Definability and synthesis of transductions Nathan Lhote To cite this version: Nathan Lhote. Definability and synthesis of transductions. Other [cs.OH]. Université de Bordeaux; Université libre de Bruxelles (1970-..), 2018. English. NNT : 2018BORD0185. tel-01960958 HAL Id: tel-01960958 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01960958 Submitted on 19 Dec 2018 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. These` en cotutelle present´ ee´ pour obtenir le grade de Docteur de l'Universite´ de Bordeaux et de l'Universite´ Libre de Bruxelles Ecole´ doctorale mathematiques´ et informatique specialit´ e´ informatique Par Nathan Lhote Definissabilit´ e´ et Synthese` de Transductions Definability and Synthesis of Transductions Sous la direction d'Emmanuel Filiot et d'Olivier Gauwin Soutenue le 12 octobre 2018 Membres du Jury: Miko laj Boja´nczyk Professeur, Uniwersytet Warszawski Examinateur Thomas Colcombet Directeur de recherche CNRS, Universit´eParis-Diderot Rapporteur Emmanuel Filiot Chercheur qualifi´eFNRS, Universit´eLibre de Bruxelles Directeur Olivier Gauwin Ma^ıtrede conf´erences,Universit´ede Bordeaux Directeur Christof L¨oding Chercheur associ´e,RWTH Aachen Rapporteur Anca Muscholl Professeure, Universit´ede Bordeaux Examinatrice Jean-Fran¸coisRaskin Professeur, Universit´eLibre de Bruxelles Examinateur Helmut Seidl Professeur, Technische Universit¨atM¨unchen Pr´esident Definissabilit´ e´ et Synthese` de Transductions Titre D´efinissabilit´eet Synth`esede Transductions R´esum´e Dans la premi`erepartie de ce manuscrit nous ´etudions les fonctions rationnelles, c’est-`a-dired´efiniespar des transducteurs unidirectionnels. Notre objectif est d'´etendreaux transductions les nombreuses correspondances logique-alg`ebrequi ont ´et´e´etablies concernant les langages, notamment le c´el`ebreth´eor`emede Sch¨utzenberger-McNaughton-Papert. Dans le cadre des fonctions rationnelles sur les mots finis, nous obtenons une caract´erisation`ala Myhill-Nerode en termes de congruences d'indice fini. Cette caract´erisation nous permet d'obtenir un r´esultat de transfert, `apartir d'´equivalences logique-alg`ebrepour les langages vers des ´equivalences pour les transductions. En particulier nous montrons comment d´ecidersi une fonction rationnelle est d´efinissableen logique du premier ordre. Sur les mots infinis, nous pouvons ´egalement d´ecider la d´efinissabilit´een logique du premier ordre, mais avec des r´esultatsmoins g´en´eraux. Dans la seconde partie nous introduisons une logique pour les transductions et nous r´esolvons le probl`emede synth`eser´eguli`ere: ´etant donn´eeune formule de la logique, peut-on obtenir un transducteur bidirectionnel d´eterministesatisfaisant la formule ? Plus pr´ecis´ement nous fournissons un algorithme qui produit toujours une fonction r´eguli`eresatisfaisant une sp´ecification donn´eeen entr´ee.Nous exposons ´egalement un lien int´eressant entre les transductions et les mots avec donn´ees.Par cons´equent nous obtenons une logique expressive pour les mots avec donn´ees, pour laquelle le probl`emede satisfiabilit´eest d´ecidable. Mots-clefs Transductions, minimisation, congruence syntaxique, aperiodicit´e,logique du sec- ond ordre monadique, logique du premier ordre, origine, v´erification,synth`ese,data words Title Definability and Synthesis of Transductions Abstract In the first part of this manuscript we focus on the study of rational functions, functions defined by one-way transducers. Our goal is to extend to transductions the many logic-algebra correspondences that have been established for languages, such as the celebrated Sch¨utzenberger-McNaughton-Papert Theorem. In the case of rational functions over finite words, we obtain a Myhill-Nerode-like characterization in terms of congruences of finite index. This characterization allows us to obtain a transfer result from logic-algebra equivalences for languages to logic-algebra equivalences for transductions. In particular, we show that one can decide if a rational function can be defined in first-order logic. Over infinite words, we obtain weaker results but are still able to decide first-order definability. In the second part we introduce a logic for transductions and solve the regular synthesis problem: given a formula in the logic, can we obtain a two-way deterministic transducer satisfying the formula? More precisely, we give an algorithm that always produces a regular function satisfying a given specification. We also exhibit an interesting link between transductions and words with ordered data. Thus we