Composition operators with closed range between spaces of smooth functions Dissertation zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften Dem Fachbereich IV der Universität Trier vorgelegt von Nicolas François Kenessey Gutachter: Prof. Dr. Jochen Wengenroth Prof. Dr. Leonhard Frerick Dezember 2012 2 Acknowledgments First and foremost I wish to thank my doctoral advisor, Jochen Wengenroth, for his sup- port. The opportunity to be his assistant in the past five years has not only been a pleasant and challenging occupation, but it also has given me the financial support required to con- centrate on my research. I also would like to express my deep and heartfelt gratitude to Leonhard Frerick for his guidance and our fruitful conversations. A special thank goes to Thomas Kalmes for his thorough reading of this manuscript and his many useful com- ments. Furthermore, I want to thank my friends and family, especially my mother, for their constant support throughout my years of studies. Anne, Bastian, Bernhard, and Ulf also deserve a special mention for giving me the needed moral backup. I can only hope that they know how crucial their friendship has been. Last but not least I would like to say that I am grateful to the entire department of mathematics of the University of Trier. The working atmosphere has always been nothing but pleasant and my colleagues always felt like a part of my family. It fills me with great sorrow that the end of my doctoral research forces me to leave them. The bibliography was produced using BIBTEX, the references have been provided by the database MathSciNet of the American mathematical Society. 3 4 Contents Introduction 10 1 The closure of an algebra of smooth functions in one variable. 17 1.1 Taylor series and formal compositions of power series . 19 1.2 The closure of the composition algebra for an injective smooth curve. 26 2 Characterization of closed composition algebras in one dimension 35 2.1 Introduction and previous results . 35 2.2 Necessity of the conditions . 39 2.3 Sufficiency of the conditions . 47 3 A multidimensional version of Faà di Bruno’s formula and estimates for the higher derivatives of an inverse map 55 Notation . 55 The formula of Faà di Bruno in higher dimensions . 56 The lower bound of an operator . 64 4 A necessary condition in the case of several variables 67 The lower distance estimate . 77 5 Composition isomorphisms between spaces of flat functions. 83 5.1 Preliminary definitions . 84 5.2 C as an isomorphism between spaces of flat functions. 89 Main result . 94 5.3 Some special cases of closed algebras . 99 6 Appendix 115 6.1 Equivalent seminorms on E(Rq; Rd) . 115 6.2 The theorem of Borel for hyperplanes . 117 6.3 Stable diffeomorphisms and norm estimates . 118 List of Symbols 128 Index 129 5 6 Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit bestimmten mathematischen Eigenschaften von sogenannten Kompositionsalgebren als Teilräume der unendlich oft differenzierbaren Funktionen. Eine Kompositionsalgebra ist dabei die Menge d A( ) = F ◦ : F 2 E(R ; R) ; wobei E(Rn; Rm) den Raum der glatten, also unendlich oft differenzierbaren, Funktionen auf Rn mit Werten in Rm bezeichnet und 2 E(Rq; Rd) selbst eine glatte Abbildung ist. Bekanntlich ist der Raum E(Rn; Rm) versehen mit den Halbnormen α kF kK;n = supfkD F (x)k : x 2 K; jαj ≤ ng; wobei K ⊆ Rn kompakt und n 2 N, ein Fréchetraum. Wir beschränken uns hierbei im Wesentlichen auf injektive Funktionen und untersuchen wann die oben erwähnte Kompositionsalgebra abgeschlossen ist. Diese Frage wurde be- reits von Gläser in [Gla63] sowie Bierstone, Milman und Pawłucki in [BMP96] für reell- analytische Funktionen untersucht. Im ersten Kapitel greifen wir eine Charakterisierung von Allan, Kakiko, O’Farrell und Wat- son aus [AKOW98] auf. Diese beschreibt den Abschluss einer Kompositionsalgebra durch formale Potenzreihen, falls eine glatte, injektive Kurve einer einzigen reellen Variable ist. Zuerst befassen wir uns mit der in [AKOW98] erwähnten Komposition von formalen Potenzreihen und versehen diese mit einer sinnvollen mathematischen Definition. An- schließend geben wir alternative, funktionalanalytische Beweise für die Ergebnisse aus der oben erwähnten Arbeit in der Hoffnung, dass diese dazu dienen könnten den Fall q > 1 einzuschließen. Das zweite Kapitel basiert auf der gemeinsamen Veröffentlichung [KW11] mit J. Wengen- roth, die teilweise erweitert wurde. Dieser Teil befasst sich ebenfalls mit glatten, injektiven Kurven. Wir geben drei Bedingungen an, die sowohl notwendig, als auch hinreichend für die Abgeschlossenheit von A( ) sind. Das Hauptresultat lautet wie folgt: Theorem. Sei 2 E(R; Rd) eine injektive Kurve. Die Algebra A( ) ist genau dann abgeschlossen, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: 