2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 3 the 47 53 59 61 6 PR1ME 3 89 97 101 1 magazine 113 127 131 το περιοδικό των φοιτητών και αποφοίτων 1 του Μαθηματικού Α.Π.Θ. 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 Τεύχος: 9 / Σεπτ-Οκτ-Νοεμ 2018 479 487 491 499 503 509 521 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 the PR1ME Τεύχος: 9o magazine ΕΝΤΟΣ: {ΕΚΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ}

07_Τα εν οίκω

11_Ρόδα είναι και γυρίζει... ΣΕΠΤ-ΟΚΤ-ΝΟΕΜ 2018 17_Θεωρία Ramsey: Τάξη μεταξύ του Χάους

29_Kalman Filtering

41_Maryam Mirzakhani: Η πρώτη γυναίκα που ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ κέρδισε βραβείο Fields. η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, η μερική ή περιληπτική, ή κατά παράφραση, ή 47_Το Μέλλον της Εργασίας στην 4 Βιομηχανική διασκευή του περιεχομένου του περιοδικού με Επανάσταση. Η Αξία της δια βίου Μάθησης. οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογραφήσεως ή άλλον, χωρίς 61_Brain’s Anatomy την προηγούμενη γραπτή άδεια του εκδότη.

Νόμοι 238/1970, 4301/1979, Ν.100/1975, Ν.Δ 67_Ο τελεστής του Laplace και η Φασματική 3565/1956 και 4254 και κανόνες του Διεθνούς Γεωμετρία Δικαίου

79_ Η ομορφιά της Μπεϋζιανής Στατιστικής

Ευθύνη για τις δηλώσεις ή γνώμες που διατυπώνονται, φέρουν όσοι τις υπογράφουν επωνύμως, ως αρθρο- 89_Τυχαίος Περίπατος γράφοι ή συνεντευξιαζόμενοι.

101_Η Μοντελοποίηση στη Μαθηματική Εκπαίδευση ακαδημαϊκό έτος

2018-19 113_Math Art by Coral Fang

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 the PR1ME magazine

Το prime magazine αποτελεί πρωτοβουλία φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Τμήματος της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Είναι διαθέσιμο δωρεάν μέσω Διαδικτύου στην ιστοσελίδα: http://the-prime-magazine.math.auth.gr Η επίσημη σελίδα του περιοδικού στο facebook είναι: https://www.facebook.com/theprimemagazine/

Το e-mail του περιοδικού είναι στη διάθεσή σας για επικοινωνία με τους συντάκτες, σχόλια, παρατηρήσεις, λύσεις των ασκήσεων / γρίφων κάθε ενότητας ή ακόμα για να εκδηλώσετε το ενδιαφέρον σας, ώστε να συμμετέχετε στη συντακτική ομάδα του περιοδικού. Τα ονόματα των λυτών θα ανακοινώνονται στο επόμενο τεύχος. [email protected]

ρχισυνταξία: Τεύχος 9ο A Βασίλειος Καλέσης υντακτική Ομάδα: Σ Γεωργία Αποστολίδου ωτογράφος: Γεώργιος Βανασίκας Γεωργία Ευαγγελίδη Γεωργία Γιαμλόγλου Φ Μαρίζα Γουργολίτσα Ευάγγελος Ιωαννίδης κιτσογράφος: Βύρων Μπουλούμης Μάγδα Παπαθανασίου Λάζαρος Μωυσής Σ Αθηνά Νησιώτη Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Κατερίνα Χατζηγεωργίου ομική σύμβουλος: Στάθης Χρόντσιος - Γαρίτσης Ν Ελένη Βαρβαρούση 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 φωτό: Ολύμπου Ζωνάρια από Ν. Καραμπετάκη

Editorial Περνώντας το κατώφλι του 3ου χρόνου κυκλοφορίας, Βιομηχανική Επανάσταση (σελ.: 47), θα ανα- φτάνουμε αισίως στο 9ο συνολικά τεύχος μας και καλύψουμε την Ομορφιά της Μπεϋζιανής Στατιστικής πρώτο για το ακαδημαϊκό έτος 2018-2019. Σε αυτό στη σελίδα 79. Συνεχίζοντας την περιήγηση στις το τεύχος φιλοξενούμε ένα ιδιαίτερο άρθρο, που σελίδες του prime magazine, συναντάμε ένα περιγράφει την καθημερινότητα των ατόμων με εισαγωγικό άρθρο που αφορά τον Τελεστή του Lap- κινητικά προβλήματα (σελ.: 11), μαθαίνουμε για τη lace και τη Φασματική Γεωμετρία (σελ.: 67), ενώ λίγες Θεωρία Ramsey (σελ.: 17) καθώς και το Φίλτρο Kal- σελίδες παρακάτω θα κάνουμε έναν Τυχαίο περίπατο man (σελ.: 29). Αφού διαβάσουμε για την Maryam (σελ.: 89) στη Μαθηματική Μοντελοποίηση (σελ.: Mirzakhani, την πρώτη γυναίκα που κέρδισε βραβείο 101). Τέλος η Coral Fang σκιτσάρει για μας στη Fields (σελ.: 41) και Το μέλλον της εργασίας στην 4η σελίδα 113!

Καλή ανάγνωση! Βασίλειος Καλέσης

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 90 χρόνια Μαθηματικό ΑΠΘ

u Το Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης γιορτάζει την τά ἐν οἴκῳ επέτειο των 90 χρόνων από την ίδρυσή του με μια επιστημονική διημερίδα, η οποία θα λάβει χώρα στις εγκαταστάσεις του την Τετάρτη 19 και την Πέμπτη Τα νέα 20 Δεκεμβρίου 2018. uΜε μεγάλη επιτυχία πραγματοποιήθηκε η 1η Σύ- Στο πλαίσιο της διημερίδας θα δοθούν περίπου 25 νοδος Προέδρων των Τμημάτων Μαθηματικών των ομιλίες, από προσκεκλημένους ομιλητές κυρίως Ελληνικών Πανεπιστημίων, μετά από πρωτοβουλία απόφοιτους του Τμήματος, που είναι, πλέον, διεθνώς του Τμήματος Μαθηματικών του ΑΠΘ. Η Σύνοδος καταξιωμένοι συνάδελφοι σε Πανεπιστημιακά διεξήχθη το Σάββατο 10 Νοεμβρίου 2018 ενώ τις Τμήματα της Ελλάδας και του εξωτερικού καθώς και εργασίες της Συνόδου απασχόλησαν θέματα σχετικά από μέλη του Τμήματος. Η θεματολογία των ομιλιών με τις σπουδές, τα επαγγελματικά δικαιώματα, θα καλύπτει όλους τους τομείς των Μαθηματικών το πιστοποιητικό διδακτικής και παιδαγωγικής που θεραπεύει το Τμήμα μας. επάρκειας, μελλοντικοί σχεδιασμοί και συνέργειες Με τις εργασίες της διημερίδας το Τμήμα μας επιθυμεί μεταξύ των Τμημάτων και Σχολών, οι εξαγγελθείσες να καλύψει το ακόλουθο τρίπτυχο: ιδρύσεις νέων Τμημάτων και η κατάσταση της -Παρουσίαση της σύγχρονης έρευνας σε διάφορους μαθηματικής παιδείας στην πρωτοβάθμια και κλάδους των Μαθηματικών. δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Οι αποφάσεις από τη -Επαφή των προπτυχιακών και μεταπτυχιακών συζήτηση των παραπάνω θεμάτων θα επιδοθούν φοιτητών του Τμήματος με νέους και δυναμικούς υπό τη μορφή πορίσματος στο Υπουργείο Παιδείας, ερευνητές, που πριν από μερικά χρόνια είχαν περάσει Έρευνας & Θρησκευμάτων και θα κοινοποιηθούν από τα ίδια έδρανα. στον Τύπο. -Αναγνώριση και προβολή του έργου του Τμήματος και των αποφοίτων του στην έρευνα και στην κοινωνία. Οι εγγραφές έχουν ανοίξει και γίνονται μέσω της ιστοσελίδας: http://www.math.auth.gr/el/90years/registration Περισσότερες πληροφορίες, θα βρείτε στον σύνδεσμο: https://www.math.auth.gr/el/node/1860#

Η προετοιμασία uΚατά τη διάρκεια του χειμερινού εξαμήνου 2018- 2019 θα πραγματοποιηθούν μαθήματα προετοιμα- σίας για τον φοιτητικό διαγωνισμό SEEMOUS Από αριστερά προς τα δεξιά: Ζωγράφος Κ., Πρόεδρος, Τμήμα (South Eastern European Mathematical Olympiad Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Κουβιδάκης Α., Αντιπρό- εδρος, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Χρυσαφινός Κ., for University Students). Τα μαθήματα θα λάβουν Διευθυντής, Τομέας Μαθηματικών, ΣΕΜΦΕ-ΕΜΠ, Κοκολογιαννάκη Χ., χώρα στην αίθουσα Μ1 του 3ου ορόφου της ΣΘΕ, Πρόεδρος, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πάτρας, Χουσιάδας Κ., κάθε Παρασκευή κατά τις ώρες 18.00-20.00 και Πρόεδρος, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Χαραλάμπους Χ., Πρόεδρος, Τμήμα Μαθηματικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο απευθύνονται σε φοιτητές των δύο πρώτων ετών. Θεσσαλονίκης, Μεταφτσής Β., Κοσμήτορας Σχολής Θετικών Κατ’εξαίρεση μπορούν να λάβουν μέρος φοιτητές Επιστημών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Μπουρνέτας Α., Πρόεδρος, Τμήμα μεγαλύτερων ετών που δεν έχουν συγκεντρώσει Μαθηματικών, Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Ψαρράκος Π., Εκπρόσωπος Κοσμητείας ΣΕΜΦΕ-ΕΜΠ. πάνω από 120 ECTS. Τη διδασκαλία θα επιμεληθούν οι Ιακωβίδης Ι., Καμπάνης Γ., αν. καθηγητής Μαλικιώσης Ρ. Δ., Τσιντσιλίδης Δ. Περισσότερες Η ορκωμοσία πληροφορίες στην ιστοσελίδα: uΤην Τρίτη 20 Νοεμβρίου 2018 θα πραγματοποιηθεί https://sites.google.com/site/romanosdiogenesmalikiosis/ η ορκωμοσία του Τμήματος, στην Αίθουσα Τελετών mathematikoi-diagonismoi/seminario-problematon-cheimeri- του ΑΠΘ. Το prime magazine εύχεται καλή στα- no-18-19 διοδρομία στους ορκιζόμενους! 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3

Ρόδα είναι και γυρίζει...

γράφει η Μαρίζα Γουργολίτσα προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού

Γ ειά σας, με λένε Μαρίζα. Είμαι φοιτήτρια Μαθη- φεύγοντας να περάσω από το φωτοτυπάδικο για ματικού και πρωταθλήτρια κολύμβησης στην κατη- να πάρω τις αφίσες της κινηματογραφικής ομάδας! γορία S4. Τώρα θα αναρωτιέστε τι είναι αυτή η Το μάθημα kickboxing μάλλον θα το αναβάλλω κατηγορία; Θα καταλάβετε στη συνέχεια. Ας πάρου- για αύριο γιατί προέχει η ξεκούραση... Το βράδυ με, όμως, τα πράγματα από την αρχή... δουλεύω! Σκεφτήκατε ποτέ πως είναι, άραγε, μια συνηθισμένη 20.00 το βράδυ, και η βάρδια ξεκινάει... μέρα ενός ατόμου με κινητικά προβλήματα; Πόσο διαφορετική είναι η ρουτίνα του; Ούτε εγώ, μέχρι την 03.00 το πρωί, επιστροφή στο σπίτι και ώρα για 23η Ιουλίου 2011. Μετά από αυτή την ημερομηνία η ύπνο. Λες να προλαβαίνω να δω καμιά σειρά στον ζωή μου άλλαξε. Επιτρέψτε μου να σας εξιστορήσω υπολογιστή; Καλύτερα όχι, πρέπει να ξεκινήσω το πριν και το μετά της καθημερινότητας μιας διάβασμα για την εξεταστική αύριο... φοιτήτριας που απέκτησε κινητικά προβλήματα... 28 Μαΐου 2018 27 Μαΐου 2011 06.55 το πρωί, ξυπνάω... Το ξυπνητήρι του κινητού 10.00 το πρωί και το ξυπνητήρι, χωρίς ίχνος θα ηχούσε στις 7 αλλά το απάλλαξα από το βάρβαρο συμπόνιας, μου υπενθυμίζει ότι σήμερα είναι η καθήκον του πριν σημάνει. Είχα δύσκολο ύπνο τελευταία μέρα μαθημάτων στο πανεπιστήμιο και ότι απόψε. Σίγουρα έβρεξε το βράδυ, το νιώθω... Χωρίς πρέπει να πάρω τις τελευταίες σημειώσεις αν θέλω δεύτερη σκέψη ξεκινάω την καθημερινή ρουτίνα: να έχω μέλλον στην εξεταστική. Πετάω, λοιπόν, Ντουζ, προσωπική υγιεινή, πρωϊνό και λεπτομερής βιαστικά τα πράγματα μου μέσα στην τσάντα και προγραμματισμός των υποχρεώσεων της ημέρας. ξεχύνομαι στο δρόμο για να προλάβω το λεωφορείο. Ακολουθεί το τελετουργικό προετοιμασίας των Όπως πάντα, το λεωφορείο είναι γεμάτο και αυτό τσαντών: Τσάντα κολυμβητηρίου, τσάντα σχολής κάνει τη διαδρομή ακόμα πιο δυσβάσταχτη. Φτάνω και τσάντα φυσιοθεραπείας με όλα τα απαραίτητα, στη σχολή και βγάζω το πρόγραμμα από την τσάντα διπλοτσεκαρισμένα. για να δω μάθημα και αίθουσα... Ωχ, με Λογισμό στον 09.00 το πρωί, αναχωρούμε με τη μητέρα μου ή τον 1ο όροφο θα κλείσει το εαρινό εξάμηνο. Ας είναι... θείο μου για προπόνηση και μισή ώρα αργότερα είμαι 14.00 το μεσημέρι, το μάθημα έχει τελειώσει και με μέσα στην πισίνα. Η φωνή του προπονητή θα δώσει την παρέα έχουμε αποφασίσει να πάμε για φαγητό το πρόγραμμα της ημέρας. Δεν την λες αυστηρή, στη λέσχη και στη συνέχεια για καφεδάκι. «Παιδιά περισσότερο πατρική. 400 μέτρα μικτή προθέρμανση, περιμένετε να πεταχτώ 2 λεπτά στην τουαλέτα και 3 ή 4 σετ των 400 μέτρων και ακολουθούν τα σπρίντ. φύγαμε...» Όσο βαρύ και να ακούγεται το πρόγραμμα, αυτή είναι η ώρα της ημέρας που απολαμβάνω περισσότερο! 17.00 το απόγευμα, το καφεδάκι με τους φίλους έχει Πραγματικά μέσα στο νερό νιώθω άλλος άνθρωπος. λάβει τέλος και είμαστε έτοιμοι να τραβήξουμε ο Ίσως είναι η αίσθηση ελευθερίας που σου προσφέρει καθένας στο σπίτι του. Νιώθω το κεφάλι μου γεμάτο το νερό, δεν το έχω προσδιορίσει ακόμα... πληροφορίες και όμορφες ιστορίες. Πραγματικά γέλασα με τη ψυχή μου και σήμερα. Να μη ξεχάσω 11.00 το πρωί, βγαίνω από την πισίνα και αφού ξεκουραστώ 10 λεπτά, ετοιμάζομαι για τη σχολή.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283Με πολλή293 307τύχη 311και αρκετούς 313 317 ελιγμούς, 331 337 στις 34712.15 349 3 είμαι στην αίθουσα και παρακολουθώ μάθημα. Στο διάλειμμα σαχλαμαρίζω με τους συμφοιτητές μου και στο τέλος χρειάζομαι να επισκεφτώ την τουαλέτα %^&*!$? Η διαδικασία είναι εξίσου περίπλοκη με ταξίδι στον Βόρειο Πόλο. Αρχικά φτάνω στο ισόγειο και από εκεί μεταβαίνω στο γυάλινο κτίριο. Χωρίς να μπω σε λεπτομέρειες και μη έχοντας εμπόδια στη διαδρομή χρειάζομαι 14 λεπτά για μετάβαση και επιστροφή, χρονομετρημένα. Στη συνέχεια το πρόγραμμα έχει φυσιοθεραπεία. Τρώω βιαστικά στο αμάξι ότι έχω ετοιμάσει από την προηγούμενη ημέρα, ειδάλλως το βράδυ. 15.00 το απόγευμα, ξεκινάω την φυσιοθεραπεία και δυόμιση ώρες αργότερα με περιμένουν για να γυρίσουμε σπίτι. Σήμερα λέω να μην πάω για σκοποβολή αλλά να κάτσω σπίτι για να μαγειρέψω, να ξεκουραστώ και να προετοιμαστώ για την επόμενη μέρα. Ενδεχομένως να διαβάσω, αν φυσικά δεν με πάρει ο ύπνος πάνω στο βιβλίο. Και η ρουτίνα 12.00 το μεσημέρι, είμαι στο πάρκινγκ της σχολής επαναλαμβάνεται... και ξεδιπλώνω το πρόγραμμα. Το δίλημμά μου πλέον δεν είναι αν θα διαλέξω να παρακολουθήσω Είμαι σίγουρη πως η πρώτη περιγραφή της καθη- Λογισμό ή Γραμμική Άλγεβρα, αλλά ποια αίθουσα μερινότητας σας είναι οικεία. Ενδεχομένως να έχει είναι προσβάσιμη. Στη συνέχεια προγραμματίζω τη πολλά κοινά με τη δική σας. Η δεύτερη όχι και τόσο... διαδρομή που θα ακολουθήσω για να φτάσω στην Αυτή η αντίθεση μεταξύ των δύο περιγραφών έχει ως αίθουσα. Άραγε θα λειτουργεί το αναβατόρι; Θα σκοπό την ευαισθητοποίηση όλων μας απέναντι στα είναι ανοιχτή η ράμπα ή το απαράδεκτο παρκάρισμα ζητήματα που αντιμετωπίζουν τα άτομα με κινητικά μπροστά από τη σχολή θα μου στερήσει την σημερινή προβλήματα. Με λίγη προσπάθεια απ’ όλους μας παρακολούθηση; Βέβαια, θα πρέπει να αναγνωρίσω αυτές οι δύο περιγραφές θα μοιάζουν ακόμα περισ- ότι έγιναν ενέργειες για να έχω πρόσβαση στη σχολή, σότερο! δυστυχώς, όμως, όχι σε όλους τους χώρους... Μαρίζα

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Θεωρία Ramsey: Τάξη μεταξύ του ΧάουςΘεωρία Ramsey: Τάξη µεταξύ του χάους γράφει ο Χρόντσιος - Γαρίτσης Ευστάθιος - Κωνσταντίνος Phd candidate of UIUC Χρόντσιος-Γαρίτσης Ευστάθιος-Κωνσταντίνος

Εισαγωγή Η ϑεωρία Ramsey είναι κλάδος της Συνδυαστικής που ϕέρει το όνοµά του προς τιµήν του ϕιλόσοφου και µαθηµατικού Frank Plumpton Ramsey, ο οποίος απέδειξε το κεντρικό ϑεώρηµα του κλάδου από το οποίο εκείνος αναπτύχθηκε στη συνέχεια. Κεντρικός στόχος στη Θεωρία Ramsey είναι να αποδεικνύεται πότε µπορεί να υπάρξει κάποιου είδους ¨τάξης¨ εντός της ¨αταξίας¨. Πριν δώσουµε παραδείγµατα, ώστε να γίνει πιο σαφής ο προαναφερθείς στόχος, ϑα χρειαστεί να ξεκαθαρίσουµε τα παρακάτω :

Θα ϑεωρήσουµε ότι 0 / N • 2 (r) Για ένα µη κενό σύνολο X ϑα συµβολίζουµε µε X τα υποσύνολα του • (r) X µε r στοιχεία, δηλαδή X = A X : A = r . Τα στοιχεία του (r) { ⇢ | | } X ϑα τα λέµε r-υποσύνολα του X, ή αν το X είναι συγκεκριµένο τότε απλώς r-σύνολα. (r) Θα κάνουµε τη σύµβαση ότι αν A = a1,a2,...,ar X τότε ϑα • { } 2 εννοούµε a1

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101(2) 103 107 109 113 Μπορούµε να ϐρούµε ένα άπειρο M υποσύνολο του N τέτοιο ώστε το M να είναι είτε µόνο µέσα στο X είτε µόνο µέσα στο συµπλήρωµά του ; Εύκολα παρατηρούµε ότι τα 2-υποσύνολα του άπειρου συνόλου των περιττών ϕυσικών αριθµών ϐρίσκονται εξολοκλήρου εντός του X, δηλαδή το M = 1, 3, 5, 7,... { } είναι µονόχρωµο (δηλαδή τα στοιχεία του ενώνονται µόνο µε µπλε σκοινάκια).

1 Θεωρία Ramsey: Τάξη µεταξύ του χάους

Χρόντσιος-Γαρίτσης Ευστάθιος-Κωνσταντίνος

Εισαγωγή Η ϑεωρία Ramsey είναι κλάδος της Συνδυαστικής που ϕέρει το όνοµά του προς τιµήν του ϕιλόσοφου και µαθηµατικού Frank Plumpton Ramsey, ο οποίος απέδειξε το κεντρικό ϑεώρηµα του κλάδου από το οποίο εκείνος αναπτύχθηκε στη συνέχεια. Κεντρικός στόχος στη Θεωρία Ramsey είναι να αποδεικνύεται πότε µπορεί να υπάρξει κάποιου είδους ¨τάξης¨ εντός της ¨αταξίας¨. Πριν δώσουµε παραδείγµατα, ώστε να γίνει πιο σαφής ο προαναφερθείς στόχος, ϑα χρειαστεί να ξεκαθαρίσουµε τα παρακάτω :

Θα ϑεωρήσουµε ότι 0 / N • 2 (r) Για ένα µη κενό σύνολο X ϑα συµβολίζουµε µε X τα υποσύνολα του • (r) X µε r στοιχεία, δηλαδή X = A X : A = r . Τα στοιχεία του (r) { ⇢ | | } X ϑα τα λέµε r-υποσύνολα του X, ή αν το X είναι συγκεκριµένο τότε απλώς r-σύνολα. (r) Θα κάνουµε τη σύµβαση ότι αν A = a1,a2,...,ar X τότε ϑα • { } 2 εννοούµε a1

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Μπορούµε να ϐρούµε ένα άπειρο M υποσύνολο του N τέτοιο ώστε το M (2) να είναι είτε µόνο µέσα στο X είτε µόνο µέσα στο συµπλήρωµά του ; Εύκολα παρατηρούµε ότι τα 2-υποσύνολα του άπειρου συνόλου των περιττών ϕυσικών αριθµών ϐρίσκονται εξολοκλήρου εντός του X, δηλαδή το M = 1, 3, 5, 7,... { } είναι µονόχρωµο (δηλαδή τα στοιχεία του ενώνονται µόνο µε µπλε σκοινάκια).

Η οπτική απόδοση µε τα χρώµατα ϐοηθάει πολύ, ϑα τη χρησιµοποιούµε 1 στη συνέχεια και ϑα αναφερόµαστε σε αυτήν ως χρωµατισµός του εκάστο- (2) τε συνόλου, π.χ. του N παραπάνω. ΄Οταν ϑα ϑέλουµε να προσδιορίσου- µε το πλήθος των χρωµάτων που χρησιµοποιούµε (στην ουσία το πλήθος (r) των διαφορετικών κλάσεων µιας διαµέρισης του N ) ϑα αναφερόµαστε σε (2) k-χρωµατισµό, π.χ. 2-χρωµατισµός του N παραπάνω.

Ωστόσο, δεν είναι πάντα τόσο εύκολο να ϐρούµε ένα µονόχρωµο άπειρο σύνολο. Παράδειγµα 2. Ας ϑεωρήσουµε ότι χρωµατίζουµε µπλε το Ϲεύγος ij αν και µόνο αν το i + j έχει περιττό πλήθος διαφορετικών πρώτων παραγόντων, αλλιώς το χρωµατίζουµε κόκκινο. Σε αυτήν την περίπτωση δεν υπάρχει γνωστό µονόχρω- µο άπειρο σύνολο Ϲευγών. Μπορούµε παρ΄όλ΄ αυτά να πούµε µε σιγουριά ότι υπάρχει ένα µονόχρωµο άπειρο υποσύνολο του N(2), χάρη στο παρακάτω ϑε- ώρηµα.

Θεώρηµα Ramsey. ΄Εστω ότι χρωµατίζουµε το N(r) µε k χρώµατα. Τότε υπάρ- χει άπειρο υποσύνολο του N µονόχρωµο ως προς το χρωµατισµό αυτόν.

Απόδειξη. Αντιστοιχίζοντας µοναδικά κάθε χρώµα σε έναν αριθµό, ο χρωµατι- (r) σµός αυτός είναι ουσιαστικά µια απεικόνιση c : N 1, 2,...,k ! { } Οπότε αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει άπειρο υποσύνολο M N στου οποί- ⇢ ου τα r-σύνολα η c είναι σταθερή. Θα το δείξουµε αυτό µε επαγωγή στον πληθάριθµο των υποσυνόλων r.

Για r =1το ϑεώρηµα προκύπτει από την Αρχή του Περιστερώνα, εφό- • σον τα χρώµατα είναι πεπερασµένα σε πλήθος, ενώ το πλήθος των ϕυ- σικών άπειρο, εποµένως ϑα υπάρχει άπειρο υποσύνολο M N όπου ⇢ c =σταθερό |M Ας υποθέσουµε ότι το ϑεώρηµα ισχύει για r 2 και έστω • (r+1) ≥ (r+1) c : N 1, 2,...,k ένας k-χρωµατισµός του N . ! { } (r) ∆ιαλέγουµε τυχαία ένα a1 N. Ας χρωµατίσουµε το (N a1 ) µε 2 (r) − { } τον εξής χρωµατισµό: d1 :(N a1 ) 1, 2,...,k µε − { } ! { } (r) d1(F )=c(F a1 ), F (N a1 ) [ { } 8 2 − { } Τότε από την υπόθεση της επαγωγής B1 N a1 άπειρο και 9 ⇢ − { } µονόχρωµο,µε χρώµα d1 (r) = c1. ∆ηλαδή |B1 c(F a )=c F B (r) [ { 1} 1 8 2 1

∆ιαλέγουµε τυχαία ένα a2 B1 µε a2 >a1. Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 472 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 ότι B2 B1 a1 άπειρο µε 9 ⇢ − { } c(F a )=c F B (r) [ { 2} 2 8 2 2

2 Η οπτική απόδοση µε τα χρώµατα ϐοηθάει πολύ, ϑα τη χρησιµοποιούµε στη συνέχεια και ϑα αναφερόµαστε σε αυτήν ως χρωµατισµός του εκάστο- (2) τε συνόλου, π.χ. του N παραπάνω. ΄Οταν ϑα ϑέλουµε να προσδιορίσου- µε το πλήθος των χρωµάτων που χρησιµοποιούµε (στην ουσία το πλήθος (r) των διαφορετικών κλάσεων µιας διαµέρισης του N ) ϑα αναφερόµαστε σε (2) k-χρωµατισµό, π.χ. 2-χρωµατισµός του N παραπάνω.

Ωστόσο, δεν είναι πάντα τόσο εύκολο να ϐρούµε ένα µονόχρωµο άπειρο σύνολο. Παράδειγµα 2. Ας ϑεωρήσουµε ότι χρωµατίζουµε µπλε το Ϲεύγος ij αν και µόνο αν το i + j έχει περιττό πλήθος διαφορετικών πρώτων παραγόντων, αλλιώς το χρωµατίζουµε κόκκινο. Σε αυτήν την περίπτωση δεν υπάρχει γνωστό µονόχρω- µο άπειρο σύνολο Ϲευγών. Μπορούµε παρ΄όλ΄ αυτά να πούµε µε σιγουριά ότι υπάρχει ένα µονόχρωµο άπειρο υποσύνολο του N(2), χάρη στο παρακάτω ϑε- ώρηµα.

Θεώρηµα Ramsey. ΄Εστω ότι χρωµατίζουµε το N(r) µε k χρώµατα. Τότε υπάρ- χει άπειρο υποσύνολο του N µονόχρωµο ως προς το χρωµατισµό αυτόν.

Απόδειξη. Αντιστοιχίζοντας µοναδικά κάθε χρώµα σε έναν αριθµό, ο χρωµατι- (r) σµός αυτός είναι ουσιαστικά µια απεικόνιση c : N 1, 2,...,k ! { } Οπότε αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει άπειρο υποσύνολο M N στου οποί- ⇢ ου τα r-σύνολα η c είναι σταθερή. Θα το δείξουµε αυτό µε επαγωγή στον πληθάριθµο των υποσυνόλων r.

