Z3 --a — mm m ————+­ o a — <T- ——— - — 7 =-T —r —— -- m vů 7777 pzZ < -- — i ——MT u m — mk—. ;LIT ÍE r— —-— =mE2MI Z I M — — o ně -= T m < : o . o = CLTT L — = — — TINsee—————— U —75 = o ————a — m ———--M LÍT M —- o u Mo I —.. — LY wo. =——— a “ 2 --— Z“ STU IHe =— me — - - —— = =— - < 1967-68 ©-= ­ O ně : — A ———= — Mě - —«—— o—“ =m. xA —— - — aLL — —37 ČASOPTS STUDUJÍCÍ ŠKOL VŠEOBECNĚ VZDĚLÁVACÍCHA ODBORNÝCH Ročník 46 Září 1967 Číslo 1 Vedoucí redaktor doc. dr. Miroslav Menšík, ČVUT - Praha nositel vyznamenání Za vynikající práci Výkonný redaktor doc. Ota Setzer, ČVUT - Praha nositel vyznamenání Za vynikající práci Redakční rada: zasl. škol. pracovník Josef Bartůněk, ústřed. insp. MŠK; Jaro­ slavBejsta, ZDŠ, Praha; zasl. učitel Petr Benda, VUT, Brno; doc. dr. Josef Di­ belka, ČVUT, Praha; Stanislav Horák, ČVUT, Praha; doc. Jaroslav Chudý, ČVUT, Praha;prof. dr. Josef Korous, DrSc., PF-UPJŠ, Košice; dr. Oldřich Lepil, PU, Olomouc; prof. dr. Cyril Palaj, PF-UPJ Š, Košice; CSc. Evžen Říman, ČVUT, Praha; dr. Jiří Sedláček,ČSAV, Praha; dr. Ladislav Sehnal, ČSAV, Ondřejov; inž. dr. VáclavŠindelář, MŮ ÚNM,Praha; prof. dr. Ján Vanovič, UK, Bratislava; František Vencálek, SPŠ, Praha. Redakce: Pra­ ha 2, Trojanova 13, telefon 244529 Doc. F. Dušek: Problémy z teorie čísel v různých číselných oborech 1 Z. Mudrák: Některá zajímavá pozorování v lichoběžníku 7 J. Stejskal: Pohybová neostrost 9 L. Vašek: Barometrické měření výšek 14 Dr. L. Sehnal: Umělé družice v r. 1966 18 Dr. L. Sehnal: Snímky Měsíce .. 21 XVII. ročník Matematické olympiády . 23 Seznam vítězů a úspěšných řešitelů III. kola MO kategorie A 28 O průběhu konkursu na úlohy pro MO 28 Devátýročník soutěže Fyzikální olympiáda . 28 K. Hofman: Magnetické obvody — Točivé magnetické pole 32 J. Kotyk: Siemensův princip dynamoelektrický 48 Recenze 50 Dr. M. Zelenka: Slovníček matematických výrazů německo-český 3. a 4. strana obálky Vydává ministerstvo školství ve Státním pedagogickém nakladatelství v Praze, za odborné péče Jednoty čs. matematiků a fyziků. Vychází desetkrát do roka. Roční předplatné 20,—Kčs; cena jednotlivého čísla 2,—Kčs, v zahra­ ničí 3 $. Tiskne Mír, novin. závody, nár. pod., závod 3, Václavská ul. 12, Praha 2. Rozšiřuje Poštovní novinová služba. Informace o předplatném podá a objednávky přijímá každá pošta i doručovatel. Objednávky do zahraničí vyřizuje PNS, ústřední sklad expedice tisku, odd. vývoz tisku, Jindřišská 14, Praha 1. Jazyková úprava zasl. učitel dr. ©. Hónig. Titulní obrázky: V. Vaňková, studující FS. A-11*71952 = A M (a V 0,2 NÁVVÁVÁ: PoE MATEMATIKA NVA Problémy z teorie čísel v různých číselných oborech DOC. FRANTIŠEK DUŠEK, Ústínad Labem Ve vyučování a v populárně vědecké literatuře se uvádějí některé zajímavé, často starobylé, problémy z teorie čísel. Zpravidla se tyto problémy řeší v oboru přirozených čísel; lze je však přenést i do jiných číselných oborů. Uvedeme několik ukázek, jež probereme jednak v oboru N čísel přirozených, jednak v oboru S čísel sudých. Čísla oboru N budeme označovat písmenem » a čísla oboru S písmenem s. Použije­ me-li množinové