Anhang A Thermodynamik thermischer Turbomaschinen sowie idealer und realer Arbeitsfluide

A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen

A.1.1 Energieerhaltungssatz bei Turbomaschinen

Bild A-I zeigt eine hypothetische Turbomaschine, die aus einem über eine Welle angetriebenen Verdichter und einer anschließenden Brennkammer besteht, als sta• tionäres, offenes System zu einem Zeitpunkt t und zu einem etwas späteren Zeit• punkt t+dt. Durch (E) wird der Eintritt der Turbomaschine und durch (A) der Aus• tritt gekennzeichnet. Am Eintritt strömt zum Zeitpunkt t die infinitesimale Masse dmE über die Bezugsraumgrenze in die Turbomaschine ein und etwas später - zum Zeitpunkt Hdt - wenn dmE vollständig eingeströmt ist, ist aus der Maschine über die Bezugsraumgrenze die infinitesimale Masse dmA ausgeströmt. Über einen Ro• tor wird über die Bezugsraumgrenze während des Zeitraums dt die Arbeit 'öW ausgetauscht. Im selben Zeitraum findet außerdem durch die Wand des Bezugs• systems ein Energieaustausch von Wärme in der Form von Zufuhr von Brennstoff in der Größenordnung 'öQ statt. Angewendet auf Bild A-I fordert der 1. Hauptsatz der Thermodynamik (E• nergieerhaltungssatz) die Gleichheit der in einen Bezugsraum eintretenden und der aus ihm austretenden Energien, da bei stationärer Durchströmung im Bezugsraum keine Energiespeicherung stattfinden kann. In der Energiebilanz erfolgen im Zeit• raum dt mit 'öW als Rotorarbeit und mit 'öQ als äußerer Wärmeenergieaustausch durch die Wand des Bezugsraums folgende Änderungen am System

Bezugsraumgrenze . -. -.,

ZE =ZA ÖQ System zur Zeit I System zur Zeit t + dt

Bild A-l: Turbomaschine (angetriebener Verdichter und anschließende Brennkammer) als statio• när strömendes, offenes System 660 Anhang A

öW +ÖQ+PEAEdxE -PAAAdxA

Hierin ist PE AE dxE eine Verdrängungsarbeit (Kraft· Weg), bei der über den Ein• tritt (E) die Druckkraft PE AE (Druck· Räche) längs des Weges dXE über die Sys• temgrenze, aufgrund des Einschiebens der Masse dmE in den Bezugsraum, ver• schoben wird. Da die Verdrängung in das System hinein erfolgt, erhält diese Ver• drängungsarbeit ein positives Vorzeichen. Analog dazu ist PA AA dXA die Verdrän• gungsarbeit aufgrund des Ausschiebens der Masse dmA aus dem Bezugsraum her• aus, so dass diese Verdrängungsarbeit nun ein negatives Vorzeichen erhält. Mit Adx = dV als Volumen und mit v = dV/dm als spez. Volumen wird A·dx = v·dm, so dass die Energiebilanz für das System nun lautet

öW +öQ+PEvEdmE -PA v AdmA

Diese Energiebilanz über die Systemgrenze der Turbomaschine steht im Gleich• gewicht mit den Energieänderungen innerhalb des Systems. Dieses sind die innere Energie U, die potentielle Energie g z dn und die kinetische Energie dm c2/2.

ÖW+ÖQ+PEvEdmE -PAvAdmA = =+[UB(t+dt)+UA +g'ZA ·dmA +dmA .c~/2]- (A.I) -[UB(t) +UE+g·zE·dmE +dmE·c~l2] Hierin ist UB die innere Energie innerhalb des Bezugsraums zu den beiden Zeit• punkten t und t+dt. UE und UA sind die inneren Energien (der gesamte Energiein• halt eines Fluides im atomaren und molekularen Bereich) der in das System ein• und austretenden Volumenelemente. Die restlichen Terme in GI. (A.I) beschrei• ben die Änderung der potentiellen und kinetischen Energie zwischen Ein- und Austritt. Wegen der stationären Strömung durch die Turbomaschine (keine Energiespei• cherung im System) ist die innere Energie im Bezugsraum zeitlich konstant, d.h. UB(t) = UB(t+dt). Die inneren Energien der ein- und ausströmenden Volumenele• mente UE und UA können zu UE und UA, als spez. innere Energien umgewandelt werden, d.h. UE = UE . dmE bzw. U A = UA . dmA. Aus GI. (A.I) wird damit

ÖW+öQ=dmA .[u A +PA 'vA +g'ZA +c~I2]­ (A.2) -dmE ,[uE +PE 'vE +g'ZE +c~l2] Bei den thermischen Turbomaschinen, das sind die, die von Gasen (kompressiblen Fluiden) durchströmt werden, sind die von der Schwerkraft herrührenden Glieder "g'z" stets vemachlässigbar (z.B. Traupel, 1988). Die spez. innere Energie u und die spez. Verdrängungs arbeit p v werden zu dem Begriff statische Enthalpie zu• sammengefasst. h=u+p·v (A.3)

Aus Gründen der Zweckmäßigkeit wird analog zum Begriff der statischen Enthal• pie per Definition der Begriff der Totalenthalpie eingeführt (z.B. Traupel, 1971) c 2 c 2 h = h + g . z + - "" h + - für thermische Turbomaschinen (A.4) t 2 2 A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen 661

Unter der Totalenthalpie wird der gesamte thermodynamische Energieinhalt (stati• sche und kinetische Energie) eines Fluides verstanden. Aus GI. (A.2) wird zu• sammen mit der Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung) dm = dmE = dmA

oW+OQ=dmA ·h tA -dmE ·htE =dm·(h tA -htE)=dm.MltEA (A.5) Dieser Ausdruck wird nach der Zeit abgeleitet

oW +oQ=dm. h _dm. h dt dt dt tA dt tE Die Änderungen je Zeiteinheit werden mit einem aufgesetzten Punkt gekenn• zeichnet

--oW = W· == P = R otor1· elstung, -=oQ Q. = W··armestrom, -dm. = m = M assenstrom ili ili ili

(A.6)

Diese Gleichung stellt die Anwendung des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik (Energieerhaltungssatz) auf eine stationär durchströmte Turbomaschine dar. Sinn• gemäß ist die Gleichung auch für jeden stationär durchströmten Abschnitt inner• halb einer Turbomaschine (z.B. Triebwerk) anwendbar, d.h. auch für Leit- und Laufräder, Diffusoren und Düsen usw. Unter den genannten Voraussetzungen und mit P = 0 gilt die Gleichung auch für Rohrleitungen und Anlagenteile einer Tur• bomaschine, wie z.B. Ventile und sonstige Stellorgane. Die linke und rechte Seite von GI. (A.6) werden nun durch den Massenstrom dividiert P Q --:-+--:-=h tA -h tE = Ml tEA m m w+q=~htEA (A.7)

Änderung der Totalenthalpie zwischen (E) und (A) I I I Von außen zu- oder abgeführte spez. Wärmeenergie Von außen zu- oder abgeführte spez. (technische) Arbeit

Arbeiten und Wärmen sind positiv, wenn sie den Energieinhalt des Fluides erhö• hen (Verdichter, Heizen) und negativ, wenn sie ihn absenken (Turbine, Kühlen). Der zugehörige Bezugsraum (System) soll hier stets adiabat sein, d.h. die Bezugs• raumgrenzen sind wärmeundurchlässige Wände. Bei guter Isolierung können Tur• bomaschinen i.allg. immer als adiabat angesehen werden, da der dennoch verblei• bende Restwärmeaustausch durch die Wände im Vergleich zur Rotorarbeit stets vemachlässigbar klein sein wird. 662 Anhang A

A.1.2 Gibbssche Hauptgleichung bei Turbomaschinen

Hierzu wird die Gibbssche Fundamentalbeziehungl (Traupel, 1971 oder Baehr, 1992) eingeführt, nach der für stationäre Strömungen ohne chemische Reaktion des Fluides folgender Zusammenhang gilt dh = v . dp + T . ds (A.8)

Wird GI. (A.3) differenziert, so folgt dh = du + p . dv + v . dp (A.9)

Die Kombination der GIn. (A.8) und (A.9) führt zu dem Ergebnis T· ds = du + p . dv (A.1O)

In den GIn. (A.8) bis (A.1O) sind T und p die statischen Größen für Temperatur und Druck. v = IIp ist das spez. Volumen, u die spez. innere Energie und h die statische Enthalpie. Neu eingeführt wird über die Gibbssche Fundamentalbezie• hung der Begriff der Entropie s. Nach Clausius2 ist die Entropie eine Bewer• tungsgröße für den Grad der Irreversibilität eines Prozesses. Die Änderung der Entropie ds während eines Prozesses zeigt an, ob die Prozessführung irreversibel (nicht umkehrbar bzw. verlustbehaftet) oder reversibel (umkehrbar bzw. ver• lustlos) ist. Sinngemäß lautet der Satz von Clausius Für jeden Prozess gibt es eine Zustandsgröße - die Entropie - die bei irreversiblen Prozessen wächst, bei reversiblen Prozessen gleich bleibt und niemals abnimmt. Die Änderung der gesam• ten Entropie eines Prozesses ist gleich der Summe der einzelnen Entropieänderungen aller an dem Prozess beteiligten Stoffe. Die Gibbssche Gleichung wird längs des Strömungsweges zwischen (E) und (A) durch die Turbomaschine integriert

A A h A - h E = f v . dp + f T . ds (A.II) E E In dieser Gleichung treten alle an einer Zustandsänderung des Fluides beteilig• ten thermischen Zustandsgrößen F(p, v, T) = 0 und kalorischen Zustandsgrößen F(h, p, T) = 0 bzw. F(u, v, T) = 0 gleichzeitig auf. Insbesondere auch die Entropie s, mit der über die Gibbssche Fundamentalbeziehung die Verknüpfung der thermi• schen und kalorischen Zustandsgrößen erfolgt. Da sich i.allg. v und T längs des Integrationsweges ändern, bezeichnet man die beiden Integrale in GI. (A.lI) als wegabhängig. Das bedeutet, dass ihre Lösung von der Zustandsänderung zwischen Ein- und Austritt abhängig ist, die Z.B. isentrop, isotherm, isochor oder polytrop verlaufen kann. Die Enthalpieänderung auf der linken Seite von GI. (A.Il) ist da-

I Josiah, Willard Gibbs (1839-1903) war Professor für mathematische Physik an der YaIe Universi• ty in Connecticut, USA. 1876 veröffentlichte er seine berühmte thermodynamische Abhandlung "On the Equilibrium of Heterogeneous Substances" . 2 Rudolf, Julius, EmanueI Clausius (1822-1888) war Professor für Physik an den Universitäten Zürich, Würzburg und Bonn. A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen 663 gegen wegunabhängig, d.h. beispielsweise, eine polytrope Zustandsänderung kann auch aus der Kombination einer isobaren und einer isothermen Zustandsänderung zusammengesetzt werden, die schließlich beide zum selben Resultat führen wie die polytrope. Die Enthalpieänderung in GI. (A.ll) ist damit nur vom Ein- und Austrittszustand abhängig. Per Definition wird nun das wegabhängige Integral in GI. (A.Il)

A Y == f v ·dp (A.12) E als spezifisch Strömungsarbeit bezeichnet. Alle praktischen Vorgänge in der Natur - also auch die in Turbomaschinen - verlaufen irreversibel. Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik besagt für irreversible Vorgänge, dass sich die Entropie s nicht nur durch eine Wärmezufuhr q von außen ändert, sondern auch irreversibel durch interne Umwandlung von Reibung in Wärme T . ds = (T . ds )rev + (T . ds Lr = (T . dS)q + (T . ds Lr

Die Integration dieser Beziehung führt auf den Ausdruck

A fT.ds=q+j mit (A.13) E

als spez. Wärmeenergie (A.14) E A j == f (T· dsLr als Dissipation (A.15) E Hierbei wird per Definition unter dem Begriff der Dissipation j ein infolge von Reibung in Wärme dissipierter Anteil an mechanischer Energie verstanden. Wäh• rend q > 0 und q < 0 gelten kann, ist nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik die Entropieänderung durch Reibung generell positiv definiert, so dass stets gilt

A j = f (T . ds L > 0 (A.16) E Die Gibbssche Fundamentalbeziehung (A.8) bekommt damit die Form

A fdh=ßh EA =hA -hE =y+q+j (A.17) E Die Kombination der GIn. (AA) und (A. 7) mit GI. (A.17) führt auf den Energieer• haltungssatz für stationär durchströmte Turbomaschinen in der folgenden Form

. I (2 2) W = Y + J + - . \C A - CE (A.18) 2 Obwohl in GI. (A.17) der äußere Wärmeaustausch q nicht mehr explizit auftritt, hängen die wegabhängigen Größen y und j sehr wohl davon ab. Per Definition wird nun der Begriff der totalen spez. Strömungsarbeit Yt eingeführt 664 Anhang A

(A.19)

Aus GI. (A.18) ergibt sich damit eine vereinfachende Schreibweise

w = y, + j (A.20)

In GI. (A.20) ist w die spez. Arbeit einer Turbomaschine, die über die Rotoren zu• oder abgeführt wird (Verdichter oder Turbine). Im Vergleich dazu gibt die totale spez. Strömungsarbeit y, an, welcher Anteil von w schließlich an das Fluid über• tragen bzw. vom Fluid aufgenommen wird. Die Differenz zwischen beiden Grö• ßen sind die Verluste, d.h. im vorliegenden Fall die Dissipationj.

A.1.3 Wirkliche und polytrope Zustandsänderungen

Wirkliche Zustandsänderungen zwischen Ein- und Austritt einer Turbomaschine sind experimentell und/oder theoretisch nur sehr schwer zu erfassen bzw. zu be• schreiben. Der linke Teil von Bild A-2 zeigt exemplarisch den Verlauf der Drucker• höhung im Mittenschnitt einer Axialverdichterstufe vom Druck PE am Stufenein• tritt bis zum Druck PA am Stufenaustritt (Dibelius, 1995). Es ist offensichtlich, dass diese Druckerhöhung nicht kontinuierlich erfolgt, sondern in Lauf- und Leit• rad unterschiedlich stark. Im Axialspalt zwischen Rotor und Stator erfolgt keine Druckänderung. Vor dem Laufrad sinkt der Druck sogar leicht ab, aufgrund des sich axial einziehenden Strömungskanals. Der Verlauf einer wirklichen Zustandsänderung wird von zahlreichen Faktoren geprägt, wie z.B. davon, ob das Fluid in der Maschine konstant, verzögert oder be• schleunigt strömt. Neben der Zu- oder Abfuhr von Arbeit und Wärme spielt selbstverständlich auch die Dissipation eine wichtige Rolle. Der rechte Teil von Bild A-2 zeigt in einem T-s-Diagramm exemplarisch, wie in einem Axialverdich• ter der wirkliche Verlauf einer Zustandsänderung zwischen (E) und (A) aussehen

T Wirklicher Verlauf der Zustandsänderung in 0 einem realen Verdichter

... .; /. Angenäherter ' 0 Verlauf der wirk• , lichen Zustands• Druck p : änderung durch eine sog. POLY• TROPE

s

Bild A-2: PrinzipielleDarstellung der Zustandsänderung im Mittenschnitt eines Axialverdichters (Druckverlauf und T-s-Diagramm) A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen 665 könnte. Darüber hinaus wurde ergänzend eine Ersatzzustandsänderung für den wirklichen Verlauf mit eingezeichnet, die als Polytrope bezeichnet wird. Bedeu• tung kommt dieser Betrachtung innerhalb der Gibbsschen Gleichung (A.1O) zu. Wie bereits bei GI. (A.II) erläutert, sind beide in der Gleichung auftretenden In• tegrale wegabhängig, d.h. zu ihrer Lösung, die man zur Ermittlung der Strö• mungsarbeit, der Dissipation und der Wirkungsgrade benötigt, muss der Verlauf der zu integrierenden Funktion v(p) bzw. T(s) längs des Integrationsweges be• kannt sein. Wie Bild A-2 zeigt, dürfte die mathematische Formulierung des wirk• lichen Zustandsverlaufes zwischen (E) und (A) zum Zwecke einer Integration we• der messtechnisch noch rechnerisch eine praktikable Vorgehensweise sein. Für die Praxis hat es sich als probat erwiesen, den wirklichen Verlauf der Zu• standsänderung durch einen einfach zu approximierenden theoretischen Zustands• änderungsverlauf zu beschreiben. Dieser approximierende Verlauf sollte die Ei• genschaft haben, dass er durch verhältnismäßig leicht und genau zu messende Zu• standsgrößen am Ein- und Austritt der Maschine festgelegt wird. Eine solche Er• satzzustandsänderung wird dadurch definiert, dass längs des Zustandsänderungs• weges zwischen Ein- und Austritt für alle infinitesimalen Wegelemente das Ver• hältnis der Enthalpieänderung dh zur spez. Strömungsarbeit dy = v dp konstant sein soll (Gallus, 1977)

v == dh = ~ = v· dp + T . ds = 1 + T· ds = 1 + dj + dq = const. (A.21) dy v . dp v . dp v . dp dy

Die Größe v in GI. (A.21), in der die Gibbssche Gleichung (A.8), dh = v cp + T ds = dy + dq + dj, enthalten ist, wird als PolytropenverhäItnis bezeichnet. Die damit definierte Zustandsänderung heißt Polytrope. Die Ein- und Austrittszustände die• ser Polytropen stimmen mit den wirklichen überein. Wie noch gezeigt werden wird, kann der Zahlenwert von V durch einfache Druck- und Temperaturmessun• gen am Ein- und Austritt bestimmt werden, wenn das darin strömende Fluid bzw. seine Eigenschaften (Dichte, Gaskonstante, spez. Wärme) bekannt sind. Wenn v für alle infinitesimalen Wegelemente denselben Wert hat, dann stehen auch die entsprechenden integrierten Werte y und ßhEA im seI ben Verhältnis zu• einander, d.h.

v=hA-h E =y+q+j=l+q+j (A.22) Y Y Y Sollte es sich aufgrund von Messungen von Zwischenzuständen zwischen dem Ein- und Austrittszustand zeigen, dass diese Messwerte viel zu weit von dem ap• proximierenden polytropen Zustandsverlauf abweichen, so ist es durchaus mög• lich und üblich, für jeden der Abschnitte zwischen den einzelnen gemessenen Zwischenzuständen eine separate Polytrope zu ermitteln. Eine solche Aufteilung einer gesamten Zustandsänderung in separate Abschnitte mit jeweils verschiede• nen Polytropenverhältnissen approximiert den wirklichen Verlauf einer Zustands• änderung i.allg. ganz erheblich besser, ist aber auch aufwendiger zu handhaben. Bild A-3 zeigt für einen Verdichtungsvorgang die polytrope Zustandsänderung im p-v-Diagramm. Längs der Zustandsänderung zwischen dem Eintritt (E) und dem Austritt (A) des Verdichters gilt in jedem infinitesimalen Abschnitt entspre• chend der Definition des Polytropenverhältnisses (Gallus, 1977) 666 Anhang A

p

I -r------~~~~------~ v = -p Bild A-3: Verlauf einer Zustandsänderung im p-v-Diagramm bei polytroper Verdichtung

dh T·ds V =--=l+--=const. (A.23) v ·dp v·dp Der aus der Thermodynamik bekannte Polytropenexponent n ist die Steigung der Zustandsänderungskurve im p-v-Diagramm. Nach Bild A-3 bedeutet dies

n = tan (J. = _( v . dp ) = const. (A.24) p. dv v =consl

Das negative Vorzeichen ergibt ich aus der negativen Steigung der Zustandsände• rungskurve im p-v-Diagramm. Durch Umstellen folgt aus GI. (A.24) dp dv -=-n·- (A.25) p v Nach Integration ergibt sich hieraus die wohlbekannte Polytropenbeziehung. Adp Adv [p=-n.[~ PA ·V: =PE · v~ =p·v n =const. (A.26)

A.1.4 Grundlegende Definitionen von Wirkungsgraden

A.1.4.1 Totaler Wirkungsgrad

Verdichter

A w>O Y = f v· dp > 0 j > O E Die kinetischen Energien c2/2 sind durch die Ein- und Austrittsquerschnitte und der dort vorliegenden Dichte des Fluides (Kontinuitätsgleichung) bestimmt. Beim A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen 667

Verdichter ist es das Ziel, die mittels Rotoren an das Fluid übertragene mechani• sche spez. Arbeit w in eine Erhöhung der totalen spez. Strömungsarbeit Yt des Flu• ides umzuwandeln. Je größer dabei die Dissipation j ist, um so geringer wird Yt ausfallen. Bei Wirkungsgraden ist es üblich, den Nutzen ins Verhältnis zum Auf• wand zu setzen. Bezeichnet man im vorliegenden Fall wals Aufwand und Yt als Nutzen, so kann aus diesen beiden Werten der totale Wirkungsgrad lltV definiert werden, bei dem der Index V für Verdichter steht.

(A.27)

Turbine

A wO E Um über den Rotor der Turbine eine spez. Arbeit w < 0 entnehmen zu können, muss, wegen der allgegenwärtigen Dissipation j > 0, vom Fluid ein entsprechend größerer Anteil von totaler spez. Strömungsarbeit Yt < 0 bereitgestellt werden, d.h. IYtl > Iwl· Im Vergleich zu der zuvor gemachten Betrachtung beim Verdichter keh• ren sich nun die Größen für Nutzen und Aufwand um und es kann so der totale Wirkungsgrad lltT definiert werden, bei dem der Index T für Turbine steht.

w (A.28) w - j

A.1.4.2 Statischer Wirkungsgrad

Gleichung (A.18) kann durch Umstellen in die folgende Form gebracht werden

(A.29)

Auf der linken Gleichungsseite stehen die dynamischen Vorgänge: die spez. Ro• torarbeit und die Änderung der kinetischen Energie. Auf der rechten Gleichungs• seite stehen die dadurch bedingten statischen Zustandsänderungen: die statische spez. Strömungsarbeit Y und die Dissipationj.

Verdichter. Für einen Verdichter ist als Nutzen die Druckerhöhung entsprechend Gl. (A.12) als Folge der Aufnahme von Strömungsarbeit anzusehen: Nutzen = y. Diesem Nutzen steht auf der anderen Seite als Aufwand die zugeführte Arbeit und die Änderung der kinetischen Energie gegenüber: Aufwand = w - Y2'(CE2 - CA2). Wegen des vorrangigen Ziels eines Verdichters, den Druck zu erhöhen, sollte am Verdichteraustritt die kinetische Energie cA212 möglichst klein ausfallen, da - wie die Bemoulligleichung lehrt - dieser kinetischer Energieabbau in Druckerhöhung 668 Anhang A gewandelt wird. Unter diesen Gesichtspunkten wird unter dem statischen Verdich• terwirkungsgrad 11v die folgende Definition verstanden

Y 11 v == ------''------(A.30) W_~.rC2 _c 2 ) 2 ~ A E

Mit den GIn. (A.18) und (A.25) wird hieraus der folgende Ausdruck gebildet

(A.31)

Turbinen. Wie schon bei der Definition des totalen Wirkungsgrades zu sehen war, kehren sich beim Übergang vom Verdichterwirkungsgrad zum Turbinenwir• kungsgrad lediglich die Verhältnisse Nutzen zu Aufwand um. So dass analog zur Vorgehensweise beim statischen Verdichterwirkungsgrad sich der statische Turbi• nenwirkungsgrad wie folgt ergibt

(A.32)

A.1.4.3 Polytroper Wirkungsgrad

Bei einer Polytropen stimmen die Ein- und Austrittszustände der Turbomaschine mit den wirklichen überein. Unter diesen Umständen lassen sich Wirkungsgrade bilden, die als statischer oder totaler polytroper Wirkungsgrad bezeichnet werden. Sie gelten als eindeutiges Maß zur Beurteilung der strömungsmechanischen Güte einer Turbomaschine.

Statischer polytroper Wirkungsgrad für Verdichter und Turbinen. Aus• gehend vom statischen Wirkungsgrad nach GI. (A.30) wird die spez. Arbeit w im Nenner mittels des I. Hauptsatzes (A.7) ersetzt.

(A.33)

Die Änderung der Totalenthalpie L1htEA wird durch GI. (A.4) ersetzt

11v = Y L1h - q L1h EA q EA --+--- Y Y

Im Nenner ist mit L1hEA/y das Poly tropen verhältnis v nach GI. (A.22) enthalten. A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen 669

I I 11 =--=- (A.34) v q V v-- y

Ausgehend von GI. (A.33) ergibt sich analog für Turbinen

11 T =v-.5!=v (A.35) y

Für adiabate, thermische Turbomaschinen ohne äußere Wärmezu- oder -abfuhr (q = 0) ist der statische polytrope Turbinenwirkungsgrad gleich dem Poly tropen• verhältnis und der statische polytrope Verdichterwirkungsgrad gleich dem rezip• roken Wert des Polytropenverhältnisses.

Totaler polytroper Wirkungsgrad für Verdichter und Turbinen. Ein Vergleich der totalen Wirkungsgrade (A.27) und (A.28) mit den statischen Wir• kungsgraden (A.3I) und (A.32) zeigt, dass sich die totalen aus den statischen ent• wickeln lassen, wenn in Zähler und Nenner der statischen Wirkungsgrade jeweils der Term der kinetischen Energieänderung Y2 . (CA2 - ci) hinzu addiert wird. Ent• sprechend dieser Eigenschaft entstehen aus den Gin. (A.34) und (A.35) die fol• genden totalen polytropen Wirkungsgrade

2 2 q c~ - c~ 1+ CA -CE v--+-'-'----'=-- 2·y Y 2· y 11 tv = 2 2 11 tT = ---'----:-2--':-2- (A.36) q CA-CE CA CE V --+-'-'----'=-- I+ - Y 2· y 2·y Für adiabate, thermische Turbomaschinen mit q = 0 wird daraus

2 2 l+cA-C E __2_·....:.y_ = 1_ ~ 11tv = 2 2 (A.37) CA -CE W V + ----'-'----'=- 2·y

Hierin sind die Dissipation j und spez. Strömungsarbeit y jeweils für polytrope Zustandsänderungen mit v = const zu ermitteln

A A j = jEA = f (T· ds L, v~con't Y = YEA = f (v . dp t~con't (A.38) E E

A.1.4.4 Isentroper Wirkungsgrad

Die Definitionsgleichung für isentrope Zustandsänderungen lautet s = const bzw. ds = O. Für das Polytropenverhältnis nach GI. (A.2l) ergibt sich damit v = dh/dy = I. Da nun l' ds = (1' ds)rev + (1' ds)irr = dq + dj ist, ergeben sich zwei Möglichkeiten für eine isentrope Zustandsänderung, für die T· ds = 0 gilt 670 Anhang A

- cr ds)rev = dq = 0 und (1' dS)irr = dj = O. Die Zustandsänderung ist adiabat und verlustfrei und wird als adiabate Isentrope bezeichnet - l' ds = (1' ds)rev + (T· ds)irr = dq + dj = 0 aber dj = -dq ::f. O. Diese Zustandsände• rung wird diabate Isentrope genannt. Es wird immer soviel Wärme aus dem System abgeführt (dq < 0), wie durch Irreversibilitäten (dj > 0) erzeugt wird. Im folgenden wird stets davon ausgegangen, dass die erstere Möglichkeit die Re• gel ist, wenn von isentropen Zustandsänderungen die Rede ist. Während beim polytropen Wirkungsgrad die spez. Arbeit w zur totalen spez. Strömungsarbeit Yt ins Verhältnis gesetzt wurde - vgl. GIn. (A.27) bzw. (A.28) - wird beim isentropen Wirkungsgrad die spez. Rotorarbeit w ins Verhältnis gesetzt zu einer hypothetischen, idealisierten Strömungsarbeit Ys, die bei adiabater, i• sentroper (verlustfreier) Strömung vorliegen würde. Verdichter Turbine

ilh EAs ilh EA llvs""~ llTs""~ (A.39) EA EAs Ausgehend vom jeweiligen Eintrittsdruck PE zeigt Bild A-4, dass nach abge• schlossener Zustandsänderung sowohl bei der Polytropen als auch bei der Isentro• pen stets derselbe Austrittsdruck PA erreicht wird. Unterschiede zeigen aber bei den Enthalpien, wo sich im isentropen FaIl hA und im polytropen hAs einsteIlt. Bei einer Verdichtung erhöht sich in jedem Fall die Enthalpie zwischen Ein• und Austritt, unabhängig davon, ob die Zustandsänderung polytrop oder isentrop verläuft. Dabei ist im polytropen Fall die Enthalpieänderung größer als im isentro• pen. Grund dafür ist die Dissipation j (ds > 0), die Reibung in Temperaturerhö• hungen umsetzt. Beim Expansionsvorgang in der Turbine nimmt die Enthalpie zwischen Ein- und Austritt ab, auch hier unabhängig davon, ob die Zustandsänderung polytrop oder i• sentrop verläuft. Im polytropen Fall steIlt sich eine geringere Enthalpieabsenkung ein als im isentropen. Grund dafür ist auch hier die Dissipationj (ds > 0), die einen Tempe• raturanstieg bewirkt und so die Temperaturabsenkung beim Expansionsvorgang dämpft.

h Verdichter h Turbine

A E s s

Bild A-4: Vergleich zwischen polytropen und isentropen Zustandsänderungen bei Verdichtern und Turbinen im h-s-Diagramm A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen 671

Aus den statischen polytropen Wirkungsgraden ergibt sich für Verdichter und Turbine dh -q 1'1 - Y EA ·IV - llT =_=.:....~ (A.40) dh EA -q y Ein Abgleich dieser Beziehungen mit Bild A-S bzw. mit den GIn. (A.39) zeigt, dass beim Verdichter die isentrope Zustandsänderung ausschließlich im Zähler und bei der Turbine ausschließlich im Nenner zu berücksichtigen ist. Die GIn. (A.40) Ver• deutlichen somit, dass davon nur die spez. Strömungsarbeit y betroffen ist. Für eine isentrope Zustandsänderung (ds = 0), für die y = Ys gelten soll, kann aus der Gibbss• chen Fundamentalgleichung (A.8) der Ausdruck dh = v dp bzw. dhs = (v dp)s ange• geben werden. Unter Berücksichtigung von Gi. (A.12) ergibt sich daraus

A, A, Ys = J(v.dp)s = J(dh)s =h EAS -hA =dhEAs (A.4I) E E Die Gleichung für den statischen isentropen Verdichterwirkungsgrad lautet dann

Ys llvs = dh (A.42) EA -q Analog dazu lautet die Gleichung für den statischen isentropen Turbinenwir• kungsgrad

dh EA -q dhEA-q llTs = -~--.:. (A.43) y s dh EAs Für adiabate, thermische Turbomaschinen mit q = 0 reduzieren sich die GIn. (A.42) und (A.43) auf die einfachen, anschaulichen Formen der Gin. (A.39). Wie schon beim totalen polytropen Wirkungsgrad erläutert, können die totalen Wirkungsgrade im Vergleich zu den statischen Wirkungsgraden dadurch gebildet werden, indem in Zähler und Nenner der statischen Wirkungsgrade Yl (CA2 - ci) hinzu addierte wird. So ergeben sich dann auch die Gleichungen für die totalen isentropen Verdichter- und Turbinenwirkungsgrade

Y +-.I ~C 2 -c 2 ) s 2 A E (A.44)

(A.4S) 672 Anhang A

A.1.4.5 Vergleich zwischen polytropen und isentropen Wirkungsgraden

In thermischen Turbomaschinen strömen Fluide, deren Dichte sich bei Kompres• sion (Verdichter) erhöht und bei Expansion (Turbine) verringert.

Verdichter v E > VA bzw. Turbine v E < VA bzw.

SolI für Verdichter und Turbinen zum einen die wirkliche spez. Strömungsarbeit Y und zum anderen die isentrope spez. Strömungsarbeit )'s bestimmt werden, so er• gibt sich nach Bild A-S in einem ersten Schritt folgender Zusammenhang für die spez. Volumina am Turbomaschinenaustritt (A)

(v As < VA )verdichtcr (v A~ < V A )Turbinc Spezifische Volumina sind die Kehrwerte der jeweiligen Dichte, so dass die Iso• choren (Linien mit v = const) mit kleinen v-Werten im oberen und die mit großen v-Werten im unteren Bereich eines h-s-Diagramms liegen. Für die spez. Strö• mungsarbeiten y und Ys von Verdichter und Turbinen heißt das

A A, A A, )'V = f v· dp )' v, = f (v . dp ), YT =-fv.dp YT, = - f (v . dp ), E E E I'

Da die Druckänderung dp stets dieselbe bleibt, resultiert der Unterschied zwischen Y und Ys nur aus den unterschiedlichen Änderungen bei den Dichten bzw. spez. Volumina. Bei kompressiblen Fluiden in thermischen Turbomaschinen ist somit die tatsächliche spez. Strömungsarbeit generel1 größer ist als die isentrope.

