MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Diplomová práce BRNO 2018 RADEK SUCHÁNEK MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Field equations of General relativity and Einstein-Cartan theory Diplomová práce Radek Suchánek Vedoucí práce: prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. Brno 2018 Bibliografický záznam Autor: Radek Suchánek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Název práce: Field equations of General relativity and Einstein-Cartan theory Studijní program: Matematika Studijní obor: Geometrie Vedoucí práce: prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. Akademický rok: 2017/2018 Počet stran: 10 + 42 Klíčová slova: variace; funkcionál akce; princip stacionární akce; ča- soprostor; rovnice geodetik; metrický tenzor; konexe; Levi-Civitova konexe; Christoffelovy symboly; Rieman- nova křivost; Ricciho křivost; skalární křivost; obecná teorie relativity; stress-energy tenzor; Einsteinovy rovnice pole; linearizovaná gravitace; ADM 3+1 formalismus; diferenciální forma; forma konexe; forma křivosti; forma torze; Einstein-Cartanova teorie; metrický-afinní pros- tor; Riemann-Cartanův prostor; spin tenzor; Einstein- Cartanovy rovnice pole Bibliographic Entry Author: Radek Suchánek Faculty of Science, Masaryk University Department of mathematics and statistics Title of Thesis: Field equations of General relativity and Einstein- Cartan theory Degree Programme: Mathematics Field of Study: Geometry Supervisor: prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. Academic Year: 2017/2018 Number of Pages: 10 + 42 Keywords: variation; action functional; principle of stationary ac- tion; spacetime; geodetic equations; metric tensor; con- nection; Levi-Civita connection, Christoffel symbols; Riemannian curvature; Ricci curvature; scalar curva- ture; general theory of relativity; stress-energy ten- sor; Einstein field equations; linearized gravity; ADM 3+1 formalism; differential form; connection form; curvature form; torsion form; Einstein-Cartan theory; metric-affine space, Riemann-Cartan space; spin tensor; Einstein-Cartan field equations Abstrakt V této diplomové práci se budeme věnovat zejména matematickým aspektům Einsteinovy obecné teorie relativity (GR) a Einstein-Cartanovy teorie (EC), které se zabývají popisem gravitace. Každou z těchto teorií je možné studovat pro dimenzi n 6= 4, my však svou pozornost zaměříme pouze na čtyřdimenzionální časoprostor. Gravitační pole je popisováno pomocí nedegenerovaného metrického tenzorového pole signatury (3;1), které je kovariantně konstantní. Pomocí principu stacionární akce je možné odvodit rovnice popisující dynamiku grativačního pole. V případě GR předpokládáme, že je časoprostor pseudo-Riemannovská hladká varieta vybavená Levi-Civitovou konexí, tj. konexí s nulovou torzí. EC předpoklad nulové torze nepoužívá, čímž se konexe stává další proměnnou ve funkcionálu akce, z nějž se rovnice pole odvozují. Je-li však torze nulová, pak se EC redukuje na GR. Z tohoto důvodu se dá Einstein-Cartanova teorie považovat za zobecnění Einsteinovy teorie relativity. Abstract In this thesis we will mainly study the mathematical aspects of gravitational theories, namely the Einstein general theory of relativity (GR) and the Einstein- Cartan theory (EC). It is possible to study both GR and EC in dimensions other then four nevertheless, we will be focused on the case of four-dimensional space- time. Gravitational field is described with a non-degenerate metric tensor field with signature (3;1) which is covariantly constant. Using the principle of station- ary action, it is possible to derive the equations describing the dynamics of the gravitational field. In GR, the spacetime is assumed to be a pseudo-Riemannian smooth manifold equipped with the Levi-Civita connection, i.e. the torsion of connection vanishes. In EC, the requirement for the torsion tensor to vanish is dropped and the connection occurs as another independent variable in the action functional from which the field equations are derived. If the torsion vanishes then EC reduces to GR. This is the reason to consider Einstein-Cartan theory to be a generalization of Einstein’s theory of relativity. Poděkování Na tomto místě bych chtěl poděkovat svým rodičům, jmenovitě taťkovi a mamce, za obrovskou podporu, které se mi z jejich strany dostalo. Bez jejich podpory by pro mne studium matematiky nebylo možné. Můj upřímný vděk patří také mému školiteli Janu Slovákovi za odborné vedení, věcné připomínky a všechny konzultace, které byly bez vyjímky prostě super. Ještě dlouho se budu podivovat nad tím, jak velké štěstí mám, že jsem mohl být jeho studentem. Dále bych chtěl velice poděkovat Milanu Petríkovi, kterému jsem opravdu zavázán za všechno, co pro mne