o 8 (2000 ACTA PHYSICA POLONICA A o
• BRAIDS FOR PRETZEL KNOTS
M SU C YŃSKI I s i u e o ysics o is Aca emy o Scie ces A o ików 3 / - Wa saw o a
(Received October 26, 2000)
e wo s o ai c osu es o e e e k o s i a icu a e wis k o s e e a o mo ecu a su e coi s i ioc emis y a e eco e i a s a a i e o m w ic e a es o e o see e egu a a e o e wo s a us o w i e e ai wo s e ese i g e e k o s o ge e a a ues o e c ossi g um e ACS um e s —k 3 — 7 1 +e 7 15 —
. I o uc io
e ai c osu es a e use u o e ese i g k o s [1- ] I e u is e a u a io o o es [ ] o ai wo s o ai c osu es e ese i g a k o s wi u o 1 c ossi gs e ai wo e essio s a e o ee o imi e ye W i e o me o as ee o ose so a [1 ] o i e mos eco omic ese a io o ai s o k o s e e a ea s a ossi i i y o s a a i e sys ema ica y [5 ] ai wo s o e sim e k o s
2. e o us , e wis , a e e e k o s
We e e o e c assica k o esig a io a o e i k iag ams o o - se [7] We e i e e ai ge e a o bn so a i o uces a osi i e c oss- i g [ 9] As i [ ] i a ai wo o e ai ge e a o bn , a ac o wi e w i e a nP o ( wi a i eg a owe e o e p. I e a u a um e s N a p a e e a i e y ime e ai wo
e ese s a o us k o [ 3 1 -13] e (C o us k o s [7 0 4] a e e um e o c ossi gs o o es C, o I C = -k 1 wi a u a e ai wo o e (C, o us k o wi osi i e c ossi gs is [ 3 11 1 ]
( 3 M S ff z ń
e e sim e k o s a e e wis k o s w ic a e a ec o emic egio wi wo s i g segme s i e wo e as i a ai o C — c ossi gs a a e ocke y a i e ock wi wo c ossi gs [7 1 15] A e e k o [1 1 -1 ] is com ose o a ow o │+ m a a e │ wo-s i g
ai s I e e e k o o a io P(b; qi q ), e i ege b se a a e y a semico o gi es e sig e um e o e o e-c ossi g ai s e i ege s se a- a e y a comma gi e e sig e um e o c ossi gs i e ai s [1 17 1 ] e ai c osu e wo s w(Ci o wis k o s a se e a y es o e e k o s wi e w i e i a s a a i e o m y e use [ 3 5 9 19- 1] o ocks A( a D(n), wi a u a 1
e Co way o a io [1 ] ase o e co ce o a g es a i ica e i e o se [7] a e o i k iag ams wi o ow a e a comma e ai wo o eac k o wi ou s eci yi g e sig o e c ossi gs
3 K o s wi a o um e o c ossi gs I e c assica k o a e i g [7] w e e c ossi g um e C is o e (C, o us k o is a e e C1 e i s y e o wis k o a e e C as a ec o emic egio i e wo e as i e (C- o us k o wi C- c ossi gs o e same sig a is ocke y a i e ock wi wo c ossi gs [7 1 -1 15 - ] A k o a i g a i e ock wi b o e-c ossi g ai s [7 1 1 17 1 ] is a e e k o P(b; C—│ │ as see i ig 1 e seco y e o wis k o w ic is ocke y a i e ock wi ee c ossi gs [7] is a e e k o (3; C-3 a is a e e C3 K o s wi e c ossi g i e C = 11 a e a e e e e y e su sc i s use y Co way [1 ] a y e ko [ ] K o s wi a ge c ossi g i ices wi e a e e y um e s o e K o sca e og am [ 5]
ig 1 e k o 11 5 a i g a i e ock wi wo c ossi gs [1 17 1 ] ese e as a e e k o ( ; 9 Braids for Pretzel Knots 665
o e wis k o s C wi a o c ossi g um e C = 2n + 1, e ai wo s [2] ca e w i e y i uc io o e um e o c ossi gs o a u a n > 1, as
Si ce e e g o eac o e ocks A(n) a D(n) i c eases y o e w e n i c eases y o e a i c eme o e c ossi g um e C y wo i c eases e e g o e ai wo [2, 3] y ee e ai s o e seco y e o wis k o s C3 wi e o c ossi g um e C a e 3- ai s i e a e e ai i e = 3 e ai wo s [2, 3] o a u a n > 2, a e
e ai wo s o k o s 73 a 93 co o m i c ossi g sig s o e es ec i e k o iag ams o o se [7 1 ] K o s e ese e y 3- ai s [1 5, 6] a e ee i us a e a so y iag ams o Aku su e a [3] e ai wo s o e a icu a e e k o s see ig 1 ca e i e e om e a e o o es [ ] y i uc io o a a u a um e we a e
o e e e k o s wi o c ossi g um e s a wi o e o e-c ossi g ai e ai wo s ca e e esse
o n suc a eac ai ge e a o um e is 1 A a i io o e c ossi g um e C i o mo e a ee i ege s i is co e ie o use a a u a um e a o eco 666 M S ff z ń
Examples of braid closure words for the pretzel knots with three-crossing braids can be written:
The pretzel knot P(7, 3, 5), presented in Fig. 2, is a non-invertible knot with the lowest possible values of the indices [16, 26].