obtain as a side result an expressive logic for data words with decidable satisfiability. Keywords Transductions, minimization, syntactic congruence, aperiodicity, monadic second- order logic, first-order logic, origin, verification, synthesis, data words Laboratoires d'accueil Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique, 351 Cours de la Lib´eration,33405 Talence D´epartement d'informatique de l'Universit´eLibre de Bruxelles, B^atiment NO 8`eme´etage, Campus de la Plaine, ULB CP212, boulevard du Triomphe, 1050 Bruxelles ii Remerciements Ces ann´eesde th`eseont ´et´eune ´etape clef de ma vie pendant laquelle j'ai beaucoup appris et beaucoup chang´e. Une constante durant ces ann´eesest le soutient que j'ai re¸cude la part des personnes qui m'entourent et qui ont contribu´e`arendre ces ann´eesheureuses. Je souhaite commencer par remercier mes encadrants de th`ese,Manu, Olivier et Anca bien s^ur.Je me sens extr^emement privil´egi´ed'avoir eu trois encadrants d'une telle qualit´eet j'ai ´enorm´ement appris `aleur contact pendant ces trois virgule cinq ann´ees. Merci aux membres de mon jury et en particulier `aThomas et Christof d'avoir accept´ede relire mon manuscrit et merci pour vos remarques pertinentes. Merci aux membres du LaBRI qui contribuent `aune ambiance de travail tr`esagr´eable.Merci `aMohammed pour des discussions endiabl´eessur le cours du mitigeur, `aLouis-Marie pour ses calembours interstellaires, `aLuis pour les parties de ping-pong acrobatique, `aFilip pour son amour des cheese nan kebabs, `aNath pour ses le¸consd'escalade. Merci aux nombreux membres du bureau 123 pour une bonne ambiance: Edon, F´elix,Adithya, Varun, Jason, Paul, Karim, Kinda, Rohan, etc. Merci ´egalement aux membres de l'ULB, merci `aLuc de m'avoir support´e dans son bureau, `aIsma¨elpour ses discussions matinales, `aGuillermo pour la fondue, `aMarie pour les sabl´es,`aNicolas pour ses tenues ray´ees,`aL´eopour les soir´eesmusicales. Je souhaite ´egalement remercier les gestionnaires du LaBRI et de l'ULB qui nous rendent la vie infiniment plus facile, en particulier Emmanuelle, V´eronique,Pascaline et Maryka. Merci aux matheux de cette annexe du LaBRI qu'est L'IMB. Merci `aThibaut 'Magic' Kritter pour les parties de basket, merci `aElsa, Nicolas, Jonathan et les autres pour les verres en terrasse et les nombreuses et inoubliables soir´ees nlambda. Merci Elizabeth pour la d´egustationde fruits de mer et merci Cannelle pour les verres lu- mineux. Merci aux potes de Rennes, Vincent meilleur perdant que gagnant, Sarah pour ces supers ann´eescoloc', Lucile pour le voyage au bout du monde, Robert pour les soir´eesLudo & Robert , Ludo pour les soir´eesLudo & Robert, H´elianthe pour avoir fait de moi la fashionista que je suis aujourd'hui. Un merci tout particulier `aAm´eliesans qui je n'aurais sans doute pas fait cette th`ese. Ensuite je souhaite remercier mes parents Dominique et Thierry que j'aime qui m'ont apport´e un soutient inconditionnel pendant des ´etudeslongues et pas toujours lin´eaires. Et puis pour le reste, merci aussi ! Merci `ames sœurs Rachel et Clara, mes deux personnes pr´ef´er´eesex æquo que j'aime et que j'admire. Merci `aLo¨ıcet Nicolas et merci aussi `aleurs enfants (respectifs) Ya¨el,Marek, C^omeet Talia, que j'adore voir grandir et apprendre `aconna^ıtre. Merci `ames grand-parents, Jacqueline, Genevi`eve aka GM, Armand (et Andr´eque j'ai peu connu), pour l'amour et le soutient qu'ils m'ont apport´e. Enfin si j'ai beaucoup chang´e,beaucoup appris et si ces trois ann´eesont ´et´eheureuses, c'est gr^ace`atoi C´ecilia.Merci. iii Definissabilit´ e´ et Synthese` de Transductions iv R´esum´een fran¸cais Des langages aux transductions L'´etudedes langages formels est l'un des piliers de l'informatique th´eoriqueet a permis de d´evelopper de nombreux outils th´eoriqueset pratiques dans diff´erents domaines. Certaines classes de langages se d´emarquent des autres car elles b´en´eficient de plusieurs descriptions diff´erentes, par exemple les langages r´ecursivement ´enum´erablespeuvent ^etrecaract´eris´esen termes de machines de Turing ou en termes de grammaires de type 0 dans la hi´erarchie de Chomsky. Un exemple qui nous int´eresseparticuli`erement est celui de la classe des langages rationnels1 qui se situe au plus bas niveau de la hi´erarchie de Chomsky puisqu'elle est caract´eris´eepar les grammaires r´eguli`eres. Les langages rationnels sont ´egalement caract´eris´espar les expressions rationnelles, les formules de la logique monadique du second-ordre (MSO), les mono¨ıdesfinis (ou de mani`ere