d © d d oOd OONO d o N N — o co m n o m N N ■NNN N d o o m © o — domoNd — « o m — o o o — n o © ooo o © d m omm O O m oo d m jt N co m • ONm O O O N N N ««©NOdOOOO m n mom O — © N N NO© ONO© — m — m o O 00 N N — d jt n ) oo o d — m n d — o om — NNNroro — d — © — © œ o o o o d ONm — NNO Nmm o N m — N N co — d m I O O N m o n m m o — dorn- o cmm o m d © oom N N — O N omN t^tOJt — ooo m p m d N 00 m d n o ■ — © N o o d œ m d oom©NoomNN O N œ o m n o m m o Nmo m m o oo ONO cmn o o m d o o d co m m N O d N m « OdNd«m — o d m m © NONN©0 — © « © o o m d « d O O O N o m co m — m n m O « o — o Jt OO© — NNNO © o m o OONNOO©m O © N © — jt o o o m d oo o o m o d mmN œ m « d o d « N — ONPONNOin — o d m ddNdŒNOO m m m o n m o © m o N n m co m — n mmN m m co o « O N d m — NNOomo©o n œ — momoomm m o ON« m co m — « o o — o co d o « o — © o o m N N o © o o NNomoœoo d œ m©momooN o « — N m NOON« — o — m C0 N « ONO m o « © — m m © m m ONPOOinONO — — m — o m d n d o O m O N NOO d n m o d co o o co n « m moo — d N m œ m o n « m NNNm — NON • N NrorodOinm — m n » N « N N O © N o d n m © N — m o n « N m m d o m © n n momooNœm d n ©o — d©NN — O N ©— N m N d O N — ON 00 O — « ONN — N m « — O N O N — ©NOOOOOd mo mommoNN© « © d — © m n m — n o m — co O O « o d m O © o d « d O © N d — mmm« — n© o m m o rONNNOd© — « d O O — o m n n m O — — NOOO — NCO O O © o o n d o o m N«-O NN d O O « N N Nd — ©NN — O n m © © © o N o « m nn — mmmNmmco o o © d m n n — Jt Jt NNmineoNPO«« — dO OfONdOONO œ o m m m o m n © m comNdo- oomo O « N m n n o m n d NNdo«Ndmdo © — ONP0©©inmo — o m n o n m oom oooononn — mo NO — m m n n n o © doNONmrONdm mp-o — d — Nd t- ro r- Jt — Jt co © m n oo©dooo«om moo d o m m d o o d n o N — # r- — «n NO — NOO — d o © n o d — o NNN oomco«NNNNm — — -o co — -o to Jt t- Jt «ONNinNro — ©m dOdNmmroN o m d œ « « m ON — CONNNO«NrOOO vrt ro — m n n — m © — oodNinmo©om Od©iONOdm m N d O N N d mmo «00- OON — — «NO © — m o m d m n o — OdOOOONOOd O O ooœmmNmm o « n m m m n OdO ONONC0ON«N00 OdO n © d m © © o inodd — moNON d © m©OOONNG0 o n m d — d o n © o ONNrOdPONNPOd o o co o — — « « o o do©ooo — inNtn d n o — d n n m o o N o — — m « o NNd dinddNoooooN — momo — oo — o — Nommœmoo o d n m n d d d n n mmm © m o d œ m m NOoo — ©mo« — o d N d — o n n m d — Nrooorom©N©o n o o m m o — o m — ©NO m ra m moo — NNmœm« — — no N O ommodd©— NoOdPOPOONOON — © o o m o n n — — mmo n — © œ — — n ©dindmcooN — n m n rooOdmNNO — N — OOd — © — O m o o d o m o n m o m d o © ra o N m — © mmomoNco — om — m ooo©«dNNO — mmNo — «moN omom r- jt to r- ^ t^- o — o moo N d © d « — ©OrONN©N- N N OdO©« — N« Nood«N©mœo u) m N N o m m m m m ©NO o œ d n m o— d©NO«d-©Nm d o dO©N — — N — momNNOomo« d O © o —omoo© — — N n m œ m d d o ococococMcocMmom N N dNP0©oNmm «oomd — d©mN © © © d m o o n d o Nmo co Jt ro N « O N o©d©dON — dO d N mONOON«« inmoNONNdrod n m m m n n d o o œ m n jt mom « © © « moœmN«oroNin N O Odmd — md© N«m — o© — dorn d o m o o m m o o n m « « d n m d m « N md«OdN«Nd© m d o — N O « © © © ooodmooooo m d oo o m N O N N « - ro r ONO O » N o — ommNin — om NON m m ->-NNO mNmmmmNmmm o m ooo O © N d « N m N NNO NN©©o©mmooN — O 00 N O t Jt ror^ Jt d — Nomom — o© m o O d N « © m d d — NO CO CO — mON©©NdNdN Odo d m ro o4 Jt Jt oo NdONNCD©NON o œ — « m m n m o o N © n m n d ra ra o — domONO« — ooo « d n o m m o © — moddONmœ n o — œ o « — m n — m m O O N d — o oo o n« — oo—dm«m ro n m œ n « n o m m rOPONddNNONO © m moo « — n m n m m O N ON© moo co©n — m©m«o« dmN o —m — © n o dN — od — ddtnm N O oom «omom d « ra o —o — o oo© — «Nd«m — © o © o m CMO O O O NONOOdNNOm m m omd « o © n o N N d m n O © N 0©rOd — OOONN m © © N N o d m © © N©d©NjTON©© N — n m œ — d o — o © O N ra m Nmm Nd© — mmodm« omo © N mo m d d — mddONooNo N m o d « N N © d « — m N N ood ood noo — mm©©o© œ d o — m d n JT — N d m o o o m o m NNinNNdO©ON O O O — N « o o m n ONdNO — ro Jt — N n © d OdNO ON — Nom o o © o o N© — oo©m«o — O O N © N œ o N d d N N mmdmmomm oom d d O © N — N n m ood o o n o m — mdOdNONd — O © N O N — N O N N n m oominmpON© — o m n o o m oom N — m o n o m d d © N©NOd© — ©dN o — — o m o d m — œ NN OmO — ONNN — NO ON© — omm o © Nom m o o d m dorON«o — o«N m m — m d n « © n m o o d«mNP0d«N — OO o m N o CM— — «N oom m m m © m dO — 04 Jt Jt — ©dO m m o n n © « n m n œ d OONN — — N© m ra —m n m o O © O — © o © d omm — © moNinNd«mom d o o © o ©oooo — d NdOdOOm— — N© N m n d d © o NO Odd o m n o N «NN«ommmo« m N — N o d n œ o o o —CONO — ©OON m o © ONOO dmm « m ror* ta NNNmm ©dooNOdNd© o n n m o CM— — N O o d cod — mo©oo ooo — d o — m© n o « o d « o m o o n dOdONOomoo o o m m m o o © o — — omo — mmooo omdoN©d — «o m « N O — N moom n m m — © m ONON n — m Nmo n d o œ odONOo — moo copom©dd©ooinN oo o o m N d m m — d m o m m o — m n m n mom n m n œ n © o m — œo — — ©do© moooœNommo N — n m O — N N O O o m o —N N O © N © on —ra o o o n m ó — o©oœoddmo omd — — moN — o « N n r — œ N m N d n m m —n m m n o m — — o dmm n — o m 0©«NNU"IN©inO Nomm — OŒdNO « N o — o co m cmo o N N O d N N ©ONO n m « o — © o — m ro o — mœNOdONO no — ddmdNO — N O N O — N n © m o — o co o N O o m © co N© O — f^. p- o o o œ oodoomm — mo om©©©rodom© — o m o d © oooo N O o m © m n n m m d m o O N O © m — o NOomm©oN — n oo© — m© — omm « m ON « N OONO d — m m m n n œ © m ONd JT O O mmoo oomm — NONm© — mN — omo — oo m d — N m o — N O CO d N — d N — o m ra o d N O Nmm o n m o — — o — Nmo — od n — — ONm — mom m © o o — © o m — © o m o d d o o — ra o m o d ONO omd©

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF 7T TO 100,000 DECIMALS 89

N CON NN co d — — © N O d O « N © m — m jt Jt t m d o © O — o o o O N O d N o m © o o n mm © oo© — — © © O O œ — m o n o m « m N « n m m — « « m — N m œ n o d »- — omm omo o o œ n © d om o d © m © CMN— « d o m m o m —OO m d — — o o — m o n o mm m O N — d o m o d — o N N dO N O N — Jt o N ONO — © — d m o o © o « d d © mNin OON TO — d odo« — NNraood odrn mmm o — o m m m ONN n Nm ON O N — o —n o m o o ©No — — omo N N N©Oddm«NN« n n œ cm— N m o — m œ n d d o o — (OJtOt d o o d « œ o o © n oœmm©o — m N d ONcomœ — NPONd oo d NNN — n œ — m — m Jt o d — m — m co o mN « œ n — n o o — NmNoora — N raooN — — œddd o o © m o ra o m n n m m m mNNO d — œ n n m n o n ra n©n« — m©© O N — — ONOlONlOOO Nd o — N o d n o m m © o n o o — NN mooONPOora m © d o o o o m o o o o «mm m o n ra n o«o — — o d m m — t- — \o m n m — o m n NONNŒOO— — m — n —m — « n — « œ n — m o n n o m m«oo« — «poNmd to- OON © — NdO o —mmoo — m — m — œ n m d m N m O PO — « o mmN O O — O N mNO—OO — NdN ro N Nom m m o d o Jt Jt dinmmraoroN omN — « o — © n m o m o œ o d o mo- mNNdOoomd— O N m © o œ © o m — o o inmmoomm© œ n d n o o o n o m n m Jt

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use 90 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