symboliky, je tedy N= (n =U,2,3,4,5,.., S = 1s)= 12,4,6,8,10, Jj Pro jednoduchost budeme někdy i v oboru S užívat přirozených čísel n, např. lze ke každému s najít takové n, že s = Zn. 1. Čísla sudá a lichá. A. V oboru W jsou jako sudá čísla definována čísla, která jsou ná­ sobky čísla 2, čili čísla dělitelná dvěma. Ostatní čísla nazýváme lichými. Obecně mají sudá čísla tvar 2n, lichá 2n — 1, kde » je přirozené číslo. Jejich součet a součin má tyto vlastnosti: Součet dvou přirozených čísel je číslo liché jen tehdy, je-li jedno z nich liché a druhé sudé; jinak je součet číslo sudé. Součin dvou při­ rozených čísel je číslo liché jen tehdy, jsou-li oba činitelé lichá čísla; jinak je součin číslo sudé. Tyto vlastnosti známe z počtářské zkuše­ 1 nosti; dovedeme je však obecně potvrdit. Ukažme to na součinu dvou přirozených čísel n' a n", jež pišme W=,H 21 —M, 1 = 14 —M, kde 1+ jsou libovolná„0 přirozená čísla a mx čísla 0 nebo 1. Součin nn" = (214— m) (214— m) = = 2 (213 —4M —NM) T MM je číslo liché jen tehdy, kdýž mym,= 1. To nastane pouze pro m = = m, = |, tedy jsou-li n' i m" lichá čísla. Jinak je mym,= 0 a součin tedy číslo sudé. B. Pro sudá čísla převezmeme v oboru S obdobnou definici jako v oboru N. Budou to násobky čísla 2, tj. čísla tvaru 2s čili 4n. Jsou tedy sudýmičísly v oboru S, např. 2.2—4;32.4=8;32.6=1232.8 = 8;atd. Ostatní čísla nazveme lichými. Protože čísla oboru S mají tvar 2n a z nich sudá 41 = 2. 2n, lze lichá čísla zapsat 2 (21—1) = 4An—2=B—2, tedy např. 4 — 2 —=2;38—2—=06;312— 2 = 10;atd. Všimněme si zdánlivého paradoxu, vyplývajícího ze zavedené defi­ nice sudých a lichých čísel, že totiž číslo 2 patří v oboru S mezi čísla lichá. Pro součet a součin dvou čísel oboru S platí: Součet dvou čísel je číslo liché jen tehdy, je-li jeden sčítanec lichý a druhý sudý. Součin dvou čísel je vždy číslo sudé, jak lze obecně ukázat: Zapišme čísla s" a s" ve tvaru S = 24— 738" = 24— 7%, kde s, jsou libovolná, čísla oboru S a 7, čísla 0 nebo 2. Součin „M ss = (284— 14)(25, — r) = = 2 (28483— S12 — Szť1)T 12 je vždy číslo sudé, protože 717,je buď 0 nebo 4. Z toho vyplývá zajímavý závěr, že liché číslo oboru S nemůže být součinem čísel toho oboru. 2. Čísla složená a prvočísla. A. Složeným číslem v oboru N rozumíme číslo, které lze rozložit v součin činitelů různých od daného čísla, např. 8 —2.4, 9—=3.9 apod. Ostatní čísla, např. 2, 5, 13 atd. nazýváme prvočísly. Je patrno, že každé složené číslo má aspoň tři různé dělitele, počítáme-li mezi dělitele čísla i číslo samo a číslo jedna, kdežto prvočísla jsou dělitelná jen sama sebou a číslem jedna. Mohli bychom tedy vyslovit definici prvočísla jako čísla majícího nejvýš dva různé dělitele. Pak by bylo 2 prvočíslem i číslo jedna. V teorii čísel se však vžila definice, která se od předchozí jen „nepatrně“ liší: Prvočíslo je číslo mající právě dva různé dělitele. Touto definicí se z množiny prvočísel vyčleňuje číslo jedna, které se nepokládá za prvočíslo ani za číslo složené. Posloupnost prvočísel tedy začíná čísly 2, 3, 5,7, ... atd. B. Obdobně jako v oboru N považujme v oboru