Για r =1το ϑεώρηµα προκύπτει από την Αρχή του Περιστερώνα, εφό- • σον τα χρώµατα είναι πεπερασµένα σε πλήθος, ενώ το πλήθος των ϕυ- σικών άπειρο, εποµένως ϑα υπάρχει άπειρο υποσύνολο M N όπου ⇢ c =σταθερό |M Ας υποθέσουµε ότι το ϑεώρηµα ισχύει για r 2 και έστω • (r+1) ≥ (r+1) c : N 1, 2,...,k ένας k-χρωµατισµός του N . ! { } (r) ∆ιαλέγουµε τυχαία ένα a1 N. Ας χρωµατίσουµε το (N a1 ) µε 2 (r) − { } τον εξής χρωµατισµό: d1 :(N a1 ) 1, 2,...,k µε − { } ! { } (r) d1(F )=c(F a1 ), F (N a1 ) [ { } 8 2 − { } Τότε από την υπόθεση της επαγωγής B1 N a1 άπειρο και 9 ⇢ − { } 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazined (r) = c 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 µονόχρωµο,µε χρώµα 1 B 1. ∆ηλαδή 113 127 131 137 139 149 151 157 163| 1671 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271c(F 277a 281)= 283c 293F 307B 311(r) 313 317 331 337 347 349 3 [ { 1} 1 8 2 1

∆ιαλέγουµε τυχαία ένα a2 B1 µε a2 >a1. Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται 2 ότι B2 B1 a1 άπειρο µε 9 ⇢ − { } c(F a )=c F B (r) [ { 2} 2 8 2 2

Συνεχίζοντας επαγωγικά µε τον ίδιο2 τρόπο προκύπτουν ϕυσικοί αριθµοί a1,a2,a3,... και χρώµατα c1,c2,c3,... τέτοιοα ώστε { } c(a a ...a )=c i

Λόγω της Αρχής του Περιστερώνα, εφόσον όλα τα ci 1, 2,...,k , 2 { } άπειρα από αυτά τα χρώµατα ταυτίζονται, δηλαδή cj1 = cj2 = cj3 = ....

Οπότε το aj1 ,aj2 ,aj3 ,... είναι ένα άπειρο,µονόχρωµο ως προς το c { } υποσύνολο του N.

Παρατήρηση. Να σηµειωθεί ότι για r 2 δεν αρκεί να χρησιµοποιήσουµε την ≥ Αρχή του Περιστερώνα απευθείας. Για να γίνει κατανοητό το γιατί, ας δούµε την περίπτωση r =2. Η Αρχή µας δίνει ότι αν πάρουµε άπειρο υποσύνολο του N τότε άπειρα από τα Ϲεύγη του ϑα είναι ίδιο χρώµα, δε µας εγγυάται ότι όλα τα 2-σύνολά του ϑα είναι το ίδιο χρώµα µεταξύ τους ! Εποµένως δίνει ένα άπειρο M N τέτοιο ώστε N M (2) µε c =σταθερό. ΄Αρα µπορεί αν ⇢ 9 ⇢ |N M = m ,m ,m ,... το N = m m ,m m ,... µε m m / N, που δε { 1 2 3 } { 1 3 3 4 } 1 2 2 µας αρκεί για την απόδειξη του ϑεωρήµατος.

Χάρη σε αυτό το ϑεώρηµα αναπτύχθηκε ένας νέος κλάδος της συνδυα- στικής, εξαιρετικά χρήσιµος στη Θεωρία Γραφών. Η ύπαρξη ενός µονόχρω- µου συνόλου (ή αλλιώς ενός υποσυνόλου του N του οποίου τα r-υποσύνολα (r) ϐρίσκονται όλα σε µία κλάση µιας διαµέρισης του N ) δίνει πάτηµα για πολ- λές εφαρµογές και σε άλλους κλάδους, όπως για παράδειγµα στην Τοπολογία, τις οποίες ϑα εξετάσουµε σε επόµενο τεύχος.

Αναφορές

[1] B. Bollobas, Combinatorics, C.U.P. 1986

[2] R. Graham, B. Rothschild and J. Spencer, Ramsey Theory, John Wiley 1990

Αναφορές: [1] Bollobas, B. (1986). Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors, and Combinatorial Probability. UK: Cam bridge University Press. [2] Graham, R., Rothschild, Spencer, J. (1990). Ramsey Theory. USA: Wiley.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

3 Kalman Filtering Λάζαρος Μωυσής, Μαθηµατικός, PhD Τι εννοούµε µε τον όρο «φίλτρο» Ένα σύστηµα αυτοµάτου ελέγχου λειτουργεί µε τη χρήση υπολογιστών, οι οποίοι χρησιµοποιούν µετρήσεις από ένα σύνολο αισθητήρων για να ελέγξουν την οµαλή λειτουργία του συστήµατος. Παραδείγµατα συστηµάτων ελέγχου είναι η αυτόµατη πλοήγηση ενός σκάφους ή ο έλεγχος της θερµοκρασίας/στάθµης/ph µιας βιοµηχανικής δεξαµενής. Οι αισθητήρες που χρησιµοποιούν τέτοια συστήµατα λοιπόν µπορεί να µετρούν θέση, ταχύτητα, επιτάχυνση, πίεση θερµοκρασία, pH, στάθµη, πυκνότητα κτλ. Στην πράξη, οι µετρήσεις που λαµβάνονται από τους αισθητήρες πολύ συχνά είναι ανακριβείς και υπάγονται σε διαταραχές, τις οποίες ονοµάζουµε θόρυβο. Αυτό µπορεί να συµβεί για διάφορους λόγους, όπως για παράδειγµα όταν επικρατούν ακραίες περιβαλλοντικές συνθήκες (π.χ. κατά τη διάρκεια µιας πτήσης), όταν η µέτρηση λαµβάνεται από µεγάλη απόσταση (π.χ. από έναν δορυφόρο), ή όταν τα αισθητήρια όργανα έχουν υποστεί µερική καταστροφή. Το φίλτρο Kalman [1,3,4] είναι ένας αλγόριθµος που εφαρµόζεται σε τέτοια συστήµατα ελέγχου που διέπονται από θόρυβο, µε σκοπό τον «καθαρισµό» των µετρήσεων που χρειάζονται. Ο αλγόριθµος λοιπόν ονοµάζεται «φίλτρο», αφού στοχεύει στο να φιλτράρει το θόρυβο από το σύστηµα και να εξοµαλύνει τα αποκτηθέντα αποτελέσµατα. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157Το 163 φίλτρο 167 χρησι 173µοποιεί 179 181τη γνώση 191 που 193 έχου 197µε πάνω 199 στα 211 χαρακτηριστικά 223 227 229 του θορύβου 233 239 241 251 257 263 269 271(µέση 277 τιµ 281ή, διακύ 283µανση 293), και 307 τον αποβάλλει311 313 από 317 το 331 σύστη 337µα. Για 347 κάθε 349 χρονική 3 στιγµή δηλαδή υπάρχουν τρεις τιµές µιας µετρούµενης µεταβλητής. Τη χρονική στιγµή k, η πραγµατική τιµή της µεταβλητής είναι x(k). Η µετρούµενη τιµή µέσω του αισθητήριου οργάνου είναι xπριν(k), η οποία λόγωγράφει θορύβου ο Λάζαρος δεν ταυτίζεται Μωυσής µε την πραγµατική τιµή, Kalman Filtering Μαθηματικός, Ph.D υπάρχει εποµένως σφάλµα eπριν(k)=|x(k)- xπριν(k)|. Με τη χρήση του φίλτρου, αποκτούµε µια βελτιωµένη εκτίµηση xµετα(k), πιο κοντά στην πραγµατική τιµή, δηλαδή eµετα(k)=|x(k)- xµετα (k)|< eπριν(k).

Τι εννοούμε με τον όρο «φίλτρο»;

Ένα ψηφιακό σύστημα αυτόματου ελέγχου λειτουρ- γεί με τη χρήση υπολογιστών, οι οποίοι χρησιμοποι- ! ούν μετρήσεις από ένα σύνολο αισθητήρων για να εικόναΕικόνα' 11::'Εκτιμήσεις'σε'χρόνο' Εκτιμήσεις σε χρόνοk, kk,+1,... k+1. ελέγξουν την ομαλή λειτουργία του συστήματος. Παραδείγματα συστημάτων ελέγχου Τιείναι είναι η θόρυβοςαυτό- ;Τι είναι θόρυβος; ματη πλοήγηση ενός σκάφους ή ο έλεγχος της Σαν θόρυβο ορίζουµε µια στοχαστική διαδικασία, η οποία συνήθως ακολουθεί την θερμοκρασίας/στάθμης/ph μιας βιομηχανικής δεξα- Σαν θόρυβο ορίζουμε μια στοχαστική διαδικασία, η μενής. Οι αισθητήρες που χρησιμοποιούνκανονική τέτοια κατανο συ- µοποίαή (Gaussian συνήθως), είναι ακολουθεί ασυσχέτιστη την κανονική, µε µέση κατανομήτιµή µ=0 και πεπερασµένη στήματα, λοιπόν, μπορεί να μετρούν θέση,διακύ ταχύτητα,µανση. Σε αυτή(Gaussian), την περίπτωση είναι ασυσχέτιστη, µιλάµε για λευκό με μέση θόρυβο τιμή μ=0 (White και Noise) που είναι επιτάχυνση, πίεση, θερμοκρασία, pH, στάθμη,το πιο πυκνό-σύνηθες πεπερασμένηείδος θορύβου διακύμανση. στις µηχανικές Σε αυτή εφαρ τηνµ ογέςπερίπτωση. Είναι σηµαντικό να τητα κτλ. Στην πράξη, οι μετρήσεις πουτονίσου λαμβάνονταιµε πως η µμιλάμεόνη γνώση για λευκόγια το θόρυβο που(White χρειαζό Noise)µαστε που ώστε είναι να εφαρµοστεί το από τους αισθητήρες πολύ συχνά είναιφίλτρο ανακριβείς είναι η µ έσητο τι µπιοή και σύνηθες η διακύ µείδοςανση . θορύβουΈνα παράδειγ στιςµ αμηχανικές σήµατος λευκού θορύβου και υπάγονται σε διαταραχές, τις οποίεςφαίνεται ονομάζουμε στην Εικόνα εφαρμογές. 2. Είναι σημαντικό να τονίσουμε πως η θόρυβο. Αυτό μπορεί να συμβεί για διάφορους μόνη γνώση για το θόρυβο που χρειαζόμαστε ώστε λόγους, όπως για παράδειγμα, όταν επικρατούν να εφαρμοστεί το φίλτρο είναι η μέση τιμή και η ακραίες περιβαλλοντικές συνθήκες (π.χ. κατά τη διακύμανση. Ένα παράδειγμα σήματος λευκού θο- διάρκεια μιας πτήσης), όταν η μέτρηση λαμβάνεται ρύβου φαίνεται στις εικόνες 2 και 3. από μεγάλη απόσταση (π.χ. από έναν δορυφόρο), ή όταν τα αισθητήρια όργανα έχουν υποστεί μερική καταστροφή. Το φίλτρο Kalman[1,3,4,5] είναι ένας αλγόριθμος που εφαρμόζεται σε τέτοια συστήματα ελέγχου που διέπονται από θόρυβο, με σκοπό τον «καθαρισμό» των μετρήσεων. Ο αλγόριθμος, λοιπόν, ονομάζεται «φίλτρο», αφού στοχεύει στο να φιλτράρει το θόρυβο από το σύστημα και να εξομαλύνει τα αποκτηθέντα αποτελέσματα. ! Το φίλτρο χρησιμοποιεί τη γνώση που έχουμε εικόνα 2: Σήμα λευκού θορύβου. πάνω στα χαρακτηριστικά του θορύβου (μέση τιμή, Εικόνα'2:'Θόρυβος διακύμανση) και τον αποβάλλει από το σύστημα. Για Παράδειγµα σφαλµάτων: Εκτίµηση θέσεως µέσω GPS κάθε χρονική στιγμή δηλαδή υπάρχουν τρεις τιμές μιας μετρούμενης μεταβλητής. Τη χρονική στιγμή Το σύστηµα εντοπισµού θέσης GPS λειτουργεί λαµβάνοντας σήµα από το κινητό και k, η πραγματική τιμή της μεταβλητής είναι x(k). Η µετρώντας την απόσταση του από τρείς ή τέσσερις διαφορετικούς δορυφόρους, μετρούμενη τιμή μέσω του αισθητήριου οργάνου εκτιµάει τη θέση του χρήστη. Φυσικά, επειδή το σήµα αυτό διανύει πολύ µεγάλη

είναι xπριν(k), η οποία λόγω θορύβου δεν ταυτίζεται απόσταση, είναι εύκολο να υπάρξουν σφάλµατα στην εκτίµηση της απόσταση αυτής με την πραγματική τιμή, υπάρχει επομένως σφάλμα [2]. Το σήµα, διερχόµενο από την ιονόσφαιρα και την τροπόσφαιρα (1,2) υπόκειται σε

eπριν(k)=|x(k)-xπριν(k)|. µικρές διαθλάσεις, αφού διέρχεται από στρώµατα διαφορετικής πυκνότητας, υγρασίας Με τη χρήση του φίλτρου, αποκτούμε μια βελτιωμένη και ηλεκτροµαγνητικής φόρτισης. Επιπλέον, η καταγραµµένη στον υπολογιστή θέση

εκτίμηση xμετα(k), πιο κοντά στην πραγματική τιμή, του δορυφόρου µπορεί να διαφέρει ελαφρώς από την πραγµατική του, λόγω της δηλαδή επίδρασης της βαρύτητας της σελήνης ή του ήλιου (3). Τα ατοµικά ρολόγια (5) που

eμετα(k)=|x(k)- xμετα(k)|< eπριν(k). χρησιµοποιούν οι δορυφόροι για να µετρήσουν την απόσταση του σήµατος έχουν απώλεια 1 sec κάθε ένα εκατοµµύριο χρόνια, δηλαδή µερικά νανοδευτερόλεπτα κάθε εικόνα 3: Σήμα λευκού θορύβου. µέρα, τα οποία µπορούν να προσθέσουν σφάλµα στις µετρήσεις. Τέλος, σφάλµατα πολυδιόδευσης προκύπτουν γιατί το σήµα δε λαµβάνεται πάντοτε από την ευθεία 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67διαδρο 71 73µή 79, αλλά 83 ανακλάται 89 97 101 σε 103διάφορα 107 αν 109τικεί µ113ενα στο περιβάλλον του χρήστη. Κάθε ένα από τα παραπάνω σφάλµατα µπορεί να οδηγήσει σε απόκλιση ενός έως πέντε µέτρων, τα οποία αθροιστικά µπορούν να οδηγήσουν σε εντελώς λανθασµένες εκτιµήσεις. Το φίλτρο Kalman εδώ κρίνεται απαραίτητο για την απαλοιφή των θορύβων που εµφανίζονται.

! Εικόνα'3:'Σφάλματα'GPS 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Παράδειγμα σφαλμάτων: Εκτίμηση θέσεως μέσω GPS

Το σύστημα εντοπισμού θέσης GPS λειτουργεί λαμβάνοντας σήμα από το κινητό και μετρώντας την απόσταση του από τρείς ή τέσσερις διαφορετικούς δορυφόρους, εκτιμάει τη θέση του χρήστη (εικ. 4). Φυσικά, επειδή το σήμα διανύει πολύ μεγάλη απόσταση, είναι εύκολο να υπάρξουν σφάλματα στην εκτίμηση της απόσταση αυτής[2]. Το σήμα, Εφαρμογές διερχόμενο από την ιονόσφαιρα και την τροπόσφαιρα (1), (2) υπόκειται σε μικρές διαθλάσεις, αφού Επειδή όπως αναφέραμε διέρχεται από στρώματα διαφορετικής πυκνότητας, στις περισσότερες μηχανικές υγρασίας και ηλεκτρομαγνητικής φόρτισης. Επι- και τεχνολογικές εφαρμογές οι πλέον, η καταγραμμένη στον υπολογιστή θέση του μετρήσεις είναι θορυβώδεις, το Φίλτρο δορυφόρου μπορεί να διαφέρει ελαφρώς από την Kalman έχει ευρεία χρήση. Η οικονομετρία, η σεισμο- πραγματική του, λόγω της επίδρασης της βαρύτητας λογία, η μετεωρολογία, η ψηφιακή επεξεργασία εικό- της σελήνης ή του ήλιου (3). Τα ατομικά ρολόγια (5) νας, ο έλεγχος στατικής επάρκειας, το GPS, τα προ- που χρησιμοποιούν οι δορυφόροι για να μετρήσουν γράμματα αυτόματης πλοήγησης, τα ραντάρ, τα την απόσταση του σήματος έχουν απώλεια 1 sec ατομικά ρολόγια είναι μερικές μόνο από τις εφαρ- κάθε ένα εκατομμύριο χρόνια, δηλαδή μερικά να- μογές του[1,3]. νοδευτερόλεπτα κάθε μέρα, τα οποία μπορούν να προσθέσουν σφάλμα στις μετρήσεις. Τέλος, σφάλ- Παράδειγμα: ματα πολυδιόδευσης προκύπτουν γιατί το σήμα δε Σύστημα Μάζας - Ελατηρίου - Αποσβεστήρα λαμβάνεται πάντοτε από την ευθεία διαδρομή, αλλά ανακλάται σε διάφορα αντικείμενα στο περιβάλλον Σαν ένα απλό παράδειγμα, θεωρούμε ένα σύστημα του χρήστη (4). Κάθε ένα από τα παραπάνω σφάλ- με δύο μάζες συνδεδεμένες με ελατήρια και ματα μπορεί να οδηγήσει σε απόκλιση ενός έως πέντε αποσβεστήρες μεταξύ τους και στα άκρα δύο τοίχων. μέτρων, τα οποία αθροιστικά μπορούν να οδηγήσουν σε εντελώς λανθασμένες εκτιμήσεις. Το φίλτρο Kal- man εδώ κρίνεται απαραίτητο για την απαλοιφή των θορύβων που εμφανίζονται.

εικόνα 4: Σφάλματα GPS

2 3 5109_ 7 11 the13 17 prime 19 23 magazine 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3

εικόνα 5: Σύστημα μάζας ελατηρίου αποσβεστήρα.

Τέτοια συστήματα έχουν πολλές μηχανικές εφαρμογές, όπως θα δούμε σε επόμενο άρθρο. Θεωρούμε πως υπάρχει ένας αισθητήρας που καταγράφει την μετατόπιση του δεξιού σώματος, ο οποίος, όμως, υπόκειται σε θόρυβο. Στην εικόνα 6 βλέπουμε την πραγματική μετατόπιση του σώματος, τη μέτρηση που λαμβάνουμε από τον αισθητήρα και την εκτίμηση της μέτρησης αυτής μετά την εφαρμογή του φίλτρου Kalman. Είναι σαφές πως η βελτιωμένη μέτρηση βρίσκεται πολύ κοντύτερα στην πραγματική τιμή της μεταβλητής.

εικόνα 6: Μετατόπιση 2ου σώματος με χρήση φίλτρου Kalman.

“Ευχαριστίες στον Τχη (ΔΒ) Π. Κυρίτση για τη συζήτηση και τα σχόλια γύρω από τη λειτουργία του GPS, καθώς Αναφορές: και για τη συνολική συνεργασία.” [1] Grewal, M. S., & Andrews, A. P. (2010). Applications of Kalman filtering in aerospace 1960 to the present [historical per spectives]. IEEE Control Systems, 30(3), 69-78. [2] Κυρίτσης, Π. (2017). Τεχνικές και τρόποι παραποίησης δεδομένων συσκευών εντοπισμού θέσεις (GPS Hijacking). Κίνδυνοι και απειλές που προκύπτουν από την εσκεμμένη αλλοίωση του σήματος. Αξιολόγηση και εκτίμηση των μεθόδων και τεχνικών παραπλάνησης σε πολιτικές-στρατιωτικές κινητές πλατφόρμες καθώς και παρουσίαση πιθανών τρόπων αντιμετώπισης. Διπλωματική εργασία ΜΔΕ στα Πληροφοριακά Συστήματα, ΕΑΠ. [3] Μωυσής, Λ. (2017). Rudolf E. Kalman – Ο θεμελιωτής της Μοντέρνας Θεωρίας Ελέγχου. The Prime Magazine, τεύχος 5. [4] Μωυσής, Λ. (2012). Φίλτρο Kalman. https://www.researchgate.net/publication/273632153_To_Philtro_Kalman_An_intro duction_to_the_Kalman_Filter . [5] Gelb, A. (Ed.). (1974). Applied optimal estimation. MIT press. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 109_ the prime magazine37 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3

Maryam Mirzakhani: η πρώτη γυναίκα που κέρδισε βραβείο Fields

γράφει η Αθηνά Νησιώτη προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού

Λίγα λόγια για το βραβείο… Το βραβείο Fields -το νόμπελ των μαθηματικών όπως θεωρείται από πολλούς- είναι το πιο γνωστό βραβείο μαθηματικών παγκοσμίως. Απονέμεται σε 2, 3 ή 4 μαθηματικούς κάτω των 40 ετών στο συνέδριο της διεθνούς μαθηματικής ένωσης (IMU), το οποίο διεξάγεται κάθε 4 χρόνια. Το βραβείο θεμελιώθηκε από τον Καναδικής καταγωγής John Charles Fields με σκοπό να καλύψει το κενό που υπήρχε από την έλλειψη βραβείου Νόμπελ για τα μαθηματικά και να δώσει κίνητρο για έρευνα σε νέους μαθηματικούς. Το πρώτο βραβείο δόθηκε το 1936 στο Σ Όσλο στους Lars Valerian Ahlfors και Jesse Douglas. Έκτοτε κάθε 4 χρόνια βραβεύονται διακεκριμένοι μαθηματικοί (Συνολικά μέχρι σήμερα 60). Το βραβείο συνοδεύεται από το ποσό των 15.000 καναδικών δολαρίων. Για το 2018 βραβεύτηκαν οι Caucher Birkar, Alessio Figalli, Peter Scholze, Akshay Venkatesh. Η πρώτη και μοναδική, μέχρι σήμερα, γυναίκα μαθηματικός που βραβεύτηκε με τον ύψιστο αυτό τίτλο είναι η ιρανή Maryam Mirzakhani.

Η ζωή και το έργο της…

Η σπουδαία μαθηματικός γεννήθηκε στις 3 Μαΐου 1977 στην Τεχεράνη, όπου και μεγάλωσε. Πήγε σε σχολείο για ειδικά ταλέντα και κατάφερε να γίνει το πρώτο κορίτσι που πήρε μέρος στην ολυμπιακή μαθηματική ομάδα της χώρας της. Στην ολυμπιάδα του 1994 μάλιστα κατέκτησε χρυσό μετάλλιο, ενώ ένα χρόνο αργότερα, το 1995, απέσπασε και πάλι χρυσό, πράγμα που συνέβαινε για πρώτη φορά σε έναν μαθητή από τη χώρα της. Παρά το ταλέντο που είχε, όπως αργότερα αποδείχτηκε, στα μαθηματικά, Το μετάλλιο που δίνεται στους νικητές είναι από χρυσό 14kt και η αξία του προσδιορίζεται στα 5.500 δολάρια Καναδά. Στην φαίνεται πως η πορεία της στο χώρο αυτό δεν ήταν εξ μπροστινή πλευρά απεικονίζεται το πρόσωπο του Αρχιμήδη αρχής δεδομένη. Σε συνέντευξή της έχει δηλώσει ότι ενώ από στην πίσω αναγράφεται στα λατινικά ένα κείμενο ως παιδί τη συνάρπαζε η λογοτεχνία και ήθελε να γίνει του οποίου η μετάφραση είναι: «Στους μαθηματικούς που συγκεντρώθηκαν από ολόκληρο τον κόσμο απονέμεται (αυτό το συγγραφέας, ενώ την απόφασή της να ασχοληθεί με μετάλλιο) εξαιτίας των εξαιρετικών τους γραπτών» τα μαθηματικά την πήρε στην προτελευταία χρονιά του σχολείου. Το 1999 έλαβε πτυχίο μαθηματικών από το Sharif University of Technology της Τεχεράνης. Συνέχισε τις σπουδές της στο Harvard University στις Η.Π.Α. από όπου και απόκτησε το διδακτορικό της το 2004, υπό την επίβλεψη του βραβευμένου με βραβείο Fields, Curtis McMullen. Στη συνέχεια εργάστηκε στο Clay Mathematics Institute και στο πανεπιστήμιο Prince- ton, ενώ το 2008 έγινε καθηγήτρια στο πανεπιστήμιο Stanford.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239H 241Maryam 251 εξειδικευόταν 257 263 269 στη 271 γεωμετρία 277 281 μη 283Ενδεικτικά 293 307η καθηγήτρια 311 313 στο317 πανεπιστήμιο331 337 347 της 349 3 κανονικών σχημάτων και είχε ανακαλύψει νέους Οξφόρδης και μέλος της επιτροπής που αποφασίζει τρόπους υπολογισμού του όγκου αντικειμένων με τις υποψηφιότητες για τα Fields, Frances Kirwan υπερβολικές επιφάνειες, ενώ το έργο της, παρά είπε: «Ελπίζω ότι αυτό το βραβείο θα εμπνεύσει τον πολύ θεωρητικό του χαρακτήρα, έχει πολλές πολλά κορίτσια και νεαρές γυναίκες, σε αυτή τη εφαρμογές σε άλλες επιστήμες. Πέθανε το 2017, σε χώρα και σε ολόκληρο τον κόσμο, να πιστέψουν ηλικία 40 ετών, από καρκίνο. Ήταν παντρεμένη και στις ικανότητές τους και να βάλουν ως στόχο να είχε μία κόρη. κερδίσουν ένα Fields Medal στο άμεσο μέλλον». Ενώ η πρόεδρος της Διεθνούς μαθηματικής Είπαν για την Maryam… εταιρείας Ingrid Daubechies ανέφερε «Η Mirzakhani O McMullen περιέγραφε την Mirzakhani ως άτομο είναι πασίγνωστη στην Τεχεράνη, όπου αποτελεί με ατρόμητη φιλοδοξία, ενώ μιλώντας για την παράδειγμα προς μίμηση για τα νέα κορίτσια. Η διατριβή της είπε ότι η πλειονότητα των μαθηματικών βράβευσή της δίνει οριστικό τέλος στο επίμονο δε θα καταφέρει ποτέ να έχει τόσο καλό έργο όσο ερώτημα: γιατί καμία γυναίκα δεν έχει κερδίσει το εκείνη μόνο από τη διατριβή της, αφού κατάφερε Fields;» O πρόεδρος του πανεπιστημίου Stanford να λύσει δύο από τα δυσκολότερα προβλήματα που Marc Tessier-Lavigne δήλωσε για το θάνατό της ότι « παρέμεναν άλυτα για πολλά χρόνια. Οι συνάδελφοί Η Maryam έφυγε από κοντά μας τόσο γρήγορα, αλλά της την περιγράφουν ως μία λαμπρή επιστήμονα, το φωτεινό παράδειγμά της θα παραμείνει ζωντανό αλλά και ως έναν ταπεινό άνθρωπο που της άρεσε και θα εμπνέει χιλιάδες γυναίκες σε όλο τον κόσμο, να συνεργάζεται να μιλά με όλους και να δίνει εκείνες που θα θελήσουν να ακολουθήσουν το δρόμο συμβουλές. Το γεγονός ότι κατάφερε να γίνει η των μαθηματικών και της επιστήμης» πρώτη γυναίκα που βραβεύτηκε με Fields medal Ας γίνει λοιπόν αυτή η σπουδαία μαθηματικός σχολιάστηκε από πολλούς. πρότυπο προς μίμηση για όλους μας…

“I hope that this award will inspire lots more girls and young wom- en, in this country and around the world, to believe in their own abilities and aim to be the Fields medallists of the future”.

Maryam Mirzakhani, 1977-2017.

