<p>PROGRAMMING PARAMETERISED GEOMETRIC OBJECTS <br>IN A VISUAL DESIGN LANGUAGE </p><p>by <br>Omid Banyasad <br>Submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy </p><p>at <br>Dalhousie University Halifax, Nova Scotia <br>June 2006 </p><p>© Copyright by Omid Banyasad, 2006 </p><p>ii </p><p>DALHOUSIE UNIVERSITY </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">DATE: </li><li style="flex:1">June 12, 2006 </li></ul><p>AUTHOR: TITLE: <br>Omid Banyasad PROGRAMMING PARAMETERISED GEOMETRIC OBJECTS IN AVISUAL DESIGN LANGUAGE </p><p>DEPARTMENT OR SCHOOL: DEGREE: PhD <br>Faculty of Computer Science </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">CONVOCATION: October </li><li style="flex:1">YEAR: 2006 </li></ul><p>Permission is herewith granted to Dalhousie University to circulate and to have copied for non-commercial purposes, at its discretion, the above title upon the request of individuals or institutions. </p><p>Signature of Author <br>The author reserves other publication rights, and neither the thesis nor extensive extracts from it may be printed or otherwise reproduced without the author’s written permission. </p><p>The author attests that permission has been obtained for the use of any copyrighted material appearing in the thesis (other than the brief excerpts requiring only proper acknowledgment in scholarly writing), and that all such use is clearly acknowledged. </p><p>iii </p><p><strong>Table of Contents </strong></p><p><strong>List of Tables&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ix List Of Figures&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x Abstract .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii List of Abbreviations Used&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xiii Acknowledgments .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xiv CHAPTER 1:&nbsp;Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . </strong>1 </p><p>1.1 Design&nbsp;Tools .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 <br>1.1.1 Computer-Aided&nbsp;Design .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Mechanical&nbsp;Design Versus Digital Design&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 <br>1.2 Design&nbsp;Languages .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Background&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Research&nbsp;Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Organisation&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 </p><p><strong>CHAPTER 2:&nbsp;Solids in Logic&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . </strong>14 </p><p>2.1 Lograph&nbsp;Syntax and Semantics&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 LSD&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Relating&nbsp;Lograph to LSD&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Design&nbsp;Synthesis .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 <br>2.4.1 Masterkeying&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2 Keys&nbsp;and Locks in LSD&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.3 Key-Lock&nbsp;Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.4 Notes&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 </p><p>iv </p><p><strong>CHAPTER 3:&nbsp;Deterministic Lograph+C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . </strong>36 </p><p>3.1 Lograph&nbsp;Execution Model&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 <br>3.1.1 Order&nbsp;of Transformation Rules&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2 Ordering&nbsp;Cases .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.3 Ordering&nbsp;Cells in Cases and Queries&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 <br>3.2 Lograph+C&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 <br>3.2.1 Constraint&nbsp;Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.2 Constraint&nbsp;Types .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.3 Constraint&nbsp;Satisfaction Techniques&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.4 Constraint&nbsp;Logic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.5 Constraints&nbsp;in Lograph+C&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 <br>3.3 Lograph&nbsp;Programming Environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 <br>3.3.1 Lograph&nbsp;Editor .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.2 Lograph&nbsp;Debugger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 <br>3.3.2.1 Facilitate&nbsp;Navigation in Execution&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.2.2 Orientation&nbsp;Cues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.2.3 Reducing&nbsp;Disorientation .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 <br>3.4 Interpreter&nbsp;Engine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 <br>3.4.1 Translating&nbsp;Lograph to Prolog&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.2 Interpreting&nbsp;Lograph Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 <br>3.4.2.1 Replacement&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.2.2 Merge&nbsp;Rule .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.2.3 Deletion&nbsp;Rule .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.2.4 Backtracking&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 <br>3.4.3 Running&nbsp;Programs in Debug Mode&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 <br>3.4.3.1 Finding&nbsp;A Solution&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 <br>3.4.4 Finding&nbsp;All Solutions&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.5 Just-in-Time&nbsp;Programming and User Inputs&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 </p><p>v</p><p>3.5 Implementation&nbsp;Considerations .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 Discussion&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 </p><p><strong>CHAPTER 4:&nbsp;Automatic Layout&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . </strong>73 </p><p>4.1 Mental&nbsp;Map .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Drawing&nbsp;Query Graphs&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 <br>4.2.1 Replacement&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.2 Foresighted&nbsp;Wire Adjustment&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.3 Merge&nbsp;and Deletion&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.4 Automatic&nbsp;Layout for Run Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 <br>4.3 Discussion&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 </p><p><strong>CHAPTER 5:&nbsp;A Formal Model for Solids&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . </strong>89 </p><p>5.1 Formal&nbsp;Model .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2 Sample&nbsp;Look .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 <br>5.2.1 Factoring&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 5.2.2 Relaxed&nbsp;Factoring .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 5.2.3 Sample&nbsp;Value Assignment Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 <br>5.3 Transformation&nbsp;and High-level Parameterisation&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 5.4 Reduction&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 <br>5.4.1 Background&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 5.4.2 Reduction&nbsp;Formalism and Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 5.4.3 Reducing&nbsp;Solids .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 5.4.4 Reduction&nbsp;Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142 5.4.5 Reduction&nbsp;Algorithm Optimisation&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 5.4.6 Incremental&nbsp;Reduction .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 <br>5.5 Behaviour&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157 5.6 Multiple&nbsp;Behaviours .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 5.7 Motion&nbsp;Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 </p><p>vi </p><p>5.8 Summary&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 </p><p><strong>CHAPTER 6:&nbsp;Solid Modeling for LSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . </strong>174 </p><p>6.1 Explicit&nbsp;Components and Operations in LSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 <br>6.1.1 Explicit&nbsp;Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 6.1.2 Operations&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 <br>6.2 Common&nbsp;Solid Modeling Schemes&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 <br>6.2.1 Classical&nbsp;Solid Modeling Schemes&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 <br>6.2.1.1 Constructive&nbsp;Solid Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 6.2.1.2 Boundary&nbsp;Representation (b-rep)&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 6.2.1.3 Sweep&nbsp;Representation .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 <br>6.2.2 Other&nbsp;Representations .