Topologie rtructurale 21 -Structural Topology - 1995

- - Stellations of the Les 6toilements du rhombitriacontaedre and beyond et plus

Peter W.Messer Abstract RBsumB 4315 W. Riverlake Dr. Mequon, WI 53092 ew concise notations identify the 226 llly sup e nouvelles notations concises identifient les 226 U.S.A. ported (non-reentrant)stellations of a familiar thw- etoilements totalement supportes (non rentrants) faced isohedral solid, the rhombic triacontahedron dun solide isoedre a trente faces bien connu, le (m).Systematic methods of labeling are descrhed begin- rhombitriacontaedre (m).On decrit des methodes syste- ning with elements of the stellation diagram and ending with matiques detiquetage en debutant par les elements du names of KE stellations and their exposed facets. Wdi- diagramme d’etoilement et en terminant par les noms des mensiond properties of the stellation diagram are correlated etoilements du KE et de leurs facettes exposees. On etablit with the threedimensional properties of stellations. Besides une correlation entre les proprietes bidimensionnelles du idenwng the names and facial patterns of some interesting diagramme detoilement et les proprietes tridimensionnel- KIC stellations for the model builder, this paper introduces a les des etoilements. En plus &identifier les noms et les mo- general approach to practical nomenclature which can be tifs de faces de certains etoilements du HIy= interessants readily applied to the largely unexplored stellations of other pour le constructeur de modeles, cet article presente une convex isohedra, for example, the duals of the Archimedean approche generale a la nomenclature pratique qu’on peut polyhedra. I aisement appliquer aux etoilements en grande partie inex- plores des autres isoedres convexes, comme par exemple French translation: les duaux des polyedres archimediens. T-aduction franpise : Jean-Luc Raymond Stelletions of the Lea dtoilementa rhombic triacontahedron du thombitrlaconta*dre and beyond et plus

The process of stellation and enumeration Le processus d’htoilement et I’enumhration The stellation process is a transformation that extends the Le processus d’etoilement est une transformation qui faces of a polyhedral core until they meet and thus addi- etend les faces d’un noyau polyedrique jusqu’a ce qu’elles tional volumes (cells) are enclosed which preserve the rota- se rencontrent et qu’elles englobent des volumes addition- tional symmetries of the core. The process continues out- nels (cellules) qui preservent les symetries de rotation du wardly from the core until facial planes no longer intersect. noyau. Le processus se poursuit a l’exterieurdu noyau jus- Sufficiently far from the core, therefore, cells are infinite qu’a ce que les plans des faces ne se croisent plus. A une and the corresponding unbounded stellations are usually distance suffisamment grande du noyau, les cellules sont not considered. Embedded in a given facial plane of the donc infinies et l’etoilement non borne correspondant n’est core is the stellation diagram, a collection of lines which habituellement pas considere. Le diagramme d’etoile- represent the intersections with the other facial planes. If ment est inscrit dans le plan d’une face donnee du noyau : the core is an isohedron, a having congruent il s’agit d’un ensemble de droites qui representent les inter- faces, then one stellation diagram is sufficient to describe sections avec les autres plans des faces. Si le noyau est un the entire stellation process. isoed- (polyedre ayant des faces congruentes), alors il Stellation theory and its systematic application to vari- suffit dun diagramme detoilement pour decrire le proces- ous uniform polyhedra and their isohedral duals are dis- sus dktoilement en entier. cussed in references [l-141. The simplest isohedra produce La theorie de l’etoilement et son application systema- several well-known stellated forms. The regular octahe- tique a divers polyedres uniformes et a leurs duaux dron, for example, generates a single stellation known as isoedres sont abordees dans les references [l-141. Les the stella octangula or a uniform compound of two tetrahe- isoedres les plus simples produisent des formes etoilees dra. The regular generates sequentially three bien connues. L’octaedre regulier, par exemple, engendre non-convex regular polyhedra: the small stellated dodeca- un seul etoilement connu sous le nom de stella octanguh ou hedron, the great dodecahedron, and the great stellated un compose uniforme de deux tetraedres. Le dodecaedre dodecahedron. The regular and cube are un- regulier engendre de faGon sequentielle trois polyedres able to form finite stellations. reguliers non convexes : le petit dodecaedre etoile, le grand The and more complex cores can generate dodecaedre et le grand dodecaedre etoile. Le tetraedre re- stellations that are so numerous that investigators have gulier et le cube ne peuvent pas engendrer detoilement devised restrictive rules that conveniently reduce the stella- fini. tions to more manageable subsets. Least restrictive are the L’icosaedre et les noyaux plus complexes peuvent engen- rules of J.C.P. Miller [l]which still allow, among other fea- drer un si grand nombre detoilements que les chercheurs tures, so-called “reentrant”conditions, i.e., solids that ex- ont trouve plus commode de concevoir des regles restric- pose negative regions of facial planes. An insect crawling tives qui reduisent les etoilements a des sous-ensembles on the surface of a such a stellation can find itself on the plus maniables. Les regles les moins restrictives sont celles opposite side or same side of the plane as the solids centre. de J.C.P. Miller [l],qui permettent encore, entre autres, les The former surface is “positive”while the latter surface is conditions dites rentrantes, c’est-adire,les solides qui pre- “negative’! sentent des regions negatives des plans de leurs faces. Un Accepting Miller’s rules, Coxeter et al. [l]described the insecte rampant sur la surface dun tel etoilement peut se complete set of 59 icosahedra, i.e., the icosahedron core retrouver sur un cBte oppose ou sur le mCme cBte de face

