ISOMETRIE NELLE PAVIMENTAZIONI COSMATESCHE DI A ROMA

Il giorno 21 aprile del 2017, la classe II°A del Liceo Scientifico Giuseppe Peano si è recata nella di San Clemente al Laterano per studiare le isometrie che vanno a formare i motivi cosmateschi che ne caratterizzano il pavimento. •LA STORIA DELLA BASILICA1: Dietro San Clemente al Laterano, per quanto essa, paragonata ai grandi monumenti di Roma, possa apparire una basilica di poca importanza, si cela una lunga storia; sotto di essa, infatti, si sono stratificate le rovine di diverse costruzioni precedenti: al livello più basso, vi sono i resti di una costruzione andata distrutta durante il noto incendio del 64 d.C.,

1 FONTI: http://www.basilicasanclemente.com/ita/index.php/storia/basilica sovrastati da magazzini (horreum) in tufo risalenti al I secolo d.C. (Età imperiale, successiva all'epoca neroniana), questi ultimi affiancati dall'abitazione di un patrizio, presso la quale era situato anche un piccolo tempio dedicato al culto Mitriaco. Al piano subito sottostante il terreno, si trovano quindi i resti di una basilica costruita nel IV secolo, in parte costituita dalle pareti del secondo piano della suddetta abitazione romana, la quale era già interrata fino al soffitto del piano inferiore. Nei pressi della basilica, in quei tempi vi era ancora il piccolo tempio, ma il terreno che occupava fu presto (nel 395) acquistato dal clero di San Clemente e annesso alla chiesa con la costruzione di un'abside, dato che il culto lì praticato era adesso illegale. Alla fine dell'XI secolo, in seguito al sacco di Roma da parte dei Normanni (1084), questa basilica, a causa delle devastazioni, era ormai pericolante e destinata al crollo; perciò, il Titolare della chiesa allora in carica Cardinal Anastasio propose di sotterrarla e di ergerne una nuova sul suolo che ne sarebbe stato ricavato, utilizzando come fondamenta le frazioni di pareti della prima dissotterrate. Nel 1403 papa Bonifacio IX affidò la basilica di San Clemente alla congregazione agostiniana di Sant'Ambrogio a Milano, cui venne poi sottratta, in seguito alla soppressione da parte di Urbano Vili, per mano di Camillo Pamphilj, il quale affidò la chiesa ai Domenicani di San Sisto nel 1645. Successivamente, nel 1677, la basilica e il convento di San Clemente vennero assegnati ai Domenicani Irlandesi, i quali ancora oggi vi risiedono. Nel XII secolo venne quindi costruita una nuova basilica, di dimensioni ridotte rispetto alla precedente. Intanto, gli edifici sotterranei su cui si erge la chiesa erano caduti nell'oblio; solo nel 1870, in seguito agli scavi di Padre Mulooy e Padre de Rossi, l'affascinante storia degli strati sottostanti la basilica fu riportata alla luce. •LA PIANTA DELLA BASILICA: A ovest il portone, coperto da un protiro, si apre sull'ampio chiostro circondato da un porticato, dal quale si può accedere a sud al convento, alla sagrestia e agli scavi sottostanti, e a est all'interno della basilica. Quest'ultima è divisa in tre navate da colonne precedentemente appartenenti a costruzioni romane di Età imperiale. Ai quattro vertici della pianta si trovano le cappelle di Santa Caterina, di San Domenico, del Santissimo Sacramento e di San Giovanni Battista; quest'ultima vede alla sua sinistra la Cappella di San Cirillo. Sulla navata centrale, all'altezza degli unici due fasci di pilastri, si trova la schola cantorum (principalmente costituita da frammenti della basilica sottostante), affiancata dai due amboni. L'imponente abside si collega direttamente alla navata, senza transetto. Sulla pianta sono contrassegnati i tappeti su cui si evolvono i motivi isometrici studiati:

-GRUPPO A

-GRUPPO B

-GRUPPO C

-GRUPPO D

-GRUPPO E •LE ISOMETRIE: Le isometrie sono movimenti rigidi che, in quanto tali, non comportano variazioni nelle distanze che danno precise dimensioni e forma all'oggetto, che esso sia una figura monodimensionale, bidimensionale o tridimensionale2. L'oggetto trasformato prende il nome di IMMAGINE. Limitandosi alle isometrie applicabili nel piano euclideo, le tipologie sono le sottoelencate: •TRASLAZIONI (T): Le traslazioni sono isometrie che consistono nello spostamento vettoriale del/degli ente/i in questione; dato un vettore v, le immagini di tutti i punti cui viene applicata la traslazione Tv sono quindi distanti da questi ultimi |v|, e i segmenti che congiungono tali punti alle rispettive immagini avranno coefficiente angolare pari a quello del vettore e stesso verso (il punto come origine e la sua immagine come l'estremo opposto).

