Pro gradu -tutkielma, teoreettinen fysiikka Examensarbete, teoretisk fysik Master’s thesis, theoretical physics Multiscale Entanglement Renormalisation Ansatz Markus Hauru 2013-11-18 Ohjaaja | Handledare | Advisor Esko Keski-Vakkuri Tarkastajat | Examinatorer | Examiners Kari Rummukainen Esko Keski-Vakkuri HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI FYSIIKAN LAITOS INSTITUTIONEN FÖR FYSIK DEPARTMENT OF PHYSICS HELSINGIN YLIOPISTO — HELSINGFORS UNIVERSITET — UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto — Fakultet/Sektion — Faculty Laitos — Institution — Department Faculty of Science Department of Physics Tekijä — Författare — Author Markus Hauru Työn nimi — Arbetets titel — Title Multiscale Entanglement Renormalisation Ansatz Oppiaine — Läroämne — Subject Theoretical physics Työn laji — Arbetets art — Level Aika — Datum — Month and year Sivumäärä — Sidoantal — Number of pages Master’s thesis November 2013 94 Tiivistelmä — Referat — Abstract This thesis reviews the multiscale entanglement renormalisation ansatz or MERA, a numerical tool for the study of quantum many-body systems and a discrete realisation of the AdS/CFT du- ality. The thesis covers an introduction to the necessary background concepts of entanglement, entanglement entropy and tensor network states, the structure and main features of MERA and its applications in condensed matter theory and holography. Also covered are details on the algorithmic implementation of MERA and some of its generalisations and extensions. MERA belongs to a class of variational ansätze for quantum many-body states known as tensor network states. It is especially well-suited for the study of scale invariant critical points. MERA is based on a real-space renormalisation group procedure called entanglement renormalisation, designed to systematically handle entanglement at different length scales along the coarse-graining flow. Entanglement renormalisation has be used for example to efficiently describe Kitaev states of the toric code, the prime example of topological order, and numerically study the ground state 1 of the highly frustrated spin- 2 Heisenberg model on a kagome lattice and various other one- and two-dimensional lattice models. The geometric and causal structure of MERA, which underlies its effectiveness as a numerical tool, also makes it a discrete version of the AdS/CFT duality. This duality describes a conformal field theory by a gravity theory in a higher dimensional space, and vice versa. The duality is manifest in the scaling of entanglement entropy in MERA, which is governed by a law highly analogous to the Ryu-Takayanagi formula for holographic entanglement entropy, in the connection between thermal states and a black-hole-like MERA and in the connection between correlation functions and holographic geodesics in a scale invariant MERA. The aim of this thesis is to lead the reader to an understanding of what MERA is, how it works and how it can be used. MERA’s core features and uses are presented in a comprehensive and explicit way, and a broad view of possible applications and further directions is given. Plenty of references are also offered to direct the reader to further research on how MERA may relate to his/her interests. Avainsanat — Nyckelord — Keywords multiscale entanglement renormalisation ansatz MERA tensor network Säilytyspaikka — Förvaringsställe — Where deposited Kumpula campus library Muita tietoja — övriga uppgifter — Additional information HELSINGIN YLIOPISTO — HELSINGFORS UNIVERSITET — UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto — Fakultet/Sektion — Faculty Laitos — Institution — Department Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Fysiikan laitos Tekijä — Författare — Author Markus Hauru Työn nimi — Arbetets titel — Title Multiscale Entanglement Renormalisation Ansatz Oppiaine — Läroämne — Subject Teoreettinen fysiikka Työn laji — Arbetets art — Level Aika — Datum — Month and year Sivumäärä — Sidoantal — Number of pages Pro gradu -tutkielma Marraskuu 2013 94 Tiivistelmä — Referat — Abstract MERA, eli multiscale entanglement renormalisation ansatz, on numeerinen menetelmä monen kappaleen kvanttimekaniikan tutkimiseen sekä diskreetti todentuma AdS/CFT-dualiteetista. Tämä tutkielma on yleiskatsaus MERAan. Se käy läpi tarvittavat pohjatiedot lomittumisesta, lomittumi- sentropiasta ja tensoriverkkotiloista, kuvailee yksityiskohtaisesti MERAn rakenteen ja tärkeimmät ominaisuudet ja esittelee sen käyttömahdollisuuksia tiiviin aineen teorian ja holografian tutkimuk- sessa. Lisäksi tutkielma käsittelee MERAn toteutuksen numeerisena algoritmina sekä joitain sen yleistyksiä ja laajennuksia. MERA kuuluu niin sanottuihin tensoriverkkotiloihin, jotka ovat yritteitä monen kappaleen kvant- titiloille. Se on suunniteltu soveltumaan