odmmod — ONo n n m n r N o m o d ra d o N O m © m n »-m — o — — — ddN n o m m © m o ra ood — mroNNOd m n ■ N C n ra cmm o o d ro d O o m o n »-OOC0OC0N — 00d — N « O N O N — d o — — lONdd — PONO co o m d o o oo — m — d o O O m o — — domom — — Noo N N N œ m n N —© N N — m©Nmmo© — m n © N co co N o — o m n o o o — d m o o d — to Jt co t—oomm — d O ra m d m m m m ©OdNNOPONON — d O — o o o n m d m — m m N O o m m n oONNmo — dNm m d m cm© n o © N N Q oraom — ©ram — n N O O N d m N o o d N N d m N m n m o o «NONinorora — o — oo o © m d d d — O o m — ra — d o o o o m co m O — N N o « m o m m n o d o m m n — — — NPoooroN — m © n m m n o n o O N O NOmON — NNO — m o d O o m o m — œ m © o o n m co — o o N — eoNd — rocoNN O N N JT — « «N o — o m n œ m o m in o ra o N O d m © o n cm m n m o m m © o ©NO©dNomdO d N — O N N — « m « m om — oœ — ^oN — Jt N o m m m o o « o « o o — o o — N o — Jt co — — oNtno d N N N © N m O N N m N N — N — n m — m m o — — N N d o m o o n m m ra n m doom r- n m cmo o o d m n jt©oonn — ooo o o n m m n o to — o NO — m — « m m o « d o o — — N m — o © — m © © o œ — o N m OOO — NdONtON o o © — m —d n o n ra ra n o o o « co m m n m m o o d m o © o m m « m n d n n — œ o dNdmo — mo — d n o — d n — O N N — N — t- —m m o m n n « N N o o ra n co m n m © N N n n © œ o o d mOdfOOd — — od © N N O — n o — d m N CM00 — n o « © d d m o o m o m co — o m — NO d N m in d O ro m — NO — OOOONd O d — O d d n m n — œ o n m o — d n d m — m © d o n o co m m m œ o © o m m m © — m Od — dNcomoNm — d m d o m 04 Jt — CO Jt ON-© n © m n m o n d m — N• m d n n n © n m m — o n m m m o NOONNinmradm o m n d n œ N d m o o — N — n o co m m m o d « — o — N © o m m — m n © d — m o o — mm — oodrorodN o d o N n m co — ra o m d O N p- in r—o n n — m m N — m d o m o d o © n o o n n o d © — — Nm — — ON00© o o m o © n o m o d « o o d N m co m o o m o d N — ra m o o m o m n o œ © © d n m n — «N«0«dN — N o o N N m d n m ra d N d « œ n m m in jt o © o o o —o o m n o NO© m o œ o m o o m d o o m m — n o d N o N m m in in — in © — m d — « — dm n- n o © m — m — m n o m o n — o œ ra NON — N m m o — — m m d n m — m n o m m d o « N œ n n m o m o n 04*- Jt o n m o n — N — m d m m n n m d m co « n n m o o N ra o d o © m — o o ra m n o oo d n d — m o —mom m m n o >m œ d — m m n © NO Nom m m n o n d N o m m o m © n « « m mom n — m n o d m m o m d o — m m J © o 00 d N N — » m o o m o o n « — N m m n m œ ra jt ra — o cm— d m m o m n o d m n N CO Jt Jt — m m — i — o o n m jtr-to O N n o d — o o n œ « o 04 — Jt d d d © o N « o o N d m o N m n « d m m m — m m œ > N O oom o n m N N cm . m o m d co co n œ n ro o in in m œ n O d d o o o m oo m o o n m — NO — — d o ■m n co o o Jt Jt co m N — o ra œ ra o — m o n m m — n « m o — d © o o n — m — n m m œ n O O N — • o m n m ra œ m o O O m o n o N © N m m ra m © o — o m o m o © — d n o ra C4t- co m n m m ra m ra ■o o o m m n m d O N o ro o « — m n o O N © — m o n o © d n o œ n o o O N n m N m m —n m o d o o o —d œ œ n o m o m N « «o — cmoo « © m m m n «NO o o m n m d jt o o n m m m — o m o o m m n n m d n m o m o d o o o n o d O œ d o d d © d n o co — N N N on — — N d — n o o N o o o n o N N m m to 04 ro — o m Jt o m © O O N N N N o ro m ro — o oo o N « o o m m o o d œ » d N © O N o n n m Jt N o m N n m d o n O N o —m o o d N m N m dm© o n m m o N © ra m N m o — m — — 00 — m n m N O © O — O © o d N o n m m n m — © — o o n o m d o o m — n m n n o d — — o m — o o d d CD O t- CO 04 — o — d o N d o o m o m m o o o « d O d m O © N N n m m m o N « o m d m — o co m m o d o n N O m — m n o — m o O N N N o o n n m © N N m m o © œ d d o oo m o oo « o © m o © d — on««© N — O O N O o o o o O O O © N N © m o © d m o m N N n m o o o o — m n m d m jt — o « d — m o — « N N m jt n d m n o o N N O N — n © N N N m o — O d N N N m o — m oo n o — — m n m o o « d — © O O o o o o o n ra N © m m ra m m o o ra © m œ — o d N — m o o m d N O d Nom ©NO d m o jt m o Jt O N d œ n m © d o m N N m co co.o d o m o d œ o d d O m d œ o o d « d « — N — o m o o o m — n n m o — m n o o — NO — NO o N m — jt o oom© n « O d m m — d o o O N m m m m n O JT N Nom o d œ — o m N o — o o d o m d ra — O O N ©ON m n © o N d m — N O m © m m N N d n O O N m o N — m m d — oo m n n o o o n o ra m n N m o ONO d o o n n o o N N o d N N r*-— o o — m d N d d O m — o œ m d « o o o o m o O N N © m n m N » d o O d d N O o © m o m o d d d m o o n œ d m N N O d N ©ON o m n O d jt m m m o O o n m NOO N © « « d © n m — o co o o m m n o d o n o m N o N N O o o —m d N m n © N O o o o m d œ — m m n m m N d n n n m N d O n n o m m m d m m m n m o d O N — m d O N — N m m © o d m N O d O O co o o m — ON «mm NO« d O O N N N œ m o ON o © o o n m N O O N o m m o œ n m — o d « O d N — o d m jt t- — © — m N m o n œ n N o m N N O o m m m m n n m © O d m o o o N o m d m m n — N — N m n — — jt m n o NOO œ o m n m — o m o n n © N O d — o o m d m p».n o N — « oo o m o © d ro n n m o — — o m o n m m œ — O O N d N ON o m n d m m — o N O o m n m © © o œ m o n m m co m n o o ra d d m m o — m — m noo O O N — œ jt — O — O N m d n n o n o o o ra n ro o m o o d m © Jt m —o m m — n n n m o m n n — d — m o m m d © m — œ d o o o — o n m m o o o — m — o d o d — — N m o o — d o O O d d N m m m « m •- o O N N d o m © o o m — N o m N N O d cmco — o © m jt o N m CMO d « in m N — d m — jt ra — o o o — m —o o © d d m m m N œ m o ra o — o N N N n o o m N «N m m d o »-m — © n n o m œ m m — © n — N o o m o o n n d m o — m o o N N O — o m — m d n m — — © m n — d — N O O o n n n m o m — o o m ra o m O N N N d m — d n m o — m o O © N m o d m m 00 o o m m ra r*- N m m — N O N CMn — m — m © m o N N m m m — « co — ra © n m o m m — o — o © n d — « — N n — N n n o — n — r- d n N m n o © o © m m o — n co r — ra o o m d — m o m © m n — m d « o — m o o o m m o « m n o o — d n n o r~ m n © o o m n m m m — d o O N o d o o o o n o o o n n m on©©© o o n — n m — N m n N — m o o n m o o m NOO — Od — — NCM o o o d — m m o o o n m m ro — — N — m o m o N d m d d o o o N — — d — o N d © N oommoNO©NO o m n m N d n m m o m o Nom jt co — m o — o m m o N — n n m m m NON — m m o ra ©odmmmdONo m n n © o o n o — o — m o co o r- o o r- t- © o m jt n d n ra m N- © n m m o o d m © n oo©n — NOdinO n m m co — — o o m m m o n o d N — n « N d — — m œ o — o o n o o NON © m m — m OdONNdNrONO d — ra ra m —œ n d o o —— t- Jt — o « m n Jt N « m o o ©Nom N N m m d m n m o d o — oomodmmN m o NONO m m o o o N Jt 04 — N O N d « m n œ n N N o o ro m © O — © N o © m m n momoNdmodd m d m o co n d « © o o N d o m jt o o o m N © œ m O m o n o o m — m n o m m jt NŒdNOdNdPO — o d « m m d oo o — n œ ra « ra — d « m m — N « o n m m o — m — n ra o — o ra d N — dNN — mdm© n m o — « m -- — — r^ o ra roo4t- m « o m « m m © N o m ra n co — o o « « « CM o — rararaoNindin o o m m m œ m m o o ©©«NONNOdrO mo — — o — Noram o © m n © — m — o m m n n — oo N ra ra m o m o o d n o n « d N — mdmmooNmm oooroNinoinoN n n ro d Jt o d n n o m n n n o oo d o o o — d n — m © m o — n — — mmoomNN — — moNONmooo m n o © m © d n n m ONO ro jt Jt o m o o N — N d m o d œ m m dm — on — o«Nd dONNNO© — NOO o m m m m d m o o m n o n d N d N O — N m o o m o o — m dtONin — o« — — n — rororOdOrON — — m d d n o o mdm m d d o m •- o o ra CO lO d N n d — o d — Nooromm — m NONOotnd — con m m n o n m n m n N m d ra m— d © « O d dm ©mm© N N O O «NNrodm«Nrom CON — NN — mmON o —o m d © ra N m n NON m m m N o m — ra o m n o m — œ o o dN«ddoN©o« co — n T-.ro o o m m d — o N d o o N — — œ ro — n NOO « N N N o o d m © m © m n © — o — Nd — «oom o©Nooooo©m ra —o m d — o m o m m m m — — r-. o m N N O d n — o o — — o o Noomooodoo moNNN — oomN ra © d — co m jt — Jt Jt o m oo N d — m — o m d N © o o © m t-t-TO mooNdmmra — o — m œ n — NOO co o o — m O N Jt — O d — N — — — m in n — ra ra © o d d d — m o inmocoddrONNro d — d © o m d N O O n o o N N d — o o — NNNO«N©Nino N N d © m o — o m œ m©ONOoom«o m o o m — o m jt m o © N d o o o o — m o odOOdNOom— m o o o m © m n © o C0OON — N©dN — o o — d — o o — m n- m —n o — N N O O N — œ — mNN — — on o o ©mm© — NON N — dONdNNrOO o m m n m n © — o N m n O O N o m ra o o ONdind — N — Nin 00 — n o o — m m o o «mraoraom — Nm d N O N m n d m o n © N m o o ra n n n m NOcomomNONO m ra o m n n o m m n o — rOd«Nd — d — m n m n m o n n © o o © d n o m n d « o mo — Od — dinNPO m o m © m o m O N d O — NONrOONNN n —m n o N O O O O o d o m n o d — m m ©mmoomNNOd N N m m © d œ co d m Od©dN — 04 — N — n d — m NONO n —© m o o ra d n © OdNN — N©m©N O © © — — © — — o — — ©NoomNinrom o d m m n d o ra m O d o — m n m m m OP0Nin©N — odm 00 N — n m m m o m — o m o N — — m m — o — m m — o o n o œ m o o d œ œ © o m m © o œ m m n n co o d — cmo — ra o n co m o o m o o m n o ON© o — O O O — N o o o N co « — o m o — ra o m n n n o — — r- m m o o o m m — m o o m o o o o o m m n © d m n o m o rOd o m d N d N NOO ra m m o — ra m o m n — m m O N d o o — — N m o o m o co ro o — N O m n o o — © — d — N d nc © m o o m © o n ra t—n o o o n d NON d O N o o © n m n m —o d o m m o d N d n o o — m n — d o m —» o m n co r»-n o m — — o œ — m n ra d N N o m n m m © n m N d d m o œ d o m © — © N o m N d o n m m « c© « N m NON m O N N O CON o — m o m o mom© © o © o o — o. o N d m — o N Jt — o m — n o —N N « m rt- >o Jt Jt ooo o N « m d n — ONO o n m d d © m N O O N d o m © O O d m o CMO N — d N — o r* o m ot o m n 04\f) — N — N « n m — ONO 04TO d m n — o dN e o © © jt ro 04 d m d N © n o o m — m m N O — t- Jt (O ot— O d o o ra o o n d m m ra n JT N — m d no m m i O O N ©m © o © « — N o r- o n o N N « m « © o « d O o o d — — do ra

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF 7T TO 100,000 DECIMALS 91

POOOOdNNdNN dmroNocoNo o d N — m — ONONPOO m m NOO m o © o m o — m o

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use 92 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

d m ooNNomœo o o œ m —© d © o o mo — oommodd omœooœraN N d n m © 00 o m omoNOo»— o m d o N ■o t- co Jt co NOO — — co ro t- co Jt Neo — rooNNro m o m o d d d m o n m d NOd© — ©NN n o o m d m m — o d momoNdm©mm NdONraoom n — N O OO O O PO o N « ONmcMorOdin o ra © d © d m m o n — omoo — — d©o OPONONOON o m m m o d o —cmo m © n « ©dNoœoN— m n m d o o n m o — droN©©ood modin — n — n o — m —— m o o o m o m m © ©NNOONON ra co n o o m o o roNOomram — ora — ddmN©Nm m o ©N — d m m m © m m o « oomNroorod d ra m n — — on o m OdNdOON — 00 o — mmœmmN d — © © N N d d o — d N — d m — 0©ONON o N o « m O N O O N POONPOOdONdN — oN©mm©ra — N m © — m o N m — d o m n OdNPOOOO© o m © d o © o © m — NONOfOdN© — m omooœmom O — o —m —m o d d o n m m o ©m — — mo — n O 00 n © o o m d m o OOœO-rNN- NO — ocMmom — o — O © © d o m n o o m n m —dorn — dNroo O N dmodaoomd n n m m — o m OON N N O — O N N N — N f^^mNmm-o o m NŒONON — © N N lONONm— o — — d O N 0 — 0 m n d o m d o m m d 00 N — no — d©oom o o m POdO©©PONO d ra cm— mNomN- — TO Jt Jt — o © t- Jt — © N m © n n n — m o N © —o m o © o o — n o d ooomdONd ra — ©NmmmNNm NONO CO tO TOmmo O O N N N N O O — O o m oomN — n©o o o OOdmoorOd o o mN — mN — Nd m n n © omo Ndm O O N N m o d o n m ON 000 — — o — o a d o ©ONmmoNN n œ — mONNONO dmd© NOO d o N O O m © ra m n o n co N d dON — ro m n — — m « m©dN©oora n œ ONindPOOON mmo© ONO m © o O N œ o 00 d o ra N N — o — — d©omoo o on mmNGONmo — N N dmoNONom © o — © o — m OON — N — m m n d o m d o œ NNrONinOdd o rara NroNO©omN N N dNmmd — mo n o m N m n n n n m n m d N o m o n o N moN©N© — d o m n ©oomdONN m d 00 — 00N — m N N N d Jt t- 04 — n m — m m o d n N m o d o©Odin — d© o — d coNomooo — o m « — O O 000m mooNONom — n 0000N0 — œ — o n — o n — o m « « n m — d — — mNONin ©00 00 o o n o o o ©ONro — oOdNin — N — NtnOOŒNN © d m m m © — o d « x m o — mmo — dNN 000 d o — o — d N dO©©modNOd oooNNNmmoo m o o n o N m © m o o — o Noooocoomra d O O œ d o O N » N m — Nm©mNNNPO — oom©odood oua n d m N m d © n ae ©o oomcodraoN O N N N PO N — OON t- ao 04 — t-t- — t ro jt NN — dN©©NOO O N O d N © o m « n u. o© oœdraomm© 00 N O © O d o m m m tnorON©«dONd dorn-mdNm — m N N O N d O m © o r* o o ONNOOOON t- t- — — © o m n m œ dNdN©mo©md »dNONNOoroo o o o 0 d o d m n o — N N — ©OO— NN — O O NO — m m d d n© — o«omo«m ©NNtnmNOOON o d N d © © o d o m d d Nomdmo — m m o © o d œ n d m n N©NON — OO — N roNO©ommN©m n o o m n o n o o o © O NNPONCONON N N N o — m O N N N — dNNONmOOO ©odONmoNdo m n © — m —mmo© ©dmNONNNrow rodO©N — — d ©N«NdO — Nom dNmNN — Nd© — — O O d N O N OdNOdOOOdNN mjrmomomo mmroNNinommin oomoNN — — m — o o o m o m © odN — OON — mo o — dNrodro© o«NNomooNm ddom — o — — mm o o n o o m m © d N ooodmmd — mo — OOT-Nmo — d o o d©d©d-no — © mo© — m — Ndom m o n o o o —m jt — jt — ©omP0N©din roNNdONmo o m mNOoNmo© — © OOWd — NOOOO m © o m o — o N n m omoo©œoomin omodmmoN N d m — ommom — om OOdPO© — ©N — Jt m o m n o © —t—r- co ©«©o©No©roN OOOO — OdN m o ommodmmNNO ©mNO — dNPOdrn m m o d o o o 00© omNO«dm — dm co ro Jt co — ©o© mdomoodomo mOd — ONO — N© o 04 jt m t-ro t- o n d mN©dN«©«dd NN Jt rot— OPON OdmNPOora — 00N dNoomoom — © o n m d m © d d m o m n o o m — mom© «NN©-dd« o œ ONOONNOONmN o d N o n 00 o © d œ o o © m o n O N d ©NNmmmom m d moomoNNNino Odd O O © N N 00 — 0©NNON©0© ram — — — © — OdN o©n — nn — o m n — mN — n — © — do — © N m d O m d m — — ONtOommrONN OdPON — OdPOdro œ«dNO — — d n o N©ood©ooom m go d n m m n m o o jt t—— moomoNo ONOON — Noom 04 Jt — r- r-too jt ON NinNdNNN — mm m — « N O O d N o o dOONONON©N d©NOHlNONino ©«OmN«NO ©mm©dmNONO n otro © n o m © o œ om — Nooco — mra NdNNmmodN— dfOdmcoNNd drONNON — orod OON m o o © o o d Od — mmdNNom — — OONNONrom «dPO«PON — o o m Om — N O N d O N N t- — M1 N N d — N n o non — mdN — Nm oodmdNoooNo om«omooN © N oodOdmomoo O ©N O O © N N 00 Nd — — »o© — ©m Norad — mora-n — moNNd — « ON o o d m m — Nmmm O m m o m m m n — o ooNOOoodOm o — mmNNinoinm NddONmN© n d ONO — m — moN« oom o m m m — OOONOOdtnN — mraodNtnNmrao o © o © © N N d — O cora©- — NOdom n n m o m m m O NN m m n n n © m m N JT md — dmrod — o© O N n m N o n o m o mdNinoOindNm O N N O — m o — OO O N « N PO N « d m jt m n — ddmœoom © N O — 00 O O N — O 0©«Ndd«ONN OON© o m d — m — OO — — mdm m o o — N oNommdöm m — o m o © m m m — — mcommoooNN N m o o oom n « m omoo mmo © m jt NN omm — 0000 0 — 000 o n m © — non — Nommmo mNO© d o m m o n m o n m o d m « o m O N COOOON — OON o o m © n © o m m m omNmN©©o — — d o « o © m m N N N N NN N d © m — m n © m n — oomodro O O © N N m — o d n NNmNONNO©N m — d d 0 — 0 m 00 n m « n m « co — d — ON©NNmd roo « o d m o œ m — «©m — N© — ON« o — m n ©mm OdN m © — © jtt—

