Universidade Federal Do Rio Grande Do Norte Centro De Ciências Exatas E Da Terra Departamento De Física Teórica E Experimental Programa De Pós-Graduação Em Física

universidade federal do rio grande do norte centro de ciências exatas e da terra departamento de física teórica e experimental programa de pós-graduação em física

ROTAÇÃO, ATIVIDADE MAGNÉTICA E A OCORRÊNCIA DE JUPITERIANOS QUENTES EM ESTRELAS FRIAS

JOÃO MARCELO MACHADO

natal-rn 2018 João Marcelo Machado

ROTAÇÃO, ATIVIDADE MAGNÉTICA E A OCORRÊNCIA DE JUPITERIANOS QUENTES EM ESTRELAS FRIAS

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física Teó- rica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de mestre em Física.

Orientador: Prof. Dr. José Dias do Nascimento Jr. Co-orientador: Prof. Dr. Jeﬀerson Soares da Costa

natal-rn 2018

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Machado, João Marcelo. Rotação, atividade magnética e a ocorrência de jupiterianos quentes em estrelas frias / João Marcelo Machado. - 2018. 118f.: il.

Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Física Teórica e Experimental, Programa de Pós-graduação em Física, PPGF, Natal, 2018. Orientador: Dr. José Dias do Nascimento Jr. Coorientador: Dr. Jefferson Soares da Costa.

1. Estrelas - Dissertação. 2. Rotação estelar - Dissertação. 3. Atividade estelar - Dissertação. 4. Jupiterianos quentes - Dissertação. I. Nascimento Jr., José Dias do. II. Costa, Jefferson Soares da. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 524.3

À Elenir Stival e Katyane Medeiros Agradecimentos

A minha mãe, Elenir Stival, pela vida e por todo o amor que existe no mundo. As minhas “segundas-mães”, Maria Eloí Machado e Diva Stival, por uma vida de ensinamentos e paciência. Às tias Sueli Stival e Sirlei Stival por todo o carinho e bons momentos em família. A todas elas pelo apoio psicológico e pela aceitação e motivação em minhas escolhas “diferentes” ao longo da vida.

A minha namorada, Katyane Medeiros, por sua paciência e tolerância nas horas de estresse e diﬁculdades e pelos incessantes momentos de amor e companheirismo. A vida se torna mais simples e agradável ao teu lado!

Ao meu orientador, Prof. Dr. José Dias do Nascimento Jr., tanto por seus ensinamentos quanto por sua maneira provavelmente exclusiva de transformar uma orientação em contínuos gestos de amizade e paciência.

Ao meu co-orientador, Prof. Dr. Jeﬀerson Soares da Costa, por todas as dúvidas sanadas e pela oportunidade em poder contribuir com o artigo que submetemos e que acabou sendo parte desta dissertação.

Aos integrantes do Grupo de Estrutura e Evolução Estelar (Ge3) da UFRN por terem me recebido de braços abertos e por todas as reuniões de grupo, astrocoﬀees e discussões gerais sobre Astronomia. Em especial ao Leonardo de Almeida pelas ótimas conversas sobre exoplanetas e ao Leandro de Almeida (Ted) pelo template do LaTeX.

Aos Professores da UFSC, Dr. Abilio Mateus Jr. e Dr. Raymundo Baptista, pelas orientações ao longo da graduação e pela motivação em seguir na área de Astrofísica.

I would like to thank Professors Dr. Edward Baron and Dr. Richard Henry both for their teachings and motivation during my internship in the University of Oklahoma as a REU student, as well as everyone from the Nielsen Hall Dept. of Physics and the Super-

i novae Research Group for all help and services.

Ao amigo-irmão Bruno Campigotto, pela amizade inﬁnita e por uma vida inteira dis- cutindo desde variantes de aberturas de xadrez até questões sobre a vida, o Universo e tudo o mais.

Aos amigos e colegas do curso de Física e do Grupo de Astrofísica (GAS) da UFSC. Em especial aos companheiros desde os tempos de martírio do Cálculo e das Físicas “bá- sicas”, Eduardo Lorenzon, Matheus Machado e Michele Tonet.

Aos amigos e colegas do Mestrado, sobretudo aos companheiros de sala Renato Dutra e José Roberto pela amizade e pelas muitas horas de estudo e discussões sobre Física.

Aos professores e funcionários do Departamento de Física Teórica e Experimental da UFRN pelos ensinamentos e excelentes serviços prestados ao longo desses dois anos.

À CAPES pelo apoio ﬁnanceiro.

ii We are all in the gutter, but some of us are looking at the stars.

Oscar Wilde Resumo

A rotação é fundamental em Astrofísica Estelar por ser responsável por vários fenô- menos com inﬂuência na formação e evolução estelar, tais como a geração e a topologia dos campos magnéticos associados e a transferência de momento angular. Sabe-se que as estrelas sofrem freio rotacional à medida que evoluem, apresentando transição nos valores das medidas de rotação a partir do tipo espectral F. Uma possível explicação para esse fenômeno está associada à atividade magnética, sustentada pelo processo de dínamo e pela rotação diferencial, outra diz respeito à dissipação por maré gravitacional nos casos de estrelas binárias ou com exoplanetas detectados. Neste trabalho desenvolvemos um modelo teórico para descrever as distribuições de frequência de velocidade rotacional projetada, vsini, para aproximadamente 10.000 estrelas de tipos espectrais F, G e K, incluindo uma amostra de gêmeas solares. Estudamos o freio rotacional por natureza magnética a par- 0 tir do estudo da atividade cromosférica, analisando o indicador log RHK , associado às linhas H e K do Ca II, e da atividade coronal, através de medidas de ﬂuxo de raios-X. Para estudar o mecanismo gravitacional, levamos em consideração uma amostra de 46 estrelas hospedeiras de planetas extrassolares conhecidos como jupiterianos quentes (JQs), detectados pelos métodos de trânsito e velocidade radial. Exploramos também a depen- dência da rotação com parâmetros orbitais e discutimos possíveis processos de formação e migração de JQs, analisando o desalinhamento spin-órbita, ou obliquidade (λ), e a excentricidade desses sistemas. Nosso modelo teórico se mostra válido por recuperar a lei de Skumanich, fundamental no contexto da girocronologia, e por descrever adequadamente as estrelas com baixas rotações. A partir da amostra de gêmeas solares, determinamos também que a distribuição interna do momento angular pode ser um dos fatores associados à transição rotacional observada entre estrelas cujos envelopes convectivo e radiativo se encontram em diferentes profundidades. Do ponto de vista observacional, não notamos uma dependência direta entre rotação e a presença de JQs, contudo mostramos uma clara correlação entre os valores de vsini e atividade, de modo que o freio rotacional está mais provavelmente conectado à perda de massa por ventos magneticamente acoplados. Ex-

iv plorando a amostra planetária, percebemos uma ligeira tendência de JQs mais massivos serem encontrados em órbitas alinhadas. Revisitando trabalhos anteriores, determinamos que estrelas centrais com temperaturas menores que ∼ 6020K e massas menores que ∼

1.15M se encontram em sistemas aproximadamente alinhados, enquanto estrelas acima desses limites mostram uma grande dispersão nos valores de λ. Também foi notada uma dependência de λ com o tipo espectral, com as estrelas F apresentando um grande espalhamento nos valores de obliquidade. Esses três resultados podem estar relacionados ao fato de estrelas com essas características sofrerem fraca dissipação por maré devido a suas ﬁnas zonas convectivas, resultando em um lento realinhamento orbital nos respectivos sistemas. Palavras-chave: rotação estelar, atividade estelar, Jupiterianos quentes.

v Abstract

Rotation is fundamental in Stellar Astrophysics for being responsible for several phe- nomena with influence on the stellar formation and evolution, such as the generation and topology of the associated magnetic fields and the angular momentum transfer. It is known that stars undergo rotational braking as they evolve, showing a transition in the values of rotational measurements from the F spectral type. A possible explanation for this phenomenon is associated with magnetic activity, sustained by the dynamo pro- cess and differential rotation, another possible explanation regards the dissipation due to gravitational tides in the cases of binary stars or stars with detected exoplanets. In this work, we developed a theoretical model to describe the frequency distributions of projec- ted rotational velocities, vsini, for approximately 10.000 stars of F, G, and K spectral types, including a sample of solar twins. We studied the rotational braking due to magne- 0 tic nature from the study of chromospheric activity by analyzing the log RHK indicator, associated with the Ca II H and K lines, and the coronal activity through measurements of X-ray flux. To study the gravitational mechanism we take into account a sample of 46 stars hosting extrasolar planets known as hot Jupiters (HJs), detected through transit and radial velocity methods. We also explored the dependence between stellar rotation and orbital parameters and discussed possible processes of formation and migration of HJs, by analyzing the spin-orbit misalignment, or obliquity (λ), and the eccentricity of these systems. Our theoretical model is valid since it recovers the Skumanich law, which is fundamental in the context of gyrochronology, and properly describes the stars with low rotation values. From the solar twins’ sample, we have also determined that the internal distribution of angular momentum may be one of the factors associated with the rotational transition observed between stars whose convective and radiative envelopes are found in different depths. From the observational point of view, we did not notice a direct dependence between rotation and the presence of HJs, however we showed a clear correlation between the values of vsini and activity, so that the rotational braking is more probably connected to the mass loss from magnetically-coupled winds. Exploring the planetary

vi sample we noticed a slight tendency for more massive HJs to be found in aligned orbits. Revisiting previous works, we have determined that stars with temperatures lower than

∼ 6020K and masses lower than ∼ 1.15M are found in approximately aligned systems, whereas stars above these limits exhibit a great dispersion in the values of λ. We also noticed a dependence between λ and the spectral type, where F stars show a great spread in the obliquity values. These three results may be related to the fact that stars with these characteristics undergo weak tidal dissipation due to their thin convective zones, resulting in a slow orbital realignment in the respective systems. Keywords: stellar rotation, stellar activity, hot Jupiters.

vii Lista de Figuras

1.1 Rotação diferencial no Sol...... 3 1.2 Representação geométrica da velocidade rotacional projetada...... 4 1.3 Lei de Skumanich...... 6 1.4 Zonas convectiva e radiativa em função da massa estelar...... 8 1.5 Estrutura do Sol...... 9 1.6 Modelo atmosférico de Vernazza et al. (1981)...... 11 1.7 Distribuição dos planetas detectados ao longo dos anos...... 13

2.1 Fator de freio como função da idade estelar...... 20 2.2 Diagrama de borboleta para o ciclo de atividade solar...... 21 2.3 Efeitos alfa e ômega...... 22 2.4 Efeito Rossiter-Mclaughlin...... 28

3.1 Distribuições de vsini para todas as estrelas F e K...... 32 3.2 Distribuições de vsini para todas as estrelas G e gêmeas solares...... 33 3.3 Comparação entre valores de temperatura efetiva da literatura com os calculados neste trabalho...... 35 3.4 Diagrama H-R para a amostra de estrelas F, G e K do catálogo Geneva- Copenhagen Survey...... 37 3.5 Distribuição de metalicidades para a amostra de estrelas F, G e K do ca- tálogo Geneva-Copenhagen Survey...... 38 3.6 Diagrama H-R para as estrelas F, G e K de Reiners e Schmitt (2003) e gêmeas solares de dos Santos et al. (2016)...... 39 3.7 Exemplo de um espectro típico do Observatório Keck...... 41 3.8 Traçados evolutivos para as gêmeas solares calculados com o código TGEC. 46 3.9 Diagrama massa-período para todos os exoplanetas conﬁrmados...... 47 3.10 Diagrama H-R para todas as estrelas hospedeiras de jupiterianos quentes.. 48 3.11 Distribuição dos jupiterianos quentes no diagrama Massa-Semi-eixo maior. 49

viii LISTA DE FIGURAS

4.1 Diagrama H-R para as estrelas de Reiners e Schmitt (2003) em função de vsini...... 51 4.2 Distribuição do momento angular especíﬁco < j > em função da massa estelar para a amostra de gêmeas solares...... 54 4.3 Curvas teóricas de vsini produzidas por nosso modelo...... 56 4.4 Distribuição teórica de vsini para as estrelas F...... 57 4.5 Distribuição teórica de vsini para as estrelas G...... 58 4.6 Distribuição teórica de vsini para as estrelas K...... 59 4.7 Distribuição teórica de vsini para as gêmeas solares...... 60 4.8 Relação rotação-atividade cromosférica para estrelas F, G, K e gêmeas solares. 64 4.9 Relação rotação-atividade cromosférica para estrelas hospedeiras de jupiterianos quentes...... 65 4.10 Relação rotação-atividade coronal para gêmeas solares e estrelas F, G e K com e sem jupiterianos quentes detectados...... 66 4.11 Distribuição de vsini em função da temperatura efetiva...... 68 4.12 Relação rotação-excentricidade em função do tipo espectral...... 69 4.13 Relação rotação-obliquidade em função do tipo espectral...... 70 4.14 Relações entre a obliquidade e demais parâmetros estelares e orbitais.... 71 4.15 Relação entre massa planetária e semi-eixo maior em função da obliquidade. 72

ix Lista de Tabelas

3.1 Coeficientes para o cálculo da temperatura efetiva...... 35 3.2 Coeficientes para o cálculo da correção bolométrica...... 36 3.3 Definições de análogas e gêmeas solares segundo Galeev et al. (2004).... 44

B.1 Amostra de estrelas F, G e K de Reiners e Schmitt (2003)...... 95 B.2 Amostra de gêmeas solares de dos Santos et al. (2016)...... 97

C.1 Amostra de Jupiterianos quentes...... 100

x Conteúdo

Agradecimentosi

Resumo iv

Abstract vi

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelasx

Conteúdo xii

1 Introdução1 1.1 Breve histórico sobre rotação estelar...... 1 1.2 Estrutura e atividade...... 7 1.3 Exoplanetas...... 12 1.4 Plano de trabalho...... 13

2 Fundamentação Teórica 14 2.1 Rotação Estelar...... 14 2.1.1 Funções de distribuição de vsini...... 17 2.1.2 Leis de freio rotacional e girocronologia...... 18 2.2 Dínamo Estelar e Magneto-hidrodinâmica...... 20 2.2.1 Equação de Indução...... 23 2.3 Jupiterianos quentes...... 25 2.3.1 Teorias de formação e migração...... 26 2.3.2 Efeito Rossiter-MacLaughlin...... 27 2.3.3 Desalinhamento spin-órbita...... 29

3 Dados Observacionais 30 3.1 Base de dados...... 30

xi CONTEÚDO

3.1.1 Diagramas H-R e Parâmetros Estelares...... 34 3.1.2 Atividade Cromosférica...... 39 3.1.3 Atividade Coronal...... 41 3.2 Gêmeas Solares...... 43 3.2.1 O código de evolução Toulouse-Geneva (TGEC)...... 45 3.3 Amostras Planetárias...... 46

4 Resultados e Discussões 50 4.1 Evolução da Rotação...... 50 4.2 Momento angular das gêmeas solares...... 52 4.3 Distribuições de vsini...... 54 4.4 Mecanismos de freio rotacional...... 63 4.4.1 Relação rotação-atividade...... 63 4.4.2 Planetas extrassolares...... 66 4.5 Dependência da rotação com parâmetros orbitais...... 67 4.5.1 Obliquidade e parâmetros estelares...... 69

5 Conclusões e Perspectivas 73 5.1 Conclusões...... 73 5.2 Perspectivas...... 76

Referências bibliográﬁcas 77

A Cálculos do modelo de freio rotacional 91

B Amostras estelares 94

C Amostra planetária 100

D Publicações 103

xii Cap´ıtulo 1 Introdução

"To conﬁne our attention to terrestrial matters would be to limit the human spirit."

Stephen Hawking

1.1 Breve histórico sobre rotação estelar

O estudo da rotação estelar é fundamental em Astrofísica por diversas razões, entre outras, por ser o responsável pela compreensão de vários fenômenos com impacto na formação e evolução estelar, influenciando desde a geração e a topologia dos campos mag- néticos, até os processos de nucleossíntese, mistura convectiva de elementos químicos e a transferência de momento angular. A rotação está presente em todos os intervalos de massa, tipos espectrais e estágios evolutivos, desde estrelas na pré-sequência e sequência principal até estrelas evoluídas, como as subgigantes e gigantes. A rotação influencia os processos físicos durante toda a evolução estelar, desde seu estágio de protoestrela, onde há a distribuição de momento angular, até seus estágios finais, que dependem sobretudo da massa da estrela. Apesar da vasta literatura sobre o assunto, uma completa descri- ção teórica sobre o comportamento rotacional em estrelas de diversos estágios evolutivos e tipos espectrais ainda permanece como um dos maiores desafios da Astrofísica moderna.

Os primeiros indícios de que o Sol possuía rotação são provenientes de observações de manchas solares registradas em documentos que remontam à China antiga (Schove 1955; Wittmann 1978), no entanto, o estudo formal da física da rotação estelar começou a ser realizado apenas no início do século XVII, quando as manchas foram observadas pela primeira vez através de um telescópio refrator. Notou-se que as manchas no Sol

1 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO moviam-se na direção oeste através do disco solar. O primeiro anúncio deste fenômeno foi realizado por Johannes Fabricius (1587-1617) na Alemanha, em seu trabalho intitu- lado De maculis in Sole observatis et apparente earum cum Sole conversione, publicado em 1611. Fabricius propôs que a variação no movimento das manchas ao longo do disco solar poderia ser resultado do efeito de projeção1, com as manchas estando situadas na superfície do Sol, contrariamente ao que propunha Christoph Scheiner (1573-1650), cuja teoria baseava-se na hipótese de que as manchas eram planetas em órbita de um Sol estático. Em 1612, Galileu Galilei (1564-1642) tornou públicas suas três cartas no trabalho Istoria e Dimostrazioni intorno alle Macchie Solari e loro Accidenti conﬁrmando a descoberta de Fabricius ao observar o alargamento próximo ao limbo e a aceleração das manchas à medida que se aproximavam do centro solar. Em 1630, Scheiner observou que as manchas próximas ao equador solar rotacionavam com velocidade maior que aquelas em altas latitudes. Uma longa série de observações das manchas realizada por Richard Carrington (1826-1875) e Gustav Sporer (1822-1895), por volta de 1850, levou Hervé Faye (1814-1902) a propor uma expressão que relaciona a taxa de rotação solar com o ângulo correspondente à latitude da mancha (eq. 1.1):

Ω = 14◦37 − 3◦10 sin2 φ graus/dia. (1.1)

Avanços em espectroscopia possibilitaram um estudo mais detalhado da rotação, a começar pelo método do deslocamento Doppler das linhas espectrais nas extremidades opostas do disco solar para a determinação da taxa de rotação do Sol, proposto por Her- mann Carl Vogel (1841-1907). Em 1877, Sir William de W. Abney, tendo o conhecimento de que o espectro solar era composto pela radiação proveniente de todas as partes do disco, sugeriu que a rotação axial causasse o alargamento observado em determinadas linhas de absorção, mostrando que a medida que o Sol rotacionava, os comprimentos de onda da parte que se aproxima do observador eram deslocados para o azul (blueshift), enquanto que os da parte que se afasta eram deslocados para o vermelho (redshift)(Abney, 1877). Esse fenômeno é hoje conhecido como efeito Doppler relativístico.

No início do século XX, Nils Dunér (1839-1914) e Jakob Halm (1866-1944) confirma- ram a expressão 1.1 ao fazerem um mapeamento do campo de velocidades da superfície solar, cobrindo latitudes desde o equador até os pólos. Esses dois astrônomos compararam as medidas da taxa de rotação determinadas a partir das manchas com as determinadas por espectroscopia, mostrando serem compatíveis. Assim ficou estabelecido que o Sol não girava como um corpo rígido. Esse fenômeno ficou conhecido como rotação diferencial e

1Alargamento das manchas ao se aproximarem dos limbos do Sol (ver Archenhold, 1941).

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Figura 1.1: Rotação diferencial no Sol. Taxa de rotação Ω em função da latitude e profundidade solares. A partir da zona convectiva (r/R & 0.71) observamos uma evidente variação na rotação tanto em termos da latitude como da profundidade. Na camada inferior, a zona radiativa apresenta rotação aproximadamente rígida. Ω é medido em nHz (nanohertz) e R é o raio solar. As setas indicam as latitudes 0◦, 30◦ e 60◦. Adaptado de Kosovichev et al.(1997). está esquematizado na ﬁgura 1.1, onde vemos que a taxa de rotação é maior no equador (0◦) do que próximo aos pólos (60◦)2. A ﬁgura 1.1 também elucida o fato de que o Sol possui rotação diferencial para diferentes profundidades, sendo maior próxima ao núcleo e apresentando rotação aproximadamente rígida na zona radiativa. Através de estudos de heliosismologia3, Fossat et al.(2017) mostraram que o Sol possui rotação aproximadamente quatro vezes maior no núcleo que na superfície. Este recente e importante trabalho ainda não foi devidamente explorado na literatura.

