4 Contents 1 Introduction 11 1.1 Motivation (version française)......................... 11 1.1.1 Contexte historique.......................... 11 1.1.2 Cadre du travail............................ 14 n 1.1.3 La transformée de Riesz sur R .................... 17 n 1.1.4 Représentation analytique de la transformée de Riesz sur R ... 18 n 1.1.5 Représentation probabiliste des transformées de Riesz sur R ... 19 1.1.6 Exemple : l’espace Gaussien...................... 20 1.1.7 Méthodes et résultats......................... 22 1.1.8 Applications et perspectives...................... 26 1.2 Motivation................................... 28 1.2.1 Historical context............................ 28 1.2.2 Context of the work in this thesis................... 30 1.3 Notations.................................... 34 2 Preliminaries 37 2.1 The Hilbert and Riesz transforms....................... 37 2.1.1 The Hilbert transform on T ...................... 37 2.1.2 The Hilbert transform on R ...................... 38 2.1.3 Properties................................ 38 n 2.1.4 The Riesz transform on R ...................... 40 2.2 Semigroups................................... 41 2.3 Analytical representation of the Riesz transform.............. 44 2.4 Stochastic calculus............................... 45 2.4.1 Bases of stochastic calculus...................... 45 2.4.2 Feynman-Kac formula......................... 50 2.5 Probabilistic representation of the Riesz transform............. 51 2.6 Example: the Gaussian space......................... 52 2.7 Riemannian geometry............................. 54 2.7.1 Laplacians................................ 59 2.8 Methods and results.............................. 61 2.8.1 First result............................... 61 2.8.2 Second result.............................. 62 5 2.8.3 Third result............................... 63 3 Bellman functions and their applications on martingale transform 65 3.1 Haar basis.................................... 65 3.2 Useful results.................................. 67 3.3 The martingale transform on L2(w) ..................... 82 4 Sharp dimension-free weighted bounds for the Bakry-Riesz vector. 91 4.1 Development.................................. 91 4.1.1 Setting and notations......................... 91 4.1.2 Preliminaries.............................. 93 4.2 Bilinear embedding and its corollary..................... 94 4.3 The Bellman function............................. 96 4.4 Proof of the main result............................ 108 4.4.1 Estimate from below.......................... 109 4.4.2 Estimate from above.......................... 110 4.4.3 Conclusion............................... 117 4.5 Enlarging the set of weights.......................... 118 4.6 Case of the Gauss space............................ 120 4.7 Remark on the sharpness of the result.................... 121 5 Stochastic calculus on manifolds 123 5.1 Orthonormal frame bundle and parallel transport.............. 123 5.1.1 Parallel transport............................ 123 5.1.2 Orthonormal frame bundle...................... 124 5.2 Construction of Brownian motion....................... 130 5.3 Heat equation and 1-forms........................... 131 5.4 Probabilistic representation of the Riesz transform on manifolds...... 134 6 Sharp Lp estimate of the Bakry Riesz transform 141 6.1 Main results................................... 143 6.2 The stochastic process Z ............................ 145 6.3 The Riesz vector................................ 154 6.4 Negative curvature case............................ 154 7 Applications and Perspectives 161 7.1 The Beurling-Ahlfors operator......................... 161 7.2 Fractional integrals............................... 162 7.3 Lp(w) boundedness of the Riesz transforms on Riemannian manifolds.. 163 6 Remerciements J’aimerais tout d’abord remercier Stefanie Petermichl pour m’avoir pris sous son aile pendant ces trois années, m’avoir proposé un sujet sur lequel j’ai adoré travailler avec elle et pour m’avoir fait voyager au sens figuré dans le monde de la recherche mais également au sens littéral à travers le monde afin de me former auprès d’experts en analyse harmonique. Je tiens à remercier également Komla Domelevo pour m’avoir fait découvrir l’analyse stochastique, pour avoir répondu à toutes mes questions avec beaucoup de pédagogie, pour avoir enrichi ma culture en géométrie différentielle ainsi que pour tous ses conseils lors de la rédaction de ce manuscrit. J’aimerais remercier mes amis/collègues du bureau principal 1R3-202 qui ont rendu cette aventure inoubliable : à Victor pour ses nombreux conseils, à Sourav pour toutes nos discussions de fin de journée, à Susely pour avoir volé à mon secours à chaque fois que Latex faisait des siennes et enfin à