Vysok´E Uˇcení Technick´E V Brnˇe

Home , Fractal flame, Hilbert curve, Iterated function system, Michael Barnsley, Scott Draves

VYSOKEU´ CENˇ ´I TECHNICKE´ V BRNEˇ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA INFORMACNˇ ÍCH TECHNOLOGIÍ USTAV´ POCˇ ÍTACOVˇ E´ GRAFIKY A MULTIMEDI´ Í

FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER GRAPHICS AND MULTIMEDIA

FRAKTALY´ V POCˇ ´ITACOVˇ E´ GRAFICE

DIPLOMOVA´ PRACE´ MASTER’S THESIS

AUTOR PRACE´ JAN HEIN´IK AUTHOR

BRNO 2007 VYSOKEU´ CENˇ ´I TECHNICKE´ V BRNEˇ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA INFORMACNˇ ÍCH TECHNOLOGIÍ USTAV´ POCˇ ÍTACOVˇ E´ GRAFIKY A MULTIMEDI´ Í

FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER GRAPHICS AND MULTIMEDIA

FRAKTALY´ V POCˇ ´ITACOVˇ E´ GRAFICE FRACTALS IN COMPUTER GRAPHICS

DIPLOMOVA´ PRACE´ MASTER’S THESIS

AUTOR PRACE´ JAN HEIN´IK AUTHOR

VEDOUC´I PRACE´ Ing. ADAM HEROUT, Ph.D. SUPERVISOR

BRNO 2007 Abstrakt Diplomováprácese zabýváhistori´ıfraktáln´ıgeometrie a popisuje vývoj nauky o fraktálech. Po poˇcáteˇcn´ımseznámen´ıse základn´ımipojmy jsou popsány jednotlivédruhy fraktál˚ua jejich typicképˇr´ıklady. Dálejsou uvedeny oblasti, ve kterých je moˇzno se s fraktálysetkat mimo obor poˇc´ıtaˇcovégrafiky. Práce seznamuje s praktickýmvyuˇzit´ımfraktáln´ıgeometrie. V textu jsou uvedeny v souˇcasnédobˇeznáméprogramy a softwarovébal´ıky vhodnépro zobrazován´ıfraktál˚ua jsou popsány jejich moˇznosti.Praktickou ˇcást diplomovéprácetvoˇr´ı slajdy, demonstraˇcn´ıprogram a plakát. Elektronickéslajdy pˇredstavuj´ıosnovou vyuˇzitelnou pro pˇrednáˇsky o problematice fraktáln´ıgeometrie. Program slouˇz´ık demonstraci vybraných druh˚ufraktál˚u. Plakátje grafickýmshrnut´ımvýsledk˚upráce.

Kl´ıˇcováslova Fraktál,Juliova mnoˇzina, Mandelbrotova mnoˇzina,Newton˚uvfraktál,L-systém, Systém iterovaných funkc´ı,Stochastickéfraktály, Hausdorffova dimenze, atraktor, sobˇepodobnost, Sierpinskéhotrojúheln´ık, africkéfraktály, Cantorova mnoˇzina, Kochova vloˇcka, Hilbertova kˇrivka, Fractal Flame

Abstract This Master’s thesis deals with history of Fractal geometry and describes the fractal science development. In the begining there are essential Fractal science terms explained. Then description of fractal types and typical or most known examples of them are mentioned. Fractal knowledge application besides computer graphics area is discussed. Thesis informs about fractal geometry practical usage. Few present software packages or more programs which can be used for making fractal pictures are described in this work. Some of theirs capabilities are described. Thesis’ practical part consists of slides, demonstrational program and poster. Electronical slides represents brief scheme usable for fractal geometry realm lectures. Program generates selected fractal types. Thesis results are projected on poster.

Keywords Fractal, Julia set, Mandelbrot set, Newton fractal, L-system, Iterated Function Set, Stochas- tic fractal, Hausdorﬀ dimension, attractor, self-similarity, Sierpinski triangle, African fractals, Cantor set, Koch ﬂake, Hilbert curve, Fractal Flame

Citace Jan Hein´ık: Fraktályv poˇc´ıtaˇcovégrafice, diplomovápráce, Brno, FIT VUT v Brnˇe, 2007 Fraktályv poˇc´ıtaˇcovégrafice

Prohláˇsen´ı Prohlaˇsuji, ˇzejsem tuto diplomovou prácivypracoval samostatnˇepod veden´ım Ing. Adama Herouta, Ph.D. Uvedl jsem vˇsechny literárn´ıprameny a publikace, ze kterých jsem ˇcerpal.

...... Jan Hein´ık 21. kvˇetna2007

Podˇekován´ı Rádbych podˇekoval Ing. Adamu Heroutovi, Ph.D. za vstˇr´ıcnýpˇr´ıstup, odbornéveden´ıa pomoc pˇri návrhu struktury diplomovépráce.

c Jan Hein´ık, 2007. Tato práce vznikla jako ˇskoln´ı d´ılo na Vysokémuˇcen´ı technickémv Brnˇe,Fakultˇein- formaˇcn´ıch technologi´ı. Práce je chránˇenaautorským zákonem a jej´ıuˇzit´ıbez udˇelen´ıoprávnˇen´ı autorem je nezákonné,s výjimkou zákonemdefinovaných pˇr´ıpad˚u.

Obsah

1 Uvod´ 3

2 Základn´ıpojmy 4 2.1 Fraktál ...... 4 2.1.1 Historie fraktál˚u ...... 4 2.2 Dimenze ...... 6 2.2.1 Topologickádimenze ...... 6 2.2.2 Hausdorffova dimenze ...... 6 2.3 Sobˇepodobnost ...... 8 2.4 Atraktor ...... 9 2.4.1 Lorenz˚uvatraktor ...... 10

3 Typy fraktál˚u 11 3.1 Dynamickésystémy ...... 11 3.1.1 Juliovy mnoˇziny ...... 12 3.1.2 Mandelbrotova mnoˇzina ...... 12 3.1.3 Newtonova fraktáln´ımnoˇzina ...... 13 3.2 L-systémy ...... 14 3.2.1 Cantorova mnoˇzina ...... 16 3.2.2 Kochova vloˇcka ...... 17 3.2.3 Hilbertova kˇrivka ...... 18 3.3 IFS fraktály ...... 20 3.3.1 Sierpinskéhokobereˇcek ...... 22 3.3.2 Mengerova houba ...... 22 3.3.3 Fractal Flames ...... 23 3.4 Stochastickéfraktály(nepravidelnéfraktály) ...... 27 3.4.1 Simulace Brownova pohybu ...... 27 3.4.2 Metoda pˇresouván´ıprostˇredn´ıho bodu ...... 29 3.4.3 Spektráln´ısyntéza ...... 32

4 Fraktályv praxi 34 4.1 Biologie a lékaˇrstv´ı ...... 34 4.2 Poˇc´ıtaˇcovágrafika ...... 35 4.3 Fraktáln´ıantény ...... 36 4.4 Materiály ...... 37 4.5 Umˇen´ıa architektura ...... 38 4.5.1 Africkéfraktály ...... 39 4.5.2 Betlémskáhvˇezda ...... 40

1 4.6 SW pro generov´an´ıfrakt´al˚u ...... 41 4.6.1 FractInt ...... 41 4.6.2 Fractal eXtreme ...... 42 4.6.3 XaoS ...... 43 4.6.4 Apophysis ...... 44

5 Algoritmy pro generován´ıfraktál˚u 45 5.1 Algoritmy dynamických systém˚u ...... 45 5.1.1 Lorenz˚uvatraktor ...... 45 5.1.2 Juliovy mnoˇziny ...... 46 5.1.3 Mandelbrotova mnoˇzina ...... 47 5.2 Algoritmy L-systém˚u ...... 49 5.2.1 Kochova kˇrivka ...... 49 5.3 Algoritmy IFS ...... 50 5.3.1 Algoritmus náhodnéprocházky (RWA) ...... 50 5.3.2 Deterministickýalgoritmus (DIA) ...... 52 5.3.3 Modifikovanýalgoritmus náhodnéprocházky(M-RWA) ...... 54 5.3.4 Algoritmus generován´ıminima pixel˚u(MPA) ...... 55 5.3.5 Fractal flame ...... 56 5.4 Algoritmy stochastických fraktál˚u ...... 58 5.4.1 Simulace difúze ...... 58 5.4.2 Metoda pˇresouván´ıprostˇredn´ıho bodu ...... 60

6 Výsledky práce 62 6.1 Slajdy ...... 62 6.2 Demonstraˇcn´ıprogram ...... 64 6.2.1 Realizace ...... 65 6.2.2 Ovládán´ıprogramu ...... 67 6.2.3 Správce palet ...... 69

7 Z´avˇer 71

2 Kapitola 1

Uvod´

Poprvéje moˇznése s pojmem “fraktál”setkat v roce 1975, kdy jej ve svépráciFraktály: Tvar, náhoda a dimenze [11] (francouzsky Les objets fractals, forme, hasard et dimension) uvedl Benoit Mandelbrot. Mnoho takovýchto útvar˚u,jako napˇr. Kochova vloˇcka ˇci Sierpinskéhokoberec, bylo objeveno a popsáno jiˇzdˇr´ıve, mnohébyly dokonce vytvoˇreny jiˇzpˇred stalet´ımi- Africkéfraktály. Pojem vycház´ız latinského slova “fractus” (rozbitý). Tyto sloˇzitéstruktury, vyhovuj´ıc´ıurˇcitýmmatematickým poˇzadavk˚um,m˚uˇzeme nalézt také v pˇr´ırodˇe. Pˇredstavuj´ıje snˇehovévloˇcky, kaprad´ı,stromy, blesky, mraky, atd. Castoˇ je jejich poznávac´ımznakem sobˇepodobnost, coˇzznamená,ˇzedanýútvar se jev´ıjako stejný v jakémkoliv mˇeˇr´ıtkua stálese opakuje. Práce je rozdˇelenana dvˇehlavn´ıˇcásti- teoretickou a praktickou. V teoretickéˇcásti práce jsou vysvˇetleny základn´ıpojmy jako je fraktál,sobˇepodobnost aj. a jsou pˇribl´ıˇzeny souvislosti vývoje fraktáln´ıpodstaty. Dálejsou uvedeny pˇr´ıklady fraktáln´ıch útvar˚u,jejich rozˇclenˇen´ıa druhy algoritm˚u,kterélze ke generován´ıobrazc˚upouˇz´ıt. V podkapitolách jsou uvedeny vˇzdypopisy jednotlivých typ˚u- Cantorova mnoˇzina,IFS fraktály, Mandelbrotova mnoˇzinaatd. Fraktályse vyskytuj´ı v mnoha oblastech techniky i kaˇzdodenn´ıch jevech. Nˇekterýmzaj´ımavostem je vˇenována vˇetˇs´ıpozornost. Napˇr´ıkladv kapitole ˇc. 4 jsou popsány fraktály, kterése vyskytuj´ıve svˇetˇekolem nás,at’ uˇzv pˇr´ırodˇe,nebo v nˇekterémm z odvˇetv´ı techniky. Pˇrechod mezi teoretickou a praktickou ˇcást´ıpráce tvoˇr´ı 5. kapitola, kde jsou uvedeny algoritmy pro generován´ıfraktáln´ıch útvar˚u.V textu jsou uvedeny pˇr´ıklady, kdy tvarovˇe podobnéfraktálylze vytvoˇritodliˇsnýmzp˚usobem. Pro zaj´ımavost jsou u nˇekterých algoritm˚uuvedeny moˇznostimodifikac´ı. Dálejsou popsány nˇekterésoftwarovébal´ıky pro generován´ıfraktál˚u. Praktickou ˇcástreprezentuje kapitola 6. C´ılemdiplomovépráce bylo zpracovat informace ve formˇeelektronických slajd˚uvyuˇzitelných jako výukovýmateriálpˇredmˇetu Poˇc´ıtaˇcová grafika na FIT VUT v Brnˇe.Pro ilustraci jednotlivých skupin fraktál˚uje souˇcást´ıpráce takédemonstraˇcn´ıprogram.

3 Kapitola 2

Z´akladn´ıpojmy

2.1 Frakt´al

Fraktálje ˇclenitýobjekt, jehoˇzjednotlivéˇcásti vykazuj´ıtvarovou podobnost s celkem [16]. Tˇemito objekty se zabývávˇedn´ıdiscipl´ına zvanáfraktáln´ıgeometrie, kteráse zaˇcala rozv´ıjet od 60. let minuléhostolet´ıd´ıkyBenoitu B. Mandelbrotovi. Mandelbrot v roce 1977 jako prvn´ıpouˇzilpojem fraktála uvedl jeho definici. Aˇckoliv bylo mnoho takovýchto objekt˚u známoa popsánojiˇzdˇr´ıve (Kochova vloˇcka, Sierpinskéhotrojúheln´ık,atd.), byly vˇetˇsinou povaˇzovány za abnormality, a jak uvád´ı[12, 3], matematici je ˇradili do tzv. “Galerie mons- ter”. Tyto útvary se zdály nové,niˇcemu v pˇr´ırodˇeneodpov´ıdaj´ıc´ıa odporovaly geometrické intuici. Mnohéz nich byly “sobˇepodobné”. Právˇetato vlastnost je umoˇzˇnovala popsat nejlépe, proto je Mandelbrot vyˇclenilpro svévˇedeckézkoumán´ıa nazval je právˇe“fraktály”. Ukázal,ˇze fraktálynejsou vyj´ımkami, ale ˇzev podstatˇevˇse v pˇr´ırodˇemáfraktáln´ıpodstatu. D´ıky matematickému popisu fraktáluje Mandelbrotovi pˇripisováno prvenstv´ıv tétooblasti a podle nˇehoje pojmenovánatakémnoˇzina, kterávycház´ız jednoduchékomplexn´ıdefinice (bude uvedena pozdˇeji).Vykreslenou Mandelbrotovu mnoˇzinu m˚uˇzeme vidˇet na obrázku 2.1. Fraktáltedy m˚uˇzeme, z pohledu poˇc´ıtaˇcovégrafiky, popsat jako nekoneˇcnˇeˇclenitýútvar, jehoˇzˇcást ˇcasto vypadápodobnˇepˇri jakémkoliv pˇribl´ıˇzen´ıˇcirotaci jako celýobrazec [10]. Dalˇs´ızaj´ımavou vlastnost´ım˚uˇze býtnapˇr.nekoneˇcnˇevelkýobvod, ˇci nekoneˇcnˇemalýobsah. Matematickádefinice fraktáludosud nebyla uvedena. Nejv´ıce se j´ıbl´ıˇz´ıMandelbrotova specifikace: Fraktálje moˇzina, jej´ıˇzhodnota Hausdorffovy-Besicovichovy dimenze pˇresahuje hodnotu dimenze topologické, uvedenáv jeho knihách [3, 2, 12, 11]. Topo- logickádimenze (DT ) urˇcuje rozmˇertˇelesa, jak jej známez bˇeˇznégeometrie. DT bodu je rovna nule, pˇr´ımka má DT = 1, rovina DT = 2 a krychle DT = 3. Hausdorffova dimenze obvykle nebýváceléˇc´ıslo.V´ıcepodrobnost´ıbude uvedeno v kapitole 2.2.2.

2.1.1 Historie fraktál˚u Fraktáln´ıgeometrie je mladou, avˇsakdnes jiˇzrelativnˇerozsáhlouvˇedn´ıdiscipl´ınou, která zasahuje do mnoha obor˚u. Nejvˇetˇs´ırozvoj nastal od ˇsedesátých let 20. stolet´ı, kdy se zaˇcaly vyuˇz´ıvat prvn´ıpoˇc´ıtaˇce[25]. Jak jiˇzbylo uvedeno, nejznámˇejˇs´ımfraktálemje Mandelbrotova mnoˇzina(obrázek 2.1), dynamickýfraktálleˇz´ıc´ı v komplexn´ı rovinˇe.Mandelbrot nebyl prvn´ı, kdo tento fraktálvykreslil, jako prvn´ıho vˇsak publikoval. Pˇr´ıkladem objeven´ı fraktáln´ı podstaty objektu dávno pˇredMandelbrotem jsou tzv. Africkéfraktály[6]. Vesnice, paláce nebo ˇsperky, kterélze nalézt na územ´ıafrických stát˚u,

4 Obrázek 2.1: Mandelbrotova mnoˇzina splˇnuj´ıpodm´ınky pro zaˇrazen´ımezi fraktálysvýmtvarem ˇcistrukturou. V kapitole 4 jsou uvedeny p˚udorysnéfotografie vesnice, jej´ıˇzobydl´ıjsou uspoˇrádánado fraktáln´ıhoobrazce. S fraktályje moˇznése setkat takév oboru meteorologie a klimatologie. Vˇedcipˇri zkoumán´ıgraf˚upˇredpovˇed´ıpoˇcas´ızjistili, ˇzevypoˇctenéhodnoty se znaˇcnˇemˇenilyi s jen minimáln´ı zmˇenou vstupn´ıch údaj˚u. Z toho vyplývá,ˇze poˇcas´ı se chovájako chaotický systéma nelze dosáhnout spolehlivépˇredpovˇedichován´ıpro delˇs´ıˇcasovéúseky [9]. Tento problémpopsal Edward Lorenz v roce 1963 pˇrizkoumán´ıtˇr´ıdynamických rovnic, jak je uvedeno v kapitole 2.4.1. Chaos byl v tédobˇetaképˇredmˇetemzkoumán´ı na mnoha vˇedeckých pracoviˇst´ıch. V laboratoˇr´ıch IBM se snaˇzili vˇedci vyˇreˇsitprobléms náhodnýmvýskytem ˇsumu na ko- munikaˇcn´ıch linkách mezi poˇc´ıtaˇci. Pˇri snaze o jeho odstranˇen´ıbylo vˇzdy opraveno veden´ı, ovˇsem bez úspˇechu. Sumˇ se stáleobjevoval a mizel. V tédobˇeu IBM pracoval takéMandel- brot. Na vytiˇstˇených záznamech datových pˇrenos˚ua chyb na veden´ıvypozoroval znaˇcnou podobnost s Cantorovou mnoˇzinou (obrázek 3.5). Problém odstranili opakován´ımpˇrenosu zaˇsumˇených dat [11, 25]. Konkrétn´ıpˇr´ıklady jsou uvedeny v kapitole 4 na stranˇe 34.

5 2.2 Dimenze

Dimenze je hlavn´ıpojem pˇristudiu fraktál˚u.Bˇeˇznágeometrickátˇelesa lze popsat koneˇcným poˇctem parametr˚u(napˇr.délka, plocha, poˇcet rozmˇer˚u). Vˇetˇsina bˇeˇzných útvar˚umáhod- notu dimenze celéˇc´ıslo,nazýváse topologickádimenze, kterévyjadˇruje kolik souˇradnic potˇrebujeme k jednoznaˇcnému urˇcen´ıpolohy bodu v tomto útvaru [25, 24]. Takovétoútvary znaˇc´ıme jako geometricky hladkétˇelesa. Pro fraktáln´ıgeometrii vˇsaknen´ıtopologickádi- menze dostateˇcná,proto se pˇridávádimenze fraktáln´ı - Hausdorffova (podle nˇemeckého profesora Felixe Haussdorfa). Tato dimenze nabýváneceloˇc´ıselných hodnot a udávám´ıru ˇclenitostiútvaru, viz kapitola 2.2.2.

2.2.1 Topologick´adimenze

Topologickádimenze (DT ) je známáz klasickégeometrie. Jak jiˇzbylo ˇreˇceno dˇr´ıve, udává poˇcet parametr˚u, nutnýpro popis polohy bodu v tˇelese [25, 24, 12]. DT bodu je rovna nule, pro popis jeho polohy v nˇemsamémnen´ıpotˇrebaˇzádnýúdaj. Bod m˚uˇzeme popsat vztahem P = X. Useˇcka´ má DT = 1, protoˇzepotˇrebujeme jeden údaj pro urˇcen´ıpolohy bodu na úseˇcce. Totéˇzplat´ıi pro dalˇs´ıkˇrivky, kde poloha bodu na kˇrivce je vyjádˇrenapodobnˇejako pro napˇr.parabolu :

2 x = x0 + t (2.1)

kde t je parametrem, kterýjednoznaˇcnˇedefinuje polohu bodu na kˇrivce. Délka kˇrivek m˚uˇzebýt nekoneˇcná,avˇsakjejich plocha je nulová. DT roviny je rovna dvˇema,pro urˇcen´ıpolohy bodu na ploˇsepotˇrebujeme dva parametry, kteréjej jednoznaˇcnˇeurˇcuj´ı.Vyjádˇren´ım roviny ohraniˇcenékruˇzn´ıc´ıbudiˇz:

x = x0 + r ∗ cos α (2.2)

y = y0 + r ∗ sin α (2.3)

kde r je parametrem urˇcuj´ıc´ımpolomˇerkruˇznice, jej´ıstˇred se nacház´ıv bodˇe[x0, y0] a α je promˇennýparametr α ∈ h0, 2π). Podobnˇepak mánapˇr. krychle DT = 3. Pro základn´ı geometrickéútvary známe vztahy, ze kterých m˚uˇzeme vypoˇc´ıtat jejich vlastnosti, jako délku, plochu ˇci objem. Tyto hodnoty jsou nezávisléna jednotkách, ve kterých jsou udány parametry tˇeles. Detailnˇeji viz [3, 24].

2.2.2 Hausdorffova dimenze Fraktáln´ı dimenze ˇci Hausdorffova dimenze, bude oznaˇcována D, udávám´ıru ˇclenitosti útvaru. Pro fraktáln´ıobjekty je hodnota této dimenze vˇetˇs´ıneˇzhodnota DT . Pˇri mˇeˇren´ı vlastnost´ı Euklidovských útvar˚udostávámeceloˇc´ıselnéhodnoty nezávisle na zvolenémmˇeˇr´ıtku, at’ uˇzzjiˇst’ujeme jejich délku, povrch, objem, dimenzi. Pro fraktáln´ı obrazce vˇsaknen´ıceloˇc´ıselnévyjádˇren´ıdimenze dostateˇcné. Pˇri mˇeˇren´ıdélky pobˇreˇz´ıostrova Korsika v roce 1961 zjistil L. Richardson zvláˇstnost - namˇeˇrenáhodnota byla závislána délce pouˇz´ıvanéhomˇeˇridla. C´ımv´ıceseˇ zmenˇsovalo mˇeˇridlo, t´ım vˇetˇs´ı hodnota vyˇsla, tud´ıˇzpˇri délcelimitnˇese bl´ıˇz´ıc´ı nule, by délka rostla

6 do nekoneˇcna[12, 25, 9]. Z toho vyplývá,ˇze ostrov o koneˇcnéploˇsemánekoneˇcnoudélku pobˇreˇz´ı.Ilustraci mˇeˇren´ıje moˇznovidˇet na obrázku 2.2.

Obr´azek 2.2: Mˇeˇren´ıobvodu ostrova

Richardson pˇrizkoumán´ıhranic stát˚ua pobˇreˇz´ıostrov˚uzjistil, ˇzeodmˇeˇrenádélka L(G) je závislána mˇeˇr´ıtku G. Po nˇekolika mˇeˇren´ıch vyslovil domnˇenku, ˇze L(G) m˚uˇze býtapro- ximováno funkc´ı:

L(G) = MG1−D (2.4)

AˇzMandelbrot ukázal,ˇzedélka pobˇreˇz´ıa ostatn´ızemˇepisnéhranice jsou závisléna kon- stantˇeD, jeˇzvyjadˇruje Hausdorffovu dimenzi [22]. Stejnýproblém, jako s obvodem ostrova, by nastal pˇrimˇeˇren´ıdélky ˇreky, pokud by se zmˇeˇrila délka levého a pravého bˇrehu a pak se zpr˚umˇerovala. Pˇripˇresnémmˇeˇren´ıby se délka ˇrek bl´ıˇzilanekoneˇcnu. Právˇeproto, ˇze vzdálenost od úst´ık prameni je koneˇcná,je nutno ˇrekymˇeˇrit po daných kroc´ıch, ˇcipˇr´ımov toku ˇreky. Vzorec pro výpoˇcet Hausdorffovy dimenze lze z´ıskat následuj´ıc´ımzp˚usobem:

1 • mˇejme úseˇcku,kterou rozdˇel´ıme na N d´ılk˚u, délka jednoho d´ılku bude s = N , • pro Hausdorffovu dimenzi plat´ıobecnˇe,ˇze N ∗ sD = 1,

• postupnými úpravami pˇredchoz´ıho výrazu dostaneme vzorec 2.5, ze kteréhopo dosa- zen´ıdaných parametr˚u, dostaneme Hausdorffovu dimenzi objektu.

log N D = 1 (2.5) log s Hausdorffova dimenze je tedy ˇc´ıslo,kteréudávájakou rychlost´ıroste délka, obsah ˇci objem do nekoneˇcna.Liˇs´ı-li se D a DT málo,bude útvar máloˇclenitý,kdeˇzto bude-li DT > D, bude útvar velmi ˇclenitý.Podrobnˇejiviz [3, 24].

