Compact Matrix Quantum Groups and Their Representation Categories Dissertation zur Erlangung des Grades des Doktors der Naturwissenschaften der Fakultät für Mathematik und Informatik der Universität des Saarlandes Daniel Gromada Saarbrücken, 2020 Datum der Verteidigung 02.09.2020 Dekan Prof. Dr. Thomas Schuster Prüfungsausschuss Vorsitzender Prof. Dr. Vladimir Lazić Berichterstatter Prof. Dr. Moritz Weber Prof. Dr. Roland Speicher Dr. Amaury Freslon Akademische Mitarbeiterin Dr. Marwa Banna Abstrakt Im Zentrum dieser Dissertation steht die Untersuchung kompakter Quantengruppen und ihrer Darstellungskategorien sowie die Weiterentwicklung des Diagrammkalküls, der für Berechnungen in diesen Strukturen benutzt wird. Ein effektives Werkzeug für die Untersuchung jener Darstellungskategorien sind so genann- te Partitionskategorien. Eine der Hauptaufgaben ist hier die Lösung von Klassifikationsproble- men. Im Falle der ursprünglichen Definition von Banica und Speicher wurde die Klassifikation von Raum und Weber vollständig erreicht. Nichtsdestotrotz werden heute viele Verallgemei- nerungen von Partitionskategorien eingeführt, untersucht, klassifiziert – oder warten noch auf ihre Entdeckung. Diese Doktorarbeit trägt zu diesem Gebiet auf folgende Weise bei. (a) Wir klassifizieren global gefärbte Kategorien zweifarbiger Partitionen. (b) Wir führen Partitionen mir extra Singletons und deren Kategorien ein. Wir konstruieren einen Funktor, der diese neuen Kategorien mit zweifarbigen Partitionskategorien in Beziehung setzt. Dieser Funktor erlaubt es uns insbesondere Klassifikationsresultate von einer Struktur auf die andere zu übertragen. (c) Wir untersuchen lineare Partitionskategorien, bei denen man auch Linearkombina- tionen bilden darf. Wir zeigen erste echte (so genannte non-easy) Beispiele solcher linearen Partitionskategorien auf; zuvor waren keine solchen bekannt. Diese Beispiele wurden mit Hilfe von Computerexperimenten entdeckt. Wir interpretieren diese dann als Bilder klassischer easy Partitionskategorien unter bestimmten Funktoren. Das Studium von Partitionskategorien ist von Quantengruppen her motiviert, wie bereits erwähnt. Die wesentliche Anwendung ist die Konstruktion von Beispielen – jede Partitions- kategorie induziert eine kompakte Matrixquantengruppe. Insofern liefern Erkenntnisse über die Struktur der Partitionskategorien auch Einblicke in die Struktur der entsprechenden Quantengruppen. Der Versuch letztere genauer zu beschreiben kann mitunter die Definition interessanter Konstruktionen von Quantengruppen nach sich ziehen. In dieser Dissertation leisten wir dazu folgende Beiträge. (d) Wir untersuchen Tensorkomplexifizierungen von Quantengruppen und interpretieren insbesondere die Ergebnisse von (a). (e) Wir untersuchen freie Komplexizifizierungen von Quantengruppen. (f) Wir definieren das Verkleben und das Entkleben für Quantengruppen, das die Tensor- und die freie Komplexifizierung verallgemeinert. Im Zuge dessen interpretieren wir auch die Resultate aus (b). (g) Wir definieren neue Produktkonstruktionen für kompakte Matrixquantengruppen, die das duale freie Produkt und das Tensorprodukt interpolieren. Dadurch können wir auch einige Kategorien von (b) interpretieren. (h) Wir studieren homogene kompakte Matrixquantengruppen, deren Fundamentaldar- stellung reduzibel ist. Dadurch geben wir insbesondere eine Interpretation für die Objekte aus (c) an. (i) Schließlich wenden wir uns noch antikommutativen Verdrehungen der orthogonalen Gruppe zu, um die restlichen in (c) gefundenen Kategorien zu erklären. Die Doktorarbeit basiert auf den Veröffentlichungen [Gro18, GW20, GW19a, GW19b] des Autors. iii Abstract The main topic of this thesis is the investigation of compact matrix quantum groups and their representation categories and the further development of a diagrammatic calculus used for computations in those structures. An efficient tool for studying representation categories of quantum groups are so-called categories of partitions. The main goal here is to solve classification problems. In the case of the original Banica–Speicher categories of partitions, this was solved a few years ago by Raum and Weber. Nevertheless, many generalizations of categories of partitions are being introduced, studied, classified or still waiting to be discovered. This thesis contributes to this area by the following achievements: (a) We classify globally colourized categories of two-coloured partitions. (b) We introduce categories of partitions with extra singletons. We construct a functor linking this structure with categories of two-coloured partitions. In particular, this functor allows to transfer classification results from one structure to the other. (c) We study linear categories of partitions, where linear combinations of partitions are