•SIMMETRIE ASSIALI (S): Le simmetrie assiali sono isometrie tali che, data un'asse di simmetria r (linea retta), l'immagine A' di un punto A è l'estremo di un segmento AA' ortogonale all'asse r e di punto medio appartenente a quest'ultima.

2 Le figure adimensionali, in quanto prive di dimensioni, e quindi di distanze (o più propriamente, di distanze tendenti a zero), restano, naturalmente, invariate nella forma così come le suddette ndimensionali.

•ROTAZIONI (R): Le rotazioni sono isometrie in cui, dato un centro di rotazione O (punto) e un angolo di rotazione α, l'immagine P' del punto P apparterrà ad una circonferenza di centro O cui appartiene anche P stesso, tale che POP'=α. α<0<=>la rotazione avviene in senso orario α>0<=>la rotazione avviene in senso antiorario.

•SIMMETRIE CENTRALI (S): La simmetria centrale è un caso particolare di rotazione in cui, essendo α=±180°, detti O il centro di rotazione e P' l'immagine di un punto P, O, P e P' sono allineati, e se congiunti formano un segmento PP' di punto medio O.

Le simmetrie e le rotazioni vengono dette "isometrie invertenti" in quanto, contrariamente alle traslazioni, pur mantenendo invariate le forme degli enti spostati, ne alterano l'ordine degli angoli (ad esempio, in un triangolo, un vertice che inizialmente era il punto più alto della figura, nella sua immagine in una simmetria di asse orizzontale sarà il più basso).

Le isometrie possono essere composte, ossia applicate ad uno stesso ente una dopo l'altra in molteplici combinazioni, che non sempre godono di proprietà commutativa (ad esempio, la composizione di una traslazione con una simmetria assiale [S°T] non corrisponde sempre alla composizione opposta [T°S]). Il numero di composizioni possibili è limitato. Nelle pavimentazioni cosmatesche, soggetto di studio di questa relazione, il "dominio fondamentale" o "modulo" è il più piccolo frammento di motivo che, trasformato secondo una composizione periodica di isometrie, porta allo sviluppo, potenzialmente infinito, del motivo stesso. •L'ARTE COSMATESCA: Tra il XII e il XIII secolo, in Italia, ispirata allo stile bizantino, nasce dagli ingegni dei marmisti romani, che già adoperavano le isometrie nella creazione di opere musive su pavimenti di ville e mercati, l'arte cosmatesca, la cui denominazione, coniata dall'architetto Camillo Boito nel 1878, deriva dalle iscrizioni epigrafiche che spesso accompagnano i fregi e le pavimentazioni, sulle quali si possono leggere i nomi dei maestri artefici di esse, appunto "Cosmatus" o "Cosmas" (Cosma di Iacopo Lorenzo e Cosma di Pietro Mellini).3 Tali nomi, presumibilmente, hanno a loro volta origine dall'arte da essi prodotta; infatti, i motivi isometrici in questione rappresentano molto probabilmente il Cosmo, in quanto le figure che si ripetono riportano spesso a stelle, pianeti e satelliti, con i loro colori e le loro forme; la geometria delle figure non può che essere un elogio alla perfezione dell'Universo che senza presenza divina non potrebbe esistere,4 connotazione che si trova, ad esempio, anche nella danza sufica dei dervisci, il cui moto rotatorio sta ad imitare la forma degli astri.5 Inoltre, entrando in una chiesa, se si cammina sul "Cosmo" ci si sente fisicamente più "vicini a Dio", in un luogo veramente sacro; questo concetto viene ripreso con più esplicitezza nella chiesa di San Michele Arcangelo a Napoli, il cui pavimento, rappresentante il

3 FONTE: https://it.wikipedia.org/wiki/Cosmati

4 FONTE: http://www.archeobiblio.com/cosmati4.htm

5 FONTE: http://www.geometriadellinfinito.it/La_geometria_dellinfinito/Articoli/Voci/2010/7/21_La_Danza_Sufi.html

Paradiso Terrestre, è popolato da animali fantastici. Le pavimentazioni cosmatesche, oltre a celare un profondissimo significato esoterico, svolgono un'importante funzione iconologica per le liturgie: mentre le “rotae", grandi cerchi (o connessi tra loro attraverso fasce intrecciate, e in tal caso chiamati “guilloche”, o collegati in gruppi da cinque in armoniosi motivi detti “quinconce”) presumibilmente rappresentanti galassie o pianeti, mostrano ai fedeli il tragitto da percorrere (solitamente a forma di croce latina, simbolo del cristianesimo), i “tappeti”, dei rettangoli posti per file nelle zone non coperte dalle rotae, determinano dove i fedeli si devono porre; questo “percorso guidato” sembra anche fare riferimento al pellegrinaggio terrestre che precede l’ascensione nel regno dei cieli.6