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF 7T TO 100,000 DECIMALS 93

_ — t- o N d o d mN m© o n n — d d n m ONN© — O — NOO n m raraoooNOd co o© O O N N m O — O O « m n n n © d m m —©««omo om© — mmoo©N o o — ddNOOOO ONm d — o m o o « © m m m m NOd — O d o m n d — d o NOdmdNœoOd © o rOt'04Jt.t04JtJt N © N m o m m m m « o n o m « m n « d m o m o — d m o n ro — t-JtJtocoo-Jtr— O N — NNNNOOO m n N N d — m — o o d « o N d m o — o © ONm œ o o o d o o cocMf © — d d © o m d m mdmomoom N O Jt Jt ro o o o m n d — N « — co © m o © o « m — œ — N N O N mom — «œ — m — n o o mNmino©rOd o o oom m Nm om d © o m d « m t- — m « N N d m — n n œ m m — œomommœ — m n mdmom©dm o o ONN o n m m n — o d — co ro t—m d n o m N N m O d N O N dNNmoo — ooo œ — ©O©OOP0NO œ o 04t-<0 o © o N N o « m o o m m o n d n m d o œ m o o o d rodo — moNNtno o o OdOOdindN o © o m — N O — N O — m d ra — — N n « — © o © — m o m ra o n t—— od©oraœoN cm— mmoom — no o — NN O m m — o n — Nd«dN«NoO o N o m o o m o d œ — m — O N © N © N d jt — mNoodN m n — o O — ONONm© mOdO©dN«ON d o d m d N d m o N ON© t- O — Jt O* — Jt dOdmoNNm O N N — d — ONONom momo«NONN© — o o m t- (O Jt Jt o m © o œ m o — o o d o oommooNN CD N n m — — — mommo ©Nm — «m« — on N O ra n — t- 04 COm n t—ro co m m — m n m n OtnONffiN© — n m omoœmNd- m — NinmNmNON ON « o d d o m o — ONN — © n o d o — mmooN©©m œ n dNmomœNO NOO — ONm«o — N O N CO« m o n o m 00 d N — t- 04t- O d — n — doom — m m n O — NONOOin mN — NNNNOdO d o o m d — m m œ o m n m — — m — o o n dOONOOOO n © m n omomoinrON d©mo — n — oroN ■ — N » n m m d — N m d N o d N © N o mmNOmom© o d — m NOONOœCOd N — PO©OONPONN t m m o d — N o œ ro — o — o n N m m m d-0©d — — OO m o m d ON©000©0 Nroo — © o © o œ — r « m m n o N m o n m o ra N — N o o o — o N © d O O d m o d — t- — t— Jt 04040 — © O O d N n o m o o n o — « d m m NO« œoo m © n o m m œ O N o o © o m o d ra ©omm©œoo©© d m n o — © o © m — m n o N d O © o Jt ro ooo m — o d d o o m m o d © m m o — o O — dd©0©NNO o m d m n © m — m n n œ n m o m n d o m dm© d o © m o o d o o o — o o o ra o ra roroo*-04 — jt^omt- m d o m o œ d o m © d o « © n m m œ o m — © N o o o o — o m N N o o m — OONO nooo©oooo© m d o o © © o — m © © n — d — n m — œ m o © œ m — o o — N N n m n m d m d o N N ©dO©ON©OON ON —— N o o on — o o o o o o —ramo t—cot- m n n o ONO N O Nm N © m N N o — m — — Nm — mœo OON N — O O N O N m o n m m n « d o o N m m O N O d N N — m m œ o O — JtCOjtJt Nmo —©o — NO© — m m o m O — N t- Jt n œ d o NON mmo NOO N — N d ©dm m n m d O o o o d o NONNOmrodOo m d m n o m n d o o N m © m d m m œ o n omo m n o o ooo o o n o o o N N O O OONON — NO©d ro O CMO — N N o m o mo — o o d œ r- jt o m © © tO^tOt- OON o m md o o ao Jt mro ddOdNOOOoo CO tO Jt — t— 04— tO d o ©N-m — Nm© — « oœraorammo O — n d © © — o o NOO mmomomoœoN 04 O* — TO t- t- Jt COo m — OPOd — NPO««0 ddooodmo o o m m o m o m n — NNrONm — omoo NdO©rONNN o m — m»— NNCO — CON — NNmoNcomco d — m n n d © m o m o n drOdON — omoo m — ©om — nn ON nn — momodN — — n nn jt t—m —N O N N o n o o N n m m ooommroNoom roNommoNo O O «ooom — ooo«« NNiOPOdO — N m œ O d n — m — — — — o — o — oo©noon mmoONONOd œ — dmœm«N — ©« — oo — omm — m n d m n o o ooo N d o œooNOtnNmoN KiNNONOOro m — «moN — t- Jt -ot- Jt t— 04 04 T- 04 Jt — Jt d m o o n m — d n m o n moOÔONNON© «dNom«mm o N mN — ©n — ON©m NdOddNN© — © œ n m o m m n o m n *-JtJttDJtJtiOtOO^ dmNmoNN« — d «m«NNNOOON ONO — Ndroo « d d — m — œ o d n m — NdN«N©momN oNN©ONom m n OON« — O CM© o m « m — mooodm m o o n o — n n m m ©NOdomodom moNON»rONON N o n m o d o o t- Jt — N m PO O N d N œ n t-r-as jt o m d n — — md« — N«ON dmmmm — ddo — m d m o o m — m O N dNNOomœmd© m o n © m n m d o m mmm — md — Nm« — ONNCOmNNNN O ONO O N o m CM— moœooomdo- o o TOiA Jt in ra o d o — ONd — — OONO NNN — mmoNtoo n m m o o —o d m o — NP0Nmm©N — n m m © d o m m ra m o ommooommm© œoo — — d m n o n n o m o O N N — d m NN — — N©©oom o m m m m n t—t— — — o©œpoNmmmod NinOPONOONOO CMO CM— O o o o o N ©NmommmdON d N n o © m n o n ra m© — o — ooo — d m — mooN — NfOO m ra m m d O N N N o ommdO—Nddo — m — o o —n m m d NNOdC0O©©©m n — oroomNNwm o o o « o m CO N d N mroddmoomoo NO © N Jt 04t0 — ©NNmoœmoœo — œommN© — no m d ra m ra- m d — d o — dOooNomœo m jtt-f- o œ — m doodo — omd — oœommoN©Nd Nm o œ ro— N d n œ mm — mN — OONO m n m o cm— m co O — ONddNONN n m n n o o n œ o o m o o — N N d m n m O N N O ¿r m N N m m oramNNdcoo podoooo — o — m N O — O © — o d m © mNO o n o m o roto n o m o © o m — — m OOmNONONd ONmmNoo — o — N — O O © d m m o o OdN — d d o m m — n m m m m o o m œ m NNNOOOO— omomdmNoœm œ m œ m n — O O O d NOO n m o n œ d m m n m d n © œ n «©«—mmo© oo — — o jt m œ o o o m n n o m d m o © — N N m o o — m N N ©NNO o — d o œo«tnNdmm moNd©©o-do O N O O N m n m o m O — N m o o o o N — o o O O © — m — œ o ©N©«m — NO dOtn©mNP0o©o N O — — 00 n m n m o mNO d n o m © © © d N o m n m — d œ © o — moN« — d œoooocooNNm d — o d m o « — o m N — O m m o © d d o N O o — m o ONmo mmm — — no — mmraraodONNo o m m m « d o d m « NOO d o n o m — m m o o d m — o m m o NNONmm — m oNddmoNdN— o m m n « m o œ — o d — — © N d O — m o m o © d d m o d m o œ«nm — dN« m m n — do — ONm — dorn — — o d « d o O O d N o N N N d oo — NON — ©N© — NOOdPOON ooNooNodom — dNmoNdOomm d o © o— d — OON momropnroN — no NcorON — ro t- t—o d — oodinœmoddo NN — © N N O PO O — m m o © o —o d m o m n m m m n — m — m m — orocoracoN m o mooooNo — NN ONcommdmoNin d O O N N O d d m © — mOOCONdCONN N — NtON — OO — m PONNONdCO — ora incoNmomomcoo d- o m © N- N jt m n n oraom — Nooraoo OOPOPONrONN n o — — no — odroinro dooomNcoo — — N — — N O d o œ m ra — moramoeodcoN mNO — odmo — « Od — OONCONOO 0©NNiOONN«d m m d o — n o o — o NONommmmœo on — omœ — n « — ooNommoinrod omrooo-N«dd œ o d o — o © o © © — dm — oNo — 04 Jt C0m©NNddN N d oom- coNcoinNinm oomm — NNro — o m m o m o o o o m n dONNin — m o d — oorooooNO N N ra — NmmoNdmm domNinNinN«o int— Jt m — n O d O d N — œ©N©o — œo ommooomN m o NONUtO — — N — d NinoraroNCOd — o — — O © o o d NNO — œ — omNco — ©n o — rodONrnodO CO 004T- 04 a d o o o moN — NNoin d m o m m n moo n © o m©mNN — rONNO ONrooorod«NO p- O ON NN ON— d mmoooddd o N n œ N N — TO04 o © d Ndm — — N N O N — NommN© — m«N © N O N PO d m m d m odNNmomN N — n oœ o m — n d o © ONdONO — oœo no — ©Nminoœm — o o d œ — d m n — omooNo«o N N moo d NO© O N N ooœmNOdONm «o©n — omm«m o — © o o m — NOO ONOO — O « O — œ n — o © NON © O O dtno©m©ONOd — n©oo — dNino m © d d o o d O O O «m — © © O N N o « o m d m N O — d O O mmNPONOooino Ndoo — dmmoo n m o m o o d n o m m©Nmo — — œ — d n m o m d o — o m d mod — d©NinmN jrmN — d m o © n © o n o d o N n — m — © — omoN©N ON ONO © d N m — o o NinoNomodON rONNONmrodrom o o n œ o m O NC0 N o — NomNm^ m d n o m o m d o O — N — mmoomcoNON mm©dNONON— o o œ m — n N O 00 O ra —d m o o — n o m mom N m o d o m m — t— T—— — NON©N m — oœ — OdinNd Nmo © o — © o N O o — m m « o « d m n n © m m — o © d roNN — omoN — N d n oooNinmd — d O O n o m d m m m NOO d © © N N NNN © o œ o n m o — ©OOOOrONNN o N on œmN Jt jt ro tO—04 m o o m o N N o m m m m o n m m m m o d o o m m n OOOOOd©NdN o m œmmdmœœd N GO d o n m — d m o o m © « m n n « m o o n — o o o n m n o omoomod©o— ON dmoNOoeoN m o d o o — N N o d « œ mom © m m n « OON — N o m — o o mmmd — mmmo — m n o — ONm — © — N Jtro N o n m d — o n m m o d n — d m o moo N O o o m ra o oo©omNdP0dN N — Ninm — omoN — N — n n© m —m n © m co iO ro d o n o o d m m N O o ra o n o œmdœomNONd O N Nomm — o — o d o œ N O N — O o m m œ m m n Jt >Ti 04t— TO © m Jt m m m m — n m oo — odo — orao N O t- 0>i 04 t- O Jt 04 ^ o m ra © œ o n m m m « © o m m — o o « d — — t- o o m n o m ra œo©Nm-ooNm — N o œ o o n © — o ONN d o m N o m o m n OdŒNNOdd ONOcomoomraœ OO — ONOOdOO d — m n o Jt Jt co — — Nmraodoomoo © © moNPONinom ©ooONroNinod ora — oradONO- cmm — O N O O O N d NOdNKlN — NNm N N m — ©NN«©N ©œm — on© — t- ro Nflom — ooo — m — o m © d o N O O O © No©dm — mom — — N NOO«0«Nin mooNPO — m — o© omoo — mdNmm O n o d d m m ra d m NNNOmNdOOO — O oœ — m« — no NOO©ommN©m 04 ro — OOm — SCOT — m d © œ d o n o — mmmNddN — ©o O « NN — N«ONd N — o — — omoom m — momm — Nmo cm o o œ — m m o n n NdONdmœmom — o jt — on — Nom mNN©OdN«om mmNin — rodNdin m o © © o o « — o d — ©©NOdinom — — o m©iON© — o — NOdomom©dN rammmdcDNOON © o m o n m o d o n ONd©dm — d © o m œ ON«NNOd« NGO-œoo — NN — rodrom — mNm©o n m © o —n n d © m Ndoo — mommro O N m«o©mooo mm — ONmo — do NomoN — moNO n d n m © n o d œ N NON — OONrOOd