and its 58 stellations. The core is not considered a stella- que le centre du solide. La premiere surface est dite (( posi-

tion. The analogous set of triacontahedra using the same tive )) et la deuxieme est (( negative )). rules is a formidable collection of 358,833,072members Se soumettant aux regles de Miller, Coxeter et al. [l] ont which includes the KT2 core. This computer-assisted enu- decrit l’ensemblecomplet des 59 icosaedres, c’est-adirele meration was reported as a personal communication from noyau icosaedre et ses 58 etoilements. Le noyau n’est pas John A. Gingrich pronto, Canada, 1989) and corroborated considere comme un etoilement. L‘ensemble analogue Topologie structurale - 21 - Structural Topology * 1995

by his son, Paul A. Gingrich. Preferring further restrictive pour le triacontaedre, en utilisant les m&mesregles, est un rules for model building purposes however, J.A. Gingrich formidable ensemble de 358 833 072 membres, incluant le requires cells to interconnect by their faces into a single noyau RTC.John A. Gingrich (’Ibronto, Canada, 1989) si- continuous solid. Accordingly, the Gingrich team counted gnalait cette enumeration produite par ordinateur lors 155,014,690of such rigid triacontahedra, almost all of which dune communication personnelle, et son fils, Paul A. are still reentrant. Gingrich la corroborait. Cependant, preferant des regles If one intends to describe in detail each stellation of a plus restrictives pour la construction de modeles, defined set that is not too large, it is convenient, at least for J.A. Gingrich demande que les cellules s’interconnectent the RTC,to consider only non-reentrant cases. Because en leurs faces selon un simple solide continu. En conse- cells consist of top (outer) facets which are positive and quence, l’equipe de Gingrich a compte 155 014 690 triacon- bottom (inner) facets which are negative, a simple rule for taedres rigides, presque tous etant encore rentrants. non-reentry is: no cell shall have any of its bottom surface Si l’on tente de decrire en detail chaque etoilement dun uncovered. This implies that each component cell of a ensemble defini qui n’est pas trop grand, il est commode, stellation must be fully supported by facet-to-facetcon- du moins pour le RTC,de ne considerer que les cas non nections with certain other component cells that belong to rentrants. Puisque les cellules consistent en des facettes lower layers. The analogy is much like a stack of balls in superieures (ou exterieures) positives et des facettes infe- which the top ball depends on the support of all balls below rieures (ou interieures) negatives, on peut formuler une it. Rather than the term %on-reentrant”,the more positive regle simple pour eviter les etoilements rentrants: toutes designation fully supported is preferred for these maxi- les surfaces inferieures des cellules doivent Ctre couvertes. mally connected forms. Ceci implique que chaque cellule composante dun etoile- As it turns out, there is indeed a manageable set of 226 ment doit Ctre totalement supportke par des connexions fully supported stellations of the RTC of which 114 have the facette a facette avec certaines autres cellules composantes full of the RTC core and each of the appartenant a des couches inferieures. On peut dire que remaining 112 is a member of an enantiomorphic (chiral) cela se comporte un peu comme une pile de balles ou la pair of stellations. Although right-handed and left-handed balle du dessus depend du support accorde par toutes les members of a chiral pair have all the rotational sym- balles qui sont en dessous. PlutBt que le terme mon ren- metries, they are not “reflexible”,i.e., they lack a symmetry trant)),on preferera la designation plus positive de totale- plane (“mirror”).Pawley [2] first catalogued the fully sup ment support&pour ces formes connectees de faCon ported, fully symmetric (reflexible) RTC stellations-but maximale. without accompanying facial descriptions. Included in his I1 y a, en effet, un ensemble maniable de 226 etoile- list were the number of chiral pairs that can be derived ments totalement supportes du RTC ; parmi ceux-ci, 114 from a fully symmetric “parent”stellation. It is often possi- possedent la symetrie icosaedre entiere du noyau RTC et ble that a reflexible parent can be reduced to a chiral state chacun des 112 autres etoilements est un membre dune by simply removing one or more kinds of chiral cells while paire enantiomorphe (chirale) detoilements. Bien que les preserving both rotational symmetry and full support. membres gauche et droit dune paire enantiomorphe aient