(A.46)

h Verdichter • h Turbine PA •/ VA /. .---~------~----~

..... A ~ *"""'" vAs S s s

Bild A-5: Genereller Verlauf von Isobaren und Isochoren bei Verdichtern und Turbinen im h-s• Diagramm A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen 673

Für adiabate, thermische Turbomaschinen waren weiter oben hinsichtlich der po• lytropen und isentropen Wirkungsgrade folgende Ergebnisse gefunden worden Verdichter Turbine I v·dp y dh ~hEA l1 y =-=--=-- l1 T = V = --= -- polytrop (A.47) v dh Ml EA v·dp y Ys ~hEAs _ Ml EA _ Ml EA l1y,=~=~ l1 Ts ------isentrop (A.48) EA EA Ys Ml EAs Wegen der Aussage der GI. (A.46), die in dieser Form sowohl für Verdichter als auch Turbinen gilt, können für die vorstehenden Wirkungsgrade folgende Feststel• lungen getroffen werden - Polytrope Verdichterwirkungsgrade sind generell größer als isentrope - Polytrope Turbinenwirkungsgrade sind generell kleiner als isentrope Die polytropen Wirkungsgrade für Verdichter und Turbinen lauteten I dy v· dp dh dh l1 T =v =-=-- 11 y = ~ = dh = dh dy v· dp

Aus GI. (A.IS) dh = dy + dq +dj = dy + dj wird für den isentropen Fall (dj= 0 und dh = dhs) einer adiabaten Turbomaschine (q = 0): dy = dhs• Dieses Resultat zeigt, dass die spez. Strömungsarbeit dy = v dp auch als infini• tesimale Enthalpiedifferenz dhs bei unendlich kleiner Druckänderung dp gedeutet werden kann. Mit dieser Erkenntnis können die polytropen Wirkungsgrade von Verdichter und Turbine wie folgt aufgeschrieben werden dh (A.49) l1 T = dh s Werden diese Gleichungen mit den bei den GIn. (A.39) für die isentropen Wir• kungsgrade verglichen, so ist eine deutliche Analogie zu erkennen polytrope Wirkungsgrade isentrope Wirkungsgrade dh, dh Ah EAs Ml EA T]y = dh T]T = dh, T]ys =~ T]Ts =~ (A.SO) BA EAs Die polytropen Wirkungsgrade kennzeichnen die unendlich kleinen und die i• sentropen Wirkungsgrade die endlichen Zustandsänderungen. Bild A-6 zeigt die Zusammenhänge am Beispiel des Verdichters. Dazu sind im Bild die Isobaren des Ein- und des Austrittsdrucks PE und PA dargestellt, ebenso wie die Ein- und Austrittszustände (E) und (A) bei polytroper Verdichtung und die des Austrittszustandes (A,) bei isentroper Verdichtung. Mittels der daraus resultie• renden Enthalpiedifferenzen ~hEAs und ~hEA kann der isentrope Verdichterwir• kungsgrad (A.48) formuliert werden. Des weiteren ist im Bild A-6 die Isobare ei• nes beliebigen zwischen PE und PA liegenden Druckes p eingezeichnet und zusätz• lich die infinitesimal dicht daneben liegende Isobare p+dp. Mittels dieser beiden Isobaren und der daraus resultierenden unendlich kleinen Enthalpiedifferenzen dh, und dh kann der polytrope Verdichterwirkungsgrad (A.49) formuliert werden. Es 674 Anhang A

h Llh EAs Tlv s =~ EA

dh s Tlv =dh

-+------~ s

Bild A-6: Zur Bedeutung des polytropen und isentropen Wirkungsgrades am Beispiel des Ver• dichters war gezeigt worden, dass isentrope und polytrope Wirkungsgrade analog definiert sind, ersterer für endliche und letzterer für unendlich kleine Zustandsänderungen. Ausgehend von diesen Verhältnissen kann für eine Turbomaschine nun ein einfa• ches Gedankenexperiment durchgeführt werden. Dazu wird die gesamte Turbo• maschine in kleine Einzelabschnitte aufgeteilt. Diese kleinen Einzelabschnitte sind dann die sog. Stufen der Turbomaschine, die beim Verdichter aus den Baugruppen Rotor/Stator und bei der Turbine aus den Baugruppen StatorlRotor bestehen. Die gesamte Turbomaschine besteht dann aus einer Vielzahl solcher Stufen. Werden nun zum einen auf diese kleinen Einzelabschnitte und zum anderen auf die gesam• te Maschine die Definitionen des polytropen und des isentropen Wirkungsgrades übertragen, so können folgende Aussagen getroffen werden - Der polytrope Wirkungsgrad kann als isentroper Wirkungsgrad eines kleinen Einzelabschnittes - also einer Turbomaschinenstufe - angesehen werden, d.h. Tlvs,St =Tlv =isentroper Stufenwirkungsgrad eines Verdichters TlTs,St =TlT =isentroper Stufen wirkungsgrad einer Turbine. - Der isentrope Wirkungsgrad wird wie bisher als isentroper Wirkungsgrad der gesamten Turbomaschine angesehen werden, d,h, Tlvs = isentroper Wirkungsgrad des gesamten Verdichters TlTs = isentroper Wirkungsgrad der gesamten Turbine Zusammen mit den beiden Aussagen zu den polytropen Wirkungsgraden unter• halb der Gin, (AA7), (AA8) folgt daraus Verdichter Der isentrope Wirkungsgrad eines vielstufigen Verdichters ist schlech- ter als der mittlere isentrope Wirkungsgrad seiner Einzelstujen. Ursächlich hierfür ist die zusätzliche Erwärmung des Fluides infolge von Dissipa• tion, die eine Volumenzunahme des Fluides bewirkt, ein Effekt, der der Verdich• tung entgegenwirkt und der von Stufe zu Stufe durch einen zusätzlichen Ar• beitsaufwand ausgeglichen werden muss, Dieses summiert sich über die gesamte Turbomaschine und lässt so den Wirkungsgrad des gesamten Verdichters schlech• ter ausfallen als den seiner Stufen. A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen 675

Turbine Der isentrope Wirkungsgrad einer vielstufigen Turbine ist besser als der mittlere isentrope Wirkungsgrad ihrer Einzelstujen. Ursächlich hierfür ist ebenfalls die Erwärmung des Fluides infolge von Dissipati• on. Diese Erwärmung bewirkt eine Volumenausdehnung des Fluides, ein Vor• gang, der die Expansion in der Turbine unterstützt und so dazu führt, dass von Stufe zu Stufe zunehmend weniger an Arbeitsaufwand betrieben werden muss. Dieses summiert sich über die gesamte Turbomaschine auf und lässt so den Wir• kungsgrad der gesamten Turbine besser ausfallen als den ihrer Stufen. Bild A-7 und die nachfolgenden Gleichungen verdeutlichen diese Zusammen• hänge an den Beispielen eines 4-stufigen Verdichters und einer 4-stufigen Turbine.

x=4 x~ L dh x =dh) +dh 2 +dh 3 +dh 4 =Ah EA und Ldhsx >AhEAs x=1 x=1 x=4 x=4 L dh x = dh) + dh 2 + dh3 + dh4 = Ah EA und Ldhsx > ~hEAs x=! x=l Ah EA AhEAs Wegen TlTs =~ und Tlvs =~' EAs EA

dh x dh sx sowie wegen Tl T = und Tl v dh sx dh x ergibt sich auch hier der bereits abgeleitete Zusammenhang zwischen polytropen und isentropen Wirkungsgraden bzw. zwischen dem isentropen Wirkungsgrad der gesamten Turbomaschine und dem isentropen Stufen wirkungsgrad

Tl T < Tl Ts und Tl v > Tlvs bzw. Tl Ts < TlTs,St und Tl vs > Tlvs.St

h

Verdichter

s s

Bild A-7: Verdichtung und Expansion in 4-stufigen Maschinen zur Erläuterung der Eigenschaf• ten des isentropen Stufenwirkungsgrades im Vergleich zum isentropen Wirkungsgrad der gesam• ten Turbomaschine 676 Anhang A

Mit steigendem Verdichterdruckverhältnis 1tEA = PA / PE > 1 und mit abnehmendem Turbinendruckverhältnis 1tEA = PA / PE < 1 nimmt der Unterschied zwischen poly• tropen und isentropen Wirkungsgraden bzw. zwischen den isentropen Wirkungs• graden der gesamten Turbomaschinen und den isentropen Stufen wirkungsgraden zu. Wirkungsgrade werden i.allg. dazu genutzt, die Güte der Zustandsänderung in einer Turbomaschine oder in einem ihrer Teilabschnitte zu beschreiben. Unter die• sem Gesichtspunkt stellt sich die Frage, welche der bei den hier getroffenen Wir• kungsgraddefinitionen, nämlich die des isentropen oder die des polytropen Wir• kungsgrades, die Güte der Turbomaschine besser beurteilen. Die Verdichtung bzw. Expansion längs einer Polytropen, so wie sie Bild A-7 darstellt, machen an• hand der Gleichung für das Polytropenverhältnis

V = dh = dy + dj = I + dj = const. für dq =0 dy dy dy deutlich, dass in jedem infinitesimalen Abschnitt der polytropen Zustandsänderung, längs der v = const gilt, die Dissipation dj und die spez. Strömungsarbeit dy stets in einem festen Verhältnis zueinander stehen. Dies bedeutet andererseits aber auch, dass in jedem der infinitesimalen Abschnitte die Verluste dj stets auf die tatsächli• che Änderung der spez. Strömungsarbeit dy bezogen werden. Da die spez. Strö• mungsarbeit dy auch als infinitesimale Enthalpiedifferenz dhs bei infinitesimaler Druckänderung dp gedeutet werden kann, erhält die obige Gleichung die Form dh d· d· v = - = 1 + _J = I + -~ const. für dq = 0 dy dy dh s

Die Interpretation dieses Ausdrucks im Zusammenhang mit den Ausführungen zu Bild A-7 lässt erkennen, dass beim isentropen Verdichterwirkungsgrad - im Ge• gensatz zum polytropen - die Verluste j auf eine Strömungsarbeit y = LlhEAs bezo• gen werden, die kleiner ist als die wirkliche Ldhs. Beim Verdichter werden also die Verluste überbewertet. Beim isentropen Turbinenwirkungsgrad werden die Verluste j dagegen auf eine Strömungs arbeit y = LlhEAs bezogen, die größer ist als die wirkliche Ldh" d.h bei der Turbine werden die Verluste unterbewertet. Je grö• ßer die Druckänderungen in Verdichter oder Turbine ausfallen, um so größer wer• den deswegen auch die Abweichungen zwischen polytropen und isentropen Wir• kungsgraden werden. Die Aussagefähigkeit des isentropen Wirkungsgrades hängt also vom Druckverhältnis der Turbomaschine ab, womit klar wird, dass der po• lytrope Wirkungsgrad die gerechtere Beurteilung der strömungstechnischen Quali• tät einer Turbomaschinen darstellt. Da sich aber der isentrope Wirkungsgrad in ei• nem h-s-Diagramm einfacher darstellen lässt als der polytrope, ist der isentrope Wirkungsgrad der in der Praxis gebräuchlichere.

A.1.4.6 Wirkungsgrade passiver Turbomaschinenteile

Turbomaschinen setzen sich aus bewegten (aktiven) und unbewegten (passiven) Bauteilen zusammen. In den feststehenden, passiven Bauteilen, wie Gehäusen und gehäusefesten Strömungskanälen, zu denen speziell Leiträder, Düsen und Diffuso• ren gehören, ist die bisherige Wirkungsgraddefinition, die die ausgetauschte spez. A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen 677 mechanische Arbeit w enthält, nicht mehr sinnvoll, da Arbeit (= Kraft x Weg) nur in bewegten Bauteilen umgesetzt werden kann. Die Kombination des Energieerhaltungssatzes und der Gibbsschen Fundamental• beziehung hatte zu GI. (A.18) geführt. Wird hierin die spez. Arbeit zu Null gesetzt so folgt

2 2 CA CE . bzw. -=--y-J (A.51) 2 2

Bauteile mit Verzögerung CA < CE werden als Diffusoren bezeichnet, in denen ki• netische Energie CE2/2 in statische Druckerhöhung PA > PE gewandelt wird. Für die spez. Strömungsarbeit heißt dies: dy = v . dp > 0, womit offensichtlich wird, dass die Gin. (A.51) nichts anderes sind als die wohlbekannte Bemoulli-Gleichung der Strömungsmechanik. Wirkungsgrade sind das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand. Bei einem diffu• sorförmigen Bauteil werden als Nutzen und Aufwand die folgenden Terme aus (A.51) angesehen

c 2 A c 2 Nutzen ==~+y mit Y = f v·dp > ° Aufwand==~ 2 E 2 Der Aufwand ist somit die kinetische Energie am Eintritt des Diffusors und der Nutzen die Summe der Energien, die infolge des Abbaus von kinetischer Energie am Austritt noch zur Verfügung stehen. Hieraus ergibt sich der DitTusorwirkungsgrad zu

c~ + 2· Y TJDiff = 2 (A.52) CE

Passive Bauteile mit Beschleunigung CA > CE werden als Düsen bezeichnet, in de• nen die kinetische Energie CA2/2 durch Druckabbau PA< PE erhöht wird. Bei einem düsenförmigen Bauteil werden als Nutzen und Aufwand die folgenden Terme aus (A.51) angesehen

c 2 c 2 A Nutzen ==~ Aufwand == ~ - Y mit y = f v . dp < ° 2 2 E Der Aufwand ist somit die Summe der Energien, die am Düseneintritt zum Auf• bau kinetischer Energie zur Verfügung stehen und der Nutzen die kinetische E• nergie am Austritt der Düse. Hieraus ergibt sich der Düsenwirkungsgrad zu

2 c A 11 Düse == -2-- (A.53) CE - Y

A.1.4.7 Mechanischer Wirkungsgrad

Unter der Kupplungsleistung PK eines Verdichters wird die Leistung verstanden, die dieser an seiner Kupplung von einem externen Antrieb (z.B. E-Motor oder Turbine) aufnehmen muss, um die Leistung P mittels seiner Rotoren an das Fluid 678 Anhang A

Motor oder Generator

Bild A-8: Prinzipskizze einer Turbomaschine (Verdichter oder Turbine) mit Kupplung und An• bzw. Abtrieb

abgeben zu können, Bild A-8. Unter der Kupplungsleistung PK einer Turbine wird die Leistung verstanden, die diese an ihrer Kupplung an eine andere Maschine (z.B. Generator oder Verdichter) abgeben kann, wenn sie vom Fluid über ihre Rotoren ei• ne Leistung P aufgenommen hat, Bild A-8. Beide Leistungen P und PK sind im Falle des Verdichters positiv und im Falle der Turbine negativ definiert. Der Unterschied zwischen P und PK ist die mechanische Verlustleistung Pm, die alle Reibungsverluste in den Lagern, den Abdichtungselementen zwischen den rotierenden Teilen und dem Gehäuse sowie zwischen den rotierenden Teilen und allen sonstigen gehäuse festen Innenteilen umfasst. Die mechanische Verlustleistung Pm ist ebenso wie die Dissipa• tion bei Verdichtern und Turbinen stets positiv definiert.

P pp}> 0 für verdichter} mit Pm > 0 = (A.54) K + m < 0 für Turbinen ml't Pm >0

PK Leistung an der Kupplung P Strömungsmechanische Leistung P = w . m, die zwischen Rotor und Fluid ausgetauscht wird. Pm Mechanische Verlustleistung innerhalb der Turbomaschine bi s hin zur Kupp• lung. Pm ist stets positiv definiert. Hieraus ergeben sich die mechanischen Wirkungsgrade für Verdichter und Turbinen

mit Pm >0 (A.55)

mit P'" > 0 (A.56)

Die mechanischen Verluste beinhalten - wie weiter oben erwähnt - auch die Ver• luste in berührenden Dichtungen. In modemen Turbomaschinen sind aber vielfach auch berührungslose Dichtelemente zu finden, die an Lagern und Wellen mittels gezielt herbeigeführter Druckunterschiede - der sog. Sperrluft - eine Abdichtung gewährleisten. Die zur Bereitstellung dieser Sperrluft aufzubringende Leistung ist der Verlustleitung Pm zuzuschlagen, wenn die Sperrluft vollkommen separat vom A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 679

Hauptfluidstrom der Turbomaschine gehalten wird. Wird aber die Sperrluft in ei• nem vorderen Teil der Maschine abgezapft und im hinteren wieder zugemischt - also mittels einer sog. Bypass-Führung aufgenommen, so ändert sich an der Ge• samtbilanz der Leistungen nichts.

A.1.4.8 Maschinenwirkungsgrad

Per Definition wird unter dem Maschinenwirkungsgrad TltK das Produkt aus me• chanischem und totalem polytropen Wirkungsgrad verstanden. Für Verdichter und Turbinen ergibt sich dementsprechend

I (2 2 ) Y+-'\C A -CE . 11 _~_ 2 _I_~ TlIKv == TI IV . Tlvm mit "IV -- - (A.57) w w w w W mit Tl tT =-= 1 (A.58) j YI Y+"2' (c! - c~) 1-- w

A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide

A.2.1 Zustandsgrößen und Zustandsänderungen

Um die beiden Ausdrücke dy = v·dp und dq + dj = Tds integrieren zu können, müssen die Funktionen v = v(p) und T = T(s) bekannt sein. Bisher wurde gezeigt, dass diese Funktionen vom Poly tropen verhältnis v abhängen. Dieses ist aber nicht die einzige Abhängigkeit, es ist des weiteren auch zu berücksichtigen, mit welcher Änderung beim spez. Volumen v oder bei der Temperatur T das Arbeitsfluid auf eine Arbeits- oder Wärmeübertragung reagiert. Die thermische Zustandsgleichung (Baehr, 1992) ist ein Stoffgesetz, das für jede Phase3 eines Stoffes gültig ist, und den Zusammenhang zwischen Druck p, spez. Volumen v und Temperatur T beschreibt: p = p(v, T). Der Druck p, das spez. Volumen v und die Temperatur T werden deswegen auch als thermische Zu• standsgrößen bezeichnet. Die kalorische Zustandsgleichung (Baehr, 1992) formu• liert sich analog zur thermischen Zustandsgleichung: u = u(v, T) bzw. h = h(p, T).

3 Nach Josiha Willard Gibbs (1839-1903): "On the Equilibrium of Heterogeneous Substances", USA, 1876, soll unter Phase jeder homogene Bereich eines Systems verstanden werden, inner• halb dessen Systemgrenzen die chemische Zusammensetzung und die physikalischen Eigen• schaften des darin enthaltenen Stoffes an jeder Stelle gleich sind. Bei den Turbomaschinen handelt es sich dabei speziell um die fluiden und gasförmigen Phasen. Dabei ist zu beachten, dass gleiche chemische Zusammensetzung nicht nur dann vorliegt, wenn das System aus einem einzigen reinen Stoff, wie z.B. reinem Stickstoff besteht, sondern auch dann, wenn ein Ge• misch verschiedener Stoffe vorliegt, wie z. B. bei einem Abgas, soweit bei diesem Gemisch nur das Mischungsverhältnis im gesamten System konstant bleibt. 680 Anhang A

Hierbei ist u die spez. innere Energie und h die sog. Enthalpie. Der Zusammen• hang zwischen u, T und v in der kalorischen Zustandsgleichung ist sehr verwi• ckelt, ebenso wie der in der thermischen Zustandsgleichung. Er muss für jeden Stoff experimentell ermittelt werden. Thermische und kalorische Zustandsglei• chung verdeutlichen in ihrer genannten Form, dass der Zustand eines Fluides im• mer dann eindeutig festliegt, wenn jeweils zwei voneinander unabhängige Zu• standsgrößen gegeben sind. Die anderen Zustandsgrößen lassen sich dann aus den beiden festliegenden bestimmen. Für eine Zustandsänderung erfolgt die Verknüp• fung der thermischen und kalorischen Zustandsgleichung durch die Gibbssche Fundamentalbeziehung (A.8). Zusammen mit GI. (A.13) wird daraus dh = v . dp + T . ds = v . dp + dq + dj (A.59) Daraus wird durch Umstellen T . ds = dq + dj = dh - v . dp (A.60) Entsprechend GI. (A.3) h = u + p verhält man durch Ableitung dh = du + p . dv + v . dp bzw. dh - v . dp = du + P . dv (A.61) T . ds = dq + dj = du + p . dv (A.62)

Es war gezeigt worden, dass die Zustandsgröße Enthalpie h von den zwei Größen Druck p und Temperatur Tabhängt h = h(p, T). Mathematisch bedeutet dies, dass die Zustandsgröße h, die eine Funktion von zwei Variablen ist, ein totales Diffe• rential besitzt.

dh = (dh ) .dp + (dh ) .dT = (dh) .dp + (dh) .dT (A.63) dp T~consl dT p~consl dp T dT p Nach der Produktregel der Differentialrechnung wird im ersten Term die Enthalpie h bei konstanter Temperatur (T = const) nach dem Druck p abgeleitet und im zwei• ten Term die Enthalpie h bei konstantem Druck (p = const) nach der Temperatur T. Die Indizierung an den Klammerausdrücken zeigt, weIche Größe beim Differen• zieren jeweils konstant bleibt. Der Einfachheit wegen werden anstelle der Indizes T = const bzw. p = const nur die Indizes T bzw. p geschrieben. Eine Terminolo• gie, die im weiteren Text auch auf das spez. Volumen v = const und die Entropie s = const übertragen wird. Das totale Differential der Form (A.63) wird nun auf die Gibbssche Fundamentalbeziehung dh = v dp + 'F d<; nach GI. (A.8) übertragen.

(A.64)

Der zweite in GI. (A.63) enthaltene Term ist die aus der Thermodynamik wohlbekann• te spez. Wärmekapazität bei konstantem Druck cp4 (wegen des Index p = const).

4 Die Bezeichnung Wärmekapazität geht auf die historische ,tuffassung zurück, dass Wärme ein Stoff ist, der einem Körper zugeführt werden kann und in diesem so eine Temperaturänderung hervorruft. Bei gleicher Temperaturänderung kann ein Körper um so mehr Wärmestoff auf• nehmen, je größer seine Wärmekapazität ist. A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 681

c (A.65) p =(dhdT 1

Die Gin. (A.64) und (A.65) werden in die GI. (A.63) eingesetzt.

(A.66) dh=[V+T{~; lldP+cp 'dT=[I+: {~; llv.dP+cp ·dT

Die in dieser Gleichung auftretende und nicht direkt messbare Entropieänderung ds kann durch eine der sog. Maxwellschen-BeziehungenS ersetzt werden (Kno• che, 1972).

(A.67)

Gleichung (A.66) erhält damit die Form

(A.68) dh = [1- : -( ~; II v· dp + c p . dT

In dieser Gleichung ist der sog. isobare Ausdehnungskoeffizient a enthalten (Kno• che, 1972) a=:-(~;l (A.69)

Der isobare Ausdehnungskoeffizient a beschreibt die Volumenänderung dv eines Fluides konstanten Druckes (p = const) in Abhängigkeit der Temperatur T. Aus GI. (A.68) wird damit schließlich

dh =c p .dT+(I-a)·v·dp (A.70)

Ebenso wie die Enthalpie h, so hängt auch die Zustandsgröße innere Energie u von nur zwei Größen ab, dem spez. Volumen v und der Temperatur T: u = u(v, T). Mathematisch bedeutet dies ebenfalls, dass die Zustandsgröße u ein totales Diffe• rential besitzt.

du =(dU) 'dV+(~) .dT (A.7!) dV T dT v

Dieses totale Differential wird auf die GI. (A.62) l' ds = u + p dv übertragen

du = T . ds - p . dv ( du 1 = T . (~) _ p (A.72) dvJr dV T

5 James Clerk Maxwell (1831-1879), schottischer Physiker, war Professor in Aberdeen, London und Cambridge. Neben Arbeiten zur kinetischen Gastheorie veröffentlichte er mehrere Aufsät• ze über thermodynamische Probleme und das Lehrbuch Theory 01 Heat, das 1871 in London erschien. 682 Anhang A

Der zweite in GI. (A71) enthaltene Term ist die aus der Thermodynamik wohlbekann• te spez. Wärmekapazität bei konstantem Volumen Cv (wegen des Index v = const).

(A73)

Die GIn. (A72) und (A73) werden in GI. (A.7l) eingesetzt.

(A74) du = [ T -( ~: 1- p} dv + c y • dT = [: -( ~: 1- I} P . dv + c y • dT

Die in dieser Gleichung auftretende und nicht direkt messbare Entropieänderung dS wird ebenfalls durch eine der sog. Maxwellschen-Beziehungen ersetzt (Kno• che,1972).

(A.75)

Gleichung (A.74) erhält damit die Form

(A.76) du = [: -( ~~ l-l} P . dv + c y • dT

In dieser Gleichung ist der sog. isochore Spannungs- bzw. Kompressibili• tätskoeffizient ß enthalten (Knoche, 1972). ß=:{~~l (A.77) Der isobare Kompressibilitätskoeffizient ß beschreibt die Druckänderung dP eines Fluides konstanten Volumens (v = const) in Abhängigkeit der Temperatur T. Aus GI. (A.76) wird damit schließlich

du=c y ·dT-{l-ß)·p·dv (A.78)

Die Koeffizienten a und ß verbinden - wie die GIn. (A.70) und (A78) zeigen - die Änderungen der kalorischen Zustandsgrößen h bzw. u mit denen der thermi• schen Zustandsgrößen p, v, T. Aus der Gibbsschen Fundamentalbeziehung (A.8) bzw. (A.lO) T·ds = dh - v·dp = du + p·dv folgt dh v ds =---·dp (A.79) T T du P ds =-+-·dv (A.80) T T Polytrope Zustandsänderungen werden entsprechend GI. (A.26) durch den Aus• druck p·vo = const beschrieben. Hierin ist n der sog. Polytropenexponent, der nach Bild A-3 das Verhältnis der infinitesimalen Strömungsarbeit v dp und der in• finitesimalen Volumenänderungsarbeit p dv längs einer Polytropen (v = const) ist. In Gleichungsform heißt das A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 683

Es sei daran erinnert, dass das negative Vorzeichen für den Polytropenexponenten n in dieser Gleichung von der negativen Steigung der polytropen Zustandsände• rungskurve im p-v-Diagramm herrührt, so wie es bei Bild A-3 diskutiert wurde. Eine entsprechende Gleichung ergibt sich dann auch für den Isentropenexpo• nenten lC, wenn die Zustandsänderung längs einer Kurve s = const im p-v• Diagramm aufgetragen werden würde.

(A.82)

Schließlich ergibt sich auch eine entsprechende Gleichung für den Isenthalpenexpo• nenten m, wenn die Zustandsänderung längs einer Kurve h =const im p-v-Diagramm aufgetragen werden würde.

(A.83) m =-~{~~ teon" =-~{~~ 1 A.2.2 Ideale Gase und ideale Gasgemische

Ideale Gase sind durch die thermische Zustandsgleichung, die auch als Allgemei• ne Gasgleichung bezeichnet wird, definiert

p·v=R·T bzw. E.=R·T (A.84) P Nach Dalton6 hat die thermische Zustandsgleichung nicht nur für reine ideale Gase Gültigkeit, sondern auch für ideale Gasgemische, die Gemische aus verschiedenen reinen Stoffen sind. Ein Beispiel hierfür ist trockene Luft, ein ideales Gasgemisch aus Stickstoff N2 und Sauerstoff O2, mit einer Dominanz von N2, wenn von gering• fügigen Anteilen an Argon Ar, Neon Ne und Kohlendioxid CO2 und einiger weiterer Spurenelemente abgesehen wird. In GI. (A.84) ist R die spezifische Gaskonstante

trockene Luft (N2+02+Ar+Ne+C02) R= 287,057 Nm / (kg K) (A.85) reiner Stickstoff N2 R=296,805 Nm/(kg K) reiner Sauerstoff O2 R=259,838 Nm/(kg K) reiner Stickstoff N2 + reiner Sauerstoff O2 R=287,996 Nm/(kg K) Mit GI. (A.84) ergibt sich der isobare Ausdehnungskoeffizient (A.69) zu

R T R ~ u=-·-=l (A.86) P v P

6 John Dalton (1766-1844) war englischer Physiker und Chemiker. Er entdeckte 1801 das nach ihm benannte Daltonsche Gesetz, das besagt: Im idealen Gasgemisch ist die Summe der Parti• aldrücke gleich dem Gesamtdruck. Dieses kommt der Aussage gleich, dass die thermische Zu• standsgleichung nicht nur für reine ideale Gase sondern auch für ideale Gasgemische gilt. 684 Anhang A

h A Te:: const. PA:: const he :: const.

T :: const. h :: const.

TA:: const. hA :: const. E

--~------.s

Bild A-9: Allgemeine Zustandsänderung einer thermischen Turbomaschine mit Druckerhöhung (Verdichter) im h-s-Diagramm

Für den isochoren Kompressibilitätskoeffizienten (A.77) ergibt sich zusammen mit der GI. (A.84)

p . v=R .T ~ v.(dP ) =R ~ (dP ) =~ ~ ß= T~=I (A.87) dT v dT v v pv

Die Koeffizienten Cl und ß sind also für ideale Gase und Gasgemische stets gleich eins. Aus den Gin. (A.70) und (A .78) wird damit

dh = c p (T) . dT (A .88)

du = cv (T) . dT (A.89)

Beiden Gleichungen zeigen, dass die spez. Wärmekapazitäten cp und Cv keine Ab• hängigkeit vom Druck p mehr haben, da die Terme in den Gin. (A.70) und (A.78), die den Druck enthalten, wegen Cl = I und ß = I herausfallen. Es ist nur noch eine Abhängigkeit von der Temperatur T gegeben, was durch die Schreibweisen Cp = cp(T) und Cy = cy(T) zum Ausdruck kommt. Gleichung (A.88) zeigt, dass für T = const bzw. dT = 0 auch h = const bzw. dh = 0 folgt. Für ideale Gase verlaufen im h-s-Diagramm die Linien konstanter Temperatur (Isothermen) genauso wie die Linien konstanter Enthalpie (Isenthal• pen), nämlich waagerecht, Bild A-9. Zur Bestimmung der Enthalpieänderung wird GI. (A.88) zwischen Ein- und Austrittszustand integriert

A TA f dh = ~h EA = f C p (T) . dT (A.90) E TF.

Hierin ist A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 685

(A.91) die mittlere spez. Wärmekapazität, was sich direkt aus den GIn. (A.90) ergibt. Aus GI. (A.90) wird dann (A.92)

Die Entropieänderung .1s idealer Gase bestimmt sich aus GI. (A.79) dh dp ds =--y·- (A.93) T T Hierin werden die infinitesimale Enthalpieänderung dh und das spez. Volumen y durch die Gin. (A.88) und (A.84) ersetzt

ds = c (T). dT _ R . T dp. = c (T) . dT _ R . dp (A.94) PT pT PT P

Die Integration dieses Ausdrucks ergibt dann

A TA dT PAdp .1s EA = fdS= fCp(T) ' T- R f- E TE PE P

Verdichter Turbine h h

isobar E PA =Px = const / isobar PE =Px =const

PA

X

TA =T x = const E

s s • (l!.slr l!.SEA -( s)p l!.SEA +(l!.s)p + (l!.Sh

Bild A-IO: Aufteilung der Entropieänderung bei polytropen Zustandsänderungen idealer Gase in eine isotherme und ei ne isentrope Zustandsänderung 686 Anhang A

(A.95)

Hierin ist TA dT JCp(T).- = ITA TE T (A.96) p c TE = In TA TE der logarithmische Mittelwert der spez. Wärme zwischen TA und TE, was direkt aus den GIn. (A.95) folgt. Aus GI. (A.95) ergibt sich damit

~SEA =C= p ·ln(TA) TE -R·ln(PA) p; (A.97)

Im h-s-Diagramm ist die Zustandsänderung zwischen E und A wegunabhängig, so dass die beiden Terme auf der rechten Gleichungsseite in zwei separate Entropie• änderungen (~s)p und (~sh aufgespalten werden können, deren Summation zum eigentlichen Resultat ~SEA führt. Die polytrope Zustandsänderung mit ~SEA wird in eine isotherme mit (~sh und eine isobare mit (~s)p aufgespalten. Bild A-lO zeigt dies jeweils anhand der Zustandsänderungen in einem Verdichter und einer Turbine.

Verdichter: isotherme Zustandsänderung mit T = const bzw. dT = 0

T· ds = dh - v· dp = c p (T)· dT - v· dp = -v· dp

(ds~ =-~.dp=-R. dp ~ (~S)T =-R.ln(~)

T . ds = dh - v . dp = dh = c p (T) . dT

(A.99)

Die Summation der einzelnen Entropiedifferenzen (~s)p und (~sh führt schließlich wieder auf das Resultat der GI. (A.97) ergibt.

~SEA = (~s)p + (~s~ = ~p .ln( ~: )- R .ln( :: ) (A.I00)

Da die Isobaren im h-s-Diagramm in Horizontalrichtung äquidistant sind, also bei jedem Niveau der Enthalpie hin s-Richtung ein und denselben Abstand zueinander haben, ist die Schrittfolge - also ob zuerst die isobare Ersatzzustandsänderung (As)p und dann die isotherme (~sh kommt oder umgekehrt - unerheblich, Bild A-ll. Das Ergebnis bleibt letztendlich immer dasselbe. A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 687

h

polytrope Verdichtung von E nachA Reihenfolge: ,, I. isobar 11. isotherm /~ . / / / .- .-

s

Bild A-ll: Prinzipskizze zur Äquidistanz der Isobaren im h-s-Diagramm

Aus GI. (A60), l' ds = dh - v dp = dh, folgt für eine Isobare P = const (dp = 0), dass (dh/ds)p = T gilt, was bedeutet, dass die Steigung einer Isobaren (dh/ds)p mit zuneh• mender Temperatur T bzw. Enthalpie h größer wird, Bild A-I1. Die logarithmischen Ausdrücke In (PAlpE) und In (T AlTE) in GI. (Aloo) sind bei Verdichtungsvorgängen mit PA> PE bzw. TA > TE positiv und bei der Turbine mit PA < PE bzw. TA < TE ne• gativ.

Turbine: Isobare Zustandsänderung mit p = const bzw. dp = 0 T· ds = dh - v· dp = dh = c p(T)· dT

(ds)p =cp(T).-dT ~ (.!ls)p =c= p ·In(T) 2. <0 (AlO1) T TE

Turbine: isotherme Zustandsänderung mit T = const bzw. dT = 0 T .ds = dh - v . dp = c (T) p . dT - v . dp = -v . dp

(dS)T =-~.dp=-R. dp ~ (~S)T =-R'ln(~»o (A.102) T p PE

Für ideale Gase nimmt das Poly tropen verhältnis v nach GI. (A.2I) folgende Form an dh =cp(T).dT dh } v=- mit dp dy dy = v dp . = R . T . - P 688 Anhang A

dT c (T)·• c ·dT p T v = ----'P'----::-- (A.I03) R.T. dp R. dp P P Unter Verwendung der Gin. (A.98) und (A.99) bzw. (A.lOI) und (A.102) ergibt sich (ds)p (As)p v = -TT = --(-)- = const und > 0 (A.104) ,ds fr As T

Zusammen mit den polytropen Wirkungsgraden nach GI. (A.34) und (A.35) wird daraus

1 (As)p V=llT =-=--- (A.I05) llv (AS)T Das heißt also, dass sich die statischen polytropen Wirkungsgrade von adiabaten ther• mischen Turbomaschinen llv bzw.llr aus GI. (A.105) mittels der beiden Beziehungen

berechnen und zudem als Streckenverhältnis im h-s-Diagramm ablesen lassen, Bild A-lO. Im weiteren soll nun für ideale Gase in adiabaten thermischen Turbomaschinen gezeigt werden, dass sich die Enthalpieänderung AbEA, die spez. Strömungsarbeit YEA und die Dissipation jEA als Flächen im T -s-Diagramm darstellen lassen. Hierzu wird davon ausgegangen, dass bei adiabaten (qEA = 0) thermischen Turbomaschinen häu• fig CA "" CE ist, so dass sich zum einen aus GI. (A.18), WEA = YEA + jEA, und zum ande• ren aus den Gin. (A.7) und (A.4) WEA = AbtEA =Ab EA ergibt, und daraus zusammen (A.106)

Es wird mit der Darstellung der Enthalpieänderung AhEA als Fläche im T-s-Dia• gramm begonnen. Hierzu wird auf die Gibbssche Fundamentalgleichung (A.8) zu• rückgegriffen und mit dieser zuerst die isothermen Ersatzzustandsänderungen für Verdichter und Turbine betrachtet und anschließend die isobaren - Isotherme mit T = const (dT = 0) entspricht Isenthalpe mit h = const (dh = 0) Verdichter (E) --7 (X) Turbine (X) --7 (A) dh = v· dp + T· ds = ep . dT == 0

=> Ab EX = 0 für Verdichter bzw. Ah xA == 0 für Turbinen - Isobare mit p == const (dp == 0) Verdichter (X) --7 (A) Turbine (E) --7 (X) dh = v . dp + T . ds == T . ds A => Ah XA = f (T . ds)p für Verdichter => Ab EA == Ah EX + Ah XA = Ab XA X A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 689

T Verdichter T

T I------..!"

T I----~

Bild A-12: Darstellung der Enthalpieänderung von adiabaten thermischen Turbomaschinen als Fläche im T-s-Diagramm

dh = v .dp + T .ds = T . ds x t:\h EX = -f (T . dS)p für Turbinen =} t:\h EA = Llh Xa + t:\h EX = t:\h EX E Wegen der in Kap. A.I.l getroffenen Vorzeichen vereinbarungen ist das Ergebnis für die Turbinen negativ und das für Verdichter positiv. Bild A-12 zeigt, dass da• mit die Enthalpieänderung t:\h EA für Verdichter und Turbinen im T-s-Diagramm jeweils als Fläche unter der isobaren Ersatzzustandsänderung darstellbar ist.