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use 94 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

dNmmdoooNPO mNm«oram«m« ra n o N — N m n d — — m « o m — m — n o om — dd — no — o ONPomopOd — oo omN — coomN«o — n « m o o o — O 00 d o — dm N d n N m oooNN — oooomra NOdrodOOONd mmmN«« — t—— m « o d o n ra n m — — r- — d — m m m m ra o — ra«NoocoNdm d©o©OdNNNu-t codNdcodO — r- ro — d d o — n m o n o d « « © « d m m — o ©ONomoomoo dNmoo — ommo — ooN — œo«mmN d — m « o n ra o n o m —— m « o m m o n dNOmN — NdN© OddNmON — 04 Jt mNooN — mmmN m ra n o m m m o m m m d n n m o o m o m no — «m«©©om jt 04 04 Jt iO — — mom «©«ON«inONO m ra o d n o o n n m m « jt Jtt- o m n œ m m©d«moNoœ— Ncoo — m — mNoo ONOmOdNOOO «omo o ra m o n d d m m n o O N — O O oin««oorOd«d GONmNomoNOd tn«tn«©ONinm« O — N O 04tOt—tOt—jt m d OON m o m o o dmood — ©m©© dooeoNmoNmom omooNO«orao o o o o ra d m o m ra o o — m n — m — oo m T—04TOT— — corOjtJtro moo mmo o o o m m d o n m o n o m n o d m©Nmoradœ mom ©ONN ooo m n o o d o m m — d o co N ONm co m © o n o — co n m — — o o N m ooodindom mNO m d © n — d o o N ON« — mmoo o m œ ONm momo m o ra o o d ra o d N m m NNNNO — mo — m o m d d n mmo n m © O O — n ra n o — m m co t—to — t—otro — o — N — œ d « o m n m — mmNONON m — © ©Odd o o œ © —©mm m o « o ra to Jt t—n o m N N N N cmm o o m n d o n ra n —mNddNodN © N N NOO© o m n m d — o m mmom© CO N — m on Jt CO t- 04 m o o n m n o m o ra d O co — dONinm — — « d omm —d o m © © n m n m d o m m CO — O o o ra o o m d t- 04 — — — m o « m « o — NdNOONdN NOO o n o m ooo n m mmo o m « « n »ON d o o m n o o O N O O o o o ra m n N O — ©romoro — n O © © d d d o o o n m d — ©mmo co d — ONN cmn m — to ao — m d N o o m — O N odom — nodo ooo — omm — « — o « n « n œ m oom © © N m — © œ œ o o o d œ d N o o N O mm«mNNdo O O d o d d m N N — — CM— n m o N oNPomoom — om n © N m N O « Nom modNdoo — — o OOONrOO — NPON N O O N n m — N d o N©m©«« — mdm « « N o « m N NC0 O Nomm«mo — dm dNomo© — mNO O © m o N © N O © N jt — Nooomo«« o o m o — — m 04 — Jt «oomNmmmd« moNdo©raoodm N d N d d d n N « m OONON— — NdOO N m CMO — O — — m « o — ONfONinO — o inNora — mNNOo O © o m o o o © — o N« — NNinNiOdO « m m n © d m o o © N©d©©0 — NNin indooroNro — — t— m m o — « « d « m « ©NO — — lOdNON n m n o O d o Jt Jt O o©omo«roNinin mdmod©om©— m m o m N — n d n m NOOONONNOm N — Jt t- C4TO — m — o «NNN — omm — n ©dom©m — OON m œ — o m « n d o d oroNin — omdom O « m d o m — o o « ONNdmmo — — d ©oopooponnn — o — o ra m N oom« NmoNN — m — — o O N o m d n o mom mNmoooom — « NooodNomom d d o ra « o — d « N nn-mooNorao N O O O O N O o d « ON©o©OdNdd o«d — ONdm©m m m o o o © ©©NO o d œ — d o œ n o o ON©NNN©ONO ddNoN©mmoo d © — N d o m n — d d©mddPONN — N m © o n o o N N ON droroNON — noo ooNtn — omm©m o d O N d n n œ o d «NOdmœmoNro N © O N N © O N N N ONON© — ONN — ©NinN — «mmom n m o d O N d — N O — o d o d m — o — « NOO o © o m n O d omd — inNoœoo d©mN©N — ©md d o o — m o m o om — oo — — — mo OOO d N — O O — m oramommod«« d«mmdm©dON o © —Nmmmo OOONON©ONN m n m O N O O O m m O©«NONNmp0N NdNNNOOOd— o Jt m « o m m n mo©ONdmdoo ©NO ra o d o ra o m ONmNN©odd— ro ott— — on «n mN m m n o m n NPONN — dPOOdO N m n m ra m o m n m O — ONm — NO — o — — m — d m o © m n i d d m d « o — o O©©ONP0P0d©N d œ o o — m o o n o mOOONNOON— «oNmmdddNO > d o d « « m m o ONO — NN — NON mmm œ œ o n m o œ — oomm — do — d doœ»-om — ©mo r N o m d m m n o N©inmoroN©roin o n m N d o N Nom n n — ra — o n m m o — om — ©ponooo N m — m m m œ o — d inOPO©NNNPONN o m d o œ o o o m © cmo o o o n d © m m — n n o m m n o o o © m —Jt 04 Jt Jt Jt 04 O d«P0Nd«o««m o m © o o n o — oo ONONN—n—o— doooNm—oom © n m œ œ m m m m — OPON — N PO O N d O o — o n m d o O N d n d d m n n « m m © n « n n « o « « m m d NN m m « o d n — ONin«o — ONom œ n m œ n o n o m — «nramdnoomn «o—©—mmmN« mmo n m — o d m n m — rot-^jttojtoro o m m — m o m omo N « N 00 — N — 00 N N N « N © © O O tn O N OON o « n o m — o OOdd©dOd n — oo — — o o © o — o mooN — OdOdd o « — o cmo m » o m JttOt- n « m © m n — n« — m — o©oœ« d d d n o o o N N — — o — d o m o ro o n tot- — ©ddmo — o N © d m m o m © — n NNNfOONNin« — n — o m d — o Jt mro oomoomoN—n nn—ooonno© mNO « d o o « d n ONm — d © O N N N — n d d © m — ONO omdOdoooo — d NNOdOOONdm NOO o m « m o « « jT o — Nm«©«© — n o m N N o — m — o n — o ©NO m o © m œ n odONONmm n m n « d N d — o m m © o m © o d d — N O d OO Jtt- o o o — m d o o © o — do m m o JT — NOONPON d o ra d n m © © o © « o d « © jt « jt o œ m n — o o o N m ra © d N N OON n œ N N d m m — mmmmoo ONO « m CO « « N N oo © N N « n n d m NON© m n d d md n m m © N — o m © n o o on — — o — mo O — N N © o — n — m m m tO N N d m n — « o d m m m d — d jt o moo — 04 Jt OONO o —— N-OOdOOO — — t- — o m o n m œ m « o d « d n o N N OOO — m d © n m n n © m m n d o o m o — o NœONdONN o O o d © n « o « d © o « « — d o n o m © © © t—— d N CMO N o d — ONm _ _ r*-o o d N©NNON©m m œ ra o o o o o n ra N d o m « d d m o m N n m o m © o o m o o d m o — © o N d d œ — dNino — ©Nm JtCOt- d O ro m d « — Jt N « œ n o œ n « m o m N N o — m m ra d — — m mom d d m m © — oo©©dO©— N « — © d m m m n n m m ooo m « © m m ©moo n o o o m N d o m 04CDt— m o N m O N roN — mdNdN o m n O — O N O o m » © —m N N N o ONN O O N N ooo mm©© — odNmo o o m o m — omm o © d o o ro — tn Nm — ONmm — Nd o d © m — o m — o — — Nommmddo — o n o — o o o m m n OONON Nmo t-t-04t0-tOjtJt — ro d d m co o — m 04 00 04 — NoœcoN — Nmo o d m n « n m o — o N N o m — — o t—roto ©mNOmomœmd m n n m © o o d m — m — moooNNooN m n — m « — —ooo N — O O O N O TO Jt04 — n — o©modmo odd o dm d Odd 04 t— — NONOOOO m o m m n m m — oo o O Jt N m d o n ooo «©« — m — mN«N n m n m o — —mNO omom — — m — om o o — m — « n N O — N — — m o n d Nmo NO«raN00G0d — « oom d o n o d — n moomraomdora o m m d m m d NON — O o d © m o NNN om — — mo«o«N ta Jt — d n — — d n m ooomoooNO— m m ra d « o — dNO O © N © O — N — — © omodraNdN— m Jt 04 Jt n o m m m co o dmoommomdo o œ n o m d o m o n © m m d o o © O — — dNrOOOPO — CD jt t- n n m o o — N moo inommmNomN© d o o « d o o — rao © — O O N © O ©NO omom — — oodo d « co d md o d © o 04 Jt — oomNino© d o d N omm NOd © m ooœNOddO n o — N — Jt Jt o o o o m t—r- o m m m m o moomNNm — no o m o n m © n n m ra o © o — orONmoN ooo © d m o o o — dm o o N O O O m — ommomoNinNo d — o o d o m o ra n o m NNOOdNN— 04O Jt o n o N d © © m —m o — 00 O — o o ©NNdin — om — n o o m n Nom o d m o o NNNOO — m — © n m n © n m d m œ m o o — O — o d © o NrONN©© — CO Jt Jt n o m o o © m o « ra rot- doo — om©o o « o N N N d N o d m n oo N © m m o o mmraooo — Nmo ONON m ra m « lO d eo N t- 04 t—t- ao t-t— — d « « d — m o — N d o N œ d N N O O m n om — n n Jt Jt t—ro o o o o m m n ra « « m — N om©NNm©d omd d © o m o N O o d o o N O © O oo Jt Jt — NOOOONO o ra m m O — d mdm N N ddmo — minm o — © o o n m o — O o m m o NO Nd NN ora — raoooooo O — O N n m d oom — N ONO — d — ON n œ © momo —co o o m o —d « mo N O o — orad — Nom — — m o © © m © NON N N NoooraoN— « —m m o n — o — m o — m©dN — omo N O — O O N o m O N on — — oinmrn NOdN — — 03N — O — ON©mo — d n — NNœdrn — ©m in jt m o œ OdN N.N roNrONO — «o o © N««oodmmomN — ©orONO — N — m©o — m — Noo CMO — 00 O n œ m n o — OONincONdO œ m oNo©in© — om — n m — dmomNdO mmooNd©moN t- ^ Jt Jt \n o n o © o ©NOPOdONCO o © ©N©om — d o © — o N m — romcodON mmo»©omo — d m — m n d n n m m — — N O O © O N N d N N«00©d©NO— d o m — N PO O N N N o««««dOdmo m d o ra Jt — o o m n d®N — mNOd m o N«©o — oo«md N — oomoNomo « — ooNmm©d — © m m © o « © d n m — m« — m — Nd m — — NdfOin — dinmd N O o©ooo — oo orodd — Nmmmo n o m m n © m m m o — NNOiONN — n m CONGO — — NmNOd O N oo — pon — mo ommdNddmNo m o o n m o © © m « doood©om n m ONN©NNiOOO© O N o n ra n — moo ooooddmram— o ONm N d m m m d oNNdmod-« m o OOONONd — ©© O N droraooN©N — o œ d mom Nmo o n — m « m o — m n « ro t- ro o « m — d o © ra o o o d — ra m d o co ro ro Jt m jt*- n m m d ra m m n — — n © omoo — » N N — N N « d m n « dNO d n o m o — d o n —m m o d d — m © o © n « «NO o — o o m o n n — o N N d © N m m « m « — Nm — ra n o o o ra n m — m o n — m d N o © ra ra N © O — — N d o m d mmoo o m N in N N — © n o o ra omd o n n m o d m © N ON© o o — œ o N — — o ONO N 00 « o m o n n n d o — o © o — tOOttO cm— o o o — ra m o o n n o m O O Nmo o n o N N m » o m 00 — N n oo ro d d o n o mN N m n NON mm© o o m n non m n o © © o ra m o d o m o n m o o n —co m «mm 00 N d ONmo m o — n © N « « O O d — m n o N œ n n o n n n m — N © d o m © t tn Jt ao Jt o m t—ro t—œ m m m m d n — ONO d N N dO « © m t— — TO 04 04Jt — o d — — o d m m o o m n œ o n o o d m n n m NON d o N N o n m —O N NNN ©mm «ramo m m n n — m d m — m o o ©mm d n d m m ra « © o o n « m — d mN m n m n n m — mm moo T-tOJtifí ONN o m n o © n — d o NOO m d d m o