Pawley’s combined total of exactly 226 fully supported stel- toutes les symetries de rotation, ils ne sont pas (( reflexifs )), lations has been verified independently by the author who c’est-adire qu’il leur manque une symetrie plane @mi- used inspection methods and by PA. Gingrich who used a roir))).Pawley [2] fut le premier a enumerer les etoilements computer approach. totalement supportes et totalement symetriques (reflexifs) A notable subset of fully supported cases are the du ITIY:-mais sans proceder a une description des faces. I1 main-line stellations. Ede [3] described all 12 of them for a inclus dans sa liste le nombre de paires chirales qui peu- the ITIY: which are also identified in lable 3. The term vent Ctre derivees d’un etoilement ((parent)) totalement main-line refers to the outward sequence of stellations symetrique. I1 est souvent possible de reduire un parent obtained by adding the next complete set of outer cells. reflexif a un etat chiral par la simple suppression d’un ou Stellations of the Les Btoilements rhombic triacontahedron du rhombitriacontabdre and beyond et plus

Table 1 A 144’ B B 108” D 120” E 72’ F F 36” G G 60’ ‘ - ~ - ~ ______Table of line con- 8d 3.804 10e 10b 2.803 lld 4.980 12b i2.c 4.980 12a 12b 7.337 nections l0f 1.902 7c 1.176 9d gf 3.078 8a 4.535 9c 1.go2 llc iif 4.980 lla lid 2.803 Constant in-radius k 3b 1.902 7b 7e 0.727 2.000 5a 1.732 7a 3.078 Ilb lle 1.902 1Oa 10e 1.732 from origin to center la 1.176 6b 6d 1.176 2.000 3a 1.070 6a 1.902 10a lOf 1.176 8a ad 2.803 of isohedral face is 0 1.902 5b 5d 1.176 la 1.732 5b 1.176 9a 9e 1.902 8b 8e 1.732 distance T~ = 2.618. 3c 1.176 3a 3c 0.727 2b 1.070 5c 1.902 9b 9d 1.176 ac 8f 1.070 5c 1.902 2a 2b 1.176 3b 1.732 7e 1.176 1oc 10d 1.902 7c 7f 0.662 lableau 1 7d 1.go2 7b 1.732 9g 1.902 6c 6d 1.070 Tableau des con- 9e 3.078 9c 2.803 1% 4.980 nexions de droites llc 7.337

Le rayon intkrieu r - ~ constant k de I’origine au centre de la face isobdre est la dis- tance T* = 2.618.