O primeiro estudo sistemático sobre a rotação estelar foi realizado por Shajn & Struve (1929) utilizando um método gráﬁco para a análise dos perﬁs das linhas alargadas devido à rotação, sendo assim possível a determinação da velocidade rotacional projetada vsini, onde v é a velocidade equatorial da estrela e i é o ângulo de inclinação em relação à

2A superfície solar gira com períodos variando desde 25 dias próximo ao equador até 35 dias nos pólos. 3Estudo das oscilações provenientes do interior solar.

3 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Figura 1.2: Representação esquemática de uma estrela com inclinação i em relação à linha de visada mostrando as velocidades rotacionais equatorial (v) e projetada (vsini). linha de visada do observador (fig. 1.2). Posteriormente, Elvey(1930) fez importantes avanços ao estudar a rotação de 59 estrelas de tipos espectrais O, B, A e F utilizando o método gráfico para a análise da linha de Mg II 4481 Å. Struve(1930) foi o primeiro a mostrar a dependência da velocidade rotacional com o tipo espectral e a afirmar que as estrelas de tipo precoce apresentavam rotações mais elevadas, chegando até 250 km.s−1, enquanto estrelas de tipo tardio, com exceção de algumas binárias de tipo F, possuíam baixos valores de vsini, com o Sol apresentando vsini de aproximadamente 2 km.s−1.

Estudos estatísticos sobre a rotação estelar se tornaram necessários dada a impossibilidade de se obter o valor verdadeiro da velocidade rotacional a partir de medidas espectroscópicas. A análise espectral fornece apenas o valor da velocidade rotacional projetada (ou aparente). Em 1945, Struve aﬁrmou não haver dependência do eixo de rotação com a posição da estrela na Galáxia (Struve, 1945), de modo que a distribuição dos ân- gulos de inclinação seria aleatória. Desta forma, apesar do conhecimento de vsini para uma única estrela parecer não ser informação suﬁciente, uma amostra estatisticamente relevante poderia agora ser estudada, uma vez que assim podemos relacionar a média da velocidade equatorial < v > com a média da velocidade projetada < vsini >, onde o valor

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO de < sini > é numericamente igual a π/4 (Chandrasekhar & Münch 1950; Gray 1992), dada a hipótese da aleatoriedade dos eixos. Até então a resolução espectral era limitada para o estudo de estrelas com valores de velocidade projetada elevados ou moderados

(M > 1.5 M ). Slettebak(1949) realizou um estudo estatístico para 123 estrelas de tipos espectrais O e B, comprovando a ausência de correlação entre os valores de vsini e as coordenadas galácticas.

Um problema atual sobre a rotação estelar é a perda de momento angular ao longo de sua evolução. O mecanismo mais viável para explicar esse fenômeno de freio rotacional em estrelas de baixa massa costuma ser atribuído à atividade magnética, através da ejeção de massa por ventos magneticamente acoplados (Schatzman 1962; Mestel & Roxburgh 1962). Os trabalhos observacionais realizados por Wilson(1966a,b) no Obser- vatório Monte Wilson foram pioneiros no estudo sobre a relação entre rotação e atividade magnética por meio de indicadores de atividade cromosférica (linhas de Ca II H e K) e medidas de vsini. Para mais de 300 estrelas de campo, Wilson mostrou que as velocidades rotacionais são maiores em estrelas com alta emissão de Ca II, estando as estrelas de tipo solar na situação oposta, com pouca rotação e baixa atividade cromosférica. Kraft (1967b) estudou a relação desses dois parâmetros com a idade estelar para os aglomerados Híades e Plêiades, concluindo que as estrelas mais jovens possuem maior emissão de Ca II. Esses trabalhos foram essenciais para corroborar a teoria de que a rotação decai com a idade por meio de um mecanismo de freio magnético. Alguns autores apontam, ainda, para a possibilidade do decréscimo na rotação ser causada por efeitos gravitacionais, tais como a interação estrela-planeta (Ferraz-Mello et al., 2015, 2016; Huang, 1965, 1967) e estrela-disco (Gallet, 2014).

Um outro importante estudo sobre a relação rotação-idade foi realizado por Skuma- nich(1972) ao propor a lei empírica v ∝ t−0.5 ao estudar os aglomerados de Híades (600 Mega-anos), Ursa Maior (120 Mega-anos) e Plêiades (70 Mega-anos). Essa lei estabelece a ideia inicial correspondente aos estudos da girocronologia. A evolução rotacional descrita por Skumanich, além de ter sido compatível com a teoria de perda de momento angular proposta por Schatzman(1962), também trouxe a relação da idade com a atividade cromosférica (emissão de Ca+) e a abundância de lítio, mostrando um decréscimo em todos esses parâmetros. A ﬁgura 1.3 mostra os resultados obtidos por Skumanich(1972). Nos últimos anos, devido ao grande número de observações fotométricas e aos avanços no estudo da girocronologia, foi possível determinar idades estelares a partir dos períodos de rotação para os tipos espectrais F, G, K e M com erros da ordem de 15% (e.g. Barnes 2007).

Como mencionado, o estudo da rotação estelar é bastante amplo e, devido à grande

5 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Figura 1.3: Lei de Skumanich. Velocidade rotacional, abundância de lítio (Li) e emissão de Ca+ decaindo em função da idade, descritas pela relação t−1/2. Após aproximadamente a idade das Híades, o Li passa a decair exponencialmente. (Skumanich 1972). quantidade de dados obtida nos últimos anos, os astrônomos frequentemente dedicam-se a analisar estrelas em determinado intervalo de massas, metalicidades, tipos espectrais, estágios evolutivos, sistemas binários ou em grupos, ou ainda estrelas com ou sem planetas detectados. Na primeira parte deste trabalho segregaremos as estrelas por tipos espectrais, analisando apenas estrelas simples de tipos F, G e K, além de algumas gêmeas solares4, estudando suas respectivas distribuições observadas de vsini e buscando uma explicação estatístico-fenomenológica com base na lei empírica de Skumanich(1972) e no modelo teórico proposto por Chandrasekhar & Münch(1950). Este modelo será descrito no Capítulo 2.

Na segunda parte do trabalho faremos um estudo de caráter observacional com dados de atividade cromosférica e coronal, bem como utilizando uma base de dados de estrelas

4Grupo particular de estrelas de tipo espectral G com características similares às do Sol. Detalhes no Capítulo 3.

6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO hospedeiras de planetas jupiterianos quentes (JQs) a ﬁm de compararmos a atividade magnética e a interação por maré como dois possíveis mecanismos de freio rotacional. Finalmente, analisaremos uma amostra de JQs com o objetivo de estudar a relação das propriedades físicas (rotação, temperatura e massa) das estrelas hospedeiras com parâ- metros orbitais, como obliquidade e excentricidade. Desta forma, breves descrições sobre a estrutura e a atividade estelares, bem como sobre exoplanetas e JQs são importantes para o decorrer deste manuscrito.

1.2 Estrutura e atividade

Sabe-se que as estrelas formam-se mediante o colapso gravitacional de densas con- centrações de gás e poeira a baixas temperaturas, conhecidas como nuvens moleculares. Durante o colapso, a conservação do momento angular faz com que a nuvem tome a forma de um disco, cuja região central, mais densa e quente que seu entorno, se torna propícia para a formação da protoestrela. A matéria continua a ser atraída em direção à protoestrela até serem iniciados os processos de fusão nuclear no centro do objeto em formação. Uma vez iniciada a queima de hidrogênio no núcleo, a protoestrela evolui para a fase de T-Tauri5 até chegar à sequência principal, onde permanece a maior parte de sua vida. A posição e o tempo da estrela na sequência principal depende da massa inicial resultante do processo de formação. A estrutura interna da estrela também é, em primeira ordem, dependente de sua massa. Estrelas com aproximadamente a massa solar apresentam zona convectiva em uma camada inferior à zona radiativa, enquanto estrelas mais massivas (M

> 1.5 M ) mostram uma inversão nessa estrutura. Estrelas com massas menores que 0.5

M são totalmente convectivas, caso, por exemplo, das anãs vermelhas (ﬁg. 1.4). Essa diferença na localização das envoltórias convectiva e radiativa impacta diretamente na rotação e nos processos magnéticos.

Sabendo que estrelas praticamente não apresentam variações dentro de uma escala de tempo curta, podemos determinar a estrutura estelar a partir do conhecimento de parâme- tros fundamentais como massa, pressão, temperatura e densidade. As condições básicas que governam a evolução temporal desses parâmetros são descritas por meio de equações diferenciais, tais como as equações da conservação de massa, do equilíbrio hidrostático e da conservação e transporte de energia. A conservação de massa descreve como a massa varia com a densidade e o raio (eq. 1.2). No equilíbrio hidrostático, a força gravitacional é equilibrada pela força de pressão exercida pelo gás. Oscilações entre os valores dessas duas forças resultam na mudança da conﬁguração interna da estrela e estão diretamente

5Estrelas variáveis no estágio inicial de formação ainda encontradas no interior de nuvens moleculares, cuja duração é de ∼ 10 Mega-anos.

7 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Figura 1.4: Zonas convectiva e radiativa em função da massa estelar. http: // www. sun. org . associadas aos processos evolutivos (eq. 1.3).

∂m = 4πr2ρ, (1.2) ∂r

∂P Gm = − ρ. (1.3) ∂r r2

De forma simpliﬁcada, podemos dizer que as estrelas são formadas por uma região interna e pela atmosfera. A atmosfera divide-se em fotosfera, cromosfera e coroa, enquanto seu interior compõe-se de zona radiativa, zona convectiva e núcleo. A ﬁgura 1.5 mostra esquematicamente essas regiões. O núcleo do Sol possui densidade de aproximadamente 150 g.cm−3 e temperatura da ordem de 1.5 × 107K. É no núcleo que ocorre o início da produção de energia no Sol, a partir da transformação de átomos de hidrogênio em hélio por meio da fusão nuclear. Essa reação libera energia em forma de fótons, neutrinos e outras partículas. O processo de geração e liberação de energia é descrito pela condição de conservação de energia, onde representa a taxa de geração de energia por unidade de massa (eq. 1.4).

∂L = 4πr2ρ. (1.4) ∂r

8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Figura 1.5: Estrutura do Sol. Fonte: http: // astro. if. ufrgs. br/ esol/ esol. htm .

A luz produzida pela fusão no núcleo estelar é transportada para a camada seguinte, conhecida como zona radiativa. Apesar de a densidade diminuir à medida que nos dis- tanciamos do núcleo, na zona radiativa essa densidade é ainda bastante elevada, fazendo com que fótons sofram reﬂexões em todas as direções, levando cerca de 105 anos para que ocorra o transporte radiativo nesta camada. A zona convectiva é a responsável pelo seguimento do transporte de energia até a superfície do Sol. Nesta região, o transporte de energia ocorre através do processo de convecção, que consiste no movimento de elementos de massa, formando as chamadas correntes de convecção, onde o plasma aquecido no centro sobe em direção à superfície. Em suma, os mecanismos de transporte de energia, radiativo e convectivo, dependem do gradiente de temperatura, representado por ∇ como exposto na equação 1.5. A equação de transporte energético nos permite estimar o gradiente de temperatura em cada ponto da estrela. A expressão para o transporte radiativo (∇ = ∇rad) pode ser vista na equação 1.6. Se ∇rad excede o gradiente de temperatura adiabática ∇ad = (∂lnT/∂lnP )S, o transporte passa a ser convectivo. O cálculo do gradiente convectivo ∇conv depende de modelos de convecção, nesse caso geralmente é utilizada a teoria de comprimento de mistura (MLT6).

6Mixing-length theory. Modelo que descreve o transporte de energia em um ﬂuido turbulento por meio de um parâmetro de comprimento que preserva as características globais do ﬂuido.

9 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

∂T GmT = − ∇, (1.5) ∂m 4πr4P

3 κρL ∇ = − , (1.6) rad 16πac T 3r2 onde a é densidade de radiação, κ é o coeﬁciente de absorção e c representa a velocidade da luz.

Na atmosfera, a coroa é a camada mais externa, seguida da cromosfera. No espectro óptico, essas duas camadas do Sol são ofuscadas pela alta taxa de radiação proveniente da fotosfera, tornando-se visíveis a olho nu apenas na ocasião de eclipses totais. A fotosfera está localizada imediatamente acima da superfície do Sol, apresentando uma espessura de 300 a 500km com temperatura média de 6000K. Nessa região, além das manchas escuras, outra forma de manifestação de atividade é a granulação, fenômeno associado ao cresci- mento das células convectivas que transportam energia por convecção, sendo ﬁnalmente liberada na fotosfera em forma de radiação.

A cromosfera solar se encontra logo acima da fotosfera e possui espessura de aproximadamente 1500km. Ao analisar os espectros da cromosfera e da coroa do Sol, Edlén (1945) notou várias linhas de emissão de elementos ionizados, levando posteriormente à conclusão de que a temperatura na atmosfera solar cresce desde 5700K nas regiões mais frias da fotosfera até aproximadamente 7000K na cromosfera, e sendo muito mais quente na coroa (∼ 106K). Fenômenos como as espículas, descobertas por Roberts(1945) e as macroespículas (Bohlin et al., 1975) são indicativos de variações na estrutura da cromosfera. A intensa emissão das espículas na linha Hα resulta na coloração avermelhada do anel em torno do disco solar, visível durante um eclipse total, enquanto que as macro- espículas são mais quentes e brilhantes na região espectral do ultravioleta. No entanto, em determinadas profundidades a observação de bandas de CO (monóxido de carbono) indica a presença de gás frio na cromosfera (Solanki et al., 1994). Essas observações demonstram que a cromosfera trata-se de uma camada extremamente não-homogênea e com alta variabilidade, de tal forma que uma série de modelos teóricos e semi-empíricos foram propostos ao longo dos anos a ﬁm de descrevê-la (e.g. Anderson & Athay 1989; Carlsson & Stein 1992; Fontenla et al. 1993; Avrett 1995). Uma das primeiras modeliza- ções da cromosfera foi apresentada por Vernazza et al.(1981), onde podemos encontrar uma descrição completa da atmosfera solar em termos das profundidades, densidades e temperaturas (Figura 1.6).

Na prática, o estudo da atividade cromosférica se dá através da variação na profundidade das linhas H e K do Ca II. Essas linhas apresentam uma componente de absorção

10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Figura 1.6: Distribuição de temperaturas, densidades e profundidades no Sol com as principais linhas de emissão em cada região, de acordo com o modelo atmosférico de Vernazza et al.(1981). devido à fotosfera e uma de emissão devido à cromosfera. Em especial, como o centro das linhas apresenta emissão devido à cromosfera, os indicadores de atividade cromosférica são oriundos das medidas dessas linhas.

Na coroa estelar, a camada mais externa e rarefeita do Sol, fenômenos como erupções (ﬂares) e ejeções de massa coronal são indicativos de atividade. A elevada temperatura é a responsável pela forte emissão de raio-X oriunda da coroa. É sabido que em estrelas de tipo tardio o campo magnético tem papel importante no processo de aquecimento coronal, embora os detalhes desse fenômeno ainda sejam temas de intensas pesquisas. O estudo da atividade coronal se dá costumeiramente através da fração da luminosidade proveniente do espectro de raio-X.

11 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

De maneira geral, o estudo da atividade estelar, além de nos permitir obter informações detalhadas sobre aspectos atmosféricos, também nos fornece um importante diagnóstico sobre a estrutura, a evolução e o magnetismo estelar. Os fenômenos que a atividade cro- mosférica engloba estão diretamente conectados ao campo magnético e, por consequência, à zona convectiva e à rotação da estrela. Com base no que conhecemos hoje, essa conexão é feita, naturalmente, através da teoria do dínamo e será abordada no capítulo seguinte.

1.3 Exoplanetas

A existência de vida em outros planetas sempre instigou a curiosidade humana e é cer- tamente um dos questionamentos mais profundos dos pontos de vista científico e filosófico. Especulações sobre a existência de outras Terras existem desde o filósofo grego Epicurus, como encontrado em uma de suas cartas a Heródoto (300 A.C.): "Há infinitos mundos tanto semelhantes como distintos do nosso próprio". Até recentemente, entretanto, essa hipótese não podia ser confirmada ou refutada. Todo o nosso conhecimento sobre sistemas planetários provinha do nosso próprio Sistema Solar, do qual todas as teorias sobre formação e dinâmica planetárias haviam sido derivadas.

A primeira descoberta de um planeta extrassolar aconteceu apenas em 1992, quando Wolszczan e Frail encontraram um sistema multi-planetário orbitando o pulsar PSR B1257+12 (Wolszczan & Frail, 1992). Três anos depois, 51 P egasi b foi o primeiro exoplaneta descoberto a orbitar uma estrela da sequência principal (Mayor & Queloz 1995; Marcy & Butler 1995). Esse exoplaneta apresenta período orbital de aproximadamente quatro dias, massa de 0.47 Mjup e distância de 0.05 AU em relação a sua estrela hospe- deira (por comparação, Mercúrio apresenta um semi-eixo maior de 0.39 AU). À época, esses parâmetros eram incompatíveis com as teorias de formação e dinâmicas planetárias conhecidas, dada a sua massa da ordem da massa de Júpiter e sua pequena distância à estrela. Desde então, um vasto número de exoplanetas têm sido descobertos a cada ano através de diferentes métodos de detecção, tais como trânsito planetário, velocidade radial, cronometria de pulsares, imageamento direto, microlentes gravitacionais, entre outros. Descrições completas sobre as técnicas de detecção podem ser encontradas, por exemplo, no trabalho de Fischer et al.(2014). Na ﬁgura 1.7 vemos a distribuição das descobertas de planetas conﬁrmados ao longo dos anos para cada método, de acordo com o NASA Exoplanet Archive em 25 de Janeiro de 2018. Posteriormente, muitos outros exoplanetas com características semelhantes à 51 P egasi b foram detectados, sobretudo via trânsito e velocidade radial, e hoje são conhecidos como jupiterianos quentes (JQs) (Schilling, 1996). Neste trabalho estamos interessados em estudar, entre outros aspectos,

12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Figura 1.7: Distribuição dos planetas conﬁrmados ao longo dos anos, incluindo todos os métodos de detecção. https: // exoplanetarchive. ipac. caltech. edu . a inﬂuência desses planetas sobre suas estrelas centrais, particularmente estrelas do tipo solar.

1.4 Plano de trabalho

Este trabalho está organizado da seguinte forma: no capítulo 1 introduzimos o contexto do trabalho. No capítulo 2 faremos uma revisão dos conceitos e aspectos teóricos sobre os modelos de rotação que utilizaremos e sobre os possíveis mecanismos de freio. No capítulo 3 apresentaremos os dados observacionais que compõem nossa amostra de estudo. No capítulo 4 serão expostos os resultados e as discussões. Por ﬁm, no capítulo 5 apresentaremos as conclusões e perspectivas.

13 Cap´ıtulo 2 Fundamentação Teórica

"A scientist is happy, not in resting on his attainments but in the steady acqui- sition of fresh knowledge.”

Max Planck

Neste capítulo apresentaremos alguns aspectos teóricos importantes para a compre- ensão da evolução da rotação estelar, assim como fundamentais para a interpretação das observações.

2.1 Rotação Estelar

Há basicamente quatro técnicas para se determinar a rotação de uma estrela, são elas: fotometria, espectroscopia, interferometria e sismologia. A primeira consiste em estudar a modulação fotométrica da curva de luz para o caso de estrelas com manchas na superfície, o que possibilita a derivação do período de rotação, Prot. Essa técnica tem vantagens em relação à espectroscopia por não depender de efeitos de natureza geométrica e o pe- ríodo é facilmente convertido em velocidade angular usando a expressão Ω = 2π/Prot. Em contrapartida, esse método requer intenso monitoramento fotométrico e uso contínuo de técnicas de processamento de sinais em curvas de luz para a identiﬁcação correta da componente periódica como sendo devida à rotação. Uma enorme quantidade de dados de Prot a partir de curvas de luz utilizando esse método foi determinada pelos satélites CoRoT1 e Kepler. McQuillan et al.(2014), por exemplo, determinou mais de 34000 pe- ríodos rotacionais para estrelas da sequência principal a partir de dados do satélite Kepler.

1COnvection ROtation and planetary Transits.

14 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A técnica de interferometria é limitada para estrelas próximas que possuem valores elevados de velocidade rotacional, sendo predominantemente utilizada com o objetivo de resolver espacialmente o disco estelar e para determinar o grau de achatamento equatorial devido à força centrífuga resultante da rápida rotação (van Belle, 2012). Essa técnica, combinada com a espectroscopia, pode nos fornecer também medidas da posição angular do eixo de rotação, sendo possível, dessa forma, determinar a inclinação da estrela (Bouvier, 2013). Mais recentemente, a sismologia estelar, ou asterosismologia, tem se mostrado uma importante técnica na determinação da rotação interna e de idades estelares, sendo relevante na calibração de relações provenientes da girocronologia, que utiliza a rotação como um indicativo da idade. Essa técnica tem sido aplicada para uma ampla variedade de estrelas (Charpinet et al. 2009; Kurtz et al. 2014), incluindo estrelas de tipo solar (Davies et al., 2015) e se baseia no estudo de pequenas perturbações nas frequências de oscilação, caracterizadas pelos modos de pressão (modos-p) no envelope estelar e de gravitação (modos-g) referentes à região interna da estrela.

