In Taj-Al-Mulk Dome (1088 A.D.) with Its Striking Geometry, Containing the Golden Ratio and Golden Mean Spiral

07/04/2014

ز گهواره ات گور دانش بجوی حضرت ایپمبر اکرم )ص(

دانشکده فنی و مهندسی

گروه مهندسی عمران

1 07/04/2014

فصل هفتم

تنش های غشائی در پوسته ها (Membrane Stresses in Shells)

فهرست مطالب (Contents)

1- معادالت عمومی نیروی غشایی پوسته های دورانی

2- پوسته های دورانی تحت اثر بار متقارن مرکزی

3- تغییر شکل متقارن

4- پوسته های دورانی تحت بار نامتقارن

5- پوسته های استوانه ای با شکل کلی

2 07/04/2014

مقدمه

3 07/04/2014

4 07/04/2014

5 07/04/2014

6 07/04/2014

7 07/04/2014

8 07/04/2014

9 07/04/2014

Stadium in Jeddah

10 07/04/2014

Reinforced Concrete Roofs

Barrel Shells, Oakland Airport

11 07/04/2014

Rennbahn Madrid - Torroja 1935 - abgespannte Wellenschale mit ca. 13 m Kraglänge

12 07/04/2014

Palazetto dello Sport in Rom - Nervi 1958-60

13 07/04/2014

14 07/04/2014

15 07/04/2014

• BP-Tankstelle Autobahn Bern – Zürich Schweiz

Toronto Sky Dome

16 07/04/2014

Montreal Olympic Stadium

Stadionüberdachung

17 07/04/2014

18 07/04/2014

ورزشگاه اودام

سازه ورزشگاه تصویر2

معرفی سازه

تحلیل نیروها و تغییر شکل سازه

تصویر3

19 07/04/2014

سیستم های چادری سیستم های چادری با پایه ها و نقاط اتصال متناوب

سیستم هایی باا قااااگار یااااگی شااایانی نقااااط اتصال

سیستم های چادری نمونه اجگا شده

استادیوم المپیک مونیخ

20 07/04/2014

21 07/04/2014

22 07/04/2014

Hemispherical dome Pointed dome Catenary dome (Haghia Sophia, Turkey, 6th century) (Tomb of Atreus, Greece, (Ctesiphon, Iraq, 6th century) 1325 B.C.)

Early branch development of domes

23 07/04/2014

Forces in Arches and Vaults

HT = Horizontal thrust LT = Line of thrust which represents the successive action of the voussoirs W = Vertical weight of the masonry and overload (dead and live) T = Thrust, resultant force of the horizontal thrust and weight

Forces in Arches and Vaults

24 07/04/2014

25 07/04/2014

Imam Dome, in Isfahan (1612-38 (A.D.)

26 07/04/2014

27 07/04/2014

تئوری پوسته های نازک (Theory of Thin Shells)

فرضيات: t 1 1-نسبت ضخامت پوسته به شعاع انحناي ميان پوسته كوچك است. R 2-انداره تغيير مكان ها در مقایسه با ضخامت پوسته كوچك است. 3-صفحات عمود بر ميان پوسته بعد از تغيير شكل به صورت صفحه و عمود بر ميان پوسته باقي مي مانند.   0 ,  ~0 yZ xZ Z

 4-اندازه Z نيز قابل صرفنظر كردن مي باشد.

28 07/04/2014

سيستم نيروهای غشایی (Membrane Forces)

سيستم نيروهای خمشی (Bending Forces)

تنش های غشائی (Membrane Stresses)

29 07/04/2014

عمل مقاومت در مقابل بار یک پوسته (Load Resistance Action of a Shell)

در یک تخم مرغ، شعاع انحناء حول محور دوران r= 20 mm

ضخامت t= 0.4 mm

بنابراین t/r=0.4/20=1/50=0.02

مثال شکستن سخت تخم مرغ توسط فشار دست، و شکستن راحت تخم مرغ توسط ضربه قاشق

مثال شکستن سخت تخم مرغ توسط فشار دست و شکست راحت تخم مرغ توسط ضربه قاشق

30 07/04/2014

محور دوران

منحنی مداری منحنی نصف النهاری

31 07/04/2014

محور دوران

منحنی مداری منحنی نصف النهاری

= زاویه نصف النهاری )Meridional Angle( = زاویه مداری )Parallel Angle( r1 = شعاع نصف النهاری مربوط به ضلع CD )مرکز آن بیرون محور دوران واقع است( r2 = شعاع مداری مربوط به ضلع AC )مرکز آن روی محور دوران واقع است(

محور دوران

منحنی مداری منحنی نصف النهاری

= نیروی نصف النهاری )بر واحد طول( )Meridional Force( = نیروی مداری )بر واحد طول(( )Parallel (Hoop) Force(

32 07/04/2014

33 07/04/2014

Basic Structural Principles

Shells

34 07/04/2014

Basic Structural Principles

Forces in Arches and Vaults

Basic Structural Principles

Forces in Arches and Vaults

35 07/04/2014

Basic Structural Principles

Forces in Arches and Vaults

Structural Systems of Domes

• Single-Shell Domes • Double-Shell Domes • Triple-Shell Domes

36 07/04/2014

Single-Shell Domes

Double-Shell Domes

37 07/04/2014

Double-Shell Domes

38 07/04/2014

39 07/04/2014

• Imam Dome, in Isfahan (1612-38 (A.D.)