7 8 (i) Die Funktion ist eine eigentliche Abbildung, (d.h. Urbilder von kompakten Mengen sind kompakt) (ii) jeder kritische Punkt hat endliche Ordnung (d.h. für alle x 2 R existiert ein k 2 N mit (k)(x) 6= 0), (iii) das Bild (R) ist eine Whitney-reguläre Menge (d.h. lokal können zwei Punkte (x); (y) durch eine Kurve in (R) verbunden werden deren Länge C · k (x) − (y)kα nicht überschreitet). Darüber hinaus stellt sich heraus, dass die drei oben angegebenen Bedingungen äquivalent dazu sind, dass eine lokal Hölder stetige Umkehrabbildung besitzt. Das dritte Kapitel stellt Rechenmethoden zur Behandlung des Falles einer injektiven Ab- bildung : Rq ! Rd für q > 1 bereit. Insbesondere beweisen wir eine explizite Formel (Formel von Faà di Bruno) für die höheren Ableitungen von Kompositionen F ◦ G von Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen. Darüber hinaus können wir folgende Abschätzung für die Halbnormen der Inversen θ = −1 eines glatten Diffeomorphismus : U ! V angeben, wobei U und V offene Teilmengen des Rn sein sollen. Die Ab- schätzung lautet: (k−1)k k(k+1) (k) 2 0 −1 2 jjjθ ( (x))jjj ≤ Ck 1 + jjj jjjfxg;k 1 + jjj (x) jjj : (k) n n Hierbei fassen wir die Ableitung θ : V !Mk(R ; R ) als Abbildung mit Werten im n n n Raum Mk(R ; R ) der k-linearen Abbildungen auf dem R auf, welchen wir mit der Norm jjjT jjj = supfkT [r1; ::::; rk]k : kr1k ≤ 1; :::; krkk ≤ 1g versehen. Kapitel 4 verallgemeinert die Techniken aus [KW11] unter Ausnutzung der bereitgestellten Werkzeuge, um notwendige Bedingungen für die Abgeschlossenheit von A( ) zu finden. Es stellt sich heraus, dass , wie im eindimensionalen Fall, eine eigentliche Abbildung sein muss. Darüber hinaus muss sie die “untere Distanzabschätzung” erfüllen, das heißt, dass wir für alle kompakten Teilmengen K ⊆ Rq Konstanten c; γ > 0 finden können, so dass n oγ k (x) − (y)k ≥ c · kx − yk · max dist(x; E( )) ; dist(y; E( )) für alle x; y 2 K gilt. Hierbei bezeichnet E( ) die kritische Menge fz : 0(z) ist nicht injektivg. In Kapitel fünf beschäftigen wir uns mit der Menge I(E( )) von flachen Funktionen (i.e. die Funktion samt all ihrer Ableitungen verschwindet) auf der kritischen Menge. Wir 9 zeigen bereits in Kapitel 4, dass diese Menge stets im Abschluss von A( ) enthalten ist. Das Hauptresultat lautet wie folgt: Theorem. Sei 2 E(Rq; Rd) eine injektive, eigentliche Abbildung mit Whitney-regulärem Bild, die die untere Distanzabschätzung erfüllt. Dann gilt stets I(E( )) ⊆ A( ). Im Fall einer diskreten kritischen Menge können wir dadurch außerdem beschreiben, wann A( ) abgeschlossen ist und dadurch unser Ergebnis aus Kapitel 2 verallgemeinern. Zum Schluß betrachten wir einige Spezialfälle, bei denen die kritische Menge E( ) nicht diskret ist. Wir können bei besonderer Struktur von beweisen, dass in diesen Fällen unter den drei oben genannten Bedingungen A( ) abgeschlossen ist. 10 Introduction This work will study the closure and closedness of special subalgebras, so-called composition algebras, of the space of smooth functions (in one or several variables). Our main interest will be to give necessary and sufficient conditions for such algebras to be a closed subspace of the space of smooth functions. To do this properly, let us clarify some notation. We will always write E(Rn; Rk) for the space 1 n k \ j n k E(R ; R ) = C (R ; R ) j=1 of smooth (or C1) functions on Rn with values in Rk. We endow this space with the family n fk · kK;` : K ⊆ R compact ; ` 2 Ng of seminorms defined by α n kfkK;` = supfkD f(x)k : x 2 K; α 2 N0 ; jαj ≤ `g; α n where D f denotes the partial derivative of f with respect to the multi-index α 2 N0 . The generated locally convex space is Fréchet. Definition. For a smooth map 2 E(Rq; Rd) we define the composition algebra d A( ) = F ◦ : F 2 E(R ; R) and consider it as a subspace of E(Rq; R) together with the relative topology. We will call the generator of A( ) or simply say that the algebra is generated by . d q The composition algebra is the image of the linear map C : E(R ; R) !E(R ; R) defined by C (F ) = F ◦ ; which is called composition operator with symbol . The composition F ◦ is sometimes denoted by ∗F , for instance by Tougeron in [Tou71], and Bierstone, Milman, and Pawłucki in [BMP96]. We will often have to deal with real-valued smooth functions on both the source Rq and range Rd of 2 E(Rq; Rd). In order to facilitate the reading of the (sometimes rather 11 12 technical) proofs to come, we will always use capital letters for smooth function F 2 E(Rd; R) defined on the target area of and small letters for functions f 2 E(Rq; R) defined on the source of . Note that smooth functions on the domain of are elements of codomain of C and vice versa. Let us use this notation to prove the continuity of the composition operator.