T Verdichter

T I----.....,.~~

Bild A-13: Darstellung der Enthalpieänderung und der Dissipation von adiabaten thermischen Turbomaschinen als Flächen im T-s-Diagramm 690 Anhang A

Verdichter T

s s

Bild A-14: Darstellung der spezifischen Strömungsarbeit von adiabaten thermischen Turboma• schinen als Fläche im T-s-Diagramm

Die Dissipation wird durch den Ausdruck

A jEA = J(T . ds ~IT E beschrieben. Auch dieses Integral lässt sich im T-s-Diagramm abbilden, und zwar als Fläche unterhalb der polytropen Zustandsänderungskurve zwischen (E) und (A), Bild A-I3. Wegen der in Kap. A.I.I getroffenen Vorzeichendefinitionen, ist die Dissipation jEA sowohl für Verdichter als auch für Turbinen stets positiv. Bild A-13 zeigt, dass sich beim Verdichter die Flächen von l1h EA und jEA überschneiden, wo• gegen sie bei der Turbine separat nebeneinander liegen. Aus GI. (A.I06) ergibt sich durch Umstellen YEA = l1h EA - j EA, so dass für einen Verdichter die spez. Strömungsarbeit die Differenz aus den beiden bisher darge• stellte Flächen ist, Bild A-14. Für Turbinen sind l1h EA und YEA negativ einzuset• zen. Da die Dissipation jEA stets positiv ist, ergibt sich -YEA = - (l1h EA + jEA). Dieses bedeutet, dass für Turbinen die negative spez. Strömungsarbeit die Summe aus den bei den bisher dargestellten Flächen ist. Diese korrespondiert mit der für Turbinen gemachten Aussage, dass I YEA I > I WEA I bzw. I YEA I > 111hEA I gelten muss. Um ei• nen Turbinenrotor die spez. Arbeit WEA = l1hEA < 0 entnehmen zu können, muss we• gen der allgegenwärtigen Dissipation jEA > 0 vom Fluid ein dementsprechend größe• rer Anteil an spez. Strömungsarbeit YEA < 0 bereitgestellt werden.

A.2.3 Berechnung isentroper und polytroper Zustandsänderungen

Durch GI. (A.26), p' v" = const, wird eine polytrope Zustandsänderung beschrieben. Wird hierin der Polytropenexponent n durch den Isentropenexponenten K - entspre• chend der GI. (A.82) - ersetzt, so ergibt sich die Gleichung zu Beschreibung isentro- A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 691 per Zustandsänderungen: p . vK = const Zweckmäßiger Weise wird aus GI. (A82) der Ausdruck (I( - 1) / I( gebildet, d.h.

1(-1 = 1-! = 1 +E..(dV) = (1+ p' dV) = (V, dP+P 'dV) (Al07) I( I( v dP s v'dp , v'dp,

Aus der Gibbsschen Fundamentalbeziehung (A.8) bis (A.lO) T . ds = dh - v . dp = du + P . dv (Al08) ergibt sich für eine isentrope Zustandsänderung mit s = const (ds = 0)

(dh), = (v·dp), =(c p .dT)s (A109)

(du)s =-(P.dv)s =(c y ·dT)s (A.110)

Hierin wurde für (dh)s die GI. (A88) und für (du). die GI. (A89) verwendet. Wer• den die Ausdrücke für p dv und v dp entsprechend der Gin. (A.109) und (AIlO) in die GI. (A107) eingesetzt, so folgt

1(-1 =(V.dP+P.dV) = c p ·dT-c y ·dT = c p -cy =l-S:..=l-~ I( V· dp s c p • dT c p c p I( c I( =--1.. (Alll)

Es war gezeigt worden, dass cp und Cy bei idealen Gasen nur von der Temperatur T abhängen. Demzufolge ist auch der Isentropenexponent I( von idealen Gasen eine nur von der Temperatur T abhängige Größe. Die spez. Wärmekapazitäten cp und Cy steigen mit größer werdender Temperatur T an während der Isentropenexponent I( mit steigender Temperatur Tabfällt, vgI. Tabelle A-2. Durch Umformen der GI. 107

-R ( 1(-1 =(V.dP+P.dV) d(P,V)s _ d(R·T)s dT ) (A112) I( V·dp, (v· dp)s - (v· dp )s - . v . dP , und durch Einsetzen der GI. (Al 09) (v dp), = (dh), ergibt sich

1(-1 =(V.dP+P.dV) =R.(dT) (Al13) I( V·dp, dh s

Nach GI. (A109) gilt ab/aT = cp, so dass sich zusammen mit den GIn. (A.lll) und (A.113) der folgende Ausdruck ergibt

I(·R ~= 1(-1 =l-!=l-s:" bzw. c =-- (AI14) p c p I( I( c p 1(-1

Nach GI. (A22) wird eine polytrope Zustandsänderung durch die Beziehung

(Al15) 692 Anhang A beschrieben. Die Temperaturabhängigkeit des Polytropenexponenten n = n(T) wird dabei - ähnlich wie bei GI. (A.98) - in Form des logarithmischer Mittelwerts des Exponenten 1/n berücksichtigt.

TA 1 dT ( ~)=f~'T (A.116) n In- TA TE Die gegenseitige Abhängigkeit von Temperatur T und Druck p bei einer polytro• pen Zustandsänderung (v = const) lässt sich auf der Basis der allgemeinen Gas• gleichung p v = R T darstellen. I T=-·p·v ~ (A.II7) R Und daraus dann

dT d(P,v)v = (p.dV+V.dP)=(dV) +(dP ) (A.118) T p·v p·v v v P v

Aus der Definition des Polytropenexponenten in Bild A--3

n =J~) =const. l p' dv v kann durch Umstellen der Ausdruck (dv/v)v = -(I/n) . (dp/p)v gebildet und dieser in GI. (A.lI8) eingesetzt werden. Es ergibt sich

Die Integration dieses Ausdrucks zwischen Eintritt (E) und Austritt (A) einer Tur• bomaschine ergibt dann schließlich

=TA n -I In TA -lnTE =-- .(JnpA -InpE) ~ (A.l19) n

Mit dem logarithmischen Mittelwert

]n(T)-~. dT =TA n-I n-I T,_ n(T) T (A.120) n n In TA TE Ist die Temperaturdifferenz i1TEA = TA - TE zwischen Ein- und Austritt einer Tur• bomaschine vergleichsweise gering, so kann der logarithmische Mittelwert nach A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 693

GI. (A.120) - aus praktischen Gründen und in guter Näherung - durch den arith• metischen Mittelwert ersetzt werden n(TA)-1 n(TE)-1 -~-+-~- n-l n-I n(TA) n(TE) für kleine ~ T EA (A121) n n 2 Soll beispielsweise mit GI. (AI19) die Austrittstemperatur TA berechnet werden, wenn TE, PE und PA bekannt sind, so kann - wie die GIn. (AI20) bzw. (A.12l) ver• deutlichen - der Exponent (n-I )/n im vorhinein nicht genau bestimmt werden, da der Polytropenexponent n(T A) wegen der unbekannten Austrittstemperatur TA nicht be• stimmbar ist. Aus diesem Grunde muss bei der praktischen Berechnung zunächst ein TA = TAl geschätzt und damit ein ungefähres n(TA) = n(TAl ) berechnet werden. Da• mit wird dann aus GI. (AI19) ein erster Näherungswert für TA = T AZ ermittelt, dar• aus wieder ein neues n(TAl ) und anschließend wieder ein neues T AZ , usw., bis eine gewünschte, vorgegebene Genauigkeit erreicht ist. Werden in die GI. (A90) die GIn. (A.114) und (A1l9) eingesetzt, so lässt sich die Enthalpieänderung ~EA idealer Gase bei polytroper Zustandsänderung be• rechnen

=Z-.fT -T )=Z-·T .(TA -l)=C ·T -11 (A.122) ~h.EA P \ A E PET p E 'l(~)n:1 E PE

mit Z- =R·~ (AI23) p K-l

"he. = ~ 'R'T)(~)n:1 -11 (A.124) K I l PE

f K(T) ·dT K T K(T)-I mit E analog zu GI. (A90) (A.125) K-I TA -TE

Analog zur GI. (AI 12) für isentrope Zustandsänderungen (s = const) ergibt sich eine entsprechende Beziehung für polytrope Zustandsänderungen ( v = const) d(P. n-I ( v)) (A.126) v· dP v n

Zusammen mit GI. (AI2) lässt sich hieraus eine Beziehung für die spez. Strö• mungsarbeit YEA idealer Gase bei polytroper Zustandsänderung angeben.

mit (v·dp)v = n-l. d(p.v) und p·v=R·T n 694 Anhang A

(A.127)

Durch Einsetzen der GI. (A.119) ergibt sich daraus

(A.128)

__ j n(T) .dT = jn(T)-l. dT n T n(T) -1 n -I n(T) T mit den Mittelwerten --:0 -cE'--____ und --= TE (A 129) n -1 TA - TE n In TA . TE Die Definition des Polytropen verhältnisses v war: v == AbEA / YEA. Das Einsetzen der GIn. (Al24) und (A128) in diese Definition ergibt einen einfachen Zusammenhang zwischen den Mittelwerten des Poly tropen- und des Isentropenexponenten.

n I( v·_-=-- (A130) n-1 1(-1 Die polytropen Wirkungsgrade adiabater, thermischer Turbomaschinen (Verdich• ter und Turbinen) konnten nach den GIn. (A34) und (A.35) aus dem Polytropen• verhältnis v berechnet werden. Zusammen mit GI. (AI30) ergibt dann sich für diese Wirkungsgrade

n 1(-1 I( n-I Tl v =--.-- TlT =--._- (A131) n -1 I( 1(-1 n

Wird in GI. (A.124) der Polytropenexponenten n durch den Isentropenexponent I( ersetzt, so ergibt sich daraus die Enthalpieänderung dhEAs idealer Gase bei i• sentroper Zustandsänderung

(AI32)

Mit GI. (A.4I) war gezeigt worden, dass bei isentroper Zustandsänderung die Ent• halpieänderung AbEAs gleich der spez. Strömungsarbeit YEAs ist.

A.2.4 Zusammenhang zwischen isentropen und polytropen Wirkungsgraden

Isentrope Verdichter- und Turbinenwirkungsgrade berechnen sich durch Verwen• dung der GIn. (A.48). Werden hier nun die GIn. (A.124) und (A.132) eingesetzt, so ergibt sich A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 695

1<-1 (~~ lK -I 1'1 =MEAS=~ (A.133) 'W, Ah~ (:: r_I

Aus den GIn. (A.13I) folgt aber auch

n-I 1(-1 I 1(-1 n-I 1(-1 1(-1 --=V·_-=_·_- --=v·_-=llr ._- (A. I 34) n I( llv I( n I( I( und somit

(A.135)

Bei gegebenem Turbomaschinendruckverhältnis PA/PE und bei bekanntem Isentro• penexponenten I( können somit die polytropen Wirkungsgrade von Verdichter o• der Turbinen llv und llr in die zugehörigen isentropen Wirkungsgrade llvs und llrs umgerechnet werden. Wird in die GIn. (A.48) für die isentropen Verdichter- und Turbinenwirkungs• grade llvs und llrs jeweils die GI. (A.II9) eingesetzt, so ergeben sich zwei weitere, häufig verwendete Beziehungen für die isentropen Wirkungsgrade.

(A.136)

A.2.5 Reale Arbeitsfluide

Wirkliche oder reale Gase werden durch die folgende thermische Zustandsglei• chung definiert p·v=Z·R·T (A.137) Hierin ist Z der sog. Realgasfaktor. Für Z = 1 geht GI. (A.137) in die ideale Gas• gleichung (A.84) über. Der Realgasfaktor weicht um so mehr vom Wert Z = I ab, je mehr der Druck p und/oder die Temperatur T von den Standardwerten p "" I 05 Pa und T "" 300 K abweichen. Tabelle A-3 zeigt die Variationen des Realgasfaktors 696 Anhang A für Luft in Abhängigkeit von Druck und Temperatur. Da der Realgasfaktor Z die Abweichungen von der Zustandsgleichung für ideale Gase beschreibt, werden un• ter wirklichen bzw. realen Gasen solche verstanden, bei denen hohe Drücke und/oder hohe Temperaturen vorliegen.

Z == ~ = p' VM = I + B(T) + C(T) +... (A.138) 2 R·T R·Tm V m V m Hierin ist V m = Volumen / Stoffmenge = V/nm das sog. Molvolumen und nm = Masse / Molmasse = m / M die sog. Stoffmenge. Mit R = Rm / M wird die spezielle Gaskonstante bezeichnet, wenn Rm die universelle Gaskonstante ist.

R=R '~=R ._V_=Rm·v mit R =831451~ (A.139) m m m m. V m Vm m" mol· K

Gleichung (A.138) ist die sog. Virialform der thermischen Zustandsgleichung (z.B. Emanuel, 1987). Die von der Temperatur T abhängigen Funktionen B(T), C(T), ... werden deswegen auch als zweiter, dritter, ... usw. Virialkoeffizient be• zeichnet. Die Virialkoeffizienten berücksichtigen die Wechselwirkungskräfte zwi• schen den Molekülen eines Gases, wobei der 2. Virialkoeffizient B(T) die Wech• selwirkungen zwischen Molekülpaaren, der 3. Virialkoeffizient C(T) die Wech• selwirkungen zwischen Dreiergruppen von Molekülen, ... usw. beschreibt (Mason und Spurling, 1969). Für zahlreiche Gase sind Werte für die Virialkoeffizienten bei Dymond und Smith (1980) zu finden. Neben der Virialform der Zustandsgleichung, die nur bei moderaten Drücken praktisch anwendbar ist, sind für technisch bedeutende reale Fluide, wie z.B. Luft (Baehr und Schwier, 1961), aber auch für Sauerstoff, Stickstoff, Ammoniak, Was• serdampf usw. zahlreiche empirische Zustandsgleichungen entwickelt worden, die oft aber nur für ganz bestimmte Zustands bereiche Gültigkeit haben. Abhängig da• von, wie viel Konstanten in diesen empirischen Beziehungen auftreten, kann das Verhalten eines realen Fluides damit mehr oder weniger genau beschrieben wer• den. Die wesentlichen dieser zahlreichen Gleichungen sind bei Emanuel (1987) zu finden. Sie zeigen aber auch, dass es offensichtlich nicht möglich ist, einen größe• ren Zustands bereich mittels einfacher Gleichungen darzustellen. Da alle diese empirischen Zustandsgleichungen keine einfache mathematische Form besitzen, ist ihre praktische Auswertung nur mittels EDV und numerischer Methoden möglich, die schließlich zu umfangreichen Tabellen oder Diagrammen führen, wie Z.B. zu dem h-s-Diagramm für reale Luft oder für Wasserdampf. Die• se Tabellen bzw. Diagramme können dann anstelle der empirischen Formeln ge• nutzt werden. So können z.B. bei bekanntem Ein- und Austrittsdruck PE und PA zur Bestimmung der isentropen Verdichter- und Turbinenwirkungsgrade

Llh EAs Llh EA llvs =~ llTs =~h EA Ll. EAs aus diesen Diagrammen die entsprechenden Enthalpiedifferenzen Llh EA und Llh EAs abgelesen und die Wirkungsgrade berechnet werden. A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 697

In einer anderen Vorgehensweise kann mittels der Polytropenbeziehung

p. v" = PE . v~ = PA . v~ = const. der Polytropenexponent n bestimmt werden, wenn die Eintritts- und Austrittszu• stände PE, VE, PA, VA bekannt sind. Gleichung (AI28) kann dann in der Form

(AI40) zur Berechnung der spezifischen Strömungsarbeit YEA herangezogen werden, was dadurch zulässig ist, da diese Beziehung allein durch die Integration der Polytro• penbeziehung p V' = const entsteht, ohne dass dabei die Eigenschaften des Fluides mit in die Rechnung eingehen. Liegen des weiteren die Isentropenexponenten K des realen Fluides in Diagramm- oder Tabellenform vor (Baehr, 1967 oder Hilsen• rath et.a!., 1960) so erlauben es GIn. (AI22) und (A132) in der Form

dh EA = Kl·PE'VE.[(h)":'-11 (AI41) K- PE

= K . P . v . (AI42) ~h EAs 1 E E [(h )K:' -11 K- PE die isentropen Wirkungsgrade zu berechnen.

A.2.6 Einige Eigenschaften heißer Verbrennungsgase

Speziell in Turbinen von Flugzeugtriebwerken sind die Eigenschaften realer Gase auf den Arbeitsprozess nicht zu vernachlässigen. Hier ist insbesondere die Ände• rung der spez. Wärmekapazität cp, des Isentropenexponenten K und der Enthalpie h mit der Temperatur T zu berücksichtigen. Bei einem Temperaturanstieg von 2000 K erhöht sich cp um ca. 26 % und K verringert sich um gut 8 %. Der Druck p hingegen wird hinsichtlich des Realgaseinflusses in Flugzeugtriebwerken nicht mit be• rücksichtigt, da sein Einfluss erst bei so hohen Drücken signifikant wird, die für Flug• zeugturbinen nicht relevant sind. So wird Z.B. bei einem Druckanstieg von 100 bar die spez. Wärmekapazität nur um 1 % vermindert (Hagen, 1982). In Flugzeugtriebwerken liegt der Druckanstieg derzeit aber immer noch unterhalb von 45 bar. Ein weiterer wichtiger Einfluss für eine Flugzeuggasturbine resultiert aus der Zusammensetzung des Verbrennungsgases, das durch die Turbine strömt und von den Verbrennungsprodukten abhängt. Zwischen cp und K besteht folgender Zu• sammenhang 698 Anhang A

R m K C =--.-- (AI43) p M K-1

Hierin ist Rm == 8314.51 NmI(kmol·K) die universelle Gaskonstante und M die MoImas• se, vg1. hierzu auch GI. (A139). Daraus ergibt sich z.B. für trockene Luft die spezifische, spezielle oder auch individuelle Gaskonstante zu R = RnIM = 287.057 NmI(kg K), wenn M = 28.9647 kglkmo1 die Molmasse ist (Baehr, 1992). In Tabelle A-2 sind cp und K in Abhängigkeit der Temperatur für reine Luft aufgelistet. Darüber hinaus enthält die Tabelle auch noch die entsprechenden Werte für Verbrennungsgase, für die Verbrennungsprodukte eines Kohlenwasserstoffbrennstoffs (CH2)n mit Luftüber• schusszahlen von 2 und 4 zugrunde liegen. Unter dem Begriff der Luftüber• schusszahl Ä wird das folgende Verhältnis verstanden:

A = ßstöch = mB/mLstÜCh m L (A.144) ß mB/m L mLstöch Hierin ist ß das tatsächlich in der Brennkammer vorliegende Brennstoff/Luft• Verhältnis, welches das Verhältnis von Brennstoffmassenstrom zu Luftmassen• strom in der Brennkammer eines Triebwerks darstellt. Mit

ßstÖCh = 0.068381 (A.145) wird das BrennstofflLuft-Verhältnis bezeichnet (Baehr, 1992) das für eine stöchio• metrische Verbrennung erforderliche wäre, wenn zusätzlich Dissoziation7 mit zu berücksichtigen ist, was bei hohen Drücken und Temperaturen auftreten kann.

Tabelle A-l: Grundwerte zur Berechnung von Stoffgrößen für reine Luft und Verbrennungsgase nach Baehr (1992) bzw. Kennan und Kaye (1963)

Zusammensetzung Molmasse Spezifische Brennstoff/Luft- des Gases Gaskonstante Verhältnis M R ß [kglkmoll [Nm I (kg·K) I [-I

Reine Luft 28.965 287.057 0.000 Verbrennungsgas mit A = 4 28.954 287.163 0.017 Verbrennungsgas mit A = 2 28.939 287.312 0.034

7 Dissoziation = Zerfallen von Molekülen in Ionen. Bei Temperaturen über 1800 K und beson• ders ab 2100 K treten in Verbrennungsgasen neben den bis dahin üblichen Verbrennungspro• dukten (C02, H20, SOz, N2) weitere Gase wie CO, OH, H, °und NO auf, was man als Disso• ziation eines Verbrennungsgases bezeichnet. Die Enthalpie eines dissoziierten Verbrennungs• gases ist bei gleicher Temperatur größer als die eines nicht dissoziierten, (Gordon, 1982) A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 699

Tabelle A-2: Stoffgrößen für reine Luft und für Verbrennungsgase mit unterschiedlichen Luft- überschusszahlen A in Abhängigkeit der Temperatur T. Die Apostrophe bei cp ' und K ' bedeuten: Heißgas

T Reine Luft Verbrennungsgas Verbrennung gas mitA=4 mitA=2

cp K C'p K' Cp ' K (K] (NmI(kg·K)J m/(kg·K)J [NmI(kg·K)J

50 1001.46 1.402 100 1001.46 1.402 150 1001.46 1.402 200 1001.49 1.402 1011. 14 1.397 1020.36 1.392 250 1002.3 1 1.401 1014.65 1.395 1026.60 1.389 288 100 .75 1.40024 1018.1 I 1.393 1032.10 1.386 298 1004.13 1.40022 1019.01 1.392 1 1033.77 1.3851 300 1004.20 1.400 1019.18 1.392 1033.8 1 1.385 350 1007.50 1.398 1025.45 1.389 1041.71 1.381 400 1012.90 1.395 1032.18 1.35 1050.81 1.376 450 1020.20 1.392 1040.76 1.380 1060.97 1.37 1 500 1028.90 1.37 1051.09 1.375 1072.61 1.365 550 1039.50 1.31 1063.20 1.369 1085.65 1.359 600 1050.80 1.375 1075.42 1.363 1099.30 1.353 650 1062.60 1.369 1087.74 1.357 1113.04 1.347 700 1074.50 1.363 11 01.28 1.351 1127.22 1.342 750 1086.50 1.35 11 14.25 1.345 1141.11 1.336 800 109 .60 I. 53 11 27.20 1.340 11 54.97 1.331 850 11 09.80 1.348 11 39.37 1.336 11 6 09 . 1.326 900 1120.70 1.343 11 51.24 1.332 11 80.98 1.321 950 1131.00 1.338 11 62.58 1.328 11 93.06 1.317 1000 11 41.00 1.332 1173.30 1.324 1204.69 1.313 1100 11 59.10 1.327 1193.20 1.316 1226.43 1.306 1200 11 74.40 1.323 12 10.90 1.3 10 1245.06 1.300 1300 11 8.00 1.319 1225.38 1.306 1261.61 1.294 1400 11 99.90 1.315 1238.83 1.302 1276.42 1.290 1500 1210.60 1.311 1250.80 1.298 1289.67 1.286 1600 1220.30 1.307 1262. 10 1.295 1301.72 1.282 1700 122 .90 1.304 127 1. 24 1.292 1312.44 1.280 1800 1236.60 1.302 1279.70 1.289 1321.56 1.278 1900 1243.70 1.300 1287.46 1.287 1330.20 1.275 2000 1250.10 1.298 1294.60 1.285 1337.94 1.273 2100 1255.00 1.296 1301.20 1.283 1344.84 1.27 1 2200 1261.10 1.294 1307.20 1.2 1 1351.56 1.270 2300 1266.60 1.293 --J Tabelle A-3: (Teil I) Ausgewählte Stoffgrößen von Luft als Realgas in Abhängigkeit der Temperatur T und des Druckes p nach Hilsenrath et.a!. (1960) 0 0

T Druck p Druck p Druck p [K] 1013 hPa 10130 hPa 101300 hPa >j :::T cr K Z cp K Z cr K Z I» P P P :s (Q [Nm/kg/K] [kg/mJ ] [Nm/kg/K] [kg/mJ ] [Nmlkg/K] [kg/mJ ] > 200 1006.423 1.4057 1.76906 0.99767 1045.690 1.4489 18.0721 0.97666 1744.922 2.1376 217.755 0.81050 250 1005.419 1.4036 1.41334 0.99906 1027.320 1.4284 14.2510 0.99082 1281.064 1.6990 149.933 0.94170 300 1006.337 1.4017 1.17696 0.99970 1020.431 1.4177 11.7994 0.99717 1161.368 1.5711 118.459 0.99330 350 1009.236 1.3993 1.00860 1.00002 1018.996 1.4104 10.0821 1.00035 1111.423 1.5109 99.1146 1.01760 400 1014.202 1.3961 0.88227 1.00019 1021.292 1.4041 8.80717 1.00205 1087.31 I 1.4752 85.6924 1.02990 450 1021.206 1.3920 0.78425 1.00029 1026.746 1.3979 7.82055 1.00297 1076.404 1.4498 75.7098 1.03620 500 1029.961 1.3871 0.70576 1.00034 1034.209 1.3918 7.03565 1.00348 1073.246 1.4321 67.9255 1.03930 550 1040.179 1.3818 0.64163 1.00037 1043.681 1.3854 6.39428 1.00374 1074.969 1.4170 61.6800 1.04060 600 1051.316 1.3760 0.58809 1.00038 1054.302 1.3788 5.86024 1.00385 1080.135 1.4041 56.5205 1.04080 650 1063.085 1.3702 0.54283 1.00038 1065.496 1.3726 5.41025 1.00388 1087.024 1.3931 52.1887 1.04050 700 1075.112 1.3646 0.50404 1.00038 1077.265 1.3664 5.02362 1.00385 1095.635 1.3832 48.5034 1.03970 750 1087.082 1.3591 0.47055 1.00038 1088.747 1.3606 4.68871 1.00379 1104.534 1.3745 45.3095 1.03890 800 1098.793 1.3540 0.44107 1.00037 1100.515 J .355 J 4.39647 1.00371 1114.293 1.3665 42.5152 1.03790 850 11 10.562 1.3490 0.41521 1.00036 1111.710 1.3499 4.13786 1.00361 1123.766 1.3595 40.0583 1.03670 900 1121.182 1.3450 0.39206 1.00035 1122.330 1.3452 3.90898 1.00351 1132.951 1.3533 37.8743 1.03560 950 1132.090 1.3400 0.37145 1.00034 1 133.238 1.3406 3.70338 1.00341 1142.423 1.3476 35.9205 1.03440 1000 1142.136 1.3360 0.35288 1.00033 1143.284 1.3364 3.51847 1.0033 I 1151.608 1.3423 34.1619 1.03330 1100 1161.368 1.3290 0.32080 1.00031 1162.229 1.3288 3.19908 1.00311 1168.831 1.3330 31.1193 1.03120 1200 1179.451 1.3220 0.29407 1.00029 1180.026 1.3221 2.93271 1.00293 I 185.480 1.3254 28.5809 1.02920 1300 1197.248 1.3160 0.27146 1.00028 1197.822 1.3156 2.70771 1.00275 1202.415 1.3181 26.4280 1.02750 1400 1214.183 1.3100 0.25207 1.00026 1214.758 1.3098 2.51504 1.00259 1218.489 1.3117 24.5776 1.02590 Tabelle A-3: (Teil 2) Ausgewählte Stoffgrößen von Luft als Realgas in Abhängigkeit der Temperatur T und des Druckes p nach Hilsenrath et.a!. (1960)

T Druck p Druck p Druckp [K] 1013 hPa 10130 hPa 101300 hPa cp K P Z cp K P Z cp K P Z [Nm/kg/K] [kg/m3] [Nm/kg/K] [kg/m3] [Nm/kg/K] [kg/m3]

1500 1231.119 1.3040 0.23528 1.00024 1231.406 1.3043 2.34694 1.00245 1234.850 1.3056 22.9729 1.02440 1600 1249.202 1.2990 0.22057 1.00023 1248.915 1.2990 2.20082 1.00233 1251.786 1.3030 21.5621 1.02320 l> 1700 1268.147 1.2930 0.20759 1.00023 1266.999 1.2930 2.07151 1.00223 1269.008 1.2970 20.3169 1.02200 N 1800 1287.953 1.2880 0.19606 1.00024 1285.370 1.2880 1.95643 1.00213 1286.231 1.2910 19.2113 1.02080 -i :::T 1900 1310.629 1.2820 0.18574 1.00027 1304.273 1.2830 1.85428 1.00204 1303.740 1.2860 18.2182 1.01980 CD 2000 1338.185 1.2740 0.17644 1.00035 1324.120 1.2780 1.76118 1.00196 1321.824 1.2810 17.3247 1.01880 o3 Co 2100 1372.343 1.2670 0.16800 1.00060 1346.796 1.2720 1.67713 1.00190 1340.768 1.2760 16.5126 1.01800 '< ::I 2200 1419.992 1.2590 0.16033 1.00080 1372.056 1.2670 1.60213 1.00190 1358.852 1.2700 15.7743 1.01720 111 2300 1486.585 1.2490 0.15326 1.00140 1404.492 1.2600 1.53230 1.00200 1379.519 1.2660 15.0980 1.01650 3 ~ 2400 1574.133 1.2380 0.14674 1.00230 1442.668 1.2540 1.46765 1.00220 1402.482 1.2610 14.4760 1.01600 c: 2500 1688.375 1.2270 0.14069 1.00360 1488.595 1.2470 1.40816 1.00260 1426.881 1.2570 13.9045 1.01550 IR CD... r::: cp = spez. Wärme, K = crlcv = Isentropenexponent, p = Dichte, Z = P / (p . R . T) = Realgasfaktor ::I Die spezifische Gaskonstante ist R = 287.057 Nm / (kg K) Co Oberhalb von T =1500 K berücksichtigen die Hilsenrath-Tabellen auch Dissoziationseffekte (Dissoziation = Zerfall von Molekülen in Ionen). Die Tabellen set• m zen voraus, dass die Luft bei Temperaturänderungen jeweils Zeit genug hat, um in einen Zustand chemischen Gleichgewichts zu gelangen. Für die meisten Pro• CD... zesse kann man einen solchen Gleichgewichtszustand voraussetzen; aber immer dann nicht, wenn dynamische Vorgänge dominant werden, wie z. B. bei gasdy• l> namischen Verdichtungsstößen oder Expansionswellen. In Temperaturrichtung darf in den Hilsenrath-Tabellen linear interpoliert werden. In Richtung veränder• g licher Drücke sind höhere Interpolationsverfahren zu verwenden, wie z.B. Lagrangesche- oder Newtonsche Interpolationspolynome. Hierzu sollte dann aber auf ~ die Originaltabellen zurückgegriffen werden, die hinsichtlich der Druckwerte enger gestaffelt und hinsichtlich des verwendeten Inkrements für eine 4-Punkt• c Langrange-Interpolation optimiert sind c: CD

-.) o Anhang B Kompressible, isentrope Strömungen idealer Gase

B.l Schallgeschwindigkeit

Das wesentliche Strömungsmedium in einem Strahltriebwerk kann unter dem Ober• begriff Gas zusammengefasst werden. Vom Triebwerkseintritt bis zur Brennkam• mer handelt es sich dabei um Luft, das als ideales Gas angesehen wird, und vom Turbineneintritt bis zum Triebwerksaustritt handelt es sich um ein Verbrennungs• gas, das als reales Heißgas (Abgas) anzusehen ist. In einem Triebwerk werden vielerorts Strömungsgeschwindigkeiten erreicht, die der Schallgeschwindigkeit nahe kommen bzw. diese überschreiten. Solche Ge• schwindigkeitsbereiche können nicht mehr ausreichend präzise mit den Gleichungen der inkompressiblen Strömungen beschrieben werden. Es ist zusätzlich die Kom• pressibilität (Zusammendrückbarkeit) der Gase zu berücksichtigen, so dass es ist bei nahezu allen Strömungsvorgängen in Triebwerken unerlässlich ist, kompressible Strömungen (Gasdynamik) zu betrachten. Die wesentliche Bezugsgeschwindigkeit der Gasdynamik ist die Schallgeschwindigkeit a, die als Fortpflanzungsgeschwin• digkeit einer schwachen Druckstörung in einem ruhenden Gas interpretiert wird. Mit einem Gedankenexperiment (Anderson, 1991) soll der Begriff der schwa• chen Störung veranschaulicht werden. Dazu wird ruhende Luft in einem geschlos• senen Raum betrachtet, die aus einer Vielzahl von Molekülen besteht, die sich zu unterschiedlichen Zeitpunkten mit unterschiedlichen Momentangeschwindigkeiten und -energien vollkommen zufällig in diesem Raum bewegen. Werden diese Ge• schwindigkeiten und Energien über einen gewissen Zeitraum aufsummiert, so er• gibt sich dadurch der zeitliche Mittelwert dieser Molekulargeschwindigkeiten und -energien, die bei idealen Gasen nur eine Funktion der Temperatur sind (vgl. An• hang A, Kap. A.2.2). Man stellt sich nun vor, dass in diesem Raum ein Feuer• werkskörper detoniert. Die Energie, die dieser freisetzt, wird von den ihn direkt umgebenden Luftmolekülen aufgenommen, was dazu führt, dass sich der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeiten dieser Moleküle erhöht. Die schnelleren Mole• küle kollidieren als Reaktion darauf mit ihren Nachbarmolekülen und übertragen so einen Teil ihrer gerade aufgenommenen Energie auf weitere Moleküle, die die• se Energien dann ihrerseits an ihre Nachbarmoleküle weitergeben. Auf diese Art und Weise wird die aus der Detonation des Feuerwerkskörpers resultierende Ener• gie - einer Welle gleich - durch den Raum getragen. Diese Energiewellen bewe• gen sich mit einer Geschwindigkeit durch den Raum, die irgendetwas mit der mitt• leren Molekulargeschwindigkeit zu tun haben muss, da es ja die molekularen Kol• lisionen sind, die diese Wellen sich im Raum ausbreiten lassen. Durch die Wellen kommt es zu einem lokalen Anstieg der molekularen Energie, wodurch sowohl der 704 Anhang B

Übergangsgebiet, bewegt sich mit der Geschwin• digkeit a. Hier findet der Druckanstieg p statt

der Dichte Po

___ E2.... __ .

Bild B-l: Zur Veranschaulichung des Berechnungsvorganges einer Druckstörung in einem Rohr

Druck als auch die Dichte und die Temperatur örtlich leicht mit ansteigen. Wenn nun eine dieser Wellen ein menschliches Ohr erreicht, so werden diese schwachen Druckänderungen über das Trommelfell an das Gehirn weitergeleitet und als Ge• räusch (Schall) wahrgenommen. Deswegen werden diese Art von schwachen WeI• len (schwache Druckstörungen) auch als Schallwellen bezeichnet. Die Druckände• rungen solcher akustischer Wellen (Schwingungen) erfolgen i.allg. mit einer so ho• hen Frequenz, dass es in der Luft (Gas) zu keinem nennenswerten Wärmeaustausch mit der weiteren Umgebung kommen kann. Man sagt deshalb auch, dass schwache Störungen sich in einem Gas isentrop ausbreiten. Bild B-I veranschaulicht den Begriff der Schallgeschwindigkeit, indem es zeigt wie sich schwache Druckstörungen (Schallwellen) in einem ruhenden Gas ausbreiten. Dazu wird eine ruhende Gasmasse, die den Druck Po und die Dichte Po hat, in einem weiten Rohr mit dem Kreisquerschnitt A betrachtet. Das Rohr ist auf der rechten Seite gasdicht abgeschlossen und wird auf der linken Seite durch einen ebenfalls gasdichten, beweglichen Kolben begrenzt. Durch eine kurze, ruckartige Anfahrbewegung des Kolbens, der sich dann mit gleichbleibender Geschwindig• keit kontinuierlicher weiterbewegt, wird lokal - im Nahbereich des Kolbens - das Gas zusammengedrückt und so eine örtlich begrenzte Druckerhöhung eingeleitet, die sich als schwache Druckwelle in das ruhende Gas hinein mit der Geschwin• digkeit a ausbreitet. Derjenige Teil der Gasmasse, über den der Druckanstieg be• reits weggegangen ist, besitzt danach die Geschwindigkeit c, mit dem das Gas der Druckstörung hinterher strömt. Die Geschwindigkeit c ist kleiner als die Ausbrei• tungsgeschwindigkeit a. Die Drucksteigerung ßp findet in einem Übergangsgebiet der Breite b statt. Dieses Gebiet bewegt sich - genau wie die schwache Druckwel• le - mit der Geschwindigkeit a durch das ruhende Gas. Zur weiteren Vorgehens• weise werden nun die folgenden zwei Annahmen getroffen - ßp = PI - Po« Po die Druckerhöhung ßp ist klein gegenüber dem ursprüngli• chen Druck Po - ßP = PI - Po« Po die durch die Kompression bewirkte Dichteerhöhung ßp ist klein gegenüber der ursprünglichen Dichte po 8.1 Schallgeschwindigkeit 705

-c ~ ~ : -a + ~c -a .. fd -, .. : : .. .. P1 ~·P" -H"lfaPO+~P~ -,Po Po + ~P ~ Po P1 ~Po PO+~P~ Po Po + ~P: Po ,.~ ,.~ c = a-c =} -c = -a + c D2 ·n ~P = P1 - Po =} P, =Po+~P A=-- 00 4 ~P = P1 -Po =} P1 = Po + ~p

Bild B-2: Das Übergangsprinzip unter dem Gesichtspunkt des mitbewegten Beobachters

Anstelle des bewegten Übergangsgebietes wird jetzt ein stehendes Gebiet mit Ein• und Ausströmung betrachtet, d.h. es wird so getan, als würde sich ein Beobachter zusammen mit dem Übergangsgebiet durch das Gas bewegen, Bild B-2. Die in das Gebiet einströmende Geschwindigkeit ist jetzt -a. Das negative Vorzeichen resul• tiert daraus, dass das sich ursprünglich von links nach rechts bewegende Übergangs• gebiet (positive Bewegungsrichtung) wegen des Prinzips des mitbewegten Beobach• ters nun still steht und deswegen von rechts nach links durchströmt wird (negative Bewegungsrichtung). Von dieser Vorzeichenregelung sind nur Geschwindigkeiten und Kräfte betroffen, da Drücke und Dichten richtungsunabhängig sind. Auf das Übergangsgebiet in der Mitte von Bild B-2 wird nun die Kontinuitäts• gleichung angewendet, nach der ein- und austretende Massenströme gleich groß sein müssen

Llc = a. Llp (B.I) Po Auf das Übergangsgebiet im rechten Teil von Bild B-2 wird des weiteren der Impuls• satz der Strömungsmechanik angewendet 0= { (- a + LlC)' [(- a + LlC). (Po + Llp). A] }-{ (- a). [(- a)· Po . A] }+ {(Po +Llp)·A }-{Po'A}

Durch Ausmultiplizieren und Umstellen ergibt sich hieraus

o = a 2 • Llp + Llp - 2 . a . Llc (B.2) Po Po Das Zusammenführen von Kontinuitätsgleichung (8.1) und Impulssatz (8.2) er• gibt die sog. Laplacesche Form der Schallgeschwindigkeit

2 Llp a =- bzw. (8.3) Llp Es ist zu sehen, dass der Differentialquotient dp/dp vom Kompressionsgesetz p(p) abhängt und vollkommen unabhängig von der Breite b des Übergangsgebietes ist. 706 Anhang B

Innerhalb einer schwachen Schallwelle, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit durch die GI. (B.3) beschrieben wird, sind alle physikalischen Änderungen klein, so dass auch alle Gradienten der verschiedenen Strömungsgrößen als klein angesehen werden können. Das bedeutet aber auch, dass sowohl alle irreversiblen, dissipativen Effekte als auch alle Einflüsse aufgrund von Wärmeleitung vemachlässigbar sind. Ebenso kann davon ausgegangen werden, dass es von außen keine Wärmezufuhr in die Schallwelle gibt, wie es Z.B. beim Anleuchten mit einem Laser auftreten könnte. Schwache Störungen in einem Gas sind also adiabate Gebilde, in denen Zustandsän• derungen isentrop verlaufen und somit der Gleichung p/p" = const gehorchen. dp P l =const -=K'- (BA) pI( dp P

Zusammen mit GI. (B.3) wird daraus

a 2 = :~ = K'~ bzw. a = ~K'~ (B.5)

Wird hier noch die allgemeine Gasgleichung p/p = R . T eingesetzt, so ergibt sich

(B.6)

Die Gleichung lässt erkennen, dass die Schal1geschwindigkeit a in der Atmosphä• re mit der Höhe - genau wie die Temperatur T - abnimmt. In der Standardatmo• sphäre beträgt die Schal1geschwindigkeit bei T = 288 K am Boden a = 340 m/s und bei T = 217 K in 11 km Höhe a = 295 rnIs.