Βιβλιογραφία: [1] Tropp, H.(1976). The origins and history of Fields Medal. Historia Mathematica, Vol 3 (No 2), 167-181. doi 10.1016/0315- 0860(76)90033-1 [2] Kasra, R.(2017). Maryam Mirzakhani (1977-2017). Nature, 549. doi 10.1038/549032a [3] Myers, A. & Carey, B. Maryam Mirzakhani, Stanford mathematician and Fields Medal winner, dies. Ανακτήθηκε την 21/08/2018 από τον ιστότοπο: https://news.stanford.edu/2017/07/15/maryam-mirzakhani-stanford-mathemati cian-and-fields-medal-winner-dies/ [4] Klarreich, E. (2014, August 12). A Tenacious Explorer of Abstract Surfaces. Quanta Magazine. Ανακτήθηκε την 21/08/2018 από τον ιστότοπο: https://www.quantamagazine.org/maryam-mirzakhani-is-first-woman-fields-medalist-20140812/ [5] Interview with Research Fellow Maryam Mirzakhani. (2008) Ανακτήθηκε από http://www.claymath.org/library/annual_re port/ar2008/08Interview.pdf [6] Καρουζάκης, Γ. Πέθανε η κορυφαία μαθηματικός Maryam Mirzakhani. Ανακτήθηκε την 21/08/2018 από τον ιστότοπο: https://thalesandfriends.org/el/2017/07/15/pethane-i-korifaia-mathimatikos-maryam-mirzakhani/ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Το Μέλλον της Εργασίας στην 4η Βιομηχανική Επανάσταση: Η Αξία της Δια Βίου Μάθησης

γράφει ο Βαγγέλης Ιωαννίδης Μαθηματικός, Ph.D

O αντίκτυπος της τεχνητής νοημοσύνης στο μέλλον της αγοράς εργασίας αναμένεται ιδιαίτερα εμφανής[1]. Τα νέα επιστημονικά και τεχνολογικά επι- τεύγματα που συγκροτούν την λεγό- μενη «4η Βιομηχανική Επανάσταση[2,3]» αναμένεται να αλλάξουν σημαντικά την κατανομή των θέσεων εργασίας, καθώς και την φύση της εργασίας αυτής [4,5] καθαυτής . Τα «σύνορα» μεταξύ της Nash: “Κάθε παιχνίδι μπορεί δυνητικά να εργασίας που εκτελούν οι άνθρωποι και βρεθεί σε σημείο ισορροπίας, ένα σημείο της εργασίας που εκτελείται από μηχανές δηλαδή στο οποίο κανένας δεν μπορεί και αλγόριθμους επαναπροσδιορίζονται. Οι επικείμενες αλλαγές στην αγορά να βελτιώσει την κατάσταση στην οποία εργασίας δύναται να οδηγήσουν σε βρίσκεται δεδομένου του τι κάνουν οι άλλοι” καλύτερες δουλειές και γενικότερα καλύ- τερη ποιότητα ζωής, εφόσον όμως υπάρξει προ- Εικόνα 1: H 4η βιομηχανική επανάσταση (Πηγή: WEF 2018) ηγουμένως η απαραίτητη πρόληψη για το σκοπό αυτό. Αντιθέτως, εάν δεν υλοποιηθούν κατάλληλες Οι επενδύσεις, όμως, σε ρομποτικές τεχνολογίες να πολιτικές δια βίου μάθησης, υπάρχει ο κίνδυνος είναι κάπως πιο εξειδικευμένες κατά την περίοδο 2018 διεύρυνσης της αναντιστοιχίας των δεξιοτήτων (skills - 2022. Πιο συγκεκριμένα, ενώ τα σταθερά ρομπότ mismatch), καθώς και πόλωσης αυτών (skills polar- (stationary robots) αναμένεται να υιοθετηθούν σε ization)[6]. Στην πρόσφατη έκθεση του Παγκόσμιου υψηλό βαθμό (37%) μέχρι το 2022, σε συγκεκριμένες Οικονομικού Forum (WEF) με τίτλο «Te Future of βιομηχανίες η χρήση των ρομποτικών τεχνολογιών Jobs[7]» παρουσιάζονται τα ευρήματα για το μέλλον είναι διαφορετική (εικόνα 2). της απασχόλησης που αναμένονται κατά την περίοδο 2018-2022 σε 20 οικονομίες σε 12 βιομηχανικούς 2. Υπάρχει μια καθαρή θετική προοπτική για θέσεις τομείς. εργασίας, εν μέσω σημαντικής αλλαγής των ρό- λων της εργασίας 1. Η αυτοματοποίηση και τα ρομπότ επηρεάζουν σε Μέχρι το 2022, τα νέα επαγγέλματα αναμένεται διαφορετικό βαθμό διαφορετικές βιομηχανίες να αυξηθούν από 16% σε 27%, ενώ η αλλαγή στον Τo νέο ασύρματο δίκτυο 5ης γενιάς (5G network), η ρόλο της εργασίας, που επηρεάζεται ένεκα της ραγδαία εξέλιξη στην τεχνητή νοημοσύνη (artifcial τεχνολογικής εξέλιξης, προβλέπεται να μειωθεί από intelligence), καθώς και η δυνατότητα για ανάλυση 31% σε 21%. Σε νούμερα, 75 εκατομμύρια τρέχοντες μεγάλων δεδομένων σε πραγματικό χρόνο (re- ρόλοι εργασίας δύνανται να «μετατοπιστούν» ένεκα al-time big data analytics) αναμένεται να ωθήσουν της ανακατανομής του εργατικού δυναμικού με- τις εταιρείες να υιοθετήσουν σε μεγάλο βαθμό νέες ταξύ ανθρώπων, μηχανών και αλγορίθμων, ενώ τεχνολογίες μεταξύ 2018 και 2022. Σημαντικές 133 εκατομμύρια νέοι ρόλοι εργασίας δύνανται να επιχειρηματικές επενδύσεις αναμένονται στους εμφανιστούν στο ίδιο χρονικό διάστημα (εικόνα 3). τομείς της μηχανικής μάθησης (machine learning), Στο νέο αυτό τοπίο της αγοράς εργασίας, οι ρόλοι της επαυξημένης πραγματικότητας (augmented re- των εργαζομένων βασίζονται σημαντικά στη χρήση ality) καθώς και της κβαντικής επεξεργασίας (quan- νέας τεχνολογίας και ενισχύονται από αυτήν. tum computing and quantum communication).

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Η επέκταση του μεριδίου των μηχανών στον καταμερισμό της εργασίας θα είναι ιδιαίτερα εμφανής στους συλλογισμούς, στη λήψη αποφάσεων, στις διοικητικές εργασίες και στην αναζήτηση πληροφοριών. Ακόμη και καθήκοντα εργασίας που εκτελούνται σήμερα με κυρίως από ανθρώπους, όπως η επικοινωνία και η αλληλεπίδραση με ανθρώπους, ο συντονισμός ομάδων, αλλά και η διαχείριση και η παροχή συμβουλών, θα αρχίσουν να εκτελούνται από μηχανές, αλλά όμως σε μικρότερο βαθμό. Εικόνα 2: Οι διάφορες όψεις της επανάστασης των ρομπότ. (Πηγή: WEF 2018) 4. Οι νέες εργασίες απαιτούν νέες δεξιότητες 3. Ο καταμερισμός της εργασίας μεταξύ ανθρώπων, Μέχρι το 2022 οι δεξιότητες που θα απαιτούνται μηχανών και αλγορίθμων μετατοπίζεται γρήγορα για την αποτελεσματική εκτέλεση των ρόλων των Οι εργοδότες αναμένουν μια σημαντική μεταστροφή περισσότερων θέσεων εργασίας θα έχουν μεταβληθεί του καταμερισμού της εργασίας μεταξύ ανθρώπων, σημαντικά. Η μέση παγκόσμια «σταθερότητα των μηχανών και αλγορίθμων. Επί του παρόντος, κατά δεξιοτήτων» (skills stability), δηλαδή η αναλογία μέσο όρο το 71% των συνολικών ωρών εργασίας των βασικών δεξιοτήτων που απαιτούνται για την σε όλες τις βιομηχανίες, που καλύπτονται από την εκτέλεση μιας εργασίας η οποία παραμείνει η ίδια, έκθεση «Future of Jobs 2018-2022[7]», εκτελούνται αναμένεται να είναι περίπου 58%. Αυτό σημαίνει ότι από ανθρώπους, ενώ το 29% εκτελούνται από οι εργαζόμενοι θα δουν μια αλλαγή ως προς στις μηχανές ή αλγόριθμους. Μέχρι το 2022 αυτή η δεξιότητες που θα απαιτούνται στο χώρο εργασίας αναλογία αναμένεται να μετατοπιστεί σημαντικά. κατά 42%, κατά μέσον όρο, κατά την χρονική περίοδο Πιο συγκεκριμένα, αναμένεται ότι το ποσοστό των έως το 2022. Οι δεξιότητες που αναπτύσσονται ωρών εργασίας που θα εκτελούνται από ανθρώπους γρήγορα περιλαμβάνουν την αναλυτική σκέψη θα πέσει στο 58%, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για και την ενεργό μάθηση (εικόνα 6). Ωστόσο, η τις μηχανές και τους αλγόριθμους θα ανέβει στο 42% εξοικείωση με τις νέες τεχνολογίες είναι μόνο ένα (εικόνα 4). Μέχρι το 2022, το 62% των εργασιών μέρος της «εξίσωσης των δεξιοτήτων» του 2022. που σχετίζονται με την αναζήτηση πληροφοριών, Δεξιότητες όπως η δημιουργικότητα, η πρωτοτυπία την επεξεργασία των δεδομένων, καθώς και με την και η πρωτοβουλία, η κριτική σκέψη, η πειθώ και διαβίβαση αυτών σε άλλους κόμβους, θα εκτελούνται οι διαπραγματευτικές ικανότητες, η προσοχή στη από μηχανές και αλγορίθμους. λεπτομέρεια, η αντοχή, η ευελιξία και η ικανότητα για επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων, θα διατη- ρήσουν ή ακόμα και θα αυξήσουν την «αξία» τους, για τουλάχιστον έως το 2022 (εικόνα 6). Επίσης, η συναισθηματική νοημοσύ- νη, η ηγεσία και η κοινω- νική επιρροή, αναμένεται να γνωρίσουν σημαντική αύξηση της ζήτησής τους, σε σχέση με την σημασία τους σήμερα (εικόνα 6).

Εικόνα 3: Tο τοπίο των θέσεων εργασίας το 2022. (Πηγή: WEF 2018) Εικόνα 3: Tο τοπίο των θέσεων εργασίας το 2022. (Πηγή: WEF 2018)

3. Ο καταµερισµός της εργασίας µεταξύ ανθρώπων, µηχανών και αλγορίθµων µετατοπίζεται 2 3 5 γρήγορα7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

Οι εργοδότες αναµένουν µια σηµαντική µεταστροφή του καταµερισµού της εργασίας µεταξύ ανθρώπων, µηχανών και αλγορίθµων. Επί του παρόντος, κατά µέσο όρο το 71% των συνολικών ωρών εργασίας σε όλες τις βιοµηχανίες, που καλύπτονται από την έκθεση «Future of Jobs 2018- 2022» [7], εκτελούνται από ανθρώπους, ενώ το 29% εκτελούνται από µηχανές ή αλγόριθµους.

Μέχρι το 2022 αυτή η αναλογία αναµένεται να µετατοπιστεί σηµαντικά. Πιο συγκριµένα, αναµένεται ότι το ποσοστό των ωρών εργασίας που θα εκτελούνται από ανθρώπους θα πέσει στο 58%, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τις µηχανές και τους αλγόριθµους θα ανέβει στο 42% (Εικόνα 4). Μέχρι το 2022, το 62% των εργασιών που σχετίζονται µε την αναζήτηση πληροφοριών, την επεξεργασία των δεδοµένων, καθώς και µε την διαβίβαση αυτών σε άλλους κόµβους, θα εκτελούνται από µηχανές και αλγορίθµους.

Η επέκταση του µεριδίου των µηχανών στον καταµερισµό της εργασίας θα είναι ιδιαίτερα εµφανής στους συλλογισµούς, στη λήψη αποφάσεων, στις διοικητικές εργασίες και στην αναζήτηση πληροφοριών. Ακόµη και καθήκοντα εργασίας που εκτελούνται σήµερα µε κυρίως από ανθρώπους, όπως η επικοινωνία και η αλληλεπίδραση µε ανθρώπους, ο συντονισµός οµάδων, αλλά και η διαχείριση και η παροχή συµβουλών, θα αρχίσουν να εκτελούνται από µηχανές, αλλά όµως σε µικρότερο βαθµό. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109

113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173γνωρίσουν 179 ση 181µαντική 191αύξηση της193 ζήτησής 197 τους, σε 199 σχέση µ211ε την ση µ223ασία τους 227 σήµερα 229(Εικόνα 5). 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3

5. Θα πρέπει όλοι να γίνουμε «μαθη- τές» δια βίου Κατά μέσο όρο, οι εργαζόμενοι θα χρειαστούν 101 ημέρες για επανεκπαίδευση και αναβάθμιση των δεξιοτήτων τους, έως το 2022 Εικόνα 5: Top 10 Δεξιοτήτων το 2022. (Πηγή: WEF 2018) (εικόνα 6). Τα αναδυόμενα κενά 5. Θα πρέπει όλοι να γίνουµε «µαθητές» δια βίου δεξιοτήτων (skills gaps), τόσο μετα- ξύ των εργαζομένων μεμονωμένα, Κατά µέσο όρο, οι εργαζόµενοι θα χρειαστούν 101 ηµέρες για επανεκπαίδευση και αναβάθµιση των δεξιοτήτων τους, έως το 2022 (Εικόνα 6). Τα αναδυόµενα κενά δεξιοτήτων (skills gaps), τόσο όσο και μεταξύ των διοικήσεων των µεταξύ των εργαζοµένων µεµονωµένα, όσο και µεταξύ των διοικήσεων των οργανισµών, ενδέχεται να παρεµποδίσουν σηµαντικά τη διαδικασία σύγκλισης των δεξιοτήτων µε τους νέους οργανισμών, ενδέχεται να παρε- αναδυόµενους ρόλους των εργαζοµένων. Εκτιµάται ότι περίπου το 50% µε 65% των εταιρειών μποδίσουν σημαντικά τη διαδικασία είναι πιθανό να στραφούν σε εξωτερικούς εργολάβους ή έκτακτους υπαλλήλους και ελεύθερους επαγγελµατίες, προκειµένου να αντιµετωπίσουν αποτελεσµατικά τις ελλείψεις στις δεξιότητες των σύγκλισης των δεξιοτήτων με τους Εικόναεργαζο 4: Ρυθµένωνµός τους Αυτο. Μιαµατοποίησης ολοκληρωµ ένη2022. προσέγγιση (Πηγή: WEFγια τον 201 προγρα8) µµατισµό του εργατικού δυναµικού, την επανεκπαίδευση και την αναβάθµιση των δεξιοτήτων αποτελεί το κλειδί για την νέους αναδυόμενους ρόλους των Εικόναθετική 4: Ρυθμός και προορατική Αυτοματοποίησης διαχείριση των αλλαγών2022. (Πηγή: στις νέες WEF απαιτού 2018)µενες δεξιότητες του εργατικού δυναµικού. εργαζομένων. Εκτιμάται ότι περίπου το 50% με 65% των εταιρειών είναι πιθανό να στραφούν σε εξωτερικούς εργολάβους ή έκτακτους υπαλλήλους

και ελεύθερους επαγγελματίες, προκειμένου να αντιμετωπίσουν αποτελεσματικά τις ελλείψεις στις 4. Οι νέες εργασίες απαιτούν νέες δεξιότητες δεξιότητες των εργαζομένων τους. Μια ολοκληρωμένη προσέγγιση για τον προγραμματισμόΜέχρι του το 2022εργατικού οι δεξιότητες που θα απαιτούνται για την αποτελεσµατική εκτέλεση των ρόλων δυναμικού, την επανεκπαίδευση καιτων την περισσότερων αναβάθμιση θέσεων εργασίας θα έχουν µεταβληθεί σηµαντικά. Η µέση παγκόσµια «σταθερότητα των δεξιοτήτων» (skills stability), δηλαδή η αναλογία των βασικών δεξιοτήτων που των δεξιοτήτων αποτελεί το κλειδίαπαιτούνται για την για θετικήτην εκτέλεση µιας εργασίας η οποία παραµείνει η ίδια, αναµένεται να είναι

και προορατική διαχείριση των αλλαγώνπερίπου 58%. στις Αυτό νέες σηµαίνει ότι οι εργαζόµενοι θαΕικόνα δουν µ 6ια (Πηγή αλλαγή: WEF ως 201 προς8) στις δεξιότητες που απαιτούμενεςγνωρίσουν δεξιότητες σηµαντική του αύξηση εργατικού τηςθα απαιτούνται ζήτησήςδυναμικού. στοτους χώρο, σε εργασίας σχέση κατά µε την42%, σηκατάΕικόναµασία µέσον 5: τους(Πηγή:όρο, κατά σή WEFµ τηνερα 2018) χρονική (Εικόνα περίοδο έως το 5). 2022. Οι δεξιότητες που αναπτύσσονται γρήγορα περιλαµβάνουν την αναλυτική σκέψη και την ενεργό µάθηση (Εικόνα 5). Ωστόσο, η εξοικείωση µε τις νέες τεχνολογίες είναι µόνο ένα µέρος της «εξίσωσης των δεξιοτήτων» του 2022. Δεξιότητες όπως η δηµιουργικότητα, η πρωτοτυπία και η πρωτοβουλία, η κριτική σκέψη, η πειθώ και οι διαπραγµατευτικές ικανότητες, η προσοχή στη λεπτοµέρεια, η αντοχή, η ευελιξία και η ικανότητα για επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων, θα διατηρήσουν ή ακόµα και θα αυξήσουν την «αξία» τους, για τουλάχιστον έως το 2022 (Εικόνα 5). Επίσης, η συναισθηµατική νοηµοσύνη, η ηγεσία και η κοινωνική επιρροή, αναµένεται να

Εικόνα 5: Top 10 Δεξιοτήτων το 2022. (Πηγή: WEF 2018) Εικόνα 6: Top 10 Δεξιοτήτων το 2022. (Πηγή: WEF 2018)

5. Θα πρέπει όλοι να γίνουµε «µαθητές» δια βίου

Αναφορές:Κατά µέσο όρο, οι εργαζόµενοι θα χρειαστούν 101 ηµέρες για επανεκπαίδευση και αναβάθµιση [1] https://blogs.microsoft.com/uploads/2018/02/The-Future-Computed_2.8.18.pdfτων δεξιοτήτων τους, έως το 2022 (Εικόνα 6). Τα αναδυόµενα κενά δεξιοτήτων (skills gaps), τόσο [2] https://www.weforum.org/agenda/2016/01/the-fourth-industrial-revolution-what-it-means-and-how-to-respondµεταξύ των εργαζοµένων µεµονωµένα, όσο και µεταξύ των διοικήσεων των οργανισµών, [3] https://www.weforum.org/agenda/2018/07/the-skills-needed-to-survive-the-robot-invasion-of-the-workplaceενδέχεται να παρεµποδίσουν σηµαντικά τη διαδικασία σύγκλισης των δεξιοτήτων µε τους νέους [4] http://www.oecd.org/els/emp/wcms_556984.pdf [5] https://www.mckinsey.com/featured-insights/employment-and-growth/technology-jobs-and-the-future-of-workαναδυόµενους ρόλους των εργαζοµένων. Εκτιµάται ότι περίπου το 50% µε 65% των εταιρειών [6] http://ec.europa.eu/social/main.jsp?catId=1223είναι πιθανό να στραφούν σε εξωτερικούς εργολάβους ή έκτακτους υπαλλήλους και ελεύθερους [7] https://www.weforum.org/reports/the-future-of-jobs-report-2018επαγγελµατίες, προκειµένου να αντιµετωπίσουν αποτελεσµατικά τις ελλείψεις στις δεξιότητες των εργαζοµένων τους. Μια ολοκληρωµένη προσέγγιση για τον προγραµµατισµό του εργατικού δυναµικού, την επανεκπαίδευση και την αναβάθµιση των δεξιοτήτων αποτελεί το κλειδί για την 2 3 5 7 11θετική 13 17 και 19 προορατική 23 29 31 διαχείριση 37 41 43 των 47 αλλαγών 53 59 στις 61 νέες 67 απ 71αιτού 73µ 79ενες 83 δεξιότητες 89 97 101 του εργατικού103 107 109 113 δυναµικού.

Εικόνα 6 (Πηγή: WEF 2018) Ο Γερμανός μαθηματικός David Hilbert (1863-1943) παράστησε την παράδοξη φύση του απείρου μέσω ενός ευφάνταστου παραδείγματος, το οποίο ονομάστηκε Το Ξενοδοχείο του Hilbert. Συγκεκρμένα, εξιστόρισε το παρακάτω:

Όταν ένα συνηθισμένο ξενοδοχείο με πεπερασμένο αριθμό δωματίων είναι γεμάτο, χαρακτηρίζεται ως πλήρες. Δεν υπάρχει τρόπος να φιλοξενήσει οποιονδήποτε επιπλέον ένοικο εάν δεν αποχωρήσει πρώτα ένας ήδη διαμένων. Ωστόσο, δεν λειτουργεί με παρόμοιο τρόπο ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια... Αυτό το ξενοδοχείο δύναται να φιλοξενεί όσους ζητούν δωμάτιο, ακόμα και αν είναι πλήρες. Το ξενοδοχείο του Hilbert έχει άπειρο αριθμό δωματίων, τα οποία φέρουν τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5,... Καταφθάνει ένας επίδοξος ένοικος, ο οποίος προς μεγάλη του απογοήτευση ενημερώνεται ότι όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα. “Μην ανησυχείτε” τον καθησυχάζει ο receptionist, “θα σας βρούμε ένα δωμάτιο”. Κατόπιν, ζητά από τους ενοίκους να μεταφερθούν στο αμέσως επόμενο δωμάτιο. Έτσι ο ένοικος του 1ου δωματίου πηγαίνει στο 2ο, ο ένοικος του 2ου στο 3ο κ.ο.κ. Τώρα το δωμάτιο 1 είναι διαθέσιμο να φιλοξενήσει τον νέο του ένοικο.

Πρόκληση 1η : Βάλτε τον εαυτό σας στη θέση του receptionist και σκεφτείτε τι μπορείτε να κάνετε ώστε να τακτοποιήσετε 10 νέους ενοίκους...

Τώρα, ο επιπλέον ένοικος φιλοξενείται στο Ξενοδοχείο του Hilbert, το οποίο εξακολουθεί να είναι πλήρες. Τότε, όμως, καταφθάνει ένας άπειρος αριθμός νέων επίδοξων ενοίκων. Ατάραχος ο receptionist ζητάει από τους διαμένο- ντες στο ξενοδοχείο να μεταφερθούν στο δωμάτιο που φέρει τον διπλάσιο αριθμό από το δικό τους. Έτσι ο ένοικος του δωματίου 1 θα μεταφερθεί στο 2, ο ένοικος του 2 θα μεταφερθεί στο 4 κ.ο.κ. Με αυτόν τον τρόπο ελευθερώνο- νται τα δωμάτια που φέρουν περιττό αριθμό και στα οποία θα καταλύσουν οι νέοι ένοικοι.

Πρόκληση 2η : Βάλτε τον εαυτό σας στη θέση του receptionist και σκεφτείτε πως θα μπορούσατε να φιλοξενήσετε άπειρες ομάδες αποτελούμενες από άπειρους νέους ενοίκους...

γράφει ο Βασίλειος Καλέσης

Μαθηματικός, ΑΠΘ

Συγχαρητήρια στην Χριστίνα Ζουρνά για τη σωστή της απάντηση! της σωστή τη για Ζουρνά Χριστίνα στην Συγχαρητήρια

τεύχους είναι: Λί-να // Νι-κο-λά-ου. Δες τον περιοδικό πίνακα. πίνακα. περιοδικό τον Δες Νι-κο-λά-ου. // Λί-να είναι: τεύχους 8 του γρίφο στον απάντηση Η ου Ο τελεστής του Laplace και η Φασµατική Γεωµετρία Ο τελεστής του LaplacLaplace και η Φασµατική Γεωµετρία