allowed. We bring first proper (non-easy) examples of these linear categories as no examples were known before this project. These were obtained by performing some computer experiments. We interpret these categories as images of classical (easy) categories of partitions by some functors. As we mentioned above, the motivation for studying categories of partitions is to study quantum groups. The main application is to construct examples – every category of partitions induces a compact matrix quantum group. Nevertheless, understanding the structure of partition categories also gives us insight into the structure of the corresponding quantum groups. Trying to describe the associated quantum groups may motivate the definition of some interesting quantum group constructions. In this thesis, we do the following: (d) We study the tensor complexification of quantum groups. In particular, we interpret the result of (a). (e) We study the free complexification of quantum groups. (f) We introduce certain gluing and ungluing procedures generalizing the tensor and free complexification. In particular, we interpret the result of (b). (g) We introduce new product constructions for compact matrix quantum groups that interpolate the dual free and tensor product. Those also interpret some results of (b). (h) We study homogeneous compact matrix quantum groups with reducible fundamental representation. In particular, we interpret many results of (c). (i) We study certain anticommutative twists of the orthogonal group. This interprets the rest of the categories obtained in (c). The thesis is built on the author’s publications [Gro18, GW20, GW19a, GW19b]. v Acknowledgement I wish to express my deepest gratitude to my supervisor Moritz Weber. He introduced me to this exciting field of mathematics and proposed a PhD project, which initiated a fruitful collaboration going beyond the original plans. He was carefully reading all my work and giving me lots of valuable advices regarding the mathematical work itself as well as its presentation in research articles and talks. I greatly appreciate also his outstanding relationship with us – his PhD students –, which created an excellent atmosphere free of any kind of stress or negative emotions. The great atmosphere is surely also a contribution of all the members of the Free probability research group, the members of the SFB graduate school as well as the whole compact quantum group research community. During my study, I had the opportunity to participate in many scientific conferences and summer schools and to present my own results on some of them. I am grateful to the organizers of all these events for inviting me and providing an opportunity to present myself. I am thankful to the scientific community for interesting lectures, inspiring conversations and helpful reviews of my articles. I would like to pay my special regards to Adam Skalski for hosting me at the Mathematical Institute during my research stay in Warsaw. I would like to acknowledge the support of the collaborative research centre SFB-TRR 195 Symbolic Tools in Mathematics and their Application. I am indebted to my parents, who were supporting me for my whole life. Without them, my studies would not be possible at all. Another carrying person lives with me in Germany and promised to stay by me for the rest of our lives – my wife Alena. Thanks to her, I did not have to perform my studies six hundred kilometres from my home – I found my new home here together with her. My last thanks are addressed to all of my old friends who visited me in Germany as well as all the new friends I made here. Also they made the life in a foreign country much easier. vii Contents List of used symbols ........................................ xii Introduction .............................................1 I Preliminaries ..........................................9 1 C*-algebras ............................................. 10 1.1 Basic definitions around C*-algebras . 10 1.2 Basic results on C*-algebras . 11 1.2.1 Algebra of continuous functions . 11 1.2.2 GNS construction . 12 1.2.3 Double commutant theorem . 12 1.3 Constructing C*-algebras . 13 1.3.1 Quotients . 13 1.3.2 Direct sums . 13 1.3.3 Tensor products . 13 1.3.4 Universal C*-algebras . 14 1.3.5 Free product . 16 1.3.6 C*-algebras associated to discrete groups . 16 2 Compact quantum groups ..................................... 18 2.1 Definitions and examples . 18 2.1.1 Compact quantum groups . 18 2.1.2 Compact matrix quantum groups . 20 2.1.3 Hopf algebras . 22 2.2 Representation theory and fundamental properties . 23 2.2.1 Representations of quantum groups . 23 2.2.2 Haar state . 24 2.2.3 Fundamental results of the representation theory . 24 2.3 Further definitions and properties . 26 2.3.1 Various algebras