8.2 Kompressibilität

8.2.1 Dichteänderung

Ein Maß für die Kompressibilität einer Flüssigkeit oder eines Gases ist der sog. Volumen-Elastizitätsmodul E, der wie folgt definiert ist (Schlichting u. Tru• ckenbrodt, 1967) I1V I1p=-E·• (B.7) V Hierin ist 11 VN die relative Volumen änderung infolge der Druckerhöhung I1p, d.h. VI-Va PI-PO =-E· V mit PI >Po und VI

v, = V + V mit V = V, - V< 0

Bild B-3: Isotherme Kompression eines idealen Gases

Flüssigkeiten gilt, können Flüssigkeiten bei Strömungs vorgängen in der Regel als inkompressibel angesehen werden. In idealen, reibungsfreien (isentropen) flüs• sigkeiten verläuft eine Kompression isotherm'. Um einen Vergleich zur isother• men Kompression einer Flüssigkeit zu haben, wird nun auch die isotherme Kom• pression eines idealen Gases betrachtet. Isotherme Zustandsänderungen gehorchen der Gleichung (z.B. Knoche, 1972) p ' V = const (B.9)

Entsprechend der Darstellung in Bild B-3 ergibt sich für eine durch eine Druckän• derung hervorgerufene Volumenänderung p. V = (p+ ilp)· (V +ilV)= p. V + p' ilV +ilp· V +ilp· ilV ilV ilp=-p·• (B.IO) V Der Vergleich dieser Beziehung mit GI. (B.7) zeigt, dass ideale Gase mit iso• thermer Zustandsänderung einen Elastizitätsmodul E haben, der gleich dem Druck p des Gases im Ausgangszustand ist. Für Luft mit dem Umgebungsdruck p = E = 105 N/m2 (Normalzustand) ergibt sich bei einer isothermen Druckerhö• hung von ilp = 105 N/m2 = 1 bar eine relative Volumenänderung von ilV N = 1.0 = 100 %. Im Vergleich zu Wasser ist Luft im Normalzustand somit ca. 20 OOO-mal kompressibler. Ob in einer Gasströmung Kompressibilität zu berücksichtigen ist oder nicht, hängt davon ab, ob die Druckänderungen in dieser Strömung auch signifikante Volumenänderungen hervorrufen. Anstelle der Volumenänderung kann auch die Dichteänderung abgeschätzt werden. Dazu wird für das in Bild B-3 dargestellte Volumen die Massenerhaltung beim Kompressionsvorgang betrachtet.

m=m l =const. => P,V=PI,VI => PI,VI =(P+ilp), (V+ilV)=p ' V

I In idealen Flüssigkeiten verlaufen die Linien gleicher Temperatur (Isothermen) im h-s• Diagramm genau wie die Linien gleicher Entropie (Isentropen), nämlich vertikal. 708 Anhang B

~V ~p ~V ~V ~p -- wegen ~p=-E·- wird ---- und damit V P V V E

~p =+E· ~p (B.I 1) P Eine Strömung kann in guter Näherung immer solange als inkompressibel angese• hen werden, solange ~p/p « I gilt. Die Bedeutung dieser Aussage soll mit der Bemoulligleichung für inkompressible Strömungen abgeschätzt werden

Pt = P + .e. .c 2 = P + q = const. 2 Die durch den Strömungsvorgang hervorgerufene Druckänderung

~P=Pt _p=q=%.c 2 ist von der Größenordnung des Staudrucks q. Aus der GI. (B.I I ) folgt damit

= q P c 2 ~p ~p -=_.- (B.12) E P E 2 E

Falls also für eine inkompressible Strömung ~p/p « I gelten soll, so muss auch q/E « 1 bzw. q « E gelten. Eine Gasströmung ist also immer dann als inkompres• sibel anzusehen, wenn der Staudruck q im Vergleich zum Volumen-Elastizitätsmodul E klein ist. Dieses Ergebnis wird noch anschaulicher, wenn zusätzlich die Schallge• schwindigkeit a nach GI. (B.5) mit einbezogen und dort die GI. (B.12) eingesetzt wird.

~p P c 2 ~p P c 2 -",,_.- => -;::::::-.--, P 2 E P 2 p·a-

(B.13)

Die Kompressibilität eines strömenden Gases ist also immer solange vemachläs• sigbar, solange die Strömungsgeschwindigkeit c klein ist im Vergleich zur Schall• geschwindigkeit a.

8.2.2 Machzahl

Das dimensionslose Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeit c zur Schallge• schwindigkeit a in GI. (B.13) wird Machzahl genannt. Sie ist die wesentliche Ähn• lichkeitskenngröße der kompressiblen Strömungsmechanik.

Ma=~= c (B.14) a .JlC.R.T Einen weitergehenden Einblick in das Machsche Ähnlichkeitsgesetz gibt der Begriff der mechanischen Ähnlichkeit. Dazu zeigt Bild B-4 zwei strömungsmechanisch zu 8.2 Kompressibilität 709

Große Originalkugel in Kleine Modellkugel in Wind• freier Strömung (z.B .: Luft) kanalströmung (z.B .: N2)

~o

Bild B-4: Zur mechanisch ähnlichen Umströmung einer Kugel untersuchende Kugeln. Die erste Kugel sei ein Original, das in freier Strömung be• trieben wird, und die 2. Kugel sei dessen maßstäblich verkleinertes Modell, das im Windkanal zu untersuchen ist. Die Umströmung der Kugeln wird dann als mecha• nisch ähnlich bezeichnet, wenn beide Kugeln geometrisch ähnliche Stromlinien• bilder aufweisen. Dieses ist dann gegeben, wenn in allen geometrisch ähnlich gele• genen Punkten von Original und Modell die dort wirkenden Kräfte im sei ben Ver• hältnis zueinander stehen. In kompressibler, reibungsfreier Strömung sind dies die Trägheitskraft Fg = m . b = m dc/dt. und die Druckkraft Fp = P .A. An Original und Modell soll also der Quotient FglFp gleich groß sein: (Fg / Fp)Otiginal = (Fg / Fp)Modell .

F =m.b=(e .p . A) . ~ mit -=ce (B.IS) g t t Hierin ist m = R pA die Masse des auf die Kugel mit dem Querschnitt A treffen• den Fluidvolumens R A. Das Fluid, das mit der Geschwindigkeit c strömt, hat die Dichte p.

(B.16)

(B.17)

Der Vergleich zwischen den Gin. (B.13) und (B.17) zeigt ähnliche Ergebnisse, die sich nur durch die konstanten Faktoren Y2 bzw. K voneinander unterscheiden. Ge• ometrisch ähnliche Stromlinienbilder (mechanische Ähnlichkeit) verlangen in kompressiblen, reibungsfreien Strömungen, dass durch Druckkräfte verursachte relative Volumenänderungen in 2 zu vergleichenden Strömungen gleich groß sind. Das dabei entscheidende Geschwindigkeitsverhältnis c/a wird Machzahl2 Ma ge• nannt. GI. (B .13) kann also auch wie folgt geschrieben werden

~p I 2 - ",, -·Ma «I (B.18) p 2

2 Jakob Ackeret hat in seiner Habilitationsschrift von 1928 an der ETH-Zürich zu Ehren d es Physikers Ernst Mach (1838-1916) die Bezeichnung Machsche Zahl für das Geschwindig• keitsverhältnis c/a eingeführt. 710 Anhang B

Für Ma = c/a = 0.3 ergibt sich daraus .1p/p '" 0.045 '" 5 % « 1. Nach GI. (B.14) entspricht die Machzahl Ma = 0.3 bei K = 1.4, R = 287 Nm/(kg K) und T = 273 K einer Geschwindigkeit von c = 100 rnIs = 360 krn/h. Es ist üblich geworden, bis zu Machzahlen von ca. 0.3 eine Strömung als inkompressibel anzusehen. Darüber hinaus sollte Lallg. die Kompressibilität berücksichtigt werden. Eine Strömung kann also in Abhängigkeit der Machzahl Ma als inkompressibel oder kompressibel angesehen werden. Bild B-5 zeigt ergänzend, welche Strömungs• bezeichnungen in Abhängigkeit der Machzahl außerdem noch üblich sind. - Ma < I subsonische Strömung - Ma = I sonische Strömung - Ma > I supersonische Strömung - Ma» I hypersonische Strömung (Ma.o > 5) Hierbei wird unter Ma.o die sog. Machzahl der ungestörten Anströmung ver• standen. Das ist diejenige Machzahl, die vor einem umströmten Körper dort vor• liegt, wo dieser noch keinen "störenden" Einfluss auf die Zuströmung hat. Man spricht auch von dem Begriff "Machzahl weit vor dem Körper". Mit Ma wird in Bild B-5 die lokale Machzahl bezeichnet. Aufgrund der Ver• drängungswirkung eines umströmten Körpers erfährt die Strömungsgeschwindig• keit c (aber auch die Schallgeschwindigkeit a) in unmittelbarer Umgebung des Körpers eine Änderung, die dazu führt, dass lokal die Machzahl Ma = c/a von der Machzahl Ma.o verschieden ist. Erreicht die lokale Machzahl Ma irgend wo im Strömungsfeld die sonische Machzahl Ma = I, so wird die dazugehörige Machzahl Ma.o der ungestörten An• strömung als kritische Machzahl bezeichnet. Die kritische Machzahl Makrit ist gewöhnlich kleiner als 1. Makrit = Ma.o < I ~ wenn irgendwo gerade lokal Ma = I erreicht wird. Von einer subsonischen Strömung wird immer dann gesprochen, wenn in allen Or• ten eines Strömungsfeldes die Geschwindigkeit c kleiner als die Schallgeschwindig-

Verdichtungsstoß

Ma< 1

Ma< 1 Ma> 1 Unterschall Überschall subsonische supersonische Strömung ~~ Strömung

transsonische Strömung d.h. im Strömungsfeld liegen gleichzeitig sub- und supersonische Strömungen vor

8ild 8-5: Tragflügel in transsonischer Strömung zur Erläuterung der unterschiedlichen Mach• zahlbereiche 8.2 Kompressibilität 711 keit a ist. Sobald irgendwo - lokal im Strömungsfeld - Ma = c/a = 1.0 erreicht wird, ist die obere Grenze der Existenz einer subsonischen Strömung erreicht. Von einer supersouischen Strömung wird immer dann gesprochen, wenn in allen Orten eines Strömungsfeldes die Geschwindigkeit c größer als die Schallge• schwindigkeit a ist. Sobald irgendwo - lokal im Strömungsfeld - Ma = c/a < 1.0 auftritt, ist die untere Grenze der Existenz einer supersonischen Strömung erreicht. Man hat sich darauf geeinigt, dass die obere Grenze der supersonischen Strömung bei einer Anströmmachzahl von MClco =5 liegen soll. Bei noch größeren Machzah• len spricht man von einer hypersonischen Strömung. Unter dem Begriff der transsonischen Strömung wird schließlich der Strö• mungszustand verstanden, bei dem im gesamten Strömungsfeld subsonische und supersonische Strömungsbereiche gleichzeitig auftreten, Bild B-5.

8.2.3 Temperaturerhöhung

Ein besonderes Merkmal kompressibler Strömungen ist es, dass die Strömungs• vorgänge mit thermodynamischen Vorgängen gekoppelt sind, wodurch sich der Begriff der Aero-Thermodynamik herausgebildet hat. Die allgemeine Gasgleichung p = p. R· T zeigt, dass in kompressiblen Strö• mungen (p "1= const) auftretende Druckänderungen auch mit Temperaturänderun• gen verbunden sind. Eine Abschätzung dieser Temperaturänderungen AT zeigt Bild B-6. Vor einem mit c~ angeströmten Körper liegen in der Anströmung die statischen Größen p~ und T ~ für Druck und Temperatur vor. Auf der zum Stau• punkt führenden Stromlinie findet eine Druckerhöhung Ap vom statischen Druck p~ auf den Totaldruck Pt statt, Ap = Pt - p~, und bewirkt dabei eine Temperaturer• höhung AT, die durch Kombination der GIn. (A.4), (A.88), (A.114) und (B.14) be• rechnet werden kann.

600 ß T = K -1 . T . Ma2 ,H 2 ~ ~

500 T~ =288.15K / 1(=1.4 400 V

300 1/ V 200 V 100 ,/ ".- ~ 0.0 - 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Ma~

Bild B-6: Temperaturerhöhung von Luft durch Kompression im Staupunkt, in Abhängigkeit der Machzahl 712 Anhang B

äußerer Grenz• .. schichtrand ---- ,.,- ...... @ " ---.-..... ,/" c=O ---... ,/ ----... ~C:==~====~~Z=~======3:...... ~~==~E:==~ Strömungs• Temperatur• grenzschicht grenzschicht

Bild B-7: Aufheizung einer umströmten geraden Wand info1ge von Reibung

c 2 K-l 2 ßT=T -T =-~- ßT=---·T ·Ma (8.19) , ~ 2·c 2 ~ ~ p ßT steigt mit dem Quadrat der Machzahl an und erreicht im Überschallbereich Wer• te von mehreren hundert Grad. Mit zunehmender Höhe nimmt die Umgebungs• temperatur T~ in der Standardatmosphäre von ca. 288 K auf ca. 217 K ab, so dass ßT in größeren Höhen um mehr als 100 Grad geringer ausfallen kann als in Bodennähe. Eine Temperaturerhöhung der Größenordnung von GI. (8.19) tritt nicht nur im Staupunkt und seiner näheren Umgebung auf, sondern auch durch Reibung längs umströmter Oberflächen. In einer dünnen wandnahen Schicht, auf die sich die Reibungsvorgänge eines umströmten Körpers beschränken und die die Grenze zur reibungsfreier Außenströmung darstellt (Strömungsgrenzschicht), wird kinetische Energie der Strömung infolge von Zähigkeit in Wärme gewandelt (Dissipation). Dieses hat eine Aufheizung der Wand um den Betrag ßT zur Folge, wodurch der Begriff der Temperaturgrenzschicht entsteht, Bild B-7. Diese Aufheizung der Wand berechnet sich wie folgt (z.B. Schlichting u. Truckenbrodt, 1967)

ßT = Tw - T~ = 0.169· T~ . Ma:, (B.20) wenn T w die direkte Wandtemperatur ist. Es ist zu erkennen, dass sich im Ver• gleich zu den Ergebnissen aus GI. (8.19) nun ß T -Werte ergeben, die ca. 20 % ge• ringer ausfallen.

8.3 Machsehe Linie, Verdichtungsstoß und Expansionswelle

Einleitend soll eine einfache Vorüberlegung angestellt werden. Der linke Teil von Bild B-8 zeigt dazu ein sich mit der Geschwindigkeit c in ruhender Luft von links nach rechts bewegendes Flugzeug. Dieses erzeugt in seinem unmittelbaren Um• feld Druckänderungen (Schallwellen), die sich mit der Schallgeschwindigkeit a re• lativ zu der mit c bewegten "Schallquelle" fortpflanzen. Dieser Vorgang ist iden• tisch mit einem als Schallquelle fungierenden ruhenden Körper, der mit der Ge• schwindigkeit c angeströmt wird, Bild B-8 rechts. Die Druckstörung bzw. der 8.3 Machsehe Linie, Verdichtungsstoß und Expansionswelle 713

Flugzeug ruht, wird aber mit Flugzeug fliegt mit der der Geschwindigkeit c angeströmt Geschwindigkeit c +-• +-• +-- +c v 7-~~~ _~ __ .. +--am* +-• +-- Windkanal• düse

Bild B-8: In ruhender Luft bewegter Körper und ruhender Körper in strömender Luft

Schall breitet sich entgegen der Anströmrichtung mit der Relativgeschwindigkeit v = a - c aus. Wenn die Anströmgeschwindigkeit genauso groß ist wie die Schall• geschwindigkeit (c = a), dann wird v = 0, was bedeutet, dass sich Druckstörungen nicht mehr entgegen der Anströmung ausbreiten können. Dieses verdeutlicht auch Bild B-9. Bild B-9a zeigt eine ruhende Schallquelle Q, deren Anströmgeschwin• digkeit folglich c = 0 ist. Die Ausbreitung der Schallwellen erfolgt auf konzentri• schen Kugelflächen. Die in Bild B-9a eingezeichneten Kreise symbolisieren diese ausgesandten Schallwellen zu äquidistanten Zeitabständen: t, 2 1, 3 1, ... , d.h. die Schallwellen haben in diesen Zeitabständen die Wegstrecken s = a 1, 2 a 1, 3 at

c=a +--c=O -

d)

Zone des Schweigens

Bild B-9: Ausbreitung von Schallwellen einer ruhenden Schallquelle, die mit der Geschwindig• keit c angeströmt wird 714 Anhang B

c>a

Machscher Kegel bzw. Zone des Schweigens Machsche Linie

Bild B-I0: Zone des Schweigens usw. zurückgelegt. Bild B-9b zeigt die Lage dieser ausgesandten Schallwellen für den Fall, dass die Schall quelle Q mit der halben Schallgeschwindigkeit c = Y2' a angeströmt wird. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwellen nach vorne wird entsprechend der Größe der Anströmgeschwindigkeit halbiert. Bild B-9c zeigt das entsprechende Bild für c = a, bei dem es zu keiner Ausbreitung der Schallwellen nach vorne mehr kommen kann. Schwache Störungen in Schall- oder Überschallanströmungen können sich also nicht nach vorne bemerkbar machen. Bild B-9d zeigt schließlich den Fall, in dem die Schallquelle Q mit 2facher Schallgeschwindigkeit angeströmt wird. Die Schallwellen werden entsprechend der hohen supersonischen Anströmgeschwindigkeit nach hinten weggetragen. Die Wirkung der Schallquelle beschränkt sich dadurch auf einen Kegel mit dem hal• ben Öffnungswinkel ll, dessen Spitze die Schallquelle Q ist. Dieser Kegel wird Machscher Kegel genannt und seine Begrenzungslinien Machsche Linien. Bild B-9d zeigt, dass das Zentrum der rechts eingezeichnete Schallwelle zum Zeitpunkt t den Weg SI = C t= 2 a tzurückgelegt hat. Der Radius dieser Schallwel• le ist zum Zeitpunkt S2 = a· ~ so dass schließlich der halbe Öffnungswinkel II des Machschen Kegels berechnet werden kann.

. s a· t a . 1 sm II = -2.. = - = - ~ smll=• (B.21) SI c · t c Ma Ist die Anströmgeschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit (c > a), kön• nen sich Druckstörungen nur in dem stromabwärts von der Schallquelle Q gelege• nen Machschen Kegel ausbreiten. Zu Orten außerhalb des Machschen Kegels kann die Schallquelle kein Signal senden, weswegen dieser Bereich auch gele• gentlich Zone des Schweigens genannt wird. Bei einem mit Überschallgeschwin• digkeit fliegenden Körper, der direkt auf einen Beobachter zukommt, hört man al• so vor der Ankunft des Körpers keinerlei Schall wirkung. Bild B-lO verdeutlicht, dass für einen am Boden stehenden Beobachter ein hoch fliegender, überschall- 8.3 Machsehe Linie, Verdichtungsstoß und Expansionswelle 715

Ma> 1

ungestörte gestörte Strömung Strömung

Bild B-11: Vergleich zwischen Verdichtungsstoß und Machscher Linie schneller Flugkörper unter Umständen erst dann wahrgenommen werden kann, wenn er bereits den Standort des Beobachters überflogen hat. In Bild B-lO geht die Druckstörung (Schallquelle), die den Machschen Kegel bildet, von dem vergleichsweise dünnen Staurohr an der Spitze des Flugzeuges aus, das in der Strömung eine Druckänderung (Druckstörung) verursacht und da• mit die Rolle der Schallquelle übernimmt. Eine größere Störung, wie der in Bild B-ll dargestellte Keil, der mit Überschallgeschwindigkeit angeströmt wird, lässt auch die Wellenfront stärker ausfallen als bei einer Machschen Welle. Die sich dabei bildenden Wellen wachsen zu einem sog. schrägen Verdichtungsstoß zu• sammen. Der Neigungswinkel e dieses Stoßes gegenüber der ungestörten Anströ• mung ist größer als der Machsche Winkel ~. Der halbe Öffnungswinkel ~ des Machschen Kegels stellt den kleinsten möglichen Neigungswinkel e eines schrä• gen Verdichtungsstoßes dar, so dass eine Machsche Linie auch als infinitesimal schwacher schräger Verdichtungsstoß angesehen werden kann. Bild B-12 verdeutlicht die Unterschiede zwischen Machscher Linie und schrä• gem Verdichtungsstoß nochmals, indem dort zum einen ein schmaler Keil mit 5° halbem Öffnungswinkel und einer moderaten ungestörten Anströmmachzahl von Mal = 1.4 betrachtet wird und zum anderen ein dickerer Keil mit 20° halbem Öff• nungswinkel und einer höheren ungestörten Anströmmachzahl von Mal = 2.0. Im

Stoß Stoß

/Machsche Linie Machsehe Linie Ma j = 2.0

Bild B-12: Schräger Verdichtungsstoß und Machsche Linie bei einer moderaten und bei einer starken Störung 716 Anhang B

Unterschallgebiet

Überschallgebiet

Ma> 1 Pitot- Rohr

gerader Verdichtungsstoß linie

schräger Verdichtungsstoß

Bild B-13: Stoßfront vor einem Staurohr (Pitot-Rohr) bzw. abgelöste Kopfwelle vor einem stumpfen Körper ersten Fall unterscheiden sich die Neigungswinkel von Machscher Linie und schrägem Verdichtungsstoß nur um ca. 8°, im 2. Fall aber bereits um 24°. Physika• lisch ist dies damit zu erklären, dass stärker werdende Verdichtungsstöße auch mit immer größeren Energieverlusten (Entropieanstieg) verbunden sind. Bei schwa• chen Störungen mit geringem Entropieanstieg sind deswegen schräge Verdich• tungsstöße und Machsehe Linien nahe beieinander, wogegen sie bei starken Stö• rungen - wegen der zunehmenden Verluste - mehr und mehr voneinander abwei• chen. Bei den Verdichtungsstößen sind zwei typische Arten zu unterscheiden, von denen hier der eine - nämlich der schräge Verdichtungsstoß - bereits erläutert wurde. Der andere Typ ist der senkrechte Verdichtungsstoß. Bild B-13 zeigt die Spitze des Staurohrs des Flugzeuges aus Bild B-lO in Überschallströmung. Direkt vor der Öffnung des Rohres verläuft die Kontur des mit eingezeichneten Verdich-

senkrechter schräger Verdichtungsstoß Verdichtungsstoß

Ma, > 1 c, > a

Bild B-14: Änderungen von Geschwindigkeit, Machzahl und den statischen Größen für Druck, Dichte und Temperatur bei senkrechten und schrägen Verdichtungsstößen 8.3 Machsehe Linie, Verdichtungsstoß und Expansionswelle 717

Maehsehe Linie

Maehsehe Linie

Il, = are sin (1/Ma1)

Il, = are sin (1/Ma2)

wegen Ma2 > Ma1 folgt Il, > Il,

Bild B-15: Überschallströmung um eine konvexe Ecke tungsstoßes nahezu senkrecht zur Anströmrichtung, weiter außen dagegen schräg, um noch weiter außen schließlich die in Bild B-IO dargestellte Kegelform anzu• nehmen. Bei stumpfen Körpern liegt der Stoß nicht mehr direkt am Körper an, sondern hat einen gewissen Abstand dazu. Man spricht in diesem Fall auch von einer abgelösten Kopfwelle. Der Stoßbereich direkt vor dem Staurohr kann lokal als senkrechter Stoß behandelt werden, der im übrigen aber auch als separates Strömungsphänomen auftreten kann. Beim Durchströmen bzw. beim Überschreiten einer Machschen Linie bzw. ei• nes Verdichtungsstoßes ändert sich die Geschwindigkeit bzw. die Machzahl sprungartig, man sagt, sie ändert sich unstetig, C2 < CI bzw. Ma2 < Mal. Hierbei markiert der Index I Strömungszustände vor dem Stoß und der Index 2 solche hin• ter dem Stoß. Wegen der Überschallanströmung gilt generell CI > a bzw. Mal> 1. Beim schrägen Verdichtungsstoß wird die Geschwindigkeit C2 in fast allen prakti• schen Fällen immer größer sein als die Schallgeschwindigkeit a. Beim senkrechten Verdichtungsstoß dagegen liegt hinter der Stoßfront grundsätzlich Unterschallge• schwindigkeit vor, C2 < a bzw. Ma2 < 1. - Gerader oder senkrechter Verdichtungsstoß. Strömungsteilchen erfahren beim Durchlaufen der Stoßfront keine Änderung der Strömungsrichtung. Der senkrechte Verdichtungsstoß ist als Unstetigkeit zwischen Überschall- und Un• terschallströmung aufzufassen. Hinter einem geraden oder senkrechten Ver• dichtungsstoß liegt immer Unterschallgeschwindigkeit vor. Schräger Verdichtungsstoß. Strömungsteilchen erfahren beim Durchlaufen der Stoßfront eine unstetige Änderung der Strömungsrichtung. Schräge Ver• dichtungsstöße treten an scharfen konkaven Ecken auf, wenn die Überschall• strömung gezwungen wird, plötzlich ihre Richtung zu ändern. Hinter einem schrägen Verdichtungsstoß liegt in fast allen praktischen Fällen Überschallge• schwindigkeit vor. 718 Anhang B

Ebenso wie sich die Geschwindigkeit c bzw. die Machzahl Ma unstetig über den Stoß verändert, verändern sich auch Druck p, Dichte P und Temperatur T, P2 > Pi> P2 > PI , T2 > TI. Dieser Zusammenhang gilt sowohl für senkrechte als auch für schräge Verdichtungs stöße, wobei die Geschwindigkeit über jede Art von Ver• dichtungsstoß sprungartig abnimmt, während Druck, Dichte und Temperatur sprungartig ansteigen, Bild B-14. Bei schrägen Verdichtungsstößen wird die Strömung hinter der Stoßfront in der Art umgelenkt, dass der Geschwindigkeitsvektor der Abströmung zur Anströmrich• tung hin gedreht wird, wobei alle Stromlinien beim Durchströmen des Verdich• tungsstoßes dieselbe Umlenkung erfahren. Folgten also vor dem Stoß alle Stromli• nien der Wandkontur und waren sie außerdem gleich und parallel zueinander, so sind sie es auch nach dem Stoß und folgen auch dort wiederum der Wandkontur. Beim Durchströmen eines senkrechten Verdichtungsstoßes findet keinerlei Umlen• kung der Strömung statt. Ein anderes typisches Beispiel für eine Überschallströmung ist die Strömung längs einer Wand mit konvexer Ecke, Bild B-15. Es entsteht ein sog. Expansionsfächer, der auch manchmal Verdünnungswelle oder Prandtl-Meyer-Eckenströmung (Meyer, 1908) genannt wird. Bei einem solchen Expansionsfächer wird die Strömung hinter der Verdünnungsfront in der Art umgelenkt, dass der Geschwindigkeitsvektor der Ab• strömung von der Anströmrichtung weggedreht wird, wobei alle Stromlinien beim Durchströmen der Verdünnungswelle dieselbe Umlenkung erfahren. Wenn also vor einem Expansionsfacher alle Stromlinien der Wandkontur folgen und außerdem gleich und parallel zueinander sind, so sind sie es auch nach dem Fächer. Dabei sind die Stromlinien innerhalb des Fächers sanft gekrümmt. Es gibt im Gegensatz zu den Vor• gängen im Verdichtungsstoß beim Expansionsfächer keine unstetigen Änderungen, wenn man von der direkten Wandstromlinie einmal absieht, die im Umlenkpunkt "A" eine Diskontinuität besitzt. Beim Durchströmen des Expansionsfächers nimmt die Ge• schwindigkeit c bzw. die Machzahl Ma zu, während die statischen Größen für Druck p, Dichte P und Temperatur T entsprechend abnehmen. In Bild B-16 sind die Wellenbilder für ein Überschallprofil aufgezeichnet. Das Wellenbild an der Vorder- und Hinterkante hängt vom Anstellwinkel IX ab. Wäh• rend beim nicht angestellten Profil an der Vorderkante auf Ober- und Unterseite

schräger Expansionsfächer Expansionsfächer schräger Verdichtun Verdichtungs• stoß s ß

Strom• linie

schräger Verdichtu ngsstoß Expansionsfächer Rhombus- oder Doppelkeilprofil Rhombus- oder Doppelkeilprofil Wellenbild bei Nullauftrieb: cx = 0 Wellenbild bei positivem Auftrieb: cx = 0

Bild B-16: Zur Erläuterung von Verdichtungsstößen und Expansionsfächern am Beispiel eines Rhombusprofils mit und ohne Anstellwinkel bei Überschallanströmung 8.4 Formeln für kompressible, isentrope Strömungen idealer Gase 719 schräge Verdichtungsstöße auftreten, weil der Fall der Umströmung einer konka• ven Ecke vorliegt, kommt es beim angestellten Profil auf der Oberseite zur Um• strömung einer konvexen Ecke und damit zur Ausbildung eines Expansionsfa• chers und auf der Unterseite zur Umströmung einer konkaven Ecke und damit wiederum zur Entstehung eines schrägen Verdichtungsstoßes. Wird beim ange• stellten Profil der Anstellwinkel so gewählt, dass die Zuströmung parallel zur vor• deren Oberseite erfolgt, würde sich natürlich weder ein Expansionsfacher noch ein Verdichtungs stoß ausbilden.

8.4 Formeln tür kompressible, isentrope Strömungen idealer Gase

8.4.1 Thermische und kalorische Zustandsgleichung

Gasdynamische Vorgänge sind mit thermodynamischen eng verbunden. Strö• mungsabläufe in Triebwerken werden von daher auch oft unter dem Oberbegriff Aero-Thermodynamik zusammengefasst. Neben der thermischen Zustands• gleichung (allgemeine Gasgleichung) soll in diese strömungsmechanische Be• trachtung nun auch noch die sog. kalorische Zustandsgleichung (Anhang A, Kap. A.2.1) eingeführt werden. Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ergab sich für strömende Gase mit GI. (A.4) die Definition der Totalenthalpie

c 2 c 2 h =h+g·z+-""h+- (B.22) t 2 2 Bild B-17 zeigt diesen Zusammenhang im h-s-Diagramm. Dazu muss vom stati• schen Druck p im Punkt A aus, der den tatsächlich vorliegenden thermodynami• schen Zustand beschreibt, die Strecke c2/2 nach oben abgetragen werden, wodurch der neue Punkt B gefunden wird, der nun den thermodynamischen Totalzustand beschreibt. Dieser neue Punkt ist im Gegensatz zum statischen Zustandspunkt A nur ein ideeller Zustandspunkt (Traupel, 1972). Alle durch diesen neuen Punkt verlaufenden Größen, wie Druck, Temperatur und Dichte, werden als Totalgrößen bezeichnet, also Pt = Totaldruck, Tt = Totaltemperatur und Pt = Totaldichte. Total• zustände sind per Definition also solche, bei denen das Fluid von einem bewegten auf einen Ruhezustand (Total- oder Gesamtzustand) isentrop (verlustfrei) verzögert wird, so wie es z.B. von der Staupunktströmung eines Tragflügels her bekannt ist. Nach GI. (A.88) ist für ideale Gase die Enthalpie nur von der Temperatur ab• hängig bzw. h =cp·T (B.23)

Hierin ist cp die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck (vgI. auch GI. A.114). Sie wird im folgenden nur noch kurz als spezifische Wärme bezeichnet K·R c =-• (B.24) p K-l 720 Anhang B

h

h, = cp T, _ Lse~th~lpil _ _ _ (hier auch Isotherme '" ", '

... - statischer Zustand .- :0 -;----~------~s~=~co~n~s~.------~s (Isentrope) Bild B-17: Darstellung der Definition der Totalenthalpie von strömenden Gasen im h-s-Dia• gramm

Die Kombination der GIn . (B.23) und (B.22) ergibt einen Ausdruck für die Total• temperatur c 2 T =T+-- (B.25) , 2·c p Aus den GIn. (B.23), (B.24), (B .3) und (A.84) wird

K P a 2 h=c ·T=--·-=-- (B.26) P K-I P K-I Zusammen mit GI. (B.22) ergibt sich daraus

a 2 c 2 h l =--+-=const. (B.27) K-l 2 Bild B-17 zeigt, dass der Zusammenhang zwischen statischem und Totalzustand längs einer Isentropen verläuft, deren Zustandsänderung durch die Gleichung

..E... = ~ = const. (8.28) p K p~ beschrieben wird. Durch Umformen ergeben sich daraus die Ausdrücke

I bzw. P (p JK (B.29) ~=;

Wird für die statische Dichte p und die Totaldichte P, die aIlgemeine Gasglei• chung (A.84) eingesetzt, so kann aus der linken der GIn. (8.25) der folgende Aus• druck gebildet werden k-(_P .~)K PI R·T PI 8.4 Formeln für kompressible, isentrope Strömungen idealer Gase 721

Das Auflösen dieses Ausdrucks nach p/pt bzw. nach Trrt ergibt

(B.30)

Durch Einsetzen der Gin. (B.29) in die Gin. (B.30) können ähnliche Ausdrücke unter Einbeziehung der Dichte gefunden werden. Eine übersichtliche Zusammen• stellung der sich so ergebenden Ausdrücke und von weiteren Zusammenhängen, die im folgenden noch hergeleitet werden, listet Tabelle B-l auf.