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 6.2.3 Commercial&nbsp;Solid Modelers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 <br>6.3 PLaSM&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 <br>6.3.1 Non-geometric&nbsp;Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 6.3.2 Geometric&nbsp;Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 6.3.3 PLaSM&nbsp;Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185 <br>6.4 LSD&nbsp;and PLaSM&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186 6.5 Discussion&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194 </p><p><strong>CHAPTER 7:&nbsp;Conclusions .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . </strong>196 </p><p>7.1 Contributions&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197 7.2 Future&nbsp;Work .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198 <br>7.2.1 Programming&nbsp;Environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198 7.2.2 Animation&nbsp;of Operations&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199 7.2.3 Defining&nbsp;Behaviours by Demonstration&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200 7.2.4 A&nbsp;Continuous Domain Constraint Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202 <br>7.3 Final&nbsp;Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204 </p><p>vii </p><p><strong>Bibliography .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Appendix A: LSD Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;219 Appendix B: Formal Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;223 Appendix C: Algorithms&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;234 </strong></p><p>C.1 Interpreter&nbsp;Engine .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234 C.2 Reduction&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247 <br>C.2.1 Basic&nbsp;Reduction Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247 C.2.2 Optimised&nbsp;Reduction Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248 C.2.3 Reduction&nbsp;Algorithm Support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250 <br>C.3 Translator&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253 </p><p>viii </p><p><strong>List ofTables </strong></p><p>Table 2-1: A key-lock matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Table 3-1: Boundary conditions for the initial invocation of a literal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Table 3-2: Case selection for the recursive meta-call to a literal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Table 4-1: Wire adjustment algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Table 6-1: Relating the generic blueprint for a knot to Definition 5.21.&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . .190 Table A.1: Symbols in LSD. .&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222 </p><p>ix </p><p><strong>List Of Figures </strong></p><p>Figure 2.1: A function cell. ........................................................................................................................................... 16 Figure 2.2: A list in Lograph........................................................................................................................................ 17 Figure 2.3: A literal cell. ................................................................................................................................................. 17 Figure 2.4: Cases of the definition Concat......................................................................................................... 18 Figure 2.5: Execution steps of a query in Lograph........................................................................................ 19 Figure 2.6: A query with a guard terminal.......................................................................................................... 20 Figure 2.7: Components of a key solid with two possible bit cuttings.............................................. 21 Figure 2.8: The LSD designs Key and Partial-Key............................................................................................. 23 Figure 2.9: Two cases of the design Bit................................................................................................................ 24 Figure 2.10: A key specification, and the replacement rule...................................................................... 25 Figure 2.11: The assembly process......................................................................................................................... 26 Figure 2.12: Key assembly process.......................................................................................................................... 27 Figure 2.13: A side view of a lock and one of its keys................................................................................ 29 Figure 2.14: Lock and Partial-Lock cases............................................................................................................. 31 Figure 2.15: Chamber design..................................................................................................................................... 32 Figure 2.16: Open and Member definitions...................................................................................................... 33 Figure 2.17: Masterkeying problem........................................................................................................................ 34 Figure 2.18: Query result.............................................................................................................................................. 35 Figure 3.1: A relation cell.............................................................................................................................................. 45 Figure 3.2: A constraint cell (a) and its specification (b)............................................................................ 46 Figure 3.3: Definition member.................................................................................................................................. 48 Figure 3.4: Execution mode icons........................................................................................................................... 54 Figure 3.5: A query window and a query runtime window..................................................................... 55 Figure 3.6: The control flow diagram for the replacement of a literal............................................... 68 Figure 4.1: Expansion of a query graph................................................................................................................ 80 </p><p>x</p><p>Figure 4.2: Wire adjustment....................................................................................................................................... 81 Figure 4.3: Shrinking a query graph......................................................................................................................... 86 Figure 5.1: A Square in the design space............................................................................................................ 93 Figure 5.2: An unsuccessful application of Bonding....................................................................................... 96 Figure 5.3: Application of Bonding to two rectangles.................................................................................. 97 Figure 5.4: Sample looks of two trapezoids...................................................................................................... 99 Figure 5.5: A scaling operation................................................................................................................................114 Figure 5.6: Solid Arm(b,c,d,e,l,a,r)..........................................................................................................................119 Figure 5.7: A Partial-Robot solid............................................................................................................................142 Figure 5.8: An equality constraint graph............................................................................................................143 Figure 5.9: A simplified equality constraint graph.........................................................................................146 Figure 5.10: A Robot with articulated arm......................................................................................................169 Figure 5.11: Two curves representing two motions for Robot...........................................................170 Figure 5.12: Two motions for Robot..................................................................................................................171 Figure 6.1: Designs Pol and Partial Pol................................................................................................................187 Figure 6.2: Slice solid, and LSD representations of Slice and the bond operation.....................188 Figure 6.3: A query (a) and its state before merge and deletion (b)...............................................189 Figure 6.4: An anchor-knot graph.........................................................................................................................189 Figure 6.5: Reduced anchor-knot graphs..........................................................................................................192 </p>