Neste trabalho, porém, utilizaremos dados de rotação determinados a partir da técnica de espectroscopia, isto é, medidas de velocidade rotacional projetada, vsini. Na técnica de espectroscopia, a velocidade rotacional projetada é medida a partir da largura de linhas espectrais. Para uma estrela em rotação cuja linha de visada esteja no plano equatorial, um de seus lados irá se mover em direção ao observador e o outro no sentido contrário, se afastando. Esse fenômeno é conhecido como deslocamento Doppler e não é observado se a linha de visada estiver ao longo do eixo de rotação.

As primeiras medidas de velocidade rotacional projetada foram obtidas por Struve & Elvey(1931). Essas observações revelaram uma forte dependência de vsini com os tipos espectrais, fenômeno este que se tornou um grande enigma em Astrofísica Estelar por muitos anos. Schatzman(1962) foi o primeiro autor a estudar a transição rotacional entre os envelopes convectivo e radiativo, mostrando que ela ocorre em estrelas de tipo espectral F. Desde os trabalhos pioneiros de Wilson(1966a) e Kraft(1967a) é normalmente aceito que estrelas frias, em geral, sofrem um processo de freamento rotacional na sequência principal. Como forma de tentar explicar esse freamento, Schatzman(1962) desenvolveu uma teoria baseada no freio magnético, possível exclusivamente para estrelas com envoltórias convectivas em grande profundidade. Sabe-se, portanto, que as estrelas começam a perder momento angular ao entrarem na fase de sequência principal e esta perda é fortemente controlada pelo estágio evolutivo. Kraft(1967b) mostrou esse resultado para estrelas de tipo espectral F pertencentes aos aglomerados abertos Plêiades e Híades.

Do ponto de vista observacional, as distribuições de vsini como função dos tipos es-

15 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA pectrais nos oferecem informações importantes sobre o momento angular e a eﬁciência dos mecanismos de freio, como campos magnéticos, efeitos de maré em sistemas planetários e transporte de matéria em binárias próximas. A distribuição de vsini para um determinado estágio evolutivo também é um estudo importante, uma vez que reﬂete o momento angular da estrela desde a sua formação. Deste modo, as distribuições de velocidade rotacional projetada podem nos dar valiosas informações sobre propriedades associadas à formação e à evolução estelar.

Nesta dissertação de mestrado começamos por analisar os desenvolvimentos de Huang (1965) e Huang(1967) para determinar um modelo semi-empírico baseado nas distri- buições de velocidade rotacional projetada, produzindo novos resultados com base em medidas recentes obtidas através do método de espectroscopia de alta resolução. Embora vários autores tenham sugerido uma relação rotação-idade seguindo uma lei de potência do tipo < v >≈ tα, a forma da equação que melhor concorda com os dados observacionais foi proposta por Pace & Pasquini(2004), escrita como:

< vsini >= a + btα (2.1)

Vários estudos na literatura sugerem diferentes valores para o expoente α e para os parâmetros a e b. Aqui, porém, revisitaremos a lei de Skumanich, equação fundamental no contexto da girocronologia. É importante enfatizar, como mostrado na seção anterior, que as leis de potência nesse contexto foram propostas para explicar o comportamento da velocidade rotacional, da atividade cromosférica e da abundância de lítio como funções da idade estelar (Skumanich, 1972).

Os passos que adotaremos podem ser divididos de acordo com a seguinte estrutura:

1) Mostrar que a lei de Skumanich pode ser derivada a partir de uma lei de potência de uma quantidade física que seja função decrescente da idade estelar;

2) Encontrar uma distribuição de frequência de vsini a partir do modelo descrito em Chandrasekhar & Münch(1950). Esse modelo será descrito na sequência;

3) Produzir distribuições de velocidade rotacional projetada em concordância com os dados observacionais, assim comparando teoria e observação para termos uma ideia quan- titativa e qualitativa do modelo proposto.

16 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1.1 Funções de distribuição de vsini

A taxa com a qual uma estrela perde momento angular pode ser descrita por uma série de potência (Huang, 1967), da forma:

dx = −a − a x − a x2 − a x3 − ..., (2.2) dt 0 1 2 3 onde x representa uma relação entre vsini e o valor mais provável da velocidade rotacional vm = < vrot >. Por conveniência também definimos a quantidade y = xsini. Assim, se j > 1, a distribuição de y desaparece em y = 0 (ver equação A.2). Por outro lado, se 0 ≤ y ≤ 1, a distribuição de y assume um valor finito em y = 0, pois algumas estrelas apresentam baixos valores de velocidade rotacional projetada. Isto é equivalente a dizer que para o caso em que j > 1 as distribuições apresentam um máximo em y com uma determinada distância ∆y da origem que depende do fator de freio. As distribuições de frequência observadas para as estrelas F, G e K apresentam um máximo para valores de vsini baixos, como mostrado em Huang(1967). Nosso propósito com o seguinte desenvolvimento matemático é encontrar um fator de freio para cada tipo espectral e compreender como esse fator influencia as distribuições de vsini.

A equação 2.2 denota, de forma genérica, qualquer quantidade física não conservada, como massa, carga elétrica, velocidade rotacional ou momento angular. Os três primeiros termos da equação foram estudados por Huang(1965, 1967) considerando a estrela como um corpo rígido e possuindo eixo de rotação aleatoriamente orientado.

Tomando um termo arbitrário da equação 2.2, podemos escrever uma expressão geral para derivar o fator de freio xj:

dx j = −a xj. (2.3) dt j j

Integrando a equação 2.3 e isolando xj em função de t, obtemos:

1 xj = [(j − 1)ajt] 1−j . (2.4)

Agora, partindo das equações 2.2e 2.3, encontramos uma expressão para x como função de uma condição inicial xa e do fator de freio xj:

17 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

dx dx dx = j , (2.5) dt dxj dt donde obtém-se os casos estudados por Huang para os valores de j = 0, 1, 2 (ﬁg. 2.1). Substituindo as equações 2.2e 2.4 em 2.5 e integrando ambos os lados, obtemos:

x xj Z Z dx dxj j = j . (2.6) x xj xa xa

A equação 2.6 estabelece, para cada valor de j, uma determinada equação para o parâmetro inicial xa como função do fator de freio e do parâmetro x. A partir de xa e de uma distribuição Maxwelliana (eq. 2.8), podemos agora derivar uma função de distribuição para a velocidade rotacional projetada, expressa pela equação 2.7:

∞ Z f(x, x )dx φ(y, x ) = y j . (2.7) j x(x2 − y2)1/2 y

Assim, para cada valor de xj, temos um perﬁl de φ(y, xj) que melhor descreve os dados observacionais. A ﬁgura 2.1 mostra as curvas correspondentes aos primeiros termos da série de potência (equação 2.2). O decaimento linear considera que o freio rotacional é constante e independe da velocidade, enquanto o decaimento exponencial assume que o fator de freio é diretamente proporcional à velocidade rotacional.

2.1.2 Leis de freio rotacional e girocronologia

Como visto no capítulo anterior, Skumanich(1972) mostrou que a velocidade rotacional de estrelas de tipos espectrais F, G e K segue uma lei que decai aproximadamente com o inverso da raiz quadrada da idade, t−1/2. A partir deste fato observacional, derivaremos uma função de distribuição para velocidades rotacionais que representa, utilizando argumentos simples, a distribuição de momento angular estelar. É importante enfatizar que essa primeira parte do trabalho não se preocupa em explicar a origem do freio rotacional, mas apenas em estudar os dados observacionais e descrever o modelo estatístico utilizado para o ajuste das distribuições de vsini, levando em consideração o fator de freio para diferentes tipos espectrais. Uma vez reconhecido o fator de freio do ponto de vista quantitativo, poderemos passar a uma discussão qualitativa do problema.

18 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Do exposto na seção anterior, podemos considerar que para um dado tipo espectral a função de distribuição de x acima da condição inicial xa, em t = 0, é dada pela equação 2.8:

4γ 2 f(x ) = √ x2e−xa , x < x . (2.8) a π a a c

Aqui, xc representa o limite superior imposto pela instabilidade rotacional e γ é um fator de normalização da função f(xa). Por simplicidade, consideramos o caso em que xc → ∞, de modo que γ = 1. Agora, nosso problema consiste em encontrar um fator de freio x3 (eq. 2.9). Seguindo os procedimentos de Huang(1967), derivamos uma expressão para x3 como função da idade. Para tanto, partimos da equação 2.3 com o procedimento descrito na seção anterior para j = 3. Essa equação pode ser comparada à lei de Skuma- nich, a menos de uma constante (eq. 2.10).

dx 3 = −a x3, (2.9) dt 3 3

1 −0.5 x3 = √ t . (2.10) 2a3

Utilizando a equação 2.6, obtemos uma expressão para x como função do fator de freio x3, dada pela equação 2.11.

1 1 1 2 = 2 + 2 . (2.11) x xa x3

A partir das equações 2.9e 2.11 é possível derivar dx , que satisfaz a expressão 2.5. dx3 Da equação 2.11, é necessário ainda expressarmos xa como função de x e x3 para tornar a distribuição maxwelliana uma função da idade através da inclusão do parâmetro x3, de modo que ﬁcamos com:

x3x xa = 2 2 1/2 . (2.12) (x3 − x )

Assim, o parâmetro x segue uma distribuição arbitrária. Neste contexto, consideramos uma distribuição não-Maxwelliana (Maxwelliana com um fator de freio). No capítulo 4

19 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

derivaremos essa distribuição, regida por uma função do tipo f(x, x3), e uma função correspondente para y, denotada por φ(y, x3), a ﬁm de estabelecermos uma relação entre os momentos das distribuições de velocidades verdadeiras (v) e aparentes (vsini).

Figura 2.1: Fator de freio como função da idade estelar (escala arbitrária) para os primeiros termos da equação 2.2. O decaimento linear representa o freio devido puramente à evolução da estrela. As curvas azul e verde representam os termos de segunda e terceira ordens da série, respectivamente. A aproximação de quarta ordem reproduz a lei de Skumanich (curva vermelha).

2.2 Dínamo Estelar e Magneto-hidrodinâmica

Rotação e magnetismo são parâmetros indissociáveis no estudo da Astrofísica Estelar. O Sol e as demais estrelas possuem campos magnéticos que são originados e mantidos por um mecanismo conhecido como dínamo estelar, diretamente conectado à convecção e à rotação diferencial. A descoberta do campo magnético solar se deve ao astrônomo americano George Ellery Hale (1868-1938) que, através do efeito Zeeman2, mostrou que as

2Desdobramento das raias espectrais em resposta à aplicação de um campo magnético.

20 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA manchas escuras na superfície solar são regiões que possuem intensos campos magnéticos3 (Hale, 1908). Hoje sabemos que as manchas solares variam em número e posição ao longo de um período de 11 anos, no chamado ciclo magnético do Sol (Schwabe, 1844). A quantidade de manchas solares é maior quanto mais forte for o campo magnético associado e as manchas se movem a partir de altas latitudes em direção ao equador. A variação da latitude das manchas no tempo é descrita pelo diagrama de borboleta e pode ser vista na ﬁgura 2.2, onde podemos observar que no começo de cada ciclo solar as manchas formam- se tipicamente em latitudes elevadas (por volta de 35◦). À medida que o ciclo avança para o seu máximo, caracterizado por um maior número de manchas, estas formam-se em latitudes cada vez mais baixas (mais próximas ao equador). Quando o ciclo atinge o seu mínimo, as manchas aparecem praticamente sobre a linha do equador.

Figura 2.2: Na parte superior podemos ver o diagrama de borboleta mostrando o ciclo de atividade solar, representando as latitudes das manchas. A parte inferior mostra a média mensal da área coberta pelas manchas, de 1875 a 2015. https: // solarscience. msfc. nasa. gov/ .

As manchas são as mais evidentes manifestações do campo magnético solar (Solanki, 2003), mas a dinâmica do campo magnético do Sol é também responsável por fenôme- nos como erupções, ejeções de massa coronal e ventos, além de ser o principal regente no processo de aquecimento da coroa solar. Atualmente, através de estudos de emissão cromosférica das linhas de Ca II H e K, temos dados suﬁcientes comprovando que outras

3Hoje sabemos que a intensidade do campo magnético nas manchas varia de 2000 à 4000 gauss e aparecem escuras pelo fato de o campo magnético inibir o transporte de energia por convecção.

21 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA estrelas do tipo solar, i.e., estrelas constituídas por um profundo envelope convectivo e um interior radiativo, também possuem intensos campos magnéticos com manchas variáveis em suas fotosferas. A conexão entre rotação, magnetismo e atividade em estrelas do tipo solar teve importantes avanços com os dados provenientes de mais de duas décadas de observações realizadas no Observatório Monte Wilson (Wilson 1978; Baliunas et al. 1983, 1985, 1995; Noyes et al. 1984), cujo objetivo principal era estudar os ciclos de atividade estelar. Esses estudos mostraram que estrelas com alta rotação apresentam atividade magnética intensa e irregular, enquanto estrelas com baixa rotação mostram baixa atividade magnética e ciclos mais regulares.

Como explicação teórica para a origem e auto-manutenção do campo magnético solar, sua relação com a rotação e fenômenos associados, surge o conceito de dínamo. De maneira simplificada, a teoria propõe que o campo magnético é mantido pelo movimento de um fluido eletricamente condutor (plasma ionizado em estrelas), de forma que esse movimento induz correntes elétricas que por sua vez sustentam o campo. A equação da indução descreve esse fenômeno e será deduzida no contexto da Magneto-hidrodinâmica (MHD) na seção seguinte. A maioria dos modelos de dínamo tem como base o efeito α − ω, no qual a rotação diferencial age no sentido de alongar a componente poloidal do campo magnético e criar uma componente toroidal (efeito-ω). Posteriormente ocorre a transformação inversa devido ao fluxo de matéria que sobe e arrasta as linhas de campo (efeito-α). Esse efeito é mostrado na figura 2.3. Além da rotação, esse efeito está também intimamente ligado à convecção e à eficiência do dínamo. É importante enfatizar que, apesar de muitos avanços teóricos neste contexto, sabemos que a estrutura física da teoria do dínamo é turbulenta e isso induz componentes imprevisíveis em determinadas situações (Strugarek et al., 2017).

Figura 2.3: (a) As linhas de campo partem dos pólos (campo poloidal); (b) Segmentos das linhas de campo são alongados próximo ao equador solar, gerando assim um campo toroidal; (c) Campos intensos e localizados são formados com características opostas nos dois hemisférios. http: // www. ast. obs-mip. fr/ .

22 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A complexidade e a alta variabilidade dos campos magnéticos estelares exigem esfor- ços tanto de cunho teórico quanto observacional. Do ponto de vista teórico, o processo de dínamo é regido pela indução eletromagnética e pela geração de campos magnéticos originados de elétrons em movimento, tendo as leis de Ampère e Faraday, portanto, como pilares da descrição de seu mecanismo. Neste capítulo discorreremos sobre os fundamentos matemáticos da MHD no contexto da física de plasma, da geração de campos magnéticos e sua conexão com a rotação através da teoria do dínamo.

2.2.1 Equação de Indução

As equações fundamentais que regem o comportamento de ﬂuídos ionizados subme- tidos a campos elétricos e magnéticos são as conhecidas equações de Maxwell. Aqui as representamos em sua forma diferencial e no sistema cgs:

∇ · E = 4πρ, (2.13)

∇ · B = 0, (2.14)

1 ∂B ∇ × E = − , (2.15) c ∂t

4π 1 ∂E ∇ × B = J + , (2.16) c c ∂t onde E é o campo elétrico, B o campo magnético, ρ a densidade de carga e J a densidade de corrente elétrica. As equações 2.13e 2.14 são conhecidas como as leis de Gauss para a eletricidade e para o magnetismo, respectivamente. A equação 2.15 é a lei de Faraday da indução eletromagnética. A equação 2.16 é a lei de Ampère acrescida do termo de corrente de deslocamento descrito por Maxwell. Esta última lei é nomeada, portanto, de Ampère- Maxwell. No entanto, podemos desconsiderar o termo de corrente de deslocamento da equação 2.16, uma vez que consideramos o ﬂuxo como sendo não-relativístico (v c) e sem qualquer variação intermitente de diferença de potencial no ﬂuido, de modo que a equação pode ser reescrita na forma original, proposta por Ampère:

4π ∇ × B = J. (2.17) c

Sabe-se, também, que a aplicação de um campo E através de uma substância eletricamente condutora gera uma densidade de corrente J e a lei de Ohm postula que a relação

23 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA entre J e E, para um plasma não-relativístico, é escrita da seguinte forma:

v × B J = σ E + , (2.18) c onde v é a velocidade de propagação e σ a condutividade elétrica do ﬂuido. Isolando o campo elétrico em termos de J e B e substituindo na equação 2.15:

1 ∂B J v × B − = ∇ × − . (2.19) c ∂t σ c

Por ﬁm, substituindo J da lei de Ampère (eq. 2.17) e utilizando a seguinte identidade vetorial:

∇ × (∇ × B) = ∇(∇ · B) − ∇2B. (2.20)

Sendo que o primeiro termo resultante da identidade é nulo, dada a inexistência de monopólos magnéticos na natureza (eq. 2.14), a expressão ﬁnal ﬁca:

∂B c2 = ∇ × (v × B) + ∇2B. (2.21) ∂t 4πσ

É comum, ainda, no contexto da física de plasma, reescrever esta equação na forma:

∂B = ∇ × (v × B) + η∇2B. (2.22) ∂t

Esta é a equação que governa a evolução do campo magnético no plasma, conhecida c2 como equação da indução, onde η = 4πσ é o coeficiente de difusão magnética do fluido. Analisando essa equação, percebemos que há dois processos que influenciam na evolução temporal de B. O primeiro termo do lado direito da equação refere-se a um processo indutivo que age no sentido de aumentar a intensidade do campo magnético e favorecer o movimento do fluido, enquanto o segundo termo representa a dissipação das correntes elétricas que sustentam o campo, podendo ser compreendido como um fator difusivo que leva ao decaimento de B. Para estudarmos a amplificação ou a dissipação do campo devemos analisar se o termo indutivo é dominante sobre o difusivo ou vice-versa. Para isso faremos a análise dimensional da equação de indução.

hB i hvB i hηB i ' + . (2.23) t l l2

24 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A razão entre os termos do lado direito da equação resulta em uma quantidade adi- mensional conhecida como número de Reynolds magnético, do qual podemos determinar qual termo governa a evolução de B:

vl R = . (2.24) m η

Se Rm 1, o segundo termo do lado direito da equação 2.23 é dominante sobre o primeiro, de modo que a evolução do campo magnético é governada por uma equação de difusão:

∂B ≈ η∇2B. (2.25) ∂t

Em sistemas astrofísicos, contudo, o plasma geralmente apresenta um número de Rey- nolds muito elevado (Rm 1) (e.g. Brandenburg & Subramanian 2005), isso signiﬁca que o termo indutivo é dominante e a equação de indução toma a forma:

∂B ≈ ∇ × (v × B). (2.26) ∂t

Nesse caso, a evolução do campo magnético pode ser compreendida mais claramente utilizando a identidade vetorial:

∇ × (v × B) = (B · ∇)v − (v · ∇)B − B(∇ · v), (2.27) onde consideramos o fato de que ∇ · B = 0. Identificamos o primeiro termo do lado direito da equação 2.27 como sendo responsável pelo alongamento do campo magnético, possibilitando amplificá-lo exponencialmente a uma taxa que depende do gradiente local do campo de velocidades, o segundo termo apresenta um efeito de compressão e, por fim, o terceiro termo está associado ao processo de advecção. Em suma, a equação de indução na condição de um número de Reynolds elevado rege a evolução do campo magnético estelar via processos de transporte, compressão e amplificação.

2.3 Jupiterianos quentes

Jupiterianos quentes (JQs) costumam ser deﬁnidos na literatura como planetas gigantes gasosos de massas da ordem da massa de Júpiter e com semi-eixo maior a ≤ 0.1 UA. No entanto, as deﬁnições de massa e distância estrela-planeta variam de autor para autor,

25 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA uma vez que a classificação planetária ainda não é um tema totalmente concluído, tendo em vista a enorme quantidade de planetas confirmados anualmente e as perspectivas de novas descobertas no futuro. Neste trabalho, porém, para também levarmos em conta os sistemas com elevados valores de excentricidade, optamos pela definição de Winn et al. (2010), que utiliza massas e períodos orbitais. Para esses autores, um planeta considerado como Júpiter Quente apresenta massas no intervalo 0.36 < Mjup < 11.8 e período orbital entre 1.3 < dias < 111. Após a descoberta de 51 P egasi b, mais de 400 JQs foram detectados em amplos intervalos de massa, raio, semi-eixo maior e excentricidade, de acordo com o catálogo de exoplanetas mantido por Schneider et al.(2011) 4. Apesar de se tratarem dos planetas mais fáceis de serem detectados via velocidade radial e trânsito planetário, os JQs se mostram raros na Galáxia, sendo apenas uma fração de estrelas a abrigá-los em suas órbitas.