8.4.2 Alternative Formen der Energiegleichung

Zur Herleitung weiterer Gleichungen wird auf die Energiegleichung (B.25) zu• rückgegriffen, diese nach der Geschwindigkeit c aufgelöst und für die spez. Wär• me die GI. (B.24) eingesetzt.

c=~2.cp . (TI -T)=~2. :~~ . (TI -T)

Zusammen mit der Definitionsgleichung (B.14) für die Machzahl wird daraus

Ma- c _ 1_2 .(~-1) (B.31) - JK·R.T -V K - 1 T Gleichung (B.31) ist auch in Tabelle B-l wiederzufinden, ebenso wie der folgende Ausdruck, der entsteht, wenn GI. (B.31) nach Trrt umgestellt wird

Tabelle B·1: Formelbezeichnungen für kompressible, isentrope Strömungen idealer Gase

T -"- ..e.. Ma p, T, p,

..e.. J'... , p, p, (ir (~ J (I+-·Ma· K-I2 't

,·1 T T - - T, (~r T, (~r (1+ K-I2 ·Ma", )

1 1 -"- J'... 1 p, p, (~r (ir (1+- K-I2 Ma"'r

Ma J_2[~-I] ~K~ll(~ r~ -IJ K-I T lK~I[( ~ r-11 Ma 722 Anhang B

T (B.32) 1(-1 2 T, 1+--·Ma 2 Wird für das Temperaturverhältnis Tfft in Gi. (B.31) die Gi. (B.30) eingesetzt, so ergibt sich eine weitere Beziehung für die Machzahl, diesmal in Abhängigkeit des Verhältnisses von statischem zu Totaldruck

(B.33)

Nach dem Druckverhältnis umgestellt ergibt sich daraus

R-= ______(B.34) P, K 1(-1 ( l+--·Ma 2)K-I 2 Weitere Formen der Energiegleichung enthält Tabelle B-1, wenn z.B. in die obige Beziehung auch noch Gi. (B.29) eingesetzt wird. Um die Gleichungen der Tabelle B-1 prinzipiell anwenden zu können, ist es nicht zwingend notwendig, dass eine Strömung zwischen 2 beliebigen, unterschiedlichen Stationen CD und @ im Strö• mungsfeld isentrop ist. Vielmehr ist in diesen Beziehungen der isentrope Zusam• menhang nur ein gedanklicher, nämlich als Teil der Definition eines Totalzustan• des, wie ihn Bild B-17 zeigt. Werden z.B. die Beziehungen auf einen Punkt CD im Strömungsfeld angewendet, so können daraus beispielsweise die Werte für TtI , Ptl und Pt! ermittelt werden. Ähnlich kann man auch für einen anderen Punkt @ im Strömungsfeld verfahren und erhält Tt2, Pt2 und Pt2. Verläuft der Strömungsvor• gang zwischen diesen beiden unterschiedlichen Punkten CD und @ im Strömungs• feld aber nicht isentrop ist, so bedeutet dies ergänzend zu den obigen beiden Lö• sungen: Tt! *" Tt2, Pt! *" Pt2 und Pt! *" Pt2. Ist andererseits das gesamte Strömungsfeld isentrop, dann bedeutet dies Konstanz in den Totalgrößen: Ttl = Tt2, Pli = Pt2 und Pli = P12· Diese Annahme konstanter Totalgrößen in einer Gasströmung ist eine sehr praktische und hilfreiche Vorgehensweise bei zahlreichen idealisierten An• wendungen in kompressiblen Strömungen. Durch Umformen der GI (B.34) nach dem Totaldruck Pt und Verwendung der Ausdrücke Ma = c/a und a2 = 1(.p/p erhält man

1(-1 [1(-11 P [ 2]K~1 2]·K~1 (B.35) P, =p. 1+-2-·Ma =p. 1+~·p·2·c

Dieses ist die Beziehung für den Totaldruck in kompressibler Strömung. Es sei daran erinnert, dass in inkompressibler Strömung der Totaldruck aus der Bemoul• ligleichung Pt = P + (pl2)-c2 ermittelt wird, die der Gi. (B.35) zwar ähnlich, aber nicht mit ihr identisch ist. Die Unterschiede zwischen den beiden Gleichungen re• sultieren daraus, dass die inkompressible Bemoulligleichung aus der Eulerschen Bewegungsgleichung (siehe nächstes Kapitel) entsteht, wenn diese für P = const 8.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen 723

~ s

dm = p-dA -ds

Clp dA p+--ds Cls

Druckkraft Druckkraft ds dFp1 = +p-dA dF = + dS)- dA p2 -(p opoS _ resultierende Druckkraft Clp dF =---ds-dA p Cls

Bild B-18: Zur Herleitung der Eulerschen Bewegungsgleichung längs des Strömungsweges integriert wird. Die Annahme der Konstanz der Dichte ist aber in kompressiblen Strömungen mit Ma., > 0.3 eine nicht mehr zulässige Vereinfachung.

8.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen

B.5.1 Eulersche Bewegungsgleichung und Bernoulligleichung

Bild B-18 zeigt einen Stromfaden s mit der infinitesimalen Querschnittsfläche dA als Bestandteil eines homogen durchströmten Kanals. Alle infinitesimalen Teil• chen des Stromfadens mit der infinitesimalen Masse dm = p. dA· ds haben in s• Richtung die Ausdehnung ds und die Geschwindigkeit c. Auf der linken Seite eines solchen Massenteilchens wirkt die Druckkraft dFpl = p' dA und auf der rechten die Druckkraft dFp2 = -(p + (dp/ds)· ds)· dA. Als resultierende Druckkraft dFp auf das Massenteilchen dm ergibt sich daraus: dFp = dFpl + dFp2 = -(dp/ds)- ds· dA. Auf das im Bild B-18 dargestellte Massenteilchen dm wird nun das 2. Newton• sche Axiom (Kraft = Masse- Beschleunigung) angewendet. dc dF =dm-- mit c = ds ~ dt = ds P dt dt c dc dc dc ~ -=c-- ~ dF =dm-c-- dt ds P ds 724 Anhang B

.pI ~p ~ p- ...:_~_ : __S_t_ro_m_ l_in_ie_s__ ß3~ C____ --=::::::= __

Bild B-19: Zur Integration des Druckgliedes in der Eulerschen Bewegungsgleichung

Werden hier die im Bild B-18 enthaltenen Ausdrücke für die Masse dm und die Druckkraft dFp eingesetzt, so ergibt sich dc 1 op c · _+_·_=O bzw. (B.36) ds P os Dieses ist die Eulersche Bewegungsgleichung für ideale Gase, die - wird sie längs des Stromfadenweges s unter der Annahme p = const. integriert - die wohl• bekannte inkompressible Bernoulligleichung ergibt

c 2 P => -+- = const. (B .37) 2 p Da hier aber kompressible Strömungen betrachtet werden sollen, ist die Annahme p = const unzutreffend, so dass bei der Integration des Druckgliedes (I/p) (Op/Cls) in der Eulerschen Bewegungsgleichung (8.36) die veränderliche Dichte p = pes) mit zu berücksichtigen.

f~dP ·ds = fdP (8.38) P ds P Bild B-19 zeigt beispielhaft eine Stromlinie s längs der die Integration erfolgen soll. Die Zustandsänderung zwischen p~ , p ~ , c ~ und p, p, c verläuft isentrop

(B.39)

Die Integration zwischen p~ und p wird möglich, wenn die Dichte p als Funktion des Druckes p dargestellt werden kann. Wegen der Isentropie der Strömung längs des Integrationsweges wird die Isentropenbeziehung p/p' = const = C eingeführt

I I I ~ (C)~ K :K =C bzw. p=1 P =CK-'- . p _-'- K => C-'- K =pP bzw. C ~ = E.::.. Poo

p dp -'- fP --'- fP --'- 1C Poo [( P f- = C K. P K . dp = _.p ~ P K • dp = 1C _ 1 . - . -)K~I -1 I (B.40)

p_ P P_ P00 p_ P00 P00 8.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen 725

Gleichung (B.40) ist ein Ausdruck für das Druckglied der Eulerschen Bewe• gungsgleichung (B.36) für kompressible, isentrope Strömungen. Für das Ge• schwindigkeitsglied aus GI. (8.36) ergibt sich durch Integration

2 LJdc .ds =L JC dc 2 =L(c 2 -c:) (B.41) 2 ds 2 2 c~

Das Einsetzen der beiden Gin. (B.40) und (B.41) in die Eulersche Bewegungsgleichung (8.36) hat die sog. Bernoulligleichung für kompressihle Strömungen idealer Gase mit isentroper Zustandsänderung (Schlichting u. Truckenbrodt, 1967) zum Resultat.

(B.42)

Aus der Energiegleichung in der Schreibweise der GI. (B.27) erhält mit Bezug auf Bild B-19

C 2-c 2 =-_.2 (2a -a 2) (B.43) = K-I = Die kompressible Bernoulligleichung (B.42) bekommt damit die alternative Form

(B.44)

Durch Umformen ergibt sich aus GI. (B.43) schließlich die folgende Beziehung

(B.45)

8.5.2 Kontinuitätsgleichung

Aus der Kontinuitätsgleichung für kompressible Strömungen kann der Zusam• menhang zwischen der Geschwindigkeit c und der durchströmten Querschnittsflä• che A hergeleitet werden. Um dieses zu zeigen, wird die Kontinuitätsgleichung nach der Geschwindigkeit c differenziert

m= const = p . c . A

. d (p ) dp dp dp mIt - c = p + c - = p + c - . - wird daraus dc dc dp dc

pc dA = _ A . [p + c dp . dP] (B.46) dc dp dc 726 Anhang B

Geschwin• Unterschall Überschall digkeit c Ma < 1.0 Ma > 1.0

~Ir · e-· -~' _._..-[)._ ._. _/ ._.- .§ g Z (/)

Bild B-20: Schematische Darstellung der Geschwindigkeitsänderung in einer Stromröhre bei sub- und supersonischen Machzahlen

Aus der Eulersche Bewegungsgleichung (B.36) wird dp c. dc + ~ . dp = 0 c . p dc. + dp = 0 -=-p·c (BA7) ds P ds dc

Dieser Ausdruck wird in GI. (BA6) eingesetzt, ebenso wie die GI. (BA) a2 =dp/dp

dA = _~. [p + c. dp . dP] = _ A . [I-~] = d!\ = _ A . [1_ Ma 2] (BA8) dc P .c dp dc c a 2 dc c

Aus GI. (BA8) lassen sich die folgenden 3 wichtige Erkenntnisse für gasdynami• sche Strömungen ableiten dA dA dA Ma I~->O dc dc dc Wegen ihrer Wichtigkeit sind diese 3 Aussagen in den Bildern B-20 und B-21 gra• fisch zusammengefasst worden, so dass folgende Aussagen für kompressible Strömungen abgeleitet werden können Bei subsonischer Geschwindigkeit nimmt der Stromröhrenquerschnitt - genau wie bei inkompressibler Strömung - mit der Geschwindigkeit ab. - Bei supersonischer Geschwindigkeit nimmt der Strömungsquerschnitt - entgegen den Verhältnissen bei inkompressibler Strömung - mit der Geschwindigkeit zu. Letztere Aussage lässt sich dadurch erklären, dass mit der Geschwindigkeitsstei• gerung in den Überschall hinein nicht nur der Druck abfällt, sondern auch sehr stark die Dichte. Das hat wiederum zur Folge, dass sich das Strömungs volumen stark vergrößert und von daher einen zunehmenden Strömungsquerschnitt benö• tigt. Beim Erreichen der Schallgeschwindigkeit, d.h. bei Ma = I, hat der Strom• röhrenquerschnitt ein Minimum. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom sog. engsten Querschnitt. Befindet sich in einem Strömungsfeld irgendwo eine 6.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen 727

A

dA >0 dc

Bereich konvergent/divergenter konvergenter Düsen Düsen Amn

engster Querschnitt Ma

= 0 Ma> 1

Bild B-21: Änderung des Stromröhrenquerschnitts dNdc in Abhängigkeit der Geschwindigkeit, aufgetragen über der Machzahl engste Stelle, dann wird genau hier zuerst die Machzahl Ma = 1 erreicht werden, wenn nur die Strömung entsprechend stark beschleunigt wird.

8.5.3 Stromdichte

Das Produkt p c aus GI. (B.47) wird als Stromdichte bezeichnet. Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung m= p . c . A= const erhält man . m const StromdIchte 'Ö p . c (B.49) == -=A =-- A Die Stromdichte ist dem im vorherigen Kapitel betrachteten Stromröhrenquer• schnitt A umgekehrt proportional und bietet den Vorteil, eine anschauliche Vor• stellung über den StromröhrenverIauf in kompressiblen Strömungen zu liefern. Dazu ist es ist i.allg. vorteilhaft, die Stromdichte in dimensionsloser Form darzu• stellen. Zu diesem Zweck wird sie auf die Totaldichte Pt und die mit der Total• temperatur gebildete Schallgeschwindigkeit at bezogen, so dass sich eine Bezeich• nung für die Stromdichte in dimensionsloser Form 8 ergibt

'Ö p·c . ~ d p, mIt a , 1(·R ·T , un p, = R .T (B.50) 8=--=--p, 'a, p,' a , = , Aus GI. (B .33) ergibt sich durch Erweitern

Ma _2 -1] =~=a 1(-1 . [(~p) I K~ I =~'(~1'(E.'=~.~a p ,·a, p) p, ·a, pa. ~

Aus der allgemeinen Gasgleichung (A.84) wird durch Division der Ausdruck 728 Anhang B

gebildet, so dass zusammen mit GI. (B.29) der folgende Ausdruck entsteht

p·c K 1 _2 .[(~ i : -I] =[kl~ _2 .~.[(~)-"-~ -I] PI' a t K - I p) Pt K - I TI P

Mit GI. (B.30) wird daraus schließlich

e=~=[kl~' _2 '[I_[k)K:l] (B.51) Ptat Pt K-l Pt

Anhand dieser Gleichung ist zu erkennen, dass folgende 2 Extremfälle existieren

für k = I ::::::> P . c = 0 fürk=O::::::>p.c=O Pt Pt Im 1. Fall ist P = p" was gleichzeitig c = 0 und P = Pt bedeutet. Im 2. Fall ist dann P = 0, was schließlich auch c = Cmax und P = 0 bedeutet. Da insgesamt die Strom• dichte p c immer positive Werte aufweist, muss zwischen den beiden oben aufge• zeigten Extremwerten ein Maximum existieren. Wenn die Stromdichte p c aber ein Maximum hat, dann heißt das nach GI. (BA9) aber auch, dass der Stromröh• renquerschnitt A dort ein Minimum haben muss. Die mathematische Bedingung für das Maximum von p c in Abhängigkeit des Druckes P lautet

~ (p . c) = 0 = p. dc + c. dp (B.52) dp dp dp

Hier werden die GIn. (BA7) und (B.3) eingesetzt

2 P c a 2 2 O=---+-=--+c=-a +c (B.53) p·c a 2 c Das heißt, die Stromdichte hat ihr Maximum an der Stelle, wo die Geschwindig• keit gleich der Schallgeschwindigkeit ist bzw. da, wo Ma = I erreicht wird, und das ist stets dort, wo der Stromröhrenquerschnitt A sein Minimum bzw. seinen engsten Querschnitt hat. Dieses zeigt auch Bild B-22, in dem die GIn. (B.51) und (B.33) ausgewertet worden sind. Es können damit 2 wesentliche Aussagen für kompressible Strömungen zusammengefasst werden - Die Schallgeschwindigkeit c = a bzw. Ma = I wird im engsten Querschnitt ei• nes Strömungskanals erreicht. - Der maximal mögliche Massenstrom, der durch einen gegebenen Strömungs• kanal strömen kann, wird durch den engsten Querschnitt begrenzt. Das heißt, bei Ma = I wird auch der maximale Massenfluss erreicht. 8.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen 729

2.0 i i '. Machzahl Ma i i \ i i Ma ; \ ; • K:: 1.40 8 !; \. ; " ; i I Überschall ! Unlerschali ~. ,:; 1.0 ...... •, . 0.578704 ...... _ ...... '.'.' :;':;: . ..,... ..-: .. - _•.•...... 1" .'.'.'.'.'.'.' / ; - ...... /' dimensionslose : C\I SI'O~d:'r l~ " / 8 =-- ; ~ '\ I p,·a, !O 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 P I P, 1.0

Bild B·22: Machzahl und dimensionslose Stromdichte in Abhängigkeit des Druckverhältnisses

Strömungszustände mit Machzahlen Ma > I können in einer Stromröhre nur dann erreicht werden, wenn diese eine besondere Form, nämlich die einer Lavaldüse (konvergent/divergente Düse) hat. In diesem Fall wird auch im engsten Querschnitt Ma = I erreicht.

8.5.4 Ausfluss aus einem Kessel

Ein Ausflussvorgang ist ein Expansionsvorgang, der mit einer Geschwindigkeits· erhöhung bzw. einer statischen Druckabsenkung verbunden ist. Das Gegenteil da· von ist ein Aufstau bzw. eine Kompression, die mit einer Geschwindigkeitsverzö· gerung bzw. einer statischen Druckerhöhung verbunden ist (z.B. Staupunktströ· mung eines Tragflügels). Zur Beschreibung des Ausflussvorganges wird in Bild B·23 rechts ein mit Gas gefüllter Kessel mit dem Innendruck Pt betrachtet, aus dem durch eine nicht weiter spezifizierte Düse das Gas in einen Raum niedrigeren Gegendrucks ausströmt. Der Kessel sei so voluminös, dass trotz des Ausströmvorganges im Kessel selbst keine wesentlich Gasbewegung festzustellen ist, d.h. es ist c = 0 innerhalb des Kessels. GI. (B.35) zeigt, dass auch in kompressibler Strömung bei c = 0 der Totaldruck gleich dem statischen Druck ist, Pt = p. Zur Übertragung auf die kompressible Bemoulligleichung in der Form (B.42) schreibt man deswegen

Damit wird aus GI. (B.42) 730 Anhang B

C = 0 } sogenannter PI , TI • PI Kesselzustand

C>O p , T, P C =a =C ma, konvergente '-c:=:::A Düse

Bild B-23: Ausfluss aus einem Kessel mit Innendruck in einen Raum niedrigeren Gegendrucks

c2+ 2·~ .E.!.. [(E.JK~I -I] = 0 K-I PI PI durch Umstellen eine Beziehung für die Ausflussgeschwindigkeit aus einem Kes• sel gefunden

c = ~. E.!.. [1_(E.)K~ I] (B.54) K-I PI PI

Dieses ist die sog. Formel von de Saint-Venant und Wantzel (1839). Sie gibt die Ausflussgeschwindigkeit c eines Gases an, das aus einem Kessel mit dem Ru• hedruck (= Totaldruck = Kesseldruck) Pt und der Ruhedichte Pt in einen Raum ausströmt, in dem der kleinere statische Druck (= Gegendruck) P herrscht. Nach dieser Formel ergibt sich die größtmögliche Ausströmgeschwindigkeit c = Cmax genau dann, wenn das Gas in einen Vakuumraum mit dem Gegendruck P = 0 strömt. Aus GI. (B.54) wird dann zusammen mit GI. (BA)

c =~ 2 'K . PI=a . ~ 2 (B.55) rnax K-I PI I K-I

Befindet sich z.B. im Kessel Luft mit einem Kesselzustand, der der Standardatmo• sphäre entspricht (Pt = 101325 N/m2, Tt = 288.15 K, Pt = 1.225 kg/m3), so ergibt sich mit K = IA aus GI. (B.55) beim Ausfließen ins Vakuum mit P = 0

Cmax = 2.236· at = 2.236· JK· R . TI = 761 mls. Die maximale Ausflussgeschwindigkeit ist also gleich dem 2.24fachen der Schall• geschwindigkeit at des Kesselzustandes. Trotz dieses endlichen Wertes für Cmax wird die maximale Ausströmmachzahl Mamax entsprechend GI. (B.33) und wegen P ~ 0 unendlich groß. Bild B-22 verdeutlicht dies dort, wo am linken Bildrand für plpt ~ 0 die Machzahlkurve - steil aus dem Diagramm heraus - ins Unendliche 8.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen 731

strebt. Ma ~ 00 bedeutet also zwangsläufig nicht, dass auch die Geschwindigkeit c gegen unendlich streben muss.

Ma~oo Ma= c mit c ~ 00 und p > 0 JK.p/p

Ma ~oo Ma= c mit p ~ 0 und c > 0 JK.p/p

Ist der Gegendruck p so klein, dass sich nach GI. (B. 54) eine Ausflussgeschwin• digkeit c ergibt, die größer als die Schallgeschwindigkeit (Ma = c/a > 1) ist, so muss die bisher noch nicht genau spezifizierte Düse des Kessels einen ganz spe• ziellen Konturverlauf bekommen, nämlich den einer konvergentldivergenten- oder auch Lavaldüse, Bild B-23 rechts. Nur in einer solchen Düse kann - wie Bild B-21 zeigt - eine Machzahl Ma > 1 erreicht werden. In einer konvergenten Düse ist die maximal möglich Machzahl Mamax = 1, die genau im engsten Querschnitt, also dem Austrittsquerschnitt der Düse erreicht wird. Analog zu den Ausdrücken TlTt und p/pt nach den GIn. (B.32) und (B.34) wird nun auch ein Beziehung c/at gebildet. Hierzu wird GI. (B.54) durch a, dividiert, so dass sich

~= _2 '[I_(.E...)K:I] (B.56) a t K-I Pt ergibt. In inkompressiblen Strömungen gibt es als Vergleich zu dieser Beziehung sie sog. Ausflussformel von Torricelli (z.B. Albring, 1978).

(B.57)

Zwischen p/pt = 1.0 - 0.85 weichen die Ergebnisse aus den GI. (B.56) und (B.57) um bis zu etwa 5 % voneinander ab.

8.5.5 Kritische Werte

Der Strömungs querschnitt A, in dem Ma = I bzw. c = a erreicht wird, wird auch als kritischer Querschnitt bezeichnet. Hier beginnen die Strömungsverhältnisse vom unterkritischen Zustand (Unterschall) in den überkritischen Zustand (Über• schall) zu wechseln. Statische Strömungsgrößen, die zu diesem kritischen Zustand gehören, werden durch einen * gekennzeichnet, d.h.

* c=c* =a=a* = 'K·R·T* bzw Ma=Ma*=~=10 " . a * , A = A * = Minimum und p = p *, p = p *,T = T* für die statischen Größen 732 Anhang B

Werden in die machzahl abhängigen Gleichungen für p/pt, p/Pt und T/Tt in Tabelle B-1 die jeweiligen Machzahlen durch Ma = Ma * = 1.0 ersetzt, so ergeben sich die in der folgenden Tabelle B-2 aufgelisteten kritischen Werte, die zu den GIn. (B.58) bis (B.60) führen.

Tabelle B-2: Kritische Werte von Strömungsgrößen für Luft mit K = 1.4

Druck = 0.5283 für K = 1.4 (B.58) : = ~~ =( K~I j"t I Dichte = 0.6339 für K = 1.4 (B.59) ;t =~~ =(K~lrl

Temperatur T T* (2 ) = 0.8333 für K = 1.4 (B.60) T;"=T," = K+I Geschwindigkeit :t=:~=~K~1 = 0.9129 für K = 1.4 (B.61) 1 "tl p·c _ p*·c* _( 2 J-;;-:T Stromdichte ------= 0.5787 für K = 1.4 (B.62) Pt ·at Pt ·at K+I

Gleichung (B.61) in Tabelle B-2 entsteht aus GI. (B.56), wenn das darin enthalte• ne Druckverhältnis p/pt durch GI. (8.58) ersetzt wird

Werden die GIn. (8.59) für die Dichte und (B.61) für die Geschwindigkeit mitein• ander multipliziert, so entsteht die GI. (B.62) für die dimensionslose Stromdichte.

1 I 1 K+l

:t "C:t = ( K~ I y-t .( K~ I J= ( K~ I YK-t An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass Ma* nicht als kritische Machzahl zu bezeichnen ist. Vielmehr ist Ma* = c I a* die auf die kritische Geschwindigkeit bezo• gene Machzahl. Sie wird auch manchmal als charakteristische Machzahl bezeich• net. Was unter dem Begriff der kritischen Machzahl exakt zu verstehen ist, wird das folgende Kapitel B.5.6 zeigen. Für a = a* = c = c* ergibt sich aus GI. (B.61)

a*=at'~K~l (B.63)

Das Einsetzen dieser Beziehung in Ma* = c I a* ergibt 8.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen 733

Ma*=~=~.~K+I (B.64) a a, 2

Wird hierin für c/at Gi. (B.57) eingesetzt, so ist das Resultat

(8.65)

Aus dieser Beziehung ist der Vorteil der Verwendung der charakteristischen Mach• zahl Ma* gegenüber der natürlichen Machzahl Ma gut zu erkennen. In Kap. B.5.4 war anhand der Gi. (B.33) gezeigt worden, dass für p ~ 0 für die natürliche Mach• zahl Ma = c/a ~ 00 gilt, während dabei die Geschwindigkeit c durchaus endlich bleiben kann. Gi. (B.65) zeigt nun den Vorteil, dass für p ~ 0 bei endlicher Ge• schwindigkeit c auch die charakteristische Machzahl Ma* endlich bleibt, nämlich

Ma* = ~K+ I für Ma ~ 00 K-I Ma' =2.45 für K = 1.4 Dieser Umstand führt häufig dazu, dass die charakteristische Machzahl Ma* den Vorzug gegenüber der natürlichen Machzahl Ma bekommt, speziell dann, wenn der statische Druck p bei endlichen Werten von c so kleine Werte annimmt, dass sich sehr, sehr hohe natürliche Machzahlen Ma einstellen würden. Ansonsten gel• ten die Zusammenhänge

Ma * < I wenn Ma < I Ma * = 1 wenn Ma = 1 Ma' > I wenn Ma > I

8.5.6 Kritische Machzahl

Die kritische Machzahl Makril ist die mit der Anströmgeschwindigkeit c= und der zu• gehörigen Schallgeschwindigkeit ~ des Anströmzustandes gebildete Machzahl, bei der lokal am um strömten Körper irgendwo die Schallgeschwindigkeit erreicht wird ., c Ma kri, = Ma= = ~ (B.66) a= Bei der kritischen Machzahl ist i.allg. immer kleiner als I. Wird beispielsweise ein Tragflügelprofil angeströmt, so ist in der Umgebung der größten Dicke des Profils die örtliche Geschwindigkeit größer als die Geschwindigkeit in der ungestörten Anströmung. Es kann also auf dem Profil örtlich die Schallgeschwindigkeit er• reicht werden, obwohl die Geschwindigkeit der ungestörten Anströmung noch kleiner ist als die Schallgeschwindigkeit. Aus den Gleichungen in Tabelle B-2 ist zu erkennen, dass die mit den kriti• schen Strömungsgrößen gebildeten Verhältnisse nur vom Isentropenexponenten K abhängen und für ein gegebenes Strömungsmedium bei gegebener Temperatur (d.h. bei K = const) eine konstante Größe sind. Ist also der Totalzustand eines Strö- 734 Anhang B

..~ M~;!n< '1~ ..../ ~ 1.0 '- - - -- ( / I kritische Machzahl i .,/ Ma~ <1 I der Zuströmung !PtEin .... /./ I (Sperrmachzahl) iTtEin ./ i / ... /'

V" engster Querschnitt Pe = p* Mae = Ma* = 1.0 1.0 \: MaAus > 1 i\ Bild B-24: Turbinenbeschaufelung, bei der im engsten Querschnitt der kritische Strömungszu• stand erreicht ist

Strömungsmediums gegeben (z.B. der Totaldruck am Eintritt einer Turbine), so kann aus den oben angeführten Verhältnissen festgestellt werden, bei weIchem statischen Druck (z.B. Druckverteilung einer Turbinenschaufel) im engsten Quer• schnitt des Schaufelkanals der kritische Zustand (Ma = Ma* = I) erreicht werden wird, Bild B-24. Es ist einsichtig, dass es bei gegebenem Strömungszustand vor der Beschaufe• lung (PtEin, TtEin) nur eine ganz bestimmte Anströmmachzahl (MaEin < I) geben kann, bei der im engsten Querschnitt der Schalldurchgang eintritt, d.h. Ma., = Ma* = 1 er• reicht wird. Dieses ist die bereits definierte kritische Machzahl MaEin = Ma*=, die speziell bei Turbinenströmungen als Sperrmachzahl bezeichnet wird. Diese Mach• zahl ist bei konturierten Strömungskanälen (z.B. Strömungskanal zwischen den Tur• binenschaufeln) generell kleiner als I und kann nach Erreichen des kritischen Zu• standes im engsten Querschnitt auch nicht weiter gesteigert werden, da die Strom• dichte bzw. der Massendurchsatz ab hier maximal sind.

8.5.7 Massenstromparameter

Bei den Massenstromparametern handelt es sich um 4 machzahlabhängige Beziehun• gen, die aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden und damit nichts weiter als eine Umforrnulierung des Massenstroms darstellen. Im Bereich der Strahltriebwerke sind die Massenstromparameter häufig im Zusammenhang mit Verdichter- und/oder Triebwerkskennfeldern zu finden. Auch bei der Beschreibung der Fangstromröhre von Triebwerken und bei der Berechnung der Einlaufverluste werden sie verwendet.

8.5.7.1 Massenstromparameter 1. Art

Es wird die Kontinuitätsgleichung zwischen einer unterkritisch und gerade kritisch durchströmten Bezugsebene formuliert 8.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen 735

m= p. c· A = P * . c * . A * = P * . a * . A * (B.67)

Durch einfaches Umstellen leitet sich hieraus der Massenstromparameter I. Art 13) ab A* p·c 'Öl =-=-*-* (B.68) A p·c

Die Vergleichbarkeit dieser Beziehung mit den Gin. (B.50) bzw. (B.62) für die Stromdichte ist offensichtlich. Im kritischen Fall p . c = p * . c * wird der Massen• stromparameter I. Art gleich I. (B.69)

8.5.7.2 Massenstromparameter 2. Art

Ausgehend von der Kontinuitätsgleichung (B.67) entsteht unter Verwendung der GI. (B.68) der folgende Ausdruck m p* ·c' A* p* ·c' ---=--'-=--''ÖI (B.70) p·c·A p·c A p·c

Diese Gleichung wird nun mit Pt . at erweitert m _p*·c' Pt·at.

Mit GI. (B.62) wird die kritische Stromdichte e* eingeführt

1 K+l * P* . c * ( 2 K-I e =--=-)2 (B.72) Pt ·a t 1(+1

Die Geschwindigkeit at ist die auf die Totaltemperatur Tt bezogene Schallge• schwindigkeit. Aus den GIn. (B.71) und (B.72) folgt somit.

m -e*.'Ö (B.73) A . Pt' ~ 1( . R . Tt - I

Zusammen mit der allgemeinen Gasgleichung für die Totalgrößen Pt = Pt / (R . Tt) wird hieraus schließlich der Massenstromparameter 2. Art 'Ön gebildet

(B.74)

Der Ausdruck mred=m·--. . F. (B.75) Pt 736 Anhang B

wird dabei als reduzierter Massenstrom bezeichnet und rn als natürlicher Massen• strom. Im kritischen Fall, wenn VI = v/ = I wird, ergibt sich für den Massen• stromparameter 2. Art der Ausdruck

V;, =8' .~ = :~d (B.76)

8.5.7.3 Massenstromparameter 3. Art

Durch Kombination der Gin. GI. (B.14) und (B.67) für die Machzahl und den Massen• strom entsteht der Basisausdruck für den Massenstromparameter 3. Art Vrii

m= P . c . A = P . Ma . a . A (B.77)

Zusammen mit den Gin. (B.71), (B.73) und (B.74) ergibt sich daraus m p·c·A p·c , ---= =--=8 ,v, A·pt ·at Pt ·at·A Pt ·at

V = 8'·v = f8 *)2. V . /K = 8' ._m_ced (B.78) "' ,,~ , VR A Im kritischen Fall wird hieraus

(B.79)

8.5.7.4 Massenstromparameter 4. Art

Hierbei handelt es sich um eine Abwandlung des Massenstromparameters 2. Art. Ausgegangen wird wiederum von der Kontinuitätsgleichung, in die die allgemeine Gasgleichung (A.84) und die Machzahldefinition (B.14) eingesetzt werden m=p·c·A

~ = p. c = R ~ T . c = p . Ma . ~ R ~ T

Diese Gleichung wird nun mit Fr I Pt erweitert

(B.80)

Zum Ersetzen der Ausdrücke pipI und T/Tt in dieser Gleichung werden die ent• sprechenden machzahlabhängigen Gleichungen aus Tabelle B-I verwendet, die auch durch die Gin. (B.32) und (B.34) beschrieben werden 8.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen 737

K -1 T K-l 2 -=P [ 1+---MaK - 1 2]- K-I -= [ 1+---Ma ] (B.81) p, 2 T, 2 Durch Einsetzen dieser beiden Beziehungen in GI. (B.67) ergibt sich der Massen• stromparameter 4_ Art ~v.

IT 11<:+1 m·"T, mred Ge [ K-l 2]Z"K-I (B.82) ~IV = A.p, =T=Ma· VR · 1+-2-·Ma

Im kritischen Fall wird A = A * und Ma = 1, womit GI. (B.82) in GI. (B. 76) übergeht

~* =~* =8*. Ge = mred (B.83) IV 11 VR A* Mittels der Gleichungen (B.81) ergibt sich auch

fT l1C+l --=_."T, JT [1+--·Ma K-l 2]-iK-I (B.84) p, p 2 Aus Gleichung (B.82) wird damit

~ = m·JT = mred =Ma. Ge (B.85) IV A.p A VR Anhang C Impulssatz für stationäre Strömungen

C.1 Impuls

Per Definition gilt für den Impuls I I=m·c (C.l) Der Impuls I ist das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit c . Der Impuls ist eine vektorielle Größe und hat dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit.

