ZSGDiGW w Krakowie Wydanie specjalne – 22.06.2012r. – DZIE Ń SPORTU Egzemplarz bezpłatny ☺ Nakład: 100 egz. Czy futbol jest matematyczny? SPIS TRE ŚCI: We współczesnym świecie jest bardzo wiele powodów, dla których mo żna nie lubi ć piłki no żnej str.1 - Czy futbol jest matematyczny? (zdominowana przez komercj ę, skorumpowana, skłonna str.1 - Futbolówka Archimedesa do oszustw - udawanie fauli, próby wymuszania na sędziach korzystnych decyzji, powi ązana z przemoc ą np. str.2 - Piłkarski Nobel burdy kibiców). Równocze śnie wszyscy wiemy, jak str.3 - Zadania o piłce no żnej pi ękny to sport, wyzwalaj ący ogromne emocje. Pełen dramaturgii nie do przewidzenia. Piłka no żna str.3 - Złote my śli trenerów i piłkarzy mo że by ć tak że wspaniała dlatego, że skłania ludzi do str.4 - Ciekawostka stawania si ę lepszymi - kształtuje takie cechy jak: lojalno ść , wytrwało ść , przyja źń , wzbudza wol ę walki, str.4 - Galeria wybranych brył zdrowego współzawodnictwa, uczy szacunku archimedesowych i odpowiedzialno ści, a miejsce antagonizmów zajmuje sportowa rywalizacja. str.4 - Konkurs z nagrod ą!!! Euro 2012 dało szans ę, by piłka przekazała nam co ś o naszym życiu i społecze ństwie. Mistrzostwa Europy 2012 w Polsce spowodowały, że nasza szkoła równie ż poddała si ę jej urokowi. W dniu 06.06.2012 Pan Roman Staszczyk- Futbolówka Archimedesa nauczyciel matematyki, zaprosił wi ększo ść klas ZSGDiGW na bardzo ciekaw ą lekcj ę o temacie „Piłka no żna i matematyka”. Podczas lekcji głównym zadaniem, z którym musieli zmierzy ć si ę uczniowie, było obliczenie i zbadanie pod wzgl ędem konstrukcyjnym budowy dwudziesto ścianu ści ętego, nazywanego w środowisku naukowym „matematyczn ą futbolówk ą”. Ponadto mieli okazj ę rozwi ązywa ć zadania maturalne dotycz ące tematyki piłkarskiej, pozna ć histori ę zwi ązan ą z odkryciami wielo ściennymi Eulera i Archimedesa, Piłka no żna swoim wygl ądem przypomina a tak że dowiedzie ć si ę o „futbolowym Noblu” z chemii, bardzo uporz ądkowany wielo ścian, zło żony przyznanym w 1996r. Na koniec samodzielnie z pi ęciok ątów i sze ściok ątów foremnych. Czy skonstruowali model piłki no żnej. Przedstawiona mo żliwe jest okre ślenie liczby wierzchołków, prezentacja i zaproponowane zadania bardzo podobały kraw ędzi i ścian tej bryły? Tak, o ile uwa żnie si ę młodzie ży. przyjrzymy si ę jej i dostrze żemy charakterystyczne własno ści. Na pocz ątek mo żemy zaobserwowa ć, że 1 ka żdy czarny wielokąt otoczony jest tylko białymi Matematyczna futbolówka zaliczana jest do sze ściok ątami, a biały 3 czarnymi pi ęciok ątami wielo ścianów półforemnych, grupy brył i 3 białymi sze ściok ątami. Ponadto w wierzchołku bryły archimedesowych. Znana jest od czasów łącz ą si ę 2 sze ściok ąty i 1 pi ęciok ąt. Do obliczenia staro żytnych, a odkrycie jej przypisuje si ę szukanych niewiadomych przyjmijmy nast ępuj ące Archimedesowi. oznaczenia: Nasz matematyczny model piłki no żnej to W –liczba wierzchołków, dwudziesto ścian ści ęty. Bryła ta mo że powsta ć K –liczba kraw ędzi, z dwudziesto ścianu foremnego o ile podda si ę j ą S – liczba ścian, odpowiedniej obróbce. Modyfikacja polega na x – liczba czarnych pi ęciok ątów, ści ęciu naro ży tak, aby śladem ci ęcia był pi ęciok ąt y – liczba białych sze ściok ątów. foremny. Poniewa ż mamy „x pi ęciok ątów”, wi ęc wszystkich kraw ędzi pi ęciok ątnych jest w bryle 5x . Podobnie kraw ędzi sze ściok ątnych jest 6y . Dodaj ąc kraw ędzie wszystkich wielok ątów otrzymamy 5x+6y. Musimy jednak pami ęta ć, że kraw ędzie wielościanu powstaj ą przez podwójne zł ączenie kraw ędzi wielok ątów, st ąd otrzymujemy: 5x+6y=2K. Ponadto naro ża wielo ścianu powstaj ą przez poł ączenie trzech wierzchołków (2 od sze ściok ątów i 1 od pi ęciok ąta), wi ęc: 5x+6y=3W. Łączna liczba ścian wielo ścianu to suma pięciok ątów i sze ściok ątów, zatem: x + y = S. Nast ępnie wykorzystamy wzór Eulera na zwi ązek mi ędzy liczb ą wierzchołków, kraw ędzi i ścian dowolnego wypukłego wielo ścianu, tj.: W-K+S=2 Piłkarski Nobel Po przekształceniach otrzymujemy: ° 5x+6y=3W, st ąd W = 1 ·(5x+6y), Czy za „futbolówk ę” mo żna dosta ć Nobla? 3 Za odkrycie nowej (obok grafitu i diamentu) ° 5x+6y=2K, st d K = 1 (5x+6y), ale S = x + y. Wi c ą 2 · ę alotropowej odmiany w ęgla, tzw. fullerenów po podstawieniu do W-K+S=2 mamy: uhonorowano: H. W. Kroto, R. E. Smalleya i R. F. 1 1 3 ·(5x+6y) - 2 ·(5x+6y) + x + y = 2 │·6 Curla w 1996 r. nagrod ą Nobla z chemii. 2·(5x+6y) - 3·(5x+6y) + 6x + 6y = 12 10x + 12y - 15x - 18y + 6x + 6y = 12 x = 12 Istnieje zatem 12 czarnych pi ęciok ątów. Poniewa ż żaden czarny pi ęciok ąt w bryle nie przylega do siebie, wi ęc wielo ścian posiada 60 czarnych kraw ędzi (12·5=60). Białych kraw ędzi jest natomiast dwukrotnie wi ęcej - czyli 120 (białe sze ściok ąty tylko w połowie kraw ędzi stykaj ą si ę z kraw ędziami czarnymi). Z tego wynika że białych sze ściok ątów jest 20 (120:6=20). Wobec tego y=20 białych sze ściok ątów. Podstawiaj ąc odpowiednio za x i y otrzymamy szukan ą 1 liczb ę wierzchołków, kraw ędzi i ścian: W = 3 ·(5x+6y) 1 1 = 3 ·(5 ·12+6 ·20) = 3 ·180 = 60 1 1 1 K = 2 ·(5x+6y) = 2 ·(5 ·12+6 ·20) = 2 ·180 = 90 S = x + y = 12 + 20 = 32 Zatem wielo ścienna Cz ąsteczka Fulerenu C60 piłka no żna ma: swoim kształtem dokładnie odpowiada 60 wierzchołków, dwudziesto ścianowi ści ętemu, czyli analizowanej 90 kraw ędzi przez nas futbolówce. i 32 ściany. 2 Zadania o piłce no żnej - wybór 1. [1pkt] ). Po zako ńczeniu mistrzostw cen ę piłki „TANGO 12 GLIDER B2B EURO 2012 ” obni żono o 20%, a nast ępnie o kolejne 30%. W wyniku tych obni żek, cena piłki spadła do 39,20zł. Jaka była pierwotna cena piłki no żnej? A. 50zł B. 55zł C. 62,50zł D. 70zł 2. [1pkt] ). Piłk ę której obwód wynosi 40 πcm, wykonano w skali 1:10. Średnica nowej piłki wynosi: A. 4m B. 4dm C. 4cm D. 4mm 3. [1pkt] ). Mistrzostwa Europy w piłce no żnej rozgrywane s ą cyklicznie co 4 lata, poczynaj ąc ju ż od 1960 roku. Ile do tej pory przeprowadzono zawodów, nie licz ąc tegorocznego turnieju ? A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 4. [2pkt] ). W sklepie sportowym znajduj ą si ę w sprzeda ży trzy rodzaje piłek no żnych. Ich średnice wynosz ą odpowiednio: 10cm, 20cm i 30cm. Wyka ż, że obj ęto ść najwi ększej piłki jest 3 razy wi ększa od sumy obj ęto ści dwóch pozostałych. 