2.3.1 Teorias de formação e migração

Uma teoria completa sobre formação planetária deve ser capaz de descrever o Sis- tema Solar e os demais sistemas planetários, bem como as massas desses planetas e suas distâncias às estrelas centrais. Atualmente não há, entretanto, uma teoria que descreva adequadamente a formação de JQs e a razão pela qual esses planetas são encontrados tão próximos às estrelas hospedeiras. Os modelos baseados no Sistema Solar sugerem que planetas gigantes gasosos sejam formados a partir da linha do gelo5. O modelo mais difundido para explicar a estrutura e a formação dos planetas gasosos em nosso sistema se baseia em um lento processo via forças gravitacionais que induz colisões de grãos de poeira e planetesimais em direção ao planeta em formação. O planeta deve adquirir uma massa crítica de aproximadamente 10 massas terrestres antes que haja a dissipação do disco protoplanetário. Se essa condição é satisfeita, a instabilidade hidrodinâmica resulta em uma rápida acreção do gás em direção ao planeta, tendo como resultado ﬁnal um planeta gasoso do tipo Júpiter ou Netuno. Com a baixa temperatura nesses ambientes, a presença de partículas sólidas é mais abundante, facilitando, assim, o fornecimento da massa necessária para que o processo ocorra. Para distâncias menores que a linha do gelo, em geral, os sistemas não apresentam massa suﬁciente para formar planetas gasosos segundo esse processo. Apesar disso, Batygin et al.(2016) propõem que uma considerável fração de JQs tenha se formado in situ, onde são observados, via processo de acreção ao núcleo sob condições apropriadas no disco e com rápida acreção do gás iniciada por parte de planetas tipo Superterra6.

4http://exoplanets.eu. 5Distância a partir da qual a temperatura é baixa o suﬁciente para que moléculas simples, como a da água, sejam condensadas. 6Planetas extrassolares com massas superiores à massa da Terra, mas inferiores, por exemplo, às dos gigantes gasosos do Sistema Solar.

26 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Contudo, para contornar o problema da formação e localização dos JQs, a teoria mais aceita é a chamada migração planetária, cuja premissa é a de que os planetas tipo Júpiter são formados depois da linha do gelo e então migram em direção à estrela central até adquirirem uma órbita estável. Essa hipótese requer explicação, porém, dos mecanismos de migração do planeta. Há na literatura três mecanismos principais que podem explicar o processo migratório de planetas do tipo Júpiter quente: migração via interação com o disco protoplanetário, interações planeta-planeta, ou ainda o mecanismo de Kozai-Lidov. O movimento de um planeta suﬁcientemente massivo pode afetar a estrutura do disco protoplanetário a ponto de abrir uma lacuna no disco. Isso reduz o torque de maré no planeta e, não havendo interrompimento no processo de acreção, o planeta pode sofrer migração. Esse regime migratório é conhecido como migração do tipo II e pode explicar a migração dos jupiterianos quentes via interação com o gás do disco (Raymond et al., 2006). Interações entre planetas podem causar a ejeção de um dos planetas (Levison et al., 1998), fazendo com que ele atinja uma órbita excêntrica e que eventualmente sofra circularização devido à interação por maré com a estrela à medida que o sistema evolui. O mecanismo de Kozai-Lidov aplica-se a sistemas binários com a presença de um JQ. A órbita planetária diminui devido à força de maré e a perturbações seculares, conhecidas como oscilações de Kozai, ocasionadas pela estrela secundária mais distante (Fabrycky & Tremaine, 2007).

Os mecanismos de interação planeta-planeta e o de Kozai-Lidov podem estar associados a alterações na orientação orbital do planeta em relação à estrela central (Nagasawa et al. 2008; Fabrycky & Tremaine 2007; Naoz et al. 2011), enquanto o mecanismo de mi- gração via disco parece preservar o alinhamento (Bitsch et al. 2013), a menos que haja um desalinhamento primordial entre o spin da estrela e o momento angular do disco (Batygin 2012, Lai 2014). Por essa razão, medir o grau de desalinhamento desses sistemas pode nos fornecer informações importantes sobre os diferentes processos atuantes na origem e migração de JQs.

2.3.2 Efeito Rossiter-MacLaughlin

O método de trânsito possibilita medir o desalinhamento entre estrelas e planetas atra- vés do efeito Rossiter-Maclaughlin (RM). Como mencionado, o deslocamento Doppler faz com que, à medida que a estrela gire em torno de seu eixo, a parte da radiação que se aproxima do observador sofra deslocamento para o azul, ou blueshift e a parte que se afasta sofra deslocamento para o vermelho, ou redshift, como se observa no alargamento das respectivas linhas espectrais. Com o trânsito planetário, parte da luz deslocada para o vermelho será bloqueada. O mesmo ocorre, evidentemente, com a luz deslocada para o azul quando o planeta transita no outro lado da estrela. Esse evento faz com que o

27 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA centro de gravidade da linha seja deslocado. Medindo esse deslocamento, podemos inferir o ângulo de desalinhamento entre a estrela e o planeta. Esse ângulo é geralmente referido como obliquidade e indica o desalinhamento entre o eixo de rotação (spin) estelar e o vetor momento angular do planeta. Rossiter(1924) e McLaughlin(1924) descreveram o método de determinação da obliquidade como um efeito rotacional em binárias eclip- santes. McLaughlin utilizou o método para determinar o alinhamento do sistema Algol, enquanto Rossiter estudou o alinhamento do sistema β Lyrae. Exemplos de determinação de λ podem ser encontrados na ﬁgura 2.4 para sistemas alinhados, desalinhados e retró- grados (λ < 0◦).

A primeira medida de λ para um sistema planetário foi feita logo após a descoberta do trânsito em HD 209458 (Queloz et al., 2000). Através do efeito RM descobriu-se que o sistema é praticamente coplanar (λ = 3.9◦). Esforços em trabalhos subsequentes detectaram sistemas exoplanetários com obliquidades diferentes de zero (e.g. Winn et al. 2010).

Figura 2.4: Exemplos de determinação da obliquidade através do efeito Rossiter- Mclaughlin. Os deslocamentos das linhas são mostrados para o sistema alinhado de HAT- P-4 (Winn et al., 2011), para o sistema desalinhado de HAT-P-30 (Johnson et al., 2011) e para o sistema retrógrado de HAT-P-6 (Albrecht et al., 2012).

28 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.3.3 Desalinhamento spin-órbita

No Sistema Solar, o plano da órbita dos planetas é aproximadamente ortogonal ao eixo de rotação do Sol, isto é, a obliquidade do sistema é desprezível (∼ 6◦, segundo Bailey et al.(2016)). Por outro lado, uma notável observação sobre jupiterianos quentes que merece destaque é o fato de que muitos desses planetas são encontrados em órbitas consideravelmente desalinhadas em relação ao eixo de rotação (spin) de suas estrelas hospedeiras (Fabrycky & Winn, 2009). Visivelmente, este é um ponto sensível para o estudo da história do momento angular estelar. Assim, compreendendo a importância da relação entre a obliquidade e a evolução orbital do sistema, neste trabalho estamos interessados em estudar como esse parâmetro se relaciona com quantidades físicas estelares. Albrecht et al.(2012) concluíram que estrelas frias com JQs mostram uma tendência em possuir valores de obliquidades baixos ou nulos, enquanto para estrelas com temperaturas mais elevadas encontra-se uma ampla distribuição nos valores de λ. Nesta dissertação revisitaremos essa relação, bem como estudaremos a dependência da obliquidade com parâmetros estelares, como rotação e massa, e com parâmetros planetários e orbitais, como massa do planeta, excentricidade e semi-eixo maior.

Outro aspecto importante a ser mencionado é a relação do desalinhamento spin-órbita com a habitabilidade. Armstrong et al.(2014) mostrou que oscilações na obliquidade causadas por interações gravitacionais com planetas próximos pode ser responsável por expandir consideravelmente a zona habitável de um planeta. Ademais, a existência de água líquida em sistemas exoplanetários está relacionada às condições climáticas resultantes de suas configurações orbitais, em particular a orientação do planeta em relação à estrela central, a taxa de rotação e o coeficiente de reflexão superficial (albedo) do planeta. Todos esses parâmetros estão fortemente ligados à temperatura na superfície planetária (Kilic et al. 2017; Pierrehumbert 2010).

29 Cap´ıtulo 3 Dados Observacionais

"Astronomy? Impossible to understand and madness to investigate."

Sophocles (497-405 BC)

Neste capítulo descreveremos a base de dados utilizada em nosso trabalho, bem como iremos detalhar a determinação dos parâmetros estelares e planetários correspondentes.

3.1 Base de dados

Os dados utilizados neste trabalho são provenientes de três amostras de estrelas com valores de vsini determinados com espectroscopia de alta resolução. A razão de escolha destas estrelas nas respectivas amostras é devida à combinação de quantidade e quali- dade homogênea dos dados de rotação. A primeira e mais signiﬁcante amostra em termos estatísticos é composta de 9564 estrelas simples de tipos espectrais F, G e K obtidas do ca- tálogo Geneva-Copenhagen Survey (Holmberg et al. 2007, 2009; Nordström et al. 2004). Essa amostra também contém medidas de temperatura efetiva, metalicidade, magnitude absoluta e idade (de 0.2 a 13.5 Giga-anos), parâmetros utilizados no reﬁnamento da se- leção amostral. Os valores de vsini variam entre 0 km.s−1 e 120 km.s−1, embora cerca de 92% da amostra possua valores baixos, menores ou iguais à 30 km.s−1. A maior parte das medidas espectroscópicas de rotação foram obtidas pelo espectrômetro de correlação cruzada CORAVEL1 no Observatório de Haute-Provence, França. (Baranne et al. 1979; Mayor 1985) utilizando as calibrações descritas em Benz e Mayor (Benz & Mayor 1981, 1984). Esse procedimento fornece valores de vsini com precisão da ordem de 1 km.s−1 para rotações menores que 30 km.s−1 (de Medeiros & Mayor, 1999). A técnica utilizada

1Correlation RAdial VELocities.

30 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS pelo CORAVEL se baseia na correlação entre o espectro estelar e uma máscara localizada no plano focal do espectrógrafo. Essa máscara foi concebida de maneira que apenas a luz contida no centro das linhas de absorção seja transmitida. A máscara consiste de uma lâmina de vidro coberta por uma fina camada de cromo, onde é gravado o espectro de uma estrela de referência. O processo utilizado pelo CORAVEL para medir a rotação consiste basicamente em ajustar uma função gaussiana aos pontos que definem o perfil de correlação, permitindo-nos determinar, além de vsini, a velocidade de rotação e a metalicidade da estrela. A velocidade rotacional é obtida através da largura a meia altura da gaussiana que melhor se ajusta ao perfil de correlação. As estrelas com valores de rotação que ultrapassam os limites oferecidos pelo CORAVEL (∼ 50 km.s−1) foram observadas com o espectrômetro digital do Harvard Smithsonian Center for Astrophysics, CfA (Philip & Latham, 1985).

Para a nossa segunda amostra, selecionamos apenas as estrelas simples de Reiners & Schmitt(2003), totalizando 98 estrelas, sendo 62 de tipo espectral F, 26 de tipo G e 10 de tipo K com medidas de vsini de alta precisão (∆vsini ≈ 0.1km.s−1) com alta resolu- ção espectral (R = 235000) e alto sinal-ruído S/N utilizando o telescópio CES2 do ESO (European Southern Observatory) localizado em La Silla, no Chile. Estamos interessados no comportamento rotacional das estrelas pertencentes à Sequência Principal, no entanto, para ﬁns de comparação, mantivemos na amostra as estrelas simples com outros estágios evolutivos, como algumas estrelas no ramo das gigantes e na fase de subgigantes.

A terceira amostra é composta de 80 gêmeas solares provenientes de dos Santos et al. (2016) com medidas de vsini determinadas com alta resolução (R = 115000) pelo es- pectrógrafo HARPS3, também localizado em La Silla. Outros dados dessa amostra são temperatura efetiva, gravidade superﬁcial (log g), [Fe/H] e idade (de 0.6 a 9.93 Giga-anos). A amostra original de dos Santos et al.(2016) consiste de 81 gêmeas. Aqui estamos des- cartando a estrela HIP 10303 devido ao seu elevado erro na paralaxe, como mencionado pelos próprios autores. As distribuições de frequência de velocidade rotacional projetada para as duas amostras de estrelas F, G e K e para a amostra de gêmeas são mostradas nas ﬁguras 3.1e 3.2. Pelos histogramas percebemos que as estrelas F possuem as maiores rotações entre as amostras, apresentando um máximo entre 7km.s−1 e 15km.s−1, mas se estendendo até aproximadamente 120km.s−1. As estrelas G também apresentam um máximo, agora em torno de 5km.s−1, com valores que chegam à 65km.s−1. O Sol, uma estrela de tipo espectral G2, se mostra com rotação ligeiramente inferior às estrelas nessa distribuição. Esta mesma conclusão foi dada por Smith(1978), ao comparar a rotação solar com rotações de estrelas de 1 M . O máximo da distribuição nas estrelas de tipo

2Coude Echelle Spectrometer 3High Accuracy Radial velocity Planet Searcher.

31 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Figura 3.1: Distribuições de vsini para as estrelas F (superior) e K (inferior) das amostras de Holmberg et al.(2007) e Reiners & Schmitt(2003).

32 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

. Figura 3.2: Distribuições de vsini para as estrelas G das amostras de Holmberg et al. (2007) e Reiners & Schmitt(2003) (superior) e para as gêmeas solares de dos Santos et al.(2016) (inferior). O valor de vsini para o Sol é indicado pela linha vermelha (∼ 1.6 km.s−1).

33 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS espectral K em torno de 2km.s−1 é ainda mais nítido. Os maiores valores de vsini para estrelas K são de aproximadamente 40km.s−1. Finalmente, nossa amostra de gêmeas solares apresenta um máximo entre 1.2km.s−1 e 3.9km.s−1.

3.1.1 Diagramas H-R e Parâmetros Estelares

O Diagrama Hertzsprung-Russell (H-R) representa a relação entre a luminosidade de uma estrela e sua temperatura efetiva e é particularmente importante nos estudos de classiﬁcação e evolução estelar. Para a determinação da temperatura efetiva utilizamos um método fotométrico com base na calibração proposta por Flower(1996), descrita em termos da seguinte série de potência dependente do índice de cor (B-V):

2 3 logTeff = a + b(B − V ) + c(B − V ) + d(B − V ) + ... (3.1)

Os coeﬁcientes da equação 3.1 se encontram na tabela 3.1. Realizamos uma compa- ração entre os valores de temperatura efetiva determinados espectroscopicamente por dos Santos et al.(2016) com os valores calculados a partir da equação acima, mostrando que a calibração de Flower(1996) reproduz com boa precisão as temperaturas observadas, com coeﬁciente de correlação r = 0.8 (Fig. 3.3). O cálculo da luminosidade segue o procedimento canônico. Do catálogo do satélite HIPPARCOS4 (ESA, 1997) extraímos os parâmetros magnitude visual aparente V e paralaxe π, obtendo a distância d da estrela em parsec (pc) usando a relação d = 1000/π. Com a magnitude aparente determinamos o valor da magnitude visual absoluta correspondente:

MV = V + 5 − 5log(d) − AV , (3.2)

5 onde AV é o fator de avermelhamento devido à extinção luminosa . No entanto, como neste trabalho a maioria das estrelas das amostras se encontram a uma distância menor que 100 pc e fora do disco espesso da Galáxia, o avermelhamento pode ser desprezado.

4HIgh Precision PARallax COllecting Satellite. 5A extinção luminosa é causada pelo espalhamento e absorção da luz por poeira existente na linha de visada.

34 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Coeﬁciente Supergigantes SP, subgigantes, gigantes a 4.0125597 3.979145 b -1.055043 -0.654499 c 2.133395 1.740690 d -2.459770 -4.608815 e 1.349424 6.792600 f -0.283943 -5.396910 g ... 2.192970 h ... -0.359496

Tabela 3.1: Coeﬁcientes para o cálculo da temperatura efetiva para estrelas da sequência principal (SP), subgigantes, gigantes e supergigantes. Adaptado de Flower(1996).

Figura 3.3: Comparação entre os valores de temperatura efetiva determinados espectroscopicamente em dos Santos et al.(2016) com os valores calculados neste trabalho a partir das calibrações de Flower(1996).

O próximo passo é realizar a correção bolométrica (BC), deﬁnida como a diferença 6 entre a magnitude absoluta e a magnitude bolométrica Mbol. Rearranjando os termos, escrevemos: 6Magnitude correspondente à energia em todas as frequências do espectro eletromagnético.

35 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Mbol = MV + BC. (3.3)

Calculamos os valores de BC a partir da expressão determinada por Flower(1996) em termos do logaritmo da temperatura efetiva:

2 BC = a + blogTeff + c(logTeff ) + ... (3.4)

Os coeﬁcientes são mostrados na tabela 3.2. Finalmente, determinamos a razão entre a luminosidade da estrela e a luminosidade solar L em termos da magnitude bolométrica:

4.72 − M log(L/L ) = bol , (3.5) 2.5 sendo 4.72 o valor da magnitude bolométrica solar.

Coeficiente log(Teff ) > 3.90 3.90 > log(Teff ) > 3.70 log(Teff ) < 3.70 a -0.188115 -0.37051 -0.190537 b 0.137146 0.385673 0.155145 c -0.636234 -0.150651 -0.421279 d 0.147413 0.261725 0.381476 e -0.179587 -0.170624 ... f 0.788732 ......

Tabela 3.2: Coeﬁcientes para o cálculo da correção bolométrica de acordo com os limites de temperatura efetiva. Adaptado de Flower(1996).

O diagrama H-R correspondente às estrelas do Geneva-Copenhagen Survey pode ser visto na ﬁgura 3.4. As metalicidades foram determinadas através de calibrações de acordo com as características físicas descritas em Schuster & Nissen(1989), Edvardsson et al. (1993) e Chen et al.(2000), que consistem basicamente em determinar os valores de [Fe/H] a partir do sistema Stromgren uvbyβ. Apesar de pouco precisas por se tratarem de metalicidades fotométricas baseadas em calibrações, estas podem ser utilizadas no contexto do presente estudo sem prejuízos. A distribuição de frequência das metalicidades pode ser vista na ﬁgura 3.5.

O diagrama H-R para as estrelas de Reiners & Schmitt(2003) e gêmeas solares é encontrado na ﬁgura 3.6. Os traçados evolutivos para os dois diagramas são provenientes

36 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS de Girardi et al.(2000) para a metalicidade solar (Z = 0.019).

ST F ST G ST K

Figura 3.4: Diagrama H-R para as estrelas da amostra de Holmberg et al.(2007). Tra- çados evolutivos de Girardi et al.(2000).

37 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Spectral Type F Spectral Type G Spectral Type K

Figura 3.5: Distribuição de metalicidades para as estrelas F, G e K da amostra de Holmberg et al.(2007).

38 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Figura 3.6: Diagrama H-R para as estrelas F, G e K de Reiners & Schmitt(2003) e gêmeas solares de dos Santos et al.(2016). Traçados evolutivos de Girardi et al.(2000).

3.1.2 Atividade Cromosférica

Os primeiros dados de atividade cromosférica foram obtidos pelo projeto HK, utilizando primeiramente o detector HKP-1, um fotômetro localizado no foco Coudè do telescópio de 2.5m do Observatório Mount Wilson (MWO), com um canal centrado nas linhas de Ca II H e K (3968.47Å e 3933.66Å, respectivamente). Esse instrumento foi operado até 1977, quando substituído pelo HKP-2, um novo fotômetro montado no foco Cassegrain de um telescópio de 1.5m. Como forma de estudar o ﬂuxo de Ca II a partir dos dados desse projeto, o índice S foi proposto como a razão entre a soma do número de fótons nas bandas H e K pela soma do número de fótons nas bandas R e V do contí- nuo (3901.07Å e 4001.07Å, respectivamente) como discutido em Vaughan et al.(1978) e Duncan et al.(1991). A expressão para S é mostrada abaixo.

39 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

H + K S = α , (3.6) R + V onde α é um fator de calibração incluso originalmente para comparar os dados de HKP-1 e HKP-2. Duncan et al.(1991) adotaram o valor α = 2.4, embora outros trabalhos apre- sentem valores diferentes de acordo com o espectrômetro utilizado.