7 2.3 Sobˇepodobnost

Sobˇepodobnost je jednou z hlavn´ıch vlastnost´ıfraktálu. Dáse ˇr´ıci, ˇze sobˇepodobnost zna- menáopakován´ısebe sama napˇr.se zmˇenou mˇeˇr´ıtka, posunut´ım, rotac´ınebo zkosen´ım. V matematice se setkáváme s oznaˇcen´ım invariance v˚uˇcizmˇenˇemˇeˇr´ıtka. Tato vlastnost takénapomáháidentifikaci fraktál˚uv pˇr´ırodˇe. Napˇr´ıklad kapradinu m˚uˇzeme povaˇzovat za sloˇzeninu nekoneˇcného poˇctuvˇetviˇcek ˇci l´ıstk˚u,kterépo zvˇetˇsen´ıvypadaj´ıopˇet jako kapradina, viz obrázek 2.3.

Obr´azek 2.3: Frakt´aln´ıkapradina

Definice sobˇepodobnémnoˇziny zn´ı takto [25]: Sobˇepodobnámnoˇzina A n-dimenzio- náln´ıho Euklidovskéhoprostoru En je takovámnoˇzina, pro n´ıˇzexistuje koneˇcnˇemnoho n n kontrahuj´ıc´ıch zobrazen´ı φ1, ..., φn (zobrazen´ız E do E ), kterézmenˇs´ıvzdálenost mezi body leˇz´ıc´ımi v En takových, ˇzeA vznikne jako:

n [ A = Φi(A) (2.6) i=0

2 3 Pro E a E se m˚uˇzeu zobrazen´ı φi jednat o tzv. lineárn´ı transformace, kdy se mˇen´ı i mˇeˇr´ıtko. Tˇechto transformac´ı se pak vyuˇz´ıváke generován´ı IFS fraktál˚u, které jsou popsány v kapitole 3.3. Mnoˇzina definovanát´ımto zp˚usobem mánˇekolik velmi zaj´ımavých vlastnost´ı:

• vznikáopakován´ımsebe sama pˇriurˇcitétransformaci (zmˇenamˇeˇr´ıtka, rotace, posunut´ınebo zkosen´ı).Pouˇz´ıvaj´ıse i transformace nelineárn´ı,avˇsakje d˚uleˇzité, aby vˇzdyˇsloo transformace, kterézkracuj´ıvzdálenostmezi dvˇema r˚uznými body.

• je invariantn´ı v˚uˇci zmˇenˇemˇeˇr´ıtka. Pˇri libovolnémzvˇetˇsen´ı, ˇcizmenˇsen´ı vypadaj´ı podobnˇe.Vlastnost vyplýváz definice sobˇepodobnémnoˇziny.

• vznikásama ze sebe, respektive vznikáopakován´ımtéhoˇzmotivu.

8 Princip opakován´ıpodobných tvar˚uve zmenˇsenépodobˇeje vidˇetprakticky u jakékoliv sloˇzitéstruktury, kteráje generována i velmi jednoduchýmipravidly. Vˇetven´ıstrom˚uˇci cév a ˇzilv tˇelech ˇzivoˇcich˚u,nebo hromadˇen´ıbaktéri´ıa ˇrasv koloni´ıch, se dámatematicky uspokojivˇepopsat pouze fraktáln´ı geometri´ı. Pˇripokusech o popsán´ı pˇr´ırodn´ıch útvar˚u nástroji Euklidovskégeometrie byly konstrukce pˇr´ıliˇskomplikovanénebo neodpov´ıdalyre- alitˇe. Fraktályvˇsak slouˇz´ıi k modelován´ıa pochopen´ısloˇzitých dˇej˚u, kterése odehrávaj´ı v ˇcase, tud´ıˇzse jednáo jevy dynamické. Pˇri pouˇz´ıván´ı pojmu sobˇepodobnosti je tˇrebasi uvˇedomit,ˇzese jednáo podobnost objektu pˇrizmˇenˇemˇeˇr´ıtka. Existuje mnoho geometrických útvar˚u, kteréjsou podobné(nebo shodné)pˇriaplikaci jinétransformace. Napˇr´ıklad ˇctverec je invariantn´ıv˚uˇci stˇredovému zrcadlen´ı,kruh je invariantn´ıv˚uˇcistranovému zrcadlen´ıa pˇr´ımka je invariantn´ıv˚uˇci posunu ve smˇerujej´ıhovektoru. Tato invariance, pokud nen´ıdoprovázena invarianc´ıv˚uˇci zmˇenˇe mˇeˇr´ıtka, v ˇzádném pˇr´ıpadˇenedefinuje fraktál.

2.4 Atraktor

S pojmem “atraktor” se setkáváme nejˇcastˇeji pˇri popisu dynamických systém˚ua IFS systém˚u.Atraktor dynamickéhosystému je mnoˇzinastav˚u,do kterých systém smˇeˇruje. Je to mnoˇzina hodnot, kterých m˚uˇze nabývat stavovývektor dynamického systému po dostateˇcnˇedlouhémˇcasovém úseku od inicializace systému. Z geometrického hlediska m˚uˇze být atraktorem bod, kˇrivka nebo jakkoli rozmanitámnoˇzinafraktáln´ıpodstaty. Atraktory se daj´ırozdˇelitdo nˇekolika tˇr´ıda m˚uˇzejimi být[25]: • mnoˇzinapevných bod˚u, • mnoˇzinaperiodických bod˚u, • mnoˇzinakvaziperiodickych bod˚u, • atraktor je chaotický, • atraktor je podivný. Je-li atraktorem dynamického systému mnoˇzina pevných bod˚u, jednáse o nejjednoduˇsˇs´ı pˇr´ıpad- systémse v nekoneˇcném ˇcase ustálilv nˇejakém stabiln´ımstavu, kterýlze dopˇredu vypoˇc´ıtat. Je-li atraktorem mnoˇzina periodických (resp. kvaziperiodických) bod˚u,jde takéo ele- mentárn´ıpˇr´ıpad. Systémse po urˇcitédobˇeustálil tak, ˇze osciluje mezi nˇekolika stavy. Je-li atraktor chaotický,znamenáto, ˇzevýslednýstav systému nelze nijak dopˇredu pˇredpovˇedˇet.To m˚uˇzebýtzp˚usobeno takét´ım,ˇzeje systémvelmi citlivýna poˇcáteˇcn´ı podm´ınky. Chaotiˇcnostv tomto pˇr´ıpadˇeneznamenánáhodnost, protoˇzese stálepohybujeme v rámci deterministických systém˚u. Podivnýatraktor (anglicky strange attractor) je z hlediska fraktáln´ıgeometrie pˇr´ıpadem nejzaj´ımavˇejˇs´ım. Tento typ atraktoru m˚uˇzevzniknout, je-li systém popsánminimálnˇetˇremi souvisej´ıc´ımidiferenciáln´ımirovnicemi. Takovýsystém m˚uˇzem´ıtvelmi komplikovanýatrak- tor, kterýsice bude vykazovat vlastnosti pravidelného,ale souˇcasnˇei chaotického atraktoru. Term´ınpodivnýatraktor nen´ıpˇresnˇematematicky definován(definice sice existuj´ı, nezahrnuj´ıvˇsak vˇsechny typy podivných atraktor˚u), ale povaˇzujeme za nˇejtakovýatrak- tor, kterývykazuje stejnévlastnosti, jakémaj´ıfraktály. Vˇsechny chaotickéatraktory jsou souˇcasnˇepodivnými atraktory, opaˇcnˇeto vˇsakneplat´ı.Pˇr´ıklad podivného atraktoru máme na obrázku 2.4, nebo viz [12, 25].

9 2.4.1 Lorenz˚uvatraktor Lorenz˚uvatraktor byl prvn´ım zkoumanýma popsanýmdynamickýmsystémem. Edward Lorenz jej objevil pˇri zkoumán´ıvlastnost´ıvodn´ıho kola, kdy do nádob um´ıstˇených po obvodu pˇritékáa odtékávoda. Proces se jevil jako jednoduchý,avˇsakjednáse o chaotický systém.Projevila se u nˇejvysokácitlivost na poˇcáteˇcn´ıpodm´ınky, tzv. “motýl´ıefekt” (malá zmˇenapoˇcáteˇcn´ıch hodnot zp˚usob´ıvelkýrozd´ıl ve výsledku). Naplnˇen´ımnádoby se kolo roztoˇciloa Lorenz zkoumal moˇznostipohybu kola, kterémohou nastat v pˇr´ıpadˇe,ˇze se nádoba nestihne naplnit celá,nevyteˇce celáatd. Pomoc´ıtˇr´ırovnic [22]: dx = σ(y − x) (2.7) dy dy = x(ρ − z) − y (2.8) dt dz = xy − βy (2.9) dt vyjádˇril Lorenz chován´ısystému (σ se nazýváPrandtlovo ˇc´ısloa ρ je Rayleightovo ˇc´ıslo). Kdyˇzpak na poˇc´ıtaˇci nechal zobrazit graf, systém se d´ıkyzvolenýmhodnotámnechoval periodicky, ale chaoticky - nedalo se pˇredpovˇedˇetv jakémstavu se bude systémnacházet v následuj´ıc´ım okamˇziku. Výsledekje na obrázku 2.4. Dráhy se na simulaci pˇrekrývaj´ı z d˚uvodu pouˇzit´ıkoneˇcnéhopoˇctu desetinných m´ıstpro zobrazen´ıˇc´ısel. Pokud by se pouˇzilo pˇresnéhomodelu, tato situace by nikdy nenastala a dráhy by se kˇr´ıˇzily.

Obr´azek 2.4: Lorenz˚uvatraktor - graf

S podivnými atraktory a dynamickými systémy souvis´ı úloha pocházej´ıc´ı z klasické fyziky - problém tˇr´ıtˇeles [25]. Ve vesm´ırumáme tˇritˇelesa a zadanépoˇcáteˇcn´ıpodm´ınky systému (poloha, hmotnost tˇeles, poˇcáteˇcn´ırychlost a smˇerpohybu). Ukolem´ je analyticky vyjádˇrit poholu tˇeles v libovolnémokamˇziku. Byla dokázánaneˇreˇsitelnosttohoto problému, pˇrestoˇze problémdvou tˇeles je jednoduchý. D˚uvodem je pohyb tˇeles po ˇcásteˇcnˇechaotických drahách, kdy jsou pˇritahovának urˇcitým bod˚um, kterými trajektorie procházej´ı.Tyto body byly nazvány atraktory kv˚ulisvévlast- nosti (pˇritaˇzlivost, anglicky attraction).

10 Kapitola 3

Typy frakt´al˚u

Jednˇemi z prvn´ıch matematik˚u, kteˇr´ı nalezli objekty vyhovuj´ıc´ı definici fraktálu, avˇsak nevidˇeli mezi nimi jeˇstˇesouvislost, byli Georg Cantor, Helge von Koch, Waclaw Sierpins- ki ˇciGaston Julia. I d´ıkyjejich prácimohl Mandelbrot pozdˇeji definovat pojem fraktál. V následuj´ıc´ıch kapitolách budou nˇekteréz prvn´ıch fraktál˚uuvedeny. Postupem ˇcasubyly fraktáln´ıútvary na základˇespoleˇcných charakteristik rozˇrazeny do skupin [25]. Takto ˇclenˇenéjednotlivétypy fraktál˚ujsou vhodnépro ˇreˇsen´ıurˇcitých úloh v jednom nebo v´ıce oborech. V poˇc´ıtaˇcovégrafice je d˚uleˇzité,ˇzealgoritmy pro vytváˇren´ı fraktál˚ujsou podobnépro jednotlivéskupiny, pˇrestoˇze se tvar vygenerovaných obrazc˚uliˇs´ı. Fraktálydˇel´ıme na následuj´ıc´ıtypy:

• Dynamickésystémy s fraktáln´ıstrukturou,

• L-syst´emy,

• Syst´emy iterovan´ych funkc´ıIFS,

• Stochastickéfraktály(nepravidelnéfraktály).

3.1 Dynamick´esyst´emy

Dynamickésystémy tvoˇr´ıtu skupinu (resp. kategorii) fraktál˚u,kterámáv technicképraxi nejˇsirˇs´ıuplatnˇen´ı.Dynamickýsystémje matematickýmodel, jehoˇzstav je závislýna nˇejaké promˇenné(napˇr.ˇcasu). Dynamickýsystémvycház´ız poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek a je jimi v ˇcase determinován. Existuj´ı dynamickésystémy, kterése po urˇcitémˇcase neustál´ı v pevném stavu, ale ani nediverguj´ı. Tento pˇr´ıpad, kterýpˇripom´ınáiracionáln´ıˇc´ısla, mávˇetˇsinou fraktáln´ıdynamiku a oznaˇcuje se term´ınemdeterministickýchaos. V´ıceviz [3, 12, 24]. Dynamickýsystémje popsánpomoc´ıdynamických podm´ınek, kterépopisuj´ıjeho zmˇenu systému v ˇcase. Dynamicképodm´ınky jsou vˇetˇsinouzadány soustavou diferenciáln´ıch rovnic, kterépopisuj´ızmˇenu stavovéhovektoru v ˇcase. Zmˇena stavu dynamického systému se dˇeje proveden´ımtˇechto diferenciáln´ıch rovnic a nahrazen´ımstaréhostavovéhovektoru novým. Z hlediska poˇc´ıtaˇcovégrafiky je nejzaj´ımavˇejˇs´ıvhodnýmzp˚usobem vizualizovat nˇejakou vlastnost dynamickéhosystému. Nejˇcastˇejise u bod˚uv komplexn´ırovinˇesleduje únik od atraktoru v závislostina poˇctu iterac´ı. Dojde-li k úniku bodu, vybarv´ıse tento bod úmˇernˇe poˇctu iterac´ı. Z tˇechto systém˚ujsou v poˇc´ıtaˇcovégrafice asi nejv´ıceznáméJuliovy mnoˇziny a Mandelbrotova mnoˇzina.

11 3.1.1 Juliovy mnoˇziny Bˇehem druhésvˇetovéválky dva francouzˇst´ı matematikovéGaston Julia a Pierre Fatou objevili zvláˇstn´ıútvary pozdˇeji nazýnéJuliovy mnoˇziny. Nˇekterése podobaj´ıkeˇr´ık˚um,jiné moˇrskýmkon´ık˚um ˇcikrál´ık˚um. Juliovy mnoˇziny jsou vytváˇreny pomoc´ıiterace funkce komplexn´ıparaboly:

2 zn+1 = zn + c (3.1) kde promˇenné zn a c leˇz´ıv komplexn´ırovinˇe. Poˇcáteˇcn´ıhodnota z0 v pˇr´ıpadˇeJuliových mnoˇzinreprezentuje pozici bodu v komplexn´ırovinˇe.Komplexn´ıhodnota c je zvolena libo- volnˇea pro vˇsechny poˇc´ıtanébody v jednom obrazci z˚ustávákonstantn´ı.Pˇr´ıkladJuliovy mnoˇziny o souˇradnic´ıch (-0.726895347709114071439, 0.188887129043845954792) vid´ımena obrázku 3.1.

Obr´azek 3.1: Juliova mnoˇzina

Pro zv´yraznˇen´ı atritbut˚use Juliovy mnoˇziny vykresluj´ı barevnˇe.Nejˇcastˇejˇs´ı zp˚usob obarven´ıje ten, ˇzebarva bodu charakterizuje krok iterace, ve kter´embylo zjiˇstˇeno, ˇze bod nediverguje.

3.1.2 Mandelbrotova mnoˇzina Mandelbrotova mnoˇzina (anglicky Mandelbrot Set nebo M-set) je nelineárn´ımdeterminis- tickýmfraktálem.Je povaˇzovánaza jeden z nejzaj´ımavˇejˇs´ıch fraktál˚u(obrázek 2.1), kterýse pouˇz´ıváv poˇc´ıtaˇcovégrafice, napˇr´ıkladke generován´ıtextur nebo vytváˇren´ıtrojrozmˇerných model˚uhor. Objevena byla pˇrianalýze dynamických systém˚use zpˇetnouvazbou. Jako prvn´ızˇrejmˇemnoˇzinu vykreslili Robert Brooks a Peter Matelski v roce 1978. Obrazec byl ˇcernob´ılýa rozliˇsoval konvergenci a divergenci posloupnosti hodnot [12, 25]. S rozvojem poˇc´ıtaˇcovégrafiky doˇslok rozˇs´ıˇren´ımoˇznost´ıvybarvován´ına základˇenapˇr.poˇctuiterac´ı nutných k rozhodnut´ıdivergence bodu, velikosti posledn´ıvypoˇctenéhodnoty |zn|, podle hodnot reálnéˇciimaginárn´ısloˇzkyatd.

12 Narozd´ıl od Juliových mnoˇzin, kterých je v´ıcedruh˚u,je Mandelbrotova mnoˇzinajedna a je souvislá,coˇzdokázaliv roce 1982 Adrien Douady a John Hubbard. PrávˇeHubbard ji dal jméno,pod kterýmje dnes vˇseobecnˇeznáma. Objekty stejnéhotvaru jako je samotná Mandelbrotova mnoˇzina lze nalézt nejen po jej´ım obvodu, ale i “osamoceny” v okol´ı,jak lze vidˇet na obrázku 3.2. Vˇzdyjsou spojeny s hlavn´ıˇcást´ı,z ˇcehoˇzvyplývá,ˇze Mandelbrotova mnoˇzinaje souvislá.

Obr´azek 3.2: Detaily v Mandelbrotovˇemnoˇzinˇe

Mandelbrotova mnoˇzinaje opˇetvytv´aˇrenapomoc´ıiterace funkce komplexn´ıparaboly:

2 zn+1 = zn + c (3.2) kde promˇenn´e zn a c leˇz´ıv komplexn´ırovinˇe.Mandelbrotovu mnoˇzinu lze deﬁnovat jako mnoˇzinu [16]

M = c ∈ C | c → c2 + c → · · · je omezena´ (3.3) coˇzje p˚uvodn´ıMandelbrotova definice z roku 1979. Lze ji ovˇsem takédefinovat jako mnoˇzinu vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel c, kdy je Juliova mnoˇzina Jc souvislá,tj. M = c ∈ C | Jc je souvisla´ (3.4)

Pokud je posloupnost iterac´ıomezená,náleˇz´ıbod C Mandelbrotovˇemnoˇzinˇe. Zaj´ımavost´ıje, ˇze pr˚useˇc´ıktétomnoˇziny s reálnou osou tvoˇr´ıproslulou Feigenbaumovu posloupnost bifurkac´ı.Tato okolnost zavdala pˇr´ıˇcinu k p´ısemnépˇrestˇrelce mezi Mandel- brotem a Feigenbaumem, týkaj´ıc´ıse autorstv´ınˇekterých základn´ıch idej´ıv teorii chaosu [16, 25].

3.1.3 Newtonova fraktáln´ımnoˇzina Newtonova fraktáln´ımnoˇzinabyla objevena Johnem Hubbardem. Pˇripˇrednáˇsen´ıNewtonovy iteraˇcn´ımetody [9, 22], urˇcenépro vyhledáván´ıkoˇren˚upolynom˚u, zadal student˚um úkol, aby zkusili pro rovnici 3.5 nalézt koˇreny v komplexn´ırovinˇe.

x3 + 1 = 0 (3.5) Jeho pˇredstavou bylo, ˇzeˇreˇsen´ırozdˇel´ıkomplexn´ırovinu na nˇekolik oddˇelených ploch, ke kterýmbude ˇreˇsen´ıkonvergovat. Na rozhran´ıoblast´ıse vˇsakobjevily zvláˇst´ıobrazce. Hubbard zaˇcal chován´ı rovnice zkoumat a po barevnémoznaˇcen´ı bod˚udostal obrazec,

13 kterým˚uˇzeme vidˇetna obrázku 3.3. Na hranici tˇr´ıvelkých oblast´ıv´ıd´ıme sobˇepodobný obrazec, kterýpodle obarven´ıpodoblast´ıurˇcuje, ke kterému ˇreˇsen´ıkonverguje. Zaj´ımavé je, ˇzevýseˇceobsahuj´ıi barvy odpov´ıdaj´ıc´ınejvzdálenˇejˇs´ımu koˇrenu. Rovnice 3.5 je základn´ı rovnic´ı pro vygenerován´ı Newtonovy fraktáln´ı mnoˇziny a z obrázkuje patrné, ˇze mimo oblast konvergence je tato metoda citlivána zvolenépoˇcáteˇcn´ıpodm´ınky. Pˇri zmˇenˇestupnˇe a tvaru polynomu dostávámeodliˇsnývzhled obrazce.

Obr´azek 3.3: Newtonova frakt´aln´ımnoˇzina

3.2 L-syst´emy

L-systémy, jeˇzjsou v nˇekteréliteratuˇretakéoznaˇcovány term´ınem Lindenmayerovy systémy, jsou skupinou fraktál˚udefinovaných pomoc´ı pˇrepisovac´ıch gramatik [24]. Název pocház´ı z anglickézkratky LOGO-like turtle. LOGO je známýprogramovac´ı jazyk urˇcenýpro výuku programován´ı, jeˇzje zaloˇzenýna Lispu. Pomoc´ı tohoto jazyka se jednoduchými pˇr´ıkazy, ovládaj´ıc´ımivirtuáln´ıˇzelvu pohybuj´ıc´ıse po ploˇse, daj´ıkreslit r˚uznéobrazce sloˇzené vˇetˇsinou z úseˇcek. Podstatou tvorby L-systém˚uje pˇrepisován´ıˇretˇezc˚upodle daných gramatik. Kaˇzdému termináln´ımu symbolu (znaku, jeˇzse nepˇrepisuje) v ˇretˇezci je pˇriˇrazen jistýgeometrický význam,kterýodpov´ıdápˇr´ıkazu pro ˇzelvu v jazyce LOGO. Mezi tyto termináln´ısymboly patˇr´ınapˇr´ıklad znaky uvedenév tabulce 3.1 [25]. Pomoc´ıposledn´ıch dvou pˇr´ıkaz˚u(push a pop) lze generovat obrazce, ve kterých prob´ıhá vˇetven´ıstruktury. Zaj´ımavéobrazce s fraktáln´ıstrukturou se zaˇcnoutvoˇrit,jestliˇze v jazyce LOGO pouˇzijeme rekurzi, coˇzodpov´ıdáiteraci v gramatice (na pravéstranˇepˇrepisovac´ıho pravidla gramatiky je nontermináln´ısymbol shodnýse symbolem na levéstranˇepravidla). Jednou z moˇznost´ı, jak klasickéL-systémy rozˇs´ıˇrit, je pouˇzit´ıv´ıce ˇzelv a zaveden´ınových symbol˚upro soubˇeˇznénebo samostatnéˇr´ızen´ıtˇechto ˇzelv.

14 Symbol Význam F forward - posun ˇzelvy dopˇredu B back - posun ˇzelvy dozadu + right - natoˇcen´ıˇzelvy doprava - left - natoˇcen´ıˇzelvy doleva [ push - uloˇzen´ıpozice a orientace ˇzelvy na zásobn´ık ] pop - obnoven´ıpozice a orientace ˇzelvy ze zásobn´ıku

Tabulka 3.1: Termin´aln´ısymboly

Za pomoci L-systém˚ulze generovat fraktály, kterése podobaj´ırostlinám, strom˚uma dalˇs´ımpˇr´ırodn´ımútvar˚um. Sloˇzitˇejˇs´ıaplikace smˇeˇruj´ık vyuˇzit´ıtˇechto fraktál˚uke generován´ı ploˇsných i prostorových (tj. objemových) textur, vyuˇzit´ı nacházej´ı takév oblasti CAD systém˚u. L-systémy se dávytvoˇrit takéSierpinského trojúheln´ık, obrázek 3.4, kterýgeneruje gramatika:

symboly : A, B (kresli vpredˇ ) konstanty : +, −(rotace doprava, doleva o uhel´ ) start : A pravidla : A → B − A − B (3.6) B → A + B + A (3.7) uhel´ : 60◦

Obrázek 3.4: Sierpinskéhotrojúheln´ık

15 Mezi L-syst´emy patˇr´ıi Fibonacciho ˇc´ısla, jeˇzjsou generovan´agramatikou se startovac´ım symbolem A a pravidly:

A → AB (3.8) B → B (3.9) coˇzvygeneruje sekvenci: n = 0 : A n = 1 : B n = 2 : AB n = 3 : BAB n = 4 : ABBAB n = 5 : BABABBAB . . Pokud spoˇc´ıt´amed´elkuvˇsech ˇretˇezc˚u,dostaneme Fibonacciho posloupnost ˇc´ısel: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 . . . .