udělal. Mé díky patří i bratrovi Ottíkovi, který mne vždy dokázal povzbudit. Zítra s ním půjdu do hospody a užijeme si spoustu srandy. Bude určitě rád, že jsem odevzdal. Možná mě i pozve na pivo a nakládaný hermelín. Svůj vděk bych chtěl vyjádřit všem blízkým přátelům, kteří stáli při mně a podporovali mě v době psaní diplomové práce. Martinovi Kubečkovi, On- drovi Hulíkovi, Páje Francírkovi, Ondrikovi Komárků, Leoškovi Kajzarů, Lence Michalkové, Marušce Bakušce, Otce Botce a v neposlední řadě Jiříkovi Jandovi, mému prvnímu kamarádovi na vysoké škole. Tento seznam jmen není uspořádán podle toho, jak mám koho rád. Mám je všechny rád hodně. Snad jsem na nikoho nezapomněl. Na koho jsem zapomněl, může mi to oplatit v jeho/její závěrečné práci. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 4. ledna 2018 . Radek Suchánek Contents Introduction............................................................... ix Notation summary.........................................................x Chapter 1. Principle of stationary action..................................1 1.1 Functionals and variations................................1 1.1.1 Proper time and action for geodesics....................3 1.2 Derivation of geodesic equations...........................4 1.3 Geodesic invariance.....................................7 Chapter 2. General theory of relativity....................................9 2.1 Derivation of the Einstein field equations.....................9 2.1.1 Variation of the determinant.......................... 11 2.1.2 Covariant derivative and variation of G .................. 13 2.1.3 Variation of scalar curvature.......................... 14 2.1.4 Field equations in vacuum............................ 16 2.1.5 Field equations in the presence of matter source............ 16 2.2 Conservation of energy-momentum......................... 18 2.3 Linearized gravity...................................... 20 2.3.1 Christoffel symbols................................. 21 2.3.2 Curvatures....................................... 22 2.3.3 Linearized field equations............................ 23 2.4 ADM 3 + 1 formalism................................... 23 2.4.1 Foliation of the spacetime............................ 24 2.4.2 Splitting of the metric............................... 25 2.4.3 Spatial covariant derivative........................... 27 2.4.4 Curvatures of foliation and ADM action................. 29 Chapter 3. Einsten-Cartan theory of gravity............................... 31 3.0.1 Variations of frames and k-forms....................... 33 3.1 Connection, curvature, torsion............................. 34 3.1.1 Metric-affine space................................. 36 3.1.2 Riemann-Cartan space............................... 38 3.1.3 Hodge duals...................................... 38 – vii – 3.2 Field equations........................................ 39 3.2.1 Vacuum field equations.............................. 39 3.2.2 Field equations in non-vacuum........................ 40 Seznam použité literatury................................................. 42 Úvod In 1916 A. Einstein introduced his general theory of relativity (GR) which became one of the most successful physical theories. General relativity is a theory of grav- ity. The gravitational field is described with a non-degenerate metric tensor field with signature (3;1). The spacetime is defined as a pseudo-Riemannian manifold equipped with the metric compatible and torsion free Levi-Civita connection. In 1922 E. Cartan came with new gravitational theory that suggested to ease the assumption of vanishing torsion while keeping the requirement of metric compat- ible connection. As a consequence, the connection might not be symmetric which influences the form of the field equations. In empty space, the field equations remain unchanged and EC reduces to GR. Using the principle of stationary action, the laws that govern most of the observ- able physical phenomenons can be derived. So called action, corresponding to a specific functional at hand, is varied with respect to the quantity we want to inves- tigate and a variational problem is formulated. By solving the problem, equations describing the dynamics of the varied quantity can be obtained. Following this procedure, we firstly derive the geodesics equations in chapter one. Moreover, investigation of invariance of the corresponding action functional will naturally lead us to the notion of isometry. This serves as a motivational exercise before we move to the second chapter in which the Einstein field equations are derived. We then move to linearized gravity that may be used to facilitate computations in finding approximate solutions to the original field equations. Further in the chapter