Mathém e a d t e i r q t u n e e s C L a z t u r re a nt Schw Université Paris-Sud École doctorale de mathématiques Hadamard (ED 574) Centre de mathématiques Laurent Schwartz (UMR 7640 CNRS) Mémoire présenté pour l’obtention du Diplôme d’habilitation à diriger les recherches Discipline : Mathématiques par Patrick MASSOT Quelques applications de la convexité en topologie de contact Frédéric BOURGEOIS Rapporteurs : Yakov ELIASHBERG Alexandru OANCEA Date de soutenance : 12 décembre 2016 Frédéric BOURGEOIS (Rapporteur) Hansjörg GEIGES (Examinateur) Alexandru OANCEA (Rapporteur) Composition du jury : Pierre PANSU (Examinateur) Claude VITERBO (Président) Jean-Yves WELSCHINGER (Examinateur) Contents Prologue 5 1. Introduction 9 I. A history of convexity in contact topology 19 2. Prehistory 23 3. Contact convexity 39 4. Interactions with gauge theory and Floer homologies 69 5. Higher dimensions 79 II. Personal contributions 91 6. Prelagrangian tori and Heegaard-Floer homology 93 7. Weak and strong fillings in higher dimensions 103 8. From geometry to topology 125 9. Contact mapping class groups 141 III. Ongoing work 161 10.Exotic tight contact structures on ℝ2푛−1 163 11.Open books and invariant norms 165 12.Towards contact homeomorphisms 171 3 Prologue En 1991, Y. Eliashberg et M. Gromov dégagent la notion de convexité en géométrie symplectique en tant qu’objet d’étude à part entière. La dernière section de leur article concerne une proposition de définition des structures de contact convexes. Voici latoute dernière phrase de cet article : « We think that the understanding of contact convexity is essential for the symplectic geometry.» (Eliashberg et Gromov 1991) Puis, au moins provisoirement, ils passent le relai à un étudiant en thèse qui rassemble ses premières réflexions sur le sujet dans un article dont voici la toute première phrase: « Cet article aborde l’étude de la convexité en géométrie de contact, telle qu’elle a été définie dans [EG] : une structure, symplectique ou de contact, est dite convexe si elle est conformément invariante par le gradient d’une fonction de Morse propre.» (Giroux 1991) Le but de ce mémoire est de décrire mes travaux mathématiques dans le contexte des vingt-cinq années de convexité en topologie de contact qui ont suivi ces deux citations. 5 Contents Structure du mémoire Ce mémoire se décompose en quatre ensembles de styles assez différents. Le premier chapitre est une introduction très rapide à la topologie de contact en général et à mes travaux en particulier. Son but est d’amener un lecteur qui ne sait pas ce qu’est une variété de contact (mais qui sait ce qu’est une variété) à avoir une idée du thème de mes travaux, avec un énoncé par article depuis ma thèse. La partie I est une présentation (biaisée) de l’histoire de la convexité en topologie de contact et ses interactions avec le reste la topologie différentielle et symplectique. La partie II est une description plus précise de mes travaux avec des énoncés tech- niques, des plans de démonstrations et quelques indications de développements possibles. Les chapitres qui la constituent peuvent être lus (presque) indépendamment les uns des autres. La partie III décrit mes travaux en cours, plus ou moins avancés selon les chapitres. Cette partie ne contient pas de théorème mais des questions qui me fascinent. Remerciements Les travaux décrits dans ce mémoire existent avant tout grâce à l’organisation du ser- vice public d’enseignement supérieur et de recherche en mathématiques en France. Après des études financées par l’État en classe préparatoires et à l’École Normale Supérieure de Lyon, j’ai, quelques mois avant ma soutenance de thèse, obtenu un poste d’agrégé préparateur à l’ÉNS Lyon pour trois ans. Ce poste m’a permis de préparer mon manus- crit et ma soutenance puis de continuer mes travaux sans aucun souci pour l’avenir à moyen terme. Environ six mois après ma soutenance de thèse, j’ai obtenu un contrat de sérénité à durée indéterminée en tant que maître de conférence à l’Université Paris Sud à Orsay. J’y ai passé quatre ans avant de me voir offrir des conditions de travail encore meilleures au sein de l’École polytechnique à Palaiseau. Les trois institutions citées, et plus particulièrement leurs laboratoires Unité de Mathématiques Pures et Appliquées, Laboratoire de Mathématiques d’Orsay et Centre de Mathématiques Laurent Schwartz m’ont offert une ambiance chaleureuse et un support en secrétariat, gestion etinfor- matique bon ou excellent. En ces jours de diminution du nombre de postes permanents ouverts au concours, je crois qu’il est important de rappeler cette histoire. D’un point de vue mathématique, ce mémoire expose amplement la façon dont mes travaux reposent sur les contributions fondamentales de Mikhaïl Gromov, Yakov Eliash- berg