MATEMÁTICA E MALABARISMO [email protected] O Malabarismo É Uma Arte Que Poucas Pessoas Associariam À Matemática

MATEMÁTICA E MALABARISMO Ajmachia@Fc.Up.Pt O Malabarismo É Uma Arte Que Poucas Pessoas Associariam À Matemática

APANHADOS NA REDE

ANTÓNIO M ACHIAVELO Universidade do Porto MATEMÁTICA E MALABARISMO [email protected] O malabarismo é uma arte que poucas pessoas associariam à matemática. Há, no entanto, entre estas duas atividades humanas muito mais relações do que se possa suspeitar à primeira vista. Enquanto o malabarismo ofere- ce à matemática problemas combinatórios interessantes, a matemática deu já LGHLDVSDUDQRYRVWUXTXHVDMXGDQGRDHVWDEHOHFHUXPDFODVVLÀFDomRSURItFXD dos padrões malabares e a combinar movimentos de formas originais.

mais antiga evidência de atividades malabares remon- 7DPEpPWDOYH]QmRVHMDPDLVGRTXHXPDFRLQFLGrQFLD A ta ao Antigo Egito, a uma pintura contida num túmu- que um dos grandes matemáticos persas do séc. X, $Eŗ ORGHXPSUtQFLSHHJtSFLRGHVFRQKHFLGR'DWDGR,PSpULR 6DKODO4ŗKĦ 2 tenha sido um famoso malabarista, conhecido 0pGLR TXH GHFRUUHX GR LQtFLR GD GLQDVWLD DR ÀP GD pelas suas manipulações de garrafas de vidro no mercado 1 GLQDVWLDRXVHMDHQWUHRVDQRV A.E.C. H A.E.C., de Baghdad, antes de se dedicar à matemática 3. Mais recen- SHUtRGRGRTXDOFXULRVDPHQWHGDWDPWDPEpPDOJXQVGRV temente, há alguns exemplos de notáveis matemáticos com textos matemáticos mais antigos que se conhecem, como paixões malabares, dentre os quais se destacam: o chamado papiro de Moscovo e o documento do qual o Claude Shannon ² TXH GHX FRQWULEXLo}HV GH - papiro de Rhind foi copiado. Esta coincidência cronológica cisivas para o desenvolvimento das comunicações eletró- é certamente apenas circunstancial. QLFDVHpFRQVLGHUDGRRIXQGDGRUGDWHRULDGDLQIRUPDomR

Figura 1: Pintura tumular egípcia com cerca de 4000 anos, mostrando mulheres fazendo malabarismo

