Schematics of Graphs and Hypergraphs Dissertation der Mathematisch- und Naturwissenschaftlichen Fakult¨at der Eberhard Karls Universit¨atT¨ubingen zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) vorgelegt von Dipl.-Inform. Till Martin Bruckdorfer aus Leer/Ostfriesland T¨ubingen 2015 Gedruckt mit Genehmigung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at der Eberhard Karls Universit¨atT¨ubingen. Tag der m¨undlichen Qualifikation: 17.12.2015 Dekan: Prof. Dr. Wolfgang Rosenstiel 1. Berichterstatter: Prof. Dr. Michael Kaufmann 2. Berichterstatter: Prof. Dr. Alexander Wolff ii Acknowledgements The first person I want to thank is Prof. Dr. Kaufmann for his support. He introduced me to graph drawing, gave me the opportunity to join his working group and to attend several workshops and conferences. He was available for all questions and discussions and gave me inspiration for my research. I also thank Prof. Dr. Alexander Wolff for being co-reviewer and his invitation to two great, helpful and inspiring PhD-workshops in W¨urzburg.For financial support my gratitude goes to the EuroGIGA project GraDR 10-EuroGIGA-OP-003. I would also like to thank all my co-authors, i.e., Patrizio Angelini, Michael A. Bekos, Sabine Cornelsen, Stefan Felsner, Carsten Gutwenger, Michael Kauf- mann, Stephen G. Kobourov, Tamara Mchedlidze, Fabrizio Montecchiani, Mar- tin N¨ollenburg, Sergey Pupyrev, Chrysanthi N. Raftopoulou and Alexander Wolff. I thank Christian Zielke for providing a small editor tool based on yED [193] that supports PEDs, Ferran Hurtado and Yoshio Okamoto for in- valuable pointers to results in discrete geometry, Emilio Di Giacomo, Antonios Symvonis, Henk Meijer, Ulrik Brandes, and Gaˇsper Fijavˇzfor helpful hints and intense discussions, Jarek Byrka for the link between ink maximization and MIS, and Thomas van Dijk for figures and implementations. I also thank my bachelor students Andreas Lauer and Simon Leibssle for their contribution due to their bachelor theses. For enjoyable coffee breaks and helpful discussions I thank my colleagues and visitors Patrizio Angelini, Michael A. Bekos, Philip Effinger, Andreas Gerasch, Niklas Heinsohn, Stephen G. Kobourov, Stephan Kottler, Robert Krug, Tamara Mchedlidze, Fabrizio Montecchiani, Sergey Pupyrev, Vincenzo Roselli, and Christian Zielke. Thanks also for joining the running activities and establishing the \Italian dinner" tradition in T¨ubingen. I also thank all proof-readers of this thesis. I particularly thank Dunja for all her support, as well as my parents. iii iv Zusammenfassung Visualisierung von Informationen ist unerl¨asslich, wenn die zugrunde liegenden Daten komplex sind und das menschliche Gehirn trotzdem den Uberblick¨ behal- ten will. Daher gibt es viele Techniken der Visualisierung um wichtige Informa- tionen der Daten in den Vordergrund zu stellen. In dieser Arbeit besch¨aftigen wir uns mit Visualisierungen, wenn der Datensatz der Informationen in Form eines Graphen gegeben ist, d.h. Objekte repr¨asentiert mit bilateralen Beziehun- gen. Dabei ignorieren wir kontext-spezifische Informationen und konzentrieren uns ausschließlich auf die strukturelle Visualisierung, also das Zeichnen von Graphen oder deren Verallgemeinerung: Hypergraphen. Im Bereich des Graphenzeichnens ist das Ziel die Erstellung von ¨asthetischen Zeichnungen des Graphen. Man befasst sich mit der automatischen Erstel- lung von Zeichnungen ausgehend von einem Graphen als Eingabe f¨ureinen Algorithmus. Wir sind stets daran interessiert, welche Graphen als Eingabe er- laubt sind (Charakterisierung) und wie groß der Zeitaufwand des Testens eines Graphen bzw. des Erstellens einer Zeichnung ist (Komplexit¨atsklasse). Die durch Charakterisierung entstehenden Restriktionen an Graphen ergeben sich meist aus geometrischen Einschr¨ankungen,die auf die Struktur der Graphen ¨ubertragen werden. Wir untersuchen zwei Zeichenmodelle und bestimmen Graphenklassen, welche Zeichnungen in diesen Modellen erlauben. Dabei gehen wir auch auf Varianten ein, wo Knotenpositionen bereits festgelegt sind. Im bekanntesten Modell, der traditionellen geradlinigen Zeichnung, werden wir Punkte vorab definieren, den Punkten Knoten zuweisen und trotz der Ein- schr¨ankungauf eine kleine Menge von Punkten eine Zeichnung ohne Kan- tenkreuzungen erhalten. In dieser Dissertation werden zwei unterschiedliche Zeichenmodelle zur Visu- alisierung von Graphen vorgestellt, sogenannte PED-Zeichnungen und Bus- Zeichnungen, die beide auch mit festen Knotenpositionen betrachtet werden, sowie ein Einbettungsproblem als Br¨ucke zu beiden Modellen, welches sich damit befasst, ob sich Graphen auf einer vordefinierten Punktemenge zeich- nen lassen. Beide Zeichenmodelle existierten bereits im Vorfeld dieser Arbeit, allerdings war kein formales