et Emmanuel Giroux. J’ai eu la chance d’avoir Emmanuel Giroux comme directeur de thèse et je continue à l’en remercier. J’ai aujourd’hui l’honneur d’avoir Yakov Elia- shberg comme rapporteur de ce mémoire et je le remercie d’avoir accepté d’y consacrer du temps. D’une façon moins visible mais néanmoins cruciale, les autres membres du jury sont eux aussi des témoins et des acteurs de ma formation et de mon travail. J’ai rencontré Jean-Yves Welschinger à l’ÉNS Lyon où j’ai suivi un de ses cours sur les courbes holomorphes ainsi que de nombreux exposés en groupe de travail et séminaires. J’ai rencontré Alexandru Oancea brièvement à l’ÉNS Lyon et lors du premier week-end Goutelas puis surtout lors des ateliers Symplectic Field Theory à Leipzig où j’ai aussi 6 Contents fait la connaissance de Frédéric Bourgeois. Tous deux m’ont apporté à la fois de lumi- neuses explications lors de leurs exposés et des encouragements par l’intérêt porté à mes travaux. Cet intérêt culmine aujourd’hui avec la rédaction de rapports sur ce mémoire pour lesquels je les remercie vivement. J’ai rencontré Claude Viterbo grâce au projet ANR Symplexe, porté par Étienne Ghys, et au séminaire Symplect’X. Dans ces deux cadres il jouait, et joue toujours pour le séminaire, un rôle important d’animation de la communauté et d’encouragement des jeunes. Hansjörg Geiges est le premier mathémati- cien (ex æquo avec Paolo Lisca) à m’avoir invité à exposer mon travail hors de France à l’automne 2007. Il a continué à se tenir au courant de mes progrès depuis et je le remercie d’apporter à ce jury un regard extérieur au système universitaire français. Pierre Pansu a été le premier Orséen à se pencher sur mon travail avant mon recrutement. Il m’a en- suite beaucoup appris comme directeur du département de mathématiques lorsque j’étais dans la commission des services puis beaucoup écouté et encouragé lors de mes tenta- tives de lier topologie de contact et géométrie de Carnot-Carathéodory. C’est pourquoi je suis heureux qu’il ait accepté d’apporter à ce jury un regard extérieur à la topologie symplectique et de contact. Au-delà de mon directeur de thèse et des membres du jury, il est impossible de ne pas mentionner l’influence exercée par la vision et l’enthousiasme d’Étienne Ghys, Jean- Claude Sikorav et Vincent Colin. D’une façon manifeste, mon travail doit aussi beaucoup à mes collaborateurs John Etnyre, Rafał Komendarczyk, Klaus Niederkrüger et Chris Wendl (en plus d’Emmanuel Giroux déjà cité). Il faut ajouter à cette liste Paolo Ghiggini et Sylvain Courte que seules des fluctuations quantiques inexpliquées empêchent, pour l’instant, d’être officiellement mes collaborateurs. Pour finir cette énumération tautolo- gique, je signale qu’Élisabeth, Cyrille, Julie et Marie me sont indispensables pour toute activité, mathématique ou non. 7 1. Introduction 1.1. Exemples et définition des structures de contact Les structures de contact sont des champs d’hyperplans qui apparaissent naturelle- ment au bord de variétés holomorphes ou symplectiques sous certaines hypothèses de «convexité». Sur le bord 푉 d’un domaine convexe (au sens le plus élémentaire du terme) dans ℂ푛, le champ d’hyperplans considéré est la donnée, pour tout 푣 dans 푉 , de l’unique hyperplan complexe 휉 inclus dans 푇푣휕푉 . D’un point de vue symplectique, on peut voir 휉 comme le noyau de la restriction à 푉 de 휄푋휔 où 휔 est la forme symplectique standard sur ℂ푛 et 푋 est un champ de vecteurs radial transverse à 푉 . Les notions de convexité holomorphe et symplectique sont des généralisations de cet exemple ne faisant intervenir que la structure holomorphe (resp. symplectique). Par exemple, on trouve des structures de contact à l’infini des variétés des Stein, les variétés complexes qui admettent unplon- gement holomorphe propre dans ℂ푛. On en trouve aussi sur le fibré cotangent unitaire d’une variété quelconque, en lien avec la structure symplectique de Liouville. À dimension fixée, tous les champs d’hyperplans mentionnés ci-dessus sont localement isomorphes et on dispose d’une caractérisation simple de ce modèle local, indépendam- ment de l’existence d’une variété dont le bord porte le champ d’hyperplans. On peut donc définir les structures de contact «abstraitement» comme les champs d’hyperplans admettant ce modèle au voisinage de tout point. La figure 1.1 représente un modèle local en dimension 3. Le modèle local est caractérisé par le théorème de Darboux : un Fig. 1.1. : Modèle de structure de contact en dimension 3. Ce champ de plans est inva- riant par translation dans la direction qui n’est pas dessinée. champ d’hyperplans coorientable sur une variété de dimension 2푛 + 1 est une structure 9 1. Introduction de contact s’il admet une équation 훼 qui est une 1-forme pour laquelle 훼 ∧ 푑훼푛 est une forme volume.