erityisen hyvin skaalainvarianttien kriittisten pisteiden kuvaamiseen. MERA pohjautuu lomittumisrenormalisaatioon (entanglement renormalisation), renormalisaatioryhmäprosessiin, joka on suunniteltu ottamaan huomioon lomittuminen karkeista- misprosessin eri pituusskaaloilla. Sitä on käytetty muun muassa toruskoodin (toric code) Kitaev- tilojen – topologisen järjestyksen malliesimerkin – kuvaamiseen sekä vahvasti turhautuneen ka- 1 gomehilan kehre- 2 -Heisenbergin mallin ja monien muiden yksi- ja kaksiulotteisten hilamallien perustilojen etsimiseen. MERAn geometrinen ja kausaalinen rakenne, jonka varaan sen tehokkuus numeerisena yritteenä perustuu, tekee siitä myös diskreetin todentuman AdS/CFT-dualiteetista. AdS/CFT-dualiteetti kuvaa konformin kenttäteorian gravitaatioteoriaksi korkeampiulotteisessa avaruudessa ja päinvastoin. Tämä dualiteetti ilmenee skaalainvariantissa MERAssa useilla tavoilla: MERAssa lomittumisentropia skaalautuu holografisesti niin kutsutun Ryu-Takayanagi-yhtälön mukaan, termiset tilat kuvautuvat mustaa aukkoa muistuttavaksi MERAksi ja korrelaatiofunktiot MERAssa riippuvat holografisista geodeeseista tensoriverkon halki. Tutkielman tarkoituksena on johdattaa lukija ymmärtämään, mikä MERA on ja kuinka se toimii, esittää kattavasti ja yksityiskohtaisesti sen keskeisimmät ominaisuudet ja käyttötarkoitukset sekä antaa laaja yleiskuva sen sovelluskohteista. Matkan varrella tutkielma pyrkii jakamaan runsaasti viitteitä, joita seuraamalla lukija voi löytää lisätietoa siitä, miten MERA liittyy hänen kiinnostuksensa kohteisiin. Avainsanat — Nyckelord — Keywords multiscale entanglement renormalisation ansatz MERA tensor network Säilytyspaikka — Förvaringsställe — Where deposited Kumpulan kampuskirjasto Muita tietoja — övriga uppgifter — Additional information Contents 1 Introduction 1 2 Entanglement Entropy5 2.1 Entanglement..........................................5 2.2 Entanglement Entropy.....................................6 2.3 Area Laws for Entanglement Entropy............................9 3 Real-space Renormalisation 11 3.1 Tree Renormalisation...................................... 13 3.2 Entanglement Renormalisation................................ 19 4 Tensor Network States 25 4.1 Penrose Graphical Tensor Notation............................. 25 4.2 Tensor Network States..................................... 27 5 Multiscale Entanglement Renormalisation Ansatz 31 5.1 MERA as a Quantum Circuit and its Causal Structure................... 32 5.2 Calculating Observables.................................... 36 5.3 Optimisation........................................... 42 5.4 Different Types of MERA.................................... 46 6 Phases and Their Transitions 51 6.1 The Renormalisation Group Approach........................... 52 6.2 Quantum Phases........................................ 55 6.3 Results with MERA....................................... 56 7 Geometry in MERA & Holography 65 7.1 Correlators and Geodesics................................... 65 7.2 Entanglement and Area.................................... 67 7.3 Holography........................................... 69 8 Extensions of MERA 75 8.1 Branching MERA........................................ 75 8.2 MERA in Two Dimensions................................... 79 8.3 Continuum MERA....................................... 81 vii 9 Conclusion 83 Bibliography 89 A Singular Value and Schmidt Decompositions 91 viii Thanks With this thesis finished all is in place for me to graduate, and thus I would like use the occasion to briefly thank some of the people who have helped me reach this point. First of all, I thank my advisor Esko Keski-Vakkuri for giving me such an excellent topic to work on and for providing helpful and extensive feedback. Moreover, I am very grateful to Esko for his mentorship and the invaluable advice on academic life in general that he has given me. For someone like me, who is just about to enter the academic world, such insightful perspectives can be more valuable than any knowledge found in books or heard in lectures. I also thank Professor Kari Rummukainen and Dr. David Weir for their valuable feedback on this thesis. I thank Grace, Henri, Miguel, Stefan and all my sandbox friends for making me feel at home in Helsinki and for making my life here about more than just physics. Finally, I thank my parents, my brother Jani and my friends back from Oulu, especially Johannes, Rami and Sara, for making me who I am and frequently reminding me of what truly is valuable in life. ix x Chapter 1 Introduction In modern physics, many of the most challenging yet interesting phenomena are found in quantum many-body systems. When extended systems are considered, the high number of interacting degrees of freedom demonstrate strong quantum collective