22 GAZETA DE MATEMÁTICA r 168 Figura 2: O movimento 33333333...

Figura 3: O movimento 441441... tinha por passatempos tocar clarinete, jogar xadrez, andar RVREMHWRVVmRODQoDGRVDOWHUQDGDPHQWHSHODPmRGL - de monociclo 4 e o malabarismo; Ronald Graham Q UHLWDHSHODPmRHVTXHUGD um dos principais arquitetos do desenvolvimento da ma- QRPi[LPRXPREMHWRpODQoDGRDFDGDLQVWDQWH temática discreta no séc. XX, e que foi presidente da Socie- DVHTXrQFLDGHODQoDPHQWRVpSHULyGLFD GDGH$PHULFDQDGH0DWHPiWLFDGHDIRLWDPEpP $LGHLDpFRQFHQWUDUWRGDDLQIRUPDomRGHXPSDGUmRPDOD - SUHVLGHQWHGD,QWHUQDWLRQDO-XJJOHUV·$VVRFLDWLRQHP bar deste tipo, a que chamaremos simples , numa sequência David Eisenbud Q TXHIRLGLUHWRUGR0DWKHPDWLFDO GHQ~PHURVTXHGiDVXFHVVmRGDVDo}HVGHFDGDXPDGDV 6FLHQFHV5HVHDUFK,QVWLWXWH 065, GHDHSUH - PmRVDOWHUQDGDPHQWHHPTXHFDGDDomRVHUHVXPHDODQoDU VLGHQWHGD6RFLHGDGH$PHULFDQDGH0DWHPiWLFDGH RXQmRXPREMHWRGDQGRVHDSHQDVDLQGLFDomRGHTXDQWDV DWHPSRUSDVVDWHPSRVDP~VLFD ÁDXWDHFDQWR HR Do}HVKDYHUiGHVGHRODQoDPHQWRDWpjUHFHomRGRREMHWR malabarismo; Allen Knutson 5 Q JDODUGRDGR FRP R VHQGR DPEDV FRQWDELOL]DGDV 2V Q~PHURV GH XP SDGUmR SUpPLR/HYL/&RQDQWHPMXQWDPHQWHFRP7HUHQFH PDODEDU VmR GHVLJQDGRV ´DOWXUDVµ XPD YH] TXH TXDQWR Tao, e atualmente no departamento de Matemática da Uni- PDLRUIRURQ~PHURPDLVWHPSRRREMHWRWHUiGHÀFDUQR versidade de Cornell, foi detentor do recorde mundial de ar antes de ser recapturado, e portanto mais alto terá de ERODVHPPDODEDULVPRD´TXDWURPmRVµLVWRpHQYRO - ser lançado. YHQGRGXDVSHVVRDVGHD RDWXDOUHFRUGHp 3RUH[HPSORDÀJXUDUHSUHVHQWDRSDGUmR 3 em que 2TXHWDOYH]MiQmRVHMDXPDFRLQFLGrQFLDpTXHQDGp - FDGDXPDGDVPmRVODQoDXPREMHWRTXHpDSDQKDGRSHOD FDGDGHYiULRVPDODEDULVWDVFRPIRUWHVSHQGRUHV RXWUD PmR WUrV ´WHPSRVµ j IUHQWH $ ÀJXUD SRU VHX PDWHPiWLFRVLQYHQWDUDPXPDQRWDomRSDUDGHVFUHYHUFHU - tos movimentos malabares que revolucionou esta arte mul- 1 A.E.C. signi!ca “Antes da Era Comum” — ver http://en.wikipedia.org/wiki/ timilenar. Apelidada de site-swap RXQRWDomRWUDQVSRVLFLR - Common_Era. nal, é um instrumento extremamente útil para comunicar e 2 Mais exatamente: descobrir novos movimentos, facilitando ainda a aprendi- ]DJHPXPDYH]TXHWRUQDSRVVtYHOGHFRPSRUGHXPPRGR 3 Ver Berggren, Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, Springer, 1986, natural e sistemático, sequências complicadas em compo- p. 79.

QHQWHVPDLVDFHVVtYHLVTXHSRGHPVHUWUHLQDGDVjSDUWH 4 Foi mesmo um dos membros fundadores da Associação Americana de No caso mais simples (conhecido por vanilla site-swap Monociclismo. R~QLFRTXHDTXLVHUiGHVFULWRDQRWDomRWUDQVSRVLFLRQDO aplica-se apenas a sequências malabares que satisfazem os 5 Que no passado mês de julho participou na Escola de Verão do programa três requisitos seguintes: Novos Talentos em Matemática da Fundação Calouste Gulbenkian.

APANHADOS NA REDE r Matemática e malabarismo 23 ODGRLOXVWUDRSDGUmRPDODEDU 441 HPTXHXPDGDVPmRV DGLUHLWDSRUH[HPSOR ODQoDXPREMHWRTXHpUHFDSWXUD - GRTXDWUR´PRPHQWRVµPDLVWDUGHGHVHJXLGDDRXWUDPmR lança um outro objeto que será também recapturado qua- WUR´WHPSRVµGHSRLVDSyVRTXHDSULPHLUDPmRODQoDXP terceiro objeto que é apanhado logo no momento imedia- tamente seguinte, e tudo se repete ciclicamente. Em ambos os esquemas, cada uma das linhas coloridas representa um objeto distinto. Para ver os movimentos correspondentes a estes padrões, consultar o site -XJJOLQJ/DEQRHQGHUHoR http://jugglinglab.sourceforge.net , seguindo depois o link Full applet. 8PD GDV YDQWDJHQV GHVWD QRWDomR p D GH SHUPLWLU RE - WHUXPDUHODomRHQWUHGLIHUHQWHVSDGU}HVFRPRLOXVWUDGR QD ÀJXUD RQGH VH SHUPXWDP GRLV ODQoDPHQWRV FRQVH- cutivos, um de altura m e outro de altura n. Como é fácil ver, essa troca origina novos lançamentos de alturas nH m ï,VWRVLJQLÀFDHPSDUWLFXODUTXHVH XmnY é um deter- PLQDGRSDGUmRPDODEDURQGH X e Y designam sequências HYHQWXDOPHQWHYD]LDV GHQ~PHURVHQWmR X(n + 1)( mï Y WDPEpPpXPSDGUmRPDODEDU pGDTXLTXHYHPRQRPH site-swap 2EVHUYHVHTXHLVWRGHÀQHXPDRSHUDomR XQi -