O índice S representa o fluxo com as contribuições tanto da atividade cromosférica, quanto da fotosférica. No entanto, como estamos interessados apenas na componente cromosférica, precisamos subtrair do fluxo resultante a contribuição da fotosfera. Para tanto, utilizamo-nos do procedimento descrito em Noyes et al.(1984). O fluxo total, RHK , é definido da seguinte forma:

0 RHK = RHK + Rfoto(B − V ), (3.7)

0 onde RHK é a contribuição cromosférica e Rfoto a contribuição fotosférica. Middelkoop

(1982) determinou que RHK pode ser escrito em termos de S e de um fator de conversão dependente do índice de cor Ccf (B − V ) da forma:

−4 RHK = 1.340 × 10 Ccf S. (3.8)

O fator de conversão foi posteriormente calculado por Rutten(1984) como:

3 2 logCcf = 0.25(B − V ) − 1.33(B − V ) + 0.43(B − V ) + 0.24. (3.9)

De maneira que a componente fotosférica pode ser escrita apenas em termos de (B−V ), como em Noyes et al.(1984):

2 3 logRfoto = −4.898 + 1.918(B − V ) − 2.893(B − V ) . (3.10)

Ficando, assim, a componente cromosférica também dependente apenas do índice de cor.

Após os trabalhos de Wilson, é importante destacar outros avanços observacionais no estudo da atividade cromosférica utilizando os telescópios do MWO. Duncan et al. (1991) mediram valores de S para 1296 estrelas e Baliunas et al.(1995) monitoraram uma

40 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Figura 3.7: Exemplo de um espectro típico do Keck mostrando os ﬁltros R, H, V e K baseados no espectrômetro HKP-2 do Observatório Mount Wilson (Wright et al., 2004). amostra de 111 estrelas com o intuito de encontrar ciclos de mínimo de Maunder. Henry et al.(1996) derivaram valores de S para 800 estrelas próximas de tipo solar a partir de observações feitas no hemisfério Sul e determinaram quatro categorias de atividade, desde muito inativa a muito ativa. Hall et al.(2007) mediram linhas H e K por mais de uma década a ﬁm de descobrir estrelas com ciclos de manchas parecidos com o do Sol.

Nossos dados de atividade cromosférica são provenientes do trabalho de Wright et al. (2004), onde 676 estrelas do catálogo de Geneva-Copenhagen, 18 estrelas de Reiners & Schmitt(2003) e 27 gêmeas solares de dos Santos et al.(2016) possuem S medidos e 0 logRHK calculados como descrito acima. Os dados dos indicadores de atividade cromos- férica foram obtidos de uma base de ∼ 18000 espectros de ∼ 1200 estrelas analisados nos Observatórios Keck e Lick, fazendo parte do projeto California and Carnegie Pla- net Search (CPS). Os dados do índice S foram calibrados por aqueles medidos no MWO. Um exemplo das posições dos ﬁltros para um espectro do Keck pode ser visto na ﬁgura 3.7.

3.1.3 Atividade Coronal

Outro parâmetro importante na compreensão da relação rotação-atividade magnética é a atividade coronal. Nesse contexto, o satélite ROSAT (Pfeﬀermann et al., 1987) realizou uma das principais missões de mapeamento do céu através de fontes de raios-X,

41 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS sendo capaz de observar objetos no intervalo de energias entre 20 eV7 e 3 keV. O saté- lite ROSAT (ROentgen SATellite) foi assim nomeado devido ao físico alemão Wilhelm Roentgen (1845-1923) em homenagem a sua descoberta do raio-X. O satélite, além de detectar radiação nesse comprimento de onda, também operava no ultravioleta extremo. O projeto foi desenvolvido em cooperação entre Alemanha, Estados Unidos e Inglaterra, tendo sido lançado em Junho de 1990. O ROSAT é composto por um telescópio de raio-X, dois PSPC (Position Sensitive Proportional Counter) e um detector de alta reso- lução (HRI). O telescópio era ainda complementado com uma WFC (Wide Field Camera).

O banco de dados do ROSAT é hoje público e contêm mais de 150.000 dados, desde estrelas na vizinhança solar a buracos negros, supernovas e quasares nos limites do Uni- verso observável, tendo também notória importância na detecção de estrelas de nêutrons isoladas e na emissão de raios-X em cometas. Por outro lado, sabemos que observações da coroa solar (e de estrelas do tipo solar) nos proporcionam informações complementares à compreensão da atividade magnética estelar. Observações sistemáticas de emissão de raio-X em estrelas de tipo tardio revelaram um amplo intervalo de luminosidades nesse comprimento de onda para estrelas de tipos espectrais similares (e.g. Vaiana et al. 1981). Erupções (ﬂares) e ejeções de massa coronal são indicativos de variabilidade na coroa, sendo caracterizados por um aumento abrupto do brilho em raio-X. Esses fenômenos ocorrem mediante uma enorme energia liberada quando as linhas de campo magnético mudam sua conﬁguração para um nível de menor energia devido à reconexão magnética. Valores típicos de luminosidade de raio-X para uma erupção solar são da ordem de 1027- 1029 erg/s, enquanto para estrelas mais ativas esses valores podem ultrapassar 1031 erg/s (Schmitt, 1997). Da coroa também emanam ventos magneticamente acoplados à estrela −13 que resultam na perda de massa (∼ 10 M ) e consequente perda de momento angular, como discutido no capítulo anterior.

A atividade resultante dos processos físicos que ocorrem na coroa estelar costuma ser descrita pela razão entre a luminosidade em raio-X e a luminosidade bolométrica, Lx/Lbol.

Neste trabalho obtivemos parte dos dados de Lx do catálogo ROSAT data of Nearby Stars

(Huensch et al., 1998) e calculamos o ﬂuxo de raios-X, Fx, a partir de dados publicados nos catálogos ROSAT All-Sky Survey Bright Source (Voges et al., 1999) e ROSAT All-Sky Survey Faint Source (Voges et al., 2000), donde convertemos a taxa de contagem de fótons do satélite em Fx para as estrelas F, G, K e gêmeas solares de nossas amostras, através da expressão 3.11. Os dados de atividade coronal para estrelas com JQs foram obtidos do trabalho de Kashyap et al.(2008).

7Elétron-volt, unidade de energia equivalente à aproximadamente 1.6 × 10−19 joules.

42 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Fx = ECF · CR, (3.11) onde ECF é um fator de conversão de energia e CR é a taxa de contagem de fótons. O fator ECF , segundo Fleming et al.(1995), é estimado em 7.7 × 10−12 ergs contagens−1 −2 cm para raios-X moles. O cálculo da luminosidade de raio-X, Lx, foi então realizado a partir do ﬂuxo, na forma:

2 Lx = 4πd Fx, (3.12) onde d é a distância até a estrela, determinada a partir dos valores de paralaxe trigono- métrica do satélite HIPPARCOS.

3.2 Gêmeas Solares

O Sol é a estrela mais conhecida dos astrônomos e é comumente utilizada como modelo para estudar objetos similares. Apesar disso, há ainda alguns aspectos que não são completamente compreendidos e que são cruciais para entendermos a evolução de estrelas e, consequentemente, dos sistemas planetários. Nesse contexto, é natural questionar se o Sol é uma estrela atípica ou se faz, ele próprio, parte da categoria de estrelas do tipo solar.

Nos anos 80, vários astrônomos passaram a indagar sobre a existência de estrelas com características semelhantes às do Sol, conhecidas como "gêmeas solares". No entanto, não se sabia como definir exatamente essa semelhança. A primeira proposta de definição pode ser encontrada em Cayrel de Strobel et al.(1981). Segundo esses autores, uma gêmea solar deveria apresentar valores de temperatura efetiva, gravidade superficial, magnitude, metalicidade e microturbulência semelhantes aos valores solares. À época, nenhuma estrela conhecida se enquadrava em todos esses requisitos. Uma nova tentativa de definição foi publicada por Cayrel de Strobel & Bentolila(1989). Para esses autores, gêmeas solares são estrelas hipotéticas que possuem todos os parâmetros físicos iguais aos do Sol (massa, composição química, idade, luminosidade, rotação, campos de velocidade, campo magné- tico, atividade cromosférica etc.). Isso, claro, implicaria que uma gêmea solar perfeita não existe, dada a impossibilidade de se ter todos os parâmetros idênticos. Com o advento dos detectores de estado sólido (CCDs), muitos desses parâmetros puderam ser determinados com boa precisão.

Porto de Mello & da Silva(1997) ﬁzeram uma análise detalhada de uma amostra de

43 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS estrelas no espectro óptico, levando em consideração seu estágio evolutivo. Nesse trabalho os autores determinaram que 18 Sco (HR 6060), uma estrela de tipo espectral G2 da sequência principal, possui massa, atividade cromosférica, cores UBV e diversas abundâncias de elementos químicos indistinguíveis dos valores solares, dentro da incerteza observacional. Por exemplo, σ(Teff ) = 30K, σ(log g) = 0.12 dex e σ([F e/H]) = 0.06 dex, onde σ representa a diferença entre os parâmetros da estrela e do Sol. Para 18 Sco, apenas a luminosidade e a idade se encontram um pouco acima dos valores conhecidos para o Sol, concluindo-se, assim, que essa estrela é uma forte candidata à gêmea solar. Alguns anos depois, Galeev et al.(2004) estudaram espectroscopicamente uma amostra de 15 análogas solares com o intuito de determinar a melhor candidata à gêmea solar até então encontrada. Para tanto, esses autores formularam uma deﬁnição mais rigorosa para os parâmetros das gêmeas e análogas, como pode ser visto na tabela 3.3. Alguns anos mais tarde, do Nascimento et al.(2013) encontraram a primeira estrela gêmea solar observada por um satélite, nomeada CoRoT Sol 1. A idade dessa gêmea (6.7 Giga-anos) é superior à do Sol, mas consistente com seu período rotacional também superior. A baixa abundância de Li encontrada também é compatível com um Sol evoluído.

Parâmetro Análoga Gêmea Sol Teﬀ, K 5200–6200 5720-5820 5770 log g, dex 4.0-4.7 4.35-4.55 4.44 [F e/H], dex ±0.30 ±0.05 0.00 Mbol, mag 4.2-5.2 4.5-5.0 4.75 Massa, M 0.8-1.2 0.9-1.1 1.0 Idade, Ga 0.5-10 4-5 4.5

Tabela 3.3: Deﬁnições de análogas e gêmeas solares segundo Galeev et al.(2004).

Atualmente, é mais prudente definirmos uma gêmea solar como sendo uma estrela com todos seus parâmetros físicos semelhantes aos do Sol dentro do erro observacional (Me- léndez & Ramírez 2007; Porto de Mello et al. 2000; Takeda & Tajitsu 2009). Importantes trabalhos foram realizados no sentido de compreender os parâmetros das gêmeas solares e melhor definir tal categorização, como alguns estudos referentes à abundâncias químicas e rotação. Por exemplo, Ramírez et al.(2009) determinaram a abundância de 19 elementos químicos para 64 estrelas análogas e gêmeas solares, Do Nascimento et al.(2009) utiliza- ram a abundância de lítio para calcular a massa e a idade de algumas gêmeas solares e do Nascimento et al.(2014) identificaram 34 análogas e 22 gêmeas solares provenientes da missão Kepler, estudando a relação entre rotação e idade para essas estrelas. O trabalho de dos Santos et al.(2016) estudou 81 gêmeas solares e mostrou que o Sol possui rotação típica quando comparado às gêmeas com idades similares.

44 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Em nosso trabalho estamos interessados em estudar a rotação dessas estrelas e compará- las com outras de tipo espectral G por meio de nossos modelos de freio rotacional e do momento angular, analisando também o comportamento do Sol nesse contexto. O histograma representando as gêmeas solares de dos Santos et al.(2016), utilizadas neste trabalho, pode ser encontrado na ﬁgura 3.2.

3.2.1 O código de evolução Toulouse-Geneva (TGEC)

Neste trabalho estudaremos o momento angular de gêmeas solares e, para tanto, precisamos conhecer as massas desses objetos. Aqui, como método de determinação das massas, utilizamos os traçados produzidos pelo código de evolução estelar Toulouse-Geneva (TGEC) (Hui-Bon-Hoa, 2008). Forneceremos uma breve descrição sobre os principais parâmetros do modelo e do código, que é uma importante ferramenta teórica desta dis- sertação.

Para este trabalho, utilizamos as equações de estado de OPAL2001, como descrito em Rogers & Nayfonov(2002), opacidade radiativa de Iglesias & Rogers(1996), além das opacidades moleculares e atômicas de baixas temperaturas (Alexander & Ferguson, 1994). As reações nucleares são provenientes da compilação NACRE de Angulo et al. (1999), que leva em consideração as três cadeias pp e o ciclo CNO descrito pela rotina de Bahcall & Pinsonneault(1992). A convecção é tratada de acordo com o formalismo de

Böhm-Vitense(1958) da teoria de comprimento de mistura, com αp = l/Hp = 1, 756515, onde l é o comprimento de mistura e Hp é a escala de pressão. Para a atmosfera foi utilizado o modelo de atmosfera opaca seguindo a relação de Eddington. A difusão mole- cular é calculada de acordo com os coeﬁcientes de Paquette et al.(1986). As acelerações radiativas não foram calculadas, uma vez que focamos no estudo de estrelas do tipo solar, no qual esses efeitos podem ser desprezados. Detalhes sobre os fundamentos físicos desses modelos podem ser encontrados em Do Nascimento et al.(2009).

Por interpolação no diagrama H-R, determinamos as massas das gêmeas solares de dos Santos et al.(2016) utilizando os traçados evolutivos do TGEC para massas variando de

0.925M a 1.075M com passos de ∆M = 0.025M e metalicidade solar ([Fe/H] = 0). O diagrama com os traçados pode ser visto na ﬁgura 3.8. Os valores das massas calculadas se encontram na tabela B.2.

45 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Figura 3.8: Traçados evolutivos para as gêmeas solares calculados com o código TGEC.

3.3 Amostras Planetárias

Selecionamos uma amostra de jupiterianos quentes (JQs) do catálogo de exoplanetas The Exoplanet Orbit Database8 (EOD) (Han et al., 2014). Esse catálogo mantêm sobretudo dados de parâmetros orbitais bem definidos na literatura para planetas confirmados. Com a definição proposta por Winn et al.(2010) de que um exoplaneta considerado como Júpiter Quente deve apresentar período orbital entre 1.3 < dias < 111 e massas entre

0.36 < Mjup < 11.8, encontramos 253 JQs, dos quais 46 possuem medidas espectroscó- picas de rotação (vsini) e obliquidade λ. Pelo diagrama H-R da ﬁgura 3.10, percebemos que a maioria dos JQs orbitam estrelas da sequência principal. No decorrer deste manuscrito trabalharemos com a subamostra de 46 JQs a ﬁm de estudarmos a relação dos parâmetros orbitais com a rotação e demais quantidades físicas das estrelas hospedeiras. Com o auxílio dos dados do catálogo The Extrasolar Planets Encyclopaedia, mantido por

8exoplanets.org.

46 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Figura 3.9: Diagrama massa-período para todos os exoplanetas confirmados. O retângulo vermelho contém todos os JQs de acordo com a definição de Winn et al.(2010). Os círculos vermelhos são os JQs de nossa subamostra. Terra e Júpiter estão marcados como círculos pretos para fins de comparação. Os círculos à esquerda da linha vermelha são planetas de interesse para trabalhos futuros, dados seus baixos valores de período orbital.

Schneider et al.(2011), construímos um diagrama massa-período para todos os planetas conﬁrmados, incluindo os JQs de nossa subamostra. O diagrama pode ser visto na ﬁgura 3.9.

Como mencionado na seção 1.3, a definição de Júpiter Quente não é exata e varia de autor para autor. No entanto há, na literatura, uma definição mais utilizada em termos do semi-eixo maior (a ≤ 0.1 UA). Comparamos essa definição com a utilizada neste trabalho (figura 3.11), onde percebemos a importância de se definir corretamente esses planetas. Vários JQs teriam sido descartados de um possível estudo baseado na definição padrão da literatura. Felizmente, os planetas de nossa subamostra estão dentro dos limites de ambas as definições, com exceção apenas do planeta HD 17156b.

47 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Figura 3.10: Diagrama H-R para todas as estrelas hospedeiras de jupiterianos quentes (Hot Jupiters, HJ) e para nossa subamostra. Figura com dados recentes de detecção (Janeiro de 2018).

48 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

Figura 3.11: Distribuição dos JQs no diagrama Massa-Semi-eixo maior. Os círculos abertos mostram todas as estrelas com JQs observadas, enquanto os círculos fechados representam as estrelas da nossa amostra. A linha pontilhada indica a deﬁnição mais comum de separação dos JQS adotada na literatura.

49 Cap´ıtulo 4 Resultados e Discussões

"The ﬁrst principle is that you must not fool yourself and you are the easiest per- son to fool."

Richard Feynman

Os resultados de nosso trabalho podem ser divididos em três partes. Primeiramente, trataremos sobre a evolução da rotação e o modelo teórico com base nos cálculos de Chandrasekhar & Münch(1950), levando em consideração o fator de freio, como descrito no capítulo 2. Aplicamos nosso modelo para as estrelas F, G, K e gêmeas solares das três amostras selecionadas. Na segunda parte do trabalho analisamos o comportamento da rotação em termos das atividades cromosférica e coronal e com relação à presença de planetas do tipo Júpiter quente. Finalmente, exploramos a amostra de JQs com o intuito de estudar a inﬂuência de parâmetros orbitais em propriedades físicas das estrelas hospedeiras desses planetas.

4.1 Evolução da Rotação

Antes de tratarmos sobre nosso modelo teórico, é interessante que façamos uma aná- lise do estado evolutivo das estrelas F, G e K obtidas a partir do trabalho de Reiners & Schmitt(2003). Para isso, utilizamos o diagrama H-R como função da rotação, a ﬁm de melhor estudarmos como esse parâmetro, com alta precisão, se relaciona com a evolução estelar. Na ﬁgura 4.1 podemos ver o diagrama para tais estrelas, discriminadas em três intervalos de vsini. Embora tenhamos obtido os dados de tipo espectral diretamente da

50 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.1: Diagrama H-R para as estrelas de Reiners & Schmitt(2003) discriminadas em três intervalos de vsini (medidos em km.s−1). Traçados evolutivos de Girardi et al. (2000). base de dados do SIMBAD 1, podemos, para fins de identificação, determinar os tipos espectrais em intervalos de temperatura. Analisando as figuras 3.1 e 3.3, verificamos, com boa confiança, que as estrelas F correspondem ao intervalo 3.77 6 log(Teff ) < 3.85, as estrelas G ao intervalo 3.71 6 log(Teff ) < 3.77 e as estrelas K entre 3.65 6 log(Teff ) < 3.71. Assim, como esperávamos, percebemos que a maioria das estrelas K apresentam os valores mais baixos de rotação (com exceção de HR 5050), seguidas das estrelas G, enquanto as estrelas F se mostram com rotações mais elevadas. As poucas estrelas evoluídas apresentam vsini < 5km.s−1.

As gêmeas solares de nossa amostra apresentam valores de vsini que variam de 0.5 a 4.12 km.s−1, de modo que não foi necessário realizar um estudo semelhante para essas estrelas. No entanto, com a determinação das massas através dos traçados evolutivos do TGEC (seção 3.2.1), determinamos o comportamento do momento angular (J) dessas

1SIMBAD Astronomical Database - CDS (Strasbourg). simbad.u-strasbg.fr/.

51 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES estrelas.

4.2 Momento angular das gêmeas solares

Sabe-se que ocorre uma transição rotacional entre estrelas de tipo F0 a G0, relacionada a uma diminuição do momento angular. Kraft(1970) utilizou uma relação simples entre massa e luminosidade para estudar a dependência de J com a massa estelar, mostrando que essas quantidades físicas seguem uma lei de proporcionalidade para estrelas desde 0.57 o tipo O até F0, da forma J ∝ (M/M ) . Essa lei falha, contudo, quando aplicada para estrelas de tipos espectrais mais tardios. Kawaler(1987) revisitou essa lei utilizando um modelo mais soﬁsticado e dados de rotação mais precisos para a época, comprovando 1.09 a forma da equação, mas com um expoente maior, J ∝ (M/M ) . Essa transição abrupta na rotação pode estar relacionada ao freio magnético, à interação com planetas ou à rotação interna da estrela. da Costa(2013) estudou uma amostra de análogas solares e mostrou que essas estrelas de fato apresentam uma diminuição no momento angular. Supondo que elas fossem orbitadas por um planeta com mesma massa e mesmo semi-eixo maior de Júpiter, da Costa(2013) mostrou que o momento angular total do sistema excede os valores propostos por Kraft(1970) e Kawaler(1987), restando, dessa forma, as hipóteses de freio magnético e distribuição interna do momento angular como possíveis explicações para a transição rotacional observada.