C.2 Masse

Aus GI. (C.l) folgt durch Umstellen I m=-c (C.2) Der Impuls I und die Geschwindigkeit c stehen in einem konstanten Verhältnis zueinander, das der unveränderlichen Masse m entspricht. Aufgrund dieser Kon• stanz hat jede Geschwindigkeitsänderung eine Änderung des Impulses zur Folge.

C.3 2. Newtonsches Axiom

Das zweite Newtonsche Axiom lautet in Worten: Die Beschleunigung eines Kör• pers b ist der auf ihn wirkenden Kraft F proportional und erfolgt in derjenigen Richtung, in der die Kraft wirkt. -- dc F=m·b=m·• (C.3) dt Kraft ist also gleich Masse mal Beschleunigung und die Beschleunigung ist gleich der zeitlichen Geschwindigkeitsänderung. Nach GI. (C.2) erzeugt jede Geschwin• digkeitsänderung auch eine Impulsänderung. Folglich führt eine Beschleunigung (Geschwindigkeitsänderung mit der Zeit) zu einer zeitlichen Impulsänderung. Aus GI. (C.l) ergibt sich durch Anwendung der Produktregel der Differentialrechnung 740 Anhang C

y

•••• ------••• -----••• -----•• --;r .....•. : dx ...•.•.... c =• ..•.. x dt dy c =• Cx Y dt ... dz .. ' x c =• ..... Z dt ...... ______.. _____ ... _____ .. ______.. ______.L·····

Bild C-l: Räumlicher Geschwindigkeitsvektor

dl dc _ dm I=m·c -=m·-+c·- dt dt dt Zusammen mit GI. (C.3) folgt für den Fall unveränderlicher Masse m = const. bzw. dmldt = 0 - dl F=• (C.4) dt Hieraus ergibt sich die Formulierung des Impulssatzes: Die zeitliche Änderung des Impulses einer abgegrenzten, zeitlich nicht veränderlichen Masse ist gleich der resultierenden Kraft aller an der Masse angreifenden äußeren Kräfte. Innere Kräfte ändern den Impuls nicht!

C.4 Transportgleichung der Strömungsmechanik

Der Differentialquotient auf der rechten Seite von GI. (C.4) bezeichnet die sog. substantielle Änderung des Impulses. Um dies hervorzuheben, schreibt man - DI F=• (C.S) Dt Eine substantielle Änderung bedeutet in Worten substantielle Änderung _ lokale Änderung konvektive Änderung einer Eigenschaft - einer Eigenschaft + einer Eigenschaft Mathematisch wird diese Eigenschaft durch DI al dl + Dt at dt Impulssatz für stationäre Strömungen 741 ausgedrückt. Auf der rechten Gleichungsseite steht so die Summe aus einem par• tiellen Differential alt at und einem vollständigen Differential d1 I dt. Für GI. (C.5) folgt damit entsprechend der Gesetze der Differentialrechnung

D1 a1 a1 dx a1 dy a1 dz - = - + _.- + -.- + _.- (C.6) Dt at ax dt ay dt az dt

Bild C-I zeigt die Zerlegung der Geschwindigkeit c in ihre Komponenten cx, cy, c"~ Das Einsetzen der aus Bild C-l ersichtlichen Beziehungen für die Geschwin• digkeitskomponenten in die GI. C6 ergibt dann

D1 a1 a1 a1 a1 - = - +c .- + C .- +c .• (C.7) Dt at xax Yay zaz

In der Vektoranalysis werden die drei ganz rechts stehenden Summanden, die je• weils ein vollständiges Differential beinhalten, zum sog. Gradient grad j zu• sammengefasst, der als Vektor aufzufassen ist und in der folgenden Form die Än• derung des Impulses 1 in Richtung der Geschwindigkeit c beschreibt

_ - a1 a1 a1 c·grad I =c .- + c .- +c ' az x ax Y ay z und es folgt aus GI. (C.7)

D1 a1 - - +c·grad I (C.S) Dt at Diese Gleichung ist, wenn 1 als eine beliebige Eigenschaft eines Fluides angese• hen wird, die sog. Transportgleichung der Strömungsmechanik in differentiel• lerForm.

a1 = lokale = Eigenschaft (Impuls 1 ) des sich räumlich bewegenden Änderung Fluides ändert sich in einem festgehaltenen Raum• dt punkt P(x, y, z) mit der Zeit t. Zu jedem Zeitpunkt t hat das Fluid im betrachteten Raumpunkt P eine ande• re Eigenschaft 1 . Ein solcher Vorgang wird als insta• tionär bezeichnet.

c· grad1 = konvektive= Eigenschaft (Impuls 1 ) des sich räumlich bewegenden Änderung Fluides ändert sich in einem festgehaltenen Raum• punkt P(x, y, z) nicht mit der Zeit t. Zu jedem Zeit- punkt t hat das bewegte Fluid im betrachteten Raum• punkt P dieselbe Eigenschaft 1 . Ein solcher Vorgang wird als stationär bezeichnet. In diesem Kapitel soll es sich um die Ableitung des Impulssatzes für stationäre Strömungen handeln, so dass a1 I at = 0 gesetzt und der Ausdruck c . grad1 als konvektive Impulsänderung bezeichnet wird. Daran anlehnend werden im folgen• den alle partiellen Ableitungen von physikalischen Größen (= Eigenschaft eines Fluides) des Strömungsmediums nach der Zeit a/at zu null gesetzt. 742 Anhang C

C.5 Allgemeiner Impulssatz der Mechanik

Der linke Teil von Bild C-2 zeigt eine Fluidmasse m, die man sich aus vielen klei• nen Punktrnassen mp zusammengesetzt vorstellen muss. Jede der Punktrnassen mp hat die ihr jeweils eigene punktuelle Geschwindigkeit cp . In der Summe bewegen sich aber schließlich alle Einzelrnassen mp als zusammengefasste Masse m = 1:mp mit der Geschwindigkeit c . Der allgemeine Impulssatz der Mechanik besagt (Westphal, 1956): Der Ge• samtimpuls eines abgeschlossenen und keinen äußeren Kräften unterworfenen Sy• stems ist konstant. Er kann durch die inneren Kräfte des Systems nicht geändert werden. Die Gesamtheit aller Punktrnassen mp innerhalb der Masse m ist ein solches abgeschlossenes, keinen äußeren Kräften unterworfenes System. Demnach ist der Gesamtimpuls der Masse m zeitlich konstant. Er kann weder zu- noch abnehmen. Tritt also an einer der Punktrnassen mp infolge einer Wechselwirkung mit einer der anderen Massen eine Impulsänderung ein, so müssen gleichzeitig an dieser anderen Masse auch Impulsänderungen (gleicher Betrag aber entgegengesetzte Richtung) eintreten, und zwar so, dass sich in der Summe keinerlei Impulsände• rung ergibt. Man schreibt also m= fdm (C.9) 1 = 1:(mp . cp ) => 1 = f cp . dm Im rechten Teil ist das Summenzeichen 1: durch das Integralsymbol Jersetzt wor• den und die punktuellen Massen mp durch ein infinitesimales Massenelement dm.

C.6 Schwerpunktsatz der Mechanik

Der Schwerpunktsatz der Mechanik (Westphal, 1956), der mit dem zuvor be• schriebenen Impulssatz nach dem Wechselwirkungsprinzip (3. Newtonsche Axi• om: actio = reactio) identisch und damit nur eine andere Gestalt desselben Geset• zes ist, besagt: Der Schwerpunkt eines Körpersystems bewegt sich infolge der an den Einzelkörpern des Systems angreifenden äußeren Kräften so, als sei die Ge• samtmasse m des Körpersystems im Schwerpunkt vereinigt und als griffen alle äu• ßeren Kräfte im Schwerpunkt an. Man stelle sich hierzu vor, dass sich eine zusammenhängende Fluidmasse m mit der Geschwindigkeit c reibungsfrei durch die Luft bewegt und dabei in eine Vielzahl von tropfenförmigen Kleinstmassen dm (Tropfen) zerfällt (z.B. Wasser, nach dem Austreten aus einem Gartenschlauch). Das Zerfallen in Tropfen erfolgt durch die Änderung der inneren Kräfte innerhalb der Fluidmasse m. Nach dem Schwerpunktsatz erfolgt nun die weitere Bewegung des gemeinsamen Schwer• punktes der auseinanderfliegenden Tropfen genau so, als wirke an diesem Schwer• punkt die Summe der Schwerkräfte aller Einzeltropfen. Der gemeinsame Schwer• punkt aller Einzeltropfen hat also eine Bewegungsbahn, die vollständig identisch Impulssatz für stationäre Strömungen 743

y .. y = f(x)

c

x x+t.x x

Bild C-2: Skizzen zum Schwerpunktsatz und zum Differentialquotienten nach Leibniz ist mit der Bahn, die die vollständig zusammenhängende Fluidmasse m gehabt hätte. In Anlehnung an diese Vorstellung kann also nun im Integral (C.9) die Ge• schwindigkeit C p der Punktmassen auch durch die Geschwindigkeitc der Ge• samtmasse ersetzt werden. I = f c .dm = f c . p dV . (C.IO) v Aus GI. (C.S) folgt damit

F=-=-·- DI D f-c·p·dV (C.ll) Dt Dt v Die Integration über das ursprüngliche, abgegrenzte Massensystem m erfordert also nun die Integration über ein Volumen V, das als sog. flüssiges Volumen bezeichnet wird und das ständig die gleiche Anzahl von Massen- bzw. Fluidteilchen beinhaltet. Die das flüssige Volumen V umschließende flüssige Fläche A kann zum einen aus einer mitschwimmenden Fläche bestehen - die als freie Fläche AFrei bezeichnet wird - und zum anderen aber auch durch feste Flächen AFest von Körpern gebildet werden, die sich eventuell auch innerhalb des betrachteten flüssigen Volumens be• finden können. Dementsprechend können auch die äußeren Kräfte F teilweise aus solchen Kräften bestehen, die auf die mitschwimmenden flüssigen Teile ausgeübt werden (Gewichts- und Druckkräfte) und teilweise aus solchen, die von den um• strömten festen Körpern auf die Flüssigkeit übertragen werden (Druck- und Rei• bungskräfte ). In GI. (C.ll) erfolgt die Ableitung nach der Zeit, so dass analog dazu auch beim flüssigen Volumen entsprechend zu verfahren ist.

F=-=-·- DI D f p·c -· dV (C.12) Dt Dt VI ') 744 Anhang C

C.7 Differentialquotient nach Leibniz

Die Definitionsgleichung von Leibniz für den Differentialquotienten lautet

dy = lim ßy dx IIx-->O ßx Geometrisch betrachtet bedeutet hierin dy/dx die Steigung einer stetigen Funktion y = fex). Nach der rechts in Bild C-2 dargestellten Skizze bestimmt sich ßy zu ßy=f(x+ßx)-f(x)

Damit folgt aus der Beziehung zuvor

dy = lim-1 . [f(x +ßx)-f(x)] dx IIx-->O ßX Dieses Ergebnis wird auf das Impulsintegral (C.t2) übertragen, wobei anstelle von x die Zeit t eingeführt wird

F = DI = lim~.[ Jp. c(t +ßt)·dV - Jp. C(t)'dV] (CI3) Dt L>HO ßt V(I+LII) V(I)

C.8 Reihenentwicklung nach Taylor

Für die Weiterverarbeitung der Funktion p. c(t + ßt) bietet sich typischerweise die Hauptform der Reihe von Taylor an, die eine Funktion f(t+ßt) an der Stelle t nach Potenzen von ßt entwickelt. Die Taylorsche Reihenentwicklung für die Funktion p. c(t + ßt) lautet dann

a ßt 2 a 2 ßt3 a l p . c(t + ßt) = p' c(t)+ ßt at (p. c(t ))+ 2 atZ (p. c(t ))+ 6atJ (p. c(t ))+ ...

Diese Reihenentwicklung wird nun in die Impulsgleichung (CI3) eingesetzt

J p. c(t)· dV + ßt J ~(p. c(t))· dV + Vlt+lIl) Vtt+lIl) at - DI I ßt 2 a2 F=-=lim-' + - J -2 (p·c(t))·dV + Dt IIHÜ ßt 2 V(t+L>t) at

ßt 3 a3 _ + - J -3 (p·c(t))·dV + ...... - Jp.c(t)'dV 6 Vtt+lIl) at V(I)

Unter der Voraussetzung, dass alle höheren Ableitungen vemachlässigbar klein sind, vereinfacht sich diese Beziehung folgendermaßen Impulssatz für stationäre Strömungen 745

F=l~~~·[ f p·c(t)·dV+~t f ~(p.c(t)).dV- fp·C(t).dV] ~t Y(t+<1t) Y(t+<1t) dt Y(t)

F=lim~.[ fp·c(t).dV- fp·C(t).dV]+lim~t f ~(p.c(t)).dV <1t-->O ~t Y(t+<1t) Y(t) <1t-->O ~t Y(t+<1t) at

F= l~~~·[ fp·c(t).dV - fp·C(t).dV]+ f ~(p.c(t)).dV (C.14) ~t Y(t+<1t) Y(t) Y(t) at

Es wird nun in Bild C-3 das schraffiert dargestellte Volumenelement V(t), das die Oberfläche A(t) hat, betrachtet. Einen Zeitpunkt ~t später hat sich dieses Volumen• element im Strömungsfeld (von links nach rechts) mit der Geschwindigkeit c ver• schoben. Das dann gestrichelt gezeichnete Volumenelement hat die Bezeichnung V(t+~t). Der Unterschied zwischen beiden Volumina ist ~V = V(t+~t) - V(t) und ist im rechten Bildteil zu erkennen. Dementsprechend ergibt sich durch Umformen: V(t+~t) = ~V + V(t). Diese Eigenschaft wird auf die Begrenzung des Integrals (links in der eckigen Klammer) in GI. (C.14) übertragen.

F=l~~~·[Jp·c(t).dV+ Jp.c(t).dV- Jp.C(t).dV]+ J ~(p.c(t)).dV ~t <1Y Y(t) Y(t) Y(t) at

F= lim~.[Jp.C(t).dV]+ J ~(p.c(t)).dV (C.15) <1HO ~t <1Y Y(t) at

In beiden Integralen von GI. Cl5 soll nun das Volumenelement dV (oben rechts in Bild C-3) durch das Flächenelement dA ersetzt werden. Die Geometrie zeigt, dass dV = ~s . dA gelten muss. Die normal zum Oberflächenelement dA gerichtete Ge• schwindigkeitskomponente Cn (in Richtung des Normalenvektors n) berechnet sich dabei entsprechend der üblichen Geschwindigkeitsbeziehung aus Cn = ~s/~t. Zwi• schen Volumen- und Flächenelement entsteht damit die Beziehung: dV = ~t . Cn • dA. Hierin kann für Cn auch Cn = C . n geschrieben werden'. Somit folgt dV = ~t . (c . n)· dA (C.16)

Hierin gehört das Flächenelement dA zur Volumenoberfläche A(t), wie Bild C-3 zeigt. GI. (C.16) wird nun in GI. (C.15) eingesetzt und man erhält

F=DI =lim~. Jp.c.~t.(c.n).dA+ J ~(p.c(t)).dV Dt <1HO ~t A(t) Y(t) at

F= DI = Jp.c.(c.n).dA+ J ~(p.c(t)).dV (C.17) Dt A(t) Y(t) at

Diese Gleichung ist, wenn p. c als eine beliebige Eigenschaft eines Fluides ange• sehen wird, die sog. Transportgleichung der Strömungsmechanik in integraler

, c·ii=c·j·cos(c,ii)=c·cosß mit cosß=cn/c wirddaraus c·n=cn 746 Anhang C

n

c A(t)

V:V(t+t:'.t) - V(t)

Bild C-3: Änderung eines "flüssigen Volumens" im Zeitraum ßt in einem Strömungsfeld mit der Geschwindigkeit c

Form. Auf der rechten Gleichungsseite ist dabei der links stehende Summand die konvektive Impulsänderung (stationäre Strömung) und der rechts davon stehende Summand die lokale Impulsänderung (instationäre Strömung). Da hier keine insta• tionären Strömungsvorgänge betrachtet werden sollen, kann der lokale Term in GI. (C.17) vernachlässigt werden und man erhält die endgültige Beziehung für den Impulssatz der Strömungsmechanik für stationäre Strömungen

F- = -dl = f p. -c· (--)c· n . dA (C.18) dt A In Worten besagt diese Gleichung: In stationärer Strömung ist der Impulsfluss durch eine Kontrollfläche_A, die zur Zeit tein Fluidvolumen V umschließt, gleich der resultierenden Kraft F der an dieser Kontrollfläche A angreifenden Kräjie. Durch die hier gezeigte Vorgehensweise ist die zeitliche Impulsänderung um• gewandelt worden von einem Volumenintegral über ein mitschwimmendes "flüs• siges Volumen" in ein Oberflächenintegral über eine raumfeste Kontrollfläche.

C.9 Äußere Kräfte

In der Impulsgleichung (C.18) ist F die resultierende Kraft aller auf die Kontro\l• fläche A wirkenden äußeren Kräfte. Diese Kräfte können sein

- Gewichtskräfte FG (Kräfte aufgrund der Schwere) Normal- oder Druckkräfte Fp (Oberflächenkräfte längs freier Flächen AFrei) Impulssatz für stationäre Strömungen 747

- Stütz- oder Haltekräfte F SI (Druck- und Reibungskräfte längs fester Oberflächen) (C.19)

Die Stütz- oder Haltekraft F SI kann durch Integration der Druck- und Reibungs• kräfte längs einer umströmten Körperoberfläche (feste Fläche AFesl der Kontroll• fläche A) ermittelt werden. Da aber bei den meisten Aufgabenstellungen, zu denen der Impulssatz der Strömungsmechanik herangezogen wird, die Kraft F SI be• stimmt werden soll, erübrigt sich gewöhnlich die Auswertung solcher Druck- und Reibungsintegrale.

C.10 Gewichtskraft

Bild C-4 zeigt einen Turbojet, der im Außenbereich mit einer Kontrollfläche A versehen wurde, die aus einem freien und einem festen Anteil AFrei und AFesl be• steht. Wobei sich der freie Anteil über den gesamten Außenbereich der Kontroll• fläche A erstreckt, aber auch über die Fangstromröhre vor dem Triebwerk und ü• ber den Abgasstrahl hinter dem Triebwerk. Der feste Anteil verläuft längs der Triebwerksoberfläche. Es soll nun der Begriff der Volumenkraft F v eingeführt werden, der die Kraft aufgrund der Schwere F G, bezogen auf das von der Kontrollfläche A eingeschlos• sene Volumen V darstellt und das Produkt aus der Dichte des Fluides p und der Erdbeschleunigung g ist.

- dF Fy = d; =p.g (C.20)

Mit dm = p . dV wird daraus

FG = f dFy . dV = f P . g . dV = g . f dm = g . m (C.21) y Y m

Wird die vektorielle Gewichtskraft F G in ihre Komponenten FGx, FGy, FGz zerlegt und fällt, so wie im Bild C-4 dargestellt, die Lotrechte (= Wirklinie von g) mit der negativen Richtung der y-Achse zusammen, dann gilt

F =0 FG =-g·m G, y

Bei sehr leichten Fluiden mit sehr geringen Dichten p, wie z.B. bei Gasen, wir FG ~ O.

C.11 Druckkräfte an den freien Flächen

In Bild C-5 ist Ö' der Vektor der Oberflächenspannung, der an einem Flächenele• ment dA des freien Teils der Kontrollfläche angreift und sich aus einer Normalspan• nung (Druck) Ö' n und einer Tangentialspannung 't (Reibung) zusammensetzt. 748 Anhang C

Fester Teile einer Freier Teile einer

Kontrollfläche AFest Kontrollfläche AFre, Kontrollfläche A

...... , ...... · .. x ~ .f.l'~.1I!'Y2l'20h'~"":-----"" Strahl Innen- ...... <::'tI strömung

Bild C-4: Zur Erläuterung der Volumen- und der Gewichtskraft

In einer freien Strömung, also dort wo keine direkte Umströmung einer festen Flä• che (Körperoberfläche) erfolgt, dominieren die Normalspannungen, die als Druck interpretiert werden können. Wie das Wort Druck bereits besagt, können in Flui• den als Normalspannungen nur Druck- und keine Zugspannungen auftreten. Die Normalspannung ist allgemein nach außen positiv definiert, also als Zugspannung.

Da es diese aber in Fluiden nicht gibt, ist der Normalspannung (J 11 dementspre• chend negativ, d.h. mit -p anzusetzen. Tangentialspannungen 't aufgrund von Reibungseffekten (Turbulenz, Zähigkeit) sollen in der freien Strömung im Ver• gleich zu den Normalspannungen vernachlässigbar klein sein, d.h. 'f = 0 . Der Druck ist eine skalare Größe, d.h. die auf eine Flächeneinheit entfallende Druckspannung (kurz Druck genannt) in einem beliebigen Punkt ist unabhängig von der durch diesen Punkt gelegten Schnittrichtung, d.h. in diesem Punkt steht der Druck immer senkrecht auf der gewählten Schnittfläche. Das steht im Gegen-

ö dA i A~eB,., ~~,.~~A F." i ~~ , ~l • AFref : : : ...... , ...... ~ x • •

Bild C-5: Zur Erläuterung der Druckkräfte an freien Flächen Impulssatz für stationäre Strömungen 749

.... +...... x Strahl

Bild C-6: Zur Erläuterung der Stütz- und Haltekräfte satz zur Elastizitätslehre fester Körper, bei der sich die Normalspannungen mit der gewählten Schnittrichtung ändern. Somit folgt für die Druckkraft auf dem freien Teil der Kontrollfläche

mit A Frci (C.22) Fp = - f p . n . dA A Frci

Die Richtung der Druckkräfte auf den freien Teil der Kontrollfläche fällt mit der negativen Richtung der Flächennormalen n zusammen, d.h. sie sind postiv, wenn sie hinsichtlich der Kontrollfläche nach außen gerichtet sind.

C.12 Stütz- oder Haltekräfte

Hierbei handelt es sich um Oberflächenkräfte (Normal- und Tangentialkräfte) auf• grund von Druck und Reibung an den festen Wänden der Kontrollfläche, Bild C-6. Die daraus resultierende Oberflächenkraft wird als Stütz- oder Haltekraft bezeichnet, wobei der Name von der Stützwirkung des Körpers auf die Kontrollfläche herrührt.

Fst = f cr . dA (C.23) A Fcs1

Wegen des Stützeffektes ist + F St die Kraft, die vom festen Körper (hier Trieb• werk) auf das strömende Fluid ausgeübt wird. Nach dem Wechselwirkungsgesetz (actio = reactio) ist somit - F St die Kraft, die das strömende Fluid auf den festen Körper (hier Triebwerk) ausübt. Da bei den meisten technischen AufgabensteIlun• gen die Stützkraft bestimmt werden soll, erübrigt sich i.allg. eine weitere Auswer• tung des Integrals (C.23). 750 Anhang C

------.

c:::::::.:. ::-.=. " i · : " , ______.. ______:------~ Bild C-7: Zur Wahl der Kontrollfläche bei der Anwendung des Impulssatzes

C.13 Wahl der Kontrollfläche

Erfahrungsgemäß bedarf die beste Wahl der Kontrollfläche einer gewissen Übung. Um dabei die exakte mathematische Gültigkeit (stetig differenzierbar) der Ableitung der Impulsgleichung zu gewährleisten, muss die Kontrollfläche einfach zusammen• hängend sein, d.h. sie muss sich in einem einzigen Zug zeichnen lassen, Bild C-7. Soll die Wirkung des strömenden Mediums auf den Körper (oder umgekehrt) bestimmt werden, so muss der fest Teil der Kontrollfläche mit der zu betrachten• den Körperkontur zusammenfallen. Der freie Teil der Kontrollfläche ist so im Strömungsfeld zu platzieren, dass sich die Angabe der dort herrschenden Druck- und Geschwindigkeitsverhältnisse möglichst einfach formulieren lässt.

Beispiel. Widerstandsbeiwert eines separaten Schaufelprofils aus dem Impulsverlust Bild C-8 zeigt die Skizze eines Profils mit der zugehörigen Kontrollfläche. Das Prinzip der Wi• derstandsermittlung ist die Messung der Geschwindigkeits- oder Druckverteilung im Nachlauf des umströmten Körpers und anschließende Anwendung des Impulssatzes der Strömungsmecha• nik. Der Gesamtwiderstand jedes umströmten Körpers besteht aus - Druckwiderstand = Integral der Normalkräfte über die Körperobertläche - Reibungswiderstand = Integral der Tangentialkräfte über die Körperoberfläche Auf der Ober- und Unterseite des Profils bilden sich Grenzschichten (Reibungsschichten) aus, die Geschwindigkeitsprofile aufweisen, die an der Oberfläche die Geschwindigkeit null und am Rand der Grenzschicht die Geschwindigkeit der ungestörten U mströmung Co haben. Diese Ge• schwindigkeitsprofile werden in den Nachlauf des Profils getragen und formieren sich dort zur sog. Nachlaufdelle, die sich, mit zunehmendem Abstand zum Profil, mehr und mehr ausmischt. Voraussetzungen a) vor dem Profil Die Anströmgeschwindigkeit Co und der Umgebungs druck po sind konstant und homogen verteilt. b) hinter dem Profil Die Geschwindigkeitsverteilung c(y) hat eine Delle, deren Breite stromab zunimmt und deren Tiefe stromab abnimmt (ausmischt). c) weit hinter dem Profil Der statische Druck p(y) erreicht den ungestörten Wert po, der vor dem Profil und weit dahinter herrscht, schneller, als u(y) wieder die Geschwindigkeit UD erreicht. Annahme: Die Messung der Geschwindigkeitsverteilung wird in einem solchen Abstand hin• ter dem Profil durchgeführt, dass dort der statische Druck p(y) überall wieder den ungestörten Wert po erreicht hat. Die Geschwindigkeit c(y) hat sich an dieser Stel• le noch nicht ausgemischt und zeigt eine ausgeprägte, gut messbare Delle. Impulssatz für stationäre Strömungen 751

po A· UrnO D lll _------. C - .. - .. - _.. .. - .. - .....,,,-=... -- ...- .....------.. - .. - .. - .. - .. - .. - .. ' ... ,~ ...... 1 ------_ .. ------1, :L:o 'I I, ~p b = Tiefe (Breite~~es Profils x L -C(y) :.--... -Co'Po~ ~fl27/.rJ p(y)

-' B

Co - c(y)

Bild C-8: Umströmtes Profil (z.B. Verdichterschaufe1) mit Kontrollfläche

Anwendung des Impulssatzes

-=dI f p·c· ()c·ii ·dA = Fa----- +Fp +FSt = Fp +FSt dt A f p·c· (c· ii)·dA = -f Po ·co ·co· b·dy+ f Po ·c(y)·c(y)· b·dy+ fPo· [co -c(y)].co· b·dy A y

Bei der Formulierung des Impulsintegrals ist zu beachten, dass durch die Seitenflächen AB und DC der Kontrollfläche A Impuls fließt. Die Erfüllung der Kontinuität erfordert nämlic~ass diejenige Masse, die durch BC weniger aus der Kontrollfläche ausfließt (Delle) als durch AD in sie hineinfließt, die Kontrollfläche A seitlich mit der Geschwindigkeit Co verlässt

&TI Dellc = ßmo = f Po .[co - c(y)]. b· dy y

Das Impulsintegral in x-Richtung

Fpx +F~tx =Po .bfc'(Y)·dY-Po .bfc~ ·dy+po .bfco. [co -c(y)].dy y y y = Po· b f ~'(y)-c~ +Co· [co -c(y)D·dy y =Po .bHC'(Y)-C~ +c~ -co .c(d·dy y Fpx + FStx =-Po .bfc(y).[co-c(y)].dy

Die Normalkraft (Druckkraft) am freien Teil der Kontrollfläche Da der Druck po (statischer Umgebungsdruck) längs aller Seiten der Kontrollfläche A denselben Betrag hat, ist demzufolge auch die Druckkraft in x-Richtung gleich null. 752 Anhang C

Die Stützkraft (gesuchte Widerstandskraft) am festen Teil der Kontrollfläche Bei dieser Kraft handelt es sich um eine Kraft, die von der Strömung auf das Profil ausgeübt wird. Entsprechend der Ausführungen, die weiter oben zu den Stützkräften bei der Ableitung des Impulssatzes gemacht wurden, bekommt eine solche Stützkraft ein negatives Vorzeichen.

Fs" = -Fw

Fw =+Po·bfc(y).[co-c(y)].dy

Einführen des Widerstandsbeiwertes

C W =---,--Y_----,- _____ Po·c~ ·b·f

C w =3.. r(y) '[1- c(y) ldy t y Co Co J

Das Ergebnis zeigt, dass zur Widerstandsbestimmung eines Profils lediglich die Geschwindig• keitsverteilung c(y) hinter dem Profil, in der Nachlaufdelle, zu ermitteln ist. Das Integral in der obigen Beziehung wird in der Grenzschicht-Theorie (Schlichting, 1982) als Impulsverlustdicke ih bezeichnet

8, = r(y) . [1- c:y) 1. dy , y Co Co J so dass der Widerstandsbeiwert Cw die einfache Form 8, c =2·-=- w f erhält. Die Impulsverlustdicke ist ein Maß für den Verlust an Masse und Geschwindigkeit (I = m . c) der durch die Existenz der Grenzschicht (Reibungsschicht) gegenüber einer reibungsfreien Strömung (Potentialströmung) auftritt. Anhang D Umrechnungsfaktoren zwischen physikalischen Dimensionen aus dem englisch/amerikanischen und dem deutschen Sprachbereich

Abkürzungen bei den englisch-amerikanischen Einheiten Btu British thermal unit h hour Ibm pound mass cwt hundredweight Hg mercury oz ounce dr dram hp horsepower pdl poundal f force in inch psi lbf / in2 ft foot K Kelvin R Rankin F Fahrenheit kips psi· 103 rd rod gr grain Ib pound yd yard gr-wt grain weight Ibf pound weight

Abkürzungen bei den deutschen Einheiten dm Dezimeter = 10.2 m km Kilometer = 103 m MJ Megajoule = 106 J 9 Gramm kPa Kilopascal = 103 Pa N Newton h Stunde kW Kilowatt = 103 W Pa Pascal J Joule Itr Liter =dm3 s Sekunde K Kelvin m Meter t Tonne = 103 kg kg Kilogramm = 103 g mm Millimeter = 10.3 m °c Grad Celsius kJ Kilojoule = 103 J min Minute

Umrechnungsfaktoren Die exakten Werte sind fett gesetzt.

Länge 1 in = 25.4 mm Ift=12in 0.3048 m 1 mile (statute) 1.60934 km 1 mile (nautical) = 1.852 km 1 yd = 3 ft 0.9144 m 1 rd = 5.5 yd 5.0292 m

1 . 2 Fläche In 645.16 mm2 1 ft2 = 144 in2 0.09290304 m2 1 yd2 = 9 ft2 0.83612736 m2 1 rd2 = 30.25 yd2 25.29285264 m2 1 acre = 4840 yd2 4046.8564224 m2 1 mile2 (statute) 2.589975 km 2 754 Anhang D

Volumen 1 in 3 16387.064 mm3 allgemein 1 ft3 = 1728 in3 0.02831685 m3 I yd3 = 27 ft3 0.76455486 m3 1 register ton = 2.8317 m3 Volumen 1 UKminim = 59.1916667 mm3 British 1 UK dram = 60 UK minim = 3551.5 mm3 1 UK fluid ounce = 0.028413.1 Itr 1 UK pint 0.5682610 Itr 1 UK quart = 2 UK pint = 1.136522 Itr 1 UK gallon = 4 UK quart = 4.546088 Itr 1 UK bushel = 8 UK gallon = 36.368704 Itr 1 UK barrel = 36 UK gallon = 163.659168 Itr 1 UK quarter = 8 UK bushels = 290.949632 Itr Volumen 1 US fluid minim = 61.611 mm3 USA 1 US fluid dram = 3.696667 mm 3 1 US fluid ounce 0.0295735 Itr I US fluid pint 0.473176 Itr I US dry pint 0.55061 dm 3 1 US fluid quart 0.946352 Itr 1 US dry quart 1.1012 dm 3 1 US fluid gallon = 3.785408 Itr 1 US dry gallon = 4.41 dm3 1 US fluid bushel 35.23931 Itr 1 US dry bushel = 35.23931 Itr I US dry barrel = 115.6271 dm 3 I US dry quarter 242.0 dm3 1 US barrel petroleum 158.98 Itr

Masse I gr = 0.0648 g I dr = 1.7718 g loz = 28.3495 g 1 lb oder Ibm = 0.45359237 kg I slug 14.5939 kg I long ton (UK) 1.0160469 t I short ton = 2000 Ibm (USA) = 0.90718474

Temperatur I F=R-459.67 = 1.8· K - 459.67 IR = 1.8· K I F = 1.8 °C+ 32 IK = °C +273.15

Druck I in Hg = 0.0338639 bar 3386.39 Pa I inH20 2489.91 Pa I psi= 1 Ibflin2=0.0689476 bar 6894.76 Pa I psf= 1 Ibflft2=0.00478835 bar = 478.83555 Pa I bar = 100.0 kPa I standard atmosphere = 101.325 kPa Umrechnungsfaktoren 755

Dichte 1 Ib / in3 = Ibm / in3 = 27679.9 kg/m3 1 Ib / fe = Ibm / ft3 = 16.0185 kg/m3 1 Ib / UK gallon = 99.776417 kg/m3 1 Ib / US fluid gallon = 119.826547 kg/m3

Kraft 1 pdl = 0.00013827 N 1 gr-wt = 0.00063547 N 11bf = 4.44822 N 1 kgf 9.80665 N 1 tonf = 9964.02 N 1 short ton weight = 2000 Ibf = 8896.44578 N 1 long ton weight = 2240 Ibf = 9964.01280 N

Moment 1 Ibf in = 0.112985 Nm 1 Ibf ft = 1.35582 Nm

Geschwin- 1 in/min = 0.42333 mrnls digkeit 1 ft/min = 0.00508 rnls 1 ftls = 0.3048 rnls 1 milelh (statute) = 1.60934 krnIh 1 nautical mile / h = 1 knot = 1.852 kmlh

Beschleu- 1 ftls2 0.3048 m/s2 nigung 1 g = 32.17405 ft/s2 = gravity = 9.80665 rnls2

Massenstrom I Iblh = I lbmlh = 1.26 10.4 kg/s

kinematische 1 ft2/S = 929.03 stokes Viskosität 1 ft2/S = 0.092903 m2/s

EnergielWärme 1 ft Ibf = 1.355817 J Arbeit/Leistung I Btu = 1.05505585 kJ 1 hp h = 2.68452 MJ IkWh = 3.6 MJ 1 therm = 105.506 MJ I Btulh = 0.29307107 W I hp = 550 ft Ibfls = 0.745700 kW I Btu/ft3 37.25894581 kJ/m3 I Btu/lb = 1 Btullbm = 2.326 kJ/kg Anhang E Daten ausgeführter Flugtriebwerke

Die nachfolgend aufgelisteten Triebwerke können lediglich eine Auswahl von Triebwerken darstellen. Es wurde aber versucht, alle bedeutenden Triebwerke in die Listen aufzunehmen. Dabei wurden auch die Triebwerke des ehemaligen Ost• blocks mit einbezogen. Um eine Vergleichbarkeit der Triebwerke untereinander zu gewährleisten, wurden die jeweiligen Startwerte (take-off ratings) angegeben, soweit sie in den zur Verfügung stehenden Quellen eindeutig zu identifizieren waren. Bei einigen Triebwerken standen einzelne Daten nicht zur Verfügung und sind deswegen in den Tabellen nicht aufgeführt. Als Datenquellen wurden die diversen Triebwerks• prospekte der Herstellerfirmen verwendet, sowie die gängigen Standardwerke der Luftfahrt wie Jane's (1991/92) oder Brassey's (1996/97). Ergänzend zu den nachfolgenden Tabellen sei speziell im Zusammenhang mit nordamerikanischen Kleingasturbinen (Turbojet, Turbofan, Turboshaft und Tur• boprop) auf die sehr ausführliche Triebwerkszusammenstellung von Leyes u. Fleming (1999) verwiesen.