3.2.1 Cantorova mnoˇzina Cantorova mnoˇzina (nˇekdyoznaˇcovanáCantorovo diskontinuum) je mnoˇzinabod˚uz intervalu h0, 1i. Popsal ji nˇemeckýmatematik Georg Cantor pˇri zkoumán´ımnoˇzinbod˚u,ve spojitosti s konvergenc´ıfourierových ˇrad. Zkonstruuje se tak, ˇze se danýinterval rozdˇel´ına tˇrishodnéitervaly, kdy je vypuˇstˇen 1 2 1 2 interval 3 , 3 . Takto jsou z´ıskány intervaly 0, 3 a 3 , 1 . V dalˇs´ıiteraci se postupuje stejnˇe- vyjme se vˇzdy prostˇredn´ıtˇretina intervalu. Intervaly, kterév mnoˇzinˇez˚ustaly jsou Cantorovou mnoˇzinou. Sedm iterac´ılze vidˇetna obrázku 3.5.

Obr´azek 3.5: Cantorova mnoˇzina, 7 iterac´ı

1 2 1 2 Do mnoˇziny náleˇz´ıkrajn´ıbody interval˚u- 0, 1, 3 , 3 , 9 , 9 atd., kterých je spoˇcetnˇemnoho. Cantorova mnoˇzina je nespoˇcetná[12, 16], existuje proto jeˇstˇenespoˇcetnˇemnoho dalˇs´ıch bod˚u, kterédo mnoˇziny náleˇz´ı. Gramatika pro vygenerován´ıCantorovy mnoˇziny v pravidlech ˇzelv´ıgrafiky (viz tabulka 3.1) mátvar:

symboly : F,G (kresli vpred,ˇ posun vpredˇ ) start : F pravidla : F → F GF (3.10) G → GGG (3.11)

16 log 2 Hausdorffova dimenze Cantorovy mnoˇziny je D = log 3 ≈ 0, 6309. Zaj´ımavost´ıje, ˇzeCan- torova mnoˇzinaje mnoˇzinabod˚una Kochovˇekˇrivce, kteréprot´ınaj´ıp˚uvodn´ıhorizontáln´ı úseˇcku. Pˇredstavuje takénejjednoduˇsˇs´ı fraktáln´ı objekt, na kterémlze vysvˇetlit pojmy fraktáln´ıgeometrie (zmˇena mˇeˇr´ıtka, sobˇepodobnost, . . . ). Cantorovu mnoˇzinu z´ıskámetaké ˇrezem nespojitou Juliovou mnoˇzinou.

3.2.2 Kochova vloˇcka Dalˇs´ımznámýmL-systémem je Kochova vloˇcka (kˇrivka) pojmenovanápo Helge von Ko- chovi. Konstrukce, kterou lze vidˇet na obrázku 3.6, se provede tak, ˇze se úseˇcku délky 1 1, rozdˇel´ı na tˇriˇcásti o délce 3 . Prostˇredn´ı tˇretinu je poténahrazena rovnostranným trojúheln´ıkem. Stejnýpostup je aplikovánna vˇsechny ˇctyˇrivznikléúseˇcky. Takto se po- kraˇcuje aˇzdo nekoneˇcna.Prvn´ıkrok, v tomto pˇr´ıpadˇeúseˇcka délky1, se nazýváiniciátor. Utvar´ v druhémkroku, kterýmje úseˇcka nahrazovánase nazývágenerátor.Generován´ı mnoˇziny spoˇc´ıváv tom, ˇzev kaˇzdémkroku jsou nahrazeny vˇsechny iniciátory generátorem. Detailnˇeji viz [12].

Obr´azek 3.6: Kochova vloˇcka, konstrukce

Kˇrivka mánˇekolik zaj´ımavých vlastnost´ı, mnoho z nich je shodných s Cantorovou mnoˇzinou. Je tvoˇrena ˇctyˇrmi ˇcástmi, kteréjsou shodnés p˚uvodn´ımnoˇzinou, ale zmenˇsené v mˇeˇr´ıtku 1:3. Kˇrivka neobsahuje ˇzádnéúseˇckynebo hladkésegmenty, rovnˇeˇzv ˇzádném bodˇenemáderivaci. Výpoˇctem se dázjistit, ˇzedélka k-téiterace pˇrikonstrukci mnoˇziny je 4 k rovna ( 3 ) , pro k → ∞ je tedy jej´ıdélka rovna nekoneˇcnu a kˇrivka zab´ıránulovou plochu. log 4 Hausdorffova dimenze kˇrivky je D = log 3 ≈ 1, 2619.

17 Kochovu vloˇckulze vygenerovat, za pouˇzit´ı pravidel ˇzelv´ı graﬁky (viz tabulka 3.1), gramatikou s jedin´ympˇrepisovac´ımpravidlem:

symboly : F (kresli vpredˇ ) konstanty : +, − (rotace doprava, doleva) start : F − −F − −F (3.12) pravidlo : F → F + F − −F + F (3.13)

Kochova vloˇcka byla pokládánaza “matematickémonstrum”. V roce 1893 Charles Her- mite v dopise napsal [12]: “odvrac´ımse ve strachu a s hr˚uzouod tohoto b´ıdnéhomoru funkc´ıbez derivace. (anglicky turning away in fear and horror from this lamentable plague of functions with no derivatives)”.

3.2.3 Hilbertova kˇrivka Hilbertova kˇrivka je jedn´ımz nejjednoduˇsˇs´ıch fraktál˚u.Poprvébyla popsánav roce 1891 nˇemeckýmmatematikem Davidem Hilbertem. Pˇrestoˇze je tvoˇrena na sebe navazuj´ıc´ımi úseˇckami (jednodimenzionáln´ıobjekt), vyplˇnuje celou plochu. Topologickádimenze Hilber- tovy kˇrivky DT = 1, Hausdorffova dimenze D = 2, podobnˇejako u Mandelbrotovy mnoˇziny, n 1 kterávˇsaknevyplˇnuje celou rovinu viz kapitola 3.1.2. Jej´ıdélka je rovna 2 − 2n , coˇzzna- mená,ˇze roste exponenciálnˇes n (poˇcet iterac´ı).

Obr´azek 3.7: Hilbertova kˇrivka

Zkonstruován´ı Hilbertovy kˇrivky je sloˇzitˇejˇs´ı neˇzv pˇr´ıpadˇeKochovy vloˇcky. Kˇrivka vytvoˇrenáv n-téiteraci je sloˇzena ze ˇctyˇrkˇrivek vzniklých v n − 1 iteraci. Aby na sebe segmenty navazovaly, je nutno je otoˇcita zmenˇsitna polovinu. Slovn´ıpopis ˇctyˇrˇcást´ıA, B, C, D Hilbertovy kˇrivky nalezneme v tabulce 3.2 [25] a lze jej takéjednoduˇsˇse pˇrevést na algoritmus programovac´ıhojazyka.

18 Symbol V´yznam A D(doleva)A(dol˚u)A(doprava)B B C(nahoru)B(doleva)B(dol˚u)A C B(doprava)C(nahoru)C(doleva) D A(dol˚u)D(doleva)D(nahoru)C

Tabulka 3.2: Z´akladn´ıˇc´astiHilbertovy kˇrivky

Gramatika pro vygenerován´ı Hilbertovy kˇrivky vyjádˇrenásymboly ˇzelv´ı grafiky (viz tabulka 3.1) mátvar:

symboly : L, R konstanty : F, +, − (kresli vpred,ˇ rotace doleva, doprava) start : L pravidla : L → +RF − LF L − FR + (3.14) R → −LF + RFR + FL− (3.15)

Na obrázku 3.8 je vidˇetsouˇcasnézobrazen´ıprvn´ı aˇztˇret´ı iterace Hilbertovy kˇrivky. Jejich vlastnost´ıse vyuˇz´ıváve v´ıcerozmˇerných databáz´ıch, kde je aplikována k mapován´ı dat do jednédimenze nam´ıstoz-kˇrivky. D˚uvodem je, ˇzetakovátomapovac´ıfunkce lépe zachovávápozice prvk˚u.Informace o aplikaci je moˇzno naj´ıtv práci J. Lawdera a P. Kinga, napˇr.“Querying Multi-dimensional Data Indexed Using the Hilbert Space-Filling Curve”. Takovétodatabázovéalgoritmy jsou chránˇeny patenty, podobnˇejako algoritmy pro fraktáln´ı analýzu a kompresi obrazu, kteráje zm´ınˇena v kapitole 3.3.

Obr´azek 3.8: Tˇriiterace Hilbertovy kˇrivky

19 3.3 IFS frakt´aly

Název IFS systém˚uje odvozen z p˚uvodn´ıhoanglického oznaˇcen´ı Iterated Function System, ˇcesky lze tento název pˇreloˇzit jako systém iterovaných funkc´ı. Prvn´ı publikace, kterése týkaly IFS systém˚u, vydali v roce 1985 Demko a v roce 1987 Barnsley. IFS je generativn´ı metoda vytváˇren´ıfraktál˚u,kterou ˇrad´ımemezi deterministické. Algoritmus pro generován´ı IFS fraktál˚uvˇsak m˚uˇzebýtjak deterministický,tak nedeterministický(tj. stochastický,viz kapitola 5.3.1, algoritmus RWA). V systémech iterovaných funkc´ı IFS se pro tvorbu fraktáln´ıch obrazc˚upouˇz´ıvátak- zvanágenerativn´ımetoda [3, 25]. Tato se pouˇz´ıvátakéke kompresi bitmapových obraz˚u, zavedeme-li ke generativn´ımetodˇetakzvanou inverzn´ıúlohu. Pˇrigenerován´ıfraktál˚upo- moc´ıIFS systém˚use pˇrivýpoˇctech pouˇz´ıvánáhodných prvk˚u,tj. metoda je stochastická. Deterministickévytváˇren´ıse pouˇz´ıvátaké,oba pˇr´ıstupy vˇsakvedou ke stejnému výslednému fraktálu, pouˇzije-li se dostateˇcnýpoˇcet iterac´ı. Systémy iterovaných funkc´ıtvoˇr´ıvelmi d˚uleˇzitouskupinu lineárn´ıch deterministických fraktál˚u, kterémaj´ıv poˇc´ıtaˇcovégrafice v´ıce uplatnˇen´ı.Praktickýnávod jak pouˇz´ıvat IFS pro generován´ı rastrových textur je v Barnsleyho knize Fractals Everywhere [3]. IFS se skuteˇcnˇepro tuto ˇcinnost pouˇz´ıvaj´ıi v bˇeˇzných aplikac´ıch, jako napˇr.poˇc´ıtaˇcovéhry, nebo v aplikac´ıch slouˇz´ıc´ıch k tvorbˇeproceduráln´ıch tˇeles. Pro tvorbu rastrových obrázk˚uexistuje plugin IFS Composer, pro editor GIMP. Detailn´ı popis vyuˇz´ıt´ı IFS viz je moˇznonaj´ıt na webových stránkách Root.cz [25], d´ılXXX a dále a samozˇrejmˇev knihách Michaela Barnsleyho [3, 2]. Ve skupinˇeIFS fraktál˚uje moˇznénalézt útvary charakteristicképro jinéskupiny fraktál˚u napˇr.Sierpinskéhokobereˇcek, obrázek 3.10 nebo Mengerovu houbu, viz obrázek 3.11. IFS, kteréjsou generalizac´ı Rhamovy kˇrivky [22], m˚uˇzeme rozdˇelit podle výslednéhovzhledu, kdy dostávámevˇetˇsinou vzhled bl´ızkýrostlinám, napˇr. obrázek 3.9, nebo vizuálnˇeatraktivn´ıtzv. Fractal Flames popsanév kapitole 3.3.3.

Obr´azek 3.9: Kapradina vygenerovan´aIFS

20 Druhou moˇznost´ıjak IFS kategorizovat m˚uˇzebýt jejich rozdˇelen´ıpodle pouˇzitéhoge- neruj´ıc´ıho algoritmu. Nˇekteréjsou popsány v kapitole 5, napˇr.:

• Algoritmus náhodnéprocházky (Random Walk Algorithm),

• Deterministick´yalgoritmus (Deterministic Iteration Algorithm),

• Algoritmus pro generov´ani minima pixel˚u(Minimal Plotting Algorithm).

Výhodnost uspoˇradán´ıtransformac´ıdo IFS systému vyústilave vznik nového grafického formátu FIF, kterývyuˇz´ıváIFS komprimaci a dosahuje lepˇs´ıch výsledk˚uneˇzbˇeˇznˇepo- uˇz´ıvanýformátJPEG. FIF formátvˇsak nen´ı pˇr´ıliˇsrozˇs´ıˇren pro svou vysokou výpoˇcen´ı nároˇcnost, zejména pˇri komprimaci (aˇznˇekolik ˇrád˚uproti JPEG). Nen´ıproto vhodnýpro pouˇzit´ıkompresn´ıho algoritmu ve spotˇrebn´ıelektronice. Dalˇs´ımfaktorem hovoˇr´ıc´ımproti ˇsirˇs´ımu vyuˇzit´ıformátuFIF jsou patenty chrán´ıc´ıpostup hledán´ıtransformac´ı, kterévlastn´ı M. Barnsley a jeho spolupracovn´ıci. Oproti tomu dekompresn´ıalgoritmy jsou volnˇeˇsiˇritelné. Systémy iterovaných funkc´ıjsou mnoˇziny zobrazen´ıv rovinˇeˇciprostoru a IFS fraktál je pak popsánnˇekolika zobrazen´ımi[25, 3] oznaˇcovanými φ1, . . . , φn. Tyto zobrazen´ıtvoˇr´ı mnoˇzinuzobrazen´ı Φ, kteráobsahuje jednotlivápouˇzitázobrazen´ı.Vˇetˇsinou jde o lineárn´ı transformace (posun, zkosen´ı,zmˇenamˇeˇr´ıtka atd.), nˇekdy se vˇsak pouˇz´ıvaj´ıtaké nelineárn´ı transformace (napˇr.ohyb, zkrut, . . . ). V IFS se objevuje pojem “pevného bodu” (tj. takový,kterýse aplikac´ınˇejakéfunkce f mapuje sámna sebe), jeˇzje výchoz´ım bodem pro generován´ısystému iterovaných funkc´ı. Základn´ımi transformacemi jsou kontrakce (zkracuje vzdálenostimezi body) a expanze (zvˇetˇsen´ıvzdálenostimezi body), aˇckoliv expanze je vyuˇz´ıvánaménˇe.Pro danou transformaci existuje právˇejeden pevnýbod. IFS mohou býtdefinovany jakýmkoliv pros- torem, kterýmádefinovánpojem vzdálenosti [25].

21 3.3.1 Sierpinskéhokobereˇcek Sierpinskéhokobereˇcek, obrázek 3.10, je rovinnýfraktál,kterýjako prvn´ıpopsal Waclav Sierpinski v roce 1916. Je to jedna z generalizac´ıCantorovy mnoˇziny do dvourozmˇerného prostoru. Sierpinsky ukázal, ˇzeje to univerzáln´ıkˇrivka, ve kteréjakýkoliv 1D graf zobrazený do 2D plochy je homeomorfn´ıs urˇcitoupodmnoˇzinou kobereˇcku. Tento útvar je modifikac´ıSierpinského trojúheln´ıku, kterýgenerovanýL-systémem zná- zorˇnuje obrázek 3.4. Základn´ımtvarem nam´ıstotrojúheln´ıkuje pouˇzitˇctverec. Konstrukce se provád´ıtak, ˇze se jednotkovýˇctverec rozdˇel´ına devˇet stejných d´ıl˚ua odstran´ıse prostˇredn´ız nich. Stejnýmzp˚usobem se postupuje s osmi zbývaj´ıc´ımiˇctverci do nekoneˇcna (v pˇr´ıpadˇeprogramu do maximáln´ıho poˇctu iteraˇcn´ıch krok˚u).Hausdorffova log 8 dimenze (vzorec 2.5) útvaru D = log 3 ≈ 1, 8928. Sierpinskéhokobereˇcek mánekoneˇcnˇe velkýobvod, avˇsak nekoneˇcnˇemalou plochu.

Obrázek 3.10: Sierpinskéhokobereˇcek vygenerovanýIFS

3.3.2 Mengerova houba Mengerova houba byla poprvépopsánaKarlem Mengerem v roce 1926. Je zobecnˇen´ımSier- pinského koberce v trojrozmˇernémprostoru a zachovávási jeho vlastnosti (je univerzáln´ım objektem pro vˇsechny kˇrivky a grafy). Mengerova houba vznikápostupným dˇelen´ımkrychle vˇzdyna 27 menˇs´ıch krychl´ı,vˇzdy se odebere 7 krychl´ı,kterése nacházej´ıuprostˇred stˇen a uvnitˇrkrychle. Tento postup se opakuje do nekoneˇcna.Prvn´ıˇctyˇri iterace znázorˇnuje obrázek 3.11. Poˇcet krychl´ınar˚ustá s mocninou 20n, kde n je poˇcet iteraˇcn´ıch krok˚u.Mengerova houba mánekoneˇcnˇevelký log 20 povrch, ale nekoneˇcnˇemalýobjem. Jej´ıHausdorffova dimenze (vzorec 2.5) D = log 3 ≈ 2, 726833 .

22 Obr´azek 3.11: Mengerova houba

3.3.3 Fractal Flames Tuto skupinu fraktál˚unedávno pojmenoval Scott Draves [5]. Jednáse o generalizaci IFS, kterábyla vytvoˇrena s ohledem na vizuáln´ıkvalitu výsledných obrázk˚u, napˇr.obrázek 3.12. Menˇs´ıd˚uraz je kladen na matematickou ˇcistotualgoritmu [25].

Obr´azek 3.12: Fractal Flame

Oproti klasickýmIFS jsou pouˇz´ıvány pouze nˇekteréfunkce, zejména nelineárn´ı.Závislost svˇetlosti pixelu v obrazci pˇrijeho “zásahu” je logaritmickáa pˇrivykreslován´ıse vyuˇz´ıvá symetrie. U tohoto druhu fraktál˚uje rozˇs´ıˇrenaskupina IFS o dalˇs´ıfunkce [25, 5]. Pro oba druhy (IFS i “flame”) se ke generován´ıpouˇz´ıváalgoritmus náhodnéprocházky(RWA viz kapitola 5.3.1), j´ımˇzse na jednotlivébody vyb´ıraj´ıa aplikuj´ıtransformace. Tyto transformace jsou vˇsakoproti IFS sloˇzenéz jednoduchélineárn´ıa sloˇzitˇejˇs´ınelineárn´ıfunkce zvané variace.

23 Oznaˇcen´ıfunkce V´yraz P˚uvodn´ın´azev

V0(x, y) (x, y) linear

V1(x, y) (sin x, sin y) sinusoidal x y V2(x, y) ( r2 , r2 ) spherical

V3(x, y) (r cos(Θ + r), r sin(Θ + r)) swirl

V4(x, y) (r cos(2Θ), r sin(2Θ)) horseshoe Θ V5(x, y) ( π , r − 1) polar

V6(x, y) (r sin(Θ + r), r cos(Θ − r)) handkerchief

V7(x, y) (r sin(Θr), −r cos(Θr)) heart sin(πr) cos(πr) V8(x, y) (Θ π , Θ π ) disc cos Θ+sin r sin Θ−cos r V9(x, y) ( r , r ) spiral sin Θ V10(x, y) ( r , r cos Θ) hyperbolic

V11(x, y) ((sin Θ)(cos r), (cos Θ)(sin r)) diamond 3 3 V12(x, y) (r sin (Θ + r), r cos (Θ − r)) ex √ Θ √ Θ V13(x, y) ( r cos( 2 + Ω), r sin( 2 + Ω)) julia 2r V16(x, y) ( (r+1) (x, y) ﬁsheye

V20(x, y) (cos(πx) cosh(y), − sin(πx) sinh(y)) cosine

Tabulka 3.3: Variace pro Fractal Flame

Nelineárn´ıfunkce zp˚usobuj´ı,ˇzese ve výslednémfraktáluˇcasto objevuj´ıˇcásti ve tvaru spirál, vln atd. Jako dalˇs´ıse pouˇz´ıvásymetrie, at’ uˇzstˇredovánebo osová. Obarvován´ıpixel˚uje oproti IFS pozmˇenˇenotak, aby byly zvýraznˇeny zaj´ımavéˇcásti fraktálu. Mezi barevnost´ı a poˇctem “zásah˚u”pixel˚uje logaritmickázávislost. Moˇznéje i obarven´ıpodle pouˇzitétransformace. Prostor obrázkuje rozˇs´ıˇreno tˇret´ırozmˇer,pˇredsta- vuj´ıc´ıindex do barevnépalety ˇci odst´ın barvy. V klasických IFS je transformaˇcn´ımatice A tvoˇrenaˇsesti koeficienty (ai, bi, ci, di, ei, fi). U Fractal Flame je pˇridána nelineárn´ıfunkce. Draves zavedl afinn´ıfunkci 3.16 [5], kde Vj je právˇevariac´ı,kterámˇen´ıvzhled fraktálu specifickýmzp˚usobem.

Fi(x, y) = Vj(aix + biy + ci, dix + eiy + fi) (3.16)

Pˇr´ıklady variac´ı Vj, jeˇznavrhl Scott Draves, jsou uvedeny v tabulce 3.3. Jednáse o kom- binace napˇr.goniometrických funkc´ıa jsou oznaˇcovány Vn(x, y), kde n nabýváhodnot 0 aˇz20 [25, 5]. Významsymbol˚uv tabulce 3.3 je následuj´ıc´ı: r = px2 + y2 y Θ = arctan( x ) Ω = 0 nebo π (na základˇenáhodného ˇc´ısla).

24 Dalˇs´ımodifikac´ızavedenou Scottem Dravesem je jiˇzvýˇsezm´ınˇenálogaritmickázávislost barvovéintenzity pixel˚una poˇctu jejich zásah˚u. T´ımto je dosaˇzeno zvýraznˇen´ıi tˇech ˇcást´ı fraktálu, kteréby byly pouˇzit´ım lineárn´ı závislosti pˇr´ıliˇstmavé. Taképˇrekryt´ı svˇetlého motivu tmavˇs´ımnezp˚usob´ıjeho “zmizen´ı” [25, 5]. Pˇri poˇctuzásah˚unapˇr. 1000 (svˇetlejˇs´ı) a 100 (tmavˇs´ı)je pˇri pˇrekryt´ıobrazc˚upoˇcet zásah˚uroven 1100, pˇrilogaritmován´ıje vˇsak rozd´ıl v hodnotˇemezi log 1000 a log 1100 malýa tud´ıˇzi výslednábarva se liˇs´ıjen velmi málo.Logaritmickéobarvován´ıumoˇzˇnuje odliˇsen´ınepˇr´ıliˇsrozd´ılných intenzit v jednéˇcásti obrazce od ˇrádovˇemenˇs´ıch intenzit, avˇsak takési bl´ızkých intenzit v ˇcástijiné. T´ımto vzniká dalˇs´ıefekt - obrázkyse jev´ıtrojrozmˇerné,pˇrestoˇze jsou tvoˇreny pouze ploˇsnými variacemi. Pro ilustraci jsou uvedeny obrázky 3.12, 3.13, kde lze prostorovou iluzi pozorovat.