Aqui, entre outros aspectos, estamos interessados em estudar a rotação diferencial para as gêmeas solares. Primeiro realizamos o cálculo de J através de um modelo simples de primeira ordem, com base na suposição de que estrelas giram como corpos rígidos, i.e., sem nos preocuparmos com a distribuição do momento angular interno. Nesse caso, o momento angular estelar pode ser escrito na forma:

< V (M) > < J(M) >= I(M) , (4.1) < R(M) >

2 2 onde I(M) = 5 MR é o momento de inércia para um corpo esférico de massa M e raio R. A quantidade < V (M) > representa a velocidade de rotação, que pode ser obtida através da velocidade rotacional projetada, como em Chandrasekhar & Münch(1950):

4 < V (M) >= < vsini > . (4.2) π

Para o cálculo do raio estelar, R(M), utilizamos a lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a luminosidade, o raio e a temperatura:

52 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

2 4 L = 4πR σTeff . (4.3)

Para essa análise é mais interessante estudarmos o momento angular especíﬁco, que é simplesmente a razão entre o momento angular da estrela e sua massa, < j > = < J > /M. Em seguida, calculamos o momento angular estelar levando em consideração a rotação diferencial. Como recentemente exposto em Fossat et al.(2017), o núcleo do Sol possui rotação aproximadamente quatro vezes maior que em suas camadas mais externas. Nesse sentido, calculamos J através de um modelo simples que leva em conta a descrição do interior solar aplicada às gêmeas. Para o cálculo do momento angular dependente do raio é necessário que utilizemos a seguinte expressão para o momento de inércia estelar (e.g. Bouvier 2013):

R 8π Z I = r4ρ(r)dr, (4.4) 3 0 onde ρ(r) é a densidade de cada região solar, estimada em 150 g/cm3 no núcleo para

Rnucleo = 0.25R.

De posse de todos os parâmetros e atribuindo uma velocidade de rotação < V (M) > quatro vezes maior no núcleo, construímos um diagrama do logaritmo do momento an- 2 −1 gular específico, log((< J > /M)cm .s ), como função da massa estelar, dada em M , da mesma forma realizada por Kraft(1970) e da Costa(2013). O diagrama pode ser encontrado na figura 4.2, onde os círculos abertos representam os valores de momento angular considerando apenas a rotação de corpo rígido e os símbolos azuis representam os valores de J levando em conta a rotação diferencial. A linha preta indica a curva prevista por Kraft(1970) e a linha vermelha a curva revisitada por Kawaler(1987). Pela figura 4.2, percebemos que ao levar em consideração a rotação diferencial através desse modelo simples, os valores de momento angular para as gêmeas solares se aproximam dos valores previstos pelos autores supracitados, de modo que a distribuição do momento angular interno pode ser um dos fatores associados à transição rotacional observada em estrelas com diferentes estruturas convectiva e radiativa e uma formulação detalhada sobre a rotação diferencial no Sol e em gêmeas solares se faz necessária para a compreensão dos processos associados à evolução do momento angular nessas estrelas.

53 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.2: Distribuição do momento angular especíﬁco < j > em função da massa estelar para a amostra de gêmeas solares. Os círculos abertos representam o cálculo de < j > considerando as estrelas como corpos rígidos. Os símbolos X em azul representam o cálculo de < j > levando em conta um modelo simples de rotação diferencial. As curvas previstas por Kraft(1970) e Kawaler(1987) são incluídas.

4.3 Distribuições de vsini

Nesta seção apresentaremos a conexão entre as distribuições observacionais de velocidade rotacional projetada e nosso modelo teórico para as três amostras estudadas. No capítulo 2 obtivemos uma expressão de caráter arbitrário para x. Aqui derivaremos uma distribuição não-Maxwelliana (Maxwelliana com um fator de freio) em termos de x e x3, que representa as distribuições de velocidades rotacionais reais, e uma função para y = xsini, correspondente à distribuição de velocidades aparentes. A distribuição f(x, x3)

é dada pela equação 4.5. A função para y, denotada por φ(y, x3), é vista na equação 4.6.

2 2 2 5 −x x3 4 x x3 2 2 √ x3−x f(x, x3) = 2 2 5/2 e , (4.5) π (x3 − x )

54 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

∞ Z f(x, x ) φ(y, x ) = y 3 dx. (4.6) 3 x(x2 − y2)1/2 y

Essa última equação estabelece uma relação entre os momentos das duas distribuições e satisfaz os valores médios de x e y como discutido em Chandrasekhar & Münch(1950). Após algumas substituições (ver apêndice A) nós ﬁnalmente derivamos uma função de dis- tribuição φSkumanich(y, x3) que representa a velocidade rotacional projetada como função da idade e que pode ser comparada à lei derivada por Skumanich(1972):

θ3 4γ Z cos3 θ x2y2 √ 5 2 3 φSkumanich(y, x3) = x3y 2 2 2 5/2 exp − 2 2 2 dθ. (4.7) π (x3 cos θ − y ) x3 cos θ − y 0

Dado o limite superior de θ (ver Apêndice A), temos que o valor máximo de x deve ser y3. A equação 4.8 representa a condição de contorno para θ3. A integral 4.7 pode ser resolvida por métodos numéricos, e o caso para y3 → ∞ é mostrado na ﬁgura 4.3 para diferentes valores de x3.

y θ3 = arccos , π/2 6 θ3 6 2π. (4.8) y3

Nos contornos xa = xc e x = y3, a equação 2.11 pode ser expressa pela equação 4.9:

1 1 1 2 = 2 + 2 . (4.9) y3 x3 xc

Considerando xc → ∞, temos que o limite superior da integral na equação 4.7 pode ser reescrito como:

y θ3 = arccos . (4.10) x3

55 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.3: Curvas teóricas de velocidade rotacional projetada produzidas por nosso modelo para diferentes valores de x3 (escala arbitrária), sendo x3 o fator de freio.

Estudamos, enﬁm, se o modelo com o fator de freio pode explicar os dados observacionais. Primeiramente, escolhemos entre todas as famílias de funções o melhor ajuste dos dados observacionais. Para tanto, testamos individualmente no modelo os fatores de freio x3 = 0.8, 1.0, 1.2, 1.5, 1.7, 2.0, 2.5 e 3.0 e concluímos que o melhor ajuste corresponde

à x3 = 0.8. As ﬁguras 4.4, 4.5e 4.6 mostram os histogramas com as curvas determinadas pelo modelo, respectivamente, para as estrelas F, G e K de Holmberg et al.(2007) e Reiners & Schmitt(2003). A ﬁgura 4.7 mostra o histograma para as gêmeas solares de dos Santos et al.(2016). Em todos os casos, percebemos que o modelo representa adequadamente os dados de vsini para intervalos de baixas rotações, mas falha para rotações moderadas e elevadas.

Se considerarmos os ventos estelares como mecanismo causador da desaceleração, en- tão a perda de momento angular é proporcional à velocidade angular para um dado t (Schatzman 1962; Roxburgh 1983). Podemos comparar o segundo termo da equação 2.2 com a perda de momento angular descrita por Roxburgh(1983)(4.11):

56 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.4: Distribuição de velocidade rotacional projetada vsini para as estrelas de tipo espectral F. A curva azul representa nossa distribuição teórica para o fator de freio x3 = 0.8.

57 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.5: Distribuição de velocidade rotacional projetada vsini para as estrelas de tipo espectral G. A linha vermelha indica o valor de vsini do Sol. A curva azul representa nossa distribuição teórica para o fator de freio x3 = 0.8.

58 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.6: Distribuição de velocidade rotacional projetada vsini para as estrelas de tipo espectral K. A curva azul representa nossa distribuição teórica para o fator de freio x3 = 0.8.

59 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.7: Distribuição de velocidade rotacional projetada vsini para a amostra de gêmeas solares. A linha vermelha tracejada indica o valor de vsini do Sol. A curva azul representa nossa distribuição teórica para o fator de freio x3 = 0.8.

60 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

dx dJ 2 B2Ω = −a1x ⇐⇒ = − , (4.11) dt dt 3 VA 2 onde B é o valor médio do campo magnético superﬁcial e VA é a velocidade de Alfvén .A equação 4.11 corresponde a um decaimento exponencial se a ejeção de massa e o campo magnético são independentes da rotação. Huang(1967) mostrou que o decaimento de x no tempo deve ser proporcional à xn (n > 1). Isso pode ser explicado pela presença de um fator de freio no caso em que a rotação estelar é inversamente proporcional à idade (vt−1) ou no caso da lei de Skumanich.

Soderblom(1983) mostrou que a taxa com a qual a estrela desacelera é proporcional −1/2 à v (eq. 4.12), com v ∝ ai + bit .

dv ∝ vB2 ∝ v3. (4.12) dt

Skumanich et al.(1975) mostraram que a intensidade do campo magnético é proporcional ao ﬂuxo de CaII (F (CaII) ∝ B). Assim, é plausível considerar que a equação 4.12 seja válida com essas condições lineares. Nossa análise de φSkumanich(y, x3) para diferentes −1/2 valores do parâmetro de freio x3 = f(t ) mostra um resultado interessante: quando x3 diminui, a distribuição se concentra em um intervalo de velocidades baixas. Em outras palavras, à medida que a estrela evolui, o fator de freio x3 decresce. Isso ocorre pelo fato de que x3 é inversamente proporcional à raíz quadrada da idade estelar. Cada valor de x3 corresponde a um intervalo de idades. Para melhor compreendermos a ﬁgura 4.3, devemos considerar que cada curva é derivada para cada intervalo de tempo ∆t referente à ação de um freio particular. Assim, estrelas de tipos espectrais F, G e K podem apresentar distribuições teóricas de vsini resultantes da atuação de vários processos relativos à dissipação de momento angular ao longo de suas evoluções.

Soderblom(1983) obteve, através da função de Maxwell-Boltzmann, um histograma teórico para as velocidades rotacionais projetadas semelhante a nossa distribuição, dado pela equação 4.13, onde C representa o fator de normalização. Nossa distribuição apresenta vantagens em relação a distribuição de Soderblom pelo fato de que o nosso modelo leva em conta o decaimento rotacional em diferentes tempos evolutivos. O modelo de Soderblom(1983) considera o decaimento apenas em torno de um valor médio da idade estelar. 2Velocidade associada a uma onda resultante da oscilação de íons em um campo magnético no plasma, conhecida como onda de Alfvén.

61 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

π φ(u) = Φ(U) = CU exp − U 2 , (4.13) 4 u onde U = e u = vsini.

Cada curva da ﬁgura 4.3 mostra a magnitude do fator de freio x3. A distribuição de Maxwell-Boltzmann representa o valor máximo de x3 levando em conta as condições descritas nas equações 4.8e 4.9.

Apesar de nosso modelo não representar adequadamente a distribuição para rotações elevadas, é importante enfatizar que não há, na literatura, um modelo baseado em argumentos físicos que descreva simultaneamente as distribuições de vsini para altas e baixas rotações. Uma distribuição utilizando argumentos matemáticos foi proposta por Soares et al.(2006) ao estudarem as distribuições de velocidade rotacional projetada para as Plêi- ades utilizando uma função que generaliza a função de Maxwell-Boltzmann e baseia-se na Mecânica Estatística não-extensiva, proposta pelo físico greco-brasileiro Constantino Tsallis (Tsallis, 1988). A entropia de Tsallis é uma generalização da entropia usual de Boltzmann-Gibbs e é escrita em termos do índice entrópico q, que mede o grau de não- extensividade do sistema:

W ! k X S = 1 − p q , (4.14) q q − 1 i i=1 onde k é a constante de Boltzmann, W é o número de microestados compatíveis com o estado microscópico do sistema e pi é a probabilidade associada ao i-ésimo microestado.

Uma outra teoria estatística importante neste contexto é a generalização proposta por Kaniadakis(2002). Esta teoria trata-se de uma estatística generalizada na forma de lei de potência. A entropia é descrita em termos de um índice κ e sua estrutura matemática é bastante similar à de Tsallis, muito embora a estatística de Kaniadakis seja extensiva, i.e., a entropia associada à formulação é aditiva. Carvalho et al.(2010) compararam as distribuições Maxwelliana, de Tsallis e de Kaniadakis para as estrelas do catálogo de Geneva-Copenhagen, concluindo que as duas últimas distribuições melhor descrevem, através de ajustes, os dados de vsini observados. Porém, neste contexto, os índices en- trópicos não possuem signiﬁcado físico, de forma que uma função baseada exclusivamente nos índices q ou κ não pode explicar as distribuições observadas de velocidade rotacional projetada, mas apenas representá-las matematicamente. Um ponto interessante a ser estudado, como perspectiva deste trabalho, é a relação entre os índices entrópicos e o fator

62 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

de freio x3, a ﬁm de descrevermos ﬁsicamente as distribuições de velocidade rotacional projetada.

4.4 Mecanismos de freio rotacional

Como discutido, ventos magneticamente acoplados e a presença de planetas podem estar relacionados ao freio rotacional em estrelas frias. A teoria da perda de momento angular devido à ejeção de matéria por ventos (Schatzman, 1962) costuma ser a mais aceita como explicação para o freio. A inﬂuência de jupiterianos quentes na rotação de estrelas frias apresenta grande divergência na literatura. Nesta seção estudaremos indiretamente a dependência da atividade magnética com a rotação por meio de medidas de vsini, emissão de Ca II (atividade cromosférica) e emissão de raios-X (atividade coronal), que nos dão outra dimensão física das possíveis interações.

4.4.1 Relação rotação-atividade

A atividade cromosférica apresenta estreita relação com as variações do campo mag- nético estelar e, por consequência, tem impacto direto na rotação e no mecanismo de dínamo. Aqui estudaremos a relação entre os dados de vsini com a atividade cromosfé- 0 rica para as estrelas de campo F, G e K e gêmeas solares com o parâmetro log(RHK ), calculado a partir dos valores do índice S determinados na literatura, como mostrado na seção 3.1.2. A figura 4.8 mostra o comportamento da atividade cromosférica como função da velocidade rotacional projetada. Observamos uma correlação entre esses parâmetros para as três amostras de estrelas. Percebemos uma tendência de estrelas menos ativas possuírem menores valores de vsini. Essa conclusão corrobora o trabalho de Noyes et al. 0 (1984), onde esses autores estudaram a relação entre o período de rotação e log(RHK ) para uma pequena amostra de estrelas frias da sequência principal. Middelkoop(1982) também obteve correlação semelhante entre a velocidade rotacional projetada e o fluxo de emissão de Ca II. Na figura 4.8 vemos também um maior espalhamento na região de maior atividade cromosférica, o que pode significar que a rotação não é o único parâmetro que controla a atividade cromosférica em estrelas F, G, K e gêmeas solares.

Na ﬁgura 4.9 mostramos a relação rotação-atividade cromosférica para todas as estrelas com jupiterianos quentes que apresentam valores de emissão das linhas de Ca II H e K determinados por Wright et al.(2004). Comparamos com estrelas hospedeiras de exoplanetas sem JQs que também possuem atividade cromosférica determinada. Diferen- temente do caso para estrelas sem JQs da ﬁgura 4.8, não observamos uma tendência entre rotação e atividade cromosférica para essas estrelas.

63 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.8: Relação rotação-atividade cromosférica para as estrelas das três amostras estudadas. As linhas tracejadas indicam os limites de atividade e inatividade propostos por Henry et al.(1996).

A maioria das estrelas, para todas as amostras, se encontra na região de inatividade. Os limites de atividade cromosférica descritos por Henry et al.(1996) em termos de 0 logRHK , desde estrelas muito inativas à muito ativas, podem ser vistos na equação 4.15 e nas ﬁguras 4.8e 4.9.

  logR0 > −4.20 Muito ativas  HK  −4.20 > logR0 > −4.75 Ativas HK (4.15) 0 −4.75 > logRHK > −5.10 Inativas   0 −5.10 > logRHK Muito inativas

Um outro aspecto de grande relevância no estudo da rotação estelar é a atividade coronal. Aqui determinamos o indicador de atividade coronal, log(Lx/Lbol) a partir dos

64 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.9: Relação rotação-atividade cromosférica para algumas estrelas com jupiterianos quentes de nossa amostra. Incluímos, por comparação, as demais estrelas hospedeiras de exoplanetas com atividade cromosférica determinada na literatura. As linhas tracejadas indicam os limites de atividade e inatividade propostos por Henry et al.(1996). valores de ﬂuxo de emissão em raio-X, como descrito na seção 3.1.3. A ﬁgura 4.10 mostra o comportamento desse parâmetro em função da rotação (vsini) para as estrelas F, G e K de Reiners & Schmitt(2003), para as gêmeas solares e para a amostra de estrelas com jupiterianos quentes, das quais foi possível determinar a luminosidade de raio-X a partir do trabalho de Kashyap et al.(2008).

Pela figura 4.10 percebemos que poucas estrelas de tipo espectral K de nossa amostra possuem atividade coronal determinada na literatura, de modo que não podemos afirmar nada conclusivo sobre essas estrelas. Para as estrelas F e G, por outro lado, podemos afirmar que não há correlação entre esses dois parâmetros. O mesmo vale para as estrelas com JQs, contudo é interessante observar que essas estrelas, também de tipos espectrais F, G e K, apresentam valores mais baixos de vsini quando comparadas às estrelas F sem JQs detectados. As gêmeas solares, como já discutido, possuem valores de vsini

65 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.10: Relação rotação-atividade coronal para as estrelas F, G e K da amostra de Reiners & Schmitt(2003), para as gêmeas solares e para as estrelas hospedeiras de jupiterianos quentes. baixos e muito próximos entre si. O que é notável para as gêmeas, porém, é que os valores de log(Lx/Lbol) apresentam considerável dispersão e o Sol se mostra como uma estrela pouco ativa dentro desse grupo. Esse fato sobre o Sol comprova o estudo de Judge et al.(2003). Esses autores determinaram que a luminosidade de raio-X solar varia entre 1026.8 e 1027.9 ergs.s−1 durante o ciclo de atividade, valores consideravelmente reduzidos quando comparados a estrelas com características semelhantes às do Sol. De maneira geral, percebemos uma correlação entre rotação e atividade coronal, com exceção de algumas estrelas com JQs cujo indicador de atividade coronal é menor que ∼ −4.2, o que pode estar relacionado a um efeito de seleção.

4.4.2 Planetas extrassolares

Nesta seção estudaremos o comportamento da rotação estelar na presença de planetas tipo Júpiter Quente. Muito antes da descoberta do primeiro exoplaneta, Huang(1967) já havia especulado sobre a relação entre a rotação estelar e a formação de sistemas pla-

66 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES netários. Com o passar dos anos, vários autores estudaram a interação estrela-planeta, seja priorizando os efeitos que a estrela causa no planeta, como aquecimento e evapora- ção de atmosferas planetárias (Murray-Clay et al. 2009; Khodachenko et al. 2012) ou a inﬂuência que o planeta exerce sobre os parâmetros estelares, tanto de ordem magnética (Shkolnik et al., 2005) quanto gravitacional. Sistemas com jupiterianos quentes são excelentes laboratórios para estudarmos as forças de maré entre estrela e planeta. A interação gravitacional entre os dois corpos pode modiﬁcar a dinâmica do sistema por meio do alinhamento, circularização e sincronização orbitais, bem como através da transferência de momento angular.

Uma tendência a maiores valores de rotação em estrelas com JQs, quando comparadas a sistemas com planetas menores ou mais distantes foi mostrada por Pont(2009), estudando uma amostra de vsini para estrelas na vizinhança solar. Husnoo et al.(2012) estudaram os efeitos dissipativos causados por marés nesses sistemas e conﬁrmaram um excesso de rotação em várias estrelas com JQs. Observações realizadas por Poppenhaeger & Wolk(2014) também sugerem uma inibição do freio nesses sistemas, propondo como possíveis explicações a transferência de momento angular do planeta para a estrela através da interação por maré, ou instabilidade durante o processo de formação, no qual a estrela pode se desacoplar do disco protoplanetário. Por outro lado, sabemos que o fenômeno contrário ocorre em nosso Sistema Solar, onde Júpiter detém praticamente todo o momento angular do sistema. Ferraz-Mello et al.(2016) estudaram a conexão entre os efeitos de maré e o freio magnético na evolução de estrelas hospedeiras de JQs através de modelos teóricos no sentido de explicar a transferência de momento da estrela para o planeta.

Nesse sentido, estudamos o comportamento da rotação estelar, através de medidas de vsini, como função da temperatura efetiva, como mostrado na ﬁgura 4.11. Percebemos que as estrelas hospedeiras de jupiterianos quentes de nossa amostra apresentam o mesmo comportamento rotacional que as estrelas sem JQs detectados do catálogo de Geneva- Copenhagen, sendo raras, no entanto, as estrelas com JQs que apresentam elevados valores de rotação. Isso corroba o fato de que esses planetas são raramente encontrados orbitando estrelas de alta massa (e.g. Currie 2009), e consequente elevada rotação.