Each such set of cells constitutes a different layer of which de plusieurs types de cellules chirales, tout en preservant a only the top surface is exposed. In the case of the KIC, each la fois la symetrie de rotation et la propriete d’gtre totale- of the last three layers has some break in continuity. Such a ment supporte. Le total combine exact de Pawley, de 226 noncontinuous layer does not completely encase the etoilements totalement supportes, a ete verifie de faqon previous layer beneath it. Layers and the corresponding independante par l’auteur en utilisant des methodes d’ins- main-line stellations are numbered consecutively out- pection, et par PA. Gingrich selon une approche utilisant wardly. The outermost layer combined with any exposed l’ordinateur. portions of lower layers, is commonly named the final Les etoilements du tronqon principal constituent un stellation. For the KK, the 1Zth layer determines this final ensemble notable de cas totalement supportes. Ede [3] a form (Figure 3). Other interesting KK main-line stellations decrit l’ensemble des douze etoilements de ce type pour le are the 11 th (penultimate form) and the qfh(uniform com- KK ; ils sont egalement identifies dans le tableau 3. Le pound of 5 cubes) shown in Figures 4 and 5, respectively. terme tronqon principal fait reference a la suite d’etoile- ments allant vers l’exterieur obtenue par l’ajout de l’ensem- Elements of the stellation diagram ble complet suivant de cellules exterieures. Ces ensembles Messer and Wenninger [4] introduced tentative methods for de cellules constituent chacun une couche differente dont labeling elements of the stellation diagram having one line seule la surface superieure est exposee. Dans le cas du of bilateral symmetry. In that discussion the term stella- RX,chacune des trois dernieres couches presente une tion pattern was used, but as Hudson and Kingston [5] certaine brisure dans la continuite. Une telle couche non prefer, that designation is best reserved for the collection of continue ne recouvre pas completement la couche prece- exposed facets, embedded in the stellation diagram, which dente sous elle. Les couches et les etoilements du tronqon identify a particular stellation. principal correspondants sont numerotes de faqon consecu- Details of the stellation diagram for the HTY: are shown tive en allant vers l’exterieur.La couche la plus exterieure in figure 1. Using capital letters, lines are labeled alpha- combinee avec toutes les portions exposees des couches betically along a vertical symmetry line in an outward and inferieures est habituellement nommee l’etoilement final. bilateral direction from the core region. The bilateral ar- Dans le cas du KK, la douzieme couche determine sa rangement of lines, both vertically and horizontally, is forme finale (figure 3). D’autres etoilements du tronqon clearly consistent with the two-fold rotational symmetry of principal du KIC sont interessants, en particulier le on- the MC face. Note that there are three kinds of lines: pri- zieme (la forrne penultieme) et le quatrieme (un compose mary line (heavy), secondary line (light), and symmetry uniforme de cinq cubes), illustres respectivement aux line (broken). Only the last line does not represent an ac- figures 4 et 5. I Topologie stmcturale - 21 Structural Topology 1995

Figure 1 Stellation diagram for the rhornbic triacontahedron. Diagramme d'etoilement du rhornbitriacontaedre. Stellations of the Les btoilements mornbic Viacontahedron du rhornbitriacontai?dre and beyond et plus