40 07/04/2014

Triple-Shell Domes

41 07/04/2014

Iranian Arches

42 07/04/2014

43 07/04/2014

•

44 07/04/2014

•

45 07/04/2014

•

46 07/04/2014

Brick Arrangment

Annular Course

47 07/04/2014

48 07/04/2014

شکل گنبد های بنایی بدون ممان و بدون کشش (The Shape of Momentless Tensionless Masonry Domes)

What Is the Shape of the Meridional Curve and Thickness Variation of Masonry Domes without Tensile Stresses and Bending Moments?

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

49 07/04/2014

* Equilibrium Equations for Symmetrically Loaded Shells of Revolution: d (rN )  rN cos   p rr d    1

N N   pr r1 r2

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

* By Eliminating N  in Regions where It May Become Tensile, That Is : N  0

1\ Thickness h  h0 r 2A 1 sin  r 2   ln  B Radius ph cos

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

50 07/04/2014

In Taj-al-Mulk dome (1088 A.D.) with its striking geometry, containing the Golden Ratio and Golden Mean spiral:

* For weight loading the dimensions of the dome exactly match the mathematical formulae for the shape of the meridional curve and thickness variation of masonry domes without tensile stresses and bending forces.

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

51 07/04/2014

تنش های نصف النهاری در گنبد تاج الملک تحت بار وزن )مقاومت فشاری = 500000 نیوتن بر متر مربع(

تنش های مداری در گنبد تاج الملک تحت بار وزن ) مقاومت کششی = 50000 نیوتن بر متر مربع(

52 07/04/2014

* The resultant stresses due to the system of bending forces are negligible compared with the system of membrane forces not only for weight load but also for wind and temperature and more significantly for the dynamic effects of earthquakes.

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

Taj-al-Mulk Dome

Taj-al-Mulk dome, variations of forces along the height at the critical section ______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

53 07/04/2014

Taj-al-Mulk Dome

Taj-al-Mulk dome, variations of bending moments along the height at the critical section. ______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

Taj-al-Mulk Dome, Mode Shapes

f1  37.803Hz f 2  47.427 Hz ______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

54 07/04/2014

Taj-al-Mulk Dome, Mode Shapes

f  55.182 Hz ______3 f4  57Hz Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

Taj-al-Mulk Dome, Mode Shapes

______f5  63.833 Hz Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

55 07/04/2014

Taj-al-Mulk Dome

* M Is Very Small.

* M Is Negligible. * Natural Frequencies: 37.8, 47.4, 55.2, 57 and 63.8 Hz

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

Stresses in the Taj-al-Mulk Dome at the Critical Section

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

56 07/04/2014

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

Taj-al-Mulk Dome

* FE Analysis Shows: Different Shapes of Cross-Section, or Meridional Thickness Variation Would Increase the Magnitude of Internal Stresses and Forces.

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

57 07/04/2014

* Persian architecture is the Sacred Geometrisation of Divine Beauty.

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

* Persian architecture is the Sacred Geometrisation of Divine Beauty.

______Mehrdad Hejazi, Dept. of Civil Engg., Faculty of Engg., Univ. of Isfahan, Isfahan, Iran

58 07/04/2014

مثال سقف گنبدی کروی شکل زیر تحت بار وزن p بر واحد سطح را در نظر بگیرید. مطلوبست: الف – تعیین تنش ها برای یک گنبد نیم کروی.

ب- کنترل تنش های فشاری و کششی برای این گنبد در صورتی که از مصالح آجری ساخته شده و دارای ضخامت cm 20 و قطر m 26 باشد.

ج- کنترل کمانش موضعی گنبد.

The Golden Ratio

* It is often designated by the Greek letter Φ, for Phideas (circa 490-430 B.C.), Athenian sculptor and artistic director of the construction of the Parthenon, who supposedly used the Golden Ratio in his work.

* Found in fundamental forms: plants, flowers, viruses, DNA, shells, planets and galaxies.

59 07/04/2014

* The Golden Ratio is the unique ratio of two terms when the ratio of the larger term to the smaller term is in the same way as the smaller plus larger to the larger. Sum = 2

 = (1+√5)/2 = 1.618

longer =  shorter = 1

* The Golden Ration symbolises the regeneration and progression and extension from the Unity as each generation is linked to its ancestors. It is the perfect division of the Unity.