Το 1966 o Mark Kac δηµοσίευσε ένα άρθρο µε τίτλο την ερώτηση “Can one hear

the shape of a drum?” δηλαδή “Μπορεί κανείς να ακούσει το σχήµα ενός ντραµ;”. Με Το 19661966 oo MarkMark KacKac δηµοσίευσε ένα άρθρο µµε τίτλο την ερώτηση “Can“Can one hear µαθηµατικούς όρους η ερώτηση αυτή διατυπώνεται ως εξής: Ένα ντραµ είναι ένα χωρίο του thethe shapeshape ofof aa drum?drum?” δηλαδή ““Μπορεί κανείς να ακούσει το σχήµα ενός ντραµ;”.. Με δισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου που συγκρατείται από το σύνορό του. Όταν παίζουµε µαθηµατικούς όρους η ερώτηση αυτή διατυπώνεται ως εξής:: Ένα ντραµ είναι ένα χωρίο του ντραµ ακούµε µια άπειρη ακολουθία" συχνοτήτων που δηµιουργείται από τα χτυπήµατα. Η δισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου που συγκρατείται από το σύνορό του.. Όταν παίζουµε ερώτησηντραµ ακού είναιµε µανια άπειρηµπορεί ακολουθίακανείς ℝνα" συχνοτήτωνπροσδιορίσει που τη δηγεωµιουργείταιµετρία, δηλαδή από τα το χτυπή σχήµαταα, του. Η ντραµ ακούµε µια άπειρη ακολουθία" συχνοτήτων που δηµιουργείται από τα χτυπήµατα. Η χωρίου χρησιµοποιώντας µόνο πληροφορίεςℝ από αυτή την ακολουθία συχνοτήτων. Η ίδια ερώτηση είναι αν µµπορεί κανείς ℝνα προσδιορίσει τη γεωµετρία,, δηλαδή το σχήµα,, του ερώτηση µπορεί να τεθεί και για χώρους πέρα του Ευκλείδειου. Συγκεκριµένα γενικεύεται 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 χωρίου37 the_prime_magazine χρησιµοποιώντας µµόνο πληροφορίες 71 73 79 από 83 αυτή 89 την 97 ακολουθία 101 103 συχνοτήτων 107 109.. Η ίδιαίδια σε πολλαπλότητες (εδώ θα ασχοληθούµε µε πολλαπλότητες Riemann) και αποτελεί 113 127 131 137 139 149 151ερώτηση 157 163 µµπορεί 167 να 173 τεθεί 179 και για 181 χώρους 191 πέρα 193 του 197 Ευκλείδειου 199 211.. Συγκεκρι 223 227µένα 229 γενικεύεται αντικείµενο µελέτης της Φασµατικής Γεωµετρίας. σε πολλαπλότητες ((εδώ θα ασχοληθούµε µµε πολλαπλότητες Riemann)Riemann) και αποτελεί 233 239 241 251 257 263 269 271Η 277Φασµ ατική281 283Γεωµετρία 293 ανήκει 307 311στον το313µέα 317της Γεω 331µετρικής 337 Ανάλυσης347 349 και 3 µελετά αντικείµενο µµελέτης της Φασµατικής Γεωµετρίας.. τη σχέση ανάµεσα στη γεωµετρία µιας πολλαπλότητας και το φάσµα του τελεστή Laplace Η Φασµατική Γεωµετρία ανήκει στον τοµέα της Γεωµετρικής Ανάλυσης και µµελετά αυτής της πολλαπλότητας. τηΟ σχέση τελεστής ανάµεσα στη γεω τουµετρία Laplace µµιαςιας πολλαπλότητας και το φάσµα του τελεστή LaplaceLaplace Τι είναι όµως ο τελεστής Laplace και γιατί είναι τόσο σηµαντικός ώστε µια αυτής της πολλαπλότητας.. καιολόκληρη η Φασματική ερευνητική περιοχή τηςΓεωμετρία Γεωµετρικής Ανάλυσης να ασχολείται µαζί του; Πριν Τι είναι όµως ο τελεστής LaplaceLaplace και γιατί είναι τόσο σηµαντικός ώστε µµιαια αναλύσουµε τη γενική περίπτωση που αναφέρεται σε πολλαπλότητες, ας ξεκινήσουµε από ολόκληρη ερευνητική περιοχή της Γεωµετρικής Ανάλυσης να ασχολείται µµαζί του;; Πριν την ειδική και πιο απλή περίπτωση του Ευκλείδειου χώρου . αναλύσουµε τη γενική περίπτωση που αναφέρεται σε πολλαπλότητες,, ας ξεκινήσουµε από Στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, ο τελεστής Laplace" ή Λαπλασιανή (Laplacian) την ειδική και πιο απλή περίπτωσηγράφει η τουΓεωργία Ευκλείδειου Αποστολίδου χώρου .. είναι έναςΣτον γρα nµµ-διάστατοικός, ελλειπτικός Ευκλείδειο και χώρο αυτο, ο-συζυγής τελεστής διαφορικός Laplaceℝ" ή τελεστήςΛαπλασιανή δεύτερης (Laplacian) τάξης Στον n-διάστατο Ευκλείδειο Μαθηματικόςχώρο, ο τελεστής, MSc Theoretical Laplace" ή MathematicsΛαπλασιανή (Laplacian) µε σταθερούς συντελεστές: ℝ ο 1966 o Mark Kac δημοσίευσεείναι ένα ένας άρθρο γρα μεµµ τίτλοικόςικός ,, ελλειπτικός και αυτο--συζυγής διαφορικόςℝ τελεστής δεύτερης τάξης Τ την ερώτηση “Can one hear theµε shape σταθερούς of a drum?” συντελεστές :: " ) δηλαδή “Μπορεί κανείς να ακούσει το σχήμα ενός #:%& " ' → % & )(')2 ντραμ;”. Με μαθηματικούς όρους η ερώτηση αυτή γειτονιά του x από" την τιμή) της συνάρτησης" στο #:%& ' → % & (')2 / , διατυπώνεται ως εξής: Ένα ντραμ είναι ένα χωρίο του σημείο x. Ο βασικός#:%& ' λόγος→ % & για(' )τον2 οποίο" " είναι τόσο όπου είναι ένα ανοικτό υποσύνολο%%%%%%%%%%%%% %του%%%%%%% %,% ,↦ #, = το σύνολο"1 όλων των συναρτήσεων του 2 134 / , δισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου R που συγκρατεί- σημαντικός, οφείλεται στο γεγονός/0, "ότι είναι ένας όπου των οποίων είναι ένα οι µ ανοικτόερικές παράγωγοι υποσύνολο%%%%%%%%%%% %πρώτης% %του%%%%%%% %,2 %και,↦ "#δεύτερης, = το σύνολο τάξης1" υπάρχουνόλων των καισυναρτήσεων είναι συνεχείς του ται από το σύνορό του. Όταν παίζουμεόπου ντραμείναι ένα ακούμε ανοικτό διαφορικός υποσύνολο%%%%%%%%% %τελεστής%%% %του%%%%%%% %,% ,αναλλοίωτος↦ #, = το13 σύνολο4 / στις01 μετατοπίσεις όλων των συναρτήσεων του και των ' οποίων οι σ οιυνεχείς µερικές συναρτήσεις παράγωγοι τουπρώτης ℝ. 2 και& "δεύτερης(') 134 τάξης/0 υπάρχουν και είναι συνεχείς μια άπειρη ακολουθία συχνοτήτων των που οποίων δημιουργείται οι µερικές και παράγωγοι τις στροφές. πρώτης Αποδεικνύεται2 και "δεύτερης τάξης ότι υπάρχουνουσιαστικά και είναι συνεχείς 'και )'Ο τε οιλεστής συνεχείς Laplace συναρτήσεις σε ένα σητουµείο ℝ. του& ( ') µετρά τη διαφορά της µέσης τιµής της από τα χτυπήματα. Η ερώτηση είναικαι αν' μπορεί οι σ υνεχείςκανείς συναρτήσειςπρόκειται για του τον μόνοℝ. & γραμμικό(') διαφορικό τελεστή συνάρτησης' & )('Ο) τε λεστής σε µια Laplace γειτονιά σε του ένα ση απόµείο' την τι τουµή της µ συνάρτησηςετρά τη διαφορά στο σητηµς είοµέσης . Ο τι βασικόςµής της ' ) Ο τελεστής Laplace σε ένα σηµείο του µετρά τη διαφορά nτης µέσης τιµής της Ο τελεστήςνα προσδιορίσει του Laplac τη γεωμετρία,e και η Φασδηλαδήλόγος&µ γιαατική( το' ) τονσχήμα, οποίοΓεω του µείναι ετρίαδεύτερης τόσο ση τάξηςµαντικός με' , αυτή0οφείλεται την' στοιδιότητα γεγονός στον ότι R είναι. Το ένας διαφορικός Ο τελεστής του Laplace και η Φασµσυνάρτησηςατική& ( 'Γεω) µ σεετρία µµιαια γειτονιά του από' την τιµή της συνάρτησης στο σηµείο .. Ο βασικός χωρίου χρησιμοποιώντας μόνοτελεστής πληροφορίες αναλλοίωτος, από γεγονόςστις µετατοπίσεις αυτό0 τον καθιστά και0 τις ιδιαίτερα'στροφές. σημαντικόΑποδεικνύεται αφού ότι0 ουσιαστικά λόγος για τον οποίο είναι τόσο σηµαντικός,, 0οφείλεται' στο γεγονός ότι είναι ένας διαφορικός αυτή την ακολουθία συχνοτήτων.πρόκειται Η ίδια για ερώτηση, τον µόνο πληροί γραµµ ικότους διαφορικό0 φυσικούς τελεστή νόμους δεύτερηςοι οποίοι τάξηςθέλουμε µε νααυτή 0την ιδιότητα τελεστής αναλλοίωτος, στις µµετατοπίσεις0 και τις στροφές.. Αποδεικνύεται ότι0 ουσιαστικά Το 1966 o Markμπορεί Kac να τεθείδηµοσίευσε και για χώρουςένα άρθρο πέραστον µε του τίτλο .Ευκλείδειου. την ερώτηση είναι “Can ανεξάρτητοι one hear από τη θέση και την κατεύθυνση. Το 1966 o Mark Kac δηµοσίευσε ένα άρθρο µε τίτλοπρόκειται την ερώτηση για τον µµ “Canόνο γρα oneµµ hearικόικό διαφορικό τελεστή δεύτερης τάξης µµε αυτή την ιδιότηταιδιότητα the shape of a drum?Συγκεκριμένα” δηλαδή “ Μπορείγενικεύεται κανείς σε ναπολλαπλότητες ακούσει2Το γεγονόςτο σχή (εδώµ ααυτό ενόςΑυτός τον ντρα είναικαθιστάµ;” . καιΜε ιδιαίτερα ο λόγος σηπουµαντικό ο τελεστής αφού Laplaceπληροί τους φυσικούς the shape of a drum?” δηλαδή “Μπορεί κανείς να ακούσειστον το .σχή. µα ενός ντραµ;”. Με µαθηµατικούς όρουςθα η ερώτησηασχοληθούμε αυτή μεδιατυπώνεται πολλαπλότητεςνό ωςµους εξήςℝ Riemann) 2Τοοι: Ένα οποίοιγεγονός ντρα θέλουκαιµ αυτό είναι συναντάταιµε τονένανα είναιχωρίοκαθιστά συνέχεια ανεξάρτητοι του ιδιαίτερα σε τόσες απόσηµ τηπολλέςαντικό θέση εξισώσειςαφού και την πληροί κατεύθυνση της τους φυσικούς. Αυτός µαθηµατικούς όρους η ερώτηση αυτή διατυπώνεται ως εξής: Ένα2Το ντρα γεγονόςµ είναι ένααυτό χωρίο τον τουκαθιστά ιδιαίτερα σηµαντικό αφού πληροί τους φυσικούς δισδιάστατου Ευκλείδειουαποτελεί χώρου αντικείμενο που συγκρατείταιμελέτηςείναι της απόκαιℝ Φασματικής οτο λόγος σύνορό που του οΦυσικής, .τελ Ότανεστής παίζου κάποιες Laplaceµε από συναντάται τις οποίες συνέχεια είναι οι εξής:σε τόσες πολλές εξισώσεις δισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου που συγκρατείται απόνόµ τοουςℝ σύνορό οι οποίοι του .θέλου Ότανµ παίζουε να είναιµε ανεξάρτητοι από τη θέση και την κατεύθυνση.. Αυτός ντραµ ακούµε µια άπειρηΓεωμετρίας. ακολουθία Η Φασματική" συχνοτήτων Γεωμετρία, πουτηςείναι Φυσικήςδη και µλοιπόν,ιουργείται ο λόγος, κάποιες ανήκει που από απόο •τα τελ Η τιςχτυπή εστής εξίσωση οποίεςµ αταLaplace είναι της. Η θερμότητας οισυναντάται εξής: (χρησιμοποιείταισυνέχεια σε τόσες στη πολλές εξισώσεις ντραµ ακούµε µια άπειρη ακολουθία" συχνοτήτων που δηείναιµιουργείται και ο λόγος από τα που χτυπή ο τελµαταεστής. Η Laplace συναντάται συνέχεια σε τόσες πολλές εξισώσεις ερώτηση είναι αν µστονπορεί τομέα κανείς της ℝ ναΓεωμετρικής προσδιορίσει Ανάλυσης τη• !γεω Ηκαιµ εξίσωσηετρία μελετά, δηλαδή τητης θερμελέτη τοµότητας σχή φαινομένωνµα (,χρησι του µ οποιείταιδιάχυσης): στη µελέτη φαινοµένων διάχυσης): ερώτηση είναι αν µπορεί κανείς ℝνα προσδιορίσει τη γεωτηςµ ετρίαΦυσικής, δηλαδή,, κάποιες το απόσχή µτιςα, οποίεςτου είναι οι εξής:: χωρίου χρησιµοποιώνταςσχέση µανάμεσαόνο πληροφορίες στη γεωμετρία από αυτή μιας τηνπολλαπλότητας ακολουθία συχνοτήτων . Η ίδια χωρίου χρησιµοποιώντας µόνο πληροφορίες από αυτή την ακολουθία•!! Η εξίσωση συχνοτήτων της θερ.µ Ηότητας ίδια ((χρησιµοποιείται στη µµελέτη φαινοµένων διάχυσης):): ερώτηση µπορεί νακαι τεθεί το και φάσμα για χώρους του πέρατελεστή του ΕυκλείδειουLaplace αυτής. Συγκεκρι της µένα γενικεύεται ερώτηση µπορεί να τεθεί και για χώρους πέρα του Ευκλείδειου. Συγκεκριµένα γενικεύεται σε πολλαπλότητες (εδώ θα ασχοληθούµε µε πολλαπλότητες•! Η εξίσωση Riemann) των κυ µκαιάτων αποτελεί (χρησι/,µ οποιείται στη7 µελέτη κυµατικών φαινοµένων): σε πολλαπλότητες (εδώ πολλαπλότητας.θα ασχοληθούµ Τιε µείναι,ε πολλαπλότητες όμως, ο τελεστής Riemann) Laplace και • Ηαποτελεί εξίσωση των κυμάτων0, 5 = (χρησιμοποιείται# ,(0, 5) στη με- αντικείµενο µελέτηςκαι της γιατί Φασ είναιµατικής τόσο Γεω σημαντικόςµετρίας. ώστε•! μιαΗ εξίσωση ολόκληρη των λέτηκυµάτων κυματικών (χρησι/,/5 φαινομένων):µοποιείται στη7 µελέτη κυµατικών φαινοµένων): αντικείµενο µελέτης της Φασµατικής Γεωµετρίας. •! Η εξίσωση των κυµάτων (χρησι/,µοποιείται0, 5 = στη#7 , µ(0ελέτη, 5) κυµατικών φαινοµένων): Η Φασµατική Γεωµετρία ανήκει στον τοµέα της Γεωµετρικής Ανάλυσης και µελετά" 0, 5 = # ,(0, 5) Η Φασµατική Γεωµερευνητικήετρία ανήκει περιοχή στον το τηςµέα Γεωμετρικής της Γεωµετρικής Ανάλυσης Ανάλυσης να και µελετά /5 τη σχέση ανάµεσα στη γεωµετρία µιας πολλαπλότητας• !καιΗ τοεξίσωση φάσµα τουτου τελεστή Schrӧ dingerLaplace/ "(, χρησιµοποιείται7 στη µη-σχετικιστική κβαντική τη σχέση ανάµεσα στη γεωασχολείταιµετρία µιας μαζί πολλαπλότητας του; Πριν αναλύσουμε και το φάσ µτηα του γενική τελεστή Laplace " " 0, 5 = # ,(0, 5) αυτής της πολλαπλότητας. µηχανική): /5, αυτής της πολλαπλότητας.περίπτωση που αναφέρεται σε πολλαπλότητες,•! Η εξίσωση ας του• ΗSchr εξίσωσηӧdinger του/ (,"Schrodingerχρησιµοποιείται7 (χρησιμοποιείται στη µη-σχετικιστική στη κβαντική Τι είναι όµως ο τελεστής Laplace και γιατί• !είναιΗ εξίσωσητόσο ση µτουαντικός Schr ώστεӧdinger µ ια( "χρησι0,,5µοποιείται= #7,(0 ,,5στη) µη-σχετικιστική κβαντική Τι είναι όµως ο ξεκινήσουμετελεστής Laplace από την και ειδική γιατί και είναι πιο απλήτόσοµηχανική περίπτωσησηµαντικός):): μη-σχετικιστική ώστε µια / κβαντική5 μηχανική): ολόκληρη ερευνητική περιοχή της Γεωµετρικής2 Ανάλυσης να ασχολείται µαζί του; Πριν ολόκληρη ερευνητική περιοχήτου Ευκλείδειου της Γεωµετρικής χώρου RΑνάλυσης . να ασχολείται µαζί του; Πριν αναλύσουµε τη γενική περίπτωση που αναφέρεται σε πολλαπλότητες, ας ξεκινήσου/,µε από αναλύσουµε τη γενική περίπτωσηΣτον n-διάστατο που αναφέρεται Ευκλείδειο σε πολλ χώρο,απλότητες ο τελεστής, ας Lapξεκινήσου- µε από 7 την ειδική και πιο απλή περίπτωση του Ευκλείδειου χώρου . 8ℎ 0, 5 = −# , 0, 5 + < 0 ,(0, 5) την ειδική και πιο απλή περίπτωσηlace ή Λαπλασιανή του Ευκλείδειου (Laplacian) χώρου είναι ένας. γραμμικός, /,/5 7 Στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, ο τελεστής Laplace" ή Λαπλασιανή• Η εξίσωση 88(Laplacian)ℎ 0 , Poisson,5 = − # (χρησιμοποιείται7, 0,,5 + < 0 , στη(0,, 5 θεωρία) Στον n-διάστατο Ευκλείδειοελλειπτικός χώρο και ,αυτο-συζυγής ο τελεστής Laplace διαφορικός•"! Ηή Λαπλασιανήεξίσωση τελεστής Poisson (Laplacian) (χρησι/5 µοποιείται στη θεωρία δυναµικού και τη βαρυτική είναι ένας γραµµικός, ελλειπτικός και αυτο-συζυγής διαφορικόςℝ τελεστήςδυναμικού δεύτερης/5 καιτάξης τη βαρυτική θεωρία): είναι ένας γραµµικός, ελλειπτικόςδεύτερης καιτάξης αυτο με -σταθερούςσυζυγής διαφορικός συντελεστές:ℝ θεωρία τελεστής): δεύτερης τάξης µε σταθερούς συντελεστές: •! Η εξίσωση Poisson (χρησιµοποιείται στη θεωρία δυναµικού και τη βαρυτική µε σταθερούς συντελεστές: •! Ηθεωρία εξίσωση): Poisson (χρησιµοποιείται στη θεωρία δυναµικού και τη βαρυτική •! Η εξίσωση Laplace (είναι η οµογενής εξίσωση Poisson): " ) θεωρία): • Η εξίσωση Laplace (είναι η ομογενής εξίσωση Pois- " ) −#, = = #:%& ' → % & ('•)2! Η εξίσωση Laplaceson): (είναι η οµογενής εξίσωση Poisson): #:%& ' → % & (')2 • ! Η" εξίσωση Helmholt (είναι η καρδιά της−# ,Φασ= =µατικής Γεωµετρίας): " •! /Η ,εξίσωση Laplace (είναι η οµογενής εξίσωση Poisson): %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%,% ↦ #, /= , " #, = 0 όπου είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του , το"• σύνολο! Η 1εξίσωση όλων τωνHelmholt συναρτήσεων• Η εξίσωση (είναι Helmholtη τουκαρδιά − της(είναι#, Φασ= η καρδιά= µατικής της Γεω Φασματικήςµετρίας): όπου είναι ένα ανοικτό υποσύνολο%%%%%%%%%%%%% %του%%%%%%% %,% ,↦ #, = το σύνολοΠέρα113 4 όαπό/λων0 τη τωνn Φυσική συναρτήσεων2 , ο τελεστής του Laplace# ε,µ=φανίζεται0 συχνά και σε εφαρµοσµένες των οποίων οι µερικέςόπου παράγωγοιΩ είναι ένα πρώτης ανοικτό2 και υποσύνολο "1δεύτερης34 /0 •! τάξης Ητου εξίσωση R υπάρχουν, C (Ω) Helmholt και είναι (είναι συνεχείς η καρδιά της Φασµατικής Γεωµετρίας): των οποίων οι µερικές παράγωγοι πρώτης2 και "δεύτερηςεπιστή τάξης µυπάρχουνες όπως η και Πληροφορική είναιΓεωμετρίας): συνεχείς και τα Οικονο−#µ,ικά=.? , και ' οι συνεχείςτο σύνολοσυναρτήσεις όλων τωντου συναρτήσεωνℝ. & ('Πέρα) του από Ω των τη οποίων Φυσική , ο τελεστής Laplace# ,εµ=φανίζεται0 συχνά και σε εφαρµοσµένες και ' οι συνεχείς συναρτήσεις του ℝ. & (') Ας εστιάσουµε τώρα στις δύο τελευταίες−#, =εξισώσεις?, . Η εξίσωση του Laplace είναι ' ) Ο τελεστής οιLaplace μερικές σε παράγωγοιένα σηµείο πρώτης του Πέραεπιστή καιµετρά δεύτερηςµαπό εςτη όπωςδιαφοράτη Φυσικήτάξης η Πληροφορική τη ς, µοέσης τελεστής τι καιµής τα τηςLaplace Οικονο µεικάµφανίζεται. συχνά και σε εφαρµοσµένες ' ) Ο τελεστής Laplace σε ένα σηµείο του µετράαπό τη µ0διαφοράόνη της τηένας µ µέσηςεγάλοΠέρα τι µπεδίοής από της τηέρευνας Φυσική, της ο τελεστήςΑνάλυσης Laplace και χαρακτηρίζει εμφανίζεται µια ολόκληρη συνάρτησης& (') σε µιαυπάρχουν γειτονιά καιτου είναι από συνεχείς' την τιµή καιτηςεπιστή Cσυνάρτησης(Ω)µΑςες οι όπωςεστιάσου συνεχείς στοη Πληροφορική σηµ εµ τώραείο .στις Ο βασικόςκαι δύο τα τελευταίες Οικονο −#µ,ικά =εξισώσεις.? , . Η εξίσωση του Laplace είναι συνάρτησης& (') σε µια γειτονιά του από' την τιµή της συνάρτησηςκατηγορία στο συναρτήσεων σηµείο . συχνάΟ, συγκεκριβασικός και µσεένα εφαρμοσμένες οι λύσεις αυτής επιστήμες της εξίσωσης όπως είναι η οι αρµονικές λόγος για τον οποίοσυναρτήσεις είναι τόσο ση τουµαντικός Ω. , 0οφείλεται'από στο µόνη γεγονόςΑς τηςεστιάσου έναότι είναιµµεγάλοε τώρα ένας πεδίο διαφορικόςστις έρευναςδύο τελευταίες της Ανάλυσης εξισώσεις και. Η χαρακτηρίζει εξίσωση του µLaplaceια ολόκληρη είναι λόγος για τον οποίο είναι τόσο σηµαντικός, 0οφείλεται' στοσυναρτήσεις γεγονός ότι .είναι Η εξίσωση ένας διαφορικόςΠληροφορική Helmholt, γνωστή και τα Οικονομικά.και ως το πρόβλη µα των ιδιοτιµών, αποτελεί τελεστής αναλλοίωτος, Ο τελεστής στις µετατοπίσεις Laplace0 σε καιένα τιςσημείο στροφέςαπόκατηγορία xµ τουόνη. Αποδεικνύεται Ω τηςσυναρτήσεων μετρά ένα τηµεγάλο ,ότι συγκεκρι 0πεδίο ουσιαστικά έρευναςµένα οι της λύσεις Ανάλυσης αυτής τηςκαι εξίσωσηςχαρακτηρίζει είναι µ ιαοι αρολόκληρηµονικές τελεστής αναλλοίωτος, στις µετατοπίσεις0 και τις στροφέςβασικό. Αποδεικνύεται αντικείµενο ότι µ0 ελέτηςουσιαστικά της Φασ µατικής Γεωµετρίας. Αµέσως παρατηρούµε πως η πρόκειται για τον µδιαφοράόνο γραµµ τηςικό μέσης διαφορικό τιμής τηςτελεστή συνάρτησηςκατηγορίασυναρτήσεις δεύτερης uσυναρτήσεων .σετάξης Η μια εξίσωση µε αυτή, Helmholt,συγκεκρι την ιδιότηταµ γνωστήένα οι λύσεις και ως αυτής το πρόβλη της εξίσωσηςµα των ιδιοτι είναιµ οιών αρ, αποτελείµονικές πρόκειται για τον µόνο γραµµικό διαφορικό τελεστή δεύτερηςεξίσωση τάξης Laplace µε αυτή είναι την ειδική ιδιότητα περίπτωση της Helmholt για . Επιπλέον, η εξίσωση στον . συναρτήσειςβασικό αντικεί. Ηµ ενοεξίσωση µελέτης Helmholt, της Φασ γνωστήµατικής και Γεω ως µτοετρίας πρόβλη. Αµµέσωα τωνς παρατηρού ιδιοτιµών,µ αποτελείε πως η στον . Helmholt σχετίζεται, άµεσα ή έµµεσα, και µε τις λύσεις των υπόλοιπων εξισώσεων που 2Το γεγονός αυτό τον καθιστά ιδιαίτερα σηβασικόεξίσωσηµαντικό αντικεί Laplace αφούµ ενο πληροίείναι µελέτης ειδική τους της φυσικούςπερίπτωση Φασµατικής της HelmholtΓεωµετρίας για. Αµέσω.ς Επιπλέονπαρατηρού, ηµ εξίσωσηε πως η 2Το γεγονός αυτό τον καθιστά ιδιαίτερα σηµαντικόαναφέρα αφούµε πληροίπαραπάνω τους. Συφυσικούςµπεραίνου µε λοιπόν πως η µελέτη? = 0των ιδιοτιµών και των νόµουςℝ οι οποίοι2 3 5 θέλου 7 11µ ε13 να 17 είναι 19 ανεξάρτητοι 23 29 31 37απόεξίσωσηHelmholt 41 τη 43θέση Laplace 47σχετίζεται και 53 την 59είναι ,κατεύθυνση ά61 µειδικήεσα 67 ή περίπτωσηέ 71µµ. Αυτόςεσα 73, 79 και της 83µε Helmholt τις89 λύσεις97 101 για των 103 υπόλοιπων 107. Επιπλέον 109 εξισώσεων 113, η εξίσωση που νόµουςℝ οι οποίοι θέλουµε να είναι ανεξάρτητοι από τη ιδιοσυναρτήσεωνθέση και την κατεύθυνση του τελεστή. Αυτός Laplace είναι ιδιαίτερα σηµαντική. Δυστυχώς όµως είναι και είναι και ο λόγος που ο τελεστής Laplace συναντάταιHelmholtαναφέρα συνέχειαµ εσχετίζεται παραπάνω σε τόσες, ά .πολλέςµ εσαΣυµ περαίνουή εξισώσειςέµµεσαµ,ε και λοιπόν µε τις πως λύσεις η µτωνελέτη? υπόλοιπων= 0των ιδιοτι εξισώσεωνµών και πουτων είναι και ο λόγος που ο τελεστής Laplace συναντάται συνέχειαεξαιρετικά σε τόσεςδύσκολη πολλές ακό µεξισώσειςη και στην περίπτωση του Ευκλείδειου χώρου! Πόσο µάλλον στις της Φυσικής, κάποιες από τις οποίες είναι οι εξής: αναφέραιδιοσυναρτήσεων µε παραπάνω του τελεστή. Συµπεραίνου Laplaceµ είναιε λοιπόν ιδιαίτερα πως σηη µαντικήµελέτη? =. Δυστυχώς0των ιδιοτι όµµώνως είναικαι των και της Φυσικής, κάποιες από τις οποίες είναι οι εξής: πολλαπλότητες Riemann! •! Η εξίσωση της θερµότητας (χρησιµοποιείταιιδιοσυναρτήσεωνεξαιρετικά στη µελέτη δύσκολη φαινο τουµ ακόένων τελεστήµη διάχυσης και Laplace στην): περίπτωση είναι ιδιαίτερα του Ευκλείδειου σηµαντική .χώρου Δυστυχώς! Πόσο όµ µωάλλονς είναι στις και •! Η εξίσωση της θερµότητας (χρησιµοποιείται στη µελέτη Μιαφαινο nµ-ένωνδιάστατη διάχυσης διαφορίσι): µη πολλαπλότητα Μ εφοδιασµένη µε µια µετρική εξαιρετικάπολλαπλότητες δύσκολη Riemann! ακόµη και στην περίπτωση του Ευκλείδειου χώρου! Πόσο µάλλον στις Riemann: πολλαπλότητες Μια n- διάστατηRiemann! διαφορίσι µη πολλαπλότητα Μ εφοδιασµένη µε µια µετρική •! Η εξίσωση των κυµάτων (χρησι/,µοποιείται στηRiemann7 µελέτηΜια: κυnµ-διάστατηατικών φαινο διαφορίσιµένων):µ η πολλαπλότητα Μ εφοδιασµένη µε µια µετρική •! Η εξίσωση των κυµάτων (χρησι/,µοποιείται0 στη, 57 =µελέτη# ,( 0κυ, 5µ)ατικών φαινοµένων): 2 0, 5/5 = # ,(0Riemann, 5) : /5 2 A 1 " A1 " λέγεται πολλαπλότητα Riemann @και= συµ@βολίζεταιB0 AB0 1 µε το ζεύγος . Σε µία / , A,21 •! Η εξίσωση του Schrӧdinger ("χρησιµοποιείται7 στη µη-σχετικιστική κβαντική A1 • Η εξίσωση του Schrӧdinger/ (,χρησιµοποιείται0, 57 =πολλαπλότητα #στη,( 0µ, 5η)-σχετικιστική Riemann µκβαντικήπορούµε να@ =ορίσου@µεB την0 B αντίστοιχη0 Λαπλασιανή η οποία τώρα ! " λέγεται πολλαπλότητα Riemann και Aσυ,1 µβολίζεταιA 1 µε το ζεύγος . Σε µία µηχανική): 0/, 55 = # ,(0, 5) A1 (C, @) µηχανική): /5 λέγεταιπολλαπλότητα τελεστής Riemann Laplace µ-Beltramiπορούµε καινα@ = ορίσουέχει τη@µ µεBορφή την0 B 0αντίστοιχη: Λαπλασιανή η οποία τώρα λέγεται πολλαπλότητα Riemann και Aσυ,1 µβολίζεται µε το ζεύγος . Σε µία πολλαπλότηταλέγεται τελεστής Riemann Laplace µ-πορούBeltramiµε νακαι ορίσου έχει τηµ µε ορφήτην αντίστοιχη: Λαπλασιανή(C ,η@ οποία) τώρα 2 /, λέγεται τελεστής Laplace-Beltrami και έχει τη µορφή: (C, @) 7 A1 /, 8ℎ 0, 5 7= −# , 0, 5 + < 0 ,(0, 5) 1 2 / / 8ℎ 0, 5/5 = −# , 0, 5 + < 0 ,(0, 5) #D = A @ BF5@ 1 /5 Ο τελεστής Laplace-Beltrami είναι ένας µη-φραγA1µένος, ελλειπτικός και αυτο-συζυγής D BF5@1 A,21 /0/ /0/ διαφορικόςΟ τελεστής τελεστής Laplace -2Beltramiης# τάξης= είναιπου δραένας στο µη -Aχώροφραγ@ µένοςBF5@, ελλειπτικός, δηλαδή1 το και χώρο αυτο των-συζυγής λείων 1 A,1 //0 A1 //0 συναρτήσεων της . ΒασικόD χαρακτηριστικόBF5@ Aτου είναιG η ιδιότητά1 του να αντιµετατίθεται Οδιαφορικός τελεστής τελεστήςLaplace- Beltrami2ης# τάξης= είναι που έναςδρα στοµη- φραγχώρο@ µ ένοςBF5@, ελλειπτικός, δηλαδή το και χώρο αυτο των-συζυγής λείων µε τις ισοµετρίες της . A,1 /0 & (C) /0 διαφορικόςσυναρτήσεων τελεστής της . 2Βασικόης τάξης χαρακτηριστικό πουBF5@ δρα στο τουχώρο είναι G η ιδιότητά, δηλαδή του το να χώρο αντιµ τωνετατίθεται λείων Όταν η πολλαπλότηταC M είναι συµπαγής το φάσ& µ(Cα )του τελεστή Laplace-Beltrami συναρτήσεωνµε τις ισοµετρίες της της . Βασικό. χαρακτηριστικό του είναιG η ιδιότητά του να αντιµετατίθεται είναι διακριτό. Αυτό ση(Cµ,αίνει@) ότι για κάθε υπάρχει µια µη-µηδενική συνάρτηση µε τις ισοΌτανµετρίες η πολλαπλότητα τηςC . M είναι συµπαγής το φάσ& (µCα )του τελεστή Laplace-Beltrami της και ένας αριθµός(C , @) έτσι ώστε: είναι διακριτόΌταν η. ΑυτόπολλαπλότηταC σηµαίνει Mότι είναι για κάθε συµ παγής τουπάρχει φάσµ αµ ιατου µ ητελεστή-µηδενική Laplace συνάρτηση-Beltrami K H ∈ ℕ , είναιτης διακριτό και ένας. Αυτόαριθµ ση(όςC µ,Kαίνει@) ότι έτσι για ώστε κάθε: υπάρχει µια µη-µηδενική συνάρτηση ΕπιπλέονC ? ∈ ℝ H ∈ ℕ ,K της και ένας αριθµός έτσι ώστεD: K K K C ?K ∈ ℝ −# , = ? , K Επιπλέον Hόταν∈ ℕ , Οι αριθµοί λέγονταιK ιδιοτι−#Dµ,έςK =και?K ,οιK συναρτήσεις λέγονται ΕπιπλέονC ? ∈ ℝ K όταν ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Laplace? % → -%Beltrami∞D K τηςK H K→ %∞ . Το σύνολο των ιδιοτιµών της Οι αριθµοί 4 " M λέγονται ιδιοτι−# µ , ές όταν =και? , οι συναρτήσεις 4 " M λέγονται Λαπλασιανής? της, ? , ? , … %λέγεται φάσK µα της και συµβολίζεται ,µε, , , , , …% . Οιιδιοσυναρτήσεις αριθµοί του τελεστήλέγονται Laplace? % →ιδιοτι-%Beltrami∞ µές και της Hοι →συναρτήσεις%∞ . Το σύνολο των ιδιοτιλέγονταιµών της Υπάρχουν?4, ? ση", ?µMαντικές, …% σχέσειςK που συνδέουν το(C φάσ, @)µα ,4, , "µ,ε, τηM, …γεω% µετρία ιδιοσυναρτήσειςΛαπλασιανής της του τελεστή λέγεται Laplace? φάσ% →µ-%Beltramiα∞ της τηςH και→ συ%∞µ. βολίζεταιΤο σύνολο µε των ιδιοτιµών. της της . Η Φασ4 ("µCατική,M@) Γεωµετρία µελετά (αυτέςC, @ )τις( Cσυνδέσεις, @) και τα 4θέOPFQµ"ατα(M Cµε, @τα) οποία ΛαπλασιανήςΥπάρχουν? της, ? ση, ?µαντικές, … %λέγεται σχέσεις φάσµ πουα της συνδέουν καιτο φάσ συµµβολίζεταια ,µε, , µ,ε, τη, … γεω% µ. ετρία ασχολείται χωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες: τα OPFQευθέα Cκαι, @ τα αντίστροφα της Υπάρχουν. Η Φασ (σηµCατικήµ, αντικές@) Γεω σχέσειςµετρία µ πουελετά συνδέουν (αυτέςC, @ )τις το(C συνδέσεις φάσ, @)µα και τα θέOPFQµ µαταε τη( Cµ γεωε, @τα)µ οποίαετρία προβλή(C,µ@ατα) . OPFQ C, @ τηςασχολείται . Ηχωρίζονται Φασ(µCατική, @ ) σεΓεω δύοµετρία µεγάλες µελετά (αυτέςκατηγορίεςC, @ )τις συνδέσεις: τα ευθέα και τακαι θέOPFQ µατατα ( Cαντίστροφαµε, @τα) οποία

ασχολείταιπροβλή(C,µ@ατα) .χωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες: τα OPFQευθέα Cκαι, @ τα αντίστροφα

προβλή (C,µ@ατα) .