Konzept bekannt, so wie eine Charakterisierung der Graphklasse, die solche Zeichnungen erlaubt, sowie Komplexit¨atsergebnissef¨ur Test- und Konstruktionsalgorithmen. Wir extrahieren Eigenschaften f¨urbeide Zeichenmodelle, die eine aesthetische Zeichnung erlauben. F¨urPED-Zeichnungen fokussieren wir uns auf 1=4-SHPEDs, also zugrunde liegende geradlinige Zeichnungen, in welchen bei jeder Kante nur ein viertel zu Beginn und ein viertel des Endes der Kante gezeichnet wird und die ¨ubrig gebliebenen Stummel kreuzungsfrei bleiben. Auch 1-bend SHOPEDs werden v untersucht, welche das Pandent von 1=4-SHPEDs bez¨uglich der orthogonalen Zeichenkonvention mit einem Knick pro Kante ist. Wir untersuchen ferner die Existenz und Konstruktion von PED-Zeichnungen basierend auf gradlinigen Zeichnungen bei denen Knotenpositionen festgelegt sind. Als ncPED werden PED-Zeichnungen auf Basis von geradlinigen Zeichnungen bezeichnet, wenn alle Kanten fast vollst¨andig gezeichnet werden k¨onnen,und maxSPED ist eine PED-Zeichnung auf Basis einer gradlinigen Zeichnung, wenn ein signifikanter Teil nicht gezeichnet werden konnte, aber die L¨angealler Stummel maximal ist, bei gleicher L¨angeder beiden Stummel pro Kante. Bei Bus-Zeichnungen konzentrieren wir uns ebenfalls auf planare (kreuzungs- freie) Zeichungen, allerdings f¨urHypergraphen, d.h. eine Verallgemeinerung von Graphen, bei der Hyperkanten Mengen entsprechen. Bus-Zeichnungen werden dadurch charakterisiert, dass Hyperkanten als fette Strecken gezeichnet werden und deren Elemente als orthogonal mit ihr verbundene Punkte. Wir bezeichnen Bus-Zeichnungen mit horizontalen Strecken als 1-dimensional und Bus-Zeichnungen mit horizontalen und vertikalen Strecken als 2-dimensional. Letztere charakterisieren wir f¨urden planaren Fall und untersuchen die Kom- plexit¨atder Konstruktion einer 2-dimensionalen planaren Bus-Zeichnung. Un- tersucht wird auch die Existenz und Konstruktion von 1-dimensionalen Bus- Zeichnungen, bei denen Hyperknotenpositionen festgelegt sind. Insgesamt untersuchen wir drei verschiedene Fragestellungen f¨ur(1) das PED- Modell, zwei verschiedene Fragestellungen f¨ur(2) das BUS-Modell und eine Fragestellung zum (3) Einbettungsproblem. (1.1) Wir bestimmen Graphenklassen, die ein 1=4-SHPED besitzen, beweisen, dass es Graphen gibt, die kein 1=4-SHPED besitzen, pr¨asentieren einen kr¨aftebasiertenAlgorithmus, der solche Zeichnungen so gut wie m¨oglich erstellt und evaluieren dieses Konzept. (1.2) Wir charakterisieren Graphen bez¨uglich der Existenz von PED-Varianten und bestimmen die Komplexit¨atf¨urKonstruktion innerhalb solcher Vari- anten bei festgelegten Knotenpositionen: ncPED existiert f¨uralle 2- planaren Graphen und kann f¨uralle Graphen effizient konstruiert werden, sofern sie der Charakterisierung entsprechen. Auch effizient konstruier- bar ist maxSPED f¨ur2-planare Graphen, allerdings ist maxSPED im Allgemeinen NP-hart. (1.3) Wir f¨uhren1-bend SHOPEDs ein und pr¨asentieren einen konstruktiven Algorithmus f¨ur1-bend SHOPEDs f¨urGraphen mit Maximalgrad 3, sowie ein Beispiel, welches kein 1-bend SHOPEDs besitzt. (2.1) Wir charakterisieren Hypergraphen, die eine kreuzungsfreie 2-dimensionale Bus-Zeichnung besitzen und stellen einen effizienten konstruktiven Algo- rithmus bereit. vi (2.2) Wir diskutieren Existenz und Konstruktion von 1-dimensionalen Bus- Zeichnungen. Wenn Hyperknotenpositionen festgelegt sind, zeigen wir f¨urkreuzungsfreie Zeichnungen, dass nur sehr eingeschr¨ankteVarianten eine polynomielle Komplexit¨athaben, dass allgemeine Problem allerdings sehr schnell schwierig wird. (3.1) Wir beweisen die Existenz einer subquadratischen universellen Punkt- menge f¨urdas Einbettungsproblem von 2-außenplanaren Graphen. vii viii Contents 1 Introduction1 2 Basics of Graph Drawing 11 2.1 Graphs, Drawings and Embeddings................ 11 2.2 Aesthetic Criterias and Drawing Conventions.......... 15 2.3 Hypergraphs............................ 18 2.4 Force-Directed Algorithms..................... 20 2.5 Orthogonal Drawings........................ 24 I Partial Edge Drawings (PEDs) 27 3 Introduction 29 3.1 History of PED........................... 30 4 PEDs for Graphs 33 4.1 Formal Concept........................... 33 4.2 Graphs Admitting 1=4-SHPEDs.................. 34 4.2.1 Complete Graphs...................... 35 4.2.2 A Sufficient Condition................... 37 4.2.3 Powers of Triangular Grids................ 38 4.2.4 Complete Bipartite Graphs................ 40 4.2.5 Graphs of Bounded Bandwidth.............. 43 4.3 Graphs Not Admitting 1=4-SHPEDs............... 44 4.3.1 The Main Argument.................... 44 4.3.2 The Middle Strip...................... 47 4.3.3 The Middle Part of the Bottom Strip.......... 48 4.3.4 The Left and the Right Part of the Upper Strip....