Alexios Terezakis Deformation Theory Master's Thesis University of Athens, Department of Mathe- matics Athens March 14, 2019 Advisor: Aristides Kontogeorgis Master Thesis Committee Ioannis Emmanouil Aristides Kontogeorgis Ioannis Dokas To my parents Contents Eiσαγωγή ix Introduction xiii 1 Basic Definitions 1 1.1 Coefficient-Λ-algebras 1 1.2 Zariski Tangent Space 3 1.3 K¨ahlerDifferentials 5 2 Schlessinger's Representability Theorem 9 2.1 Small Extensions 9 2.2 Functors of Artin rings 11 2.3 Universal Elements 12 2.4 Schlessinger's Theorem 14 3 Examples 23 3.1 The Picard functor 23 3.2 Deformations of curves 26 A Flat Modules 29 Literature 31 Eiσαγωγή 'Enac moduli functor F από mia kathgorÐa C! Sets eÐnai ènac συναρτητής από mia kathgorÐa (schemes, sheaves, morfism¸n metαξύ touc, anaparasτάσεων) sthn kathgorÐa twn συνόlwn, ¸ste o F na stèlnei oikogèneiec antikeimènwn thc C πάνω από mia βάση B se èna stoiqeÐo thc κλάσης isodunamÐac twn antikeimènwn πάνω από to B. 'Ena moduli πρόβλημα lègetai fine όtan o moduli συναρτητής eÐnai representable, δηλαδή όtan υπάρχει èna scheme X kai ènac isomorfiσμός ∼ sunartht¸n hX = F . 'Opou o hX eÐnai o συναρτητής pou stèlnei to antikeÐmeno T sto σύνοlo Hom(T;X), twn morfism¸n T ! X thc kathgorÐac C kai thn απεικόnish f : T1 ! T2 sthn απεικόnish hx(T2) 3 h2 7! h1 = h2 ◦ f 2 hX (T1) mèsw tou διαγράμματoc h1 T1 / X > f h 2 T2 H ύπαρξη ενός tètoiou isomorfiσμού, shmaÐnei όti gia οποιαδήποte antikeÐmena Ti;Tj kai συναρτήσειc fij : Ti ! Tj, υπάρχει mÐa συμβατή oikogèneia isomorfi- sm¸n φi tètoia ¸ste to ακόloujo διάγραμμa na metatÐjetai φj hX (Tj) / F (Tj) hX (fi;j ) F (fi;j ) φi hX (Ti) / F (Ti) 'Ena από ta κλασσικά moduli προβλήματa eÐnai to moduli πρόβλημα twn kampul¸n dedomènou gènouc g. Αυτός o moduli συναρτητής apeikonÐzei κάθε oikogèneia sqetik¸n kampul¸n X ! T πάνω από èna scheme T , sthn κλάση isomorfÐac touc, όπου δύο oikogèneiec X1; X2 eÐnai iσόμορφες όtan υπάρχει ènac isomorfiσμός φ tètoioc ¸ste to παρακάτw διάγραμμα na metatÐjetai φ X1 / X2 ~ T x · Contents Γεωμετρικά, oi καμπύλες πάνω από to Speck, όπου to k eÐnai αλγεβρικά kleistό s¸ma, antistoiχούν sta shmeÐa tou X, αφού h απεικόnish X ! Speck antistoiqeÐ se stoiqeÐo tou συνόlou hX (Speck) = Speck; X), δηλαδή se èna γεωμετρικό shmeÐo tou X. Dustuq¸c, h ύπαρξη automorfism¸n kampul¸n, empodÐzei ton moduli sunarthth από to na eÐnai representable. Gia παράδειgma an C eÐnai mia αλγεβρική καμπύλη me κάποιon mh tetrimmèno automorfiσμό φ, τόte èqoume to ακόloujo διάγραμμα φ C / C id Speck / Speck H σπουδαιόthta tou παραπάνω paradeÐgmatoc ègkeitai sto όti h apeikόnish id : Speck ! Speck den periγράφει thn apεικόnish twn oikogenei¸n. Wc èna ακόμα παράδειgma ja deÐxoume όti o moduli συναρτητής twn elleiptik¸n kampul¸n den eÐnai representable. Mia ελλειπτική καμπύλη πάνω από to C eÐnai mia leÐa probo- λική καμπύλη E, mazÐ me èna stajeropoihmèno shmeÐo e 2 E. Qrhsimopoi¸ntac to Je¸rhma Riemann-Roch se συνδυασμό me thn jewrÐa διαμόρφωσης twn τεσσά- rwn shmeÐwn διακλάδωσης thc διπλής επικάλυψης E ! P1, μπορούμε na deÐxoume όti κάθε ελλειπτική καμπύλη mporeÐ na perigrafeÐ από ta shmeÐa mhdeniσμού tou omoγενούς poλυωνύμου Y 2Z − X(X − Z)(X − λZ); Se αυτό to montèlo to kleisτό shmeÐo e èqei probolikèc suntetagmènec e = [0 : 1 : 0], kai λ 2 A1 − f0; 1g. To polu¸numo αυτό orÐzei mia oikogèneia 1 E! A − f0; 1g; πάνω από thn truphmènh afiνική eujeÐa, sunep¸c to A1−f0; 1g mporeÐ na jewrhjeÐ wc q¸roc paramètrwn gia thn oikogèneia. H αναπαράσtash mia κλάσης isomorfÐac wc Ðna den eÐnai moναδική, υπάρχει mia δράση thc συμμετρικής ομάδας S3 sto A1 −f0; 1g h opoÐa παράγετai από touc automorfiσμούς λ 7! 1/λ, λ 7! 1=(1−λ). An jèloume na παραμετρήσουμε elleiptikèc καμπύλες qwrÐc na κάποια proboλική εμφύτευση prèpei na θεωρήσουμε to phlÐko A1 − f0; 1g proc thn δράση αυτή thc S3. O q¸roc pou ja katαλήξουμε eÐnai o δακτύλιoc twn analloÐwtwn tou C[λ]λ(λ−1) pou eÐnai h j-eujeÐa, me (λ2 − λ + 1)3 j = 28 : λ2(λ − 1)2 Υπάρχει mia antistoiqÐa metαξύ twn κλάσεων isomorfiσμού elleiptik¸n kampul¸n πάνω από to C kai twn migadik¸n arijm¸n j 2 C. Wsτόσο h afiνική eujeÐa A1 den apoteleÐ èna fine moduli q¸ro gia tic elleiptikèc καμπύλεc. Πράγματι, èstw 1 mia oikogèneia elleiptik¸n kampul¸n Et orismènh πάνω από to A − f0g, h opoÐa dÐnetai από thn exÐswsh Y 2Z = X3 − tZ3: Gia κάθε t όlec oi Ðnec èqoun stαθερή j-analloÐwth Ðsh me to 0. 'Estw όti to A1 anaparisτά tic elleiptikèc καμπύλες, τόte h paραπάνω oikogèneia ja prèpei 1 1 na antistoiqeÐ ston stαθερό morfiσμό (A − f0g) ! Aj . 'Omwc h ελλειπτική Contents · xi 2 3 3 καμπύλη E0 : Y Z = X − Z èqei epÐshc j-analloÐwth 0. Sunep¸c h oikogèneia 1 Et ja eÐnai tetrimmènh kai Ðsh me E0 × (A − f0g). Wsτόσο αυτό den eÐnai alhjèc, 1 πάνω από to function field C(t) oi oikogèneiec Et kai (A −f0g) gÐnontai iσόmorfec πάνω από thn epèktash C(t1=6). Υπάρχουν διάφορες teqnikèc pou mac epitrèpoun na katasτήσουμε èna moduli πρόβλημα representable, όπως gia παράδειgma h eiσαγωγή thc ènnoiac twn alge- brik¸n q¸rwn kai twn stacks, ή αλλάζοntac thn ènnoia thc isomorfÐac. An mac epitrèpetai mia υπεραπλούσteush, μπορούμε na pούμε pwc ènac τρόπος na ori- stούν ta stacks ενός moduli q¸rou kampul¸n eÐnai na orÐsoume thn kathgorÐa me antikeÐmena tic proper smooth oikogèneiec X! S, twn opoÐwn oi Ðnec eÐnai sunektikèc καμπύλες dedomènou gènouc. H jewrÐa paramorf¸sewn (Deformation theory) από thn άλλη proèrqetai a- πό thn douleÐa twn Kodaira kai Spencer πάνω se migadikèc poλλαπλόthtec. O Grothendieck metèfere thn jewrÐa αυτή sthn gl¸ssa twn Schemes. Μπορούμε na πούμε όti h jewrÐa paramorf¸sewn eÐnai h diaqeÐrish ενός moduli προβλή- matoc tοπικά, όπου meletούντai oikogèneiec πάνω από to φάσμα topik¸n Artin daktulÐwn. 'Enac daκτύλιoc tou Artin eÐnai ex oriσμού ènac δακτύλιoc ston o- poÐo κάθε fjÐnousa akoloujÐa idewd¸n tou termatÐzei ύσtera από peperasmèna βήματa. 