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281Γεωμετρία 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 •! Η εξίσωση (Φασματική)Poisson (χρησιµοποιείται στη θεωρία δυναµικού και τη βαρυτική θεωρία): Ας εστιάσουμε τώρα στις δύο τελευταίες εξισώσεις. Η Υπάρχουν σημαντικές σχέσεις που συνδέουν το

•! Η εξίσωση εξίσωσηPoisson του (χρησι Laplaceµοποιείται είναι από στη μόνη θεωρία της ένα δυνα μεγάλοµικού φάσμακαι τη Spec(M,g)βαρυτική με τη γεωμετρία της (M,g). Η •! Η εξίσωση Laplace (είναι η οµογενής εξίσωση Poisson): θεωρία): πεδίο έρευνας της Ανάλυσης και χαρακτηρίζει μια Φασματική Γεωμετρία μελετά αυτές τις συνδέσεις −#, = = ολόκληρη κατηγορία συναρτήσεων, συγκεκριμένα και τα θέματα με τα οποία ασχολείται χωρίζονται σε •! Η εξίσωση Helmholt (είναι η καρδιά της Φασµατικής Γεωµετρίας): •! Η εξίσωση Laplaceοι λύσεις (είναι αυτής η ο µτηςογενής εξίσωσης εξίσωση είναι Poisson): οι αρμονικές δύο μεγάλες κατηγορίες: τα ευθέα και τα αντίστροφα •! Η εξίσωση Poisson (χρησιµοποιείται# ,στη= 0θεωρία δυναµικού και τη βαρυτική συναρτήσεις. Η εξίσωση− #Helmholt,, = = γνωστή και προβλήματα. Πέρα απόθεωρία τη ):Φυσική , ο τελεστής Laplace εµφανίζεται συχνά και σε εφαρµοσµένες •! Η εξίσωση Helmholtως το πρόβλημα (είναι η καρδιάτων ιδιοτιμών, της Φασµ ατικήςαποτελεί Γεω βασικόµετρίας ): επιστήµες όπως η Πληροφορική και τα Οικονο−#µ,ικά=.? , Ευθέα προβλήματα αντικείμενο μελέτης της #Φασματικής, = 0 Γεωμετρίας. •! ΗΑς εξίσωση εστιάσου Laplaceµε τώρα (είναι στις ηδύο οµ ογενήςτελευταίες εξίσωση εξισώσεις Poisson):. Η εξίσωση του Laplace είναι Πέρα από τη ΦυσικήΑμέσως, ο τελεστήςπαρατηρούμε Laplace πως ηεµ εξίσωσηφανίζεται Laplace συχνά είναικαι σεΣταΣτο εφαρ προβλήματαισοφασµοσµµένεςατικό αυτά πρόβλη ξεκινάμεµα έχουαπόµ μιαε δύο δεδομένη πολλαπλ ότητες Riemann και από µόνη της ένα µεγάλο πεδίο έρευνας της−# Ανάλυσης, = = και χαρακτηρίζει µια ολόκληρη επιστήµες όπως η Πληροφορικήειδική περίπτωση και τατης Οικονο HelmholtΣτο− #ισοφασµ,ικά= για.? , µ λ=0.ατικό Επιπλέον, πρόβλη µηα πολλαπλότηταέχου µε τοµε ίδιοδύο φάσ πολλαπλ Riemannµα καιότητες θέλου (M,g) µRiemannε και να δούθέλουμεµ ε αν να είναι υπο-και και ισοµετρικές. Γνωρίζουµε πως κατηγορία•! Η εξίσωση συναρτήσεων Helmholt, συγκεκρι (είναι ηµ ένακαρδιά οι λύσειςτης Φασ αυτήςµατικής της Γεωεξίσωσηςµετρίας είναι): οι αρµονικές Ας εστιάσουεξίσωσηµε τώρα Helmholt στις δύο σχετίζεται, τελευταίες µε το ίδιοάμεσα εξισώσεις φάσ ή µέμμεσα,α. καιΗ εξίσωσηθέλου καικάτι μεµ τέτοιο ε τουλογίσουμενα δού Laplace γενικάµε αν τις δεν είναι ιδιοτιμές ισχύει και ισοκαι καιµ κατάετρικές τις συνέπειαιδιοσυναρτήσεις. Γνωρίζου η ερώτησηµε πως της του M. Kac αν µπορεί(C κανείς, @) να συναρτήσεις. Η εξίσωση Helmholt, γνωστή και#, =ως0 το πρόβληΣτοµα τωνισοφασ ιδιοτιµατικόµών, αποτελείπρόβληµ α έχουµε δύο πολλαπλότητες Riemann και από µόνη της ένα τιςµεγάλο λύσεις πεδίο των υπόλοιπωνέρευναςκάτι τέτοιο της εξισώσεων γενικά Ανάλυσης δεν που ισχύει και αναφέραμε χαρακτηρίζει µκαιε τοακούσει( κατάC ίδιο′, @ συνέπεια′ Λαπλασιανής)φάσ τοµµια ασχή ολόκληρηκαι ηµ ερώτησηα θέλου ενός αυτήςµ ντραε του νατης µ δούM. πολλαπλότητας.έχει µKacε αναρνητική αν είναι µπορεί και (απάντησηC κανείςισοΜιας, @µ)ετρικές καινα. Υπάρχουν. Γνωρίζου πάραµε πως πολλά τέτοια Πέρακατηγορίαβασικό από αντικεί συναρτήσεωντη µΦυσικήενο µελέτης, ,ο συγκεκριτελεστής της Φασµ έναLaplaceµατικής οι λύσεις εΓεωµφανίζεται αυτήςµετρίας της . συχνάΑ εξίσωσηςµέσω καις παρατηρού είναισε εφαρ οι αρµεοσµ ονικέςπωςµένες η παραπάνω. Συμπεραίνουμε(ακούσειC′, @′)Ευθέα το−# λοιπόνσχή, προβλή=µ?α, πωςενόςκάτιµατα η τέτοιο ντραμελέτη µ γενικάαντιπαραδείγΕυθέαέχει των αρνητική αυτόδεν προβλή ισχύει είναιµατα µαπάντηση ατα και,ένα ένα κατά πολύαπό. συνέπειαΥπάρχουν ταδύσκολο πιο χαρακτηριστικάη ερώτησηπάραπρόβλημα, πολλά του όταν M. τέτοιαπαρουσιάστηκε Kac δε αν µπορεί( C απόκανείς, @ )τον να J. Milnor το επιστήσυναρτήσειςεξίσωσηµες Laplace όπως. Η ηεξίσωση Πληροφορικήείναι ειδική Helmholt, περίπτωση και ταγνωστή Οικονο της− και# µ,Helmholtικά ως=. ? το, πρόβλη για µα των. Επιπλέον ιδιοτιµών, η, αποτελείεξίσωση ιδιοτιμών και αντιπαραδείγτων ιδιοσυναρτήσεων µατα, έναακούσει(C ′απότου, @′) τατελεστήτο πιο1964 σχή χαρακτηριστικάµ όταναμπορούμε ενός κατασκεύασε ντρα ναµ έχουμεπαρουσιάστηκεέχει δύοαρνητική ακριβείς πολλαπλότητες τέτοιους απάντησηαπό τον υπολογισμούς διάστασηςJ.. ΥπάρχουνMilnor το πάρα πουπολλά έχουν τέτοια το ίδιο φάσµα βασικόHelmholt Αςαντικεί σχετίζεταιεστιάσουµενο µ,µ εάελέτης τώραµεσα στιςήτης έµµ δύοΦασεσα τελευταίεςµ, ατικήςκαι µε Γεωτις εξισώσεις λύσειςµετρίας των.. ΑΗ µ υπόλοιπωνεξίσωσηέσως παρατηρού του εξισώσεων Laplaceµε πως είναι που η Laplace είναι 1964ιδιαίτερα όταν κατασκεύασεσημαντική.Στα προβλήαντιπαραδείγ δύοµΔυστυχώς?ατα =πολλαπλότητες 0αυτάκαιµατα δεν ξεκινά,ψάχνουμε είναιΣταένα µαπόπροβλή ισοεδιάστασης από µ ταετρικέςγια µµπιοιαατα προσεγγίσεις δεδο χαρακτηριστικά. αυτάΈναµένη άλλοξεκινά πουπολλαπλότητα παράδειγ µέχουνκαιε απόπαρουσιάστηκε εκτιμήσεις το µµα ιαίδιο στον Riemannδεδο φάσ 2 µ-πουένηδιάστατοµ ααπό πολλαπλότητα τον Ευ J.κλείδειο Milnor Riemann χώροτο φαίνεται απόεξίσωσηαναφέρα µόνη µLaplace ετης παραπάνω ένα είναι µεγάλο. ειδικήΣυ πεδίοµπεραίνου περίπτωση έρευναςµε λοιπόντης ΑνάλυσηςHelmholt πως η γιαµκαιελέτη χαρακτηρίζει των. Επιπλέον ιδιοτι µµιαών, ηολόκληρη εξίσωσηκαι των όμως είναι και καιεξαιρετικά δενκαι είναι θέλου δύσκολη ισοµµετρικέςε να 1964ακόμη υπολογίσου. Έναόταν και άλλο κατασκεύασεστηνκαιµ ε παράδειγθέλου τιςπαρακάτωμπορούν ιδιοτιµε µ ναδύοµαές στονναυπολογίσουεικόνα καιπολλαπλότητες μας 2τις- :αποκαλύψουνδιάστατο ιδιοσυναρτήσειςµε τις Ευ ιδιοτιδιάστασηςκλείδειο κάποιεςµές της και χώρο Λαπλασιανήςπληροφορίες τις φαίνεταιιδιοσυναρτήσεις πουr έχουν =αυτής16 το τηςίδιο Λαπλασιανής φάσµα αυτής κατηγορίαHelmholtιδιοσυναρτήσεων σχετίζεταισυναρτήσεων του, άτελεστήµεσα, συγκεκρι ή Laplaceέµµεσαµένα ,είναι καιοι λύσεις ιδιαίτεραµε τις αυτήςλύσεις σηΕυθέαµ της αντικήτων προβλήεξίσωσης υπόλοιπων. Δυστυχώςµατα είναι εξισώσεων ό µοιω αρς είναιµονικές που και περίπτωση τουστην Ευκλείδειου παρακάτωτης πολλαπλότητας χώρου! εικόνακαι Πόσο: δεν. Μιαςείναι μάλλοντης ισοκαι πολλαπλότηταςµ αυτόετρικέςή ιδιότητές είναι. Ένα ένα άλλο . πολύΜιαςτους. παράδειγr δύσκολο =καιΔύο16 αυτό µαχαρακτηριστικά πρόβλη στονείναι 2ένα-µδιάστατοα ,πολύ όταν δύσκολοτέτοιαδε Ευ µκλείδειοπορού( C πρόβλη, @µ ε)χώρο µ αφαίνεται, όταν δε µπορού(C, @µε) συναρτήσειςαναφέραεξαιρετικάµε δύσκολη.παραπάνω Η εξίσωση ακό. µ ΣυηHelmholt, καιµπεραίνου στην γνωστήπερίπτωσηµε λοιπόν και του ωςπως Ευκλείδειουτο ηπρόβλη µελέτη?µ=α χώρου 0των ιδιοτι!ιδιοτι Πόσοµµώνών µάλλον, αποτελείκαι στιςτων να έχουµε ακριβείςστην παρακάτω τέτοιουςνα έχουυπολογισ εικόναµε :ακριβείς µούς ψάχνου τέτοιουςµε γιαυπολογισ προσεγγίσειςµούς ψάχνουr και= 16εκτιµε µγιαήσεις προσεγγίσεις που και εκτιµήσεις που βασικόιδιοσυναρτήσεωνπολλαπλότητες αντικείµ Riemann!ενο τουστις µ τελεστήελέτης πολλαπλότητες της Laplace Φασ µείναιατικής Riemann! ιδιαίτερα Γεωµ ετρίας σηΜιαµαντική . n-διάστατηΑΣταµέσω. Δυστυχώςπροβλής παρατηρού παραδείγματαµατα όµ ωαυτάςµ είναιε πωςξεκινά και είναιη µε απόη ανισότητα µια δεδοµ ένηRayleigh-Faber- πολλαπλότητα Riemann µπορούν να µΕυθέαας αποκαλύψου προβλήµπορούνµαταν κάποιες να µ αςπληροφορίες αποκαλύψου ή ιδιότητέν κάποιεςς τουςπληροφορίες. Δύο χαρακτηριστικά ή ιδιότητές τους . Δύο χαρακτηριστικά εξίσωσηεξαιρετικάΜια Laplace δύσκολη n-διάστατη είναιδιαφορίσιμη ακό ειδικήµ ηδιαφορίσι και περίπτωσηστην πολλαπλότηταµ περίπτωσηη πολλαπλότητα της Helmholt τουΜ εφοδιασμένη Ευκλείδειουκαι Μ γιαθέλου εφοδιασ µ χώρουμεε να .µ μιαΕπιπλέον ένηυπολογίσου! Πόσο Krahnµε µ ,µ ια ηάλλονκαι µεξίσωσηεµ ετρικήτιςο στις ιδιοτιτύπος µ έςτου και Weyl. τις ιδιοσυναρτήσεις Πάλι, για λόγους της Λαπλασιανής αυτής τέτοια παραδείγ µατα είναιτέτοια η ανιστότητα παραδείγ Rayleighµατα είναι-Faber η ανιστότητα-Krahn και Rayleigh ο τύπος -τουFaber Weyl.-Krahn Πάλι και, ο τύπος(C ,του@) Weyl. Πάλι, HelmholtπολλαπλότητεςRiemann: σχετίζεται Riemann!μετρική, άµεσα Riemann: ή έµµεσα, και µε τις λύσειςΕυθέατης πολλαπλότηταςτων προβλή υπόλοιπωνµατααπλότητας,. Μιαςεξισώσεων και αυτόθα που ξεκινήσουμεείναι ένα πολύ από δύσκολο τον 2-διάστατο πρόβληµα, όταν δε µπορούµε για λόγους απλότηταςΣτα?,= θα προβλή0 γιαξεκινήσου λόγουςµατα µαπλότητας εαυτά από ξεκινάτον ,2 θα-διάστατοµ2 εξεκινήσου από µ ιαΕυκλείδειο δεδοµε απόµένη τον χώροπολλαπλότητα 2-διάστατο . Ευκλείδειο Riemann χώρο . αναφέραΜιαµε παραπάνωn-διάστατη. Συδιαφορίσιµπεραίνουµηµ επολλαπλότητα λοιπόν πως να ηΜ έχουµ ελέτηεφοδιασ?µε= ακριβείς0τωνµένη ιδιοτι Ευκλείδειο τέτοιουςµε µµώνια και µυπολογισ ετρικήχώρο των R µ. Στηνούς ψάχνου ανισότηταµε για Rayleigh-Faber- προσεγγίσεις και εκτιµήσεις που 2 ΣτηνΕυθέα καια νισότητα θέλου προβλήµ εRayleigh ναµ αταυπολογίσου Στην-Faber α-νισότηταµKrahnε τις ιδιοτι ασχολού Rayleighµές καιµαστε- τιςFaber ιδιοσυναρτήσειςµε- Krahnτο παρακάτω ασχολού" της πρόβληµ αστεΛαπλασιανής µµαε το παρακάτω αυτής " πρόβληµα ιδιοσυναρτήσεωνRiemann: του τελεστή Laplace είναι ιδιαίτερα σηµπορούνµαντικήΣτα να . προβλήΔυστυχώς µας αποκαλύψουµKrahnατα όµ αυτάω ασχολούμαστες είναι νξεκινά κάποιες καιµ ε πληροφορίεςαπό με τοµια παρακάτω δεδο µήένη ιδιότητέ πρόβλημα πολλαπλότητας τους Di. Δύο- Riemann χαρακτηριστικά εξαιρετικά δύσκολη ακόµη και στην περίπτωσηDirichlet του:A Ευκλείδειου της1 πολλαπλότητας χώρουDirichlet! Πόσο. Μιας: µ άλλονκαι αυτό στις είναι ένα πολύ δύσκολο πρόβληℝ µα, όταν δε µπορού(C, @µε)ℝ εξαιρετικά δύσκολη ακόµη και στην περίπτωσηA1 του Ευκλείδειουκαιτέτοια θέλου παραδείγµ εχώρου να υπολογίσουµ!ατα Πόσοrichlet: είναι µάλλον ηµ εανιστότητα τις στιςιδιοτι µές Rayleigh και τις -ιδιοσυναρτήσειςFaber-Krahn και της ο τύπος Λαπλασιανής του Weyl. αυτής Πάλι , λέγεται πολλαπλότητα Riemann @και= συµ@βολίζεταιB0 B0να µέχουε Στατοµε προβλήακριβείςζεύγος µ ατατέτοιους αυτά. υπολογισΣεξεκινά µίαµ εµ απόούς µψάχνουια δεδοµµεένη για πολλαπλότηταπροσεγγίσεις και Riemann εκτιµήσεις πο υ πολλαπλότητες Riemann!λέγεται πολλαπλότηταA2,1 Riemann τηςκαιγια πολλαπλότηταςλόγουςσυμβολίζεται απλότητας . Μιας, θα καιξεκινήσου αυτό είναιµε από ένα τον πολύ 2- διάστατο δύσκολο Ευκλείδειοπρόβλη(1) µα, χώροόταν δε .µ πορού(C, @µε) µπορούν να µας αποκαλύψουν κάποιες πληροφορίες ή ιδιότητέ ς τους . Δύο χαρακτηριστικά (1) πολλαπλότηταΜια n- διάστατηRiemann µδιαφορίσιπορούµε ναµη ορίσουπολλαπλότηταµε την καιαντίστοιχηνα Μ έχουθέλου εφοδιασµΣτηνεµ εακριβείςΛαπλασιανήD να Kαµ υπολογίσουνισότηταένη KτέτοιουςµεK η µRayleigh ιαοποίαµ ε υπολογισ µτιςετρική τώρα ιδιοτι-Faber µµούςές-Krahn και ψάχνου τις ασχολού ιδιοσυναρτήσειςµε γιαµ προσεγγίσειςαστε µε τηςτο Λαπλασιανήςπαρακάτω και εκτι"µ ήσειςπρόβλη αυτής ποµυ α με το ζεύγος (M,g). Σε μία πολλαπλότηταA 1 − Riemann# ,Εδώ= έχου? , µ%%ε%% %δύο%RST υποσύνολα%' −#D,K = του?K ,K% %που%%%%RST έχουν%' το ίδιο φάσµα και διαφορετική γεωµετρία. Riemannλέγεται τελεστής: Laplace-Beltrami και έχειόπου τηA1 µορφή είναιτης:τέτοια ανοικτό πολλαπλότητας παραδείγ υποσύνολοόπουµατα . Μιας( Cείναιτου, @ και) ηανοικτό ανιστότητα, αυτό συνάρτηση είναιυποσύνολο Rayleighένα ορισ πολύ τουµ- ένηFaberδύσκολο στο, -Krahn 2 συνάρτηση πρόβλη, καιη Λαπλασιανή οµ τύποςα ορισ, ότανµ τουένη δεℝ Weyl. στοµπορού( C Πάλι,, @µ ε)η , Λαπλασιανή Riemannλέγεται :πολλαπλότητα μπορούμε Riemann να ορίσουμε @και= συ τηνµ@βολίζεται Bαντίστοιχη0 B0µDirichletπορούν µ εΛαπλασιανή το να: ζεύγοςµαςK αποκαλύψου όπου Ω .είναι νΣε κάποιες ανοικτόµία Kπληροφορίες υποσύνολο τουή ιδιότητέ R , u συνάρτησης τους. Δύο χαρακτηριστικά Εδώ έχουA,1 µε δύο υποσύνολαναγια έχου λόγους%µ%%%ε% %του%ακριβείς%% %απλότητας,Βλέπου = που0 τέτοιους%%%µ%% ε%έχουν,% %θα%λοιπόν%%%% RSTξεκινήσου " υπολογιστο% /' ξεκάθαραίδιο%%%%%% %%φάσ%µ%µ,εούς απόµ =αότι ψάχνου0και τον %δε%%% % διαφορετική% "%µ2%%-πορού%διάστατο%µ%%εRST γιαµ%/' επροσεγγίσεις να Ευκλείδειογεω ακούσουµετρία µ.και χώροε το εκτι σχήµήσεις.µ α ενός πο υντρα µ, αφού η πολλαπλότητα Riemannη οποία µπορού τώραµ λέγεταιε να ορίσου τελεστήςστο µε καιτην Laplace-Beltrami αντίστοιχητέτοια το σύνορο παραδείγ Λαπλασιανή τουστο καιµ ατα . ορισμένηκαιΑν είναι η οποία είναιη τοανιστότητα στο σύνορο έναςτώρα Ω, ανοικτόςΔ του ηRayleigh Λαπλασιανή . Ανδίσκος -Faber είναι "του στο-Krahn ένας Ω µ και ανοικτόςεκαι ε µ∂Ω οβαδό τύπος το δίσκος ίσο του µε Weyl. του Πάλι µε ε, µβαδό ίσο µε Βλέπουµε λοιπόν ξεκάθαρα ότι συχνότηταδε "µπορούµ τουε να ήχου ακούσου που ακούµε τοµε σχή µℝπορεί µα ενός να προέρχεται ντραµ, αφού από η ντρα µς(1) µ"ε διαφορετικά σχήµατα. 2το2 εµβαδό' τουµπορούνΕδώ τότε έχου Στηννα για µµε αςτην τοαδύονισότητα αποκαλύψουε πρώτηµ υποσύνολαβαδό' µ τουRayleighηℝ-µ νηδενική ,τότεκάποιεςτου- Faberγια ιδιοτι πουπληροφορίεςτην-Krahn µπρώτηέχουνή ασχολούισχύει τοµη ℝή-ίδιοµ ιδιότητέηδενική η, φάσµπαρακάτωαστε'" µ#ας ιδιοτι µτουςκαιε το ανισότηταµδιαφορετική. Δύοήπαρακάτω χαρακτηριστικάισχύει: ηγεωπρόβλη παρακάτω'µ"ετρία#µα . ανισότητα: λέγεται τελεστής Laplaceέχει τη- Beltramiμορφή: και έχει τη µορφή:για λόγους απλότηταςσύνορο(C, θα,D@ ξεκινήσου)K του Ω.K KΑνµε D από είναι τον ένας 2-διάστατο ανοικτός Ευκλείδειο δίσκος του χώρο . συχνότητα του' ήχουAA1/'τέτοιαDirichlet1 πουΒλέπου ακού παραδείγµ: εµ ελοιπόν µℝπορείµατα'' ξεκάθαρα είναιΑφούνα−# προέρχεταιU/', η λοιπόν ανιστότητα= ότι? ,δείδιο από %"µ%%%πορού %φάσ %ντραRayleighRSTµ'%µα'ς εδε µναε -συνεπάγετα FaberUδιαφορετικά ακούσου-Krahnℝµει καικαιτοσχή σχή ίδιοοµ ατατύποςµ σχήα. ενός µτουα, ντραℝµWeyl.πορούµ,ℝ Πάλιαφούµε τουλάχιστον, η να D 1 / A 1όπου Στην είναι/ α νισότηταανοικτό2 υποσύνολο Rayleigh-Faber του -Krahn , συνάρτηση ασχολούµ ορισαστεµ µένηε το στο παρακάτω , η "Λαπλασιανή πρόβληµα # = @ = Αφού@A1A B λοιπόν0@ B0 BF5@συχνότητα ίδιο' φάσµ1 α τουέχου δε ήχουσυνεπάγεταµεR κάποιες που με εμβαδόακούK ι γεωκαιµεµ ίδιοµίσοετρικέςℝπορεί σχήμε νατο µπληροφορίεςα προέρχεταιεμβαδό, µ?4πορού τουµε γιααπό τουλάχιστονΩ την τότεντρα πολλαπλότητα µγιας µ τηνε να διαφορετικά 4 σχή ότανµατα είναι. γνωστό λέγεταιΟ τελεστής πολλαπλότητα Laplace-Beltrami Riemann είναι @και =ένας Δηλαδήσυ µµ@ηβολίζεται-φραγB0 ανάBµ0γιαDirichletµένοςεσα λόγουςµ,ε σε ελλειπτικόςτο όλα: απλότηταςζεύγος ταΔηλαδή υποσύνολα και%%%,% % ανά%θα %%αυτο%% ,ξεκινήσουµ εσα.του '=-συζυγήςΣε 0 σε %%% %µόλα %%µία%µ%ε%ε% % ένα %τααπό%RST" υποσύνολα δεδο τον%/' µ2ένο-διάστατο ε µτουβαδό Ευκλείδειο, οµ εδίσκος ένα δεδο χώρο? έχειµένο τηℝ ε µ. βαδό, ο δίσκος έχει τη BF5@ A2A,1,1 /0 στο και/0 το σύνοροπρώτη του 4μη-μηδενική . Αν 4 είναι ιδιοτιμή ένας λανοικτός1 4ισχύει δίσκοςη 4παρακάτω του µε ε(1)µβαδό ίσο µε διαφορικός τελεστής 2ης τάξης πουέχου δραµε κάποιεςστο χώρο γεω µετρικέςΣτην, Αφού δηλαδήπληροφορίες ατονισότητα λοιπόν φάστο χώροµ αίδιο για Rayleigh? φάστηντων(U ) µπολλαπλότηταλείων≤α-Faber δε? ;συνεπάγετα( '-ΗKrahn) απάντηση ασχολούι και ότανείναιίδιοµαστε σχή είναιθετική µµα εγνωστό, τοµ πορού αφούπαρακάτω µετο τουλάχιστον "φασ πρόβληµά µµιαςα να συµπαγούς πολλαπλότητα Riemann µπορούµε να ορίσουµικρότερηµε τηνA1 πρώτηαντίστοιχητο εµ ιδιοτιβαδό' Λαπλασιανή µτουήµ. ικρότερηΤο τότε αποτέλεσ για η Dπρώτη οποίατηνKµα πρώτη αυτόιδιοτι τώραK" K γενικεύεταιµ ηήℝ-. µΤοηδενική, αποτέλεσ και ιδιοτι? στον(µUαµ )ήαυτό ≤ " ?. ισχύει γενικεύεται(') η παρακάτω'" και# στον ανισότητα . : D το1 φάσµα/ ; Η/ απάντησηπολλαπλότηταςανισότητα: −είναι# , θετική= Riemann? , αφού%%%% %µ%RSTπορεί το%' να φασ καθορίσειµά µ ιας κάποιες συ µπαγούς ιδιότητές ℝ της(1)(C όπως, @) την διάστασή της, λέγεταισυναρτήσεων τελεστής της Laplace . Βασικό#-Beltrami= χαρακτηριστικό και έχει τη AµτουορφήΓια@ είναι Dirichlet:τον όπουBF5@έχουG η 'τύποιδιότητά µε : είναι κάποιες 1/'του ανοικτότου Weyl,γεω να(Γιαµ Cαντι ετρικές υποσύνολο, θεωρού@τονµ)ετατίθεται 'πληροφορίεςτύποℝµε του ότιUτου , Weyl, για συνάρτηση την θεωρού πολλαπλότητα είναι ορισℝµε 2 οιµότι ένηιδιοτι στοUµℝ ές, ότανπου η Λαπλασιανήείναιείναι γνωστό 2 οι ιδιοτι Uµές που Ο τελεστής LaplaceΟ -Beltramiτελεστής είναι Laplace-Beltrami ένας µη-φραγ µένοςείναι, ελλειπτικόςένας μη- και DαυτοKK -συζυγήςK K BF5@πολλαπλότηταςA,1 /0 Riemann&το( Cφάσ µ)/πορεί0µα τοννα καθορίσει όγκο%%%%% %%της%%%,OPFQ; κάποιεςκαιΗ= (0απάντησητοC%%% ,%ολοκλήρω%@ %ιδιότητές%)%%%%%%RST" είναι%/' µτηςα( Cτης όπωςθετική, @ )βαθ την µαφούωτής ℝδιάστασή4 κατοµ πυλότητάςφασ της,µ ά µιας της συ (scalarµπαγούς curvature). Τα µε τις ισοµετρίες της . αντιστοιχούνστο στο πρόβλη και µαντιστοιχούν ατο' Dirichlet σύνορο−# , του(1 σ=)το και? πρόβλη. ,Ανέναν% %%%% % πραγRSTµείναια Dirichlet%'µ έναςατικό ανοικτός αρι(1)θ καιµό ?δίσκοςέναν πραγ. Ορίζουτου2 µ ατικόµ µεε τη αριεµ βαδόθµόℝ ίσο µε. Ορίζουµε τη διαφορικός τελεστήςφραγμένος, 2ης τάξης ελλειπτικός που δρα στο και OPFQχώρο αυτο-συζυγής( CόπουΔηλαδή, @) ,είναι ανάδηλαδή διαφο- µανοικτόεσα το σεΔηλαδή χώρο όλαυποσύνολο τα των υποσύνολαανάμεσα λείων του σε του ,όλα 4 συνάρτηση" τα µM ευποσύνολα ένα δεδο ορισµένοµ τουένη ε µστοRβαδό4 με " ,, οM δίσκος η(1) Λαπλασιανή έχει τη Όταν η πολλαπλότηταC M είναιτον όγκο συ2µπαγής της και το το φάστο πολλαπλότηταςολοκλήρω εµµαβαδό' του τουτελεστήµ µαεγέθη της Riemannτότε βαθ Laplaceαυτά γιαµωτής Kτηνείναι µ-πορείBeltrami πρώτηκα γνωστάµ ναπυλότητάς µκαθορίσει ηℝ -4ωςµ?ηδενική ,αναλλοίωτα? της, ?κάποιες4 ,(scalarιδιοτι…% µιδιότητέςτης ήcurvature). θερ ισχύειµ ότηταςτης?( Cη ,όπωςΤα ?παρακάτω, @' ,.")? την#, … %διάστασή ανισότητα της: , συναρτήσεων της . Βασικό χαρακτηριστικόης συνάρτηση του είναι: στο µGικρότερη η ιδιότητά και πρώτη∞ συνάρτηση τοτου σύνορο ναιδιοτι%%%%% %αντι%%D%%µ, :τουK ήµ .ετατίθεται =Το 0 .Kαποτέλεσ% %Αν%%%K%% %%%% % %είναι?RST"(µUα%/' )έναςαυτό≤" ? ανοικτόςγενικεύεται(') δίσκος και στοντου µ. ε εµβαδό ίσο µε είναι διακριτό. Αυτόρικός ση(Cµ ,τελεστήςαίνει@) ότι µ για2εγέθη κάθετάξης αυτά που είναι δρα A1υπάρχει γνωστά στοτον χώρο' όγκοµ ιαως µ αναλλοίωταCη/'της-µOPFQ(M), ηδενικήκαι (το−CέναΤέλος# , ολοκλήρω@ συνάρτηση της,δεδομένο) , =θερµια?'µ ,µότηταςάλλη α εμβαδό,% %%της%U% % RSTερώτηση .βαθ %'οµ δίσκοςωτής στα κα D µ αντίστροφαέχειπυλότητάς ?τη∈ μικρότερηℝ τηςπροβλή (scalarℝ µατα curvature). είναι αν Ταµπορού µε να 1 / όπου& ( C') είναι/ ανοικτό υποσύνολο του ℝ , , συνάρτησηℝ ορισµένη στο '",2 # η ΛαπλασιανήU? ∈ ℝ µε τις ισοµετρίες τηςδηλαδή D το. χώρο των λείωνA συναρτήσεωντο εµβαδόΓια 1τουτης τον M. τότε τύποπρώτη για του Kτην ιδιοτιμή. πρώτηWeyl, µ θεωρούηΤο-µ ηδενικήαποτέλεσμαµε ότιιδιοτι αυτόµή 4 ισχύειγενικεύεται ηείναι παρακάτω οι ιδιοτι ανισότηταµές που: Οτης τελεστής και ένας Laplace αριθµ-όςBeltrami # = είναιέτσι ώστεέναςΤέλος: µη-φραγ, @µιαµ ένοςΔηλαδήάλληBF5@µεγέθη, ελλειπτικόςερώτηση αυτάανάµπροκαθ εσαείναι' στα %σε%και %%γνωστά%ορίσου %όλα%αντίστροφα% %%αυτο, τα= µ ως-υποσύνολαεσυζυγής0 το %αναλλοίωτα%%% %φάσ %%%προβλή%%%%µ %RSTα" τουµιας%µ/' ατα της δεδο µθερείναιεµ έναένηςµότητας ανδεδο πολλαπλότητας µ?µπορού.ένο εµεβαδό να , ο δίσκος. Δηλαδή έχει ξεκινώντας τη από C A,δηλαδή1 /0 το πλήθοςστο ' και των/0 /' ιδιοτι δηλαδήτο µσύνοροών πουτο πλήθοςτου είναι ' .µ n Αντωνικρότερες U ιδιοτι είναι µ απόέναςών πουτον ανοικτός αριθείναιµ µό δίσκοςικρότερες . Τότε του ο από τύποςℝℝ µτονε του ε µαριθβαδό µό ίσο . Τότεµε ο τύπος του Όταν η πολλαπλότητα M BF5@είναι συA,1µπαγής/0 το φάσαντιστοιχούνµα του/0 τελεστή στο πρόβλη Laplaceµα- BeltramiDirichletK (14K) και έναν4 πραγ µατικόK αριKθµό . Ορίζουµε τη διαφορικός τελεστήςΒασικό 2ης τάξηςχαρακτηριστικό πουπροκαθ δρα ορίσουστο Hτου∈ χώρο είναιℕµε το το η µφάσ ικρότερηειδιότητάµβαδό'µα, µΤέλοςδηλαδή ιαςτου τουπρώτη δεδοµ ια , να τότε µσυγκεκριτοµ ιαιδιοτιένηςW και χώρογιαάλλη? στονπολλαπλότηταςµ τηνή≔ µ .των ερώτησηένηΤο &YZBπρώτη R αποτέλεστοπολογικήλείων. Για{?, µ ητον :ℝστα%-?%µ? ηδενική(µ Uτύπο,α<αντίστροφα )πολλαπλότητααυτό?W≤"} . του?Δηλαδή? ιδιοτι γενικεύεται(≔ 'Weyl,)µ&YZB 4προβλήή ξεκινώντας " θεωρούμε4 {ισχύει? ,Mκαι ανµ:%ατα% ? στονεπιλέξου η από< παρακάτωείναιότι '?" } #. µανε µ µια ανισότηταπορού πεπερασµε :µνα ένη αύξουσα είναι διακριτό. Αυτό ση(Cµ,αίνει@K ) ότι για κάθεWeyl στον υπάρχει Δηλαδήσυνάρτηση είναι µια οανά µεξήςη:µ- µ εσαWeylηδενική:' σε στον όλα συνάρτηση τα υποσύνολα είναι ο εξής του: µε ένα? δεδο, ??µ, ένο? , … εµ% βαδό, ο δίσκος έχει τη C αντιμετατίθεται? ∈ ℝ µ μεια τιςσυγκεκρι ισομετρίεςµένη τηςτοπολογικήπροκαθG (M,g).ορίσου πολλαπλότηταακολουθίαµε τολ 1φάσ,λ 2πραγ,λµ 3α,… µ,µ ιαςανατικών είναι επιλέξουδεδο οι µαριθ4 ένηςιδιοτιμέςµµε ώνπολλαπλότητας µια: 4 πεπερασπου αντιστοιχούνµένη αύξουσα. Δηλαδήστο (C, @ξεκινώντας) από συναρτήσεωνΕπιπλέον της . Βασικό χαρακτηριστικό του είναι"G η' ιδιότητάΓια/' τον του τύπονα αντι τουµ"ετατίθεται 'Weyl,U θεωρού ? (U) ℝ≤µε? ότι(' ) ? είναιℝ ? 2∈οι ℝιδιοτιUµές? που της και ένας αριθµός έτσι ώστεD: K K Kµικρότερη πρώτη ιδιοτιµή. Το αποτέλεσµ(Cα αυτό, @") γενικεύεται4C και στον . µε τις ισοµετρίες τηςΌταν η πολλαπλότητα. ακολουθία−# , M όταν πραγ=είναι? µ, συμπαγήςατικώνℝΔηλαδή&αντιστοιχούνµια(C συγκεκρι αριθ) ανάτοµ φάσμαµώνεσα 'σ:µ τοένη σε πρόβλη πρόβληματοπολογικήόλα ταℝµ υποσύνολαα Dirichlet Dirichlet πολλαπλότηταK (1του (1)) και και ένανµ ένανε ,ένα αν πραγ πραγματικό δεδοεπιλέξουµ?ατικόµένοµ εαριεµ αριθμόµβαδόιαθµ πεπερασόℝ , ο δίσκος .µ Ορίζουένη έχειαύξουσαµ ετη τη H ∈ ℕ δηλαδήΓια το πλήθοςτον τύπο των τουιδιοτι Weyl,µών που, θεωρού 4είναι ℝµικρότερεςε 4ότι 4 από" τονM αριθ είναιµό 2 οι. Τότε ιδιοτι ο Uτύποςµές που του Cτου τελεστήK Laplace-Beltrami είναιακολουθία διακριτό. πραγΑυτόόπουµ ατικώνλ R., Ορίζουμε αριθµCπορούµώνµ: ε τη να συνάρτηση: βρούµε µίαK µετρικήK ( Cέτσι, @ )ώστε οι πρώτες ιδιοτιµές της Οι CαριθΌτανµοί η πολλαπλότηταC ? λέγονται∈ ℝ M είναι ιδιοτι συόπουµέςπαγής και τοοι µείναιφάσ συνάρτησηικρότερησυναρτήσειςµ τοα του εµ βαδόπρώτη τελεστή: όπου του ιδιοτι χωρίουLaplaceµή είναι._ Το (-'Beltramiλέγονται καιαποτέλεσ )τοW ετοµ?βαδό σύ? ≔µ(Uβολοα &YZBτου )αυτό≤" χωρίου?{ ? γενικεύεταιση(':%µ_%)?4αίνει (?' <και,)?:? " ,} το?και σύ, … στονµ% βολο yℝ . σηµαίνει: Επιπλέον K αντιστοιχούνWeyl στον στο είναι πρόβληW ο? εξής~µα: Dirichlet?%%%όταν (1%)%% ?και→W έναν∞0?C<~ πραγ? ≤µ?ατικό?%%%≤όταν⋯ αρι≤%%θ%?µ?ό→ ∞ . Ορίζουµε τη είναι διακριτό. Αυτόσημαίνει ση(Cµ,αίνει@) ότι ότι για? γιαόπου% κάθε→ κάθε%∞ Dk KN ,υπάρχει µπορούK υπάρχειHK → µμια%ε∞ να µμη-μηδενικήια βρού µη-µµναεηδενική µ ίσεςία µετρική µ εσυνάρτηση τα έτσι ώστε οι; Έχειπρώτεςℝ αποδειχθεί ιδιοτι4 "µ πωςές M της η απάντηση2? ∈ ℝείναιU θετική για συµπαγείς ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Laplace−-Beltrami# , όταν= ?της , συνάρτηση . ΓιαΤο :σύνολο τον " τύπο των4 τουιδιοτι" 2Weyl,aµών της θεωρούy µε ότι ?2a, ? , ? , … % είναι ?οι ιδιοτιµές που της και ένας?4 αριθ, ?"συνάρτηση,µ?όςM, … % u έτσι νατης ώστε ίσες M : και µ ε ταένας_ (' )αριθμόςόπου λ; ΈχειR πολλαπλότητες, έτσι0 µαποδειχθείπορού,<4 z,?,"∈≤,µ,εℕ?M να , …πως≤ 'βρού% διάστασης⋯ η ≤µαπάντησηε ?µία µµετρικήεγαλύτερης είναι~ έτσιθετική του ώστε 2.για @οι συ πρώτεςµπαγείς ℝ ιδιοτιµές zτης (C, @) τηςΛαπλασιανής και ένας της αριθ µός λέγεται έτσιk φάσ ώστεµα της: καιαντιστοιχούνδηλαδή συµβολίζεται kτο πλήθοςℝ στο µπρόβληε _τωνδηλαδή(' )ιδιοτιµα τοDirichletµ4 πλήθοςών. " που (1 τωνyείναι) 4και ιδιοτιμών µ ένανικρότερες" πραγ που' µαπό είναιατικόy τον μικρότερες αρι αριθθµόµ ό? ~ ∈. Τότεℝ. Ορίζου ο τύποςµε τητου Οι αριθµοί λέγονται ιδιοτιzµ∈έςℕ και οι συναρτήσεις @?λέγονται, ? , …0K