S za složené číslo takové číslo s, které lze rozložit v součin činitelů různých od s. Jsou tedy složenými čísly, např. 4—2.238=2.4312=2.6316— 2.8 = 4.4atd. Ostatní čísla nazýváme prvočísly. Není tedy libovolné prvočíslo p oboru S dělitelné žádným číslem různým od p. Musíme vyloučit i mož­ nost, že by bylo dělitelné samo sebou, protože číslo jedna, které by v takovém případě bylo dalším dělitelem, nenáleží do oboru S. Tak docházíme k překvapující definici prvočísel v oboru S: Jsou to čísla nemající žádného dělitele. Čtenář, který pochybuje snad o správnosti tohoto závěru, nechť si jako konkrétní příklad vezme třeba číslo 14, které lze sice rozložit na 2.7 v oboru WX,alenikoliv v oboru S, který číslo 7 neobsahuje. Zobecněnímuvedeného příkladu dostáváme závěr, že prvočísly v oboru S jsou všechny dvojnásobky čísel lichých v oboru W, tedy čísla tvaru 2 (2n—1) = n— 2= 2s— 2, a to jsou lichá čísla oboru S. Úhrnem tedy platí, že v oboru S jsou všechna lichá čísla prvočísly a všechna sudá čísla čísly složenými. To souhlasí s tím, co bylo o lichých číslech oboru S řečeno na konci od­ stavce 1B. r4NN,C Obr.1 F­G E DOR 3. Kolik je prvočísel? A. Řešení této otázky v oboru N je obsaženo už ve slavném Eukli­ dově díle Základy ze třetího století p. n. I. Protože jde o proslulý důkaz, jehož se v podstatě užívá dodnes v učebnicích, ocitujeme jeho překlad z 20. propozice deváté knihy Základů (místo „prvočíslo“ užívá překladatel názvu „„kmenné číslo“; důkaz je doprovázen) zná­ zorněním čísel úsečkami, viz obr. l): 1)Eukleidovy Základy, Praha1907,náklademJednotyčeských mathematiků, přeložilFrantišek Servít. „„Kmennýchčísel je více než jakékoli dané množství kmennýchčísel. Danými kmennými čísly buďtež A, B, C; pravím, že je více kmenných čísel než A, B, C. Nuže vezměme v úvahu nejmenší číslo, jehož měrami jsou A, B, C a budiž to DE a přičtěmek DE jednotku DF. EF tedy buď je kmenné, buď není. Budiž dříve kmenné; jsou tedy nalezena čísla kmenná A, B, C, BF, počtem více než A, B, C (obr. 1). Avšak již nebuď EF kmenné. Tedy je mu nějaké číslo kmenné měrou. Budiž mu měrou kmenné G; pravím, že G není rovno žádnému z čísel A, B, ČC.Nuže, možno-li, budiž rovno. Avšak A, B, C jsou měrami čísla DE; tedy též G bude měrou čísla DE. Je pak měrou i čísla EF; také zbývající jednotky DF měrou bude G, ač je číslo; což právě nesmyslno. Tedy (čnení rovno žádnému z čísel A, B, C. A bylo vzato za kmenné. Tedy je nalezeno více kmenných než A, B, C, totiž A, B, C, G, což právě bylo dokázati.““ V dnešním podání má důkaz při zachování základní myšlenky obec­ nější podobu a lze jej vést, např. takto: Tvrzení: K libovolněvelkémuprvočíslupz existuje aspoň jedno prvočíslo větší než pz. Důkaz. Uvažujme posloupnost všech prvočísel 4 < Pz < P3< < ... < pz a utvořme čísloPx, které je o jednu větší než součin prvo­ čísel uvažované posloupnosti, tedy PR=DPP -PRT L. Mohou nastat dva případy: 1. Buď je P, prvočíslo a pak je tvrzení dokázáno, protože Px > Pp. 2. Nebo je Px číslo složené a lze je proto rozložit v součin prvočísel, z nichž každé je nutně různé od prvočísel P, P, Ps; Px.