Obr´azek 3.13: Fractal Flame, Heart

Technika obarvován´ı pixel˚uje oproti IFS rozˇs´ıˇrena. Stále ˇcásteˇcnˇezávis´ı na pouˇzité transformaci, pˇrestoˇze se pouˇz´ıvápoˇctu zásah˚ua hustoty pixel˚u[5, 25]. I pˇreszdánlivý3D vzhled z˚ustávávnitˇrn´ıstruktura fraktál˚unepr˚uhledná.Tohoto je dosaˇzeno pˇridán´ımtˇret´ı souˇradnice k 2D transformaci. Tˇret´ısouˇradn´ıc´ıje barva pixelu (intenzita, pˇr´ıpadnˇeindex do barvovépalety). Výpoˇcet barvy se provád´ıaˇzv pr˚ubˇehu iteraˇcn´ıho cyklu. Jej´ıpoˇcáteˇcn´ıintenzita, ˇci index c, je zvolena náhodnˇev rozsahu 0 aˇz1. V kaˇzdémkroku se pak provád´ıpˇrepoˇcet barvy c + ci nebo intenzity podle vztahu c = 2 , coˇzmáza následek, ˇze nejv´ıce pouˇz´ıvanétransfor- mace nejv´ıceovlivn´ıbarvu pixelu. Výslednábarva je souˇctem barvy novˇevygenerovaného pixelu s barvou pˇredchoz´ıa vznikaj´ıtakto postupnébarevnépˇrechody zp˚usobené“pamˇet´ı systému”. Symetrie u tohoto druhu fraktáluje vyuˇz´ıvánapomˇernˇeˇcasto. Mus´ıvˇsak býtpouˇzito vhodných prostˇredk˚u, jinak docház´ı ke “ztrátˇe” barevnosti výsledného obrazce, jak lze vidˇet na obrázku 3.14 [5]. Barvy jsou zpr˚umˇerovány a t´ımto ztrác´ıfraktálna svépestrosti. Reˇsen´ımtohotoˇ problému je ponechán´ıp˚uvodn´ıbarvy pixelu i po aplikaci funkc´ısymetrie.

25 Volba vhodnésymetrie se provád´ınejˇcastˇejipo výpoˇctusouˇradnic pixel˚u[25], kdy jsou vykresleny kopie pixelu v pozic´ıch osovˇeˇcistˇredovˇesoumˇerných s p˚uvodnˇevypoˇcteným pixelem. Dalˇs´ımoˇznost´ıje výbˇervhodných funkc´ıpˇrivýpoˇctu fraktálu.Tato moˇznostse vyuˇz´ıváˇcastˇejikv˚uli pˇrirozenˇejˇs´ımu vzhledu, protoˇze je v tomto pˇr´ıpadˇesymetrie ménˇe dokonalá.Osovásymetrie spoˇc´ıváve zmˇenˇeznaménka jednéze souˇradnic, stˇredovásymetrie se provád´ıaplikac´ıfunkce, kteráprovede rotaci bodu kolem poˇcátku souˇradnéhosystému. Pravdˇepodobnost aplikac´ısymetrických funkc´ıby mˇela býtrovna souˇctupravdˇepodobnost´ı ostatn´ıch funkc´ı[5, 25].

Obr´azek 3.14: Nevhodnˇeoˇsetˇren´asymetrie

Fractal Flame dosud nenaˇsel svéuplatnˇen´ıv nˇekterémz technických obor˚u, vyuˇz´ıváse pˇredevˇs´ımpro svou vizuáln´ıefektnost výhradnˇek dekorativn´ımúˇcel˚um.

26 3.4 Stochastickéfraktály(nepravidelnéfraktály)

Dalˇs´ı velkou skupinou jsou fraktály stochastické.Zat´ımco vˇsechny pˇredchoz´ı typy byly v urˇcitém smyslu symetrické, nepravidelnéfraktályvnáˇsej´ıpˇrigenerován´ıfraktálu do algoritmu náhodu a jsou pouze tzv. sobˇepˇr´ıbuzné [25]. Tento typ fraktál˚utakéumoˇzˇnuje nejlepˇs´ıpopis pˇr´ırodn´ıch objekt˚u. Pˇrigenerován´ıtvar˚urostlin klasickýmiL-systémy nebo IFS systémy je výsledek perfektnˇesymetrický, avˇsakve skuteˇcnosti je tomu zcela jinak. Strom rostouc´ıv pˇr´ırodˇemánepravidelnédélky a tlouˇst’ky vˇetv´ı,úhel r˚ustu takénen´ıvˇzdy stejný,strom rostouc´ıv lese májinýtvar neˇztentýˇzstrom rostouc´ıosamocenˇeapod. Proto je vhodnépˇrigenerován´ı fraktál˚uuplatnit prvky náhody. Zp˚usob,jakýmse náhodnost bude pod´ılet pˇrigenerován´ıfraktál˚u,bude vˇzdyurˇcovat tvar fraktálui jeho Hausdorffovu dimenzi. Pro generován´ınáhodných ˇc´ısel se pouˇz´ıvánapˇr´ıklad Gaussovskýgenerátornebo generátorb´ılého ˇsumu. Náhodnéfraktálylze vytváˇretv´ıcezp˚usoby. Prvn´ızp˚usobspoˇc´ıváv simulaci Brownova pohybu v ploˇse nebo v prostoru. Druhýzp˚usobspoˇc´ıváv pouˇzit´ı metody pˇresouván´ı stˇredn´ıho bodu a tˇret´ımoˇznost´ıje vyuˇzit´ıspektráln´ısyntézy.

3.4.1 Simulace Brownova pohybu Simulace Brownova pohybu vytváˇr´ıfraktáln´ıobjekt, jehoˇzHausdorffova dimenze je úmˇerná absolutn´ı velikosti zmˇeny pˇrijednom kroku iterace. Tato metoda se pouˇz´ıvánapˇr´ıklad pˇri generován´ıtok˚uˇrek, nen´ıvˇsak vhodnápro trojrozmˇernéobjekty ze stejnéhod˚uvodu, jakývedl k problém˚umu trojrozmˇerných systém˚uiterovaných funkc´ı IFS [12, 25, 24]. Vytvoˇrenýmodel se skládáz jednotlivých bod˚ua dneˇsn´ıgrafickéakcelerátoryjsou sp´ıˇse optimalizovány na vykreslován´ıtrojúheln´ık˚ua dalˇs´ıch ploˇsných entit. Takévytváˇren´ıobraz˚u difúze je zaloˇzeno na Brownovˇepohybu.

Simulace difúze Simulace difúzeje minimálnˇevyuˇz´ıvanámetoda [25], kteráje vˇsakschopna vytváˇretsloˇzité pˇr´ırodn´ıútvary. Nejˇcastˇeji se jednáo modely strom˚u,keˇr˚u,trávy. Prostorovéútvary ge- nerovanétouto metodou charakterizuje ˇcásteˇcnásobˇepodobnost a velkátvarovásloˇzitost. Rostlinu vygenerovanou simulac´ıdifúze lze vidˇetna obrázku 3.15. Schopnosti metody rozˇsiˇruje novámetoda návrhu omezuj´ıc´ıch podm´ınek pro generován´ı prostorových fraktál˚u, kteráje uvedena na Root.cz [25]. Omezuj´ıc´ı podm´ınky definuj´ı charakteristiku vytváˇrených útvar˚u, kdeˇzto parametry algoritmu ovlivˇnuj´ıcelkovývzhled modelu, jeho hustotu, ale takéjeho tvar. Vygenerované útvary jsou sloˇzeny z oriento- vaných elementárn´ıch prvk˚uplochy, ˇci neorientovaných bod˚u,nacházej´ıc´ıch se v prostoru E3 (ˇcástice) nebo v ploˇse E2 (body, po pˇrepoˇctupixely). Dimenze tˇechto fraktál˚use m˚uˇze pohybovat od jednédo tˇr´ı. Metoda nen´ıvyuˇz´ıvána pro tvorbu pˇr´ırodn´ıch tˇeles z následuj´ıc´ıch d˚uvod˚u[25]:

• Vytváˇren´ımodelu je sice algoritmicky jednoduché,avˇsakˇcasovˇevelmi nároˇcné. Ca-ˇ sovou sloˇzitostlze minimalizovat omezen´ımprostoru, v nˇemˇzse novébody vytváˇrej´ı.

• Fraktálje tvoˇren mnoˇzinou jednotlivých bod˚unebo ploˇsekbez vzájemných vazeb. Pˇrevod tˇechto primitiv je obt´ıˇzný,jelikoˇzvznikávelkémnoˇzstv´ıpolygon˚u,kteréje nutno vykreslit.

27 Obrázek 3.15: Rostlina vygenerovanápomoc´ısimulace difúze

Pomoc´ısimulace difúzeje moˇznovygenerovat mnoho zaj´ımavých obrázk˚us fraktáln´ı strukturou. Metoda je zaloˇzena na pohybu ˇcástic v omezeném nebo neomezenémprostoru [25]. Z pevných bod˚uv rovinˇeˇci prostoru postupnˇe“vyr˚ustaj´ı”dalˇs´ıbody, kterélze k jiˇz vytvoˇrenému útvaru pˇridávat dvˇemazp˚usoby:

• Cásticeˇ se vytvoˇr´ı na náhodnémm´ıstˇea simuluje se jej´ı dalˇs´ı pohyb v prostoru vyhrazeném pro fraktál.Pokud se ˇcástice dotkne jiˇzexistuj´ıc´ıˇcástiútvaru, pˇripoj´ı se k nˇemu a vygeneruje se dalˇs´ıˇcástice. Princip vycház´ı z Brownova pohybu, viz obrázek 3.16.

• Na náhodných m´ıstech se postupnˇevytváˇrej´ı statickéˇcástice. Pokud se dotknou stávaj´ıc´ıho útvaru, jsou k nˇemu pˇripojeny, jinak zaniknou. Tato technika nen´ıplnˇe v souladu s Brownovýmpohybem, vytváˇren´ımnových ˇcásticse aproximuje trajektorie jednéˇcástice, avˇsakpouze v nˇekterých ˇcasových bodech pohybu.

Urychlen´ısimulace difúze Urychlen´ımetody simulace difúzeje vhodnékv˚uli n´ızkéefektivnosti jej´ıho provádˇen´ına poˇc´ıtaˇc´ıch. Zobrazen´ıfraktálumetodou popsanou výˇse je ˇcasovˇenároˇcné.Kratˇs´ıdoby pro- cesu generován´ılze dosáhnout omezen´ımprostoru, ve kterémjsou vytváˇreny novébody. D˚uvodem je zvýˇsen´ıpravdˇepodobnosti dotyku novéˇcástice s existuj´ıc´ımobrazcem [25]. Pro vytváˇren´ıstrom˚ua keˇr˚use omezen´ıprostoru realizuje pomoc´ıosovˇeorientovaného kvádru. Jeho pozice se postupnˇemˇen´ı,vˇetˇsinouse posouvávzh˚uru od základny po vygene- rován´ıdostateˇcnéhopoˇctu ˇcástic. Kvádrje dálemoˇzno dˇelitna podoblasti, kterése mohou pˇrekrývat v závislosti na poˇzadovaném výsledku. Dalˇs´ı moˇznost´ı urychlen´ı urychlen´ı výpoˇctuje diskretizace prostoru pro generován´ı ˇcástic. M´ıstospojitéplochy ˇciprostoru je pouˇzitapevnˇedanámˇr´ıˇzka. Souˇradnice i, j, k pak plnˇeurˇcuj´ıpozici ˇcásticev mˇr´ıˇzce. Vzdálenost dvou bod˚upˇrejde v urˇcen´ınejmenˇs´ıho poˇctu

28 Obrázek 3.16: Difúzevygenerovanáz jednoho bodu

bunˇekmezi nimi, coˇzje znaˇcnˇerychlejˇs´ıneˇzvýpoˇcet Euklidovskévzdálenostive spojitém prostoru. Dotyk ˇcástics vygenerovaným útvarem m˚uˇzebýtd´ıkydiskretizaci prostoru ˇreˇsen pouze jako testován´ınejbliˇzˇs´ıho okol´ıbodu podle toho, zda se nacház´ımev rovinˇeˇciprostoru. V rovinˇese testuje ˇctyˇrokol´ınebo osmiokol´ıbodu, v prostoru pak ˇsestiokol´ı, osmnáctio- kol´ıˇci 26 sousedn´ıch bod˚u, podle toho v kolika indexech se liˇs´ısouˇradnice novéhobodu a testovaných bunˇek.

3.4.2 Metoda pˇresouván´ıprostˇredn´ıho bodu Metoda pˇresouván´ıprostˇredn´ıhobodu (Midpoint Displacement Method, MDM) patˇr´ımezi typickémetody generován´ıstochastických fraktál˚uploˇsných i prostorových. V poˇc´ıtaˇcové grafice se velmi ˇcasto pouˇz´ıvák vygenerován´ıtakzvanéhovýˇskovéhopole (height field) a následnévizualizaci pˇr´ırodn´ıkrajiny. Volbou maximáln´ıodchylky ∆, kteráurˇcuje Hausdorf- fovu dimenzi vytvoˇrenékrajiny pˇriposunu prostˇredn´ıhobodu, lze mˇenit celkovýrázpovrchu od zvlnˇenékrajiny aˇzpo velehory s rozeklanýmivrcholky, viz obrázek 3.17. Rozˇs´ıˇren´ımje moˇzno touto medotou generovat reálnˇevypadaj´ıc´ımraky [12, 25, 1], pˇr´ıpadnˇemodifikac´ı algoritmu na ploˇsnýlze generovat obrazce zvanéplazma [20].

29 Obr´azek 3.17: Krajina - pˇresouv´an´ıprostˇredn´ıho bodu

Nejjednoduˇsˇs´ıaplikac´ıMDM je aplikace postupu na úseˇcku. Pˇr´ıklad dˇelen´ı,ilustrovaný obrázkem 3.18, lze slovnˇepopsat takto [25, 14]:

• mˇejme horizont´aln´ı´useˇcku,

• pro zadan´ypoˇcet iterac´ı imax opakujeme:

i – nalezneme prostˇredn´ıbod Ps kaˇzdéúseˇcky (segmentu) v útvaru, i – posuneme prostˇredn´ıbod Ps ve vertikáln´ımsmˇeruo náhodnou hodnotu udanou koeficientem ∆i, – zredukujeme koeficient ∆i pro pˇr´ıˇst´ıiteraci.

Obr´azek 3.18: MDM - 9 iterac´ıdˇelen´ı´useˇcky

Zmˇena ∆ Hurstovýmexponentem D´ıky tomu, ˇze se v kaˇzdémkroku sniˇzuje rozptyl hodnot koeficientu ∆, zmenˇsuj´ıse také rozd´ıly mezi posunut´ımprostˇredn´ıch bod˚uúseˇcek, coˇzúst´ıv relativnˇemalou variabilitu

30 vygenerovaných kˇrivek s Hausdorffovou dimenz´ı D = 1, 5. Aby bylo moˇznénastavit D pˇred výpoˇctem, je vhodnémodifikovat MDM následuj´ıc´ımzp˚usobem [25, 13]:

• generátornáhodných ˇc´ısel je tˇrebazmˇenit na generátors Gaussovskýmrozloˇzen´ım, nejˇcastˇeji výpoˇctem pr˚umˇerunˇekolika náhodných ˇc´ısel,

• obrazy s r˚uznou D vyˇzaduj´ızmˇenu rozptylu v Gaussovˇerozloˇzen´ı.Vztah pro rozptyl 2 2 2H(i+1) i-téiterace je σi = σ /(2 ), kde H je Hurst˚uv exponent [12], kterýurˇcuje Haus- dorffovu dimenzi: D = 2 − H.

Rekurzivn´ıdˇelen´ıˇctverce Metoda pˇresouván´ıprostˇredn´ıho bodu m˚uˇze býtpouˇzita takéna ploˇsnýútvar, kdy se pˇri rekurzivn´ım dˇelen´ı posouvaj´ı krajn´ı body ˇctverce v kolmémsmˇeru.Nejˇcastˇejˇs´ı varianta vyuˇz´ıvanáv praxi spoˇc´ıváv tom, ˇze se v kaˇzdém kroku vypoˇc´ıtaj´ıvýˇskybod˚uv polovinˇe hran ˇctverce a z nich pak výˇska stˇredu ˇctverce. Stˇredje potéposunut o náhodnou hodnotu a vznikaj´ıˇctyˇri ˇcásti,kteréjsou dáledˇeleny [14, 20, 25]. Vyuˇzit´ıtato technika nacház´ıpˇrigenerován´ıvýˇskových map terénu. Takélze vytváˇret obrázky, kteréjsou nazývány plazma, viz 3.19. Plazma se tvoˇr´ıtak, ˇzeˇctverec je nahrazen obrázkem, kde pozice kaˇzdéhopixelu odpov´ıdásouˇradnic´ımbodu v rovinˇe xy a barva pixelu odpov´ıdásouˇradnici z. Generován´ıpostupnˇeˇctverec dˇel´ına ˇctvrtiny a konˇc´ıv okamˇziku, kdy zbývaj´ıˇctverce o velikosti jednoho pixelu.

Obr´azek 3.19: Plazma

Obrázkyplazmy vytvoˇrenéMDM vypadaj´ırealisticky. Jak je patrnéna obrázek 3.19, u prvn´ıch iterac´ıdˇelen´ıˇctverce vznikaj´ına hranic´ıch svisléa vodorovnébarevnépˇrechody. Na niˇzˇs´ıch úrovn´ıch jiˇznejsou patrnékv˚uli sniˇzován´ı hodnoty koeficientu ∆. Pˇrechody vznikaj´ız d˚uvodu posouván´ıpouze prostˇredn´ıho bodu ˇctverce a ponechán´ımstˇred˚ujeho hran na p˚uvodn´ıpozici kv˚ulichybˇej´ıc´ıminformac´ım o následuj´ıc´ımdˇelen´ısousedn´ıch ˇctverc˚u.

31 Na odstranˇen´ı nebo potlaˇcen´ı barevných pˇrechod˚uexistuje nˇekolik metod. Obvykle spoˇc´ıvaj´ıv odliˇsnémdˇelen´ıˇctverce stˇr´ıdavˇepo úhlopˇr´ıˇckách a vodorovných nebo svislých hranách napˇr.diamanto-ˇctvercovýalgoritmus (diamond-square algorithm [14]). Zaj´ımavou metodou uvád´ıPavel Tiˇsnovský[25]. Jde o iterativn´ıgenerován´ır˚uznˇeorientovaných pˇr´ımek a dalˇs´ıúpravu rozdˇelenéhoobrazu následuj´ıc´ımzp˚usobem:

• intenzitu vˇsech pixel˚uleˇzic´ıch nalevo od pˇr´ımky sniˇz o jedniˇcku, • intenzitu vˇsech pixel˚uleˇz´ıc´ıch napravo od pˇr´ımky zvyˇs o jedniˇcku.

Pro dosaˇzen´ıuspokojivéhovýsledkuje tˇreba generovat pˇr´ımky a mˇenit intenzitu v mnoha cyklech, obvyklýpoˇcet opakován´ı je 1000 - 10 000 iterac´ı. Barevnýpˇrechod pak nen´ı viditelný, ale vygenerovanýobrázek je tˇreba normalizovat, aby nejménˇeintenzivn´ıpixe- ly byly ˇcernéa naopak nejintenz´ıvnˇejˇs´ıpixely byly b´ılé. Plazma vytvoˇrenátouto metodou je na obrázku 3.20.

Obrázek 3.20: Plazma vytvoˇrenágenerován´ım pˇr´ımek

3.4.3 Spektráln´ısyntéza Spektráln´ısyntéza je ˇcasto pouˇz´ıvanou metodou, kterávycház´ız principu výpoˇctuFou- rierovy ˇrady. Metoda spoˇc´ıváv tom, ˇze se náhodnˇevygeneruj´ıFourierovy obrazy, které maj´ıspektráln´ıhustotu úmˇernou zadanéHausdorffovˇedimenzi. Jestliˇzeje známaspektráln´ı hustota, lze naléztkoeficienty Ak a Bk a provést s nimi inverzn´ıFourierovu transformaci, viz 3.17 (pˇrevod z frekvenˇcn´ıoblasti do oblasti ˇcasové).

X(t) = Σ(Ak cos(kt) + Bk sin(kt)) (3.17) Spektr´aln´ıhustotu je moˇzno vypoˇc´ıtatpomoc´ıvztahu 3.18: 1 S(f) = lim |X(u)|2 (3.18) T →∞ T

32 Spektráln´ıhustota S(f) pro zlomkovitýBrown˚uvpohyb je úmˇernáhodnotˇe1/f β. Ko- eficient β je ve vztahu s Hurstovýmkoeficientem [12] a sice β = 2H + 1. Pro poˇzadovanou Hausdorffovu dimenzi D je moˇznovypoˇc´ıtat β a následnˇespektráln´ıhustotu 3.18, která mus´ıodpov´ıdat hodnotˇe1/f β [25]. Fourierovy obrazy danéspektráln´ıhustoty je moˇzné z´ıskat generován´ımkoeficient˚u Ak a Bk tak, aby vyhovovaly vztahu 3.19: 1 E(A2 + B2) ∼ (3.19) k k kβ Rozˇs´ıˇren´ımmetody spektráln´ıhustoty do dvourozmˇernéhoprostoru je moˇznéopˇet generovat plazmu, pˇr´ıpadnˇevýˇskovépole, ˇcehoˇzse vyuˇz´ıvápˇrigenerován´ımodel˚ukrajiny (obrázek 3.21) ˇcipovrch˚uplanet. Dalˇs´ımrozˇs´ıˇren´ımo jednu dimenzi vznikátrojrozmˇerná mˇr´ıˇzka, ve kteréjednotlivévoxely mohou vyjadˇrovat hustotu prostoru na jejich souˇradnic´ıch. T´ımto zp˚usobem je pak moˇzno generovat modely reálnˇevypadaj´ıc´ıch mrak˚u 3.22 [12, 25, 24, 14, 1].

Obrázek 3.21: Krajina - spektráln´ısyntéza

Obr´azek 3.22: Frakt´aln´ıoblaka

33 Kapitola 4

Frakt´aly v praxi

Poznatky z´ıskanéfraktáln´ıgeometri´ıjsou postupnˇezavádˇeny do praxe, kde naˇsly vyuˇzit´ı v biologii, chemii, medic´ınˇea samozˇrejmˇev poˇc´ıtaˇcovégrafice. V dneˇsn´ım modern´ımsvˇetˇe se setkávámes fraktály velmi ˇcasto, ikdyˇzsi nemus´ımebýt vˇedomiskuteˇcnosti,ˇzese na fraktáld´ıvámeˇcipoznatky z´ıskanéfraktáln´ıgeometri´ıvyuˇz´ıváme. V dalˇs´ım textu je uvedeno nˇekolik typických pˇr´ıkladu, kde je moˇznése s fraktály setkat, pˇr´ıpadnˇeje prakticky vyuˇz´ıt. Mnoho dalˇs´ıch aplikac´ılze naléztnapˇr. v literatuˇre [12, 11, 3, 2, 25, 22]. S rozvojem výpoˇcetn´ıtechniky lze analyzovat mnohem vˇetˇs´ıobjemy dat, kterébylo nutno pˇredt´ım zjednoduˇsovat. Tak se fraktáln´ı geometrie prom´ıtla i do obor˚ujako je ekonomie, kde je vyuˇz´ıvánapˇrianalýzegraf˚upopisuj´ıc´ıch napˇr.ceny akci´ına burze, vý- konnost ekonomiky atd. Tyto kˇrivky jsou v ekonomii nazývány Elliottovy vlny a pouˇz´ıvaj´ı se k pˇredpovˇedi vývoje trhu. V devadesátých letech se objevila Hypotézafraktálovéhotrhu, kteráje takto oznaˇcovanákv˚uli pˇredpokladu zachováván´ıstejných charakteristických rys˚u prvk˚uoperuj´ıc´ıch v tomto prostˇred´ı,ikdyˇzv jinémˇcasovémmˇeˇr´ıtku[15].

4.1 Biologie a l´ekaˇrstv´ı

V biologii a medic´ınˇese fraktáln´ı geometrie vyuˇz´ıvápˇrizkoumán´ı vlastnost´ı krve, kdy se mˇeˇr´ıHausdorffova dimenze jejich sloˇzek. Vˇedci takézkoumaj´ısouvislost Hausdorffovy dimenze povrchu mozku a inteligence ˇclovˇeka. Pˇri zkoumáni signáluEKG byly zaznamenány nepravidelnosti srdeˇcn´ıhorytmu typické pro nelineárn´ıdynamickésystémy. Na základˇepoznatk˚ufraktáln´ıgeometrie byly vyvinuty chaotickéfiltry, kterédokáˇz´ı odliˇsitsignálEKG plodu a matky od pˇr´ıpadnéhodalˇs´ıho ˇsumu. Srdeˇcn´ırytmus reaguje na ˇcinnost mozku a nervovésoustavy. Touto problematikou se zabývárelativnˇemladývˇedn´ıobor zvaný Fraktáln´ıanalýza variability srdeˇcn´ıhorytmu. Novépoznatky se diskutuj´ıpˇredevˇs´ımv odborných ˇcasopisech, na konferenc´ıch a na od- borných fórech napˇr.www.ams.org a stránkách Gerstnerovy laboratoˇre CVUT.ˇ Zaj´ımavéchován´ıje takémoˇzno vypozorovat v chován´ıˇretˇezce DNA. Na základˇeprefe- rovaných vazeb mezi sloˇzkami DNA adenin-thymin a guanin-cytosin, lze “naprogramovat” r˚ust krystalu definovaným zp˚usobem. Molekuly DNA se pak na základˇelokáln´ıch pravidel chovaj´ıjako stavebn´ıbloky pro vˇetˇs´ıglobáln´ıstrukturu [18, 19]. Pro vytvoˇren´ıSierpinského trojúheln´ık na obrázku 4.1 bylo pouˇzitoDNA s dvojitýmpˇrekˇr´ıˇzen´ım.