Zeichenerklärung: F Triebwerksschub in [kN] P Wellenleistung in [kW] Päq äquivalente Triebwerksleistung in [äq kW] (Wellen- und Restschub• leistung) Bs spezifischer Brennstoffverbrauch in [(kg/h) 1 kN] 1tv gesamtes Verdichterdruckverhältnis (alle Verdichter zusammen, evtl. auch mit Fan) 1tFan Fandruckverhältnis Il Bypass- Verhältnis 1llo in das Triebwerk eintretender Luftmassenstrom in [kg/s] Tt4 Turbineneintrittstemperatur in [K] mTW größte Triebwerksmasse in [kg] P größte Triebwerkslänge in [mm] o größter Triebwerksdurchmesser in [mm] NB Nachbrenner Tabelle E-l: Turbojet-Triebwerke (Take-Off Ratings) I~ Hersteller Land Bezeich- Wel- NB F Bs 1tv ffio T t4 ffiTW e 0 Flugzeug nung len kN kg/h/kN kg/s K kg rnrn rnrn l> BMW Gerrnany 8026 nein 0.44 133 3.3 1.02 38 676 380 H 30 TS, Greif lb KHD Germany T 117 nein 1.04 117 5.4 1.56 26 770 355 Canadair-Drohne CL 289 KHD Germany T 317 nein 1.13 120 5.4 1.62 38.6 855 355 Caproni C 22 J Microturbo France TRS 18-1 nein 1.45 120 38.5 564 306 Microjet 200B, Caproni C 22 J I! Turbomeca France Marbore VI nein 4,12 109 3.84 9.84 1050 146 CM170 Fouga Magister Continental USA J69-T-25 nein 4.56 114 3.9 9.3 1100 165 6248 1016 Cessna T-37B Heinkel Germany He S 3B nein 4.9 163 2.8 12 360 1630 1200 He 178 BMW Germany BMW-003 nein 7.8 143 3.1 19 570 3530 690 He-162A, Horten IX, AR-234C Walter CSSR M-701 nein 8.7 116 4.35 16.7 9.75 335 L-29 Defin, Aero Maya Junkers Germany JUMO-004 nein 8.9 143 3.1 21.2 859 3864 765 Me-262, Ju-287, Hs-132 Bristol Siddeley UK Viper 11 nein lU 106 4.31 20 1100 263 1943 622 HJT-16 "Kiran" Heinkel Germany He S IIA nein 12.7 133 4.4 30 885 3345 805 Versuchstriebwerk General Electric USA J85-GE-17 nein 12.7 99 7 20 1165 179 1026 450 Cessna A-37B Pratt & Whitney USA J60-P-3 nein 13.3 96 7 22.7 1145 209 1948 594 Sabreliner T-39A General Electric USA CJ61O-8A nein 13.4 100 6.8 20 186 1153 449 Learjet 24/25 Westinghouse USA 134-48 nein 15.1 107 4.43 28 1065 533 RockweIl T-2A Buckeye Turbo Union UK RB 145 ja 16.2 110.5 5.8 19 207 1270 394 VJ 101 CX 1/2 General Electric USA J85-GE-5H ja 17.1 220 7 20 1165 265 2771 518 Northrop Grumman T-38A1B Talon Rolls Royce UK Viper 680 nein 21.7 100 5.8 26.5 358 1806 622 MB-339 Bristol Siddeley/SnecIll3 UK/France M45B 2 nein 20 80 14 30.3 515 General Electric USA J85-GE-21 ja 22.2 213 8 23.5 1250 303 2946 508 Northrop F-5E/F Tiger Bristol 1 KHD(Lizenz) UK Orpheus 803 nein 22.1 116 6 403.5 2440 823 Fiat G-l! 1 Rolls Royce UK Nene nein 22.8 104 4.5 40 736 2460 1258 Fiat G-80. Sca Hawk. CT -133 General Eleclric USA J47-GE-2 I nein 26.7 lOS 5.35 46.7 1138 1135 P-86 Sabre, F-I Fury Pirna DDR Pirna014A-1 I nein 32.3 88.6 7 53 1050 3446 98 I Baade 152 LMLiming China WP6A I ja 36.8 163 7.44 46.2 725 5483 668 Q-51 Turmansky UdSSR R-II-37F-2 S 2 nein 38.2 96 8.l! 65.2 1195 1065 MiG-21 LMC Liyang China WP7B(BM) 2 ja 59.8 203 8.1 J-8 NPO Saturn UdSSR AL-7F-1 nein 68.7 91.8 9 114 1200 2010 6810 1250 Su-9 Snecma France ATAR 9K-50 ja 70.6 200 6.2 72 1200 1582 5944 1020 Mirage FI Tabelle E-l: Turbojet-Triebwerke (Take-Off Ratings) Fortsetzung

Hersteller Land Bezeich- Wel- NB F Bs 7tv lIlo T t4 mTW l 0 Flugzeug nung len kN kg/hIkN kg/s K kg mrn mm

Pratt & Whitney USA J57-P-43WB 1 nein 49.8 77.5 12 81.7 1145 1755 4250 991 Boeing KC-135 (B 707) Pratt & Whitney USA JT4A-3 2 nein 71 82 12 136 2040 Boeing B707-320, DC-8-62 Pratt & Whitney USA J57-P-23 I ja 71.2 210 11.5 74.8 1145 2345 6248 1016 Convair F-I02A Delta Dagger General Electric USA J79-GE-17 I ja 79.3 197 13.5 77 930 1749 5301 993 MD F-4E/G Phantom 11 Klimov/Sarkisov UdSSR RD-3M-500 1 nein 94.5 110 6.4 164 1123 3100 Tubolev Tu-16 Badger Pratt & Whitney USA J75-P-17 1 ja 109 215 12 114.3 1150 2665 6035 1092 General Dynarnics F-106AIB NPO Saturn UdSSR AL-21 1 ja 111 183 14.6 104 1385 1720 MiG-23, Su-24, Su-17/20/22, Su-15 Pratt & Whitney USA J58P 1 ja 144.6 - 6 204 Lockheed SR-71 RoUs Royce / Snecma UK / France 01ympus 602 2 ja 169 89 14.7 187 1410 2628 7112 1206 BAC Concorde General Electric USA GE4 I ja 224 287 5100 - Super Sonic Transport (SST)

Bei den Triebwerken mit Nachbrenner (NB) beziehen sich die Daten auf den Nachbrennerbetrieb C DI

CD -:::J Tabelle E-2: Turbofan-Triebwerke (Take-Off Ratings) cDI In ca Hersteller Land Bezeichnung Wel- NB F Bs 7tv 7tFan 11 lIlo T t4 mTW l 0 Flugzeug !1 len kN kg/hIkN kg/s K kg c: mrn mm ~

Williams USA FI07-WR-101 2 nein 2.82 68.5 13.8 2.1 I 6.17 64 1232 305 Cruise Missile i... Daimler-Benz Germany DB 730 D I nein 6.4 66.9 8.53 1.55 1.76 10 1108 220 1957 695 Entwicklung 730 H .." C Williarns, RR USA FJ44 2 nein 8.45 47.6 12.8 3.28 28.7 202 1023 602 Cessna Citation, Swearing S130 ca Pratt & Whitney Canada JT15D-IB 2 nein 9.8 55.08 10 1.5 3.3 34 235 1506 691 Cessna Citation, Citation I ... -Cii" Turbomeca-Snecma France Larsac 04-C6 2 nein 13.19 72.4 10.6 1.13 27.6 1400 302 1179 602 Alpha Jet er Ivchenko Progress Ukraine AI-25-2E 2 nein 14.71 57.1 8.1 1.7 2 1212 348 1993 820 Yak-40 AlliedSignaVGarrett USA TFE731-2 2 nein 15.6 50.4 17.7 1.54 2.67 51.3 284 1270 1016 Learjet C-21A ...~ Ishikawajima-HarimaJapan F3-IHI-30 2 nein 16.37 71.4 11 2.6 0.9 34 340 1340 560 T-4 Trainer ~ AlliedSignaVGarrett USA TFE73 1-5 2 nein 20.0243.3 14.4 3.34 63.5 1225 387 1665 858 BAe 125-800 Ivchenko Progress Ukraine DV-2 2 nein 21.58 60.1 13.5 1.46 49.5 1400 475 1721 994 L-59, Yak-130, K-8 Karakorum Pratt & Whitney Canada PW305B 2 nein 19.9 39.9 15 1.8 4.3 67.2 1520 431 2070 970 Raytheon Hawker 1000, Lear 60 l

Hersteller Land Bezeichnung Wel- NB F Bs 1tv 1tFan J.1 mo Tt4 mTW.e 0 Flugzeug ,. kN :::J len kg/h/kN kg/s K kg rnrn rnrn ;z DI :::J Pratt & Whitney Canada PW306B 2 nein 23.3 39.7 17.9 4.5 75.5 1640 473 ASTRA Galaxy, IAINakolew ca AlliedSignal/Garrett USA ATF3-6A 3 nein 24.2 51.6 22 2.8 73.5 1145 510 2591 853 Dassau1t Falcon 20G m Textron Lycoming USA ALF502R-5 2 nein 31 40.5 12.2 5.7 583 1443 1059 BAe 146-200 Turbo Union UK RB 153-61R 2 nein 31.4 61.9 18 0.77 55 648 2300 700 VJ 101 D ja 52.9 RRlTurborneca UK Adour MklO2 2 nein 32.5 75.6 11 0.8 704 2970 559 RAF Jaguar RRlSnecrna UK M45 HMkS012 nein 34.5 48.1 18 3 108 691 VFW614 AlliedSignal/Garrett USA TFE1042-70 2 nein 37.1485.6 0.3 43.3 1616 603 2880 605 AIDC Ching-kuo IDF General Electric USA TF34-GE-100 2 nein 40.3 37 20 1.5 6.42 151 1496 645 2540 1270 Fairchild A-IO Thunderbolt Turbo Union UK RB199 MklO5 3 nein 42.5 66.3 24.5 0.97 75.3 1600 990 3302 752 TornadoECR ja 74.5 General Electric USA F404-GE-FID 2 nein 44.5 25 785 2210 876 Lockheed Martin F-117 A Turbo Union Uk RB 193-12 2 nein 45.2 65.2 16.2 1.12 92 890 2530 740 VAK 191 B Snecma France M88-2 2 nein 50 80 0.3 65 1850 897 3538 696 Rafaele ja 75 180 Volvo Aero Corp. Sweden RM12 2 nein 54 85.9 27.2 0.28 68 1055 4040 850 JAS39 Gripen Rolls Royce UK Spey Mk.202 2 nein 55.8 65 20.2 0.7 1857 5200 800 MD F-4N Phantom ja 94.7 200 General Electric USA CF34-8C1 2 nein 56.4 37 27 1.8 0.5 200 1059 3264 1321 Canadair Challenger Eurojet Turbo GmbH Gerrnany E1200 2 nein 60 79.2 26 0.4 76 1035 4000 740 Eurofighter ja 90 172.8 Pratt & Whitney USA JT8D-7B 2 nein 64.5 58.5 16.9 1.03 144 853 1475 3142 1143 Boeing T-43A (B 737) AUison USA TF41-A-1B 2 nein 64.5 64.7 20 2.45 0.76 118 1458 1593 2908 1016 Vought A-7D,K Corsair 11 Pratt & Whitney USA TF30-P-111 2 nein 64.8 68.6 21.8 2.43 0.73 118 1397 1814 6139 1245 General Dynamics F-111F ja 111.6 245 Snecma France M53-P2 2 nein 65 90 0.36 94 1600 Mirage 2000-5 ja 95 208 BMW RoUs Royce Germany BR71O-48 2 nein 66.28 35.6 25.7 2105 5100 1220 Gulfstream V Pratt & Whitney USA JT8D-15A 2 nein 69 43.8 16.6 1.04 148.3 - 2056 3917 1250 B727, B737, DC9 Tabelle E-2: Turbofan-Triebwerke (Take-Off Ratings) Fortsetzung 2/3

Hersteller Land Bezeichnung Wel- NB F Bs 1tv '1tFan Jl IDo T'4 IDTW e 0 Flugzeug len kN kglhlkN kg/s K kg mm mm

General Electric USA F404-GE-400 2 nein 71.2 25 0.34 4039 889 Northrop Grumman F-5G Volvo Aero Corp. Sweden RM8B 2 nein 73.5 64 16.5 1.0 145 2350 6200 1400 Saab JA37 Viggen ja 127.5 252 I vchenko Progress Ukraine D-436Tl 3 nein 73.6 64.2 23.2 5.49 285 1480 1450 4169 1822 Be-200, Tu-334-100 Pratt & Whitney USA TF33-P-3 2 nein 75.6 52 13 1.7 1.55 204 1144 1769 3454 1346 Boeing B-52H Stratofortress General Electric USA FIOI-GE-102 2 nein 77.4 56.2 26.8 2.31 1.91 161.5 1672 2018 4590 1402 RockweU B-I B Lancer ja 137 246 Pratt & Whitney USA FIOO-PW-229 2 nein 79.2 74 31 3.8 0.4 112.5 1755 1377 4851 1194 McDonneU Douglas F-15 Eagle ja 129 205 Lockheed Martin F-16 Fa1con Pratt & Whitney USA JT3D-3B 2 nein 80.1 53.5 13.6 1.74 1.37 208 1144 1950 3465 1346 Boeing EC/RC-135 (B707) General Electric USA F1 IO-GE- 100 2 nein 81.5 147 30.4 2.98 0.8 115 1767 4623 1181 Lockheed Martin F-16 Fa1con ja 127.3 208 C General Electric USA FI18-GE-100 2 nein 84.5 - Northrop B-2A Stealth Bomber 111 BMW RoUs Royce Germany BR715-55 2 nein 88.45 63.2 30.5 4.6 110 1635 1397 MD-95, Tu334 (I) -~ RoUs Royce UK Conway Co43 2 nein 93.4 85.6 0.45 166 2267 1270 BACVC-IO 111c Pratt & Whitney USA TF33-P-7 2 nein 93.4 56 16 1.9 1.21 226 1227 2109 3607 1372 Lockheed C-141 Starlifter UI ce CFM International France F108-CF-100 2 nein 96.2 36.3 23.7 1.5 6 356 1493 2091 2931 1829 Boeing KC-135R (I) NK-Engines, Samara Russia NK-8-4 2 nein 103 60.16 23.2 2.15 1.02 1255 2400 5288 1442 11-62, Tu-154 c: CFM International France CFM56-3 2 nein 104.5 37.5 30.6 5 297 1530 1951 2360 1524 B737-300, -400, -500 -::::r ::I- Aviadvigate1 Russia D-30KU 2 nein 108 50 20 2.42 269 2308 5698 1455 11-62M ...(I) CFM International France CFM56-7B26 2 nein 117.4 - 32.7 5.1 2620 1549 B 737-800 IAE USA V2528-D5 2 nein 124.5 32.3 30.5 1.7 4.7 374.2 1665 2382 3200 1613 MD-90 C ce" CFM International France CFM56-5C 2 nein 138.8 31.2 37.4 6.6 465.8 - 3921 2616 1836 A340 ... A viadvigatel Russia PS-90A 2 nein 157 60.7 35.5 4.6 1565 2800 5329 1900 11-86, 11-96-300, Tu-204 -ijj' C' & Pratt Whitney USA PW2037 2 nein 170.1 34.7 27.6 1.7 6 549 1678 3311 3729 2154 B757-200 :::e RoUs Royce UK RB211-535E 3 nein 178.4 34.1 25.8 4.3 522.1 3295 2994 1892 B757-200 ...(I) ::0:' General Electric USA TF39-GE-1 2 nein 181.5 31.5 26 1.56 8 702.5 1561 3260 5156 2540 Lockheed C-5A Ga1axy (I) Pratt & Whitney USA FI17-PW-100 2 nein 185.5 33 31.8 5.8 3221 3729 2146 McDonneU Doug1as C-17 A RoUs Royce UK RB211-524B 3 nein 222.4 36.1 28.4 4.5 686.3 4386 3175 2192 LlOll-200, B747-200 General Electric FI03-GE-101 2 nein USA 230 39.9 30.2 4.31 669.5 1638 3977 4394 2195 MD KC-IOA Globemaster I-J0- -l Tabelle E-2: Turbofan-Triebwerke (Take-Off Ratings) Fortsetzung 3/3 IR:;

Hersteller Land Bezeichnung Wel- NB F Bs 1tv 1tFan J.l mo T.4 mTW g 0 Flugzeug len kN kglhlkN kg/s K kg mm mm )- ::::I Pratt & Whitney USA PW4052 2 nein 231.3 35.8 27.5 1.7 5 771.1 4179 3901 2463 B767, A31O-300 ::::r 111 General Electric USA CF6-50C2 2 nein 233.5 39.8 30.4 1.71 4.31 669.5 1565 3856 4394 2390 DClO-lO, A300B, B747-200 ::::I ce General Electric USA CF6-80C2B2 2 nein 233.5 33.6 30.4 5.31 748.4 1605 4144 4087 B767-300 m Pratt & Whitney USA JT9D-59A 2 nein 235.7 36.3 24.5 1.54 4.9 743.5 1643 4152 3357 2464 DClO-40, A300B, B747-200 RoUs Royce UK RB211-882 3 nein 376.8 31.3 39 6.01 1198 B777 General Electric USA GE90-B4 2 nein 388.8 - 39.3 8.4 1378 4902 3124 B777 Pratt & Whitney USA PW4084 2 nein 391 34.4 1.7 6.41 1157 6667 4869 2845 B777 RoUs Royce UK Trent 890 3 nein 404.157.1 42.7 8204 4369 2794 B777 NK-Engines, Samara Russia NK-44 3 nein 431.5 30.8 36.5 1613 8400 3900 3300 TU-304

Tabelle E-3: Turboprop-Triebwerke (Take-Off Ratings)

Hersteller Land Bezeichnung Päq P Bs 1tv mo T.4 mTW g 0 Flugzeug äqkW kW kg/hläqkW kg/s K kg mm mm

AUison USA 250-C20S 313 0.3708 7.2 1.56 1083 76 985 483 Cessna 1851106/207 Alfa Romeo A vio ltaly AR.318 453 0.3517 5.4 140.6 1061 534 Textron Lycoming USA LTP 101-600A 462 0.3348 152 914 533 Cessna 421, Page Turbo Thrush WaIter CSSR M-601B 515 0.3944 6.65 2.8 1225 193 1675 650 L-410UVP AlliedSignal (Garrett) USA TPE 331-3 674 626 0.3406 10.4 3.52 1278 163 1333 533 Merlin III, Metro, Jetstream III WSK-PZL Rzeszow Poland TWD-I0B 754 705 0.3470 7.4 4.6 300 2060 555 PZL-Mielec M-28 Turbomeca France Astazou XVIG 761 720 0.3193 7.8 2.5 1181 228 2047 546 Argentine IA58 Pucara Pratt & Whitney Canada PT6A-45A 916 875 0.3366 8.7 3.9 198 1829 483 Shorts 330, Mohawk 298 RKBM-Rybinsk Russia TVD-1500B 970 0.2760 14.4 240 1965 620 An-38 Pratt & Whitney Canada PT6A-67R 1125 1061 0.3164 8.8 4.0 234 1880 483 Shorts 360-300, Basler Turbo 67 Armstrong Siddeley UK Mamba 1300 1210 0.4200 6 9.7 385 Short Seamew General Eelectric USA CT7-9D 1305 0.4610 18 365 2438 737 CN235-M, LET L610G Walter CSSR M-602 1360 0.3500 12.4 570 2565 753 L-61O Tabelle E-3: TurboQroQ-Triebwerke (Take-Off Ratings} Fortsetzung

Hersteller Land Bezeichnung Piq P Bs 7tv mo T t4 mTW l 0 Flugzeug äqkW kW kg/h/äqkW kg/s K kg mm mm

AlliedSignal (Garrett) USA TPF351-2OCW 1566 0.3012 13.3 6.35 1078 340.2 1954 606 Embrear/FAMA CBA-123 Daimler-Benz Germany DB 721 AIH 1618 0.375 6 10 1173 300 2320 450 Versuchs triebwerk Pratt & Whitney Canada PW119B 1626 0.3120 11.8 425.5 2057 635 Dornier328 Daim1er-Benz Germany DB 1 He S 021 1760 1470 30 1300 3530 800 Versuchstriebwerk Klimov Russia TV7-117 1864 16 1515 520 2143 886 An-140, 11-114 Pratt & Whitney Canada PW125B 2095 1864 0.2815 14.4 481 2134 660 Fokker50 I vchenko Progress Ukraine AI-24T 2103 7.55 1070 600 2346 677 An-26, An-30 General Electric USA T641P4D 2535 0.2940 13 12.2 538 2793 683 Alenia G222, C-27 A Spartan Napier UK Eland6 2610 2380 0.3740 7.0 14.2 738 Convair CV-580 Allison USA AE2100A 3096 0.2530 16.6 1125 716 2938 785 Saab 2000, ATR-827 Ivchenko Progress Ukraine AI-20M 3169 0.3755 9.45 20.7 1203 1040 3096 842 An-12,1I-18120/22/38 Bristol UK Proteus 765 3180 2840 0.2950 1173 Bristol Britannia 1 Brabazon 2 0 Allison USA T56-A-15 3661 3424 0.3048 9.5 14.7 1350 828 3708 686 Lockheed C-130 Hereules I :::J RoUs Royce UK Tyne Rty-20 Mk22 4226 0.2870 13.5 21.1 1272 1129 2760 1397 TransaU C-l60 DI C BMW Germany BMW 028 4830 3450 44.0 3600 6000 1250 Versuchstriebwerk (/I Sarnara Russia NK-12MV 11040 0.2725 13.1 3030 7832 1375 Tu-126, Tu-114, Tu-142 ca !.CI ::r ~ CD... Tabelle E-4: Turboshaft-Triebwerke (Take-Off Ratings) ." C Hersteller Land Bezeichnung P Bs 7tv rno T t4 rnTW l 0mm FluggerätlHubschrauber ca ... kW kglhlkW kgls K kg rnm -li' D' BMW Germany 6002 37 0.815 3 0.6 65 750 680 Hilfstriebwerk BMW Germany 6012 C-3 81 0.795 3.3 1.02 46,5 706 407 APU in Sikorsky SF 64 I~ ~ KHD Germany T 112 104 0.572 4.96 0.86 34.1 789 368 APU Senkrechtstarter VAK 191B KHD Germany T 312 114 0.578 5.05 0.87 1265 44.6 538 357 APU Panavia Tornado BMWlRoUs-Royce Germany T 312-04 136 5.6 0.98 1275 40.7 APU Panavia Tornado (ab 1994) 1-.1 ...,'" -.I 0- .j>. Tabelle E-4: Turboshaft-Triebwerke (Take-Off Ratings) Fortsetzung

Hersteller Land Bezeichnung P Bs 1tv mo T t 4 mTW l 0mm FluggeräU1Iubschrauber kW kg/h/kW kg/s K kg mm I> ::J :T MAN (BMW) Germany Turbo 6022-A 2 195 0.425 6.4 1.91 90 1150 Bo 105-V3

WSK-PZL Rzeszow Poland PZLGTD-350 298 0.4896 6.05 2.19 139.5 1385 520 Mi-2 I~ Allison USA 250-C20B 313 0.3960 7.2 1.56 71.5 985 483 Agusta-Bell 206B, Jet Ranger III AlliedSignal Garrett USA GTCP 36-300 335.5 6.08 0.59 1315 130 825 547 APU für Airbus A 320, A321 Pratt & Whitney Canada PW206A 373 0.3300 8 108 912 500 MD Explorer Textron Lycoming USA LTS 101-650B-I 410 0.3510 124 790 645 MBB/Kawasaki BK117A Turbomeca France ArrieilA 478 0.3485 9 120 1090 430 AS 350B, AS 365C OMSK Russia TV-O-IOO 537 0.3930 9.2 1300 156 1275 780 Ka-126, T-282 Rolls Royce UK GemMk 1001 671 0.3636 12 178 1099 575 Lynx WSK-PZL Rzeszow Poland PZL-IOW 671 0.3640 7.4 4.6 141 1875 740 PZL Swidnik Sokol Pratt & Whitney Canada PTB-36A 732 0.3535 174 1504 495 Sikorsky S-76B Turbomeca France TM 333 2B 747 0.3218 156 1045 712 Indian HAL Helicopter (ALH) Turbomeca France AstazouXX 749 0.3092 2.5 195 1529 698 Aerospatiale Dauphin 365C MTU-Turbomeca-RR Germany MTR 390 958 0.2732 13 3.2 169 1078 442 Eurocopter TigerIPanther LHTC USA T800-LHT-800 969 0.2828 14 143 800 549 Panther 800, A 129 Int. Textron Lycoming USA T53-L-701 1082 0.3650 7.2 5.53 1211 312 1483 584 Grumman OV-lD, AIDC T-CH-I Turbomeca France TurmoIII C3 1104 0.3668 5.9 5.9 297 1976 693 Aerospatiale SA 321 Super Frelon Klimov Russia TV2-117TG 1118 0.3686 6.6 338 2835 547 Mi-8TG, Mi-38 RoUs Royce UK Gnome H.1400-1 1145 0.3700 8.6 6.26 148 1392 549 Westland Sea King General Electric USA T700-GE-700 1210 0.4600 15 4.5 1125 198 1168 635 UH-60A Turbomeca France Makila lAI 1400 0.2930 210 1395 514 AS 332 Super Puma Klimov Russia TV3-117MT 1417 0.3467 7.5 285 2085 640 Mi-8TBK RR/Turbomeca UK RTM 322-01 1566 0.2920 14.7 5.75 240 1171 647 EH 101, Westland Apache General Electric USA T64-GE-100 3229 0.4870 14 13.3 1100 327 2006 660 CH-53C, MH-53J Textron Lycoming USA T55-L-714 3629 0.3060 9.3 13.2 363 1181 615 Boeing CH-47D A viadvigatel Russia D-25V 4101 0.3888 5.6 1325 2737 1086 Mi-6, Mi-lOK Allison USA T406-AD-400 4586 0.2556 14 16.1 440.4 1958 671 Bell-Boeing V-22 Osprey I vchenko Progress Ukraine D-136 8500 0.3230 18.4 36 1478 1050 3715 1382 Mi-26, Mi-26T Ivchenko Progress Ukraine D-127 10813 0.2440 24.3 1615 1300 3656 626 Experimental aus dem Jahr 1995 Anmerkungen zur Bezeichnung von Triebwerken 765

Anmerkungen zur Bezeichnung von Triebwerken

Amerikanische Militärtriebwerke In den vorangegangenen Tabellen sind z.B. folgende Bezeichnungen zu finden: - J79-GE-17 - FlOO-PW-229 - T406-AD-400 Hierbei handelt es sich um ein vom amerikanischen Verteidigungsministerium festgelegtes Kennzeichnungsschema der US-Streitkräfte. 1. Buchstabengruppe J Turbojet (Einstromtriebwerk) F, TF Turbofan (Zweistromtriebwerk) TP Turboprop (Wellenleistungstriebwerk) T Turboshaft (Wellenleistungstriebwerk) X Entwicklungstriebwerk Y flugtaugliches Triebwerk 1. Zahlengruppe Hierbei handelt es sich um eine Seriennummer, die den militärischen Auftragge• ber für eine Triebwerksentwicklung kennzeichnet. Für die modernen Triebwerke kann dabei folgende Systematik verwendet werden: Zahlen ab 100 Triebwerke für die US-Air-Force Zahlen ab 400 Triebwerke für die US-Navy Zahlen ab 700 Triebwerke für die US-Army 2. Buchstabengruppe Diese Buchstaben sind Abkürzungen für die Triebwerkshersteller und werden manchmal auch weggelassen. Folgende Firmenabkürzungen werden verwendet: A Allison AD Detroit Allison Diesel CF CFM International CP Pratt & Whitney of Canada GE General Electric L Textron Lycoming LHT Light Helicopter Turbine Company LD Avco Lycoming PW,P Pratt & Whitney T Continental WR Williams/Rolls Royce 2. Zahlengruppe Wie schon die erste Zahlengruppe, so dient auch die zweite Zahlengruppe zur Un• terscheidung des militärischen Auftraggebers. Falls z.B. von einem Heerestrieb• werk eine Marineversion entwickelt und auch über den Marinehaushalt finanziert 766 Anhang E werden soll, so bekommt das ursprüngliche Heerestriebwerk eine entsprechende Marinekennzeichnung. Beispiel: T700-GE-700 ist das erste Heerestriebwerk der T700-Familie T700-GE-400 ist die erste Marineversion der ursprünglichen T700-Familie

Zivile Triebwerke Auch im zivilen Triebwerksbereich sind die Bezeichnungen der 2. Buchstaben• gruppe der amerikanischen Militärtriebwerke zu finden, die sich auf den jeweili• gen Triebwerkshersteller beziehen. Darüber hinaus gibt es in den vorangegange• nen Tabellen die weiteren Abkürzungen: AE Allison Engines BMW Bayerische Motorenwerke BR BMW Rolls-Royce (heute Rolls-Royce Deutschland) IAE International Aero Engines Jumo Junkers Flugmotoren KHD Klöckner-Humboldt-Deutz MTU Motoren- und Turbinen-Union RB Rolls-Royce, Bristol RR Rolls-Royce Snecma Societe Nationale d'Etude et de Construction de Moteurs d'Aviation Neben den zuvor genannten Herstellerangaben, sind folgende Abkürzungen hin• sichtlich der Triebwerkstypen sind zu finden: ATF AlliedSignal Turbofan CF Commercial Fan TF Turbofan TFE Turbofan Engine TPE Turboprop Engine

Beispielhaft sollen im weiteren einige Besonderheiten bei den Triebwerksbezeich• nungen beschrieben werden. Für eine vollständige Darstellung aller Triebwerke, Typen und Varianten ist hier der Raum nicht gegeben. V2500 Der Buchstabe V steht hier für die römische Ziffer 5 und weist auf die 5 Firmen hin, die an der Entwicklung dieses Triebwerks beteiligt waren, nämlich: Rolls Royce, Pratt & Whitney, MTU, FiatAvio und Japanese Aero Engine Corporation (JAEC). Vertrieben wird dieses Triebwerk durch die in den USA ansässige Firma IAE (International Aero Engines). Die Zahl 2500 beschreibt den ursprünglichen Schub des Triebwerks, der F = 25 000 lb beträgt, was F = 111 kN entspricht. Bei Weiterentwick• lungen des Triebwerks, wie z.B. beim V2530 für den Airbus A321, stehen die letzten beiden Ziffern 30 für den Schub, nämlich F = 30 000 lb. Das V2527 für den Airbus A320 hat F =26 500 lb ('" 27 000 lb) Schub. CF6 Die Buchstaben CF stehen für Comrnercial Fan und die Ziffer 6 gibt das ursprüngliche Bypass-Verhältnis des Triebwerks an, ~ = 6. Anmerkungen zur Bezeichnung von Triebwerken 767

CF6-50E2 Hier steht 50 für F = 50 000 lb Schub, E für die Trieb• werksserie und 2 für die 2. Version innerhalb der Serie E. CF6-80A3 Hier steht 80 für den Zeitraum, in dem das Triebwerk kommerziell zum Einsatz kam, also in den 80er Jahren. A ist die Triebwerksserie und 3 die Version innerhalb der Serie A. CF6-80C2A5F Die Bezeichnung CF6-80C2 ist vergleichbar mit der zuvor beschriebenen Systematik beim Triebwerk CF6- 80A3. Der dann folgende Buchstabe A kennzeichnet, dass das Triebwerk für die Airbus-Familie gedacht ist. Ein Buchstabe B würde Boeing und D würde McDon• nell Douglas bedeuten. Die folgende 5 kennzeichnet die Triebwerksmodifikation, die für den jeweiligen Flug• zeugtyp notwendig war. Der Buchstabe F besagt, dass das Triebwerke eine FADEC-Regelung hat: FADEC = Full Authority Digital Engine Control. PW2000 Bei diesen Triebwerken von Pratt & Whitney (PW) gibt die erste Ziffer PW4000 2, 4 oder 5 die Triebwerksserie an. Die zweite Ziffer kennzeichnet das PW5000 Flugzeug, für welches das Triebwerk vorgesehen ist und die letzten beiden Ziffern den Schub in lbs. PW4084 Ist ein Triebwerk der 4000er Serie. Die Ziffer 0 besagt, dass das Triebwerk für Boeing Flugzeuge vorgesehen ist und F = 84 000 lb Schub hat (Boeing B777) PW4156 Ist ein Triebwerk der 4000er-Serie. Die Ziffer I besagt, dass das Triebwerk für Airbus Flugzeuge vorgesehen ist und F = 56 000 lb Schub hat (Airbus A300-600). PW4460 Ist ein Triebwerk der 4000er-Serie. Die Ziffer 4 besagt, dass das Triebwerk für McDonnell Douglas Flugzeuge vorgesehen ist und F = 60 000 lb Schub hat (MD-li).