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATIONOF X TO 100,000 DECIMALS 95

m n d « d ooo«« œ n m n mom m o n roinN — jt jt — NOd © — d d NN O O O O m n omm © o m n o ra d — o N O O « o d o —© N © n m d m n N«00»-dNN — — — o o o m o © d — — d — non m d m © o m « d — n m « m m © ra —d o OdN N d N ON©P0NN« — 04 Jt O d — ONO o o o d — m m o n n do mo n m « o —n N o d © n m o © n « m N — — — o — ©moo©N© © d o m n m mmom n m Jt Jt co d © o œ o o m m oo N d o « m N O © o © m œ moo COCO— dOOcON« — « o o 04 t- Jt — © « o m dm œ © — — o d d o o © — © N ©oom« N m o o or- Jt N m n m — ra — «PONdcoin © œ ©omo n n d m o© o © o TO 04 — — Jt cmo m © œ t—to r—t-T- o m m n « N N o N d moNONO — ONm jt —œ n © — o m n d o m n © o n m o — m n d « o N « m — m — n œ © « n o —d o m ommm — dN«o — jt œ o o o o NOOO d © ao ot Jt o o n o d — jt t— — Jt — œ o m o © © — N d — o dm© NO«0 — «NC0O« N O — o m œ o — — d « o oom m — n o o — N d — « tot- — d « o m n d oom o « — ommm — raoNOo ©OON m — m m d n o o d m o o n m m o — m d « N — n « NOCONN — «ONd o o n m ra — o — o m n o — ON m m m o m © N mommmddO oo n o N d o mom o — mœ« — NN«d o m « « N n d o o m d o Nmo m n o n m — © o©nn — m — o d m N « o © œ dNO mo — — — dPONPOO n o mom m d o oo d d — o m « d © o o o o m N — OOdNCOPO n m N O o m —NNN Nd«o — NOdinin © o o m © m m ra co o « N N m m N NN « N ro- »n Ot N O — « N « N © m o © « N N « © ramN — «m«m»d © © n « m co o d « m o d — d « o « — d m mo — m — œo — d « o m ooo « d O omoNNdOONd — « o « © o © d m m — © omd — — — N N ©d©NO-oo N « m o ONN — « o dm — «dooo««o « © ra co © co o — — m N d o o d N « d O O od NinrONPONN© « d m n o œ o m d o NONCONOOOmd œ n m d o m o co m m O o — o o m N O N N m o mommo — oo « m d o — d n m — O — NNPOPO — NO m o m r CMœ « n — o © N o m n JT » — « N o N Nd — omoom m N œ o m OdN oraœmm — onpo» — « «mm o m o o o O © Nom — m o m n mm NNNinNfOdm o — — m — ONOmo d d o d o t— ^ t- dONioN — ooroco m m o m m « m N N m dtn©mooo« « m COONOON— O© — o © œ o © d © OOddNNNinONN m m o © n m o o © m o © m o œ — — m — m ©ON©Nmd — dO m m d n m © — m NNOomOdOON m m NON — — oo- ddo©oN — « «N mrONNininNOd« m n o — oom © N N COiONO — N — NON o m © o « m m omo «Nmo — n©o o m nn — ©momdoo m m m co mm© © o d oodooommNd — N « o m m m m ON — œo«oodmm o m nnngonnon- m N N o N ooo — N N mm« — ooomo« œ © o — m o —m — m œ — t—co co ot — — © o ©mm«mm — nnpo m n m o d m m ON« ONin«N«m« — n n m o d on o d n m dN«mmm«m ON o©domomood o N o d m o —jt œ n — oooodcocoom o N d n œ n o o o œ rot— — m©moN o o Nin»«in©m — — — m n m o — — o mNO n — ommo — eoNin — o O O d © N N Jtt- 04 00 r- t— 04*- — © mN dN — œ — o o d d — o o m — © © N — ^t- «Nmdmmd — om d m N m o d — — t—m o©d«od©m «N m © m n œ — o ooo « m m n n m ro —ra m Nooo — om — ON m m o © m —m m m ra omœmNNd« — m o d o N œ © n — JT N N O PO N d co O d N — OOC0N©ONdNin © m o n n m NOON — jt o d n » — ©©o o n d d jt Jtt- CO — O — O O o n m N O o m nn — NdNmoin© Jtt-COO't-Jt o n n o NinœdoinmmNO n n © m tO Jt to o © m « © © © O — O N o N PONOOOinoœdO o — o o ro d o— d N oo — N©om — mN © o © — NNN — © o •otor—jt m o d o d o nopojtn-on m — O N O O O O m . • N OOOrOONN — ON O © N N m m n O d « m n n m © o — © n m ONN — NmO — NN « m — « © m o d N d Noom — o n m d m d — n m jt r—t- d ra N o — o m d m © m ra m © — dNO — OON — m n « o œ m N d m m d«©œ©dommN d © © o O d — oom — o « œ d O N o ra o droN — © — dNNd m m o — m ra ra ra n œ oNdN — Nmomo m — n © — ON n m m o ra o o O O N N o m dNinNinomd«« n m n o o o — œ n © — ommdNO — dm d N O N N d O Nmo m o n o o o © —o m ©NdroNNroNind oo n — m n m n — o m œmN — int- jt t- — as m r N N m d o o — — mNroNdmoomoo n m omd » o o m o — o ON© n m o m d œmcodd — nnoo — d 00 N m d n œ n m mmcoNN — n — — o O d d o o m d d ra ra © o moo m d © o m 04 — oœoooœœm — N œ œ o jt jt — « m Od — Ncoomdo — œ œ CO — N d m jt o N o o t- — jt o m m o m — NNmmdmomm co o N N co o ra m o n NNmNdO — in n m N N 00 O O O « N « O N N jt roto o m m n o m — dmmNNdmo O d N O m — — d o — ONOONd — ©om ooo — d o o o — m © o o ot otto to Jt mdooNNindtno o —m o o œ N d N N ONONoom©mN — N Nmo n — m m o © m © m o o m o o d n — NinmooNOd d — œ m O d — O — « mNcoœmoommo m o — NO m o m o o n œ d m o o o n o — NOONOdd — ©o — O ra o m d d — n « ONONdPO — ONO o m — NO m o m n m o o Nmo m o d m m œ — n t-t-r>-1- ro co ot — N œ m m n ra d — O — 0©N — Jt — O m o © — m o n — o N d o O Od o m m m d od — owmmdON N d N N N n o n n — — ©mmoo — NNN ra œ o © ra m N N o o mm NNN © — d o m ONNmmmoNoo N N m — œ œ m œ dOdN — Nm — m© ONm n m — m o co m — m — ©Nroommo mNNNomoooo m N o « m omm — NNNOdONOm d m ra O N o m — o m © — ONmraoNNo md — roNN — oo — OO ON« — N « mNONNNNŒOm dNO o m dN N N — m n m — ommdON omoNO — on — o © m Nmo d o œ PONNOin — ©NlON — o —ra n corot-otJt N N OOONONCOmo t—— omN — nooo — m o m o ra co ooo — — omodNdPom 00 N O ra o O O O N N — m — d — Ninmo — rOONNin — NNON N N n d NNN Odd o — m©œ©o — md dmd n d n n o m d o m oPONNOomm ©NNO©NrOdino n m © o m — oo m o — dN — omo — om© moo m o o « œ o m — N — CDNON — dco ooooo droroœo o m Nmo NNO dNONN — dNom orad m d n n m — œ — O raoo — — — m — ©ONNO©N««N m m n œ — — m o dmONOjT©ONO ro ro t—m n o n n m N O O mdNNONinœ — ddONOd©N — o œ ra o o o n ro mm — ©ddinoœd — N m n o m o o © m — moNNmmm inœœdNdNOo — o m — m m m ooo o — mooo- moooNin mNroN«o — cono m — o m m o —ro ot jt jTONrodN«d ra o n m m o —© m o oramoraoraoNm ddinomN«©No o m n m co o —t— n d — — NoominjTtn ra o ra n o n co m n n mraoroooo — on ©NNONmo — mm m © o n Odd — mm o«omNdON d d o m N d N jt — ro oooommod-o« moo«N©«o«« m o o n N d O © N © N — oooomdrod — d d n N — N ooo do — dm — raooo — — œ©mœ«NON — o d m OMtO 04 d © © — o — NNNdmo — N d N N o — o d CON G0OONNON««N — ©oooddmoo — ooo mmo — © N n ra ram«omomm — O ra © mom jt o m o — moom — ooo — Nd©mmmmoN m — o o NON o — m n m m—-Nm«mo — O œ m ONO — NO — moraocomra — — droo — o o m n — m n d d o d m n m n © o m o«Od«Nmd N d n m oom — Jt CD inNOd — Noorad Nd — rOONPO — oo N o o m N m « mNO n ra «oNNmmmd N O n — mom m o N minNcoN — omd — ommmdommom t- 04 — tO OON oom NN «m — m o o m — ra n m d O N o m ra o OOOOONONPON o n n n © m o o N O œoo — — mm ONN NmmNmNNm © N n o o N «mNm«dNN — n n m d o o d O N — m o o © d — n m — O — O N NomraoomN o © N — m ra o m droNo — Ninomo o o m m o o O d o o n o m n m œ n mora N O dinNdoo — n n ro m o o o ©mom dinNoroNommo d m o — o —O N N — œ © m n — jt O ONO N 00 « « N N m N — m O Jt œ — o m m n d o Nodo«m — — NGO m n o o N N m d m m d o © n d OdN m m ocoNN — raram Jt o m m n m d n © o «« — NmoNood d o o m o o o o d o m n m o © — n ra n ra raommoodd m o d œ n o o n o o dOOOONN — NO N N N O N N N N o — o m m d n © o « d o N N roNN — momra N d d O œ d o m o d oooraNNdNdm n m — n — m d O m — n © o — t—r-o ra n o — N ON«dmdo— o o n n m © No«mNinroNd — m m o n o o O N NN O « O — n — m m d o « N NONOdinN« o o o d o m cmo o o pON©NNm — omo d n o — ra N o d O O O N © œ n ooo m — omNm — ONN o © n — Nom mNO o o d d o co o o n m mOON©NO©N© omdoooNd — — ONOdOdO« n m — o jt — ^ m d d d © « dNO — ora — o — no«« — œo — d — d«0 — ro ro m m ddOO« — JTdON © œ m m Nom m m © — cm— ra m n d N N N m — oo — ooooo — mN — «d©m N N «mm — « — — ONm o — n o ONN moo — d O moo N o » m omm — mdNN©N oomdo — — — m o o — mm — «oomdN O N O O ooo NOO oom orao momo d — omdNdOd© NNOOd — mN O N « — ddON©«o« mmm© OON m d o d m n cm d — d — o N ©omo — mmd — o N — dNN«POd m m ooo©moNNOm © — mm m © m m m d ooo oom — o m © — OdmNONO — o oomd© — do © m ONONd — 04 — ON — NON dNO o n — d o o d d m n m o m on — mm©NN — œ Nom — «Ndm — © on — — d o m m « o m n m jt © o o 00 Jt t- — ora — m — © — ON NOOmO — dNON NœommNO— d o omoNmmNd — d m n m © o œ d N O O m n m ooo ©mm© OdOONNOd«m o — dOind — m m — ONommœœmm— ONN — o o o d © m o — o o o n d — m n N — dNrooNPO«in Odd o d n d — n o « n n m m n n n œ o o m — o d o N — — m m o m m o m NinodNONNOin Nmo o n m — o o m o « m o Jt Jt Jt 04 Ot Jt — NO NOO œ n m m n o m n o o N o ra m OON«N©NNincO ^ — ro m d d n o o o « o — m — N N 00 O N n m m oom — n m m ON — m m O N O N O NOrON«Nd00 — — Jt Jt 04 ONON© © N — « — N m d N o o — m — o oom m . ■ co NOO n — ^ ro o r—t— mo — omdrooN« m o n o d d d o — m ommo ra — — m n n — NO m ra m m o — o OOO o —o o m o n œommom — o — œ © n m n m o d o d d n o n m o o m n o ra ONN n m n O NN N Nmo m d m — o co m © O- N O N m — NNO moo o — — œ n ON dco — N O N N N O O m o d n m m o o — m O CON o ra n d d œ ra om©ooomo — — n — o N o d d m m o jT — N O m n o o n m rO in m ra d o © © — d moo o ra O N ©N O oNtnodONinoœ NOd ra o © o œ ON N — O O n o m ra o d Jt Jt — m — m d oo o oom o d — n o d d mmoooN — Nmo m o © o d m n — — o — n m » m n n m o o