Anthony pour sa touche orientale. Sachez que vous me manquerez tous énormément (mais ne t’inquiète pas Anthony, toi un peu plus ;-) ). Je remercie également tous les autres thésards qui m’ont côtoyés pour leur accueil, les aides dans les tâches administratives, la préparation des enseignements, et j’en passe. Je souhaite à ceux qui soutiendront après moi de s’épanouir dans leurs projets et de réussir. Durant ces trois années j’ai eu la chance de renconter beaucoup de doctorants et post doctorants à Toulouse mais aussi ailleurs et avec lesquels je me suis beaucoup amusée. Je souhaite donc remercier Pierre et Kevin pour les débats sur les formations à suivre à la mécanique des fluides, mais aussi Alex pour son invitation au laboratoire DIAM de Delft, Queen Lashi pour nos nombreuses conversations philosophiques, Clément et Marine pour leur accueil au laboratoire de mathématiques à Besançon et enfin Valentin pour les bons moments partagés en conférences. Je remercie également Kristina avec qui j’ai adoré parler de mathématiques et faire des to-do list. Ma gratitude s’adresse aussi à Catherine Stasiulis pour toute son aide, pour m’avoir reçue avec beaucoup de gentillesse et toujours avec le sourire. Je remercie également Mihai Maris, dont le bureau m’était toujours ouvert, pour ses nombreux conseils. Un grand merci à El Maati Ouhabaz pour avoir suivi mon parcours depuis le début du Master et à Frédéric Bernicot pour m’avoir invité au laboratoire Jean Leray afin de partager mon intérêt pour les estimations à poids. 7 Emmanuel Russ et Olivier Guédon m’ont fait l’honneur de bien vouloir consacrer du temps à la lecture de ce manuscrit. Je tiens à les remercier pour l’intérêt qu’ils ont porté à mes travaux. Je remercie vivement Bernhard Haak pour avoir accepté de faire partie de mon jury, mais aussi pour avoir rendu les Travaux Dirigés d’analyse fonctionnelle auxquels j’ai assisté aussi intéressants ! J’ai une profonde pensée pour Maëva qui a été une jum exceptionnelle malgré tout le stress qu’elle a dû subir elle même, mais aussi à mes amies de longue date (Mouna, Diane, Sasha) qui ont toujours trouvé le fin mot lorsque le moral n’était pas au plus haut. Merci à Marie pour avoir été à mes côtés ces derniers mois et pour tout son encouragement. Une mention particulière également à Jimmy : supporter un(e) thésard(e) n’est jamais chose simple. Merci pour ton soutien sans faille et ta bonne humeur au quotidien. Merci également de me rappeler que la distance n’est qu’un prétexte de plus pour se voir plus souvent. Enfin, je remercie de tout coeur mes parents pour avoir toujours cru en moi, pour leur soutien infini et pour avoir formé le meilleur fan club au monde. Ma babushka également qui, malgré la distance, m’a envoyé toutes les ondes positives du monde afin que je réussisse au mieux mon parcours scolaire et ce, depuis mes 5 ans. 8 Abstract The topics addressed in this thesis lie in the field of harmonic analysis and more pre- cisely, weighted inequalities. Our main interests are the weighted Lp-bounds of the Riesz transforms on complete Riemannian manifolds and the sharpness of the bounds in terms of the power of the characteristic of the weights. We first obtain a linear and dimension- less result on non necessarily homogeneous spaces, when p = 2 and the Bakry-Emery curvature is non-negative. We use here an analytical approach by exhibiting a concrete Bellman function. Next, using stochastic techniques and sparse domination, we prove that the Riesz transforms are Lp-bounded for p ∈ (1, +∞) and obtain the previous result for free. Finally, we use an elegant change in the precedent proof to weaken the condition on the curvature and assume it is bounded from below. Keywords: Riesz transforms, weighted inequalities, Bellman functions, Bakry- Emery curvature, sparse operators, stochastic representation of the Riesz transform. Résumé Cette thèse s’inscrit dans le domaine de l’analyse harmonique et plus exactement, des estimations à poids. Un intérêt particulier est porté aux estimations Lp à poids des transformées de Riesz sur des variétés Riemanniennes complètes ainsi qu’à l’optimalité des résultats en terme de la puissance de la caractéristique des poids. On obtient un premier résultat (en terme de la linéarité et de la non dépendance de la dimension) sur des espaces pas nécessairement de type homogène, lorsque p = 2 et la courbure de Bakry-Emery est positive. On utilise pour cela une approche analytique en exhibant une fonction de Bellman concrète. Puis, en utilisant des techniques stochastiques et une domination éparse, on démontre que les transformées de Riesz sont bornées sur Lp, pour p ∈ (1, +∞) et on déduit également le résultat précèdent. Enfin, on utilise un changement élégant dans la preuve précèdente pour affaiblir l’hypothèse