παρουσιάστηκε από τον J. Milnor το 1964 όταν κα- μεγαλύτερης του 2. Γεωργία ΑποστολίδουΓεωργία Αποστολίδου MSc Theoretical MathematicsMSc Theoretical Mathematics

Βιβλιογραφία: [1] M. KAC, Can one hear the shape of a drum?, Amer. Math. Monthly, 73 (4), 1-23, 1966. [2] J. MILNOR, Eingenvalues of the Laplace operator on certain manifolds, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 51 : 542, 1964. [3] O. LABLEÉ, Spectral Theory in Riemannian Geometry, EMS Textbooks in Mathematics Vol. 17, European Mathematical Society, 2015.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 , H omorfià thc MpeÙzian†c statistik†c...

H abebaiÏthta upàrqei kajhmerinà sthn thn paràmetro2 3 j5, ja7 11 prËpei 13 17 na Ëqoume19 23 29 kàpoia 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 zw† mac, d–nontac thc omorfià kai endiafËron. gn∏sh sqetikà113 me 127 thn 131 tim† 137 thc paramËtrou 139 149 151 j, 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 H Mpeuzian† prosËggish mac d–nei Ëna isqu- proto‘ làboume233 239 upÏyhn 241 mac 251 ta dedomËna257 263. 269H 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 rÏ ergale–o na katalàboume, na qeiristo‘me gn∏sh mac gia thn paràmetro j e–nai kajori- kai na elËgxoume thn abebaiÏthta. O qrusÏc stik† gia ton orismÏ thc a priori katanom†c. Η ομορφιά της Μπεϋζιανής Στατιστικής − kanÏnac? Ïlec oi àgnwstec posÏthtec peri- H idËa aut† apotele– kai thn kardià thc jew- gràfontai mËsw twn pijanot†twn. H suntag† r–ac tou Bayes kai e–nai h k‘ria diaforà thc e–nai apl†: me thn klassik† statistik†, . γράφει η Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Μαθηματικός, PhD cand. Ïti e–nai abËbaio kai se endiafËrei o- Kàje prÏblhma e–nai monadikÏ kai Ëqei to di- • nÏmase to j. kÏ tou perieqÏmeno. Apo autÏH akrib∏c omorfià to pe- thc MpeÙzian†c statistik†c... rieqÏmeno exàgontai a priori plhrofor–ec Ïti e–nai gnwstÏ onÏmase to x. − • kai e–nai h diat‘pwsh kaiH abebaiÏthta h ekmetàlleush upàrqei thc kajhmerinà sthn thn paràmetro j, ja prËpei na Ëqoume kàpoia UpolÏgise thn P (✓ x) me touc kanÏnec prohgo‘menhc gn∏shczw†. mac'Etsi, d–nontac loipÏn thc ta omorfià su- kai endiafËron. gn∏sh sqetikà me thn tim† thc paramËtrou j, • | logismo‘ pijanot†twn. mperàsmata mac sthnH Mpeuzian†MpeÙzian† jewr–a prosËggish exar- mac d–nei Ëna isqu- proto‘ làboume upÏyhn mac ta dedomËna. H t∏ntai apo thn epilog†rÏ ergale–o thc a priori na katalàboumekatano- , na qeiristo‘me gn∏sh mac gia thn paràmetro j e–nai kajori- − Poio– e–nai oi kanÏnec logismo‘ pijanot†twn; m†c. Sthn basik† toukai namorf† elËgxoume to je∏rhma thn abebaiÏthta tou . O qrusÏc stik† gia ton orismÏ thc a priori katanom†c. − Auto– pou Ïloi mac, mikro– kai megàloi xËrou- Bayes e–nai aplÏ kaikanÏnac aforà? ticÏlec upÏ oi sunj†kh àgnwstec posÏthtec peri- H idËa aut† apotele– kai thn kardià thc jew- me dhlad†: pijanÏthtec. gràfontai mËsw twn pijanot†twn. H suntag† r–ac tou Bayes kai e–nai h k‘ria diaforà thc 1. 0 P (x) 1, Ïpou 0 ekfràzei to ad‘na- e–nai apl†: me thn klassik† statistik†.   Je∏rhma Bayes to Ïti e–nai abËbaio kai se endiafËrei o- Kàje prÏblhma e–nai monadikÏ kai Ëqei to di- 'Estw ta endeqÏmena• B ,B ,...,B , kÏ tou perieqÏmeno. Apo autÏ akrib∏c to pe- 2. o ajroistikÏc kanÏnac nÏmase1 to2 j. q Ïpou B B = , gia kàje i = j kai rieqÏmeno exàgontai a priori plhrofor–ec i \ j ; 6 − 3. o pollaplasiastikÏc kanÏnac B B B = ⌦.Ïti e–nai gnwstÏ onÏmase to x. kai e–nai h diat‘pwsh kai h ekmetàlleush thc 1 [ 2 [ ···[ q • prohgo‘menhc gn∏shc. 'Etsi loipÏn ta su- 'Ena prËpei na xËreic: pwc den upàrqei a- P (AUpolÏgiseB )P (B thn) P (✓ x) me touc kanÏnec P (B A)= • | i i | mperàsmata mac sthn MpeÙzian† jewr–a exar- lhjin† pijanÏthta allà aplà mia Ëkfrash thc i | q Plogismo‘(A B )P pijanot†twn(B ) . j=1 | j j t∏ntai apo thn epilog† thc a priori katano- sqËsh sou me ton kÏsmo. Sunep∏c eàn jËleic Poio– e–nai oi kanÏnec logismo‘ pijanot†twn; − dhlad† h a posterioriP plhrofor–a exartàtai m†c. Sthn basik† tou morf† to je∏rhma tou na pàreic apofàseic megistopoi†se thn aname- − Auto– pou Ïloi mac, mikro– kai megàloi xËrou- apo thn a priori plhrofor–a. Bayes e–nai aplÏ kai aforà tic upÏ sunj†kh nÏmenh qrhsimÏthta, eàn jËleic na kàneic pro- − me dhlad†: blËyeic qrhsimopo–hse logismÏ pijanot†twn, pijanÏthtec. 1. 0 P (x) 1, Ïpou 0 ekfràzei to ad‘na- eàn Ïmwc jËleic na ermhne‘seic thn pijanÏth- 'Estw gia paràdeigma Ïti kànate Ëna test Je∏rhma Bayes ta e–nai proswpik† sou upÏjesh. gia mia asjËneia A. Oi statistikËcto de–qnoun 'Estw ta endeqÏmena B ,B ,...,B , Sthn sumperasmatolog–a katà Bayes ektimo- Ïti prosbàlletai 1 stouc2. o100 ajroistikÏcanjr∏pouc kanÏnac thc 1 2 q Ïpou B B = , gia kàje i = j kai ‘me thn paràmetro j, kaj∏c ep–shc kai thn pi- hlik–ac sac. An to test †tan 100% axiÏpi- i \ j ; 6 janÏthta f(x ✓), h opo–a kajor–zei thn pija- sto, tÏte den ja qreiazÏtan3. o pollaplasiastikÏc to je∏rhma tou kanÏnac B1 B2 Bq = ⌦. | [ [ ···[ nÏthta parat†rhshc diaforetik∏n x, kàtw a- Bayes. 'Omwc, ta iatrikà'Ena prËpei test na diàgnwshc xËreic: pwc den upàrqei a- P (A Bi)P (Bi) po diaforetikËc timËc thc paramËtrou j. Sqe- potË den e–nai 100%lhjin†axiÏpista pijanÏthta(toulàqiston allà aplà mia Ëkfrash thc P (Bi A)= q | | j=1 P (A Bj)P (Bj) dÏn se Ïlec tic peript∏seic Ïtan ektimo‘me mËqri s†mera). AcsqËsh po‘me sou loipÏn me ton pwc kÏsmo to test. Sunep∏c eàn jËleic | dhlad† h a posterioriP plhrofor–a exartàtai na pàreic apofàseic megistopoi†se thn aname- − apo thn a priori plhrofor–a. 1 nÏmenh qrhsimÏthta, eàn jËleic na kàneic pro- − blËyeic qrhsimopo–hse logismÏ pijanot†twn, eàn Ïmwc jËleic na ermhne‘seic thn pijanÏth- 'Estw gia paràdeigma Ïti kànate Ëna test ta e–nai proswpik† sou upÏjesh. gia mia asjËneia A. Oi statistikËc de–qnoun Sthn sumperasmatolog–a katà Bayes ektimo- Ïti prosbàlletai 1 stouc 100 anjr∏pouc thc ‘me thn paràmetro j, kaj∏c ep–shc kai thn pi- hlik–ac sac. An to test †tan 100% axiÏpi- janÏthta f(x ✓), h opo–a kajor–zei thn pija- sto, tÏte den ja qreiazÏtan to je∏rhma tou | nÏthta parat†rhshc diaforetik∏n x, kàtw a- Bayes. 'Omwc, ta iatrikà test diàgnwshc po diaforetikËc timËc thc paramËtrou j. Sqe- potË den e–nai 100% axiÏpista (toulàqiston dÏn se Ïlec tic peript∏seic Ïtan ektimo‘me mËqri s†mera). Ac po‘me loipÏn pwc to test