Les elements du diagramme d‘etoilement Table 2 * A GN LQ(1) PQ(4) RW Messer et Wenninger [4] ont presente des methodes provi- Catalog of the 11 4 fully supported, fully symmetric B GQ(1) LU PQR(4) RWX(1) soires pour etiqueter les elements du diagramme detoile- stellations of the rhombic triacontahedron. The C GU M PR(1) mi31 number of fully supported chiral pairs derived CD H MN PRU(1) R2A ment possedant une droite de symetrie bilaterale. Dans from the corresponding reflexible parent stella- D HI MO PW) S(4) cette presentation, on utilise le terme motif d’etoilement, tions are shown in brackets. DE I MR Q(1) ST(2) mais comme Hudson et Kingston [S] le preferent, il est * A complete catalog of the 226 RTC stellation names DG IJ N QR(1) STW) and their stellation patterns is available from the author E 1 NP(1 QRT(1) SU(2) mieux de reserver cette designation pour l’ensemble des on request. EF(1) JK(1) NT QT(1) T facettes exposees, enchAsse dans le diagramme d’etoile- EI IM 0 R TU ment, ce qui identifie un etoilement particulier. Tableau 2 * RS(4) TUV(2) Catalogue des 11 4 Btoilements totalement RST(2) TV(3) La figure 1 montre des details du diagramme d’etoile- supportBs et totalement symetriques du rhombi- RSTU(1) TVW(1) ment pour le m.Les droites sont etiquetees alphabetique- triacontaedre. On trouve entre parentheses le RSU(2) TW ment (avec des lettres majuscules) le long dune droite ver- nombre de paires chirales totalement supportkes RT TZ(2) d6rivBes des Btoilements parents eflexifs corres- RTU U ticale de symetrie dans une direction exterieure et bilate- pondants. RTW UV(3) rale a partir de la region du noyau. La disposition bilaterale Un catalogue cornplet des noms des 226 etoilements RU UVX(5) du RTC et leurs motifs d’etoilement est disponible RUX(2) UX(2) des droites, a la fois verticalement et horizontalement, est auprhs de I’auteur. clairement consistante avec la symetrie de rotation dordre deux de la face du KIX. Notons qu’ily a trois types de droites : les bites primahs (lignes grasses), les bites tual intersection of facial planes and, therefore, it does not secondaires (lignes fines) et les bites de symetrie (en contribute to the dissection of the plane into finite elemen- pointilles). Seul le dernier type de droites ne represente pas tary regions. Each elementary region corresponds to a top une intersection reelle des plans des faces, et ainsi ces droi- facet of one cell kind and a bottom facet of another cell tes ne contribuent pas a la dissection du plan en dgions kind (except of course if the region is already outermost). elementaires finies. Chaque region elementaire corres- Elementary regions are labeled according to a layer number pond a une facette superieure dun type de cellule et une prefix and a lower case letter which follows a circular order facette inferieure d’un autre type de cellule (sauf evidem- in the diagram. This pattern of labeling is conveniently re- ment si la region est deja la plus exterieure). On etiquette flected by the two symmetry lines. If necessary for more les regions elementaires selon un nombre prefixe corres- complex isohedra, the lower case alphabet can be repeated pondant a la couche et une lettre minuscule selon un ordre by using a single prime mark as in: a‘, b’, and so on. circulaire dans le diagramme. Cette facon detiqueter est Unlike secondary lines, each primary line and each convenablement refletee par les deux droites de symetrie. symmetry line is contained by a different mirror plane of Pour des isoedres plus complexes, l’alphabet minuscule the core. Clearly, the handedness (right vs. left) of regions peut Ctre repete si necessaire par l’utilisation de l’apos- switches only at line segments contained by mirror planes. trophe comme: a’, bet ainsi de suite. The set of primary lines and symmetry lines, therefore, Contrairement aux droites secondaires, chaque droite dissects the facial plane into symmetry regions-both primaire et chaque droite de symetrie appartient a un plan bounded (triangles) aqd unbounded. 73~0symmetry re- miroir different du noyau. La lateralite (droite vs gauche) gions which share a border are oppositely handed-shown des regions ne se modifie qu’aux segments de droites con- in the diagram as “stippled-handedness”(say right) or “non- tenus dans les plans miroirs. L‘ensemble des droites primai- stippled-handedness”(say left). The smallest regions res et des droites de symetrie disseque ainsi le plan de face bounded by primary lines only define the set of primary en dgions de symetrie - a la fois bornees (triangles) et mgions. One kind of primary region (both right and left non bornees. Deux regions de symetrie partageant une representation) corresponds exactly to the stellation pattern frontiere commune sont de lateralites opposees - cela est

of a primary stellation as described by Messer [4]. There- illustre dans le diagramme comme une (( lateralite poin-

fore, a primary stellation (Figures 7 and 8) consists of only tillee )) (dite droite) ou une ((lateralitenon pointillee )) (dite Topnlogie slructurnle * 21 * Slnlclural Topology 1995

31

3 4

5 6

Figure 3 C 28 = 9a, 1Od. 1 IaDf, 12abc (final stellatior / etoilenient final) 4 Figure 2 Figure 4 Graph of cell connec- M2A = Sa, 1 Oa. 1 1 abcdef tivity for the fully Figure 5 stellated rhorribic triacontahedrori EF= 4abcd (tiniforrn compotind of 5 cubes / A (rj Graphe de connexion compose uniforriie de 5 cubes) des cellules pour le rtiombitriacontaedre Figure 6 totalement etoile Y= Oc. Yacl: 1 Ode. 1 1 ad Stellations of the Les 6toiiements rhombic triacontahedron du rhombitriaconta&dre and beyond et plus