4.5 Dependência da rotação com parâmetros orbitais

A deﬁnição de Júpiter Quente de Winn et al.(2010), utilizada neste trabalho, foi escolhida pelo fato de ela conter JQs com valores extremos de excentricidade, devido aos valores de período orbital se estenderem a até 111 dias. O JQ com o maior valor de excentricidade conhecido é o planeta HD 80606b, com e = 0.93 e Porb = 110 dias. Quatro jupiterianos quentes de nossa amostra com valores de excentricidade consideravelmente

67 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.11: Distribuição da rotação em função da temperatura efetiva. Os valores de vsini para estrelas com jupiterianos quentes são comparados àqueles da amostra de Geneva-Copenhagen (Holmberg et al., 2007). elevados são os planetas HAT-P-17b (e = 0.346), HAT-P-34b (e = 0.441), HAT-P-2b (e = 0.517) e HD 17156b (e = 0.682). Contudo, pela ﬁgura 4.12 percebemos que a maioria dos JQs apresenta excentricidade nula ou muito baixa. Este fato pode estar relacionado ao processo de circularização orbital devido à interação por maré já possivelmente sofrido por esses sistemas. Os planetas com alto valor de excentricidade podem estar atualmente sofrendo circularização e migrando para órbitas menores. Percebemos também que não há dependência entre a excentricidade do planeta e o tipo espectral da estrela.

A situação oposta ocorre para o caso da ﬁgura 4.13, onde há uma clara dependência entre o grau de desalinhamento do sistema com o tipo espectral. Estrelas de tipo espectral F mostram uma grande dispersão nos valores de λ, enquanto as estrelas de tipo G e K possuem valores de obliquidade baixos ou nulos. As estrelas de tipos espectral F de nossa amostra possuem, sistematicamente, as maiores temperaturas e suas zonas convectivas devem ser menos profundas que aquelas das estrelas G e K. Winn et al.(2010) especulam

68 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.12: Relação rotação-excentricidade. Os sistemas com alta excentricidade são indicados na figura. Estrelas discriminadas por tipo espectral. que sistemas com JQs apresentam inicialmente um amplo intervalo de obliquidades, mas as fotosferas das estrelas frias realinham-se com as órbitas devido à dissipação por maré na zona convectiva, enquanto sistemas com estrelas quentes sofrem um lento realinhamento pelo fato de possuírem zonas convectivas finas. Pela figura 4.13 também percebemos que estrelas com alta rotação apresentam uma tendência a possuírem jupiterianos quentes alinhados com o spin estelar.

4.5.1 Obliquidade e parâmetros estelares

No capítulo 2 tratamos sobre a importância de estudar o desalinhamento spin-órbita (λ), ou obliquidade, entre a estrela e o planeta, a ﬁm de compreendermos a evolução orbital do sistema. Nesta seção estudaremos a relação desse parâmetro com quantidades físicas estelares e orbitais.

A ﬁgura 4.14 mostra a relação da obliquidade com a excentricidade e, a temperatura efetiva, a rotação (vsini) e a massa estelar. A ﬁgura mostra, também, o histograma com

69 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.13: Relação rotação-obliquidade para as estrelas de tipos espectrais F, G e K hospedeiras de jupiterianos quentes. a distribuição dos valores de λ. Visivelmente, a maioria dos sistemas de nossa amostra apresentam pouco ou nenhum desalinhamento spin-órbita, apesar de existirem vários sistemas com valores elevados de λ, sendo muitos destes com o planeta apresentando uma órbita retrógrada em relação à rotação da estrela.

Pela ﬁgura 4.14 percebemos que os jupiterianos quentes que orbitam estrelas frias parecem ser encontrados em órbitas cujos planos são praticamente coplanares (λ ∼ 0). Sistemas de estrelas quentes com JQs, por outro lado, mostram uma grande dispersão nos valores de obliquidade. Para uma amostra de 46 estrelas com JQs, determinamos a linha divisória em 6020K, valor um pouco inferior ao proposto por Albrecht et al.(2012), que mostraram que essa transição no comportamento da obliquidade com a temperatura ocorre em 6250K. A dinâmica migratória é uma possível explicação para a existência de sistemas com estrelas quentes possuírem grande desalinhamento. Como mencionado na seção anterior, essa dispersão para estrelas quentes pode ser associada à profundidade da zona convectiva. Albrecht et al.(2012) apontam que esse comportamento pode estar

70 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.14: Relações entre a obliquidade e parâmetros estelares e orbitais. Esquerda superior: distribuição de λ em função da excentricidade orbital e. Direita superior: relação entre λ e a temperatura efetiva estelar. A linha tracejada corresponde ao limite entre os sistemas alinhados e a dispersão nos valores de λ. Esquerda inferior: obliquidade em fun- ção da rotação estelar vsini. Direita inferior: Massa estelar em função da obliquidade. A linha tracejada indica o limite entre os sistemas alinhados e à dispersão nos valores de λ. O histograma mostra nossa amostra de estrelas hospedeiras de jupiterianos quentes cujos sistemas possuem obliquidade calculada. A linha vermelha indica a obliquidade relativa ao Sistema Solar (λ ∼ 6◦). relacionado à origem e à migração dos JQs por meio de interações planeta-planeta ou atra- vés do mecanismo de Kozai-Lidov no caso de sistemas binários. Esses dois mecanismos são capazes de gerar a inclinação observada no planeta através da dinâmica gravitacional desde o momento de sua formação.

Determinamos também uma relação entre a obliquidade e a massa estelar. Pela ﬁ- gura 4.14 notamos que o limite para o início da dispersão nos valores de λ localiza-se em aproximadamente 1.15M , ou seja, estrelas com JQs com massas menores que esse valor mostram uma tendência a apresentar órbitas coplanares em relação ao planeta. Estrelas

71 CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Figura 4.15: Relação entre massa planetária e semi-eixo maior para os jupiterianos quentes da amostra, discriminados em três intervalos de obliquidade. O planeta WASP- 14b é indicado por apresentar valores elevados de massa e obliquidade. mais massivas encontram-se num amplo intervalo de obliquidades.

Também estudamos a excentricidade desses sistemas e sua relação com a obliquidade. Na figura 4.14, os quatro sistemas estudados com alta excentricidade mostram-se com baixo grau de desalinhamento spin-órbita. Além disso, comparando as duas figuras da esquerda, percebemos que os sistemas HAT-P-2 e HAT-P-34 possuem tanto elevados valores de excentricidade quanto de rotação, porém os demais sistemas não apresentam essa correlação. A relação entre massa planetária e semi-eixo maior é vista na figura 4.15 para três valores de obliquidade. Percebemos uma ligeira tendência de jupiterianos quentes mais massivos apresentarem baixos valores de obliquidade, com a evidente exceção do planeta WASP-14b.

72 Cap´ıtulo 5 Conclusões e Perspectivas

"Somewhere, something incredible is waiting to be known"

Carl Sagan

Este trabalho traz uma abordagem sobre três aspectos referentes às estrelas frias e sistemas planetários. A primeira parte do trabalho trata do freio rotacional em estrelas F, G, K e gêmeas solares através de uma descrição teórica e estatístico-fenomenológica. A segunda parte analisa a rotação com dados observacionais, notáveis por sua alta pre- cisão, a ﬁm de estudar as atividades cromosférica e coronal e a ocorrência de planetas do tipo Júpiter quente (JQ) como possíveis agentes causadores do freio. Finalmente, a terceira parte do trabalho estuda a relação de importantes parâmetros orbitais dos JQs com quantidades físicas das estrelas hospedeiras.

5.1 Conclusões

Estudamos a rotação de estrelas F, G e K utilizando uma amostra estatisticamente relevante de medidas espectroscópicas, selecionada a partir do catálogo Geneva-Copenhagen Survey e uma amostra menor contendo dados de vsini com alta resolução e alto sinal- ruído. Para fins de comparação, incluímos na análise uma amostra de gêmeas solares. Primeiramente, localizamos no diagrama H-R a distribuição das estrelas com valores de rotação de alta precisão, mostrando a transição rotacional entre as estrelas de tipos espectrais F e G. Utilizamos a amostra de gêmeas solares para determinar a localização dessas estrelas em um diagrama de momento angular específico como função da massa e verificamos que as gêmeas de fato encontram-se na região de menores valores de momento angular, abaixo da linha de transição. Através de um modelo simples, calculamos

73 CAPÍTULO 5. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS o momento angular levando em consideração a rotação diferencial, estimando o impacto se o núcleo das gêmeas solares rotacionasse com velocidade quatro vezes maior que a su- perfície, baseado no resultado recente obtido para o Sol (Fossat et al., 2017). Notamos que, nesse caso, os valores de momento angular se aproximam dos previstos teoricamente e concluímos que a distribuição interna da rotação em estrelas gêmeas solares pode ser um dos fatores associados à transição rotacional observada em estrelas cujos envelopes convectivo e radiativo se encontrem em diferentes profundidades.

Para estudar o freio rotacional, desenvolvemos um modelo teórico para descrever as distribuições de vsini para as estrelas das três amostras. O modelo produz uma função que é descrita por um fator de freio, x3, associado à perda de momento angular estelar. Estudamos vários fatores de freio e concluímos que o melhor ajuste dos dados corresponde

à x3 = 0.8. Nosso modelo se mostra válido no contexto da girocronologia por recuperar a lei de Skumanich e por descrever adequadamente as estrelas com baixas rotações. No entanto, percebemos que o modelo é insuﬁciente para descrever rotações estelares moderadas ou elevadas.

A segunda parte do trabalho analisa os dados de vsini em função da atividade cromos- férica e coronal e da presença de jupiterianos quentes (JQs). Para a atividade cromosférica 0 utilizamos os dados de log(RHK ), que representa a componente cromosférica das linhas de emissão H e K do Ca II. Observamos uma clara correlação entre rotação e atividade cromosférica para todas as estrelas, exceto para aquelas com JQs detectados. Percebemos uma tendência de estrelas menos ativas possuírem menores valores de vsini, como mostrado em trabalhos anteriores para outras medidas de rotação e atividade cromosférica, como período rotacional e fluxo de Ca II. Para a atividade coronal utilizamos o parâmetro log(Lx/Lbol), determinado a partir de medidas de fluxo de raios-X e também mostramos uma correlação entre esse parâmetro e a rotação, concluindo que estrelas com maiores valores de log(Lx/Lbol) possuem também maiores valores de vsini, exceto para algumas estrelas hospedeiras de JQs. Não percebemos uma relação, entretanto, entre a atividade coronal e o tipo espectral, possivelmente devido a um efeito de seleção. Uma notável conclusão sobre gêmeas solares neste contexto é que o Sol se mostra como uma estrela pouco ativa nesse grupo, comprovando o que foi estudado em trabalhos anteriores sobre o ciclo de atividade solar. Na análise rotação-planetas, percebemos que as estrelas com jupiterianos quentes apresentam o mesmo comportamento rotacional que aquelas sem JQs detectados, sendo raras, no entanto, as estrelas com JQs que apresentam elevados valores de rotação, o que corrobora o fato de que esses planetas são raramente encontrados orbitando estrelas de alta massa. Esses resultados estabelecem que a atividade magnética, possivelmente por meio da ejeção de matéria por ventos, é um mecanismo mais eficiente que a interação gravitacional com JQs no sentido de explicar o freio rotacional observado.

74 CAPÍTULO 5. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

O terceiro tópico desta dissertação trata sobre as características orbitais de jupiterianos quentes e suas relações com parâmetros físicos estelares. Notamos que a maioria dos JQs apresenta excentricidade nula ou muito baixa, com exceção dos planetas HAT-P-17b, HAT-P-34b, HAT-P-2b e HD 17156b. Essa tendência a órbitas pouco excêntricas pode estar relacionada ao fato desses planetas terem sofrido circularização orbital por intermédio da interação por maré ao longo de suas evoluções. Estudamos também o parâmetro orbital conhecido como obliquidade (λ), que mede o grau de desalinhamento entre o spin estelar e o vetor momento angular do planeta. Apesar de a maioria dos jupiterianos quentes serem encontrados em órbitas praticamente coplanares ao eixo de rotação da estrela (λ ∼ 0◦), percebemos que vários desses sistemas são encontrados consideravelmente desalinhados e, por vezes, em órbitas retrógradas em relação à estrela central. Estudando esse parâmetro, mostramos uma clara dependência entre a obliquidade e o tipo espectral estelar. Estrelas de tipo espectral F mostram uma grande dispersão nos valores de λ, enquanto estrelas de tipos G e K possuem valores de obliquidade baixos ou nulos. Este fenômeno pode ser explicado pelo fato de que as estrelas F com JQs a grandes obliquidades possuem zonas convectivas com menor profundidade que as demais estrelas da amostra, de modo que a dissipação por maré produz um lento realinhamento orbital.

Ao estudarmos a relação de parâmetros orbitais com quantidades físicas estelares, percebemos que estrelas com alta rotação apresentam uma tendência a possuírem jupiterianos quentes alinhados com o spin estelar. Também estudamos a relação entre a temperatura efetiva estelar e a obliquidade. Mostramos que a partir de um limite de temperatura (6020K), ocorre uma dispersão nos valores de λ, enquanto em sistemas cujas temperaturas apresentam valores menores que esse limite, os planetas apresentam uma tendência ao alinhamento. Com esse estudo revisitamos o trabalho de Albrecht et al.(2012). Esses autores mostraram que a linha divisória se encontra em Teff = 6250K. Esse resultado também pode ser explicado pela menor profundidade da zona convectiva em estrelas mais quentes e a transição nos valores de obliquidade pode estar relacionada à origem e à mi- gração dos JQs através do mecanismo de interação planeta-planeta. Determinamos uma relação semelhante entre massa estelar e obliquidade, mostrando que o limite de massa se localiza em ∼ 1.15M . Sistemas cujas massas são superiores a esse valor são encontrados num amplo intervalo de obliquidades. Estrelas com massas menores que esse valor possuem jupiterianos quentes aproximadamente alinhados.

Analisamos a relação excentricidade-obliquidade, mostrando que os quatro sistemas com órbitas signiﬁcativamente excêntricas apresentam baixo grau de desalinhamento. Per- cebemos que dois desses sistemas, HAT-P-2 e HAT-P-34, também possuem elevados valores de vsini, embora o mesmo não ocorra para os demais sistemas. Pela pouca quantidade

75 CAPÍTULO 5. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS de dados, não podemos aﬁrmar que haja correlação entre esses parâmetros. Finalmente, construímos um diagrama entre a massa planetária e o semi-eixo maior e notamos que jupiterianos quentes mais massivos possuem uma ligeira tendência de serem encontrados em órbitas alinhadas, com exceção do planeta WASP-14b.

Abaixo descrevemos algumas das perspectivas que devem ser exploradas a partir deste trabalho. Algumas já se encontram em estágio avançado e próximo de publicação.

5.2 Perspectivas

Do ponto de vista teórico, nosso modelo de freio rotacional exige adaptações no sentido de satisfazer a distribuição observada de velocidade rotacional projetada para estrelas com rotações elevadas. A utilização da Mecânica Estatística não-extensiva de Tsallis e a estatística generalizada de Kaniadakis se mostram como teorias favoráveis para um novo estudo sobre o tema, desde que haja uma interpretação física associada aos índices entró- picos neste contexto.

Do ponto de vista observacional, alguns aspectos importantes podem ser destacados como perspectivas deste trabalho:

• Desenvolver estudos sobre jupiterianos quentes em outros sistemas físicos, como orbitando estrelas de diferentes tipos espectrais, estágios evolutivos e em sistemas binários. Este último tópico é particularmente importante para melhor compreendermos o mecanismo migratório de Kozai-Lidov;

• Analisar o efeito da metalicidade na rotação de estrelas com jupiterianos quentes, a ﬁm de estudar também a evolução orbital desses sistemas;

• Estudar a inﬂuência de planetas ainda mais próximos ("Super" JQs) e mais massivos (JQs "supermassivos") em parâmetros estelares, como rotação, atividade e magnetismo;

• Ademais, com o avanço da tecnologia espacial será possível realizar uma considerá- vel ampliação de nossas amostras a partir de dados observacionais provenientes de futuras missões, muitas das quais o Grupo de Estrutura e Evolução Estelar (Ge3) da UFRN está diretamente envolvido, como SPIRou, LUVOIR e PLATO.

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90 Apendiceˆ A Cálculos do modelo de freio rotacional

Neste apêndice mostraremos o desenvolvimento dos cálculos relativos ao modelo de freio rotacional.

Como proposto em Huang(1965, 1967), temos, por deﬁnição:

y = xsini, (A.1) onde x representa uma relação entre a velocidade rotacional projetada vsini e o valor mais pro- vável da velocidade rotacional vm = < vrot >.

Ainda em Huang(1967), temos que taxa com a qual uma estrela perde momento angular pode ser escrita como uma série de potência, na forma:

∞ dx X = − a xj. (A.2) dt j j=0

Considerando o termo j = 3 na equação acima, temos:

dx 3 = −a x3. (A.3) dt 3 3

Integrando a equação A.3 e isolando x3, ﬁcamos com:

1 −0.5 x3 = √ t . (A.4) 2a3

Porém, é ainda necessário analisar a variação de x como função de x3 e uma condição inicial xa. Utilizando um procedimento semelhante ao adotado por Huang(1967), podemos escrever:

91 APÊNDICE A. CÁLCULOS DO MODELO DE FREIO ROTACIONAL

1 1 1 2 = 2 + 2 , (A.5) x xa x3 donde isolamos xa:

x x x = 3 . (A.6) a 2 2 1/2 (x3 − x )

Agora, considerando uma distribuição Maxwelliana, na forma:

4γ 2 f(x )dx = √ x2e−xa dx , x < x , (A.7) a a π a a a c onde xc representa o limite superior imposto pela instabilidade rotacional e γ é um fator de normalização da função f(xa). Substituindo (A.6) em (A.7), temos:

" #2  " #2 4γ x x  x x  f(x, x )dx = √ 3 exp − 3 dx . (A.8) 3 2 2 1/2 2 2 1/2 a π (x − x3)  (x − x3) 

Derivando a equação (A.6), obtemos:

dx x3 a = 3 . (A.9) 2 2 3/2 dx (x3 − x )

De modo que a equação (A.8) pode ser reescrita como:

" # 4γ x2x5 x2x2 f(x, x )dx = √ 3 exp − 3 dx. (A.10) 3 2 2 5/2 2 2 π (x3 − x ) (x3 − x )

E a função de frequência pode ser obtida através da integral (A.11):

∞ Z f(x, x ) φ(y, x ) = y 3 dx. (A.11) 3 x(x2 − y2)1/2 y

Para o limite inferior de integração, considerando x = y sec θ, tem-se que sec θ = 1 para x = y e, portanto, θ = 0. Para o limite superior, temos que lim θ(x) = θ3, para θ ∈ [0, 2π]. De x→∞

92 APÊNDICE A. CÁLCULOS DO MODELO DE FREIO ROTACIONAL maneira que agora podemos reescrever a integral (A.11) em termos de θ:

θ3 Z f(θ, x ) tan θ φ(y, x ) = y 3 dθ. (A.12) 3 y(sec2 θ − 1)1/2 0

Com a substituição trigonométrica sec2 θ − 1 = tan2 θ, podemos reescrever a integral de uma forma simpliﬁcada:

θ Z 3 φ(y, x3) = f(θ, x3)dθ. (A.13) 0

Escrevendo f(x, x3) em termos de θ, temos que:

! 4γ y2x5 sec2 θ x2y2 sec2 θ f(θ, x ) = √ 3 exp − 3 . (A.14) 3 2 2 2 5/2 2 2 2 π (x3 − y sec θ) x3 − y sec θ

Com algumas substituições simples, a expressão ﬁnal para f(θ, x3)dθ ﬁca:

! 4γ y2x5 cos3 θ x2y2 f(θ, x )dθ = √ 3 exp − 3 dθ. (A.15) 3 2 2 2 5/2 2 2 2 π (x3 cos θ − y ) x3 cos θ − y

Finalmente, substituindo a equação (A.15) em (A.13), obtemos:

θ3 4γ Z cos3 θ x2y2 φ (y, x ) = √ x5y2 exp − 3 dθ, (A.16) Skumanich 3 3 2 2 2 5/2 2 2 2 π (x3 cos θ − y ) x3 cos θ − y 0

que representa as distribuições teóricas de vsini de nosso modelo, baseadas no fator de freio x3.

93 Apendiceˆ B Amostras estelares

As estrelas F, G e K do catálogo do Geneva-Copenhagen Survey (Holmberg et al. 2007) podem ser encontradas em http://vizier.cfa.harvard.edu/viz-bin/VizieR?-source=V/117. A seleção de estrelas dessa amostra está descrita no capítulo 3. A tabela B.1 contém os pa- râmetros físicos das 98 estrelas F, G e K provenientes de Reiners e Schmitt (2003). A tabela B.2 contém os parâmetros físicos das 80 estrelas gêmeas solares analisadas, provenientes de dos Santos et al. (2016). Os parâmetros de ambas as tabelas são descritos abaixo.