* The Golden Ratio is the most pleasing aesthetic proportion. *  11/(11/(11/(11/(11/(11/...)))))... * 1/ 1  ;1   2 ;  2   3; 2  3   4

60 07/04/2014

AB 1 EG  FB 1 , EB  (1.618) GB   11 (0.618) , GI  FG 11 (0.382) FG 1  2(0.382) 3 , JG 1  (0.236)

, The Golden Ratio in the pentagon and pentagram

Human canon and the Golden Ratio.

61 07/04/2014

The Fibonacci Series in the chronology of rabbit populations.

The Fibonacci Series in the distribution of leaves around a central stem: 3 leaves in 5 turns, 5 leaves in 8 turns.

62 07/04/2014

* The Divine Ratio as sacred measure and aesthetic proportion in order to embody the spirit in the matter.

* Greeks sought divinity at the Oracle of Del-Phi.

* Pythagoras was initiated in Egypt’s Mystery School temples in the ancient city of Phi-la-del-Phi-a.

The Great Pyramid and the Golden Ratio.

63 07/04/2014



Parthenon, the Golden Rectangle.

Spirals * The spiral created by a recursive nest of Golden Rectangles found in: ** In snake coil ** In an elephant trunk ** In the cochlea of the inner ear ** In the shape of the Nautilus pompilius shell

64 07/04/2014

Nautilus pompilius, the Golden Mean spiral.

Seed distribution in sunflower and pinecone based on the Golden Spiral.

65 07/04/2014

* For the Pythagoreans this form symbolises the dynamics of the rhythmic generation of the cosmos, and represents universal love.

* In Persian architecture, arabesque patterns are based on ascending spirals with succession of form elements indicating the idea of infinity and multiplicity, as the creation of the universe; return to the Unity.

Arabesque as the cosmic spiral, the journey towards the Unity through multiplicity, Chahar-Bagh madrassa, Isfahan, 1706-14 A.D.

66 07/04/2014

* For a Hemispherical Dome under Self Weight: 1 cos  cos2  N  pr  1 cos

If N   0 then:

1 cos  cos2   0

1 5 1 Then cos   2  Or

  5150 Golden Angle

The Meridional Force at this Angle Is Inversely Proportional to the Golden Ratio: 1 1 N   pr   pr( )  1 cos  Golden Force

67 07/04/2014

بوزن: واحد سطح پوسته و تنش فشاری ماکزیمم )که نصف النهاری است( به ترتیب برابرند با: p = rt = 1500 X 0.2 = 300 kg/m2 = (300) X 13 / 0.20 = 19500 kg/m2 = 1.95 kg/cm2 2 < fc = 30 kg/cm O.K. توجه شود که در معادله باال، ضخامت گنبد از صورت و مخرج حذف می گردد و تنش محاسبه شده مستقل از ضخامت است.

68 07/04/2014

تنش های نصف النهاری در گنبد تاج الملک تحت بار وزن )مقاومت فشاری = 500000 نیوتن بر متر مربع(

تنش کششی ماکزیمم )که مداری است( برابر است با: = 300 X 13 / 0.20 = 19500 kg/m2 = 1.95 kg/cm2 2 < ft = 3 kg/cm O.K. توجه شود که در معادله باال، ضخامت گنبد از صورت و مخرج حذف می گردد و تنش محاسبه شده مستقل از ضخامت است.

69 07/04/2014

تنش های مداری در گنبد تاج الملک تحت بار وزن ) مقاومت کششی = 50000 نیوتن بر متر مربع(

برای گنبدهای بنایی تحت بار وزن، حتی با قطر بزرگ:

1- تنش فشاری ماکزیمم بسیار کوچک تر از مقاومت فشاری است. 2- تنش کششی ماکزیمم که به صورت مداری است معموال کوچک تر از مقاومت کششی است. - در غیر این صورت ایجاد ترک های قائم می کند. • برای جلوگیری از ایجاد ترک های قائم می توان از رینگ های کششی، یا کش، یا دیوار پشت بند استفاده کرد. • برای جلوگیری از ایجاد ترک های قائم می توان قبل از رسیدن به زاویه شعاع قوس را تغییر داد.

70 07/04/2014

Majid-i-Jami, Ushturjan, 1315-16 A.D.

71 07/04/2014

Rahim Khan Mosque, Isfahan, 19th Century A.D.

72 07/04/2014

Rahim Khan Mosque, Isfahan, 19th Century A.D.

73 07/04/2014

Masjid-i-Naw, Isfahan, 1854 A.D.

74 07/04/2014

Masjid-i-Naw, Isfahan, 1854 A.D.

75 07/04/2014

Masjid-i-Naw, Isfahan, 1854 A.D.

76 07/04/2014

77 07/04/2014

78 07/04/2014

79 07/04/2014

•

80 07/04/2014

•

81 07/04/2014

•

82 07/04/2014

Membrane Stresses in Shells

End