ig e o -i e i e [1 ] k o (7 3 5
Braid words for the pretzel knots with the five-crossing braids can be written: Braids for Pretzel Knots 667
4. K o s wi a e e um e o c ossi gs
I the crossing number C of knot is even, the first type of twist knot which has a plectonemic region interwoven as in a torus knot with C— 2 crossings, and is locked by an interlock with two crossings of the other sign [7, 15, 23, 24], is a pretzel knot P(2; C — 2), and is labeled C1. The second type of twist knot, locked by an interlock with three crossings [7], is a P(C — 3, 1, 2) knot, and is labeled C The third type of twist knot, labeled C3 locked by an interlock with four crossings [7], is a P(4; C — 4) knot, see Fig. 3.
ig 3 e k o ( ; as K o sca e o 1 11
The braid words [2] for the twist knots C1, with an even crossing number C = 2n, can be written, by induction on the number of crossings, for natural n > 2, as:
An increment of the crossing number C by two increases the length of the braid word [2, 3] by three. The braids for the second type of twist knots C with the even crossing number C are 3-braids. The braid words [2, 3], for natural n > 2, are:
The braid words [2] for the third type of twist knots C3 with the even crossing number C can be written, by induction on the number of crossings, for natural n > 3, as:
An increment of the crossing number C by two increases the length of the braid word [2, 3] by three. For the pretzel knots with even crossing numbers and with one one-crossing braid the braid words can be expressed: M S ff z ń
o suc a eac ai ge e a o um e is 1 A a i io o e c ossi g um e C i o ee a mo e i ege s i is co e ie o use a u a um e s l a o eco e wo s
e iag am o e e e k o (5 5 i ig as ee aw ike e k o i ig y e K o sca e og am [ 5] w ic a ows o e o aw k o s wi u o 1 c ossi gs A a i io o C i o i e i ege s we eco Braids for Pretzel Knots 669
ig e k o P(5, 5, 6).
e ai wo s eco e o e mi o image o e k o iag ams o o - se [7] will co o m i e c ossi g sig o o se iag ams i e sig o e owe e o e a eac ai ge e a o wou e e e se o e ai ge e a-
o bn wou e e i e [1 3] so a i yie s a ega i e c ossi g
. Co c u i g ema ks
e ai wo s ca e a s o me acco i g o e u es k ow o e c ose ai mo es [1 2, 1 -13] e e essio o ai wo s o e e e k o s i a s a a i e o m [5, 6, 9] e a es o e o see e egu a a e o e wo s a us o w i e e ai wo s o ese k o s o ge e a a ues o e c ossi g um e [27-29], a o oca e a esi e e e k o i suc a u a io e g as o i e y e K o sca e og am [25]. I e a o a o y sy esis o o g o ga ic mo ecu a c ai s i a icu a o o ye e a e s a sy esis o e k o 41 was iscusse [3 ] e k o e ca y es i e ca o a o o es wi u e s - y i i a io we e co si e e u o e 63 k o i e ab initio ca cu a io s [31] o es ima e ei s a i i y a e
ig 5. ai c osu es e e a o successi e ou s o a g e a i io i e ocessi e ecom i a io o A 7 M S ff z ń
um e o ei M i es I e ocessi e ecom i a io o a c ose A i g o uc s a e c ea e i a seque ce wi a i c easi g um e o su e coi c ossi gs [3 -37] e ecom i a io o e A i g y a eso ase e yme yie s i suc- cessi e ou s o a g e a i io e wo-com o e i k i e wis k o 1 e wo-com o e i k 5i a e wis k o s ow y iag ams i e e iew [3 ] a i ig 5 e e iew [3 ] e o s a so e esu s o ecom i a io y e Gi sys em o ac e io age Mu o a k o e A su s a e om e k o e A su s a es as o uc s a e ou inter alia, e k o s 31 1 5 1 7 a 75 ase o a a u a su y o i us a i e e am es e e iew [3 ] asse s " i- o ogica y e wo mos im o a ami ies o k o s a ca e a ies a e e o us a wis ami ies" A s a a i e o m o ai wo s is use u o ese a io o ese i ks i a iscussio o ei ecom i a io ocesses i a e commu ica io s o o esso s os e M is e wai e Weeks a Ko a ski a e ack ow e ge
e e e ces
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