34 Obr´azek 4.1: Frakt´aln´ıvzor DNA

4.2 Poˇc´ıtaˇcov´agraﬁka

Nejvˇetˇs´ızastoupen´ıvyuˇzit´ıfraktáln´ıgeometrie je v oboru poˇc´ıtaˇcovégrafiky. Fraktályzde naˇslyuplatnˇen´ıv mnoha oblastech potˇrebných pro prácis informacemi. Komprese dat je typickou oblast´ıvyuˇzit´ısystém˚uiterovaných funkc´ı,viz kapitola 3.3 a literatura [3, 2, 17, 16]. Dále lze fraktáln´ımi technikami generovat textury, kteréjsou pamˇet’ovˇevelmi nenároˇcné(mnohdy aˇz10x menˇs´ı objem dat) a netrp´ı zkreslen´ım pˇri zvˇetˇsen´ıjako bitmapovétextury. IFS jsou vhodnéi pro kompresi dat, jelikoˇzjedna transformace je v tomto pˇr´ıpadˇezapsána pomoc´ıosmi ˇc´ısel. Tuto metodu vyuˇz´ıvágrafickýformát FIF, v´ıce informac´ıviz literatura [3, 25, 17]. Fraktáln´ıkomprese je ztrátováa dosahuje pˇri vyˇsˇs´ıch stupn´ıch vizuálnˇelepˇs´ıch výsledk˚u, aˇckoliv porovnán´ı je nesnadnéz d˚uvodu odliˇsných projev˚uztráty kvality oproti napˇr.JPEG. Pˇr´ıkladfraktáln´ırekonstrukce fotografie 4.2 pomoc´ıˇcernéplochy vid´ımena obrázek 4.3. P˚uvodn´ıobrázekbyl analyzována pomoc´ıhierarchického ˇclenˇen´ıbyly vyhledány podobné podoblasti pro jeho komprimaci [17].

Obr´azek 4.2: P˚uvodn´ıLenna

Generován´ıpseudopˇr´ırodn´ıch útvar˚ubylo zm´ınˇenou stochastických fraktál˚uv kapitole 3.4. Fraktályse uˇz´ıvaj´ı hlavnˇeke generován´ı útvar˚u,jako jsou stromy, mraky, rostliny, kameny apod. Ikdyˇzjsou tyto metody úspornˇejˇs´ına mnoˇzstv´ıpotˇrebných dat k popsán´ı

35 Obr´azek 4.3: Rekonstrukce obr´azku Lenna

útvar˚u, dosahuj´ıvizuálnˇekvalitn´ıch výstup˚u.

4.3 Frakt´aln´ıant´eny

Poznatk˚uz fraktáln´ıgeometrie se vyuˇz´ıvápˇrikonstrukci nejr˚uznˇejˇs´ıch anténn´ıch systém˚u (mobiln´ıtelefony, vys´ılaˇcky, vesm´ırnésondy atd.). Pˇri projektován´ıantén se vyuˇz´ıvásobˇe- podobnosti k maximalizaci délkyˇciobvodu materiálu, kterýje schopen vys´ılat nebo pˇrij´ımat elektromagnetickýsignálv rámci vymezenéplochy ˇciobjemu. Z d˚uvodu nˇekolikeréhoopa- kován´ı tvar˚ujsou fraktáln´ı antény velmi kompaktn´ı, pouˇzitelnépro mnoho frekvenc´ı a vyuˇz´ıvaj´ıse napˇr.v mikrovlnékomunikaci [22]. Od typu pouˇzit´ıantény se odv´ıj´ıjej´ıtvar. Anténanapˇr´ıklad m˚uˇzevypadat jako ˇcást Kochovy kˇrivky (obrázek 4.4), Sierpinského trojúheln´ık atd.

36 Obrázek 4.4: Fraktáln´ıanténa

4.4 Materi´aly

Fraktáln´ı struktura materiálubyla objevena pˇrizmˇenách skupenstv´ı látky, jako je tán´ı ledu ˇci vypaˇrován´ı vody. Z makroskopickéhohlediska existuj´ı tˇrizákladn´ı látkovásku- penstv´ı(pevné, kapalné,plynné),v nˇekterých pˇr´ıpadech se za ˇctvrtéskupenstv´ıpovaˇzuje plazma. Z mikroskopickéhohlediska je ovˇsem tˇechto stav˚umnohem v´ıce. Fraktáln´ıstruk- turu hmoty potom m˚uˇzeme vidˇetpˇripˇrechodu hmoty z jednoho stavu do druhého.Tento úkaz lze pozorovat napˇr.pˇripˇrechodu magnetickéhomateriáluna materiálnemagnetický. V mikroskopickémmˇeˇr´ıtku je sloˇzen z elementárn´ıch magnet˚u,kterév závislosti na teplotˇe urˇcuj´ı,zda se celek bude chovat jako magnet. Za n´ızkých teplot je materiálmagnetický, avˇsakvyskytuj´ıse v nˇem mikroskopickéoblasti, kde elementárn´ımagnety uspoˇrádány ne- jsou. Pˇrikritickéteplotˇe(Curierova teplota), kdy je materiálv bodˇepˇrechodu mezi stavy, vypadájeho struktura ve vˇsech mˇeˇr´ıtc´ıch stejnˇea máfraktáln´ıstrukturu [24]. Poznatky z fraktáln´ıgeometrie nacházej´ıuplatnˇen´ıi ve vojenskétechnice pˇri maskován´ı vozidel, letadel (obrázek 4.5), lod´ı atd. Fraktáln´ı vzory se objevuj´ı takéna vojenských odˇevech a zbran´ıch. Dalˇs´ı oblast´ı, kdy je vhodnéobjekt “ukrýt” pˇred zraky okol´ı, jsou stavby v krajinˇe. Po zabarven´ıfraktáln´ımvzorem se sn´ıˇz´ıvizuáln´ınaruˇsen´ıokoln´ıkrajiny.

37 Obrázek 4.5: Fraktáln´ıkamufláˇzF16

4.5 Umˇen´ıa architektura

Mnoho lid´ı, Mandelbrota nevyj´ımaje, zaujala krásafraktál˚unatolik, ˇzesi vytváˇreli fraktály pouze pro jejich vizuáln´ızaj´ımavost. Rozmach tohoto hledán´ınových podob fraktál˚unastal s érouosobn´ıch poˇc´ıtaˇc˚u.Vzniklo mnoho program˚upro generován´ıfraktáln´ıch obrazc˚u, na kterých pracovali at’ uˇzjednotlivci nebo skupiny lid´ız celéhosvˇeta. Pˇrestoˇzeje fraktáln´ıumˇen´ıspojováno s poˇc´ıtaˇci, lze fraktáln´ıvzory pozorovat ve stav- bách a obrazech mnoha autor˚u. Nejstarˇs´ıznámky fraktáln´ıch princip˚uje moˇznopozorovat jiˇzv antice. Pravidlo krásy, tzv. zlatýˇrez, dˇel´ıdélku na dvˇeˇcástitak, ˇzepomˇercelédélky k vˇetˇs´ıˇcásti je stejnýjako pomˇervˇetˇs´ıˇcásti k menˇs´ı.Ve zlatém ˇrezu lze spatˇrovat faktor sobˇepodobnosti právˇekv˚ulizm´ınˇenému pomˇeru. Dalˇs´ımpˇr´ıkladem z pozdˇejˇs´ıdoby jsou podlahy italských bazilik, viz obrázek 4.6, kdy se v mozaikách objevuj´ı vzory podobné druhéˇci tˇret´ıiteraci Sierpinskéhotrojúheln´ıku [4].

Obr´azek 4.6: Santa Prassede - podlaha

Pˇr´ıkladem vyuˇzit´ıfraktáln´ıho principu v modern´ımumˇen´ıje obraz Salvadora Dal´ıho “Tváˇrválky” (Visage de la guerre). Opakuj´ıc´ıse motiv tvoˇr´ıobliˇcej a jeho zmenˇseniny um´ıstˇenédo oˇcn´ıch dúlk˚ua úst,jak lze vidˇetna obrázku 4.7. Dále se s fraktály lze setkat v modern´ıarchitektuˇrepˇripohledu na organizaci mˇestˇciuspoˇrádán´ıstaveb.

38 Obrázek 4.7: Salvador Dal´ı- Tváˇrválky

4.5.1 Africkéfraktály Pˇr´ıkladem, kdy byla objevena fraktáln´ıpodstata dávnopˇred definován´ımpojmu fraktál, jsou tzv. Africkéfraktály[6]. Na obrázku 4.8 je leteckýpohled na vesnici Ba-ila z obdob´ı pˇred rokem 1944. Tvar vesnice odpov´ıdáfraktálu, jehoˇziterace jsou na obrázku 4.9.

Obr´azek 4.8: Africk´avesnice Ba-ila

Dalˇs´ımioblastmi, kde byl objeven vliv fraktál˚uv Africe, jsou ˇsperky a úprava vlas˚u. Fraktáln´ıvlivy je moˇzno nalézt takév Egyptskékultuˇre.

39 Obr´azek 4.9: Frakt´alvesnice Ba-ila

4.5.2 Betlémskáhvˇezda Betlémskáhvˇezdˇeje v oblasti fraktáln´ıgeometrie raritou. Vˇetˇsinazm´ınek o n´ıodkazuje na publikaci Rona Eglashe [8], kterýzkoumal prácimnicha Uda z Aachenu.

Obr´azek 4.10: Ilustrace z 13. stolet´ı

Zvláˇstn´ıho vyobrazen´ıBetlémskéhvˇezdy si povˇsiml profesor matematiky Bob Schipke. Hvˇezda vypadala jako znázornˇen´ı Mandelbrotovy mnoˇziny, jednéz ikon modern´ı doby poˇc´ıtaˇc˚u. Jej´ı sloˇzitost se dávyobrazit pouze pomoc´ı poˇc´ıtaˇc˚u,coˇzse vˇsakd´ıky kresbˇe Hvˇezdy ukázalo jako mylnádomˇenka. V´ıceo tétopozoruhodnosti uvád´ıRay Girvan na svých stránkách [8]. V pracech Uda z Aachenu pozdˇeji vˇedci nalezli jeˇstˇenˇekolik zaj´ımavost´ı. Nejd˚uleˇzitejˇs´ı na ˇclánku o Udovi je vˇsakdatum uveden´ı - 1. dubna 1999. Ray Gir- van pˇripravil apr´ılovýˇzert´ıks takovou peˇclivost´ı,ˇze po pˇreˇcten´ımˇelo mnoho odborn´ık˚u zájemo cestu do Aachenu, aby mohli spis stˇredovˇekého mnicha studovat. Girvan doc´ılil vˇerohodnosti práce uveden´ım máloznámých informac´ıa odkazy na mnoho seriózn´ıch prac´ı, jeˇzjsou v poˇrádku aˇzna neexistuj´ıc´ıpoˇcinfiktivn´ıhoprofesora Boba Schipkeho.

40 4.6 SW pro generov´an´ıfrakt´al˚u

Na internetu je k dispozici velkémnoˇzstv´ıprogram˚u, jejichˇzpomoc´ılze fraktálygenero- vat. V následuj´ıc´ıch kapitolách je popsánonˇekolik z nich, kterébyly vybrány na základˇe významu, kvalitn´ım výstup˚um, ˇci ˇsirokémoˇznosti voleb ovlivˇnuj´ıc´ıvýslednýobrazec. Nej- ˇcastˇejise jednáo programy volnˇeˇsiˇritelné.

4.6.1 FractInt FractInt je volnˇeˇsiˇritelnýprogram vytváˇrenýskupinou Stone Group, kterámáv souˇcasnosti ˇsest ˇclen˚upod´ılej´ıc´ıch se na dalˇs´ımvývoji programu. P˚uvodn´ımautorem je Bert Tyler. Jméno programu souvis´ıs t´ım, ˇzevelkémnoˇzstv´ıj´ımgenerovaných obrázk˚uvyuˇz´ıvácelo- ˇc´ıselnou (INTeger) matematiku, nam´ısto reálných ˇc´ısel bˇeˇzných u jiných program˚u. Prvn´ıverze FractIntu vydanáv záˇr´ıroku 1988 byla napsánapro procesory 386, po- uˇz´ıvala celoˇc´ıselnýalgoritmus a nepotˇrebovala matematickýkoprocesor pro matematické operace. Na poˇcátkubyl program rychle vyv´ıjen a o rok pozdˇeji jiˇzbyla k dispozici verze 9.3. V souˇcasnosti (kvˇeten2007) je nejnovˇejˇs´ıFracInt dostupnýve verzi 20.0. FracInt je ovládánpˇredevˇs´ım z pˇr´ıkazovéˇrádky, um´ı vˇsak pracovat i s dávkovými soubory. Nejnovˇejˇs´ı grafickánadstavba WinFract pro Windows je ve verzi 18.21. Starˇs´ı verzi GUI s vykresleným Ljapunovýmfraktálem lze vidˇetna obrázek 4.11. Na ovládán´ıpro- gramu myˇs´ıpˇripohybu (zoomován´ı)ve vykreslených fraktálech je tˇrebasi zvykat z d˚uvodu ponˇekudnestandardn´ıch reakc´ıoblasti výbˇeru. Usnadnˇen´ımje tzv. “Zoom bar” kterýmlze lépe vybrat oblast pro zvˇetˇsen´ı.

Obr´azek 4.11: GUI programu WinFract

41 Nab´ıdka “Fractals” obsahuje dalˇs´ıpoloˇzky s výbˇeremdruhu vykreslovaného fraktálu, nastaven´ızákladn´ıch a rozˇs´ıˇrených parametr˚uzobrazovac´ıoblasti atd. Kaˇzdýdruh fraktálu mápˇrednastaveny základn´ıparametry zaruˇcuj´ıc´ıvykreslen´ıalespoˇnzákladn´ıho tvaru na obrazovku. FracInt um´ıpracovat s velkýmmnoˇzstv´ımadaptér˚ua grafických reˇzim˚u.Nejvyˇsˇs´ınab´ı- zenérozliˇsen´ıje 1024*768, avˇsak je moˇzno jej nastavit i ruˇcnˇe. Programem lze vygenerovat i obrázkys vˇetˇs´ımrozliˇsen´ım,neˇzmáobrazovka. Tyto se pak ukládaj´ıdo pamˇetinebo na disk. Poˇcet barev je stáleomezen na 256, coˇzm˚uˇze býtv dneˇsn´ıdobˇenevýhoda pˇri vytváˇren´ıdekorativn´ıch obrázk˚u. Veˇskeréinformace o autorech a tutorialy ukazuj´ıc´ı práci s programem lze naléztna domovských stránkách http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html.

4.6.2 Fractal eXtreme Fractal eXtreme je komerˇcn´ı software vyv´ıjenýspoleˇcnost´ı Cygnus Software zaloˇzenou v roce 1985. Prvn´ımi produktem spoleˇcnosti byl v roce 1986 program MandFXP. V roce 1997 pak byl uveden na trh Fractal eXtreme, kterýje naprogramovánv C++ v kombinaci s assemblerem. Posledn´ıaktualizace programu byla v roce 2003, kdy vyˇslaverze 1.902. Na webových stránkách výrobce www.cygnus-software.com je k dispozici ke staˇzen´ıpatnácti denn´ızkuˇsebn´ıverze programu.

Obr´azek 4.12: Fractal eXtreme

Fractal eXtreme nab´ız´ınáhledvybranéhofraktáluve sn´ıˇzenékvalitˇepˇredjeho fináln´ım vykreslen´ım, aby se mohl uˇzivatel rozhodnou zda danýobrázek splˇnuje jeho poˇzadavky a

42 chce jej zobrazit nebo uloˇzitv plnékvalitˇe. V oknˇeprogramu, obrázek 4.12, je moˇznozobrazovat v´ıcefraktál˚unajednou. Zaj´ımavou vlastnost´ıje, ˇze v pˇr´ıpadˇeMandelbrotovy mnoˇziny lze zobrazit jednotlivéJuliovy mnoˇziny odpov´ıdaj´ıc´ıdanéoblasti. Dalˇs´ı zaj´ımavou moˇznost´ı je uloˇzen´ı animovaných pr˚ulet˚ufraktálem,kdy si lze ve vykreslenémvˇzdydefinovat oblast, kterábude tvoˇritdalˇs´ı pˇribl´ıˇzen´ı fraktálu. Program pak propoˇc´ıtájednotlivé“sn´ımky” výslednéanimace. Pro uloˇzen´ıanimac´ıFractal eXtreme pouˇz´ıvávlastn´ıformát,jeˇzlze pˇrehrátv programu Zoom Movie Player. Tento je zdarma a um´ıpˇrevést videa do avi sekvenc´ı.Nˇekolik vzorových “film˚u”je um´ıstˇenona webových stránkách programu.

4.6.3 XaoS XaoS je program urˇcenýke generován´ıanimac´ıfraktál˚uv reálném ˇcase. P˚uvodn´ımautorem je Jan Hubiˇcka, ke kterému se pˇridali dalˇs´ıvývojáˇri. Prvn´ıverze programu vznikla v roce 1998. V souˇcasnosti je nejaktuálnˇejˇs´ıverze 3.2.3. Výhodou XaoSe je fakt, ˇzeje napsánnejen pro Windows, ale i dalˇs´ıoperaˇcn´ısystémy jako je MacOS X, Linux a BSD, OS/2 aj. Program nab´ız´ıvolbu nˇekolika jazykových verz´ıch - anglické, ˇceské,ˇspanˇelské,mad’arskéatd.

Obr´azek 4.13: XaoS

Generován´ıfraktál˚uje rychléi ve vysokémrozliˇsen´ı.V programu je pˇredvoleno vykreslen´ı nˇekolika nejznámˇejˇs´ıch fraktál˚u(napˇr. Mandelbrotova mnoˇzina, fraktálNewton atd.). Vy- barven´ıútvaru lze mˇenitzvláˇst’ pro vnitˇrn´ıa vnˇejˇs´ıoblast, k dispozici je nˇekolik variant. Okno XaoSu s Newtonovou fraktáln´ımnoˇzinou ˇctvrtého ˇrádu je na obrázku 4.13. Zaj´ımavou

43 funkc´ıje “autopilot”, kdy program sámurˇc´ısmˇerpr˚uletu fraktálem. Na domovskéstránceprogramu http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php lze nalézt informace o programu i galerie obrázk˚u. Souˇcást´ıarchivu s programem jsou v´ıcejazyˇcné tutorialy popisuj´ıc´ınejen ovládán´ıXaoSu, ale obsahuj´ıtakéinformace o fraktálech a fraktáln´ı geometrii.

4.6.4 Apophysis Apophysis je open source editor fraktál˚utypu Fractal Flame. Program vytvoˇril Mark Townsend pro platformu MS Windows a v souˇcasnédobˇese na vývoji pod´ıl´ınˇekolik dalˇs´ıch programátor˚u. Posledn´ıdostupnáverze programu je 2.02. Program obsahuje spoustu moˇznost´ıpro vytváˇren´ıa úpravu fraklál˚u.Souˇcást´ıje i editor, ve kterémlze pˇr´ımomˇenit transformace, ze kterých se flame skládá.Okno mutac´ıobsahuje zobrazen´ınˇekolika stádi´ıvýpoˇctudaného fraktálu. Mezi jednotlivýmiverzemi lze vybrat vizuálnˇenejpˇrijatelnˇejˇs´ıa nechat ji vygenerovat ve vˇetˇs´ımrozliˇsen´ı.V nastaven´ılze zvolit barevnou paletu a pozici obrázku,pˇr´ıpadnˇepˇr´ımonapsat skript kterýbude aplikovánna fraktál.

Obr´azek 4.14: Apophysis

Vytváˇren´ıfraktál˚uv Apophysisu je pˇreváˇznˇezaloˇzenona náhodˇe.Pˇri kaˇzdém spuˇstˇen´ı se vygeneruj´ınovépˇredlohy, na kterése náhodnýmzp˚usobem aplikuje nˇejakávariace. Výbˇer variace lze ruˇcnˇemˇenit, stejnˇejako definici pˇredlohy, a z´ıskat tak pokaˇzdénovýfraktál. Na domovských stránkách www.apophysis.org je moˇzno nalézt rozsáhlousekci s tutorialy pro zaˇcáteˇcn´ıkyi pokroˇciléuˇzivatele.

44 Kapitola 5

Algoritmy pro generov´an´ıfrakt´al˚u

V následuj´ıc´ıˇcásti diplomovépráce jsou uvedeny algoritmy, jimiˇzlze generovat jednotlivé typy fraktál˚u. Nejkomplexnˇejˇs´ıinformace a pˇr´ıklady zdrojových kód˚uuvád´ıPavel Tiˇsnovsky ve svém seriáluo fraktálech zveˇrejˇnovaného na stránkách Root.cz [25]. S ohledem na aktuálnostdat pouˇzitých pro tuto práci,jsou odtud pˇrevzaty úseky zdrojových kód˚u. Vˇetˇsina informac´ıa kód˚uje pr˚ubˇeˇznˇeupˇresˇnována d´ıkypˇripom´ınkámdalˇs´ıch autor˚u.

5.1 Algoritmy dynamick´ych syst´em˚u

5.1.1 Lorenz˚uvatraktor Popis Lorenzova atraktoru je uveden v kapitole 2.4.1 a je charakterizovántˇremirovnicemi (2.7, 2.8, 2.9). Pro iterativn´ı výpoˇcet je tˇreba provést jejich úpravu, aby bylo moˇzno vypoˇc´ıtatpozice bod˚u Ps = [xn, yn, zn] v prostoru [25, 3]:

xn+1 = xn + (−a × xn × dt) + (a × yn × dt) (5.1)

yn+1 = yn + (b × xn × dt) − (yn × dt) − (zn × xn × dt) (5.2)

zn+1 = zn + (−c × zn × dt) + (xn × yn × dt) (5.3) Lorenz˚uvatraktor je narozd´ılod mnoha fraktál˚uvykreslovánv trojrozmˇerném prostoru. Za pomoci OpenGL vypadáfunkce realizuj´ıc´ıvýpoˇcet bod˚unásledovnˇe: //------// Pˇrekreslen´ıLorenzova atraktoru (p˚uvodn´ıLorenz˚uvatraktor) //------void recalcLorenz(double a, // parametry fraktálu double b, double c, double dt, // pouˇzitopˇrinumerickéintegraci int maxiter, // maximáln´ıpoˇcetiterac´ı double scale) // mˇeˇr´ıtkoobrazce { double x=0.1, y=0, z=0; // pozice bodu v prostoru double x2, y2, z2; int iter=maxiter;

45 glColor3f(1.0f, 1.0f, 1.0f); glBegin(GL_LINE_STRIP); // zaˇcátekvykreslován´ıpolyˇcáry while (iter--) { // iteraˇcn´ısmyˇcka glColor3f(x/10.0,y/10.0,z/10.0); x2 = x+(-a*x*dt)+(a*y*dt); y2 = y+(b*x*dt)-(y*dt)-(z*x*dt); z2 = z+(-c*z*dt)+(x*y*dt); x=x2; // pˇrepisnovýchsouˇradnic y=y2; z=z2; glVertex3d(x*scale, y*scale, z*scale); // vykreslen´ıúseˇcky } glEnd(); // konec vykreslován´ıpolyˇcáry }

Uvedenáverze vykresl´ıp˚uvodn´ıLorenz˚uvatraktor. Existuj´ıi dalˇs´ımodifikace algoritmu, kterélze nalézt v [25]. Jsou zde uvedeny kompletn´ıkódy p˚uvodn´ıhoi modifikovaných program˚u.