• HD: número de identiﬁcação no catálogo de Henry-Draper;

• vsini: velocidade rotacional projetada, dada em km.s−1;

• π: paralaxe trigonométrica, dada em milisegundos de arco;

• B − V : índice de cor;

• log(L/L ): logaritmo da luminosidade, dada em luminosidades solares (L );

• log(Teff ): logaritmo da temperatura efetiva;

• log(Lx/Lbol): indicador de atividade coronal;

0 • log(RHK ): indicador de atividade cromosférica;

• HIP: número de identiﬁcação no catálogo do HIPPARCOS;

94 APÊNDICE B. AMOSTRAS ESTELARES

• Mtwin: massas das gêmeas solares, dadas em M .

Tabela B.1: Amostra de estrelas F, G e K de Reiners e Schmitt (2003).

0 HD vsini π B-V log(L/L ) log(Teff ) log(Lx/Lbol) log(RHK ) 693 3.8 52.94 0.48 0.4892 3.804 - - 739 2.4 45.85 0.45 0.4741 3.813 - - 1581 2.3 116.38 0.57 0.0690 3.778 - - 2151 3.3 133.78 0.61 0.5488 3.768 -6.335 - 2726 13.5 22.19 0.36 0.9325 3.840 -3.834 -4.407 3302 17.8 27.61 0.46 0.8067 3.810 -4.998 - 4247 42.7 35.92 0.35 0.6941 3.843 - - 4813 2.6 64.69 0.51 0.2031 3.795 -5.817 -4.865 10700 1.8 274.17 0.72 -0.3424 3.740 -6.208 -4.980 13445 2.3 91.63 0.81 -0.3841 3.721 -5.595 - 13555 3.8 33.19 0.45 0.7588 3.813 - - 16417 2.5 39.16 0.65 0.3951 3.757 -5.517 -5.050 17051 4.2 58.0 0.56 0.2059 3.781 -4.964 - 20766 2.7 82.51 0.64 -0.1154 3.760 -5.713 - 20794 2 165.02 0.71 -0.2095 3.743 -6.684 - 22001 13.2 46.65 0.41 0.6711 3.825 -5.921 - 23249 2.3 110.58 0.91 0.4927 3.701 -7.130 - 23754 13.8 55.79 0.43 0.7117 3.819 - - 25570 34.5 27.8 0.37 0.8247 3.837 -5.184 - 25621 16.7 28.87 0.50 0.8279 3.798 -4.898 -4.818 27442 2.9 54.84 1.07 0.7338 3.673 -6.487 - 30652 17.3 124.6 0.48 0.4258 3.804 -4.989 -4.650 33093 4.7 27.6 0.60 0.6598 3.770 - - 33256 9.7 39.99 0.45 0.6817 3.813 -5.937 - 35296 15.9 68.19 0.54 0.2254 3.787 -4.377 - 38393 7.7 111.49 0.48 0.3623 3.804 - - 40136 15.5 66.47 0.33 0.7635 3.849 - - 43386 19.5 51.0 0.43 0.4617 3.819 -4.994 - 57749 40.0 3.59 0.35 2.4506 3.843 - - 60532 5.3 38.91 0.52 0.9367 3.792 - - 65907 2.4 61.76 0.57 0.0754 3.778 - - 67228 3.7 42.86 0.64 0.5455 3.760 - -5.120 68456 9.8 46.75 0.43 0.6572 3.819 -5.098 -

95 APÊNDICE B. AMOSTRAS ESTELARES

72673 2.7 82.15 0.78 -0.4516 3.727 - -4.950 76932 2.6 46.9 0.52 0.2673 3.792 - - 80586 4.8 13.39 0.91 1.8145 3.701 - - 89449 17.3 47.24 0.45 0.6322 3.813 - - 89569 12.2 27.91 0.48 0.6813 3.804 -5.132 - 91324 8.0 45.72 0.50 0.6166 3.798 - - 91889 3.3 40.67 0.52 0.3902 3.792 - - 94388 6.0 31.91 0.48 0.7929 3.804 -5.513 - 99285 34.1 21.15 0.39 1.0102 3.831 -5.457 - 100563 13.5 37.65 0.48 0.4373 3.804 -4.902 - 105452 23.5 67.71 0.33 0.6235 3.849 - - 109409 3 35.25 0.68 0.5313 3.750 - - 110379 25.5 84.53 0.36 0.9428 3.840 -5.111 - 112164 3.0 25.17 0.63 0.7350 3.762 - - 114378 19.9 69.81 0.45 0.4770 3.813 - - 114642 12.0 30.72 0.46 0.9020 3.810 - - 114971 2.5 12.58 1.06 1.4527 3.675 - - 115383 4.5 55.71 0.58 0.3617 3.776 -4.439 -4.400 115617 2.2 117.3 0.70 -0.1050 3.745 - -5.040 116568 36.8 33.23 0.41 0.6410 3.825 -6.298 - 117176 3 55.22 0.71 0.4574 3.743 - -4.990 118646 33 20.42 0.43 0.9855 3.819 -5.384 - 121416 2.5 11.48 1.14 1.5401 3.662 - - 122066 40.6 17.43 0.48 1.1022 3.804 -5.087 - 125276 2.8 56.23 0.51 0.0449 3.795 - - 136351 2.8 29.27 0.51 0.9639 3.795 -5.328 - 136352 3.1 68.7 0.63 -0.0043 3.762 - - 136359 20.3 24.0 0.48 0.8724 3.804 -5.097 - 138716 2 34.54 1.00 1.0674 3.685 - - 139211 5.0 32.34 0.50 0.4933 3.798 - - 141004 2.9 85.08 0.60 0.3019 3.770 -6.222 -4.970 141767 7.7 1.09 1.10 3.8107 3.668 - - 142860 10.0 89.92 0.47 0.4451 3.807 -6.758 -4.820 147675 3.9 20.44 0.92 1.7646 3.699 - - 151769 7.7 27.04 0.47 1.1728 3.807 -5.420 - 155555 31.5 31.83 0.79 0.2343 3.725 - - 160032 13.9 45.72 0.41 0.6686 3.825 -5.573 - 160691 3.8 65.46 0.69 0.2497 3.747 - - 160910 32.2 28.15 0.38 0.7778 3.834 -5.306 -

96 APÊNDICE B. AMOSTRAS ESTELARES

160915 12.4 57.0 0.46 0.4370 3.810 - - 164764 8.4 19.22 0.41 1.4173 3.825 -5.739 - 165185 7.5 57.58 0.61 0.0331 3.768 -4.460 - 165499 2.5 56.32 0.59 0.2403 3.773 - - 173667 18.0 52.37 0.48 0.7786 3.804 -5.279 -4.860 175317 17.1 31.24 0.44 0.6794 3.816 -5.393 -4.740 175986 10.4 17.65 0.55 1.0801 3.784 - - 176303 24.6 20.99 0.57 1.1408 3.778 -4.917 - 177474 7.6 55.89 0.52 0.7061 3.792 -6.423 - 186185 14.9 27.26 0.46 0.8257 3.810 -5.435 - 186203 3.6 4.34 0.57 2.5426 3.778 - - 188512 2.3 72.95 0.85 0.7196 3.713 -5.752 -5.21 190248 3.2 163.73 0.75 0.0813 3.734 -6.418 - 191408 1.8 165.24 0.86 -0.5762 3.711 - - 197692 41.7 68.16 0.42 0.5737 3.822 -5.071 - 199260 13.7 47.61 0.50 0.2574 3.798 -4.671 - 199684 21.3 24.11 0.40 0.6884 3.828 - - 203608 2.4 108.5 0.49 0.1379 3.801 - - 206301 4.8 30.73 0.67 0.8905 3.752 -4.636 - 210302 13.6 53.36 0.48 0.4624 3.804 - -4.990 213845 35.7 43.97 0.44 0.5225 3.816 -5.052 - 215648 6.7 61.54 0.50 0.6345 3.798 - -5.070 219482 7.5 48.6 0.52 0.2635 3.792 -4.428 - 219693 19.9 28.89 0.44 0.7553 3.816 -5.367 - 220729 20.4 31.28 0.40 0.6903 3.828 -5.181 - 222368 5.4 72.51 0.50 0.5200 3.798 -6.144 -

Tabela B.2: Amostra de gêmeas solares de dos Santos et al. (2016).

0 HIP vsini π B-V log(L/L ) log(Teff ) log(Lx/Lbol) log(RHK ) Mtwin 1954 1.79 36.15 0.68 -0.1064 3.757 - - 1.025 3203 3.82 38.65 0.62 -0.0645 3.767 - -4.490 1.040 4909 4.01 18.29 0.65 -0.0146 3.767 - - 1.050 5301 2.00 18.18 0.66 0.0187 3.758 - - 0.960 6407 2.30 17.06 0.64 0.0099 3.761 - - 0.980 7585 1.90 38.86 0.65 0.0308 3.766 -4.772 -4.910 1.020 8507 0.77 15.89 0.66 -0.0404 3.758 - - 0.980 9349 2.25 22.80 0.66 0.0060 3.764 - - 1.010 10175 1.83 20.41 0.70 0.2462 3.759 - - 0.990

97 APÊNDICE B. AMOSTRAS ESTELARES

11915 0.99 17.58 0.65 -0.0162 3.760 - - 0.990 14501 1.37 31.76 0.65 0.1261 3.758 - -5.020 0.960 14614 1.97 24.44 0.64 0.0016 3.762 - - 1.000 15527 0.54 27.76 0.63 0.0870 3.762 - - 0.980 18844 1.62 38.89 0.67 0.0422 3.759 - - 0.960 19911 4.12 28.69 0.66 0.0024 3.761 - -4.650 0.990 22263 3.37 75.10 0.63 -0.0294 3.766 -4.731 -4.600 1.050 25670 1.38 21.35 0.66 -0.0490 3.761 - - 1.020 28066 1.32 35.72 0.65 0.1720 3.758 - -5.040 0.970 29432 1.83 43.26 0.64 -0.0943 3.760 - -4.940 1.020 29525 3.85 55.20 0.66 -0.1380 3.759 -4.456 - 1.000 30037 1.76 14.07 0.66 -0.0427 3.753 - - 0.950 30158 1.95 17.00 0.75 0.1089 3.756 - - 0.950 30476 1.43 35.85 0.67 0.1409 3.757 - - 0.960 30502 1.98 16.11 0.66 0.0397 3.757 - - 0.960 33094 1.50 38.77 0.71 0.3209 3.753 - -5.100 0.990 34511 1.99 22.78 0.63 0.0027 3.765 - - 1.020 36512 1.61 27.36 0.64 -0.0484 3.759 - - 0.990 36515 3.76 45.93 0.64 -0.0704 3.767 -5.419 - 1.040 38072 3.14 12.36 0.63 0.0538 3.767 - - 1.020 40133 1.97 29.45 0.67 0.0437 3.760 - -5.030 0.975 41317 1.60 25.74 0.64 -0.0274 3.756 - -4.990 0.960 42333 3.55 42.32 0.66 -0.0312 3.767 -4.781 -4.490 1.060 43297 2.58 33.50 0.69 -0.1122 3.756 - -4.640 1.010 44713 1.57 26.63 0.66 0.1431 3.761 - - 0.980 44935 1.94 15.47 0.66 0.0509 3.762 - - 0.980 44997 1.18 19.93 0.67 -0.0172 3.758 - - 0.975 49756 0.73 26.96 0.65 0.0364 3.763 - -4.980 0.990 54102 1.73 18.16 0.66 -0.0604 3.765 - - 1.040 54287 1.33 31.22 0.68 0.0370 3.758 - - 0.960 54582 0.65 30.58 0.61 0.2230 3.769 - -5.020 1.025 62039 1.89 21.51 0.68 0.1206 3.760 - -5.050 0.970 64150 1.98 38.07 0.67 0.0447 3.759 - -4.980 0.970 64673 1.86 16.12 0.63 0.1711 3.772 - - 1.040 64713 1.95 14.34 0.66 -0.0993 3.761 - - 1.025 65708 1.35 21.79 0.65 0.2653 3.760 - -5.040 1.000 67620 2.77 50.20 0.70 -0.0556 3.754 -5.749 -4.750 0.950 68468 1.92 10.59 0.65 0.1121 3.768 - - 1.010 69645 2.05 11.00 0.67 0.0711 3.759 - - 0.960

98 APÊNDICE B. AMOSTRAS ESTELARES

72043 1.39 23.87 0.64 0.1541 3.767 - -4.960 1.010 73241 2.08 40.79 0.71 0.1607 3.754 -5.533 - 0.940 73815 1.42 19.12 0.66 0.0829 3.763 - - 0.980 74389 1.09 25.31 0.66 0.0073 3.767 - - 1.030 74432 1.66 35.14 0.68 0.1502 3.755 - -5.110 0.950 76114 1.30 32.35 0.66 0.0101 3.758 - -5.000 0.970 77052 1.58 68.16 0.68 -0.0932 3.755 -5.292 -4.830 0.980 77883 1.95 14.78 0.67 0.0905 3.755 - - 0.940 79578 1.74 45.73 0.65 -0.0226 3.765 - - 1.030 79672 2.08 71.30 0.65 0.0157 3.764 - -4.950 1.010 79715 0.64 18.07 0.65 0.0639 3.764 - - 0.990 81746 1.43 35.18 0.65 0.0133 3.757 - - 0.960 83276 0.50 38.21 0.61 -0.0945 3.770 - - 1.020 85042 1.64 51.39 0.68 -0.0159 3.755 - -5.040 0.950 87769 2.05 17.80 0.69 0.0450 3.764 - - 1.000 89650 1.67 13.58 0.67 0.0800 3.766 - - 1.010 95962 1.41 29.18 0.64 0.0797 3.764 - -4.990 0.990 96160 2.09 16.90 0.65 -0.0059 3.762 - - 1.000 101905 3.06 29.73 0.63 0.0395 3.770 - - 1.040 102040 1.74 47.65 0.61 -0.0103 3.766 - -4.920 1.040 102152 1.78 12.36 0.65 0.0618 3.757 - - 0.950 103983 3.38 15.70 0.65 0.1700 3.760 - -4.820 0.975 104045 2.09 18.64 0.64 0.0410 3.766 - - 1.010 105184 2.64 42.04 0.64 -0.0295 3.766 - - 1.050 108158 1.20 25.10 0.70 0.1465 3.755 - - 0.950 108468 0.91 29.06 0.64 0.1273 3.766 - - 1.000 109821 0.82 45.19 0.65 0.1158 3.759 - - 0.980 114615 2.39 8.02 0.66 0.2695 3.765 - - 1.020 115577 1.32 23.01 0.69 0.1580 3.756 - - 1.060 116906 1.74 23.84 0.65 0.0912 3.763 - - 0.980 117367 1.17 21.43 0.63 0.1798 3.769 - - 1.020 118115 0.89 20.98 0.64 0.1182 3.764 - - 0.990

99 Apendiceˆ C Amostra planetária

A tabela C.1 contém os 46 Jupiterianos quentes com valores de obliquidade determinados na literatura. Os parâmetros da tabela são descritos abaixo.

• Mp: massa planetária, dada em massas de Júpiter (Mjup);

• a: semi-eixo maior, dado em unidades astronômicas (UA);

• e: excentricidade orbital;

• λ: obliquidade ou desalinhamento spin-órbita, dado em graus (◦);

• M∗: massa estelar, dada em massas solares (M );

• Teff : temperatura efetiva, dada em Kelvin (K);

• vsini: velocidade rotacional projetada, dada em km.s−1;

• B − V : índice de cor.

Tabela C.1: Amostra de Jupiterianos quentes.

Planeta Mp a e λ M∗ Teff vsini B-V WASP-14 b 7.69 0.0368 0.091 -33.1 1.31 6475.0 4.9 0.46 HAT-P-27 b 0.62 0.0399 0.0 24.2 0.92 5190.0 0.6 0.99 WASP-25 b 0.58 0.0474 0.0 14.6 1.00 5750.0 3.0 0.40 100 APÊNDICE C. AMOSTRA PLANETÁRIA

WASP-17 b 0.51 0.0499 0.0 -148.5 1.19 6550.0 9.0 0.24 HAT-P-17 b 0.53 0.0882 0.346 19.0 0.86 5246.0 0.3 0.83 WASP-16 b 0.84 0.0418 0.0 -4.2 1.00 5700.0 3.0 1.22 WASP-79 b 0.89 0.0535 0.0 -106.0 1.52 6600.0 19.1 0.41 HAT-P-2 b 8.87 0.0679 0.5171 9.0 1.31 6290.0 20.8 0.41 HAT-P-24 b 0.69 0.0465 0.067 20.0 1.19 6373.0 10.0 0.45 WASP-24 b 1.09 0.0365 0.0 -4.7 1.18 6075.0 7.0 0.78 CoRoT-19 b 1.11 0.0517 0.047 -52.0 1.21 6090.0 6.0 0.56 HAT-P-4 b 0.67 0.0444 0.0 -4.9 1.25 5860.0 0.0 0.70 Kepler-17 b 2.48 0.0268 0.0 0.0 1.16 5781.0 6.0 0.82 WASP-22 b 0.56 0.0469 0.023 22.0 1.10 6000.0 3.5 0.39 WASP-28 b 0.91 0.0446 0.0 8.0 1.02 6150.0 3.25 0.47 CoRoT-11 b 2.35 0.0441 0.0 0.1 1.27 6440.0 40.0 0.93 WASP-13 b 0.47 0.0537 0.0 8.0 1.09 5950.0 5.26 0.89 CoRoT-18 b 3.49 0.0295 0.04 10.0 0.95 5440.0 8.0 0.79 HD 149026 b 0.36 0.0431 0.0 12.0 1.29 6160.0 6.0 0.61 WASP-38 b 2.71 0.0758 0.028 7.5 1.23 6180.0 7.5 0.48 WASP-6 b 0.52 0.0429 0.054 -11.0 0.93 5450.0 1.4 0.99 TrES-1 b 0.75 0.0393 0.0 30.0 0.88 5230.0 10 0.78 HAT-P-16 b 4.20 0.0413 0.036 10.0 1.22 6158.0 3.5 0.47 TrES-4 b 0.93 0.0509 0.0 7.3 1.39 6200.0 9.5 0.52 HAT-P-13 b 0.86 0.0427 0.0133 1.9 1.22 5653.0 2.9 0.73 HAT-P-34 b 3.33 0.0677 0.441 0.0 1.39 6455.0 24.0 0.41 HAT-P-30 b 0.71 0.0419 0.035 73.5 1.24 6304.0 2.2 0.45 WASP-26 b 1.02 0.0400 0.0 -34.0 1.12 5059.0 2.4 0.32 WASP-71 b 2.24 0.0463 0.0 19.8 1.57 6050.0 9.4 0.79 HAT-P-9 b 0.78 0.0529 0.0 16.0 1.28 6350.0 11.9 0.50 HAT-P-6 b 1.06 0.0524 0.0 165.0 1.29 6570.0 8.7 0.67 Qatar-1 b 1.09 0.0234 0.0 -8.4 0.85 4861.0 2.1 1.06 HAT-P-14 b 2.24 0.0606 0.107 -170.9 1.39 6600.0 8.4 0.42 WASP-5 b 1.62 0.0272 0.0 12.1 1.01 5880.0 3.4 0.48 CoRoT-2 b 3.28 0.0281 0.0143 7.2 0.97 5625.0 11.85 0.85 WASP-4 b 1.22 0.0230 0.0 4.0 0.91 5500.0 2.2 0.50 HAT-P-8 b 1.29 0.0450 0.0 -9.7 1.28 6200.0 11.5 0.41 WASP-15 b 0.54 0.0499 0.0 -139.6 1.18 6300.0 4.0 0.37 WASP-32 b 3.45 0.0390 0.0 -2.0 1.07 6140.0 3.9 0.80 WASP-52 b 0.46 0.0271 0.0 24.0 0.87 5000.0 2.5 0.90 HD 17156 b 3.30 0.1632 0.6819 10.0 1.29 6079.0 2.8 0.64 WASP-7 b 0.92 0.0605 0.0 86.0 1.20 6400.0 17.0 0.42

101 APÊNDICE C. AMOSTRA PLANETÁRIA

WASP-41 b 0.94 0.0402 0.0 29.0 0.93 5545.0 2.64 0.73 CoRoT-1 b 1.03 0.0253 0.0 77.0 0.95 5950.0 5.2 0.16 WASP-1 b 0.92 0.0385 0.0 -79.0 1.20 6110.0 5.77 0.20 KELT-7 b 1.28 0.0442 0.0 9.7 1.54 6789.0 65.0 0.43

102 Apendiceˆ D Publicações

Artigo submetido à revista Monthly Notices of the Royal Astronomical Society (MNRAS).

103