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use 96 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

o Jt œ m n m m o o o o — OON o — — « d m m d — — © o m m ra d © m o o N d o o o © d o o œ co n d — N œ m m o d o o n — — m n o N « N d d œ jt o o O — N N O O O O CMO — o m —o m m m — 04 Jt 04\T\ o o d — — o ra o o — m n m n n m n d m o n — d o d o m m m œ n o d m o o m © Jt N d o o — oom m n d o m d m — œ n m ra m o jt o « m n o m m — o o d o N N O © O o N « N — o m n m n — o © œ m o o o N m o o N mom NNN n n o —— m m o N N m m ONO o d — N d © o ra n o o — o o m n © o n — — o o m o o o m —mom N N d O d ra jt m n « « — — Jt Jt o m o n — o N d o m © N m œ o m œ o m d © o d n o m m œ o moo o « o m m o n m d m d O ONN — o o m jt — o — r- n n œ m o N d — œ m 04 ^ t—m d o — m o d Oi Jt Jt N — © — m © « n © N O N OOO o n d o m o © d o — — N N ra d moo momo o o m m CO 04 Jt Jt 04 O n m « ra — —n © © d m n m n ro N — o n m m d © m © ONm d N ooo n d — — N N © — n — o d o o ra « o m m o o ^ — Jt œ o d O © N d m n m n o ONm moo m m m o n t- Jt 04t— co m n © o o — o m m n m d © ra d o ONO© œ o r — œ m o ra o o m jt n — m o o m n O N o d co m o m m o m o d m ro Jt ro m d m m m n — «ON o o l N O ro Jt — ot oom n m n Jt — o o o o o o o ra n o — m N N N N — N N m d N d — h- m n œ o m o < O O t— O T—O o oo co o m ra o o o m m m m —— — cm Od o m O N N N N o © N m — « « m o m o m m m d » œ m o d o m N © N — rara CO04 *—T— © o o m o m o « m « ra o m ra n d — mNO o d m m o N m © o n d n m n o © m m ra o OdN n N ra m © o m o —O N n o o o » m m — o ooooo — o m o o o o n » d n m o d œ o o n « n ra m n o — o O m n o n m « o d m mmNmoNood n ra d ra — N o m o d m n n N O N N N o m o m m n n o N d i m n n — « m n œ o o — Nm« — NGO o o m n NN o © m d orao œ œ — o o o d n d ONON m — ) o m n d « n OON N N — d«d«NrON m o — d N O m m o d d ra m m — n m o o m n m O d O O d o * — m m o n m o d o N — o© — — dmmin O N d N O O N n n m d m n m o o n m n m N — m d d n — ra o ra » ra m o « m — O o d O N ON«NOiON — O O O N n m o o o o Jt — 00 — N — — œ jt — m o o © ao m ot — — o r n n m o n m Nmo — O NN«oinroNd m d « m o o — omm d — ra o o m o m o o d © O N — oom — m »m — n o — o — N — t—t- mmoN — omd — omo m© « — o — m o d n œ d m m m © © N n o ra o N N ) o m o Jt ra d d m — m m — N — O — ONO t- Jt tO CD m n d o — m d d œ m — m n o m © o d d o — o n m • d o o o ro — mom o — CM— N — ©O — O t- TOTO Jt t—ao o m m jt 04 co œ d — m o o o n d o CMO O O n m » d m — o — o d o ra o m ONm©NP0NN m N N O — t- a 04 Jt d N m o N o — d d n ra — © O N O O m n œ n © m œ — o o Od m — oNd© — m O O O N « « d « N — oomo — NinoroN o m o — n m — d m — mmom m m o © — o N m — d — miON d© O « N N d o o o œ o omoNdoœ — on ONO© o m œ m o o m d n o o — n — m n m n ONO — NOdO m m m d n n m m n m moo — NNdm — n n m — m m m — — © m o o o o n o n o — o ON dONNo — dm n — o m jt o — o — m œodNOdm — on o n ra m co o © o ra n n m — œ m œ o o m o — — NOdOOd m « © o n o o m © m œ — mdmœmœo — n n m o o o o o © m to — t- ro o d no — o — m modinoœ — m m o o m n o n o m « m — mm«o — dod n o o m n o o d © — m o n o o o N © d — root n — omoo©© o m © n © o — o m œ to o — © m o n m m m d d— o d o n m n o œ m m œ m o n — o n n o minuto- ©om © d O N m d d o m m oNœmmooNm© N — O — m m ra m o — NONO o o o m N N — o mropONNOON t— to 00 o o n « o d — mœcoNONONmo o •- m o N — m m o o d O N N o o m — o n NO Nmm — ñoco — ONN — « « œ m — — — codo« — rao — — ra o o o œ o d d tnm ©d moNmo — om NNNNNPONOOin m d ra m n n o — œ m œ N o d m ©in n d o m m œ n o o m ONomo — m — O— ON — OO00OO ooo m d m « m d m d N omm« d m n m m o O © O N o n m œ od om©dommd t—t—— Nom — orao d œ m œ n © d N O O d O N —— m o m o n m o o o N O OONO ra —dodooNind «mNN«oora—d n d o N O « d n m n © N m n m m — NNO « N m o o m aor- — t- to —NN©mNP0OO raomNood«oœ o œ n d n m n © n m n d « m o œ — NNO — N m o — o Jt 041-

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF 7T TO 100,000 DECIMALS 97

— tnoNtnoooom mNroodoooom odNdN — oo©m mmmoNoooNO to Jt co — Nooomo ocMmNmcMOdON moo — mmoNOOo N — mNONNmmm — 04 to jt — dN — do dOON — ooomm o — ONNN — ocoo omoommN — on ooNNNNd — Nm n ro Jt r- o to 04 r—©— o©N©oommNm o — — d©dOomo mNomomœNN— notno — do — ©o omN — o — nooo o — — o — moNN — r—— mo© — o — om ramo — ©dom — jt o — mN©NOoom mdOdommN — o o©NmmNNNom Nmodd —— NNN ro N d d © N in n m © do — n m « n — «d d o « n « o d 00 d — NOdONOO — «o m — NdONN — mm d«mmomom — m Nmdm — NOd«— mo©NNNm©m« «00 — «oNOd«© cocM— oodNinod no — ooNNmmo oom — mdramom NomooommON mo — Odm — m — m com — nojt©- — m moomoNdNdN dmoNmNmoNo NmNdOOO — n© modddONONm r-cMN — ONmomm o© — o — ooomo NON©co©«NmN ©Noood — o©n n-Nmd«domN mooocoNrommNO o — radmdmddo omNNm — — rONtn moooooNmN© N©©d — mdONm jf N- dNNro©oo ONm — dcoommo ^ to r—modoomm — — NramoNNrON mooomNmNOd jrmmooONO«d— no — dN — mN©« dmNN«©m— on dOdNO— ramNo momeo — m o m co o oomdNdNN — Jt mmoNmommrara om — NomNtndro ONOONNmNNm m«o«N-raora — rr>t- ro o co Jt — mdm NNN — momoom —Nm — mNmmNN — «mNmd — mN© roNONN«o©mo o —— d —mmddo 000« — — n —o« Od —o© —©NdN © — © © o m n n n in m « d N 00 m o o « « omraoooNNom NNdOONOomo omoo© — non© n-oodNNmON ooONOom — mo cMNNOON©dmo ON'mNmmmooo oo©dmddmm© NONOdm — no© mdmoom — m — d ororoNroNod — n 00 — mmdmNmd m©d — Odd — ©m mmoodNinoN.* mN — NNOd — Nut — — NNO — m — Jt t- odNONrodO — o NNNod —oomo mmNm«©domd omorod©Nomm NmodN©N — — o m — mdoooNNm non — ©ommdN NNOoommoom moooNmoNO© r^-coNomNdomo o — ONdONmom ©- ©Nmm©o©ra to co — — © — o — — m mN©o©dNomd do — noo — mdN m©ooddNN©N Ndo©mN — mmo omdNo — — noo — ©NmooomoN OON — œ — omo© omœoNmo- — o Nomoommdmo omommoNOON NNomNNmoom ooomoodomm o — ©ooonopon moo — ©om©œo mo — n-ddomm oooddoomom dN — NOOd^N© Nooooommmd CO Jt Jt CO — N — — OO œ © ra — roNoooo NOmomNdmNm o — dNdNroN — o jt — ocoon — mpON jT — NCOdOGONOO ocoommmomjTco mNmoN — om — n rONNOOOOffl© — omN — — mNooo — oo© — m©mom ONNODNinoONd CMO © — O — O O d O n© — NONomo© o — m — 00 — doo — on»— om© — mm omomora©-m© — dNOoroNO — — NinNNoo — mom m — Noœommmd o»— — NmmN — do oNoœomo-om oœmoooN-«m — — œoooNooNNo o«©NNdN — n— ©oo-mœ«œNo oommodooœm — n — no«»— «mo n m n d n n n m m o o — do©N©oo© © — n m o N o m N m NmoNNroNom© dNOOONO —o© — o © n n o m — om d © o © o d — — Nm ©d««mmNNON —N©dd««o — n oNN«mo — — — m mmN©Nooo«m «N«mNN««dm Jt t—md — o — Nmo nnoooo — mmo ©©NddOootM — raraoononmon —nm©ononmm mmmo©ono©o o — ma — ommoœ odNOddoo — d — oraNNNroN — — no — dNmo«ON rao — — ©NOm©m Nwmomoo- — m ooNm©mdmmN omm — NNcoo — ra mNOdmoraoo— n m — jt o Jt t- too 04 — — modom^-Nm n d d m — — no — o ono©—«œ«—n ONOON©©©mo ONOo—ooood ©nmoommoon raon—raram©nm t—ro — — ONo©Nro m^--o — NNddd omo — omNNmm m — Nom©moo— ©od — odo— om m o o d œ — n © o n mommodmmmm OdOONOd©mœ m ra — n n — o o o d domoN — odcoo ©momo — mONO o m cmm œ o jt co o m in n ra N N 00 d N m mN — nn©©ooo mdONo©modN oomONm — 00N n — oooNmoNm ooNmmodO — o Nmoo — ©o — om dOd — omNmNN OdONmNorOdN Jt otro — o n n o © m ©moooodNON OddN — o — o œ o ddONmooNO© NNooNOdo — m d©dPOdomdOin NmœmmNNoom oomNo — onoo ooraommm-dN oNOd©NooNNm inco — oraoN-NN« odm©N — m — — m © — opoonooo— NOO©omdN©m — ©odm — o© — d ©o©oooNdtno o©m©dNmNOd d©d©mo — Nmm NœNmNom© — o ramodooN — mN dNmomNdO — m —00 — mmmraram m o con — dmoN© raNNmNmdomN dOdNoodO©— o — o — NNONdo o — oo©mmNd© dO©mommooN oNœmmoodm— — ramddNcooram ddNNmd©©oo onionnopopo- © oomra — ramocoN omoddNm — om co««NNomdmo t—— noo — © d m o o »NmooomNdN »Odo — — omdo Noomodoooo CMO— oN©ooom Odm — m©Noo— mNNomdommo ©Ndomoomod «n — onn mNN t— oomNN — m m n d o t- m o m d d n m m — d d o o o 00 o d m ommd —ommom n m n m © — oodd mommoNNmm© nn- ««n o jt t—min o«inin«NOroNro dONNO — nono o — mmoddooo ©NoodooNoo oraoompodoom n«oo — t—04 o Jt o Jt ddom«d«mmo —Od — ddooNo- — NinroNflOoo — m oomNdON — ©d ONONONdomo o©ONOOdNmN oooooococomjTN doomdN©Nmm © — - nnn©ooo dNd«om — — Nm ooNdmmNNNm co m o ra n m o d o n cmn o — œ o n © n o dONNOmo© —— — o n m n o m n o © n © o n m — — n«n Nd©o —— momo inNNdN©mNm— mooN©momd© ddomNN — mmm od — ooraramoo © n n n — on- © — coNmmrammdcod dodomoddmo m — NoœdNoœœ mœoNNom©©m — NNdommraoo ooNm — mNmN— Od©NO©mo — o odm©om©omo ©dONdN-o — — —odmN — — nnn d©mdN — NdON mmNdN — — o©n omNœdmNodo ooodœoNoœNin t- o* — d o m n © o m domomom — mo ooorao — 000m mm©mN n NmON mdommd — NmN — m o o n n o — ro 04 ommNtnoN — no ddmm — mmodo d©m — — o©oom mNNOON© — ©m NoraNoomNNm tnNd — mommom on — o — mmmmo NmN — odNNOO« omoodNONOdO — moraoNdNmN dNmdddmmoN ooo»m — ©mm» dN© — N — momo N©NNom©moN momoood — — o o©Nd©mmNod mN« — OdN©d© «© — — nono©— mmNmo»dm — © —md — dommmo in n d d n o o o œ — Nomo©ommod ra d m m o o oo © © n d o o o n n m m n o m o o © d o © o m o ©OdPONNNONO do«d —— m« —o — © o d m o — ©©n d —— — Nm —no« ro o m o n o o m n o o m o n — n m o o d oooraNOONmo mraoNooraooo mNmm — — oNdN ONGOONOOraOdN oraooN — NONm — NmooNO» — — oooNm»dNdO o — — — m n m n o n oomd»dOoo— o —m» —dNNON d © o m m n n o d o — oo©NdONNo dmm©Odm©NO n n m d o m n © ra jt t- 01 o ro — eoNmmo NNNmoœ — m — — dONmNCONONO — morood — omm dmoooomraoo mmmNomooo— m n n o n » — mNO mNdmNON« — n m — ram©NNomN — mmNONmmm — NOdmNdœo tM»co NjTN©dmmd — d m — mooNinoo© mNO — œmNm — m NdmoNoommo mommNNdocoN — ddomNmNmra NNmmradmoo— o — n©onocon— NmdraNmNONN codNmdo — dmo ©©ommmmNN— — n — n o o o o n m Nm — o — d © © n d Od — o n d n o o n — no — odo — Od dmNoONdomo oom — nnnoo© odoodom — o© Noooraommom modmra- — omd NdNOmm — — ©— ©noo — o — — 00 o d © n — ^ t—d — n cmra o o m m m o m — oinmrON«raoNO ood«mNrammm Noommoomdo jt«n — o«rammm ©mo — ra m n o m o NONommœmdO ONOooomoo© nooo — ono — © omo» — Odomo oomoœoNOdN