Table 3 Main-line (1st to 12th): A, B, CD, EF, GHI, JK, LMN, OPQ Notable fully supported stellations of the RTC Pornon phafi (du premier au douzit3ne) RSTU, VWX, YZZA, 2B Models of the well-known stellations G,JU, and €Fare pictured in reference 1 1.12. and 13. Refer- Primary: A, D, G, 1, It u, T ence 13 also shows models of isohedral-isogonal pviwmires : forms Kand 2B. Photographs of three miscellane- Small stellated triacontahedron (narrow rhombic faces whose obtuse vertices are hidden): ous chiral stellations appear in reference 2 in the G following order [new names): QRSRXR,VRZR, and Petit triaconta&h &ilk (faces rhombiaues ktroites dont les sommets des uncles obtus sont caches) : MRM.Other stellations of the RTC are practically unknown in the Iiterature. The special cases are Great skated triacontahedmn (wide rhombic faces): summarized below and photographs of several Grand triaconmkke &ilk (k7~e.s faces rhombiques) examples are shown in Figures 3-14. Uniform compound of 5 cubes: EF Tableau 3 Compod unifbrme de 5 cubes : hoilements totalement suppott6s remaquables du RTC Compound of 30 rhombic disphenoids (tetrahedra with scalene faces, all alike [2,12]): vx Des modeles des 6toilements bien connus G,JU, Compost?de 30 disphhwii rhombiques (tetrakdres de faces sculenes, toutes comme 12,121) : et Efsont illustr& dans [ll],[12] et [13]. La Compound of 15 rhombic disphenoids (chiral form derived from one half of VX [2]): &fkrence [13]contient Bgalement des modeles QKSRVRXR des formes isoedres-isogones Ket 28. Des pho- Compose de 15 disp&oiileS rhombiques (forme chirule dirivee dune moitit de Vyrzl) : tographies de trois 6toilements chiraux varies apparaissent dam la reference [2] dans I'ordre Isohedral-isogonal forms ([2,12]; equal facial figures and equal vertex figures are each suivant (selon les nouveaux noms): QR.SRXR, single continuous polygonal paths of which all the peripheral portions are exposed on the solid's surface; here vertices are 3-gons and faces are self-intersectingirregular 12-gons): VRZRet MRM.Les autres etoilements du RTC K, 2B sont pratiquement absents de la litterature. On Fbrmes ~dres--isogonesf2,12]; les figures defaces egales et les figures de sommets egales sont pr6sente sommairement ici les cas spkciaux et on chacune de simples chemins polygonaux continus dont toutes les portions peripheriques sont trouve aux figures 3-14 des photographies de exposem sur la suvface du solule; ici, les sommets sont dordre 3 et les faces sont des dodkcugones plusieurs exemples. iweguliers s'autepene'trant) :

Table 4 Isohedml Core Layers cell lypes stellations This chart summarizes the author's systematic Noyau knMm Couches vpes de cellules Btoilements enumerations for the fully supported stellations of convex isohedra, including the RTC for compari- (81 remlar / octaedre rC.wlier 1 1 (1x1 l(1.0) son. A blank entry means that data is not readily (1 21 / dodecaedre regulier 3 3 (3.01 3 (3.0) accessible without computer assistance. In the appropriate column, brackets enclose the follow- f 121 rhombic dodecahedron / rhombidodecaedre 3 3 (3.0) 3 13.01 ing totals: core faces; reflexible cell types followed (201 / icosaedre readier 7 10 (9.11 17 f15.21 by pairs of chiral cells; reflexible stellations fol- lowed by pairs of chiral stellations. If clarification 1241 triakis tetrahedron / tetraedre triakis 5 8 (6.21 20 f16.41 of technical names is required. the reader should ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ consult reference [I 11. (24) tetrakis / hexaedre tetrakis 9 30 (17,13) 1761 (371,1390) (24) triakis octahedron / octaedre triakis 9 31 (18,13) 3082 (564,2518) Tableau 4 (24) trapezoidal / icositetraedre trapezoidal 9 31 (19,12) 1076 (385,691) Ce tableau resume les enumerations systema- tiques reahsees par I'auteur pour les etoilements (24) pentagonal icositetrahedron / icositetraedre pentagonal 11 68 (0,O) 72620 (0,72620) totalement support& d'isokdres convexes. en (30) rhombic triacontahedron / rhombitriacontaedre 12 28 (19.91 226 (114,1121 incluant en guise de comparaison le RTC. Une case vide signifie que les donnees ne sont pas (481 hexakis octahedron / octaedre hexakis 21 accessibles sans I'aide de I'ordinateur. Selon les (60) trauezoidal hexecontahedron / hexacontaedre traDezoida1 28 225 (82.1431 colonnes, les parentheses englobent les totaux ~~ suivants: les faces de noyau; les types de cellules (60) pentagonal hexecontahedron / hexacontaedre pentagonal 31 - (0,O) - (O,-) reflexives suivis par les paires de cellules chirales; les etoilements reflexifs suivis des paires d'ktoile- (60) / dodecaedre pentakis ments chiraux. Le lecteur peut consulter la kfe- (60) / icosaedre triakis rence [I11 si une clarification des noms tech- niques s'averait necessaire. (120) hexakis icosahedron / icosaedre hexakis