5.1.2 Juliovy mnoˇziny Seznámen´ı s Juliovýmimnoˇzinami je v kapitole 3.1.1. Tento typ fraktál˚uje generován 2 iteracemi funkce komplexn´ıparaboly zn+1 = zn + c, kde zn a c jsou komplexn´ıpromˇenné. Iteraˇcn´ıproces zaˇc´ınástartovn´ıhodnotou z0. Realizace algoritmu spoˇc´ıváve dvou vnˇejˇs´ıch cyklech, kterégeneruj´ıpoˇcáteˇcn´ısouˇradni- ce bod˚u z0, a vnitˇrn´ısmyˇcce, kde jsou tyto body iterovány. Iterace prob´ıhápostupným poˇc´ı- tán´ım z1 a z2, neˇzhodnota nˇekteréz nich pˇrekroˇc´ıhodnotu 2, coˇzje mez divergence. Pokud nen´ırozhodnuto o divergenci posloupnosti do dosaˇzen´ınastavenéhopoˇctuiteraˇcn´ıch krok˚u, je posloupnost povaˇzována za konverguj´ıc´ı.Podle poˇctukrok˚uje obarven pixel odpov´ıdaj´ıc´ı souˇradnic´ımpoˇcáteˇcn´ıho bodu z0 [12, 11, 25]. Prvn´ıpˇr´ıklad obsahuje cyklus výpoˇctuJuliovy mnoˇziny podle klasickéhopostupu. zy0=MINY; for (y=0; yheight; y++) { // pro vˇsechnyˇrádkyv pixmapˇe zx0=MINX; for (x=0; xwidth; x++) { // pro vˇsechnypixely na ˇrádku zx=zx0; zy=zy0; // nastavit poˇcáteˇcn´ıhodnotu Z(0) for (iter=0; iter4.0) break; // kontrola pˇrekroˇcen´ımeze divergence zxx=zx*zx-zy*zy+cx; // výpoˇcetZ(n+1)=Z(n)^2+C zy=2.0*zx*zy+cy; zx=zxx; } putpixel(pix, x, y, iter, iter, iter); // vykreslen´ıpixelu zx0+=(MAXX-MINX)/pix->width; // posun na dalˇs´ıbod na ˇrádku } zy0+=(MAXY-MINY)/pix->height; // posun na dalˇs´ıˇrádek }

46 V druhémpˇr´ıkladu je provedena optimalizace poˇctuoperac´ıve vnˇejˇs´ısmyˇcce dvˇema pomocnými promˇennýmizx2 a zy2, kteréobsahuj´ımocninu reálné(zx) a imaginárn´ı(zy) sloˇzky promˇennéz [25]. Z praxe vyplynulo, ˇze oproti prvn´ıuvedenémetodˇese na modern´ıch CPU nemus´ıjednat o rychlejˇs´ımetodu, z d˚uvodu odliˇsnéoptimalizace provádˇen´ıinstrukc´ı. zy0=MINY; for (y=0; yheight; y++) { // pro vˇsechnyˇrádkyv pixmapˇe zx0=MINX; for (x=0; xwidth; x++) { // pro vˇsechnypixely na ˇrádku zx=zx0; zy=zy0; // nastavit poˇcáteˇcn´ıhodnotu Z(0) for (iter=0; iter4.0) break; // kontrola pˇrekroˇcen´ımeze divergence zy=2.0*zx*zy+cy; // výpoˇcetZ(n+1) zx=zx2-zy2+cx; } putpixel(pix, x, y, iter, iter, iter); // vykreslen´ıpixelu zx0+=(MAXX-MINX)/pix->width; // posun na dalˇs´ıbod na ˇrádku } zy0+=(MAXY-MINY)/pix->height; // posun na dalˇs´ıˇrádek }

V´ıcepˇr´ıklad˚ulze nal´ezt na [25] a detailnˇejˇs´ıpopis vˇsech druh˚uJuliov´ych mnoˇzin pak obsahuj´ınapˇr.texty [3, 12, 2].

5.1.3 Mandelbrotova mnoˇzina Abychom mohli vykrestlit Mandelbrotovu mnoˇzinu, je tˇreba zjistit, kterébody do mnoˇziny nepatˇr´ı.Z d˚ukazu demonstrovanéhov [25] a na základˇerovnice definuj´ıc´ımnoˇzinu vyplývá, ˇzebody splˇnuj´ıc´ıpodm´ınku |z| > 2 do Mandelbrotovy mnoˇziny nenáleˇz´ı. Posloupnost zn pro tyto body diverguje. Generován´ıMandelbrotovy mnoˇziny spoˇc´ıváv testován´ı,zda absolutn´ıhodnota z ne- pˇrekroˇc´ıhodnotu 2. Pokud se tak stane, bod v mnoˇzinˇeneleˇz´ı.Jestliˇzeprobˇehne výpoˇcet vˇsech iterac´ı a absolutn´ı hodnota z hodnotu 2 nepˇresáhne, je bod povaˇzovánza prvek Mandelbrotovy mnoˇziny. Pˇresnost výpoˇctulze ovlivnit poˇctemiterac´ı[25, 12, 22]. Slovn´ıpopis algoritmu výpoˇctubod˚unáleˇzej´ıc´ıch do Mandelbrotovy mnoˇziny, se vstup- n´ımi hodnotami c (komplexn´ıkonstanta) a MaxIter (maximáln´ıpoˇcet iterac´ı),lze zapsat následovnˇe:

1. Nastav iteraˇcn´ıkrok iter = 0.

2. Nastav z = 0.

3. Jestliˇze je poˇcet iteraˇcn´ıch krok˚umenˇs´ıneˇzMaxIter opakuj:

• Nastav z = z2+c, • jestliˇze |z| > 2 bod neleˇz´ıv Mandebrotovˇemnoˇzinˇe, konec cyklu. • nastav iter = iter+1.

4. Bod leˇz´ıuvnitˇrMandelbrotovy mnoˇziny.

47 Pro vlastn´ıimplementaci algoritmu je tˇreba upravit parametry výpoˇctu, kv˚uli absenci datového typu komplexn´ıho ˇc´ısla ve vˇetˇsinˇejazyk˚ua pomalému výpoˇctuodmocniny. Testo- vac´ıpodm´ınka divergence pak mátvar zx ∗ zx + zy ∗ zy > 4. Pˇr´ıkladalgoritmu na výpoˇcetbod˚uMandelbrotovy mnoˇziny m˚uˇze vypadat následovnˇe [25]: int MandelbrotTest(double cx, double cy) { double zx,zy,zx2,zy2,cx,cy; // komplexn´ıpromˇennáZ int iter; // poˇcetiterac´ı

zx=0; // vynulovat komplexn´ıpromˇennouC zy=0;

iter=0; // nastavit poˇcitadloiterac´ı

do { // iteraˇcn´ısmyˇcka zx2=zx*zx; // zx^2 zy2=zy*zy; // zy^2 zy=2.0*zx*zy+cy; zx=zx2-zy2+cx; // z:=z^2+c iter++; // zv´yˇsithodnotu poˇcitadlaiterac´ı }while (iter

if (iter==maxiter) // bod leˇz´ıuvnitˇrMandelbrotovy mnoˇziny return LEZI_UVNITR; else // bod leˇz´ıvnˇeMandelbrotovy mnoˇziny return LEZI_VNE; }

Dalˇs´ımoˇznosti algoritm˚ugeneruj´ıc´ıch fraktáln´ıobrazce spolu s postupy pro obarven´ı lze nalézt napˇr.v [22, 25, 24]. Zaj´ımavýmfraktálemje takénapˇr. Newtonova fraktáln´ı mnoˇzina,avˇsakz kapacitn´ıch d˚uvod˚uje nutno odkázatna zdroje uvedenév literatuˇre.

48 5.2 Algoritmy L-syst´em˚u

Algoritmy L-systém˚ujsou ˇcastozaloˇzeny na tzv. ˇzelv´ıgrafice. Pravidla pro generován´ıjsou vˇetˇsinou pevnˇedaná,vyuˇzit´ımprvku náhody dostáváme StochastickéL-systémy. Zelvaˇ je ovládánapˇr´ıkazy pro posun a natoˇcen´ı.Symboly, kterýmije ovládánajsou uvedeny v tabulce 3.1 a v pˇr´ıpadˇepotˇreby lze tabulku doplnit o dalˇs´ıakce.

5.2.1 Kochova kˇrivka Informace o Kochovˇevloˇcce jsou uvedeny v kapitole 3.2 spolu s pˇrepisovac´ımi pravidly gramatiky, kterádemonstruj´ıpostup vytváˇren´ıkˇrivky. Pˇrivytváˇren´ıalgoritmem je nutno nastavit krok ˇzelvy tak, aby se vykreslenýobrazec vlezl do zobrazovanéoblasti. Pˇriznalosti poˇctu iterac´ızjist´ıme kolik krok˚uˇzelva provede v horizontáln´ımsmˇeru,na základˇeˇcehoˇz vypoˇcteme krok ˇzelvy [25]: step = WINDOW_WIDTH/(pow(3, rulesCount))

WINDOW WIDTH urˇcuje ˇs´ıˇrkuokna a rulesCount udávápoˇcet pˇrepis˚usymbolu F. Algo- ritmus aplikace pˇrepisovac´ıch pravidel, pak vypadánásledovnˇe: void applyRule(void) { int i, j, k; // pocitadla smycek a indexy znaku char src[MAX_LENGTH]; // zdrojovy retezec char dest[MAX_LENGTH]; // cilovy retezec int fcount=0; // pocet prepisu strcpy(src, ret); puts(src); // kontrolni vypis pred prepisem for (i=0, j=0; src[i]; i++) { // projit celym retezcem if (src[i]==’F’) { // tento symbol se ma prepsat for (k=0; prepstr[k]; k++) // provest prepis dest[j++]=prepstr[k]; } else { // ostatni symboly kopirovat dest[j]=src[i]; j++; } } dest[j]=0;

for (j=0; dest[j]; j++) if (dest[j]==’F’) fcount++; puts(dest); // kontrolni vypis po prepisu printf(‘‘fcount=%d\n’’, fcount); strcpy(ret, dest); }

Pro generován´ınapˇr.Sierpinskéhotrojúheln´ıku, Hilbertovy kˇrivky nebo Draˇc´ıkˇrivky se dávyuˇz´ıtparaleln´ıch pˇrepisovac´ıch algoritm˚u[12, 25], kdy nezávis´ına poˇrad´ıaplikace pˇrepisovac´ıch pravidel a tyto se projev´ıvˇzdy aˇzv následuj´ıc´ımiteraˇcn´ımkroku. Algoritmu

49 jsou uvedeny v seriáluo fraktálech na Root.cz, stejnˇejako dalˇs´ıtypy technik zabývaj´ıc´ıch se vytváˇren´ımL-systém˚u.

5.3 Algoritmy IFS

Jak bylo uvedeno v kapitole 3.3, pro generován´ıIFS fraktál˚use vyuˇz´ıvaj´ıtransformace. Nejvhodnˇejˇs´ızp˚usobjejich zápisu jsou transformaˇcn´ımatice, pˇr´ıpadnˇe vektory posunu, které pˇri programován´ıuˇsetˇr´ıpamˇet’ a urychl´ıvýpoˇcty. Transformace je v ploˇse E2 popsánamatic´ı U o velikosti 2 × 2 a vektorem posunu V s dvˇema prvky [25, 24]. Analogicky pro prostor E3 bude matice rozmˇeru3 × 3 a vektor bude m´ıt tˇriprvky. Koeficienty matice U se uplatˇnuj´ıpˇriaplikac´ıch transformac´ırotace, zkosen´ı,zmˇeny mˇeˇr´ıtka. Koeficienty vektoru V se pouˇz´ıvaj´ık posunu. Pro vlastn´ıimplementaci je vˇsakvyuˇz´ıváno transformaˇcn´ımatice T, kteráje slouˇcen´ım matice U a vektoru V. V rovinˇebude m´ıt T rozmˇer 3 × 3 a v prostoru 4 × 4. Mnoˇzinu zobrazen´ı Φ = {φ1, . . . , φn} (viz kapitola 3.3,[2, 25]) doplˇnuje mnoˇzina pravdˇepodobnostn´ıΠ = {π1, . . . , πn}, πi > 0, kteráurˇcuje pravdˇepodobnost pouˇzit´ıjed- notlivých transformac´ıpˇri vytváˇren´ıfraktálu. Souˇcet jednotlivých pravdˇepodobnost´ımus´ı být roven jedné.Dáleje moˇznéˇr´ıci,ˇze ˇc´ımvˇetˇs´ıpravdˇepodobnost transformace φi, t´ım vˇetˇs´ımus´ıbýtm´ıra jej´ıkontrakce. Pokud vytváˇrenýobjekt nemákontrahuj´ıc´ıtransfor- maci, nejednáse o IFS (viz [3, 2, 25, 24]) Systémiterovaných funkc´ıje tedy urˇcen vztahem 5.4.

IFS = (Φ, Π) = ({φ1, . . . , φn}, {π1, . . . , πn}) (5.4)

5.3.1 Algoritmus náhodnéprocházky(RWA) Algoritmus náhodnéprocházkyje jedn´ımz nejjednoduˇsˇs´ıch algoritm˚upro generován´ıIFS fraktáln´ıch objekt˚u.Jeho výhodou je jednoduchost a malénároky na pamˇet’. Nevýhodou je nutnost generován´ıvelkéhopoˇctubod˚upro zobrazen´ıfraktálu,z ˇcehoˇzvýplývámoˇzná duplicita vykreslován´ınˇekterých ˇcást´ı.V opaˇcném pˇr´ıpadˇepˇrin´ızkémpoˇctuiterac´ımohou nˇekteréˇcást´ıobrazce chybˇet [3, 25, 24]. Princip generován´ıIFS pomoc´ıalgoritmu RWA je následuj´ıc´ı:

1. Zvol´ımen´ahodn´ybod P0 v rovinˇe/prostoru.

2. Výbˇer transformace φi z mnoˇziny Φ na základˇezvolenéhodnoty pravdˇepodobnosti πi z mnoˇziny Π. Zaruˇc´ı se t´ım dodrˇzen´ı, poˇcet pouˇzit´ı transformace na základˇe pravdˇepodobnosti.

3. Do dosaˇzen´ızadan´eho poˇctu iterac´ıopakujeme:

(a) aplikace vybran´etransformace na bod - zmˇena souˇradnic, (b) v´ybˇer dalˇs´ıtransformace.

Bod P0 nemus´ıleˇzetv atraktoru, proto je vhodnénˇekolik prvn´ıch iterac´ınezobrazovat. Vhodˇezvolenýpoˇcet iterac´ıovlivˇnuje kvalitu výstupu (duplicita/absence bod˚u).Zkrácený ukázkovýalgoritmus RWA pro vygenerován´ıIFS koláˇzeje pˇrevzat z Root.cz [25]. Uvedený pˇr´ıkladvygeneruje kapradinu podobnou obrázku 3.9. Transformaˇcn´ımatice spolu s vektorem pravdˇepodobnosti transformac´ıpro takovýtoIFS systémje:

50 float t[4][2][3]; // transformaˇcn´ımatice float p[4]; // vektor pravdˇepodobnostitransf

// transformaˇcn´ımatice t[0][0][0]= 0.000; t[0][0][1]= 0.000; t[0][0][2]= 0.000; t[0][1][0]= 0.000; t[0][1][1]= 0.160; t[0][1][2]= 0.000;

t[1][0][0]= 0.200; t[1][0][1]=-0.260; t[1][0][2]= 0.000; t[1][1][0]= 0.230; t[1][1][1]= 0.220; t[1][1][2]= 1.600;

t[2][0][0]=-0.150; t[2][0][1]= 0.280; t[2][0][2]= 0.000; t[2][1][0]= 0.260; t[2][1][1]= 0.240; t[2][1][2]= 0.440;

t[3][0][0]= 0.850; t[3][0][1]= 0.040; t[3][0][2]= 0.000; t[3][1][0]=-0.040; t[3][1][1]= 0.850; t[3][1][2]= 1.600;

// vektor pravdˇepodobnostitransformace p[0]=0.01; p[1]=0.07; p[2]=0.08; p[3]=0.84;

Vlastn´ıiteraˇcn´ıcyklus pak vypad´an´asledovnˇe:

while (iter++ threshold) // je-li dosaˇzenohranice iterac´ı // vykreslen´ıpixelu putpixel(pix, x*scale+xpos, y*scale+ypos, 0xff, 0xff, 0xff); }

Algoritmus RWA nacház´ıvyuˇz´ıt´ıv ekonomice v modelech akciových trh˚u,v populaˇcn´ı genetice, kde statisticky popisuje genetickýsmˇer. Ve fyzice je pouˇz´ıvánke zjednoduˇsen´ı modelu Brownova pohybu a v teorii kvantového pole. Dalˇs´ımioblastmi pouˇzit´ıRWA jsou kombinatorika, biologie (výzkum mozku, pohyb oˇc´ı), psychologie atd. Nˇekteréukázkylze nalézt napˇr.na wikipedia.org (Random Walk) [23]. Vˇetˇsinouse jednáo ekonomickézamˇeˇren´ı.

51 5.3.2 Deterministickýalgoritmus (DIA) Druhým uvedenýmalgoritmem pro výpoˇcetIFS fraktál˚uje deterministickýalgoritmus (DIA - Deterministic Algorithm). Od pˇredchoz´ıho RWA se liˇs´ıpˇr´ıstupem ke generován´ıbod˚u. RWA v kaˇzdéiteraci vypoˇc´ıtávˇzdy jeden bod, zat´ımco DIA vyˇc´ısl´ıbod˚uv´ıce [3, 25]. Nen´ınutno poˇc´ıtatani s pravdˇepodobnost´ıjednotlivých transformac´ı, protoˇzena mnoˇzinu bod˚use vˇzdy aplikuj´ı vˇsechny transformace z danéhoIFS. RWA pouˇz´ıvápro výpoˇcet náhodnáˇc´ısla a pr˚ubˇeh generován´ı je stochastický,zat´ımco DIA pouˇzit´ım vˇsech transformac´ısouˇcasnˇenemus´ıˇzádnou z nich vyb´ırat. Postup generován´ıIFS pomoc´ıalgoritmu DIA, jeˇzse obvykle realizuje dvˇemivnoˇrenými cykly, je:

1. zvol´ıse nˇekolik bod˚uv prostoru,

2. do dosaˇzen´ızadan´eho poˇctuiterac´ıopakujeme:

(a) aplikuj´ıse vˇsechny transformace tvoˇr´ıc´ıIFS syst´em, (b) vˇsechny vznikl´ebody jsou mnoˇzinou bod˚upro dalˇs´ıiteraci.

IFS vzniklégenerován´ım algoritmy RWA a DIA m˚uˇzeme porovnat na obrázc´ıch 5.1 respektive 5.2. Je patrné,ˇze se výslednéfraktály liˇs´ı.

Obr´azek 5.1: IFS vytvoˇren´yRWA

Obr´azek 5.2: IFS vytvoˇren´yDIA

Následuj´ıc´ıˇcást zdrojovéhokódu znázorˇnuje implementaci algoritmu DIA.

52 //------// Pˇrekreslen´ıIFS pomoc´ırekurzivn´ıhoalgoritmu DIA //------void recalcIFSusingDIA(float x, float y, int depth) { float xn, yn; // poloha iterovan´ehobodu int k; // ˇc´ıslotransformace

if (depth) { // pro vˇsechnytransformace v~IFS for (k=0; kthreshold) // je-li dosaˇzenohranice iterac´ı switch (drawType) { // v´ybˇervykreslovac´ıhoreˇzimu case IterPutPixel: putpixel(pixIFS, x*scale+xpos, y*scale+ypos, rf ? 0xff:0x00, gf ? 0xff:0x00, bf ? 0xff:0x00); break; case IterAddPixel: addpixel(pixIFS, x*scale+xpos, y*scale+ypos, red, green, blue); break; case TransfPutPixel: putpixel(pixIFS, x*scale+xpos, y*scale+ypos, pal[k&7][0], pal[k&7][1], pal[k&7][2]); break; case TransfAddPixel: addpixel(pixIFS, x*scale+xpos, y*scale+ypos, (!!pal[k&7][0])*deltar, (!!pal[k&7][1])*deltag, (!!pal[k&7][2])*deltab); break; default: break; } // konec switche // rekurze - v´ypoˇcetdalˇs´ıch‘‘transf’’ pixel˚u recalcIFSusingDIA(xn, yn, depth-1); } // konec for cyklu } // konec if (depth) } // konec tˇelafuknce

Dalˇs´ımialgoritmy generuj´ıc´ıIFS, je modifikovanýalgoritmus náhodnéprocházky M- RWA, kterýspojuje výhody RWA a DIA, a algoritmus generován´ıminima pixel˚u MPA (Minimal Plotting Algorithm).

53 5.3.3 Modifikovanýalgoritmus náhodnéprocházky (M-RWA) Modifikovanýalgoritmus náhodné procházky M-RWA mápozmˇenˇen fuknˇcn´ı princip a pracuje tak, ˇze na bod se v kaˇzdéiteraci aplikuj´ıvˇsechny transformace, ale pouze nˇekteré body (alespoˇn1) jsou pouˇzity pro dalˇs´ıiterace [25]. Výhodou této úpravy je pˇribliˇznˇestejná pamˇet’ovánároˇcnost jako máklasickýRWA a pomˇernˇerychlégenerován´ıfraktálu. Lze jej vyuˇz´ıt pro generován´ı výˇrez˚uobrazce. Transformace pro dalˇs´ı iterace se mohou vyb´ırat stejnˇejako u RWA pravdˇepodobnostn´ımnoˇzinou Π, nebo zvolen´ımhashovac´ıfunkce. Algoritmus M-RWA, kterýje opˇetrealizovándvˇema vnoˇrenýmicykly, lze slovnˇepopsat následuj´ıc´ımzp˚usobem:

1. zvol´ımenáhodnýbod P0 v rovinˇe/prostoru, 2. do dosaˇzen´ızadaného maximáln´ıho poˇctu iterac´ıopakujeme:

(a) postupnˇevyb´ır´ametransformace φk,

i. aplikace vybranétransformace na bod Pi a výpoˇcet novéhobodu Pi+1, ii. pokud se nejednáo prvn´ıiteraci, vykresli bod Pi.

Algoritmus stálenen´ı deterministický,protoˇze dalˇs´ıho generován´ı se úˇcastn´ı pouze nˇekolik transformac´ı,kterébyly aplikovány na vybranébody. Kódalgoritmu M-RWA [25], bez pouˇzit´ıpravdˇepodobnosti transformac´ıΠ (výbˇer se provád´ıgenerátoremnáhodných ˇc´ısel), pak vypadánásledovnˇe:

// pomocnásmyˇcka,ve kterése zjist´ıpoˇcettransformac´ı for (sum=0.0, maxTransf=0; sum<1.0; sum+=(*t)[maxTransf][6], maxTransf++); while (iter++threshold) { // je-li dosaˇzenohranice iterac´ı switch (drawType) { // výbˇervykreslovac´ıhoreˇzimu case IterPutPixel: putpixel(pix, xn*scale+xpos, yn*scale+ypos, rf ? 0xff:0x00, gf ? 0xff:0x00, bf ? 0xff:0x00); break; case IterAddPixel: addpixel(pix, xn*scale+xpos, yn*scale+ypos, red, green, blue); break; case TransfPutPixel: putpixel(pix, xn*scale+xpos, yn*scale+ypos, pal[k&7][0], pal[k&7][1], pal[k&7][2]); break; case TransfAddPixel: addpixel(pix, xn*scale+xpos, yn*scale+ypos, (!!pal[k&7][0])*dr, (!!pal[k&7][1])*dg, (!!pal[k&7][2])*db); break;

54 default: break; } } } k=rand()%maxTransf; // výbˇerbodu x(n) na základˇenáhodnéhoˇc´ısla hlp=(*t)[k][0]*x+(*t)[k][1]*y+(*t)[k][4]; // proveden´ı y =(*t)[k][2]*x+(*t)[k][3]*y+(*t)[k][5]; // transformace x =hlp; }

5.3.4 Algoritmus generován´ıminima pixel˚u(MPA) Algoritmus MPA (Minimal Plotting Algorithm) máproti pˇredchoz´ımalgorirm˚um výhodu v tom, ˇzese nesnaˇz´ızobrazit fraktálnaprosto pˇresnˇe, ale zobrazuje pouze tzv. reprezenta- tivn´ıˇcástobrazce [25, 7]. Vizuálnˇereprezentativn´ıˇcást fraktáluje koneˇcná,coˇzznamenáˇzeje tvoˇrena koneˇcným poˇctem bod˚u,a proto m˚uˇze býtzobrazena v koneˇcném ˇcase. MPA je efektivn´ı, protoˇze pracuje pˇr´ımos jednotlivýmipixely v E2 nebo E3. Pixel se od bodu odliˇsuje t´ım,ˇzemá pevnésouˇradnice a pevnou velikost. Mezi dvˇema pixely leˇz´ıkoneˇcnémnoˇzstv´ıpixel˚u, coˇz pro dva body neplat´ı. Pomocnýmdatovým typem u tohoto algoritmu je fronta (queue), kam se ukládaj´ıadresy pixel˚u.Poˇcáteˇcn´ıbody se nevyb´ıraj´ınáhodnˇe, pro kaˇzdou transformaci je vypoˇcten pevný bod x0 (kapitoly 2.43.3), jehoˇzadresa je uloˇzena do fronty. Postupnˇejsou z n´ıvyb´ırány a jsou na nˇeaplikovány transformace. Novépixely se porovnaj´ına základˇeadres s pixely jiˇzvykreslenými.Neduplicitn´ıpixely se vykresl´ıa jejich adresa se uloˇz´ına konec fronty, atributy ostatn´ıch pixel˚use neukládaj´ı.Algoritmus nepoˇc´ıtáprovedenéiteraˇcn´ıkroky, je- likoˇzkonec nastávávyprázdnˇen´ımfronty pixel˚u, a ani nen´ınutno poˇc´ıtat pravdˇepodobnost transformac´ı. MPA je deterministickýalgoritmus [25, 7]. Algoritmus zaˇc´ınáinicializac´ı:

• nalezen´ıvˇsech pevn´ych bod˚u x0 pro vˇsechny transformace φi, • vykreslen´ıpixel˚uodpov´ıdaj´ıc´ıch tˇemto bod˚um,

• inicializace fronty s adresami vykreslen´ych pixel˚u.