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use 98 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.

dmN — dNO©od mddmmmoom— mm — ©Nommrao ©dmommmddd NommmNdmom mmomoomooo oon — md — Nmm ©oomomoooo o — ommomoNN moNomd — omd Od — indNPO — od « — dONdNœoo m©N»o«dONN «omomNNmN© moNON — omNO — NN»mNO — »N »— N«N«OP0d« «OmOO«N«©m ONONmNNO©N œ««m©NNm«o © d — » d n « N ra o o — N n « o n oo m m o n N tn o n — NOd t—t-o4t-otoaojtt-co d o o n m o d n n n o mo« — Jt ro O t—Jt *■* o — ra«ONmN — n «doON — omrao Ncoomrommdm© «n© — NNN««d o — N«dtnmNd — — dNNOOom«NN NdNONroNomro Nom©«mr-moN oNmmo — om — o o N©N«©ooNmm —omm — mN — o© N©od««Nm«- ©oonnooonn —mNNN«©omd o dmœmmmd — «n do«NNNdON.o mmmoNNO«mm momoNNONN« o — mmœmmoNd m N©moodOdoo- NdOONOONm— oomo — cmcooon m — NNcomodom oraoNdmraœdo o Nom — NOONNN NN©NroNoinN— OdmNo — oo — — d©NOd — o — mN NoomcoN — omo — roNdomminmo© mdOdONOood dooojrmoomm mdmmNoomm© — inp-ONinN©mo Ö ©NœdooNNmd oomooNOONm ONmmmraoNcoo dNmNomommd odoommrammN H n d oo N — o m co o n — o o N « m n — « N m m n — n m ra « m d d — oddd — Jt Jt t— NNdmd — mddm om«« —NONOo o««ommoo©d ooomNmodNO odmmom — dNrn n « n — — ra n n n o o © d « d in « n n o n mo« — n n in œ — d o © n o m n ra n n m m o m n d m o n o o n œ n ra o o n — n © •- mœmmomN«oœ m — NmdNodmo dN«m^o©««N ©m«œmœmo«N no«©o-«NmN o OddNinin«© — — odm — dNmdNO NooœmNdN©— m©NoroN«dON ©m©NNN«omm o o — o©œmdmmN mN«N — mo«NN dON©©commp»-ra mo — omNdmm— t—— dNomNNOo o dinm — raooo — o «romNON nono «modmmomdN om«ONNcomo— NdNmNdm — md o ooNmmoodood moNomN —©mo mmoo — od©œ— dONNomodom m © — o o m — m — ra om©dooommm oNoroNOOdNO raœdONoœ — — o o — orodrooroN— coNOdmmm — no x n — oNONdorao mNmomoo©NO rojtroott—Jtot— — o pononnionoo— dOmoNONroœ — o d©Od©NNmdm mœ — o .m o » m m n o — m©od.— mm© mmoNNoœmdo dcomdONm — mco ce inroNmooNNind m — dON — on — o ONOOommraom oo©ddmNmoo doœooNNdmjr u. oœmoNNmmoo © — Nm©om — mm dmo — oommoo no — mm — mmmd no — ommmNON omdON»mmdN NomodmNomm om — o — d in o d n o r- — t—n o m œ n © m N m m r- jt o n o o NdroNdOOooN om —o©oono.o —mNmmmd-nn moodNONmm— mooNN©NdOd o© — dN©Noom œommoNoomoN om — nn — doom nnnnnnn — m— omooom — odN m©©dm—«odm —©mdN«N««N oN«moNoo«N non——moom© n—««Nom«No dNNNNd — « — o NNdNONOdom moood — o—«© Nd — ONinoNN— m©«mNN — «mN o — dmoo — — t-^jt mN©mroN©«NO o©Ndoom©mo NoNN©momora ONomo — o — — o odœdoommom moœmm — oomo ©nn©n-n©on m — ommoNOdm moodNmoNON o n N d no © — d o œminooNdPOind d©mdNm — mo© ©oommraoooœ moooNmraomo — d t—t- o jt — d on ©rodOo»NOOd ooo»NOd —mm No»d —nooon — co t^- — o ott- — Jt ro ddinNo»mdm— m — »o — mo — om ommd — oo»o© NdmmdœmoNN m©oN©NONom ooooooNdNO — N«mNONrnoN mo©©mmNd«m ©m«odmoNON no — «jrmracoom oodC0jTNO«NN « — oo — o«mNN o«mNN«omNm œmmdmom — no m — moo — mmmo oo©n — «nono ©dd«o©dmNo « — «mmmmNdm d — o — nœnncoo mmNd«ommoo NmdOomd — om Nom«NOOdmo dcodddm«©œd drnincoNinracoNO t—t—— jtt—otooocsi N«dNdN©o©N Nmo©rararara«œ m — mo«dco«©N NmœmddNd — « Nd© — dmN©©d dmN©ONOdom modPON© — — nn «n — o Jt to t- ot 04 o* mm — oommNm© NNinmcodO««N m«mNOdNN — o o — oœoooN©N dNomoNN©oo o — o — — odmm« ootoromt—r—jttot— Nm — — — ©dm — d ©«m — «OdmNm ©m©N — œmomœ co t—— œd — — omo mmommmmNmo jt n N d n — « N © « NmodONOd- n no© —no©o©n m ra — m d m ra o ra d NNdN©©©Nd© — m — œmodOON o — m — dooNom o — o«roN©mdm dNONtno©N — d mN — ON©mo© — n — N««©mNNO ©dNmN«md — m moNmoNo©dN —dm©m©NNmN —m — N«doom« «mdmoodmNm — o d d n o d « — o m d o m o o n m o « aojtot- « — m n © — œ oo n — d o o œ d o oommmoo — Odd racomomNoooom OdNNNO — d — m dmmmmoNNNm NNmo — ommooN oramdo — NOdm — to Jt Jt t—o — ©no mo — d co n o « © o ooœm«oo©N— ©«o©o«mmmd no — NNom«N© NN«NOdOom© «««mo©oNO— ONd«0©dN«0 — moNorodNroo om© — © m n o © d NN««mmN« — © m — dN©« — Nmm «o©©«omo«N ocooram — dNN — oo — NoomdNo oomœoNdNoo ra — mmmN o jt t—n — oorammoo — ra œ — ©NmoN — mm NNomœomoom m n n in © n d — nn n n n m o ro m ra — — o o N d n œ m — Jt t— oNNONOoood m — m — mo — ddm mmd»NNoomeo odNdONomNm mN©dNdON©N NtndONPomd — o ro — œ — ra œ ra ra o n —momNNmoom o d ra o o d n o o o t-— NNNNONNd nnooon — n — n — n — o m n o n ra — t- co jt ot 04 co — to Jt r- oooononoo— oommd© —mom o in n m n n d n n n n. cd o — m d o d — œ mN —NoooNNm dNONo —Noom o d n d d o n m m n — onn — m o d œ m ra©mmo©ddN— NNmmdONOmN NNOd — omm — d omoNOdOooo mNmooN©ddN ono — OdN — n— ooNmNmoNmm mm — ONm — moo oooNramoNNmm NONmN on onn o —— © —— nn —o noo — — odmdo o n in n d œ o n n**- ©Nmmmmmmoo ooNmooo-dNd moNomraoN©— ooomNNmom© mdN©mooom— oNmNOdmmNm ooomco«Nmoo oNONco«moNm dm«d«mo«Nm t—— © — ©OdNN d ommoN — omod Ndoo©©oooo O CMm CMo d CO O O ro m — Jt O CD O — NNN O N N N O d PO N O N dO©NN —NO«0 O d d N PO © N N © m omooNN — coNmN ©NmNON — mœm o — o — moodONN n — noco — NNmm mraoNmNom — o toro — mraoNNOO dNmooooNNN o — n » d »m.o m jt «©NOd — mddo NOdmN jt t—x ot Jt NoomN«m©Nd m©odm — o o n m —nono — — oœm — t- Jt — on- ©Nm o — omoo©©dN m © n o m © m m m o ooooooooon o n o © d o o m in o ono — œ d d m n n — o n o o o © © m d NNro©© — o © m o — n d m m o m m m o o œ © o d o n m d n NNNdd© — œo— m dN co d o o o m o oo©dN©©©dO —omdom«mm— «««m — d « o cm© dmNONOdm©© o©oNmm — n©n NNNNœooN —d mdNomoœodN o o m m in © m d m o mmNo©©dd«o oNNd«©N«mo co — «NœoNNom —n«-n — Ndoo « — dOodONOm oinNcorom — — mo — « — ©m — ono© oNNmoNin«NN ©m — mm©mNmm NoomoNdoœ« — Nmomm«mNo —«Ndmdmo — — — n n © m « ro o « œ NNd©©«Nmo— ©Ndommoœoo NommdmNœoN d©d©ONNmd« ©dm —Nm«omo — o«NNdroNOd ©©m« —— o© —n omm — — © ra o in d «nonnooono n » m » o n m n « d mod»mœ —œ«œ «000 — «npono o«d«om — — ©— o«o — on© — — m mmmmoroNdinm n —mmommomm ©©odmjrooNd NNmoomoNN© — NOdro©d —nn om©NN — mom— ONm — ©Nom — n Nom«omNoom — dOmNmdmo© mmNrooœoNdm dmoNONOoœm dmmo—noo«o mdmom«—omd mN—modooom ©dnnm©mdnn o o in œ m m d d o « No©d« — mmNo dN© — n m o d © n o«NNNdOo —œ oto — — © n m n o m ommN«oœoN— «©dddON««N «do —momN«o — o d o o m d m d — ©oo«opon — d© ddo©©dmdmm o«d«mNo«m— No«ommNdNO mmoNOo©NNo ©moNmommNO — œœdmoNON© m« — oomooœm 000.0 d n n o m n d©o — dmmNoo œmNœ — — no«po ©in — dNino—o — ONmodom©do dNdoooo — d — 00 — ddN — N — o dooo — N©«m« ««NNdd©mod oodNdNœd — — mN©o — mo — od œoo — 00 — jt ro ro n — om — œœooN oœ©m — momoo — t—— — drooNdO œ — ooo©mdom Nmm — ro o co ro Jt Jt d — mocMo©Nd — ooNmN©oddm —oNd — oomNO modooodoo— mdm®mœom©o mo©NmommoN dmmomm — mom oNNoom — noo ooœo — ooNd« dd©Nmmw«m© dom©mmNomra oONcommom — n OddommraomN mooo — — n — — œ d©N — o — n — o© mNOoooo — © — n oNmd©omom© o — mNmoNmNO momo — omoom ooNomoNdo- omdo — oomoN o — oono — o — © ©dm©OdNOO© mm©m — oddNO oom©dmmomo mmdONomdora ra — NdNcoNomm mmNNONNNmo ONinoNNrorocoin NNOdd — NOdN moNOodinNdr- dNmœmcoNmdm oNOONNNomœ NONONinramdN mdOdddOdOd coNraooN —000 omoommodNO domommmdoo ora — Nmomomo NmœoroœNdNO no — dcomoodm oraora — o — NNd — — oodddoom om — momommm Nm 00 NNmmd— m — 000 — moom — — d — N d o o m N —oomdroNddm dNN — — roodom œomNdmNOPON omd- — o — n — ra odmNd©—omm ono—oomno— —onmnmmnno ©NNomœodOo dm——od©Nmo omd-d — mmdo -oddONmmœm odOd — 0000m oo©mNO — o©d NmmoNm — mora omNOdooNNm — o — 0000 — — d coooo©nnono ©o©ramooooo ommoom — ro Jt co — mooN — rodNo o — ©n — raoomN racoNoocoNooN dNoroNmdoram ooroNONom — —