'Ena από ta pio απλά paradeÐgmata (pou den eÐnai s¸ma) eÐnai o δακτύλιoc k[]=h2i, όπου to apoteleÐ èna apeirostό βαθμού 2 me thn ènnoia όti 2 = 0. Sth dhmosÐeush tou o Schlessinger mac parèqei thn gl¸ssa kai ta ergaleÐa na qeiristούμε ta apeirosτά san stoiqeÐa tou ‘εφαπτόμενου χώρου’ kai λύνει thn antÐstoiqh συνήθη διαφορική exÐswsh mèsw tupik¸n dunamoseir¸n daktulÐwn. Sugkekrimèna sto Κεφάλαιo 1 eiσάγουμε tic kathgorÐec pou ja χρησιμοποιή- soume, ton Zariski εφαπτόμενο q¸ro kai pwc na ton orÐsoume gia sunarthtèc kai ta διαφορικά K¨ahler. Sto Κεφάλαιo 2 orÐzoume thn ènnoia thc small extension (μικρής επεκτάσης), thn ènnoia smoothness kai tèloc to κεντρικό apotèlesma, to Je¸rhma tou Schlessinger. Sto teleutaÐo κεφάλαιo αποδεικνύουμε me thn χρή- sh tou Θεωρήματoc tou Schlessinger όti o Picard συναρτητής kai o συναρτητής παραμόρφωσης eÐnai pro-representable. Αθήνα Μάρτιoc 2019. Introduction A moduli functor F from a category C! Sets is a functor from a category (schemes, sheaves,morphisms between them, representations) to the category of sets, so that F it sends families of objects of C over a base B to the element of equivalence class of objects over B. A moduli problem is called fine when the moduli functor is representable, that is there is a scheme X and an isomor- ∼ phism of functors hX = F . The functor hX is the functor sending T to the set Hom(T;X), of morphisms of schemes T ! X, and the map f : T1 ! T2 to the map hX (T2) 3 h2 7! h1 = h2 ◦ f 2 hx(T1) by the diagram h1 T1 / X > f h 2 T2 ∼ The existence of an isomorphism hX = F , means that for every objects Ti;Tj and functions fi;j : Ti ! Tj, there is a compatible set of isomorphisms φi so that the following diagram is commutative φj hX (Tj) / F (Tj) hX (fi;j ) F (fi;j ) φi hX (Ti) / F (Ti) One of the classical moduli problems is the moduli problem of curves of genus g. This moduli functor to any family of relative curves X! T over a scheme T assigns the isomorphy class of it, where two families X1; X2 are isomorphic when there is an isomorphism φ making the following diagram commutative: φ X1 / X2 ~ T Geometrically curves over Speck, where k is an algebraically closed field k, correspond to points of X, since the structure map X ! Speck corresponds to an element in the set hX (Speck) = Hom(Speck; X) i.e. a geometric point of X. xiv · Contents Unfortunately, the existence of automorphisms of curves, prevents the mod- uli functor to be representable. For example if C is an algebraic curve which admits a non-trivial automorphism φ, then we have the diagram φ C / C id Speck / Speck The importance of the above example is that the map id : Speck ! Speck does not describe the map of the families. As an other example we will show that the moduli space of elliptic curves is not representable. An elliptic curve over C is a smooth projective curve E, together with a selected closed point e 2 E. As an application of Riemann-Roch theorem we can show that any elliptic curve can be described as the zero locus of the homogeneous polynomial Y 2Z − X(X − Z)(X − λZ); using also the theory of configuration of the four ramification points of the two cover E ! P1. In this model the closed point e has projective coordinates e = [0 : 1 : 0], and λ 2 A1 − f0; 1g.