RR Trent Hierbei handelt es sich um die Fortsetzung der RB211-Serie. Der letzte Vorläufer des RR Trent Triebwerks hatte die Bezeichnung RB211-524 GIH und befindet sich z.B. an der Boeing B747-400. Das RR Trent soll• te ursprünglich die Bezeichnung RB211-524L erhalten. Trent 882 Die erste Ziffer - die 8 - steht für die Firma Boeing und die letzten beiden Ziffern für den Schub mit F = 82 000 lb (Boeing B777) Trent 772 Die erste Ziffer - die 7 - steht für die Firma Airbus und die letzten beiden Ziffern für den Schub mit F = 72 000 lb (Airbus A330). Trent 668 Die erste Ziffer - die 6 - steht für die Firma McDonnell Douglas und die letzten beiden Ziffern für den Schub mit F = 68 000 lb (MD-Il). Zu Rolls-Royce Triebwerken ist allgemein anzumerken, dass es sich bei solchen Triebwerksnamen, wie z.B. Avon, Dart, Nene, Spey, Tay, Trent, Tyne, WeIland, um die Namen von englischen Flüssen handelt. Literatur

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Abblascharakteristik 526 Belastungszahl 322,325,326,327,493 Abblaseluft (bleed air) 18,21, 55, 56, 57, Beschleunigung, konvektive 391 458,459,520,524 Beschleunigung, lokale 391 Abblasventil 501,524,525 Betriebslinie 505,506,508,511,513,640 Abgasemission 68 Betriebspunkt 503,505,506,507,508,510, Ablösezelle 515,516 511,513,519,520,606 Abreißen von Stufen 55,56,417,512,514, Bläser 6, 12,13,15,18,22,41,49,194,195 516,521 Bleed Air 18, 57 Absolutgeschwindigkeit 294, 296 Bodenstandfall 49,61,112,115,126,127, Absolutströmung 295, 296 135,164,168,173,251,507,523 Absolutsystem 295, 296 Booster 18, 524 Abströmdreieck 298 Brayton-Prozess 141 actio = reactio 1,7,96,99, 109,286,287, Brennkammer 61,529 742, 750 Brennkammerdruckverlust 536, 572, 574, Aft-Fan 6, 29, 50 636 Airblast Atomizer 553, 554 Brennkammerwirkungsgrad 128,159,534, Aktionsturbine 71, 338, 339, 340, 343, 344, 570 345,346,587 Brennstoffenergie 570 Aikaiisulfatkorrosion 75 Brennstoffreduzierung 240 APU (auxiliary power unit) 32, 33, 34, 35, Brennstoffstufung 565,566 36,69,350,372,579 Brennstoffverbrauch, spezifischer 26, 36, 46, Äquivalenzverhältnis 529, 565, 568, 569 58,128, 130, 137, 139, 149,151, 160, 165, Arbeit, reduzierte spezifische 600 170,182,187,191,194,206,215,220, Arbeit, spezifische 140, 142, 145,664,667, 229,232,238,242,246,249,260,263,265, 668, 670, 677, 690 267,270,277,465,558,609 Arbeit, technische 140, 142, 143 Bruttoschub 107, 112,343,650 Arbeitsturbine 13,17,30,32,36,37,38,69, Bruttoschubkoeffizient 649, 650, 657, 658 251,252,254,255,257,272,274 Bypassverhältnis 23,28,36,44,195,201, Athodyd 3 204,208,214,226,228,234,236,239, Atomizer 554 242,248,252,254,571,594 Ausbrenngrad 128,133, 148,570,576 Bypassverhältnis, optimales 215,227 Auslegungsdrehzahl 55,66,120,252,507, 510,513 C4-Profile 314,491 Auslegungspunkt 309, 310, 330, 349, 365, CDA-Profile 314,315,491,492 366,463,506,507,508,510,511,513, Choke F1utter 519 522,527,588,607,633 Coatings 75,543,620,622 Außenschnittgitter 283, 416, 418 Coatings, Diffusion 620, 621 Austrittsimpuls 71, 631 Coatings, Overlay 621 Axialturbine 4,20,21, 25, 26, 35, 38, 69, Coriolisbeschleunigung 390, 393, 394, 402 308,365,366,466,579,581,582,586 Corioliskraft 390 Axialverdichter 4,19,53,59,196,272,308, 326,330,351,360,376,466,468,470,474, D.S.-Blades 75 505,664 d' Alembertsches Prinzip 390 DCA-Profile 314,315,491,492 778 Sachverzeichnis

Dampfdruck 61,530,531,532 Einkristall 75,617 Dauerschub 121 Ei nkristallschaufeln 75 de Haller-Kriterium 321,325,326,327,347, Einlauf 11,12,38,41,44,96,107,113,115, 348,349,386,478,481,482,483,484 141,157,200,235,427,430,440,448, Derated Engine 122 451,458,520,573 Deviation 467 Einlauf variabler Geometrie 459 Dichte, statische 720 Einlaufbrummen (buzz) 454 Diffusionszahl 324,325,326,327,346,347, Einlaufgestaltung 45,46,439,450 348,481,493,495 Einlauflippe 428,429,439,442,451,453, Diffusor 7,52,54,62,80,310,347,351,354, 455,460, 461,463 363,376,391,430,442,445,447,451, Einlaufquerschnitt 45 453,465,535,575,661,676 Einlaufverlust 42,433,437,448,451, 455, Diffusor, dump diffuser 536, 538 456,461,508,636,734 Diffusor,jaired diffuser 536,537,538 Einlaufwiderstand 44,45, 102, 107, 113,441 Diffusor, Überschall 442, 443, 497 Einstromtriebwerk 12, 13, 191 Diffusor, Unterschall 442,443, 656 Eintrittsdiffusor 64 Dom 64,65,67,537,538 Eintrittsimpuls 71, 107 Drallgeber 64,65, 67, 539, 540 Einwellentriebwerk 17, 20 Drallgesetz 385,386,410,425 Einwellenverdichter 18, 53, 56 Drallrose, Drallgeber 540 Emissionsindex 558 DralJsatz 294 Energie, chemische 61, 127, 161,529,534, Drehzahl, reduzierte 503,505, 506, 508, 600, 570 605,607 Energiebilanz Brennraum 143,160,234,246, Drehzahl, spezifische 371 569, 571, 659, 660 Drehzahlkurve 501, 607, 637 Enthalpie 140,197,255,331,348,608,660, Drehzahllinie 517 670,680,684,686,697,719 Drosselung, thermische 637 Enthalpie, statische 140,328,339,340,343, Druck, statischer 309, 310, 325, 346, 428 346,660,662 Druckabsenkung 144,329,729 Enthalpiebilanz 186 Druckenergie 7,87,631 Enthalpiekenngröße 331,341,349,362,369, Druckgefälle 166,584,603,608 371,381,421,482,512,595,608 Druckhöhe 123 Entropie 662, 663, 680, 707 Druckrückgewinn 41 Erlöschgrenze 561 Druckverteilung 62, 109, 115,414,734,750 Erstarrung, einkristallin 617 Druckwiderstand 10 I, 750 Erstarrung, gerichtete 617 Druckzerstäubung 549, 554, 562 Erstarrung, konventionelle 617 Duplexdüse 551,553 Eulersche Bewegungsgleichung 723 Durchflusskenngröße 330,357,358,359, Eulersche Hauptgleichung 294, 295, 302, 371,372,381,382,383,420,421,478, 319,332,333,361,369,372 482,512,603 Exducer 366 Durchströmung, diagonal 284 Expansion 110,130,144,183,196,237,243, Durchströmung, zentrifugal 301,306 300,417,422,604,631,638,642,647, Durchströmung, zentripetal 30 I, 306 650,656,672 Düsenaustrittsfläche 110, II I, 133,633, 64 I, Expansionswelle 712 644,647 externe Kompression 442, 448 Düsenkoeffizienten 649 Düsenquerschnitt 633,639, 644, 654 FADEC 28,29,526 Düsenwiderstand 102, 110 Fan 12,18,22,28,29,39,46,49,50,51,93, 194, 427, 497, 594, ebenes Gitter 284, 285 Fandruckverhältnis 23, 28, 49, 51, 155, 199, Effusionskühlung 622, 624, 630 595 EGT 74,120,121,122 Fandruckverhältnis, optimales 205,215,222, EGT limit 122 228 EGT margin 122 Fangstromröhre 44,97, 102, 113, 115,430, Einheitsmasse 129,133,137,139 433,734,747 Sachverzeichnis 779

Fantemperaturverhältnis 222, 235 Gitterteilung 283, 418 FAR 36 Annex 16 ofICAO 22,91,92 Gleichdruckturbine 71, 338, 340, 342 Festkörperwirbel 385,486,489 Gleichdruckverbrennung 141,142,155,157, Fett-Mager-Stufung 567 161,167,198,235,572,576 Filmkühlung 68,77,544,549,569,622,628, Gondel 28,43,48,83,89,90, 102, 109, 113, 630 116,429,430,437,439,441 Flammhalter 79,80,81,82 Gondelumströmung 96, 99 Flammpunkt 61,530,532,533 Gondelwiderstand 102,107, 108,109,451 Flammrohr 63,536,542,544,557,564 Grenzschicht 292,321, 345, 361, 388,414, Flat-Rated Engine 122 451,453,454,458,460,589,627,750,752 Flattern 518, 519 Grenzschichtablösung 451, 590 Flüchtigkeit 533 Fluggeschwindigkeit 6, 14,36,41,89,92,97, Haftbedingung 291,293,626 121,134,148,151,162,168,177, 253, 259, Haltekraft 95,747,749 262,269 Hauptsatz, erster 139,327,361,369 Flughöhe 115, 155,159, 164, 178, 191,201, HDT Hochdruckturbine 41, 196, 255, 258, 216,433,458,532,557,609 259,261,262,265,269,595,599 Flugmachzahl 40,114,153,156,159,162, HDV Hochdruckverdichter 41, 196, 272 170,189,201,204,207,215,221,226, Heckkörperwiderstand 109 248,257,263,265,276,278,429,437,441, Heißgas 3,9,26,32,37,61,69,72,75,82, 455,461,464,476,510,636 97,160,163,186,366,543,622,627,699, FOD 518 703 Fremdkörperabscheider 47 Heißgaskorrosion 543,618 Frontfan 50 Heizwert spezifischer 61, 127, 151, 270, 569, Full-Rated Engine 122 576 Hilfsgeräte 58, 59 Gali1ei-Transformation 296,298,303,351, Hilfstriebwerk, APU 34 390,515 Hochdruckteil 57,317,500,526 Gasgenerator 10, 17,24,32,36,79,112,135, Hochdruckturbine 18,24,28,41,56,72,75, 251,254,257,268,277,372 196,255,258,345,593,599,624 Gasgeneratorleistung 134, 135,137 Hochdruckverdichter 18,28,29,31,41,55, Gaskonstante 106, 113, 118, 133, 140, 141, 56,58,72,76,196,197,198,377,500, 155,373,415,573,665,683,696,698,701 504,505,522,524,525 Gasturbine 1,4,5,7,9, 10, 15,45, Hochdruckwelle 26,58,74,90, 120,523,595 Gemisch 9,61,81,529,533,536,555,561, Hochtemperaturkorrosion 618, 619, 620, 621 679 Hubschraubertriebwerk 25,32,37,349 Gemisch, fettes 529, 531 Gemisch, mageres 529,531 ICAO 22,91,557,558,559,560,569 gerichtet erstarrt 618 ICAO Lande-Start-Zyk1us 557 Gesamtdruckverhältnis 199 ideale Expansion 109,126,127,135,142, Gesamt-Leistungskoeffizient 255 199,631,633,647 Gesamtwirkungsgrad 151, 153,214,260, ideales Gas 176,181, 191,229,683,703 269,275 idle 18,68,75,90 geschwenkte Schubdüse 102, 343 Impeller 52,351,352,355,358,361,362, Geschwindigkeitsdreieck 297,342,346,347, 363,364,366,374,376,401 354,380 Impuls 9,82,95,103,343,739,740,741, Geschwindigkeitsdreieck, allgemeines 303 751 Geschwindigkeitskoeffizient 650, 653, 656 Impulsänderung 95, 739, 741,742, 746 Gibbs 662, 679 Impulssatz 95,97,99, 105, 1l3, 294, 340, Gibbssche Fundamentalbeziehung 415,662, 343,434,573,591,705,739,742,746,747 663,680 Impulsstrom 100, 103 Gitter 282,286,289,294,301,310,319,343, Impulsturbine 340 349,410,414,416,418,420,498,515, Innenströmung 544 522,588,592,604,612 instabile Verdichterzustände 510 Gitterbelastung 493 installierter Schub 102, 108 780 Sachverzeichnis integrale Schubdüse 84 Kühlung, Prall kühlung 77,622,624 interne Kompression 44, 442, 460 Kühlung, Transpirationskühlung 548, 561 Inzidenz 467,510,512,513,514,587 Kutta-Joukowsky 323 Isentropenexponent 113,140, 141,155,691, 694, 701 Lärm 3,9,86,92,93,94,194,232,253,286, isentroper Wirkungsgrad 674 406 Lärmemission 22, 252 Jet A, Jet A-I 176,181,191,229,270,532, Lärmminderung 39, 83, 84,91, 92, 93, 194, 533 231 Jet B 533 Laufrad 19,53,70,76,282,287,293,299, Joule-Prozess 141, 142, 144, 155 302,319,326,340,351,366,386,478, JP-5 533 482,490,495,511,522,527,593,600, 605,606,624,664 Kalorimeter 127 Laufradbeschaufelung 56, 339, 382, 593, 625 Kampfflugzeug 32,35,88, 171,461,633 Lavaldüse 7,11,40,41,79,86,87,112,320, Kanalwirbel, relativer 355 442,635,729,731 Kennfeld 501, 503, 505, 508, 510, 511, 513, Leerlauf 18,37,66,68,75,90.554,558,562, 516,523,602,605 563,565 Kerntriebwerk 7,12,13,22,24,25,51,52, Legierungen, hochwarmfeste 611 125,129,194,195,201,254,262,571, 622, Leistung, äquivalente 32, 134. 137,257,260, 624 263,265,266 kinetische Energie 7,52,54,65,69,86, 140, Leistungsgleichgewicht 143,145,158,159, 144,194,198,254,281,309,310,354, 196,199,316,595,596,638 364,545,626,631,660,661,667,677,712 Leistungskoeffizienten 254,255,257,259, Kobalt-Basislegierung 621 261, 266 Kohlenmonoxid 68,529,557,558 Leitrad 19, 53, 69, 293, 308, 324, 329, 338, Kohlenwasserstoff 529 341, 361,402,483,490,494,495,511, Kolbenmotor I, 14, 269 518,521,593,599,604,607,623,664 Kombinationsverdichter 21,25,36,37,38, Leitradbeschaufelung 363, 522 349 Leitschaufel 367 Kompression 44,49,56, 144,196,300,442, Leitschaufelverstellung 18, 21, 520, 522, 523, 448,450,451,460,672,704,707,729 524 Kontrollfläche 95,96,97,99,100, 103, 108, Lieblein-Faktor 325 746,747,748,749,750,751,752 Load-Compressor 35, 36, 372, 374, 376 Konvektionskühlung 77,549,622,630 Lorin Rene 3,6 Kraftstoffdüse 64,65,67,540 LTO-Zyklus 557,558,559 Kraftstoffregelung 56,522, 523, 525 Luftmassenstrom 13,21,37,46,77,91,112, Kreisgitter 284 116,119,133,139,147,153,160,186, Kreisprozess 49,141,144,155,159,163, 195, 199, 205, 246, 250, 255, 267, 278, 349, 168,172,174,178,181, 183, 185, 196, 372,376,452,461,464,465,507,571, 200,213,233,244,255,268,271,272,573 624,636,698 Kreisprozess, gedachte Schließung 141, 161 Luftstrahlzerstäubung 549, 552, 553, 562 Kriechen 73,74,76,318,610,616 Luftstufung 563,565 kritische Werte 731 Luftüberschusszahl 569, 572, 576, 698 Kühlluft 62, 66, 68, 76, 420, 423, 544, 545, 548,561,564,566,610,622,623,630,650 Machined Rings 546 Kühlluftmenge 544,545,557,594,625,626, Machzahl 708 627,629,630 Machzahl, kritische 733 Kühlung, Effusionskühlung 622, 624, 630 MAR-M 75, 318 Kühlung, externe 622 Maschinenwirkungsgrad 679 Kühlung, Filmkühlung 68,77,544,545,546, Massenstrom 725, 726, 727 549,569,622,623,624,625,628,630 Massenstrom, reduzierter 503, 736 Kühlung, interne 622 Massenstromcharakteristik 451 Kühlung, Konvektionskühlung 77, 549, 622, Massenstromkoeffizient 649, 654, 656 630 Massenstromparameter 734 Sachverzeichnis 781

Massenverluste 412 Niederdruckverdichter 13, 18, 24, 28, 41, 56, Matching 120, 453 77,195,197,500,522,524 MCA-Profile 314 Niederdruckwelle 74, 120,579,595 mechanische Verluste 412 NIMONIC 76 Mehrwellentriebwerk 17, 19 Normalstufe 330, 332, 335, 599 Mehrwellenverdichter 55 NOx 68,557 Mehrwelligkeit 520, 526 Nutzarbeit 148, 178, 282 Meridionalkomponente 330 Nutzarbeit, spezifische 139, 143, 145, 148, Mid-Span-Shroud 49 169,177,179,224,274 Minderleistung 354, 356, 402, 423 Nutzleistung 6,38, 146, 147, 149,212,213, Minderleistungsfaktor 356, 358, 359, 362, 254 367,373 Minderumlenkung 284, 298 OAT (outside air temperature) 122, 123 Mischer, Mixer 84, 85, 232, 233, 234, 236, Oberflächenbeschichtung 619, 620 238,239,241,242 Oberflächenrauhigkeit 419 Mischerdruckverhältnis 234 Ohain, Pabst Hans-Joachim 5 Mischertemperaturverhältnis 234, 235 Mischkristall verfestigung 613 Pattern Factor 542, 566 Mischluft 66,67,542,569 Pitot-Einlauf 42,44,428 Mischluftzone 540,541,544,564 Pivoting Doors 89 mitrotierender Beobachter 282, 294, 515 Pivotstufe 512 Mitteldruckturbine 26, 41 Polytropenverhältnis 665 Mitteldruckverdichter 26,41,56 Potentialwirbelgesetz 381,382,385,486,579 Mittenschnittgitter 284 potentielle Energie 281, 660 Prallkühlung 77, 622, 624 NI-Drehzahl 74,120,121,522,595 Primärdüse 40, 202 N2-Drehzahl 68,74,120,121,522,523,524, Primärkreis 13,22,26,41,51, 91,195,197, 557,595,683,698 198,208 Nabenschnittgitter 283,416 Primärluft 65,66,67,539 Nabenverhältnis 318, 349, 376, 382,406, Primärzone 67,536,538,539,540,544,554, 409,410,434,437,475,479,488,489,594 555,557,561,562,563 NACA-65-Profile 314, 491, 492 Profile Factor 542 Nachbrenner 11,19,21,23,30,39,40,49, Profil verluste 413 77,79,81,87,132,156,159,183,186, Propeller 1,13,14,15,17,22,32,36,45,52, 188,190,243,246,249,650 69,134,135,136,251,252,253,254,255, Nachlauf 82,286,321,415,536,589,750 257,262,266,267,351 Nachlaufdelle 93, 286, 750, 752 Propellergetriebe 36, 256 Nachverbrennung 30,77,79,81,183,185, Propeller-Leistungskoeffizient 255 187,188,190,243,245,247,249 Propellerwirkungsgrad 14,134, 136,252, Navier-Stokes-Gleichungen 403 253,254,257,259,260,262,265 NOT Niederdruckturbine 41, 196, 197, 255, Propfan 13, 229, 242 257,259,261,263,266,269,273,595,599 PTL-Triebwerk 13,36 ND V Niederdruckverdichter 41, 196, 199, Pulsstrahltriebwerk 8, 12 272 Pumpen 55,267,465,514,517,518,519,640 Nebenstrom 22,23, 195, 198 Pumpgrenze 422,502,505,506,507,515, Nebenstromverhältnis 22, 23, 24 516,517,519,520,524,637,640 Nettoschub 107 Pumpgrenzenabstand 506 Newtonsches Axiom, drittes I, 7 Newtonsches Axiom, zweites 95, 739 Quasi-3-dimensionale Strömung 405,411 nicht installierter Schub 102 Nickel-Basislegierung 612 radiales Gleichgewicht 285,377,405 Niederdruckteil 500, 526 radiales Gleichgewicht, allgemeines 405, 406 Niederdruckturbine 18, 22, 24, 26, 28, 30, 41, radiales Gleichgewicht, einfaches 377, 380, 56,68,72, 195, 197,255,257,259,261, 406 263,265,273,275,526,579,594,598,609 782 Sachverzeichnis

Radialkomponente 284,379,381,405,407, Rotor 17, 19,53,69,72,93,221,282,287, 409 290,296,302,312,346,366,368,372, Radialturbine 34,69,349,366,367,369, 374,382,403,413,421,426,495,515, 372,373 659,664,667,674,678 Radialturbinenstufen 365, 579 Rotorschaufeln 28,292,296,304,313,352, Radialverdichter 4, 12,21,25,26,34,35,36, 422 38,51,52,54,59,60,63,272,349,352, 353,360,363,372,375,402,506 Schadstoffreduzierung 559,561,563,567 Radialverdichterstufen 25,52,351,362 Schaufelanzahl 93,292,313,314,356,358, Raketentriebwerk 9 359,360,367,368,373,494,495,593 Ramjet 3,7,49,163,164,168,169,178 Schaufelgestaltung, direkte Methode 498 Rampenwinkel 448,451,455,456 Schaufelgestaltung, inverse Methode 499 Ratings (engine power) 119 Schaufelhöhe 49,284,299, 308, 323, 332, Rauch 68,557,560 349,376,380,381,382,383,385,386, Rauchzahl (smoke number) 560 410,414,476,477,494,520,593 Reaktionsgrad 331,332,334,338,340,341, Schaufelhöhenverhältnis 494, 495, 593 345,346,349,381,382,383,386,406, Schaufelkanal 289,295,315,353,354,355, 420,421,482,483,484,485,488,579, 360,403,418,497,498,515,587 587,590,599 Schaufe1kühlung 73,76,314,590,610 Reaktionsturbine 70,71,342,343,344,345, Schaufeln, radial endend 353, 354, 358, 359, 587,590 362,363,401 Reaktionsturbine nach Parsons 342, 343 Schaufeln, rückwärts gekrümmt 353, 354, Realgas 700,701 356,374,375 Reibungskraft 95,96,743,747, 752 Schluckgrenze 505,506,511,514,519 Reibungswiderstand 101,750 Schub 3,6,12,19,21,28,31,36,46,58,60, Reiseflug 29,36,75, 122, 183, 191,428,429, 71,78,82,95,97,102,106,108,110,117, 432,558,560,609 119,120,122,125,128,130,132,135,136, Reiseflugschub 122 146,148, 151, 153,155,159,164, 168, Rekuperator 270,271,272,273,275,277,278, 173,176,178,180,184,187,189,199, 279 204,209,213,215,218,220,223,225, Relativbeschleunigung 391 229,237,242,249,253,255,262,454,459, Relativgeschwindigkeit 296,298,299,302, 510,519,557,560,631,646 309,319,354,355,367,393,402,490, Schub, maximaler spezifischer 177 511,514,515,626,713 Schub, nicht installierter 109 Relativströmung 300,305,306,309,310, Schub, reduzierter 601 351,353,355,360,398 Schub, spezifischer 125, 127, 128, 130,150, Relativsystem 282, 295, 296, 303, 304, 305, 152,156,158,160,162,164,168,170, 309,319,355,389,390,427,482,484, 172,175,177,179,181,183,185,187, 625,626 189,191,194,199,201,204,207,209, RENE 76 215,219,221,225,229,232,237,239, Repetiergitter 312 242,245,249,257,259,275,644 Repetierstufe 312,335,339,343 Schub, uninstallierter 102, 109 Restschub 36, 134, 135, 136,254,255,268 Schubdüse 4,9,12,21,31,39,69,77,80,82, Restschub-Leistungskoeffizient 255, 268 84,86,88,91,93,96, 102, 105, 110, 112, Reynoldszahl 413 126,133,135,141,153,155,157,163, Rezirkulation 554 176,181,183,191,194,198,200,229, Richtungskoeffizient 650, 651, 652 231,234,243,253,256,452,460,500,519, Ringbrennkammer 20, 28, 36, 63, 536, 538, 602,631,633,635,638,640,642,644, 576 646,649,655,657 Ring-Rohr-Brennkammer 62 Schubdüse, angepasste 110,112,155,157, Ringspalt 364, 365 161,196,631 Rohrbrennkammer 37,61,62 Schubdüse, divergente 646,647 Rothalpie 304, 305, 396 Schubdüse, konvergent/divergent 86,87,631, Rotierende Ablösung 514 647 Schubdüse, konvergente 256, 63\, 641, 646 Sachverzeichnis 783

Schubdüse, kritische 641, 644 Stoß-Grenzschicht-Wechselwirkung 310, Schubdüse, unterkritische 641, 642 454,460,498,589,590,635,658 Schubdüse, verstellbare 79,87, 112,631,633, Strahlantrieb 1,3,4,7,9,13, 14 635 Strahlkontraktion 110 Schubdüsenfläche, spezifische 644 Strahllärm 22 Schubgleichung 97, 10l, 106, 108, 110, 135, Strahlleistung 32 147, 148 Strahlmischung 84,194,231,232,239,243, Schubklasse 24,131, 132, 133 245,247,250 Schubleistung 146, 147, 149, 151 Stromdichte 727 Schubsteigerung 77, 500 Stromlinienkrümmung 384,387,406,425 Schubumkehrer 43,89,90,91,635 Strömungsverluste 413 Schubvektorsteuerung 87, 88,633,635 Strömungswinkel, absoluter 300,306,367, Schubverhältnis 129,130,208,209,211, 382,383 214,219,230 Strömungswinkel, relativer 402 Schubverstärkung 77, 79 Stufe 19,21,28,38,54,57,72,75,309,311, Seitenwandreibungsverluste 426 313,316,322,326,328,330,332,335, Sekundärdüse 40,93,199,200 339,342,345,347,349,386,468,470, Sekundärkreis 13,22,25,30,39,41,81,89, 474,476,478,481,483,485,488,490, 93,120,130,196,197,198,199,200,202, 494,511,513,517,520,522,525,527, 209,210,213,223,233,234,243,650 548,581,583,586,593,595,599,624,674 Sekundärströmung 425 Stufe, transsonische 478,484 Sekundärströmungsverluste 423 Stufenanzahl 344,345,474,479,481,484, Selbstentzündungstemperatur 530 510,579,586,594,595 SFC 20,128 Stufendruckverhältnis 337, 362, 369, 468, Siedegrenzen 533 469,474,481, 581 Simplexdüse 550, 552, 554 Stufenkenngrößen 327 Slip Faktor 356 Stufenparameter 347 Smith-Korre1ation 608 Stützkraft 96, 107, 113,750,752 Spaltkontrolle, aktive 29,622 subsonische Stufe 478 Spaltverluste 421 subsonischer Einlauf 41 Sperren 310,352,365,388,461,505,511, Sulfidation 75,534,543,610,619 512,514,524,535,575,606 supersonische Profile 496 Sperrmachzahl 319,603,734 spezifische Drehzahl 371 Teilung 283,284,285,313,322,344,356, Spiralgehäuse 272, 363, 367 367,368,388,493,494,497,515,587, Splitter 24, 352 590,592,593,600 Stacked Rings 545 Teilungsverhältnis 313,322,327,360,420, Staffelungswinkel 322,349,522,592,599, 493,494,590,592,593 600 Teilungsverhältnis nach Zweifel 590 Stage Stacking 517 Temperatur, statische 181, 200, 597, 626, 627 Standeinlauf 46 Temperaturabsenkung 67,562,568,611,670 Standfall 7,42,46 Temperaturerhöhung 122,178,197,471,481, Starter 56,58,59,252,555,641 535,584,711,712 Startschub 20,24,25,28,31,46,77,120, Temperaturgefälle 263,345,640 121,130,132,133,136,137,558 TIT (turbine inlet temperature) 120,122 Stator 19,53,69,70,93,221,308,312,403, TL-Triebwerk 13,610 422,426,664,674 Totaldichte 719,720,727 Statorbeschaufelung 93 Totaldruck 40,41,51,83,157,162,196,235, Statorschaufeln 93, 296, 313, 422 241,339,415,423,445,472,475,476, Staustrahltriebwerk 3, 7, 10, 163 507,579,585,596,607,636,647,711, Steigflugschub 121 719,722,729,730,734 Stickoxide 68, 557 Totaldruckverlust 82,325,335,376,415, Stimflächenschub 129 430,433,445,449,455,456,507,538, Stoßfalle 460, 461 573,575,648 Stoß-Grenzschicht -Interferenz 310, 417, 418 Totaldruckverlust, thermischer 573 784 Sachverzeichnis

Totalenthalpie 140,141,305,331,349,379, Turbofan 3,6,12,15,19,22,27,39,44,52, 380,381,406,650,660,661,668,719 62,77,84, 110, 115, 125, 127, 129, 143, Totaltemperatur 41,55,83,140,141,156, 194,196,199,201,203,205,212,215,223, 233,234,238,306,326,331,423,445, 229,231,233,236,238,242,247,250,252, 475,476,481,505,542,576,596,601, 437,441,555,558,571,594,596,598,638 607,625,626,636,719,720,727,735 Turbojet 3,6,11, 13, 15, 19,22,29,32,36, Transpirationskühlung 548,561 38,47,62,77,110,125, 127, 129, 132, Transportflugzeug 171, 372 143,153,156,165,167,172,174,183, transsonische Turbine 586 185,187,189,191,194,199,201,204, transsonischer Verdichter 496 206,211,213,221,224,239,260,266,268, Triebwerksdruckverhältnis 120, 121,558 275,277,279,555,557,571,597,636,747 Triebwerkseinlauf 13,41,43,48,142,155, Turbokraftmaschine 69,282 157,163,252,427,430,441,459,596,602 Turbomaschine 53,69,281,287,288,295, Triebwerksfamilie 23,27,28, 165 298,308,313,422,426,659,660,662, Triebwerksgondel 59, 89, 108, 440 664,668,673,674,676,678,692 Triebwerksklasse 37 Turbomaschinenlärm 93, 313, 423, 520 Triebwerkskomponente 39,98,378,381, Turbomotor 13 394,396,399,408 Turboprop 1,13,14,36,47,62,63,135,143, Triebwerksleistungsstufen 119,461,555,560, 251,252,255,256,259,260,263,267,268, 565,640 271,349 Triebwerksschub 21,60,71,95,98, 107, 117, Turbopropeinlauf 45 122,130,148,205,557,646 Turboshaft 13,52,63, 143,267,268,270, Triebwerkstyp 22 271,272,273,274,275,277,279,525 Triebwerkstyp 251,267 Turbostrahltriebwerk 17, 19 TSFC 128 Turbine 69,281,286,289,290,291,303, Überdruckturbine 71,341,342 304,305,306,309,311,316,317,318, Überexpansion 634,657,658 335,337,339,342,343,351,372,374, Überlauf 452 376,416,421,425,661,664,667,670, Überlaufverluste 452, 453, 460 671,672,673,674,675,676,677,686, Überschallstartbedingung 443 687,688,690,697,734 Umfangskraft 287,289,591 Turbine, Durchsatzgrenze 604 Umkehrbrennkammer 25,26,36,63 Turbine, Leistungsgrenze 14,437,605,607 Umkehrschub 39,89,90,91 Turbine, transsonische 310 Umlenkschaufeln 26, 89 Turbinenarbeit, spezifische 197,198,233, Unterexpansion 111, 634, 657, 658 344,484.602,605,607 Untersetzungsgetriebe 24, 36, 45 251, 253, Turbinendruckverhältnis 69, 157, 158, 166, 267 167,199,200,219,236,581,582,596, USO-Profile 498 607,638,676 Turbineneintrittstemperatur 20,29,32,34,37, Vaporizer 554 76,78,82, 119, 122, 155, 158, 162, 166, Verbrennung 8,9,49,54,61,64,67,78,81, 170,173,175,177,179,181,201,216, 128,144,155,230,270,529,533,536, 242,258,272,277,279,366,499,542,573, 539,540,544,549,555,557,561,564, 596,609,624,637 567,570,571,698 Turbinengitter 283,321,493,592,603 Verdampfer 554,555 Turbinenkennfeld 579, 600, 602, 604, 605 Verdichter 4, 9, 11, 19, 25, 29, 37, 40,44, 48, Turbinenstufe 69,71,120,309,421,608,625 53,55,57,59,61,65,77,87,90,96,99, Turbinentemperaturverhältnis 199,201,217, 120,141,144,155,159,163,171,177,183, 218,261,262,265,269,274,277,581,638, 196,199,230,251,255,258,266,271,281, 639 287,289,297,299,305,308,310,316,320, Turbinentemperaturverhältnis, optimales 261 327,332,338,341,346,348,349,351,372, Turbinenwirkungsgrad 580 377,386,412,421,425,427,465,468,470, Turbinenwirkungsgrad, isentroper 580, 669 472,474,477,479,481,484,491,496,498, Turbinenwirkungsgrad, polytroper 584, 668 500,502,505,507,510,512,514,516,518, Turboarbeitsmaschine 53,281 520,522,524,526,535,537,539,541,544, Sachverzeichnis 785

555,567,571,579,594,596,602,607,610, 212,213,214,215,219,222,224,230, 616,622,628,636,638,640,659,661,664, 239,242,252,253,254,260,265,270,275 666,670,674,678,686,689,694,696,734 Vorwärmung 271, 277 Verdichterarbeit, spezifische 197 Verdichterdruckverhältnis 20,28,31,37,60, VVandkühlung 541,542,545,547 155,157, 159, 162, 164, 166, 168, 170, 173, VVärmeabfuhr 141 175,177,179, 182, 187, 189, 190, 192, 199, VVärmeenergie 128,133,140,148,151,159, 200,204,206,209,214,216,221,224,239, 161,171,174,244,260,274,278,573,661, 242,248,259,263,265,272,276,279,363, 663 468,474,476,494,501,505,508,511,513, VVärmetauscher 73, 271 520,544,595,609,636,638,640,676 VVärmezufuhr 3, 141, 142, 163, 172, 183, Verdichterdruckverhältnis, optimales 169, 198,423,573,574,575,663,706 177,179,190,191,275 VVartungskosten 611,612 Verdichtergitter 283,286,320,321,322,323, VVassereinspritzung 77 348,349,420,493 VVellenleistungstriebwerk 1,13,17,32,37, Verdichterkennfeld 499,503,507,508,518, 38, 137, 139,251 602,605,637,639 VVellenvergleichsleistung 32, 134, 136,257 Verdichterpumpen 55,267,311,465,493, VVhittie Frank 4, 6, 7, 195 514,516,517,518,519,640 VVide Chord Fan Blades 50 Verdichterstufe 21,52,53,311,346,482, VViesner-Korrelation 358,359, 484 VVigglestrips 545 Verdichtertemperaturverhältnis 468 VVindmilling 43,512,514 Verdichterwirkungsgrad 60,299,467,468, VVirkungsgrad, isentroper 669, 672 472,473,474,481,505,586,595,668, VVirkungsgrad, mechanischer 677 669,671,673,676 VVirkungsgrad, polytroper 668, 672 Verdichterwirkungsgrad, isentroper 468,668 VVirkungsgrad, statischer 667 Verdichterwirkungsgrad, polytroper 420, VVirkungsgrad, totaler 666 472,669 VVinkelgeschwindigkeit 71,290,292,293, Verdichtungsstoß 44,320,321,416,442, 318,353,354,355,371,372,376,382, 444,445,460,463,464,575,657,712, 393,394,397,400,402 715,716,717,718,719 VVinkelübertreibung 285, 298 Verdichtungsstoß, schräger 44,321,449, VVirkende Scheibe (Theorie der) 405, 407 456,635,715,716,718,719 VVirkungsgrad, polytroper 475,668,669 Verdichtungsstoß, senkrechter 44,320,443, VVirkungsgrad, thermischer 152,239,260, 445,496,717 278 Verdünnungswelle 718 Verfestigung durch Teilchen 613 Zapfluft (bleed air) 18,57 Verlustleistung 146, 147,413,678 Zentrifugalbelastung 371 Verlustwirkungsgrad 253,254 Zentripetalbeschleunigung 391 Verpuffungsstrahltriebwerk 7 Zirkulation 323,324 Verzögerungsverhältnis nach de Haller 321 Z-Rings 547 Volumen, spezifisches 660,662,679,680, ZTL-Triebwerk 13,610 681,685 Zundern 618 Volumenabnahme 53,300 Zündkerze 61,62,64,67,81,540,556,557 Volumenzunahme 3,69,79,300,574,584, Zündung 62,81,534,549,555,556,557, 674 562,565,567 Vordiffusor 538 Zustandsgleichung, kalorische 679, 719 Vordrall 347,362 Zustandsgleichung, thermische 679,719 Vorkörperwiderstand 109, 113 Zuströmdreieck 352,427,522 Vortex Dissipater 48 Zuströmung, drallfreie 310 Vortrieb 1,3,9,52,143,146,147,148,351 Zwangsmischer (-mixer) 84, 93, 194, 232 Vortriebsleistung 6,36, 134, 135, 136, 147, Zweikreistriebwerk 6, 89 252,254,255,256,260 Zweistromtriebwerk 13,25,36, 105, 106 Vortriebswirkungsgrad 3,6, 14,22,36, 149, Zwischenluft 66, 67 150,151,152,162,165,175,177,189,