5. [2pkt] ). Brazylijski obro ńca Ronny Heberson oddał najsilniejszy strzał w historii piłki no żnej. Oblicz pr ędko ść oddanego strzału, wiedz ąc że piłka przy tym uderzeniu, pokonałaby dystans 105m (długo ść boiska Stadionu Narodowego Warszawie) w ci ągu 1,8 sekundy. Wynik podaj w km/h. 6. [3pkt] ). Pojemno ść Stadionu Narodowego w Warszawie odpowiada sumie stu pocz ątkowych wyrazów ci ągu a n={90,100,110,120,…}. Oblicz ile miejsc przeznaczonych jest dla kibiców na trybunach. 7. [5pkt] ). Boisko Stadionu Narodowego w Warszawie ma wymiary 105 m x 68 m. Jakie wymiary (przy podanym obwodzie) powinno mie ć boisko, aby jego pole powierzchni było najwi ększe? Złote my śli trenerów i piłkarzy - Piłka jest okr ągła, a bramki s ą dwie. - Je śli jest tak dobrze, to dlaczego jest tak źle? Gramy jak nigdy i przegrywamy jak zwykle. - Dopóki piłka w grze, wszystko jest mo żliwe. Alfredo Di Stefano - Jak si ę szcz ęś cie zaczyna powtarza ć, to ju ż to nie jest szcz ęś cie. Kazimierz Górski Bardzo przepraszam inne kraje, ale gdy wł ączymy do Graj ąc w dziesi ątk ę te ż mo żna wygra ć. Wystarczy, że ka żdy da reprezentacji najlepszych graczy ze Wschodu, Niemcy b ędą z siebie 10% wi ęcej. Czesław Michniewicz niezwyci ęż eni prze długie lata. Nasza reprezentacja gra bosko - Bóg jeden wie, jak zagra. Franz Beckenbauer Jan Tomaszewski W Polsce jest dwóch trenerów, którzy nie wchodz ą w układy Piłka no żna to taka dyscyplina sportu, w której gra na boisku z mened żerami. Jeden to Lenczyk, nazwiska drugiego nie 22 zawodników, przez 90 minut, a na ko ńcu i tak wygrywaj ą pami ętam. Niemcy. Orest Lenczyk Gary Lineker Gramy na typowe udo: albo si ę udo, albo si ę nie udo. Wojciech Łazarek Ból jest chwilowy, sława trwa wiecznie. Uganda? To s ą jakie ś jaja. Albo te inne afryka ńskie dru żyny, George Best pał ętaj ą si ę tam po buszu, ale w rankingu s ą przed nami, to jest zabawa. Tak jak w polityce notowania – mówi ą jedno, a pó źniej Piłk ę trzeba traktowa ć jak swoj ą kobiet ę. Czule i delikatnie. si ę okazuje, i ż wygrał kto ś inny. Cristiano Ronaldo Franciszek Smuda Piłka na poziomie klasy C i reprezentacji Polski jest taka sama. Mamy najlepszych graczy oraz - wybaczcie, je śli jestem Ró żnica polega na tym, że w reprezentacji gra si ę szybciej. arogancki - najlepszego trenera. Andrzej Strejlau Jose Mourinho Ze wszystkich niewa żnych rzeczy futbol jest zdecydowanie najwa żniejsz ą. Je śli tam była r ęka, to była to r ęka Boga. Jan Paweł II Diego Maradona 3 Ciekawostka Ile osób musi wybiec na muraw ę stadionu, aby z prawdopodobie ństwem minimum 50% okre śli ć, że przynajmniej dwie z nich urodziły si ę tego samego dnia? (przez dat ę urodzin rozumiemy dzie ń oraz miesi ąc, ale ju ż nie rok).