Dokud nen´ıfronta pr´azdn´a,opakuj:

1. vyjmut´ıadresy pixelu z poˇc´atkufronty, pˇreveden´ına souˇradnice bodu P,

2. pro vˇsechny transformace z mnoˇziny Φ opakuj:

(a) aplikace transformace φk na bod P a v´ypoˇcet nov´ehobodu, Pk.

(b) Zzokrouhlen´ısouˇradnice Pk, aby odpov´ıdala pixelu,

Výhody algoritmu MPA spoˇc´ıvaj´ı ve vykreslen´ı kaˇzdéhobodu pouze jednou a nej- sou na nˇejjiˇzprovádˇeny ˇzádnétransformace. Algoritmus mus´ıskonˇcitv koneˇcném ˇcase,

55 protoˇze v nejhorˇs´ımpˇr´ıpadˇese vygeneruj´ıvˇsechny pixely na obrazovce. MPA je pamˇet’ovˇe nenároˇcný,ukládáse pouze bitmapa obrazu a fronta s adresami pixel˚u. Nevýhodou je hledán´ı kaˇzdéhovypoˇcteného pixelu ve frontˇe(komplikace výpoˇct˚ua zdrˇzen´ıpˇrivýpoˇctu obrazce) a takénepraktiˇcnostpˇrigenerován´ıvýˇrez˚ufraktálu(algoritmus poˇc´ıtái body mimo viditelnou oblast).

5.3.5 Fractal flame Fractal flames se generuj´ıstejnˇejako IFS algoritmem náhodnéprocházky (RWA) a obsahuj´ı rozˇs´ıˇren´ıspecifickápro tento druh fraktál˚u. Jak jiˇzbylo uvedeno v kapitole 3.12, pouˇz´ıvaj´ıse pˇrigenerován´ıflame fraktál˚unelineárn´ı transformace nazývanévariace, jeˇzjsou uvedeny v tabulce 3.3. Pro implementaci v C se vytvoˇr´ı funkce vx() a vy() s tˇremi parametry. Zápis variac´ı v programovac´ım jazyce je jednoduchýa je k nalezen´ıv d´ılunazvanémalgoritmus Fractal Flame prakticky seriálu Pavla Tiˇsnovského. Následuj´ıc´ıkóddemonstruje prácis obarvován´ımfraktáluflame. Pixely se pˇr´ımonezapisuj´ıdo pixmapy pro vykreslován´ı,ale ukládaj´ıse do pomocného pole, kde se mˇen´ıhodnoty ˇc´ıtaˇc˚uzavolán´ım funkce addfloat() [25].

//------// Pˇr´ır˚ustekbarvy pixelu na zadanýchsouˇradnic´ıchve floatové // monochromaticképixmapˇe //------void addfloat(const unsigned int x, const unsigned int y) { // kontrola, zda nen´ıpˇrekroˇcenavelikost pixmapy // (zápornéhodnoty nen´ıd´ıkypˇrevoduna unsigned int zapotˇreb´ı // brátv potaz) if (x>=PIXMAP_WIDTH || y>=PIXMAP_HEIGHT) return; // zvýˇsithodnotu ˇc´ıtaˇce floatMap[y][x]++; }

Z vygenerovaných hodnot se vybere hodnota maximáln´ı,zlogaritmuje se a provede se jej´ıpˇrevod do rozsahu 0..255. Novˇez´ıskanéhodnoty se zap´ıˇs´ıdo pixmapy, kteráse vykresl´ı na obrazovce.

//------// Kopie pixelu z floatovépixmapy do pixmapy kompatibiln´ıs // OpenGL spolu s logaritmickýmpˇrevodemmˇeˇr´ıtka //------void convertFloatMap(void) { float maxp=0; float pixelFactor; // faktor konverze int i, j; // ˇc´ıtaˇcesmyˇcek // zjistit maximáln´ıhodnotu uloˇzenouve floatovépixmapˇe for (j=0; j

56 pixelFactor=255.0/log(maxp); // vypoˇc´ıtatfaktor konverze

// konverze a zmˇenana logaritmickémˇeˇr´ıtko // s t´ım,ˇzevýslednébarvovésloˇzkyjsou v rozsahu 0..255 for (j=0; j

Pro vykreslen´ıfraktáluje nutno vytvoˇrit pole s koeficienty jednotlivých transformac´ı, viz Root.cz [25]. Vlastn´ısmyˇcka generován´ıFractal Flame, ve kterése IFS popsanýpolem obsahuj´ıc´ımv ˇrádc´ıch informace o transformac´ıch pˇrepoˇc´ıtá,m˚uˇze vypadat takto: while (iter++threshold) { // je-li dosaˇzenohranice iterac´ı double xx=x*scale+xpos; double yy=y*scale+ypos; switch (drawType) { // výbˇervykreslovac´ıhoreˇzimu case IterPutPixel: putpixel(pix, xx, yy, rf?0xff:0x00, gf?0xff:0x00, bf?0xff:0x00); break; case IterAddPixel: addpixel(pix, xx, yy, red, green, blue); break; case IterLogPixel: addfloat(xx, yy); break; case TransfPutPixel: putpixel(pix, xx, yy, pal[k&7][0], pal[k&7][1], pal[k&7][2]); break; case TransfAddPixel: addpixel(pix, xx, yy, (!!pal[k&7][0])*dr, (!!pal[k&7][1])*dg, (!!pal[k&7][2])*db); break; case TransfLogPixel: addfloatRGB(xx, yy, (!!pal[k&7][0]), (!!pal[k&7][1]), (!!pal[k&7][2])); break;

57 default: break; } } x=xn; y=yn; }

5.4 Algoritmy stochastick´ych frakt´al˚u

5.4.1 Simulace difúze Difúzilze provéstnˇekolika zp˚usoby. Postup je moˇznépopsat takto [25]:

• V urˇcenémprostoru se vygeneruje 1 ˇcástice nebo skupina ˇcástic,tyto se nazývaj´ı sem´ınka. Zvolenépozice maj´ıvliv na tvar fraktálu.

• Dalˇs´ısem´ınka se generuj´ına n´ahodn´ych m´ıstech.

– Pokud se setkaj´ı s jiˇzvygenerovanýmútvarem, stanou se souˇcásti fraktálu a vygeneruje se nováˇcástice na náhodném m´ıstˇeprostoru. – Sem´ınka zaniknou, pokud se nesetkaj´ıs jiˇzexistuj´ıc´ım obrazcem.

• Generován´ınových sem´ınek se provád´ıdokud poˇcet ˇcásticfraktáluje niˇzˇs´ıneˇzzvolená konstanta, nebo nˇejakáˇcásticedosáhne hranice plochy pro vytváˇren´ıfraktálu.

Dotyk vygenerovaného sem´ınka s existuj´ıc´ımútvarem se rozliˇzuje podle vzdálenostinovˇe vytvoˇreného bodu od tohoto útvaru. Je zvolena limitn´ıvzdálenost lmin, kdy se jiˇzpovaˇzuje bod dostateˇcnˇebl´ızkýfraktálu,aby k nˇemu mohl býtpˇripojen. Podle tohoto postupu lze popsat algoritmus difúzepro generován´ıstochastickéhofraktálu [25]. Hlavn´ısmyˇcka programu opakuje vnitˇrn´ıcyklus do dosaˇzen´ımaximáln´ıhopoˇctu iterac´ı:

1. vygeneruj dvojici n´ahodn´ych ˇc´ısel xi, yi,

2. pro frakt´alv prostoru vygeneruj tˇret´ısouˇradnici zi, 3. z t´etodvojice/trojice vytvoˇrbod P,

4. pokud bod P leˇz´ıv oblasti pro generován´ıfraktálua jeho vzdálenostod obrazce Pf je menˇsineˇz lmin, pˇridej bod P do mnoˇziny Pf a ukonˇci vnitˇrn´ıcyklus, 5. novéopakován´ıvnitˇrn´ıho cyklu od 1.

58 Hlavn´ıcyklus algoritmu simulace difúzepˇrevzatýze seriáluna Root.cz [25] v jazyce Java pak vypadánásledovnˇe:

do { // vnˇejˇs´ısmyˇcka,kteráse zastav´ı doneInnerLoop=false; // po nastaven´ıukonˇcovac´ıpodm´ınky do { // vnitˇrn´ısmyˇcka double x=Math.random()*(float)(width-2)+1; // generovat bod double y=Math.random()*(float)(height-2)+1; xi=(int)x; yi=(int)y; // pokud se bod nacház´ıv bl´ızkostiobrazce if (neighboor(neighboorType, xi, yi)) { putPoint(xi, yi); // pˇridatho do fraktálu doneInnerLoop=true; // a ukonˇcitvnitˇrn´ısmyˇcku } } while (!doneInnerLoop); counter++; if (counter==50) { // pr˚ubˇeˇznývýpispráceprogramu label.setText(‘‘Points: ’’+String.valueOf(i)); counter=0; } i++; // test na ukonˇcen´ıvnˇejˇs´ısmyˇcky } while (!checkStopCondition(i, xi, yi));

Urychlen´ısimulace difúze Pro uchováván´ıdat bˇehemgenerován´ıfraktáluurychleným algoritmem simulace difúze se vyuˇz´ıvaj´ıdvˇedatovéstruktury: lineárnˇevázanýseznam, kterýobsahuje údaje o ˇcástic´ıch, a dále pak rastrovou mˇr´ıˇzku, ploˇsnou nebo prostorovou, kde jsou rovnˇeˇzuloˇzeny informace o ˇcástic´ıch, ale taképˇr´ıznakobsazenosti buˇnky. D´ıkytomu, ˇze pˇr´ıznak lze uloˇzit v jednom bitu, je datovástruktura pamˇet’ovˇeúsporná.Pˇrivýpoˇctualgoritmem simulace difúzese mˇen´ıpouze pˇr´ıznak obsazenosti buˇnky a pouˇzit´ımˇr´ıˇzky je proto výhodnˇejˇs´ıa rychlejˇs´ı[25]. Slovn´ıpopis hlavn´ısmyˇckytakto modifikovaného algoritmu simulace difúzeje následuj´ıc´ı, cyklus opˇetopakuje do maximáln´ıho poˇctu iterac´ı:

1. vygeneruj dvojici n´ahodn´ych ˇc´ısel xi, yi,

2. pro frakt´alv prostoru vygeneruj tˇret´ısouˇradnici zi,

3. souˇradnice P = [xi, yi](P = [xi, yi, zi]) mus´ıleˇzetv oblasti vymezen´epro generov´an´ı, 4. z ˇc´ısel vytvoˇrdvojici/trojici tak, aby urˇcovaly bod P,

5. pokud v okol´ıbodu P leˇz´ıpixel/voxel s pˇr´ıznakem obsazenosti, nastav´ıse pixelu/voxelu odpov´ıdaj´ıc´ımu bodu P, takt´eˇzpˇr´ıznak obsazen´ı,

6. nov´eopakov´an´ıvnitˇrn´ıho cyklu od bodu 1.

59 5.4.2 Metoda pˇresouván´ıprostˇredn´ıho bodu Jak bylo popsáno v kapitole 3.4.2, spoˇc´ıvámetoda pˇresouván´ı prostˇredn´ıho bodu v rekurzivn´ım dˇelen´ıúseˇcky ˇciˇctverce s následnou zmˇenou pozice nalezeného bodu o pˇredem definovanýkoeficient ∆. Nejjednoduˇsˇs´ımpˇr´ıpadem je dˇelen´ıúseˇcky. Pˇr´ıklad hlavn´ıfunkce, jeˇzje volánarekurzivnˇe a realizuje rozdˇelen´ıúseˇckya následnýposun nalezenéhobodu [25], je:

//------// Rekurzivnˇevolanámetoda, kteráprovede rozdˇelen´ıúseˇckya posun // prostˇredn´ıhobodu //------void mdaRecursive1D(float x1, float y1, float x2, float y2, float Delta, int iter) { float x,y; if (!iter) { // pokud jsme dosáhlimax poˇctuiterac´ı // vykreslen´ırozdˇelenéúseˇckyna nejniˇzˇs´ıúrovni glVertex2f(x1, y1); glVertex2f(x2, y2); return; // a ukonˇcen´ırekurze } x=(x1+x2)/2.0; // výpoˇcetpolohy prostˇredn´ıhobodu y=(y1+y2)/2.0; y+=my_random()*Delta-Delta/2.0; // posun prostˇredn´ıhobodu // rekurzivn´ıvolán´ına prvn´ıpolovinu úseˇcky mdaRecursive1D(x1, y1, x, y, Delta/2.0, iter-1); // rekurzivn´ıvolán´ına druhou polovinu úseˇcky mdaRecursive1D(x, y, x2, y2, Delta/2.0, iter-1); }

Generován´ıplazmy Pro generován´ıplazmy se pouˇz´ıvározˇs´ıˇren´ımetody dˇelen´ıúseˇcky, kdy rekurzivnˇedˇel´ıme ˇctverec. Funkci se pˇredávaj´ıhodnoty ˇctyˇrhraniˇcn´ıch bod˚uvymezuj´ıc´ıˇctverec (x1, y1, x2, y2), ˇctyˇrihodnoty barev v tˇechto bodech (c1, c2, c3, c4) a koeficient ∆ (delta) urˇcuj´ıc´ımaximáln´ı odchylku posunu prostˇredn´ıho bodu [25]. Pixel se vykresluje v okamˇziku, kdy velikost ˇctverce dosáhne rozmˇeru 1 × 1 pixel. U vˇetˇs´ıch ˇctverc˚use vypoˇctou barvy ve stˇredech hran a stˇredu ˇctverce. Posledn´ıbarva pixelu vypoˇctenáv pˇredchoz´ım kroku je zmˇenˇena o náhodnou hodnotu ∆ a funkce je rekurzivnˇezavolána na ˇctyˇripodˇctverce: void plasma(int x1, int y1, int x2, int y2, int c1, int c2, int c3, int c4, int delta) { #define avg(x, y) (((x)+(y))>>1) #define step(x, y) (((x)-(y))>>1) #define bound(x) if (x>255) x=255; if (x<0) x=0; #define displac(x, delta) (x+(rand()%(delta*2)-delta))

60 // pokud jsme nedosáhlijednopixelovéhokroku if (x2-x1>1) { int dc12=avg(c1, c2); // výpoˇcetpr˚umˇerubarev na hranáchˇctverce int dc13=avg(c1, c3); int dc24=avg(c2, c4); int dc34=avg(c3, c4); int dc =avg(dc13, dc24); // výpoˇcetpr˚umˇernébarvy ve stˇreduˇctverce int dx=step(x2, x1); // krok - polovina velikosti ˇctverce int dy=step(y2, y1); if ((x2-x1>2) && (delta>0)) dc=displac(dc, delta); // posun stˇredn´ıhobodu o náhodnouhodnotu bound(dc); // zajiˇstˇen´ımez´ıbarev v povolenémrozsahu bound(c1); bound(c2); bound(c3); bound(c4); delta>>=1; // maximáln´ınáhodnáhodnota se zmenˇsujena polovinu // rekurzivn´ırozdˇelen´ıvˇsechˇctyˇrpodˇctverc˚u plasma(x1, y1, x1+dx, y1+dy, c1, dc12, dc13, dc, delta); plasma(x1+dx, y1, x2, y1+dy, dc12, c2, dc, dc24, delta); plasma(x1, y1+dy, x1+dx, y2, dc13, dc, c3, dc34, delta); plasma(x1+dx, y1+dy, x2, y2, dc, dc24, dc34, c4, delta); } else { // bylo dosaˇzenohranice rozliˇsen´ıpixmapy putpixel(pix, x1, y1, (c1+c2+c3+c4)/4, (c1+c2+c3+c4)/4, (c1+c2+c3+c4)/4); } #undef avg #undef step #undef bound }

Dalˇs´ıpˇr´ıklady algoritm˚upro generov´an´ıplazmy je moˇzno naj´ıtv [25, 20, 14]

61 Kapitola 6

V´ysledky pr´ace

6.1 Slajdy

Jedn´ım z c´ıl˚udiplomovéprácebylo jednoduchýma srozumitelnýmzp˚usobem objasnit základn´ı vývoj, dˇelen´ı a vyuˇzit´ı fraktáln´ı geometrie. Souˇcást´ı praktickéˇcásti práce byla i tvorba slajd˚upro moˇznostprezentace tématu fraktáln´ıgeometrie student˚um FIT VUT v Brnˇe. Tato problematika by mohla býtsouˇcást´ıpˇredmˇetuPoˇc´ıtaˇcovágrafika a jej´ıgrafické ztvárnˇen´ıformou prezentace bylo pr˚ubˇeˇznˇekonzultovános pˇrednáˇsej´ıc´ım, aby odpov´ıdalo struktuˇre a ˇcasovýmmoˇznostem výukovéhodiny. Slajdy jsou k dispozici ve formátech PDF a PPT o rozsahu 59 stran. Prvn´ıslajd je pokryt pˇrehledem dáleuvádˇenélátky. V úvodu je nast´ınˇenozákladn´ıdˇelen´ı objekt˚ua historie “zvláˇstn´ıch útvar˚u” pˇred rokem 1975, kdy poprvév jejich souvislosti zaznˇel pojem “fraktál”.Jednotlivéetapy vývoje fraktáln´ıch obrazc˚uprovázej´ıvýznamná jména,jako je Lévy, Hausdorf, Mandelbrot aj. Jeˇstˇepˇredsamotnýmvýˇctem jednotlivých typ˚ufraktál˚ujsou ve slajdech uvedeny nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı pojmy a charakteristiky (obr 6.1), kterév pˇrednáˇsce budou slovn´ım doprovodem definovány.

Obr´azek 6.1: Z´akladn´ıpojmy

62 Tématicky jsou slajdy dáleˇrazeny do kapitol, kterépokrývaj´ı problematiku dˇelen´ı fraktáln´ıch obrazc˚udo skupin na základˇepodobných charakteristických vlastnost´ı,jak lze vidˇet na obrázku 6.2.

Obr´azek 6.2: Charakteristiky skupin frakt´al˚u

Vlastn´ı prezentace poznatk˚ufraktáln´ı geometrie by pak mˇela odpov´ıdat struktuˇrea rozsahu uvádˇenému v diplomovépráci. Informace nad rámec prácelze dohledat v literatuˇre.

63 Graficky jsou uvedeny typicképˇr´ıklady jednotlivých systém˚ua u nˇekterých pro názornost ukázány detaily nacházej´ıc´ıse v jednotlivých segmentech fraktál˚u, viz obrázek 6.3. T´ımto je demonstrovánasobˇepodobnost a spojitost útvar˚upˇri zmˇenˇemˇeˇr´ıtka.

Obr´azek 6.3: Demonstrace souvislosti

D˚uraz je kladen na grafickéztvárnˇen´ı zvolenéproblematiky a pˇrehlednost, tedy na obsah prezentace nikoliv na zp˚usob jej´ıtvorby. Z tohoto d˚uvodu je voleno nevýraznépozad´ı samotných slajd˚u. Literatura k pˇrednáˇsce je zm´ınˇena na posledn´ımslajdu, pˇresnˇejˇs´ıseznam pouˇzitélite- ratury je uveden v závˇeru tétopráce. Zdroje u nˇekterých typických pˇr´ıklad˚ufraktál˚ujsou pro jejich rychlejˇs´ıdohledán´ıuvádˇeny pˇr´ımo na stránceprezentace, kteráse jimi zabývá. Celádiplomovápráceje tedy pˇrehlednˇeobsaˇzena na jiˇzzmiˇnovaných slajdech, které budou pro úˇcely výukystudent˚um k dispozici. Pokud se student pod´ıvána slajdy bl´ıˇze, jistˇezde nalezne zaj´ımavépodnˇety k dalˇs´ıdiskuzi a studiu.

6.2 Demonstraˇcn´ıprogram

Dalˇs´ımc´ılemtétopráce bylo vytvoˇrit program zobrazuj´ıc´ıvybranéfraktálytak, aby svým ovládán´ıma funkˇcnost´ıbyl snadno pouˇzitelnýpro vykreslen´ızákladn´ıch typ˚ufraktáln´ıch obrazc˚u.Pˇred vlastn´ım vykreslen´ım je moˇznoupravit vlastnosti generovaných útvar˚ua uloˇzit barevnépalety slouˇz´ıc´ık obarven´ıvýsledného fraktálu. Demonstraˇcn´ıprogram byl vytvoˇren v Borland Developer Studio 2006 a funguje v pro- stˇred´ıWindows. Jeho zámˇeremje ilustrovat soubˇeˇznˇes výkladem nˇekterédruhy fraktál˚u. D´ıky pˇredvolenýmoblastem zobrazen´ınen´ınutnésloˇziténastavován´ıparametr˚upˇri kaˇzdém generován´ı. V pˇr´ıpadˇeMandelbrotovy mnoˇziny je moˇznozobrazit pˇredvolenébody, v jejichˇz okol´ı lze pozorovat specifickéoblasti danémnoˇziny. Jednáse pˇredevˇs´ım o Fibonacciho posloupnost, posloupnost pˇrirozených ˇc´ısel atd.

64 6.2.1 Realizace Kv˚uli pˇrehlednosti a logickému oddˇelen´ıjednotlivých ˇcást´ıkódu je program rozdˇelen do nˇekolika modul˚u.Moduly lze podle jejich funkce rozˇclenit na tˇri celky. Prvn´ıˇcást´ıje fractalfunc, obsahuje algoritmy pro generován´ıfraktál˚ua definice jejich parametr˚u.Moduly unit1 a unit2 zajiˇst’uj´ızobrazován´ıvypoˇc´ıtaných hodnot ve formˇeobrázk˚u, zpracováváj´ı parametry zadanéuˇzivatelem. Soubory PaletteManager a coltable jsou posledn´ıskupinou a obstarávaj´ıfunkce správce palet. Jednotlivémoduly programu jsou:

• Coltable.[cpp/h] - obsahuje deﬁnice struktur palet a funkce pro v´ypoˇcet barev palety z mezn´ıch bod˚u.

• Fractalfunc.[cpp/h] - modul s definicemi funkc´ı,kterýmise fraktálygeneruj´ı.Zároveˇn obsahuje definice jejich parametr˚u, u IFS se jednánapˇr.o r˚uznédruhy transformac´ı.

• Fractals.cpp - centr´aln´ımodul programu, inicializuje okna programu.

• PaletteManager.[cpp/h] - slouˇz´ık nadefinován´ıbarevnépalety, obsahuje akce pro jej´ı obsluhu jako je uloˇzen´ı,naˇcten´ı,úprava.