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use CALCULATION OF 1T TO 100,000 DECIMALS 99

N N O O Jt — 00 N d o o«Ncomdinoœin m o m o o « o © m m d o © m O N O O — O m n ooo — Nmoo O « O — room mmm o«ONcod«dmN m n d m m o o o — o © o n o © m m m n o Jt © — N©om — 04 Jt o d o o omm d n — m©om© — o m n o N O ra o o N mmoo O N o o ro ro m — o d o m tnoNcodmoo m n n m © « N o m — mdPOOdONOdo o m d N o d m o © © m n n n o n o o N N — N — OONNd onn —d otro m m co — dd — omoraoN o m m — o o m n — n o m — n n ra N 00 o © N — mNinNNN n m « « « m d NO« ONNO — — dorao — o o m N N OONO œ — — o © œ œ n m — m m oœommd — o m m — d pon N o d o jt ot — rONOinroNd N N n m NO d — — m o ra n o d d m m — — m n mmNoommm jtrot-t— 04— O NON O — omoCONONN m n o o d N n d n m — o m o o — © o m m © o momoNNNO n m m m m « o o m œ moNOO — mdN© O N N — n m — NOO N O o N d m œ o o o N O domNNinod n n o ra N « N Nmm mm — oroodoo — O N o m © œ — d m m — O ro m n m m ra d d O O mmoooomm — m o o m d m m o o © o d — moo ra n o m oo m m o m d m co o o orao m Jt o o — n m m o cmm o © — — « m o o jtr- m m o o m o N m n n o ra o — m co n m œ o n o ONON moo d m o m d o o o o o m m d cmo « « o ra —m o — o o o o m ra o m n — n — ON© OONO n d m n m co t- to Jt m m n o © © — m jt — omo N N œ m t- o m o o cmn o o d m o o O — O N o n m N ra o m n n d o m d m m ro m jt n ro o oo m N co o Nmoo N O — O N N m m n m m m o d ra n — moo © m m n O — N N o ra cmo — o ONN m n d o m d n d oo m o m m N N ra 00 o mm — — Jtt-tO — d ra o œ m n 00 O © N m n — d — m m n m o m o n mN m d n — — — N m m n o momo — Jt 04 m —— d N œ m o N O ra d o d O CON N o œ © d d m m d o d m o n © o o o n œ m O N NOON — t- t- 04 o o o o o o — n d — o o o n n œ o d œ o m n m n d o m ro — o œ — ON — m o m n n œ N O CMO « O ra o œ d o rao — o d n jt œ Jt o m « m N N N room© o œ o d — N — o m — NO© o n o co n o — O O •—mmm o o ra N m ra m O Jt oo « m o n n d m o — m n o m n o m n m n d m o n © N — © m ro o m m m — m m —cmm « « d o « « o m n O Jt o m — — n m ro m jt m d ommo m o o m N O o m d o — o o mmoo moo o d n d m ra m © m m m o O d o o — o d © N N m ©>n ra — O O d o ra N O ra m OONO o œ m m m m m — ram m o oo o d m o n n m m m O O N O © O o m m N o —■oo o — oom o o N — d N — o o d moo O N O O o — o Nmoo N m o m N N d n o m d m — N n « m o QOd ■m ra NNNO o N O N m o d m m d Jt Jt 04 o d m n ro ro co ro o © d co — m m o n o m N N o n m d © © œ o ) N N O d O d o N Jt 04 d n oomo m co œ r—« m o m — m — n n m o © d o n o d — O © ©ooo m n — m • N O m m n — — o N O N N m m œ o N © « m n m « d m m O m d — o N Jt — Jt CD œ n O d — o d o «N o m i o œ m ra o m o œ O — O N N — O O m « d m m — n ooo © o o © N N o n o m m œ N m « œ — n «o©NO©dNro — m o d m m o « n œ N n m m — —m o ra o o O — N N N m O N « — m o m — © n n m m© — ommœoNN m o © n © n m d — « — n o m N — o — o o d © o d — o ro ro oom o r- — n d o m dNro — roNN© — N NOO m ra o « d © œ n n o o « — m d d d m o — n N O O d d o d m o cmo o o o oommomNNOo m n n m o jt tnto jt t- o m — n —o o n o m o m cmœ o © o o m d N © œ m n o o n d œ ©NdN — oo©oœ O — N m © o — m pi n mN — œ n o o o o m m o o m © o o m © d ooo o d n œ o m n o — NdOOooNm © m n N N o d n o d o œ m m m N O O O — o o o n n m N O d N m n d d — m d o o o omeo — ra — ooœ — — eoo n m m o m n n — n œ m o — N C0d — m o n — m n o n m ra Nmo o o o o o o m — doNdom©oo m m n o m © o n m m o ro m o n n o o — ra o N — d o œ d m © n œ o m — o ONNO — — n — m©oodN© omN o N o m d n — m n — o o m d m m d o — jt o o ra o o — ra ooo — N n œ m o o mNONNin— NNN dNN d o jt m o — m m d n m o — n n o N m o œ d o d •—ooo moo o o o o d m n o d n o m o m m O N omo — m m O N N N o m NOO 040 jt O Jt o N N d ra œ d m n n o N © . m œ m o o n m m ra d © ra n o N O Nmo « d — œ — œ © O N m t- tn cmm o — d O N œ — o m omoo o o œ o d — d n o m o d n o m n o N O O o m œ N « o o m n m n m m — œ n d œ — o o — m m ra d o d o N n m m o o d O N — O *- o — N « © N CDN d — o o m m m ra n ra — œ m — m o O — O N d m o o © o m — orao œ m O N n —d d no NO CD« © m N — N d d ro o © m o œ d œ o o o omd CO © O N N n o m o n o o — o o m d O O œ o o œ o o m N N m © — o o m © co © d d © cmn © — m o m mm« O 00 N O N N d o © N N O — N O œ d m m ON N O N N n m m m m o n o O N oo —œ m o Nmo m N O co ro tn o m © m © o — o o O O t— CD CO Jt n m r—m O N — mNO o m o m © © — m O d t- — 04 m m o m n m o Jtf- mNO m œ m — n m o m o O O jt o jt œ n © o « o m — — m o m o o m n m — m o o o m © o m o o o o « d o o n ro o N n d N do m d m o omo© o o m o m o NOON ON — o m d o o o — d — « o n CO — « O N — m — jt m N d o m d © o o —o m © o© N m n m m d © N N o m O — O ooo t—t- — co m « d n d © N O © — © o © — N N © m m d O N o o o — o © N d o o — jt m cot— Jt Jt Jt o m - — rot- m m © © d n Nd d m N © O N ra m — m d — m ra n o — N d o n — m ©NO — o o d o N N ONO rod — in o m nn d o n œ n o o o N N — N m m —m m d ONNO O O m n Nmo ro — O © N n o o m N d d CO NON n n « on mN m m O N t—t- Jt — o jt © omo NOON m n — d n — m OON © O — o m ro —d dm ONO N « O d n m m O N o o O O Odo — N d o N « m ommo O N — N ON© m œ jt œ n N o d d d m n n d œ m © N N — NNO CO — © o m o N N o m o o — d m m m jt m — O N m o o m n ooo n m N N r- N o m r © ooo d o m OON — « d o d m n o o o o OON — n m m d o — o d m © NOO o m — — d N N © N © — NO ra o o — to Jt o m N N n m m o NOON O N d NOO o n ra N o m — m — 04 Jt NOO — o m m m m n Jt CO Jt — Od o « d m m — d d — n m — N — O m o n ON — O O O CD m m œ © — m o NmN — m O O O d o œoo ra m n d- o n m d m — o N O o ra o ra m © o n o m o o m n m n N N d m m N © O © o © O N N N n n m œ m NNO d o m « m d d N o m N — © m d d©N« — ©«m — — OOm — NNN — o — md — mNdœoNm m o o d — n o « d d œ o n — m m oomo œmN«NNdm — — oo — odmdoora — ©Nomœo — — — co N m o —m — d « m o o cmo o m — omm N — N©«m«ONN dNCOinNNCO — NO ©mmmoNommo o — d o N n m œ © d O N m m d m ©NOO dN — m — oodNm dm»N — o d © m d NdO — NN — OO — — d t—co ro m — Jt © « t-^ o o m m od o o omoodo«N — o — O©NNl0ONdN NOd — OONdNO O N mmm m o © o — m o O N d O o o — o «inNN — indcoN — NdPONN© — OO — 0©mdOO — NNO — N m o n N N N N — o N © d m m n o œ m moNmoroNOd« t-t-jtr-o404r—coaoto m — odroœooino © O no© © d tM d — © o ONNO o o o N — — N«OdNramra œ — — roNNcocoom OdOdNdONNd o m jt — jt — — odd o m o m — m ©Nmo co — ooNdmomo» ©dOdooNd — œ mmoooo — NNO m© mmm m n o d — n d o n o d m m n d ooo — n — — NO — mmmmo — Ndm — — ooooomoom m m m — m N © — m — d o m o —— — o d © n ro ro n m d o n o œ N — NmN — d©oo o©mœmmmNNm — oomo ro © o o o omN o m o m o n © n m N N N o m o m o Nmo — OdNON — t- Jt Jt o cot— Jt Jt Jt t— d d o co N O o n n m m © œ © o d © n m o N d © O O O © N N — orONNtnmoN© — — NO — dONN©N m d o o o d m n n n NNO NN œ d o œ — d m o m n — o o o m ooœmNmmN©— — — mdOddNNO dNN© — o o m m © a> Jt Jt — N n m — d o n d d o « © o m n m N©NdNNOON© ©oood — oomd- m N o d m N N O N — m o n — m n n © m m m o o n o o n n © m OdO©Nin — n©o N — N — «—ONO — n d o m m d O d O — m n —o © m n n m œ n n m © o — ONNO ©NNœmomoom mm«oooooom n m m o — m © d N o mom n d jt co — o © o o — o d m ra © m © o — oœooœomd N«omoNroNin — n m m — n r» N-N N d d o m d © o n o o m o o o m m n m o m n oommNmmoNco inomN — m — om — CMO O O N o mm n d m — m © d ©©omo d © moN — m œ o m NOOrOdNiOdNO Nmod«rOd«od OiJtt- m —n œ m tOt—t—Jt m m n o NON © —n o m o o roNONinmoNNin m o m n m n m o — m — N O o o m n o O N N N O O ro n m ra o d o o m o o o ra o i— dinN — dONcoN — n n © o d œ œoo PO O — m m m n — — N d œ o n cmo — N ONm o m o — o m o — — odom — t—co t— N m o m d m œ d o m o o O N d m m o o n Od m d © N n o m N m o n O N o o o m o mroNNoœNNoin m n n n œ m n dm« o « moo m « © o o — m o ro m n m o m ra co 00 o m m o ra — o — ©NmmN — — odm CO t- Ot— — Jt ro d « — d O d d o d © œ n m m © m m © n omoo o © © n m m m n — m «N — d — n-dOd o o n œ m m m o d o « o odm — n n o m œ o o n o d OONO NOO o o n m m © n NNWdOdOPOd — n m — d n « — oom © N 04 Jt O n m o m m m© d m n © N — N O — 04I0 Nm O d O © N ddomdN©©m© « d m m o — o — ON ©m ONm n o n mN œ © — m o n m n o o moo ro o o n © m — mmo — oddooN m n m œ n oo d — Nm ON mom O N N N — m n m o n o —— o œ ooo O N o d o m m o — o n m n o — mo Jt 04 Jt — *-t— o ro ra ra

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use