ULD QRFRQMXQWRGDVVHTXrQFLDVPDODEDUHVTXHpLQYROXWLYD Figura 4: Permuta de dois lançamentos consecutivos RXVHMDpDVXDSUySULDLQYHUVD HTXHSRUFRQVHJXLQWH pode ser usada para decidir se uma dada sequência é ou QmRXPDVHTXrQFLDPDODEDULVWRpVHFRUUHVSRQGHD XP Para demonstrações destes resultados e para saber mais SDGUmRPDODEDU3RUH[HPSOR VREUHHVWHDVVXQWRFRQVXOWDURDUWLJR´-XJJOLQJ'URSVDQG 'HVFHQWVµGH-RH%XKOHU'DYLG(LVHQEXG5RQ*UDKDPH mostra que a sequência 56612 é malabar, uma vez que é fá- Colin Wright, no The American Mathematical Monthly , Vol. cil ver que 4 é malabar (desenhe o diagrama corresponden- Q -XQH²-XO\ SS²RXROLYUR The Ma- WH HPDLVTXHHQYROYHTXDWURREMHWRV(VWDRSHUDomR GH thematics of Juggling GH %XUNDUG 3ROVWHU 6SULQJHU permuta de movimentos consecutivos pode ser usada para Para mais detalhes sobre malabarismo, consultar as pági- mostrar o seguinte resultado: o número de objetos envolvidos nas SiteSwaps, How To Write Down A Juggling Pattern: A Gui- num padrão malabar é igual à média aritmética dos respetivos de For The Perplexed , http://juggling.org/help/siteswap/ssintro números. e Juggling Information Service , http://juggling.org. $QRWDomRWUDVSRVLFLRQDOWHPDLQGDDYDQWDJHPGHSHU - 5HFHQWHPHQWH $OOHQ .QXWVRQ 7KRPDV /DP H 'DYLG PLWLUFODVVLÀFDUHFRQWDUWRGRVRVSDGU}HVPDODEDUHVGRWLSR 6SH\HUHQFRQWUDUDPXPDDSOLFDomRGRPDODEDULVPRj*H - aqui considerados. Nomeadamente, tem-se que uma sequên- RPHWULD$OJpEULFD 9HU ´3RVLWURLG 9DULHWLHV -XJJOLQJ DQG cia de p números, n, n , . . . , n p, é um padrão malabar simples *HRPHWU\µGLVSRQtYHOHP KWWSDU[LYRUJSGISGI . se e só se os restos dos números i + ni, quando divididos por p, +iDVVLPXPDUHODomRVLPELyWLFDHQWUHDPDWHPiWLFD H R forem todos os números de a p ï O número de sequências malabarismo: enquanto a primeira fornece à segunda mo- malabares simples com b REMHWRVHGHSHUtRGR p é dado por GRVGHGHVFUHYHURVSRVVtYHLVSDGU}HVHIRUPDVGHRVFRP - binar em arranjos originais, a segunda inspira construções novas e problemas interessantes a explorar. Quem diria... onde ܟpDIXQomRGH0|ELXV 6. Por exemplo, há exatamente SDGU}HVFRPWUrVREMHWRVHFXMRSHUtRGRpGHVLJQDGD - mente: 423, 441, 504, 522, 531, 621, 603, 630, 711, 720, 801, 900. 6Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Mobius_function.

24 GAZETA DE MATEMÁTICA r 168