Rotae (guilloche) Su ogni tappeto si articola un motivo isometrico, ma spesso, anche se distanti l'uno dall'altro, è possibile trovare su più tappeti lo stesso motivo, e anche in questo aspetto si cela sovente un significato esoterico; non a caso, il motivo studiato dal gruppo B presso la Basilica di San Clemente al Laterano si ripete su tre tappeti: il numero tre, considerato "il primo numero dispari", denota conciliazione: il triangolo viene visto come l'unione di due punti (i vertici della base) mediante un

6 FONTE: http://matematica-old.unibocconi.it/tassellatura1/.htm

terzo punto superiore.7 E' infine interessante notare che i marmi utilizzati per la creazione di pavimentazioni e fregi cosmateschi provengono spesso da opere pagane spogliate in epoca medievale; le rotae sono infatti fusti di colonne, ed è possibile trovare frammenti di iscrizioni latine su alcune tessere musive. •LE ISOMETRIE NEI TAPPETI DI SAN CLEMENTE AL LATERANO8: Durante l'esperienza presso la basilica, la classe è stata divisa in gruppi che hanno studiato le isometrie dei diversi tappeti. Per cominciare, posto un foglio di carta lucida sul tappeto, vi hanno ricalcato il motivo, per poi disegnarvi sopra assi di simmetria e centri di rotazione al fine di ricavarne il dominio fondamentale. Successivamente, riportato il motivo in scala 1:1 e 1:10 su dei fogli F4 33x48cm, il primo dei due disegni ricavati è stato posto su una base di polistirolo ad alta densità, cui sono stati applicati degli spilli in corrispondenza dei vertici delle figure che vanno a formare le pavimentazioni;quindi, ricongiunti i vertici (adesso contrassegnati dai fori prodotti dagli spilli) sulla base di polistirolo, sono state ricavate, tagliando in corrispondenza dei lati di ogni figura la stessa base, delle tessere imitative di quelle prodotte originariamente dai marmisti del XII secolo.

7 FONTE: http://semplici.emozioni.forumfree.it/?t=71588283 8 La casualità dei marmi utilizzati per la creazione dell'opera musiva comporta una mancanza di simmetria nei colori, se non a grandi linee; i colori verranno perciò distinti semplicemente tra "chiaro e scuro".

Queste ultime, sulle quali è stato applicato prima uno strato di cementite, per renderne la superficie più liscia e simile alla pietra, e successivamente uno di vernice del colore della tessera originale (ricreato da alcuni degli studenti partecipanti al progetto mescolando più tipologie di colorante concentrato universale per pitture a base d'acqua, in percentuale cromatica adeguata, con smalto all'acqua), sono state poi ricongiunte per mezzo di un collante su una nuova base di polistirolo (anch'essa colorata con della vernice grigia), a sua volta posta all'interno di un contenitore ligneo. Quindi, per rendere più simile alla pavimentazione originale la copia in polistirolo, le fughe, volutamente lasciate evidenti nell'incollaggio delle tessere, sono state riempite con reale malta nella stuccatura finale.

Successivamente, il motivo è stato riprodotto digitalmente mediante i programmi informatici Geogebra e CAD; il disegno prodotto con quest'ultimo, è stato quindi stampato ed applicato sul contenitore in cui già si trovava il modello della pavimentazione in polistirolo, sullo spazio restante, insieme ad una pianta della basilica sulla quale sono state contrassegnate le aree del pavimento decorate dai motivi studiati rispettivamente da ogni gruppo; i disegni prodotti con Geogebra, invece, sono stati utilizzati per l'illustrazione, su slides e relazione, delle isometrie che portano all'evoluzione dei motivi nei tappeti. Segue l'illustrazione della pavimentazione studiata dal gruppo B: •Il motivo isometrico studiato ha origine dal modulo in figura:

•Al modulo viene applicata la simmetria Sr:

•Successivamente, il prodotto viene ruotato di ±60° su R, e così anche la sua immagine e l'immagine di quest'ultima, per cinque volte:9

•Il prodotto viene quindi ruotato sui baricentri dei quadrati

(M1, N1, O1, P1, Q1, R1) di ±180°:

9 Per questa fase della trasformazione, vi è un procedimento alternativo: infatti, al prodotto può essere applicata la simmetria sull'asse s5, seguita da altre quattro simmetrie sulle immagini del segmento che, nel pentagono originale, corrisponde alla suddetta asse

•Anche i nuovi dodecagoni, così come i successivi ricavati, vengono ruotati sui baricentri di tutti i quadrati (eccetto quelli in comune con gli altri dodecagoni già presenti) di ±180°:

Nel motivo si riscontrano anche delle omotetie, ossia trasformazioni in cui le distanze variano proporzionalmente: i piccoli triangoli interni a quelli di dimensioni maggiori, intermedi fra i quadrati, sono le immagini dei primi in un'omotetia di centro P baricentro di entrambi e k=-½.