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 591 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 diàgnwshcdiàgnwshc thc thc asjËneiac asjËneiac A e–nai A e–nai90%90%axiÏpiaxiÏpi- EpomËnwc- EpomËnwc eàn eàn san san pr∏th pr∏th apànthsh apànthsh sto sto e- e- stosto. 'Estw. 'Estw Ïti Ïti kànete kànete to test to test kai kai bg†ke bg†ke je- jer∏thma- r∏thma skeftËtai skeftËtai kàpoioc kàpoioc Ïti Ïti h pijanÏthta h pijanÏthta tikÏtikÏ. Poia. Poia e–nai e–nai h pijanÏthta h pijanÏthta na Ëqetena Ëqete pro pro- e–nai- e–nai90%90%† kàpou† kàpou eke– eke– kontà kontà, to, je∏rhmato je∏rhma tou tou ? Bayes 2 3 sblhje–5 7sblhje– 11 apÏ13 apÏ17 thn 19 thn asjËneia 23 asjËneia 29 A31? A37 the_prime_magazineBayes macmac d–nei 71 d–nei apotËlesma73 apotËlesma79 83 898.33%. 978.33%. 101 103 107 109 'Estw loipÏn to endeqÏmeno A= to àtomo thc 113'Estw 127diàgnwshc 131 loipÏn 137 to thc endeqÏmeno139 asjËneiac 149 151 A A= e–nai157to{ àtomo 90%163 axiÏpi thc167 173- EpomËnwc 179 181 eàn191 san193 pr∏th 197 199 apànthsh 211 223 sto 227 e- 229 diàgnwshchlik–ac sac thc prosbàlletai asjËneiac A apo{ e–nai thn90% asjËneiaaxiÏpi-, EpomËnwc- Giat– autÏc eàn san o kÏsmoc pr∏th e–nai apànthsh pio Ïmorfoc sto e?- 233hlik–ac 239diàgnwshcsto 241. sac'Estwc 251 prosbàlletai thc Ïti 257 asjËneiac kànete 263 apo to 269 A test thn e–nai 271 asjËneia kai90% 277 bg†keaxiÏpi 281, je}- 283r∏thmaEpomËnwc- Giat– 293 autÏc skeftËtai 307 eàn o 311 kÏsmocsan kàpoioc313 pr∏th e–nai 317 apànthshÏti pio 331 h Ïmorfoc pijanÏthta337 sto 347? e- 349 3 stoB =c. A'Estwkai ÏtiJ= kàneteto test to e–nai test jetikÏ kai bg†ke. } je- r∏thma skeftËtai kàpoioc Ïti h pijanÏthta diàgnwshc thc asjËneiac A e–nai 90% axiÏpi- EpomËnwcB =stoA. kai'Estw eàn J san= Ïtito pr∏th kànete{ test e–nai apànthsh to test jetikÏ kai sto. bg†ke} e- je- r∏thmaO kÏsmoc skeftËtai autÏc kàpoioc e–nai pio Ïti Ïmorfoc h pijanÏthta diÏti tikÏ. Poia e–nai{ h pijanÏthta na} Ëqete pro- e–naiO kÏsmoc90% † autÏckàpou eke–e–nai kontà pio Ïmorfoc, to je∏rhma diÏti tou sto. 'Estw Ïti kànete to test kai bg†ke je- r∏thmatikÏ skeftËtai. Poia e–nai kàpoioc h pijanÏthta Ïti h pijanÏthta na Ëqete pro- e–naih paràmetroc90% † kàpou j lambànetai eke– kontà upÏyh, to je∏rhma san tuqa–a tou sblhje–R(A apÏ)= thnh pijanÏthta asjËneia A? Ëna àtomo thc hh- paràmetrocBayes mac j d–nei lambànetai apotËlesma upÏyh8.33%. san tuqa–a tikÏ. Poia e–nai h pijanÏthta na Ëqete pro- e–nai 90%sblhje–R•(†A kàpou)= apÏh thneke– pijanÏthta asjËneia kontà, to Ëna A je∏rhma? àtomo thc tou h- BayesposÏthtamac kai d–nei Ïqi apotËlesma san stajerà8.33%. Ïpwc sumba–nei 'Estw• lik–ac loipÏn sac to endeqÏmeno na prosblhje– A= to apÏ àtomo thn thc aposÏthta- kai Ïqi san stajerà Ïpwc sumba–nei sblhje– apÏ thn asjËneia A? Bayes'Estwmaclik–acd–nei loipÏn sac apotËlesma to na endeqÏmeno prosblhje–8.33%. A= apÏ{to thn àtomo a- thc hlik–acsjËneia sac prosbàlletai A = 1/100 =apo 0,01. thn{ asjËneia sthn, sthn klassik†- Giat– klassik† autÏc statistik† statistik† o kÏsmoc. Oi. e–naiOi perissÏteroi pio perissÏteroi Ïmorfoc? hlik–acsjËneiac sac A prosbàlletai= 1/100 = 0,01. apo thn{ asjËneia}, - Giat– autÏc o kÏsmoc e–nai pio Ïmorfoc? 'Estw loipÏn to endeqÏmeno A= to àtomo thc Bhlik–ac= Ac sackai prosbàlletai J= to test e–nai apo jetikÏthn asjËneia. }, epist†monec- Giat– autÏc protimo‘n o kÏsmoc mpeÙzianËc e–nai pio Ïmorfoc mejÏdouc? { B = Ac kai J= to test e–nai jetikÏ . }epist†monecO kÏsmoc protimo‘n autÏc mpeÙzianËc e–nai pio Ïmorfoc mejÏdouc diÏti hlik–ac sac prosbàlletai apo thn asjËneia , - Giat–B = A autÏcR(Bkai)= o J kÏsmoc=h{ pijanÏthtato test e–nai e–nai pio Ëna jetikÏÏmorfoc àtomo}.? thc h- statistik†cO kÏsmoc gia autÏc thn l‘sh e–nai pio twn Ïmorfoc problhmàtwn diÏti c } R•(B)=h pijanÏthta{ Ëna àtomo thc} h- statistik†ch paràmetrocO kÏsmoc gia thn j autÏc lambànetai l‘sh e–nai twn pio upÏyh problhmàtwn Ïmorfoc san tuqa–a diÏti B = A kai J= to test e–nai jetikÏ . • Rlik–ac(A)= sach pijanÏthta na mhn Ëqei Ëna prosblhje– àtomo thc apÏ h- htouc paràmetroc. S‘mfwna j lambànetaime ton John upÏyh Horgan san, sto tuqa–a àr- { } O kÏsmoclik–ac• R(A sac autÏc)= nah e–naipijanÏthta mhn Ëqei pio Ïmorfocprosblhje– Ëna àtomo diÏti apÏ thc htouc- h. paràmetrocS‘mfwna me j ton lambànetaiJohn Horgan upÏyh, sansto tuqa–aàr- • lik–acR(A)= sach pijanÏthta na prosblhje– Ëna àtomo apÏ thn thc ah- posÏthtajro tou ’ kai Bayes’ Ïqi san s stajerà Theorem: Ïpwc What’s sumba–nei the h paràmetrocthn• lik–acthn asjËneia j asjËneia lambànetai sac= na 99/100= prosblhje– 99/100upÏyh = 0,99.san = 0,99. tuqa–a apÏ thn ajro- posÏthta tou ’ Bayes’ kai Ïqi s san Theorem: stajerà What’s Ïpwc sumba–nei the R(A)=h pijanÏthta Ëna àtomo thc h- lik–acsjËneia sac A = na 1/100 prosblhje– = 0,01. apÏ thn a- sthnBig Deal?’ klassik†h MpeÙzian† statistik† statistik†. Oi perissÏteroi emfan–ze- • posÏthta kaisjËneia Ïqi san A stajerà= 1/100 Ïpwc = 0,01. sumba–nei Bigsthn Deal?’ klassik†h MpeÙzian† statistik† statistik†. Oi perissÏteroiemfan–ze- lik–ac sac na prosblhje– apÏ thn a- sjËneiaR(J A)= A =h 1/100 pijanÏthta = 0,01. to test na e–- epist†monectai panto‘, apÏ protimo‘n th fusik† mpeÙzianËc mËqri thn mejÏdouc Ëreuna sthn klassik†R•(J A statistik†)=| h pijanÏthta. Oi perissÏteroi to test na e–- taistatistik†cepist†monec panto‘, apÏ gia protimo‘n th fusik†thn l‘sh mpeÙzianËc mËqri twn thn problhmàtwn Ëreuna mejÏdouc sjËneia A = 1/100 = 0,01. • Rnai(|B jetikÏ)=h pijanÏthta gia Ëna àtomo Ëna pou àtomo fËrei thc thn h- statistik†cgia ton kark–no gia, apÏ thn thnl‘sh oikolog–a twn problhmàtwn mËqri thn epist†monecnai• R jetikÏ( protimo‘nB)= giah pijanÏthta Ëna mpeÙzianËc àtomo pouËna mejÏdouc àtomo fËrei thn thc hgia- toucstatistik†c ton. kark–noS‘mfwna, giaapÏ me thn thn ton l‘sh oikolog–aJohn twn Horgan problhmàtwn mËqri, sto thn àr- • lik–acasjËneia sac= na 90/100 mhn Ëqei = 0,9. prosblhje– apÏ toucyuqolog–a. S‘mfwna. Oi ereunhtËc me ton John thc Horgan teqnht†c, sto nohmo àr- R(B)=h pijanÏthta Ëna àtomo thc h- statistik†casjËneialik–ac gia thn= sac 90/100 l‘sh na mhn twn = Ëqei 0,9. problhmàtwn prosblhje– apÏyuqolog–ajrotouc. touS‘mfwna. Oi’ Bayes’ ereunhtËc me s ton thcTheorem:John teqnht†c Horgan What’s nohmo, sto- the àr- • thn asjËneia = 99/100 = 0,99. jros‘nhc tou, sumperilambanomËnwn’ Bayes’ s Theorem: twn What’s sqediast∏n the lik–ac sac na mhn Ëqei prosblhje– apÏ touc. S‘mfwnathnR(J asjËneia meB ton)=Johnh= pijanÏthta 99/100 Horgan =, to 0,99.sto test àr- na e–s‘nhc- Bigjro, sumperilambanomËnwn Deal?’ tou ’ Bayes’h MpeÙzian† s Theorem: statistik† twn sqediast∏n What’s emfan–ze the- R•(J B)=| h pijanÏthta to test na e–- Bigtwn Deal?’ autokino‘menwnh MpeÙzian† oqhmàtwn statistik† thc emfan–zeGoogle-, thn asjËneia = 99/100 = 0,99. jro tou• ’ Bayes’Rnai(|J jetikÏA s)= giaTheorem:h pijanÏthta Ëna àtomo What’s pou to test e–nai the na ugiËc e–twn- Big autokino‘menwn Deal?’ h MpeÙzian† oqhmàtwn statistik† thc Google emfan–ze, - nai• R jetikÏ(J | A gia)= Ënah pijanÏthta àtomo pou toe–nai test ugiËc na e–- taiqrhsimopoio‘n panto‘, apÏ MpeÙzianÏ th fusik† logismikÏ mËqri thn, Ëreunagia na Big Deal?’• naiRh( MpeÙzian†J jetikÏ| A)= giah statistik† pijanÏthta Ëna àtomo emfan–ze pouto test fËrei- na thn e–qrhsimopoio‘n- tai panto‘, MpeÙzianÏapÏ th fusik† logismikÏ mËqri, thngia Ëreuna na =• 10/100nai= 10/100 jetikÏ| = 0,1. = gia 0,1. Ëna àtomo pou fËrei thn gia ton kark–no, apÏ thn oikolog–a mËqri thn R(J A)=h pijanÏthta to test na e–- nai jetikÏ gia Ëna àtomo pou fËrei thnbohj†sounbohj†soun tic ticmhqanËc mhqanËc na anagnwr–soun na anagnwr–soun do- do- • | tai panto‘,asjËneiaapÏ th fusik†= 90/100 mËqri = 0,9. thn Ëreuna yuqolog–agia ton kark–no. Oi ereunhtËc, apÏ thn thc oikolog–a teqnht†c mËqri nohmo thn- nai jetikÏ gia Ëna àtomo pou fËrei thn asjËneia = 90/100 = 0,9. yuqolog–amËc kai na pàroun. Oi ereunhtËc apofàseic thc. teqnht†cSto bibl–o nohmo’The- giaTÏte tonTÏte tokark–no zhto‘meno to zhto‘meno, apÏ thn dhlad† oikolog–adhlad† dedomËnou dedomËnou mËqri Ïti thn Ïti to tomËcs‘nhcyuqolog–a kai na, pàrounsumperilambanomËnwn. Oi apofàseic ereunhtËc. thcSto teqnht†c twn bibl–o sqediast∏n’The nohmo- asjËneia = 90/100 = 0,9. R(J B)=h pijanÏthta to test na e–- s‘nhcTheory, sumperilambanomËnwn That Would Not Die’ twng–netai sqediast∏n lÏgoc yuqolog–atesttest brËjhke• . brËjhkeROi(J ereunhtËc| jetikÏB)= jetikÏh poia thcpijanÏthta poia e–nai teqnht†c e–nai h pijanÏthta to h nohmo pijanÏthta test- na e–Theory- twns‘nhc autokino‘menwnThat, sumperilambanomËnwn Would Not oqhmàtwn Die’ g–netai twn thc sqediast∏n lÏgocGoogle, • naiR(J jetikÏ| B)= giah pijanÏthta Ëna àtomo pou to test e–nai na ugiËc e–- twngia ta autokino‘menwn mpeÙzianà progràmmata oqhmàtwn, ta thc opo–aGoogle ana-, s‘nhcto àtomoto, sumperilambanomËnwn àtomo• nanai Ëqei na jetikÏ| Ëqei prosblhje– prosblhje–gia Ëna twnàtomo pràgmati sqediast∏npràgmati pou apo e–nai apo thn ugiËc thngiaqrhsimopoio‘ntwn ta mpeÙzianà autokino‘menwn progràmmata MpeÙzianÏ oqhmàtwn, logismikÏta opo–a thc ,Google anagia- na, R(J B)=h pijanÏthta to test na e–- =nai 10/100 jetikÏ = gia 0,1. Ëna àtomo pou e–nai ugiËc qrhsimopoio‘ngnwr–zoun ta spam MpeÙzianÏsta e-mail logismikÏ, apokwdiko, gia na- • | twn autokino‘menwnasjËneia= 10/100 mËsw tou = oqhmàtwn 0,1. jewr†matoc thc touGoogleBayes, ugnwr–zoun- bohj†sounqrhsimopoio‘n ta spam tic mhqanËcMpeÙzianÏsta e-mail na logismikÏanagnwr–soun, apokwdiko, gia- do na- nai jetikÏ gia Ëna àtomo pou e–nai ugiËc asjËneia= mËsw 10/100 tou jewr†matoc = 0,1. tou Bayes u- bohj†sounpoio‘n to DNA tic mhqanËckai ektimo‘n na anagnwr–soun touc kind‘nouc do- qrhsimopoio‘npolog–zetai MpeÙzianÏ wc ex†c: logismikÏ, gia na poio‘nbohj†soun to DNA tickai mhqanËc ektimo‘n na touc anagnwr–soun kind‘nouc’The do- = 10/100 = 0,1. polog–zetaiTÏte to wc zhto‘meno ex†c: dhlad† dedomËnou Ïti to mËcsthn kai kratik† na pàroun asfàleia apofàseic. O kÏsmoc. Sto bibl–o autÏc’The e–- bohj†sounTÏte to tic zhto‘meno mhqanËc na dhlad† anagnwr–soun dedomËnou do Ïti- tosthnmËc kratik† kai na pàrounasfàleia apofàseic. O kÏsmoc. Sto autÏc bibl–o e–-’The TÏtetest brËjhke to zhto‘meno jetikÏ dhlad† poia e–nai dedomËnou h pijanÏthta Ïti to Theory That Would Not Die’ g–netai lÏgoc test brËjhke jetikÏP poia(⇥ e–naiA)P h(A pijanÏthta’The) nainai pio pio Ïmorfoc Ïmorfoc d–oti d–oti dhmiourge– dhmiourge– perissÏtera perissÏtera TÏte to zhto‘meno dhlad† dedomËnou Ïti to mËc kaitestP ( naA pàroun brËjhke⇥)= apofàseic jetikÏP (⇥ poia. StoA)| e–naiP bibl–o(A) h pijanÏthta giaTheory ta mpeÙzianà That Would progràmmata Not Die’, tag–netai opo–a lÏgoc ana- P (Ato àtomo⇥)=| na ËqeiP (⇥ prosblhje–A)P|(A)+ pràgmatiP (⇥ B apo)P ( thnB) giar–ska ta afo‘ mpeÙzianà to apotËlesma progràmmata mac, exartàtaita opo–a ana apo- Theoryto| àtomo That WouldnaP ( Ëqei⇥ A prosblhje– Not)P (A Die’)+g–netaiP pràgmati(⇥ B lÏgoc)P apo(B) thnr–skagnwr–zoungia afo‘ ta mpeÙzianà to ta apotËlesmaspam progràmmatasta mace-mail exartàtai, ta, apokwdiko opo–a apo ana- test brËjhke jetikÏ poia e–nai h pijanÏthta toasjËneia àtomo na mËsw Ëqei| tou prosblhje–| jewr†matoc pràgmati tou| |Bayes apo thnu- gnwr–zounthn epilog† ta thcspampriorstakatanom†ce-mail, basizÏmenhcapokwdiko- gia taasjËneia mpeÙzianà mËsw progràmmata tou jewr†matoc0.9 ,0ta.01 opo–a tou anaBayes- uthn- gnwr–zoun epilog† thcDNA tapriorspamkatanom†csta e-mail basizÏmenhc, apokwdiko- to àtomo na Ëqei prosblhje– pràgmati apo thn asjËneiapolog–zetai mËsw= wc tou ex†c0.9 jewr†matoc: 0⇥.01 tou Bayes=0.083u-. poio‘nsthn a toprioriDNA plhrofor–akai ektimo‘n. touc kind‘nouc gnwr–zounpolog–zetai ta= spam wc0.9 ex†csta0⇥:.e-mail01 + 0,.1apokwdiko0.=099 .083- . sthnpoio‘na priori− to DNAplhrofor–akai ektimo‘n. touc kind‘nouc asjËneia mËsw tou jewr†matoc tou Bayes u- polog–zetai0.9 wc0 ex†c⇥.01: + 0.1 0⇥.99 sthn− kratik† asfàleia. O kÏsmoc autÏc e–- poio‘n to DNA kai⇥ ektimo‘n touc⇥ kind‘nouc naisthn pio kratik† Ïmorfoc asfàleia d–oti dhmiourge–. O kÏsmoc perissÏtera autÏc e–- polog–zetai wc ex†c: AnaforËc: P (⇥ A)P (A) nai pio Ïmorfoc d–oti dhmiourge– perissÏtera sthnP kratik†AnaforËc(A ⇥)= asfàleia: . OP kÏsmoc(⇥ | A autÏc)P (A) e–- r–skanai pio afo‘ Ïmorfoc to apotËlesma d–oti dhmiourge– mac exartàtai perissÏtera apo P (A | ⇥)=P (⇥ A)P (A)+| P (⇥ B)P (B) r–ska afo‘ to apotËlesma mac exartàtai apo P (⇥ A)P (A) nai pio Ïmorfoc1. |Berger d–otiP J.(⇥ (1985), dhmiourge–| A)P ( StatisticalA)+ perissÏteraP (⇥ decision| B)P (B) theoryr–ska and afo‘ Bayesian to apotËlesma analysis, mac Springer exartàtai Verlag, apo 1. Berger| J.P (1985),(⇥ | A0. Statistical)9P (A0)+.01 P ( decision⇥ | B)P theory(B) thn and epilog† Bayesian thc analysis,prior katanom†c Springer basizÏmenhc Verlag, P (A ⇥)= | = | 0.9 ⇥ 0.01 | =0.083. prior | P (⇥ A)P (A)+P (⇥ B)P (B) r–ska afo‘NewNew to York. apotËlesma= York. 0.9 mac⇥ 0 exartàtai.01 apo=0.083. sthnthn epilog†a priori thc plhrofor–akatanom†c. basizÏmenhc | | = 0.9 0.01⇥ + 0.1 0.99 =0.083. sthn a − priori plhrofor–a. 0.9 0.01 thn epilog† thc prior0.9 ⇥katanom†c0.01 + 0.1 basizÏmenhc⇥ 0.99 sthn a − priori plhrofor–a. = =0.083. 2. Carlin B.P.⇥ & Louis T.A.⇥ (2000), Bayes and− Empirical Bayes Methods for Data diàgnwshcdiàgnwshc thc thc asjËneiac asjËneiac⇥ A e–nai A e–nai90%90%axiÏpiaxiÏpi-sthnEpomËnwc- 2.aEpomËnwcCarlinAnaforËcpriori eàn B.P.plhrofor–a eàn san: & san⇥ pr∏th Louis pr∏th. apànthsh T.A. apànthsh⇥ (2000), sto sto Bayes e- e- and Empirical Bayes Methods for Data 0.9 0.01 + 0.1 0.99 −AnaforËcAnalysis,: Chapman and Hall/CRC. stosto. 'Estw. 'Estw Ïti⇥ Ïti kànete kànete to test to⇥ test kai kai bg†ke bg†ke je- jer∏thma- r∏thmaAnalysis,AnaforËc skeftËtai skeftËtai Chapman: kàpoioc kàpoioc and Ïti Hall/CRC. Ïti h pijanÏthta h pijanÏthta tikÏAnaforËctikÏ. Poia. Poia: e–nai e–nai h pijanÏthta h pijanÏthta na Ëqete na Ëqete pro pro- e–nai- e–nai90%1. 90%Berger† kàpou† kàpou J. eke– (1985), eke– kontà kontà Statistical, to, je∏rhmato je∏rhma decision tou tou theory and Bayesian analysis, Springer Verlag, Efron1.3. BergerEfron B.(1986), B.(1986), J. (1985), Why Why Statistical isn’t isn’t everyone everyone decision a Bayesian?, a theory Bayesian?, and The Bayesian The American American analysis, Statistician, Statistician, Springer 40:1–5. Verlag,40:1–5. sblhje–sblhje– apÏ apÏ thn thn asjËneia asjËneia A? A? Bayes3.BayesmacNewmac d–nei York. d–nei apotËlesma apotËlesma8.33%.8.33%. 'Estw1. 'EstwBerger loipÏn loipÏn J. to (1985), endeqÏmeno to endeqÏmeno Statistical A= Ato decision= àtomoto àtomo thc theory thc and BayesianNew York. analysis, Springer Verlag, { { 2. Carlin B.P. & Louis T.A. (2000), Bayes and Empirical Bayes Methods for Data hlik–achlik–acNew sac York. sac prosbàlletai prosbàlletai apo apo thn thn asjËneia asjËneia, , Αναφορές:2. Carlin B.P. & Louis T.A. (2000),?2 Bayes?2 and Empirical Bayes Methods for Data - Giat–2.- Giat–Analysis,Carlin autÏc autÏc B.P. o kÏsmocChapman o & kÏsmoc Louis e–nai and e–nai T.A. pio Hall/CRC. pio Ïmorfoc (2000), Ïmorfoc Bayes and Empirical Bayes Methods for Data c c } } [1]Berger,Analysis, J. (1985). Chapman Statistical decision and Hall/CRC. theory and Bayesian Analysis. New York: Springer. B2.=BCarlinA= Akai B.P.kai J= J &to= Louis testto test e–nai T.A. e–nai jetikÏ (2000), jetikÏ. Bayes. and EmpiricalAnalysis, Bayes Chapman Methods and for Hall/CRC. Data { { } } [2]Carlin,O kÏsmocO kÏsmoc B., P. autÏc & autÏcLouis, e–nai T., e–nai A. pio (2000). pio Ïmorfoc Ïmorfoc Bayes diÏti and diÏti Empirical Bayes Methods for Data Analysis. CRC: Chap Analysis, Chapman and Hall/CRC. 3. Efron B.(1986), Why isn’t everyone a Bayesian?, The American Statistician, 40:1–5. R(AR)=(A)=h pijanÏthtah pijanÏthta Ëna Ëna àtomo àtomo thc thc h- hh- paràmetroc h paràmetrocman3. Efron and Hall. j B.(1986), lambànetai j lambànetai Why upÏyh upÏyh isn’t san everyone san tuqa–a tuqa–a a Bayesian?, The American Statistician, 40:1–5. • • 3. Efronlik–aclik–ac B.(1986), sac sac na Why naprosblhje– prosblhje– isn’t everyone apÏ apÏ thn a thn Bayesian?, a- aposÏthta- [3]Efron,posÏthta The kai B. American kai Ïqi(1986). Ïqi san Why san stajerà Statistician, stajeràisn’t everyone Ïpwc Ïpwc 40:1–5. sumba–nei Bayesian? sumba–nei The American Statistician, 40: 1-5. sthn[4]Panagiotakos,sthn klassik† klassik† statistik† D., statistik† B. & Panaretos,. Oi. Oi perissÏteroi D. perissÏteroi (2017). Bayes 2factor: A brief review of an alternative way of making sjËneiasjËneia A = A 1/100= 1/100 = 0,01. = 0,01. 2 epist†monec epist†monec statistical protimo‘n decisions. protimo‘n Archives mpeÙzianËc mpeÙzianËc of Hellenic mejÏdouc mejÏdoucmedine, 34(5): 622-627. 2 R(BR)=(B)=h pijanÏthtah pijanÏthta Ëna Ëna àtomo àtomo thc thc h- hstatistik†c- [5]Bartschstatistik†c McGrayne, gia gia thn thn l‘sh S. (2012). l‘sh twn twnThe problhmàtwn problhmàtwntheory that would not die. How Bayes’ rule cracked the Enigma Code, • hunted down russian submarines and emerged triumphant from two centuries of controversy. USA: Yale • • touctouc. S‘mfwna. S‘mfwna me ton me tonJohnJohn Horgan Horgan, sto, sto àr- àr- lik–aclik–ac sac sac na mhn na mhn Ëqei Ëqei prosblhje– prosblhje– apÏ apÏ University Press. thnthn asjËneia asjËneia= 99/100= 99/100 = 0,99. = 0,99. jro[6]Δελλαπόρτας,jro tou tou’ Bayes’’ Bayes’ Π. s & Theorem: s Τσιαμυρτζής, Theorem: What’s Π. What’s(2012) the Στατιστική the κατά Bayes. Πανεπιστημιακές σημειώσεις. BigBig Deal?’ Deal?’h MpeÙzian†h MpeÙzian† statistik† statistik† emfan–ze emfan–ze- - R(JR(JA)=A)=h pijanÏthtah pijanÏthta to test to test na e– na2- 3 e– -5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 89 97 101 103 107 109 113 • • | | tai tai panto‘ panto‘, apÏ, apÏ th fusik†th fusik† mËqri mËqri thn thn Ëreuna Ëreuna 83 nainai jetikÏ jetikÏ gia gia Ëna Ëna àtomo àtomo pou pou fËrei fËrei thn thngiagia ton ton kark–no kark–no, apÏ, apÏ thn thn oikolog–a oikolog–a mËqri mËqri thn thn asjËneiaasjËneia= 90/100= 90/100 = 0,9. = 0,9. yuqolog–ayuqolog–a. Oi. ereunhtËcOi ereunhtËc thc thc teqnht†c teqnht†c nohmo nohmo- - s‘nhcs‘nhc, sumperilambanomËnwn, sumperilambanomËnwn twn twn sqediast∏n sqediast∏n R(JR(JB)=B)=h pijanÏthtah pijanÏthta to test to test na e– na- e–- • • | | twntwn autokino‘menwn autokino‘menwn oqhmàtwn oqhmàtwn thc thcGoogleGoogle, , nainai jetikÏ jetikÏ gia gia Ëna Ëna àtomo àtomo pou pou e–nai e–nai ugiËc ugiËc qrhsimopoio‘nqrhsimopoio‘n MpeÙzianÏ MpeÙzianÏ logismikÏ logismikÏ, gia, gia na na = 10/100= 10/100 = 0,1. = 0,1. bohj†sounbohj†soun tic ticmhqanËc mhqanËc na anagnwr–soun na anagnwr–soun do- do- TÏteTÏte to zhto‘meno to zhto‘meno dhlad† dhlad† dedomËnou dedomËnou Ïti Ïti to tomËcmËc kai kaina pàroun na pàroun apofàseic apofàseic. Sto. Sto bibl–o bibl–o’The’The testtest brËjhke brËjhke jetikÏ jetikÏ poia poia e–nai e–nai h pijanÏthta h pijanÏthtaTheoryTheory That That Would Would Not Not Die’ Die’g–netaig–netai lÏgoc lÏgoc to àtomoto àtomo na Ëqei na Ëqei prosblhje– prosblhje– pràgmati pràgmati apo apo thn thngiagia ta mpeÙzianà ta mpeÙzianà progràmmata progràmmata, ta, opo–ata opo–a ana ana- - asjËneiaasjËneia mËsw mËsw tou tou jewr†matoc jewr†matoc tou touBayesBayesu- ugnwr–zoun- gnwr–zoun ta spam ta spamstastae-maile-mail, apokwdiko, apokwdiko- - polog–zetaipolog–zetai wc ex†cwc ex†c: : poio‘npoio‘n to DNA to DNAkaikai ektimo‘n ektimo‘n touc touc kind‘nouc kind‘nouc sthnsthn kratik† kratik† asfàleia asfàleia. O. kÏsmocO kÏsmoc autÏc autÏc e–- e–- P (⇥P (⇥A)PA()AP)(A) nainai pio pio Ïmorfoc Ïmorfoc d–oti d–oti dhmiourge– dhmiourge– perissÏtera perissÏtera P (AP (A⇥)=⇥)= | | | | P (⇥P (⇥A)PA()AP)+(A)+P (⇥P (⇥B)PB()BP)(Br–ska) r–ska afo‘ afo‘ to apotËlesma to apotËlesma mac mac exartàtai exartàtai apo apo | | | | 0.9 0.90.010.01 thnthn epilog† epilog† thc thcpriorpriorkatanom†ckatanom†c basizÏmenhc basizÏmenhc = = ⇥ ⇥ =0=0.083.083. . 0.9 0.90.010. +01 0 +.1 0.10.990.99 sthnsthna aprioriprioriplhrofor–aplhrofor–a. . ⇥ ⇥ ⇥ ⇥ − − AnaforËcAnaforËc: : 1. Berger1. Berger J. (1985), J. (1985), Statistical Statistical decision decision theory theory and and Bayesian Bayesian analysis, analysis, Springer Springer Verlag, Verlag, NewNew York. York.

2. Carlin2. Carlin B.P. B.P. & Louis & Louis T.A. T.A. (2000), (2000), Bayes Bayes and and Empirical Empirical Bayes Bayes Methods Methods for for Data Data Analysis,Analysis, Chapman Chapman and and Hall/CRC. Hall/CRC.

3. Efron3. Efron B.(1986), B.(1986), Why Why isn’t isn’t everyone everyone a Bayesian?, a Bayesian?, The The American American Statistician, Statistician, 40:1–5. 40:1–5.

2 2 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3

Τυχαίος Περίπατος

γράφει ο Βύρων Μπουλούμης Μαθηματικός Α.Π.Θ.

Έ νας τυχαίος περίπατος είναι ένα μαθηματικό μο- Ας θεωρήσουμε ότι σωματίδιο ανά μονάδα χρόνου ντέλο, που περιγράφει μια διαδρομή που αποτελείται κινείται επάνω στον οριζόντιο άξονα x΄x µε βήματα από μια διαδοχή τυχαίων βημάτων. Για παράδειγμα, η σταθερού μήκους 1. Με πιθανότητα p (0

ένα μπαρ και προσπαθεί να φτάσει στο σπίτι του. αριθμό βημάτων n=2ν (ν=1,2,...) θα είναι άρτια και

συγκεκριμένα θα" είναι μια από τις {-2ν, -2ν-2, ..., 0, 𝐸𝐸 𝑍𝑍 = 1 ∙ 𝑝𝑝 + −1 ∙ 𝑞𝑞 = 0 ..., 2ν-2, 2ν}, ενώ μετά από περιττό αριθμό βημάτων n=2ν+1 θα είναι περιττή και συγκεκριμένα θα είναι μια από 𝑋𝑋τις9: {-2ν-1,; + 𝑍𝑍9, -2ν-3,𝑋𝑋9 :...,; >-1,0 1,, 𝑋𝑋 9...,:; 2ν-1,+ 𝑍𝑍9 2ν+1}.> 0 𝑋𝑋9 = 0, διαφορετικά Ορισμός 5.1: Αν το σωματίδιο μπορεί να κινείται ελεύθερα στον άξονα και να καταλαμβάνει οποιαδήποτε𝑋𝑋9 :θέση; + 𝑍𝑍 πάνω9, σε0 <αυτόν,𝑋𝑋9:; τότε+ 𝑍𝑍9 ο< τυχαίος𝑏𝑏 9 9:; 9 περίπατος𝑋𝑋 = ονομάζεται0, ελεύθερος.𝑋𝑋 + 𝑍𝑍 ≤ 0 9:; 9 𝑏𝑏, 𝑋𝑋 + 𝑍𝑍 ≥ 𝑏𝑏 Ορισμός 5.2: Αν το σωματίδιο φτάσει ένα ϕράγµα και πλέον δεν μπορεί να ξεφύγει και η κίνηση του τελειώνει, τότε έχουμε ϕράγµα απορρόφησης.