• Unit1.[cpp/h] - rozhran´ıhlavn´ıho okna programu DemFract, deﬁnice vzhledu.

• Unit2.[cpp/h] - okno pro vykreslen´ıfrakt´alu ShowFract, v´ybˇeroblasti zobrazen´ı.

• Unit3.[cpp/h] - zajiˇstuje vykreslen´ıprogress baru.

• Utilz.[cpp/h] - obsahuje funkce pro pr´acise soubory a dalˇs´ıpomocn´efunkce.

V celémprogramu byl nam´ıstodatovéstruktury pole vˇetˇsinou vyuˇzit standardn´ıkon- tejner vector z d˚uvodu robustnosti. Soubory uchovávaných hodnot se bˇehem ˇcinnosti programu ˇcasto mˇen´ıa pouˇzit´ıstandardn´ıho pole vyˇzaduje velkou pozornost pˇrisprávˇepamˇeti. Vector pˇridˇelován´ıa uvolˇnován´ıpamˇetiobsluhuje sáma jeho pouˇzit´ıje tak mnohem bez- peˇcnˇejˇs´ı.Pouˇzit´ı vectoru je sice ˇcasovˇenároˇcnˇejˇs´ı,ale v ˇcasovˇekritických úsec´ıch programu nen´ınutno s vectorem pracovat, doba generován´ıfraktáluse tak neprodluˇzuje.

Modul fractalfunc Modul fractalfunc obsahuje definice algoritm˚ujednotlivých druh˚ufraktál˚u. Definic´ıalgo- ritmu se rozum´ıjméno algoritmu, napˇr. IFS Fraktály, ukazatel na provádˇec´ıfunkci a vektor definic potˇrebných parametr˚u.Tyto hodnoty jsou uchovány ve struktuˇre tDEFDRAW- PARAMS. Pˇr´ıkladdefinic parametr˚uvid´ımena ukázce funkce IFSInit. Na poˇcátkusi nadefinujeme jméno funkce a ukazatel. Dalˇs´ım krokem je nastaven´ı souˇradnic vykreslovanéoblasti: tDEFDRAWPARAMS IFSInit() { tDEFDRAWPARAMS pDP; // struktura obsahujici definice vykreslovaci // funkce a jejich parametru tPARAMINFO pPI; // struktura obsahujici definici jednoho parametru

pDP.FuncName = ‘‘IFS Frakt´aly’’; pDP.pDrawFunc = &IFSFunc; // ukazatel na adresu vykreslovaci funkce

65 // Defaultni hodnoty Max a Min souradnic vykreslovane oblasti pDP.ldDefMinX = -5; pDP.ldDefMaxX = 5; pDP.ldDefMinY = 0; pDP.ldDefMaxY = 10;

Specificképarametry pro kaˇzdýfraktálpˇredstavuje poˇcet iterac´ı,transformace pouˇzité pro výpoˇcet, druh obarven´ıatd. Pro IFS fraktályjsou to napˇr.:

// definice prvniho parametru - pocet iteraci pPI.type = defINT; pPI.name = ‘‘Iterace’’; pPI.iMin = 0; pPI.iMax = 1000000000; pPI.iStep = 10000; pPI.defVal = 500000; pDP.params.push_back(pPI);

// definice druheho parametru - typ transformace pPI.type = defENUM; // typ pozadovaneho parametru (vycet) pPI.name = ‘‘Transformace’’; // nazev parametru

// seznam pojmenovani vyctovych hodnot (zde transformace) pPI.defEnumCaptions.clear(); pPI.defEnumCaptions.push_back(‘‘Troj´uheln´ık’’); // ... a dalsi pPI.defEnumCaptions.push_back(‘‘Barnsleyova kapradina’’);

// pocatecni transformace pPI.defVal = 1; // defaultni hodnota pocatecni transformace pDP.params.push_back(pPI); // vlozeni parametru do vektoru parametru // ... definice dalsich parametru return pDP; // vraci se struktura definice algoritmu }

Definici algoritu obsahuje struktura tDEFDRAWPARAMS. Tˇemito strukturami se napl- n´ıvektor DefDrawParams, kterýpak obsahuje definice vˇsech algoritm˚upouˇzitých v demon- straˇcn´ımprogramu. Pˇredán´ıparametr˚uprovádˇec´ıfunkci se pak provád´ıpomoc´ıstruktury tDRAWFUNC- PARAM, kde se pˇredávávektor ukazatel˚una obecnýtyp std::vector< void * > params. Kaˇzdýjeho prvek se pozdˇejipˇretypovávázpˇet na typ uvedenýpˇridefinici v inicializaˇcn´ı funkci.

66 Nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıˇcást´ımodulu fractalfunc.cpp je funkce InitDrawFuncMenu, kteránapln´ı vektor std::vector DefDrawParams; definicemi algoritm˚u: void InitDrawFuncMenu(void) {

/*Mandelbrot Initialize Part*/ DefDrawParams.push_back(MandelInit());

/*IFS-Fract Initialize Part*/ DefDrawParams.push_back(IFSInit());

};

MandelInit (IFSInit) vrac´ıstrukturu tDEFDRAWPARAM, kteráse uloˇz´ıdo vektoru DefDrawParams. Struktura tDEFDRAWPARAM obsahuje vˇzdy definici jednoho algoritmu, viz výˇse. V pˇr´ıpadˇe,ˇze je do fractalfunc.cpp dopsándalˇs´ıdruh algoritmu, je nutno zaˇradit jeho ini- cializaci do funkce InitDrawFuncMenu na konec. V opaˇcném pˇr´ıpadˇeby bylo nutnépˇrepsat indexy algoritm˚uv definiˇcn´ım soubor pro poloˇzkumenu “Speciál”,protoˇze indexy poloˇzek jsou závisléna poˇrad´ıstruktur tDEFDRAWPARAMS ve vektoru DefDrawParams. Vzhledem k povaze problému nebyl pouˇzit objektovýpˇr´ıstuppro implementaci algoritm˚u. Objektovýpˇr´ıstupby sice fugoval, avˇsak nepˇrinesl by výraznézefektivnˇen´ıkódua abstrakce by byla zcela samoúˇcelná.

6.2.2 Ovládán´ıprogramu Hlavn´ımiovládac´ımiprvky programu jsou funkˇcn´ıtlaˇc´ıtka a boxy pro nastaven´ısouˇradnic okna, iterac´ıa v pˇr´ıpadˇeIFS parametry obarven´ı. Výbˇer skupiny fraktál˚use vol´ıv poloˇzce menu “Fraktál”.Na výbˇer je Mandelbrotova mnoˇzinaa IFS fraktály. V hlavn´ımoknˇejsou zobrazeny boxy se souˇradnicemi oblasti, kam se bude fraktálvykreslovat, nastaven´ıvelikosti okna a tlaˇc´ıtka pro vygenerován´ıfraktálua reset souˇradnic. Souˇradnice fraktálua rozliˇsen´ılze uloˇzit do extern´ıhosouboru pro pozdˇejˇs´ı pouˇzit´ı. Na obrázku 6.4 je zobrazeno okno programu s nastavenýmiparametry IFS fraktálu. V pˇr´ıpadˇevykreslován´ıMandelbrotovy mnoˇziny je moˇzno nastavit v oknˇe DemFract poˇcet iterac´ı,zvolit typ obarven´ı,paletu barev a druh obarvovac´ıfunkce. Posledn´ımnastaven´ım je check box s volbou obarven´ıkonverguj´ıc´ıch bod˚umnoˇziny (vnitˇrn´ıbody). Palety barev lze vyb´ırat aˇzpo jejich vytvoˇreninebo naˇcten´ıve správci palet. Správce palet se nacház´ı pod poloˇzkou “Paleta barev” v menu “Fraktál”.Vytvoˇren´ıpalety je popsánodále. Ve vykreslenémfraktáluv oknˇe ShowFract lze myˇs´ıvyb´ırat oblasti pro pˇribl´ıˇzen´ı.Výbˇer se provád´ıstiskem levého tlaˇc´ıtka a taˇzen´ımmyˇs´ı, viz obr 6.5. V pˇr´ıpadˇe, ˇzedanáoblast nevyhovuje pˇredstavám,lze souˇcasnýmstiskem pravéhotlaˇc´ıtka výbˇer zruˇsit.Pˇrinechtˇeném oznaˇcen´ıpouze jednoho bodu pro zvˇetˇsen´ı(dvojklik), program vyp´ıˇseupozornˇen´ıa je moˇzno vybrat korektn´ıoblast. K orientaci a pro utvoˇren´ıpˇredstavy o vzdálenostech mezi útvary fraktáluslouˇz´ızobrazen´ısouˇradnic, nad kterýmise kurzor pohybuje. Tyto jsou vypsány ve spodn´ıˇcástiokna. V levémdoln´ım rohu jsou souˇradnice vztaˇzenék oknu, vedle pak souˇradnice samotnéhofraktálu.

67 Obr´azek 6.4: Okno programu

Menu Speciál V tétopoloˇzce menu lze nalézt pˇredvolenézaj´ımavéoblasti Mandelbrotovy mnoˇziny. Nadefi- novány jsou oblasti, kde lze vypoˇc´ıtat ˇc´ıslo Π, spiráln´ı útvary pˇredstavuj´ıc´ıFibonacciho posloupnost, posloupnost pˇrirozených ˇc´ısel aj. Menu je naˇc´ıtáno ze souboru specmenu.def. Struktura vypadánásledovnˇe:

[Mandelbrot;0] [Pi;0] @Pi 1 !-0,7793984375;-0,7223828125;-0;0,0990234375 @Pi 2 !0,21484375;0,35546875;-0,064453125;0,076171875 [..]

V hranatých závorkách je na prvn´ım m´ıstˇenázev poloˇzky a za stˇredn´ıkem pak index urˇcuj´ıc´ıpro kterýdruh mábýtmenu aktivn´ı(0- Mandelbrotova mnoˇzina, 1 - IFS). Index je závislýna poˇrad´ıinicializace algoritm˚uv modulu fractalfunc.cpp ve funkci InitDrawFunc- Menu. Zanoˇrenánab´ıdka se vytvoˇr´ıdalˇs´ıpojmenovanou poloˇzkou uzavˇrenou v hranatých závorkách. Jednotlivépoloˇzkymenu jsou pak uvozeny znakem @, souˇradnice pro vykreslen´ı následuj´ına dalˇs´ım ˇrádkuza znakem “!” a jsou oddˇeleny stˇredn´ıkem. Poloˇzky vnoˇreného menu jsou uzavˇreny sekvenc´ıznak˚u [..].

68 Obr´azek 6.5: IFS spir´ala

6.2.3 Správce palet Fraktályz´ıskáváj´ına vizuáln´ıatriktivitˇepˇredevˇs´ım obarven´ım,kterézd˚urazn´ıjejich kom- plexnost a sloˇzitost. Pro sestaven´ıbarevných palet slouˇz´ı Správce palet, kterýlze vidˇet na obrázku 6.6. Pˇr´ıstup ke správci je pˇres poloˇzku“Paleta barev”, kteráse nacház´ıv nab´ıdce “Fraktál”. Hlavn´ımiovládac´ımi prvky jsou funkˇcn´ıtlaˇc´ıtka v horn´ıˇcástiokna, nab´ıdka s výbˇerem naˇctených palet v levéˇcástia tlaˇc´ıtko pro pˇridán´ıdalˇs´ıho bodu do palety. Defaultnˇeje nastaven poˇcáteˇcn´ıa koncovýbod palety. Tlaˇc´ıtkem “Pˇridat” se pˇridánovýbod s implic- itnˇenastavenou pozic´ı0 a ˇcernou barvou. Pozice udává,kde se bude bod v posloupnosti nacházet, a urˇcujetaképoˇcet barev, kterýje moˇzno aˇzpo tento bod pˇridˇelit.Barvu lze zadat bud’ nastaven´ımsloˇzek RGB nebo ji vybrat v paletˇe.Barevnépˇrechody je moˇzno poˇc´ıtat lineárnˇe, logaritmicky nebo exponenciálnˇe, se zvláˇstn´ımnastaven´ım pro kaˇzdýbod.

69 Obr´azek 6.6: Spr´avce palet

Tlaˇc´ıtem “Smazat” se oznaˇc´ıbod urˇcenýpro výmaz. Dalˇs´ım stiskem tlaˇc´ıtka se pˇr´ıznak smazán´ızruˇs´ı. Pruh pod funkˇcn´ımitlaˇc´ıtkyilustruje rozloˇzen´ıbarev v paletˇe,avˇsakpo zmˇenˇepara- metr˚ubodu je nutno stisknout bud’ “Obnovit” pro aktualizaci barev, nebo “Nastavit” pro pˇrekreslen´ıpruhu a souˇcasnéseˇrazen´ıbod˚upodle nastavenépozice v paletˇe. Vytvoˇrenou paletu lze uloˇzitdo extern´ıho souboru s pˇr´ıponou pal. Data jsou uloˇzena jako text z d˚uvodu snadnˇejˇs´ıhoimportu ˇcimanuáln´ıeditace barev. Program nab´ız´ıtaké moˇznost uloˇzenou paletu smazat. V pˇr´ıpadˇe,ˇze poˇcet iteraˇcn´ıch krok˚upˇresáhne poˇcet barev nadefinovaných v paletˇe, celá paleta se cyklicky opakuje.

70 Kapitola 7

Z´avˇer

Dle zadán´ıje pˇredkládánadiplomovápráce pojednávaj´ıc´ıo historii fraktáln´ıgeometrie a jej´ım uplatnˇen´ınejen v poˇc´ıtaˇcovégrafice, ale takév dalˇs´ıch oblastech vˇedy a techniky. Jelikoˇzhlavn´ımzámˇerem diplomovéprácebylo na konkrétn´ıch pˇr´ıkladech obsáhnout problematiku fraktáln´ıgeometrie, jsou historickésouvislosti uvedenév prácipro ilustraci vývoje dostateˇcné.Matematickéaspekty sestávaj´ıc´ı z popis˚udimenz´ı a metrik prostor˚u jsou sp´ıˇse pˇredmˇetem pro teoretickézkoumán´ı,proto jsou takév textu podány pouze ve zkrácenéformˇe.Pro detailnˇejˇs´ıinformace jsou uvádˇeny odkazy na odbornou literaturu. Dalˇs´ımc´ılempráce bylo vytvoˇritmateriálypro základn´ıseznámen´ıs fraktáln´ıprob- lematikou v rámci pˇrednáˇsek pˇredmˇetu Poˇc´ıtaˇcovágrafika. Byly zhotoveny slajdy tvoˇr´ıc´ı kostru pˇrednáˇsky a demonstraˇcn´ıprogram zobrazuj´ıc´ınˇekteréfraktáln´ı útvary. Program nab´ız´ı moˇznost zobrazen´ı pˇredvolených oblast´ı, napˇr.posloupnost pˇrirozených ˇc´ısel, Fi- bonacciho posloupnost aj. zejména v Mandelbrotovˇe mnoˇzinˇe. Poˇcet pˇr´ıklad˚ua jejich sloˇzitost je volena tak, aby byly zachyceny nejtypiˇctˇejˇs´ıfraktálydanéskupiny s ohledem na pˇrijatelnou ˇcasovou nároˇcnostvykreslen´ıútvar˚u.Program lze jednoduˇserozˇs´ıˇrit o dalˇs´ı typy fraktál˚udoplnˇen´ımalgoritm˚ua parametr˚uútvaru do pˇr´ısluˇsného modulu. Za úˇcelem prezentace diplomovépráce byl vytvoˇren plakáts náhledyprogramu a slajd˚u. Na plakátu jsou obsaˇzeny základn´ıinformace o fraktáln´ıgeometrii pro atraktivnost doplnˇenéukázkami fraktál˚u. Potenciáln´ı moˇznost rozˇs´ıˇren´ı práce spoˇc´ıváv popisu zaj´ımavost´ı u zvolených typ˚u fraktál˚u. Dalˇs´ıkapitolu mohou tvoˇrit jinéalgoritmy pro generován´ıfraktál˚u, jejich popis a modifikace. Zaj´ımavéby mohlo býtporovnán´ıtˇechto modifikac´ıs p˚uvodn´ımialgoritmy pro zd˚uraznˇen´ıodliˇsnénároˇcnosti na zpracován´ıvýstup˚u. Pˇr´ınosemtétopráceje shrnut´ıjak teoretických poznatk˚ufraktáln´ıgeometrie, tak jejich praktickéaplikace. Rozsah tohoto souhrnu by mˇelodpov´ıdat jednomu pˇrednáˇskovému bloku doplnˇenému o moˇznostvyzkouˇsen´ıprogramu a ovˇeˇren´ıvlastnost´ıfraktál˚uuvádˇených v kapitole 2 na vygenerovaných pˇr´ıkladech. Text je obsahovˇei strukturou pˇrizp˚usoben i “zaˇcáteˇcn´ık˚um” v oblasti poˇc´ıtaˇcovégrafiky . Vˇsechny body zadán´ıdiplomovéprácebyly z pohledu autora splnˇeny.

71 Literatura

[1] Kristopher Babic. Using fractals to simulate natural phenomena. http://davis.wpi.edu/~matt/courses/fractals/index.htm. Vyhled´anov dubnu 2007.

[2] Michael Barnsley, R. L. Devaney, Benoit Mandelbrot, Heinz-Otto Peitgenn, Dietmar Saupe, and Richard Voss. The Science of Fractal Images. Springer-Verlag, 1988.

[3] Michael F. Barnsley. Fractals Everywhere. Morgan Kaufmann, 2000. ISBN 0-12-079069-6.

[4] Markéta Breuerová. Fraktály. Praha. 2006. Vysokáˇskola Umˇelecko Pr˚umyslová v Praze. Diplomovápráce.

[5] Scott Draves. The fractal ﬂame algorithm. http://flam3.com/flame draves.pdf, 2005.

[6] Ron Eglash. African Fractals: modern computing and indigenous design. Rutgers University Press, 1999. ISBN 0-8135-2614-0.

[7] Bri Tish Technology Group Ltd. (London GB2), Donald Martin Monro, and Frank Dudbridge. Fractal coding of data. US Patent 5768437, 16. 6. 1998. Int G06K 009/36, G06K 009/46.

[8] Ray Girvan. The mandelbrot monk. http://classes.yale.edu/fractals/MandelSet/MandelMonk/MandelMonk.html. Vyhled´anov listopadu 2006.

[9] Martin Hinner. Jemnýúvod do fraktál˚u. http://martin.hinner.info/math/Fraktaly/. Vyhledánov listopadu 2006.

[10] Petra Koneˇcná. Vytvoˇren´ıukázkovýchpˇr´ıkladu pro pˇredmˇetZákladypoˇc´ıtaˇcové grafiky. Ostrava. 2006. FEI VSBˇ TU Ostrava. Diplomovápráce.

[11] Benoit B. Mandelbrot. Fraktály: Tvar, náhoda a dimenze. MladáFronta, 2003. ISBN 80-204-1009-0.

[12] Benoit B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, 2004. ISBN 0-7167-1186-9.

[13] Ivo Marak. On synthetic terrain erosion modeling:a survey. http://www.cescg.org/CESCG97/marak/. Vyhled´anov kvˇetnu 2007.

72 [14] Paul Martz. Generating random fractal terrain. http://www.gameprogrammer.com/fractal.html. Vyhled´anov kvˇetnu 2007.

[15] Martin Netuka. Nelinearita výnos˚ucenných pap´ır˚u. Praha. 1997. Fakulta Sociáln´ıch VˇedUniverzity Karlovy. Diplomovápráce.

[16] Petr Pauˇs. Poˇc´ıtaˇcovégenerován´ıfraktáln´ıch mnoˇzin. http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~pausp1/html/skola/fraktaly/reserse.htm. Vyhledánov prosinci 2006.

[17] Martin Pˇrikryl. Frakt´aln´ıkomprese. http://www.prikryl.cz/cze/htmlseminarka.php?id=fraktal. Vyhled´ano v kvˇetnu 2007.

[18] Paul W. K. Rothemund, Nick Papadakis, and Erik Winfree. (2004) algorithmic self-assembly of dna sierpinski triangles. PLoS Biol 2(12): e424 doi:10.1371/journal.pbio.0020424. Vyhled´anov kvˇetnu 2007.

[19] Paul W. K. Rothemund, Nick Papadakis, and Erik Winfree. (2004) using biology to create complex patterns. PLoS Biol 2(12): e448 doi:10.1371/journal.pbio.0020448. Vyhled´anov kvˇetnu 2007.

[20] Justin Seyster. Plasma fractal. http://www.sinc.stonybrook.edu/Stu/jseyster/plasma/. Vyhled´anov kvˇetnu 2007.

[21] WWW str´anky. Benoit mandelbrot - wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Beno^ıt Mandelbrot. Vyhled´anov listopadu 2006.

[22] WWW str´anky. Fractal - wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Fractals. Vyhled´anov dubnu 2007.

[23] WWW str´anky. Stochastic processes - wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Stochastic processes. Vyhled´ano v dubnu 2007.

[24] Pavel Tiˇsnovský.Fraktáln´ıstránky. http://www.fit.vutbr.cz/~tisnovpa/fract/uvod.html. Vyhledánov dubnu 2007.

[25] Pavel Tiˇsnovský.Fraktály v poˇc´ıtaˇcovégrafice. http://www.root.cz/serialy/fraktaly-v-pocitacove-grafice/. Vyhledáno v kvˇetenu 2007.

73 Seznam obr´azk˚u

Mandelbrotova mnoˇzina- [wikipedia [21]]...... 5 Ostrov - [Martin Hinner [9]]...... 7 Fraktáln´ıkapradina - [wikipedia [22]]...... 8 Lorenz˚uvatraktor - [wikipedia] ...... 10 Juliova mnoˇzina - [wikipedia] ...... 12 Mandelbrotova mnoˇzina(detail) - [wikipedia [21]]...... 13 Newtonova fraktáln´ımnoˇzina - [wikipedia [22]]...... 14 Sierpinskéhotrojúheln´ık - [wikipedia] ...... 15 Cantorova mnoˇzina - [wikipedia] ...... 16 Kochova vloˇcka - [Pavel Tiˇsnovský[25]]...... 17 Hilbertova kˇrivka - [Pavel Tiˇsnovský[25]]...... 18 Tˇriiterace Hilbertovy kˇrivky - [wikipedia] ...... 19 IFS kapradina - [Pavel Tiˇsnovský[25]]...... 20 Sierpinskéhokobereˇcek IFS - [wikipedia [22]]...... 22 Mengerova houba - [wikipedia] ...... 23 Fractal Flame...... 23 Fractal Flame, Heart ...... 25 Nevhodnˇeoˇsetˇrenásymetrie - [Scott Draves [5]]...... 26 Rostlina - [Pavel Tiˇsnovský[25]]...... 28 Difúze- [Pavel Tiˇsnovský]...... 29 Krajina - [Pavel Tiˇsnovský]...... 30 Iterace úseˇcky- [Pavel Tiˇsnovský]...... 30 Plazma - [Java applet [20]]...... 31 Plazma vytvoˇrenágenerován´ım pˇr´ımek - [Pavel Tiˇsnovský[25]]...... 32 Krajina - spektráln´ısyntéza - [Pavel Tiˇsnovský]...... 33 Fraktáln´ıoblaka - [1]...... 33 Fraktáln´ıvzor DNA - [19]...... 35 Lenna - [17]...... 35 Rekonstrukce Lenna - [17]...... 36 Fraktáln´ıanténa- [www.wr6wr.com]...... 37 Fraktáln´ıkamufláˇzF16 -[www.hyperstealth.com]...... 38 Santa Prassede - podlaha -[www2.corpoforestaledellostato.it] ...... 38 Salvador Dal´ı- Tváˇrválky- [dali.uffs.net] ...... 39 Africkávesnice Ba-ila - [Ron Eglash [6]]...... 39 Fraktálvesnice Ba-ila - [Ron Eglash [6]]...... 40 Betlémskáhvˇezda - [Ray Girvan [8]]...... 40 GUI programu WinFract ...... 41 Fractal eXtreme - [www.cygnus-software.com] ...... 42

74 XaoS...... 43 Apophysis - [wikipedia] ...... 44 IFS vytvoˇrenýRWA - [Pavel Tiˇsnovský[25]]...... 52 IFS vytvoˇrenýDIA - [Pavel Tiˇsnovský[25]]...... 52 Základn´ıpojmy...... 62 Charakteristiky skupin fraktál˚u...... 63 Demonstrace souvislosti ...... 64 Okno programu...... 68 IFS spirála...... 69 Správce palet...... 70