Ορισμός 5.3: Αν το σωματίδιο φτάσει σ’ ένα ϕράγµα, όπου μπορεί να ξεφύγει προς µία συγκεκριμένη Εικόνα 1: drunkard’s walk κατεύθυνση, τότε έχουμε ϕράγµα ανακλάσεως. Ένα δημοφιλές μοντέλο τυχαίου περιπάτου είναι ο τυχαίος περίπατος σε κανονικό δικτυωτό, όπου σε Στην περίπτωση που p=q=1/2 και το σωματίδιο κάθε βήμα το σωματίδιο πηγαίνει από έναν κόμβο σε ξεκινάει από τη θέση Χ0=0 τότε η μέση τιμή του Χn έναν άλλο με κάποια πιθανότητα. Στον απλό τυχαίο είναι 0 διότι: περίπατο το σωματίδιο μπορεί να μεταβεί μόνο σε Ε[Χn]=E[Z1+Z2+…+Zn]=E[Z1]+E[Z2]+…+E[Zn]=0 γειτονικούς κόμβους του δικτυωτού, δημιουργώντας ένα μονοπάτι. Για να γίνει πιο κατανοητή η έννοια αφού Ε[Zi]=1·p+(-1)·q=0. του απλού τυχαίου περιπάτου ας δούμε το επόμενο παράδειγμα.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 ΕΡΩΤΗΜΑ • Αν X n<0 τότε η εταιρεία παύει να λειτουργεί. Ένα ενδιαφέρον ζήτημα που προκύπτει είναι πόσες • Αν Z r=Yr-Wr, r=1,2,… αποτελούν ισόνομες και φορές ένας τυχαίος περίπατος θα διασχίσει μια ανεξάρτητες τ.μ. τότε η Xn συμπεριφέρεται σαν " +1, µμε πιθανότητα 𝑝𝑝 οριακή γραμμή εάν συνεχίζει για πάντα; Ένας απλός ένας τυχαίος𝑍𝑍 = περίπατος που ξεκινάει από τη θέση −1, µμε πιθανότητα 𝑞𝑞 τυχαίος περίπατος θα περάσει από κάθε σημείο X0 και κάνει βήματα μήκους Zr.

του οριζόντιου άξονα x΄x άπειρες φορές. Αυτό το • Επιπλέον έχουμε ένα φράγμα απορρόφησης (το 0)

αποτέλεσμα είναι γνωστό και ως η καταστροφή του οπότε: " 𝐸𝐸 𝑍𝑍 = 1 ∙ 𝑝𝑝 + −1 ∙ 𝑞𝑞 = 0 παίκτη, διότι ένας παίκτης με ένα πεπερασμένο ποσό χρημάτων που παίζει ένα δίκαιο παιχνίδι απέναντι σε μία τράπεζα με ένα άπειρο ποσό χρημάτων, τελικά θα 9:; 9 9:; 9:; 9 9 𝑋𝑋 + 𝑍𝑍 , 𝑋𝑋 > 0, 𝑋𝑋 + 𝑍𝑍 > 0 χάσει. Τα χρήματα του παίκτη θα εκτελέσουν έναν 𝑋𝑋 = β] Οργάνωση λειτουργίας0, φράγματοςδιαφορετικά τυχαίο περίπατο και σε κάποιο σημείο θα φτάσει στο 0 οπότε και το παιχνίδι θα τελειώσει. Θεωρείστε ένα ϕράγµα στο οποίο μαζεύονται τα νερά Σε αυτό το σημείο ας εξετάσουμε τον τυχαίο περίπατο της βροχής ή 𝑋𝑋κάποιου9:; + 𝑍𝑍 ποταμού9, 0 και< 𝑋𝑋 χρησιμοποιούνται9:; + 𝑍𝑍9 < 𝑏𝑏 9 9:; 9 σε μεγαλύτερες διαστάσεις. Για να αντιληφθούμε τη για την𝑋𝑋 άρδευση= καλλιεργειών0, 𝑋𝑋 ή+ για𝑍𝑍 την≤ 0 παραγωγή 9:; 9 διδιάστατη περίπτωση, μπορούμε να φανταστούμε του ηλεκτρικού ρεύματος.𝑏𝑏, 𝑋𝑋 Yn:+ οι𝑍𝑍 μονάδες≥ 𝑏𝑏 νερού ένα άτομο να περπατάει τυχαία γύρω από μια πόλη. που πέφτουν μέσα στο ϕράγµα κατά τη διάρκεια Η πόλη είναι ουσιαστικά άπειρη και τοποθετημένη της n−οστής χρονικής περιόδου (π.χ. ημέρας). Το σε ένα τετράγωνο πλέγμα πεζοδρομίων. Σε κάθε νερό ελευθερώνεται από το ϕράγµα ανοίγοντας διασταύρωση, το άτομο επιλέγει τυχαία μία από κατάλληλες πόρτες σύμφωνα µε τον ακόλουθο +1, µμε πιθανότητα 𝑝𝑝 τις τέσσερις πιθανές διαδρομές (δεξιά, αριστερά, κανόνα: 𝑍𝑍" = −1, µμε πιθανότητα 𝑞𝑞 πάνω, κάτω). Μαθηματικά, αυτό είναι ένας τυχαίος Αν X n μετράει το ποσό του νερού μέσα στο ϕράγµα περίπατος στο καρτεσιανό επίπεδο με συντεταγμένες στο τέλος της n−οστής χρονικής περιόδου και ακέραιους αριθμούς. Παρουσιάζεται και εδώ το Xn−1+Yn>a (γνωστό) τότε απελευθερώνονται a μο- 𝐸𝐸 𝑍𝑍" = 1 ∙ 𝑝𝑝 + −1 ∙ 𝑞𝑞 = 0 ερώτημα, αν ένα άτομο που ξεκινάει από την αρχή νάδες κατά τη διάρκεια της n ημέρας. Επίσης, αν b των αξόνων Ο, θα επιστρέψει ξανά στην αρχή Ο. είναι η χωρητικότητα του ϕράγµατος σε νερό, τότε έχουμε μια9 :απώλεια; 9 νερού9 :b−(X; n−1+Y9:;n−a) μονάδες9 Αυτό είναι το αντίστοιχο που αναφέραμε και στη μια 𝑋𝑋 + 𝑍𝑍 , 𝑋𝑋 > 0, 𝑋𝑋 + 𝑍𝑍 > 0 διάσταση. Και σε αυτήν την περίπτωση σχεδόν βέβαια νερού𝑋𝑋9 = κατά την n−οστή ημέρα. 0, διαφορετικά θα ξαναπεράσει από την αρχή Ο. Ωστόσο δεν ισχύει κάτι αντίστοιχο για μεγαλύτερες διαστάσεις καθώς η

πιθανότητα επιστροφής στην αρχή μειώνεται καθώς 𝑋𝑋9:; + 𝑍𝑍9, 0 < 𝑋𝑋9:; + 𝑍𝑍9 < 𝑏𝑏 αυξάνονται οι διαστάσεις. Στην περίπτωση των τριών 9 9:; 9 𝑋𝑋 = 0, 𝑋𝑋 + 𝑍𝑍 ≤ 0 διαστάσεων η πιθανότητα επιστροφής είναι 34%. Με 9:; 9 𝑏𝑏, 𝑋𝑋 + 𝑍𝑍 ≥ 𝑏𝑏 αυτά τα ερωτήματα ασχολήθηκε ο George Polya. Έτσι όπου Zn=Yn−a μετράει την αλλαγή του περιεχομένου λοιπόν ένας μεθυσμένος άνθρωπος θα βρει τελικά το του ϕράγµατος κατά την n−οστή ημέρα. σπίτι του αλλά ένα μεθυσμένο πουλί ίσως χαθεί για • Αν το ϕράγµα γεμίσει εντελώς σε κάποια ημέρα, πάντα! • Αν το ϕράγµα αδειάσει εντελώς, τότε αυτό παραμένει άδειο μέχρι Zn>0. Εφαρμογές του τυχαίου περιπάτου Δηλαδή, έχουμε ένα τυχαίο περίπατο µε δύο ϕρά- γµατα ανακλάσεως, ένα στην κατάσταση 0 και ένα α] Οργάνωση ασφαλιστικής εταιρείας στην κατάσταση b. Θεωρούμε μια ασφαλιστική εταιρεία η οποία ξεκινάει Βιβλιογραφία: τις εργασίες της τη χρονική στιγμή 0 με ένα αρχικό [1]Γιαννακόπουλος Α. (2003) Στοχαστική Ανάλυση και κεφάλαιο Χ0. Κατά τη διάρκεια των περιόδων Εφαρμογές στη Χρηματοοικονομική Τομος Ι: Εισαγωγή στην 1,2,... (μέρες ή μήνες...) η εταιρεία λαμβάνει από Στοχαστική Ανάλυση. Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικής τους ασφαλισμένους χρηματικά ποσά Υ1,Υ2,... Επιστήμης Πανεπιστημίου Αιγαίου. [2]Μπουλούμης Β. (2017) Ειδικό Θέμα : Η Κίνηση Brown και οι και πληρώνει για ζημιές ποσά W1,W2,…. Τότε το εφαρμογές της στα χρηματοοικονομικά. Τμήμα Μαθηματι- κεφάλαιο της εταιρείας στο τέλος της n-οστης κών ΑΠΘ χρονικής περιόδου θα είναι: [3]Μπούτσικας Μ. Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα χρημα- τοοικονομικά Προϊόντα» (2005-2007). Τμήμα Στατιστικής Χn=X0+(Y1-W1)+…+(Yn-Wn) και Ασφαλιστικής Επιστήμης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3

Η Μοντελοποίηση στη Μαθηματική Εκπαίδευση

γράφει ο Βασίλειος Καλέσης

Μαθηματικός Α.Π.Θ.

Σ το πλαίσιο αναζήτησης νέων και αποδοτικότε- ρων τρόπων διδασκαλίας των Μαθηματικών, η Σε μια ραγδαία εξελισσόμενη εποχή, όπου η Διδακτική αλλάζει, βελτιώνεται αλλά και εξελίσσεται τεχνολογία προχωρά με αλματώδεις ρυθμούς και με ραγδαίες ταχύτητες. Με μια σύντομη ανασκόπηση, οι πληροφορίες βρίθουν, τα άτομα καλούνται να εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι η διδασκαλία εμπλουτίζουν/εκσυγχρονίζουν συνεχώς τις γνώσεις των μαθηματικών πέρασε από τον δομισμό, τον τους και τις δεξιότητές τους χωρίς υποστήριξη φορμαλισμό, τον μπιχεβιορισμό, αλλάζοντας όχι μόνο δασκάλων. Για να επιτευχθεί αυτό, το σχολείο τη θεώρηση των μαθηματικών αλλά και τον τρόπο δεν πρέπει να αρκεστεί μόνο στο να τους παρέχει διδασκαλία τους. Με την εμφάνιση των ρεαλιστικών γνώσεις αλλά και να εμβαθύνει στον δημιουργικό μαθηματικών στο προσκήνιο και ενστερνιζόμενοι τρόπο απόκτησής των γνώσεων αυτών. Στο πλαίσιο την ιδέα ότι τα μαθηματικά είναι χρήσιμα επειδή πραγματοποίησης αυτού του σκοπού, η εκπαίδευση λύνουν προβλήματα, ξεκίνησε μια τάση διδασκαλίας δημιουργεί δυναμικά μαθησιακά περιβάλλοντα. με επίκεντρο την επίλυση προβλήματος (problem Ειδικότερα, για την Μαθηματική Εκπαίδευση, ο solving). Στα πλαίσια αυτής, ήρθε στην επιφάνεια πυρήνας αυτών των περιβαλλόντων είναι η επίλυση η ανάγκη οικοδόμησης σχέσεων μεταξύ του προβλήματος και η διαδικασία της μοντελοποίησης πραγματικού κόσμου και των Μαθηματικών. Τότε, (Κολέζα, 2017). λοιπόν, ξεκίνησε η συστηματοποίηση και μελέτη της μοντελοποίησης στην εκπαίδευση, η οποία, όμως, Τι είναι, όμως, Μοντελοποίηση; προϋπήρχε αλλά χρησιμοποιούνταν ασυναίσθητα από τους μαθηματικούς. Χώρες, όπως η Αγγλία, η Κατά την Κολέζα (2017, σελ.304) είναι «μια Νέα Ζηλανδία και η Αυστραλία άλλαξαν τα διδακτικά δραστηριότητα απεικόνισης από ένα σύστημα σε τους εγχειρίδια, με την επίλυση προβλήματος και τη ένα άλλο, που παρακινείται από την ανάγκη να μοντελοποίηση να έχουν μια περίοπτη θέση σε αυτά. περιγραφούν, να προβλεφθούν, ή να εξηγηθούν μερι- Ωστόσο, το νέο εγχείρημα έφερε στην επιφάνεια κά ιδιαίτερα φαινόμενα ενδιαφέροντα στο άτομο νέα ζητήματα, όπως το τι είναι και πως διδάσκεται η που την επιχειρεί». Εξειδικεύοντας στην μαθηματική μοντελοποίηση. μοντελοποίηση1, η ίδια (ibid, 2017, σελ.304) την ορίζει ως την έκφραση μιας πραγματικής κατάστασης μέσω ενός μαθηματικού μοντέλου2. Αντίστοιχα, ο Blum (1993) αναφέρει ότι υπάρχουν τόσοι ορισμοί για τη μοντελοποίηση, όσοι και οι συγγραφείς που έγραψαν για αυτή. O ίδιος (ibid, 1993; 2011) καθώς και ο Niss (1988) συγκλίνουν στον ορισμό της ως «η διαδικασία κατασκευής ενός μαθηματικού μοντέλου». Στην διαδικασία περιλαμβάνονται τα στάδια της αρχικής έρευνας στο εξωμαθηματικό3 πλαίσιο, της μετάφρασης από την πραγματικότητα στα μαθηματικά (μαθηματικοποίηση4) και της επαλή- θευσης του μοντέλου, η οποία θα οδηγήσει στην αποδοχή, αναπροσαρμογή ή απόρριψή του (Niss, 1988, σελ. 237).

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Σημαντικό ρόλο στην επαλήθευση και την [4] Τέλος, τα αποτελέσματα νοηματοδότηση του μοντέλου παίζει η εμπειρία του της μαθηματικής λύσης ερ- ατόμου από τον πραγματικό κόσμο, η οποία και θα μηνεύονται και μεταφράζο- ολοκληρώσει τη διαδικασία (Lesh & Caylor, 2007; νται στο αρχικό πλαίσιο του Lesh & Doerr, 2003). προβλήματος, ώστε να δοθεί η πραγματική λύση. (εικ. 1, μετά- βαση από Δ στο Α). Αξίζει να σημειωθεί ότι ο λύτης αντι- Διαδικασία Μοντελοποίησης παραβάλλει τα αποτελέσματα της μαθη- ματικής λύσης με το αρχικό πρόβλημα, το επιστη- Όπως φαίνεται και από τον ορισμό της μονικό, καθώς και το μαθηματικό μοντέλο, ώστε μοντελοποίησης, πρόκειται για μια έκφραση της να διαπιστώσει αν ευσταθούν ή αν υπάρχουν τυχόν πραγματικότητας μέσω ενός μαθηματικού μοντέλου. αποκλίσεις - ασυμφωνίες μεταξύ τους. (μεταβάσεις Αυτή η έκφραση έχει παρασταθεί κατά καιρούς από Δ στο Β, από Δ στο Γ). Η παραπάνω διαδικασία από τους ερευνητές με διάφορους αλγόριθμους μπορεί να απεικονιστεί από το παρακάτω διάγραμμα. (Blum, 1985; Blum & Leiß, 2007; Κλαουδάτος, 1992; GAIMME, 2016; Μαμωνά-Downs, 2017). Στην παρούσα εργασία θα παρουσιάσουμε τη διαδικασία της μοντελοποίησης μέσω 4 βημάτων, όπως την περιγράφει η Κολέζα (2017, σελ.306): [1] Αρχικά, η διαδικασία ξεκινά από ένα ρεαλιστικό πρόβλημα, το οποίο θα αναπαρασταθεί από σημειωτικούς κώδικες του πλαισίου στο οποίο ζητείται λύση. Το ρεαλιστικό πρόβλημα, εκτός από τις απαραίτητες για την επίλυσή του πληροφορίες, περιέχει και πληθώρα περιττών, οι οποίες θα αγνοηθούν και θα γίνει εστίαση στα στοιχεία του προβλήματος που έχουν σημασία για Εικόνα 1: Σχηματική απεικόνιση της μοντελοποίησης. τη λύση. Με αυτόν τον τρόπο ο λύτης απλοποιεί 1: απλοποίηση διατύπωσης, το πραγματικό πρόβλημα και καταλήγει σε 2: αφαίρεση / μαθηματικοποίηση μια ευκολότερα διαχειρίσιμη έκφραση της 3: μαθηματικοί υπολογισμοί, αρχικής κατάστασης, η οποία αποτελεί και το 4: ερμηνεία / μετάφραση επιστημονικό μοντέλο. (εικ. 1, μετάβαση από Α Τα διακεκομμένα βέλη συμβολίζουν τους ελέγχους/συγκρίσεις στο Β). που πραγματοποιούνται από μια κατάσταση σε μια πρότερη, [2]Στη συνέχεια, από το επιστημονικό μοντέλο και για εντοπισμό ασυμφωνιών μεταξύ των αποτελεσμάτων. μέσω της διαδικασίας της αφαίρεσης, ο λύτης διαλέγει τις μαθηματικές έννοιες που χρειάζεται Για την επίτευξη μιας αποδεκτής λύσης είναι πιθανό για να δημιουργήσει το μαθηματικό μοντέλο. η διαδικασία να επαναληφθεί παραπάνω από και (εικ. 1, μετάβαση από Β στο Γ). μια φορές. Το 2007, οι Blum & Leiß, πρότειναν [3]Ακολούθως, διαχειρίζεται αυτή τη μαθηματική ένα πιο εμπλουτισμένο διάγραμμα του κύκλου αναπαράσταση και μέσω ενός παραγωγικού της μοντελοποίησης, το οποίο περιλαμβάνει τρία συλλογισμού -και πράξεων- καταλήγει σε μια μα- επιπλέον βήματα στην όλη διαδικασία (Blum & Leiß, θηματική λύση. (εικ. 1, μετάβαση από Γ στο Δ). 2007, σελ. 225, εικ.1). Μέσω αυτών των βημάτων γίνεται διάκριση των μοντέλων (situation, real, mathematical model) που δημιουργούνται από τον 1 Στο εξής, όταν αναφέρεται ο όρος μοντελοποίηση εννοείται η λύτη. Με τη σειρά του, αυτός ο επιμερισμός δίνει μαθηματική μοντελοποίηση. τη δυνατότητα στον εκπαιδευτικό να αντιληφθεί σε 2 Μαθηματικό μοντέλο: ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων αλλά και των σχέσεων ανάμεσα σε αυτά, που χρησιμοποιούνται ποιο ακριβώς σημείο της κρίσιμης αυτής μεταφρα- για να περιγράψουν μια έκφανση της πραγματικότητας (Niss, στικής φάσης αντιμετωπίζει πρόβλημα ο μαθητής 1988, σελ.237). (Schukajlow et al., 2012). 3 Πραγματικό-ρεαλιστικό 4 Όρος στον οποίο θα αναφερθούμε εκτενώς παρακάτω.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Προβλήματα που ενέχουν δραστηριότητες μοντελο- Σε ότι αφορά την οριζόντια, αυτή εστιάζει στον ποίησης χρησιμοποιούνται συχνά στο πλαίσιο εντοπισμό των μαθηματικών εννοιών που βρίσκονται αξιολόγησης των ικανοτήτων και δεξιοτήτων των διάχυτες μέσα στο πλαίσιο του προβλήματος και μαθητών σε διαγωνισμούς όπως αυτόν της PISA την αντίληψη των βασικών εννοιών που αυτό (OECD, Θέματα Μαθηματικών Διαγωνισμού PISA, περιλαμβάνει στη βάση διαισθητικών και άτυπων 2018). Στο ελληνικό σχολείο, η διαδικασία της μαθηματικών γνώσεων. Στο πλαίσιο της κατακόρυ- μοντελοποίησης δεν είναι ιδιαιτέρως διαδεδομένη, φης μαθηματικοποίησης συντελείται η κατασκευή ενώ όταν συναντάται περιορίζεται στην επίλυση ενός νέου, τυπικού, μαθηματικού αντικειμένου/ απλών προβλημάτων, εστιάζοντας κυρίως σε έννοιας το οποίο είναι έτοιμο για την επεξεργασία μαθηματικές τεχνικές (Κολέζα, 2017). με τα μαθηματικά εργαλεία (Treffers, 1987). Επί του διαχωρισμού ο Freudenthal σημειώνει: «Η οριζόντια μαθηματικοποίηση κάνει το πρόβλημα προσβάσιμο για μαθηματική αντιμετώπιση ενώ η κατακόρυφη το προετοιμάζει για μια πιο εκλεπτυσμένη μαθηματική επεξεργασία» (1991, σελ. 41).

Παιδαγωγική αξία μοντελοποίησης

Γιατί, όμως, η μοντελοποίηση είναι τόσο σημαντική για τους μαθητές; Κατά τους Blum & Borromeo (2009) τα μαθηματικά μοντέλα και η μοντελοποίηση βρίσκονται παντού στον πραγματικό κόσμο και είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με την τεχνολογία. Συνεπώς, μια υπεύθυνη προετοιμασία των μαθητών για να ανταποκριθούν στον κοινωνικό στίβο απαιτεί την ανάπτυξη της ικανότητας μοντελοποίησης. Και αυτό συμβαίνει διότι η μοντελοποίηση: [Α] βοηθάει τους μαθητές να αντιληφθούν καλύτερα Ίσως και αυτός να είναι ένας λόγος που οι επιδόσεις τον πραγματικό κόσμο και να κατανοήσουν την των ελλήνων μαθητών βρίσκονται κάτω του διεθνούς αξία των μαθηματικών ως εργαλείο ερμηνείας της μέσου όρου (OECD, Στατιστικά Αποτελέσματα PISA, πραγματικότητας, 2016).

Μαθηματικοποίηση

Εστιάζοντας στο διάγραμμα της μοντελοποίησης (εικ.1), η μετάβαση που συμβολίζεται με το βέλος 2 είναι μια διαδικασία που μελετήθηκε ιδιαίτερα από τους ερευνητές (Wheeler, 1982; Treffers, 1987; Jablonka & Gellert, 2007; Bua et al., 2015) καθότι συνδέει τον πραγματικό με τον μαθηματικό κόσμο και ονομάζεται μαθηματικοποίηση. Σύμφωνα με τους Bua et al. μαθηματικοποίηση είναι η μετάβαση από το επιστημονικό στο μαθηματικό μοντέλο (2015, σελ. 795) και κατηγοριοποιείται σε οριζόντια και κατακόρυφη.

5 PISA (=Programme for International Student Assessment) είναι ένα διεθνές πρόγραμμα που διεξάγει μια έρευνα κάθε 3 χρόνια, με σκοπό την αξιολόγηση των εκπαιδευτικών συστημάτων κάθε συμμετέχουσας χώρας. Σε αυτήν συμμετέχουν μαθητές ηλικίας 15 ετών και καλούνται να δώσουν απαντήσεις σε θέματα μαθηματικών, κατανόησης κειμένου και φυσικών επιστημών. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 [Β] ενισχύει την μαθηματική εκπαίδευση (μάθηση καλή γνώση του πραγματικού κόσμου, αφετέρου νέων εννοιών και διαδικασιών) ενώ παράλληλα κατασκευαστικές, αφαιρετικές, ερμηνευτικές και συνεισφέρει στην ανάπτυξη μαθηματικών ικανο- μεταγνωστικές ικανότητες, σε συνδυασμό με τήτων παρέχοντας ταυτόχρονα κίνητρα, γνώσεις μαθηματικών τεχνικών και αλγορίθμων [Γ]δίνει μια ολοκληρωμένη εικόνα για το τι είναι (ibid, 2004). Αντίστοιχα οι Blum & Leiß (2007) μαθηματικά, δίνοντάς τους νόημα. επιβεβαιώνουν τα προαναφερθέντα σημειώνοντας [Δ]Επιπλέον ο μαθητής αναπτύσσει μία πιο κριτική ότι οι περισσότεροι μαθητές της δικής τους έρευνας στάση απέναντι στα προβλήματα, δίνοντας δεν αντιμετώπισαν πρόβλημα τόσο στη μαθηματική έμφαση στη δόμηση αλλά και την αξιολόγηση επεξεργασία (εφαρμογή μαθηματικών τύπων, των αποτελεσμάτων (Κολέζα, 2017). μαθηματικοί υπολογισμοί κ.ο.κ.), όσο στα βήματα Με την μοντελοποίηση τα μαθηματικά αποδεσμεύ- που προηγούνται της μαθηματικοποίησης. Πολλοί ονται από το στενό πλαίσιο του χειρισμού συμβόλων, δυσκολεύτηκαν στην αξιοποίηση των αρχικών αποκτούν ένα νόημα και βρίσκουν πεδίο εφαρμογής. δεδομένων ενώ άλλοι δεν μπόρεσαν να ερμηνεύσουν/ Πίσω από όλα αυτά τα επιχειρήματα βρίσκονται οι επαληθεύσουν το μαθηματικό τους αποτέλεσμα στο κύριοι στόχοι της μαθηματικής διδασκαλίας στην αρχικό πρόβλημα. Παρόμοια είναι τα συμπεράσματα δευτεροβάθμια εκπαίδευση (Niss, 1996 στο Blum, της έρευνας των Blum & Borromeo (2009). 2011). Από το δικό τους μετερίζι, οι καθηγητές θεωρούν τη διδασκαλία της μοντελοποίησης δύσκολη και Η δυσκολία στη μοντελοποίηση απαιτητική. Αυτό συμβαίνει, πρωτίστως, επειδή απαιτείται γνώση του πραγματικού κόσμου και Το γεγονός ότι οι μαθητές δυσκολεύονται να δευτερευόντως επειδή η διδασκαλία γίνεται πιο μοντελοποιήσουν αποτελεί κοινό εύρημα πολλών ανοιχτή και λιγότερο προβλέψιμη (Blum & Leiß, ερευνών παγκοσμίως (Haines & Crouch, 2001; 2007). Έρευνες έδειξαν ότι η μοντελοποίηση μπορεί Haines et al., 2003; Ikeda & Stephens, 2001; Klym- να διδαχθεί αποτελεσματικά (Galbraith/Clatworthy chuk & Zverkova, 2001 στο Crouch, 2004). Κατά τον 1990, Abrantes 1993, Kaiser 1987, Maaß 2007 στο Crouch (2004) η κύρια δυσκολία εντοπίζεται στη Blum & Borromeo, 2009) αν ακολουθηθεί το τρίπτυ- διαδικασία μετάβασης από τον πραγματικό κόσμο χο της ποιοτικής διδασκαλίας, όπως το περιγράφουν στον μαθηματικό και αντίστροφα, στη διαδικασία οι Blum & Borromeo (2009): ερμηνείας των μαθηματικών αποτελεσμάτων α)Απαιτητικά ενορχηστρωμένη διδασκαλία του στον πραγματικό κόσμο. Γιατί, όμως, οι μαθητές μαθηματικού αντικειμένου, β) μόνιμη γνωστική δυσκολεύονται στο να κινηθούν ελεύθερα μεταξύ ενεργοποίηση των μαθητών και γ) αποτελεσματική των δύο αυτών “κόσμων”; Ένας λόγος είναι το μεγάλο - μαθητοκεντρική διαχείριση της τάξης αποτελούν τα χάσμα μεταξύ της θεωρητικής γνώσης που προσφέρει κύρια χαρακτηριστικά της. η τυπική εκπαίδευση και της αποστασιοποιημένης Στο σύγχρονο σχολικό περιβάλλον η παρέμβαση από το θεωρητικό πλαίσιο σκέψης, που απαιτεί το των δασκάλων είναι πολλές φορές έντονη, γεγονός πραγματικό πρόβλημα. Ένας δεύτερος είναι η απειρία που δυσχεραίνει την αποτελεσματική μάθηση της των μαθητών στο να διαλέξουν ποια πληροφορία μοντελοποίησης. Οι παρεμβάσεις θα πρέπει να είναι είναι αξιοποιήσιμη στη λύση του προβλήματος, τι στρατηγικές, παρακινητικές και να ενισχύουν τα είδους πρόβλημα αντιμετωπίζουν και ποια τεχνική μεταγνωστικά επίπεδα των μαθητών. πρέπει να χρησιμοποιήσουν. Συνεπώς είναι δόκιμο να “It is more useful to know how to mathematize than to ισχυριστούμε ότι η μοντελοποίηση απαιτεί αφενός know a lot of mathematics”. (Wheeler, 1982, p.45)

Ενδεικτικές βιβλιογραφικές αναφορές: [1] Κλαουδάτος, Ν. (1992). Η μοντελοποίηση στη διδακτική πράξη (Η διδασκαλία των μαθηματικών σε πραγματικά πλαίσια). Διδακτορική διατριβή. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Παιδαγωγικό τμήμα Δ.Ε. Τομέας Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. [2] Κολέζα, Ε. (2017). Θεωρία και πράξη στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Αθήνα: Gutenberg. [3] Μαμωνά-Downs, Γ., Παπαδόπουλος, Ι. (2017). Επίλυση προβλήματος στα μαθηματικά. Αθήνα: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. [4] Bua, Ares, J. B., Fernandez, Blanco, M., T., Figueroa Sestelo, R. (2015). Mathematization and modelling of physical phenomena: Analysis of two proposals. In Krainer, K., Vondrová, N. (Ed.), Proceedings of the Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, 795-801. Prague: Charles University in Prague, Faculty of Education and ERME. [5] Οι υπόλοιπες αναφορές μπορούν να βρεθούν σε ξεχωριστό αρχείο στον σύνδεσμο: http://bit.ly/2QGRLYI 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521