Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: 2 1 31x 27 221xx 3.2 10 2 2 51xx56 23xx 0'5 3 2 4x1 256 2x2 xx2 3 3 30 2 1 34x 9 253x 0'2 9xx 31 10 3 5x3 x5 a a 4 13x5 2x5 a a 3x 6 a 3x5 a 7 Ejercicios a realizar de logaritmos 2log x= log(10x-9) log(x+2) +log(10x+20)= 3 log x =log2+2.log(x-3) log(3x+1) – log(2x-3)=1 –log5 log(x2+1) –log(3x-8)=1 2 log4 (x -2)=1/2 Razones y proporciones. Una razón es un cociente o comparación de magnitudes. En la razón se busca comparar dos números en el que el primero contenga al segundo y viceversa. Ejemplos: 12 15 5 1 3 3 4 5 15 3 Una proporción está determinada como la igualdad de dos razones, ejemplo: A C R R la proporción se escribe como: A:B : : C:D que se lee: 1 B 2 D A es a B como C es a D. Se considera que A y D son extremos y B y C son medios. Proporcionalidad geométrica. Si en una figura geométrica se conserva la razón que existe al comparar dos de sus magnitudes y una de ellas la hacemos crecer o variar su tamaño, las demás magnitudes deben variar con la misma constante de proporcionalidad. Ejemplo: los lados de un rectángulo miden 3 m y 5 m, si el largo crece a 10 m ¿cuanto debe de medir el ancho para conservar la razón que existe entre ellos? 3 x 3(10) Entonces x x 6 m 5 10 5 Ejemplo.- sea un triángulo de lados 3, 4 y 5 obtenga uno de mayor dimensión. Se puede resolver multiplicando por dos cada uno de los lados quedando las nuevas medidas de 6, 8 y 10 unidades. 6 10 5 3 8 4 DIAGONALES DE UN POLÍGONO Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. El número de diagonales (D) de un polígono convexo (sea o no regular) viene determinado por el número de lados (N) que tiene el polígono. Su fórmula es: Ángulos de un polígono Como ya adelantamos, los tres ángulos internos de un triángulo siempre suman 180°. Si le asignamos n al número de lados, podemos crear una fórmula para calcular el número de grados de cualquier polígono. (n – 2) × 180° Triángulos Clasificación de los ángulos EJERCICIOS SOBRE ANGULOS 1) Si alfa = 250. Calcular el complemento de alfa.- a) 750 b) 650 c) 1550 d) 1000 e) 250 2) Calcular el suplemento del complemento de 500. a) 400 b) 1400 c) 900 d) 1300 e) 600 3) Alfa y Beta son complementarios. Si Alfa es el doble de Beta. ¿Cuánto mide Alfa? a) 600 b) 300 c) 1200 d) 1800 e) Otro 4) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 5 veces Beta ¿Cuánto mide Beta? a) 300 b) 1500 c) 600 d) 800 e) 450 5) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 6 veces Beta ¿Cuánto mide Alfa? a) 1250 b) 27,50 c) 25,70 d) 154,20 e) 1500 6) AB BC. Si el ABD es la tercera parte Del DBC. ¿Cuánto mide el ABD? A D a) 450 b) 22,50 c) 300 d) 500 e) 800 B D C 7) A, B, C, colineales. BD bisectriz del ángulo E ABC; BE bisectriz del ángulo ABD. BF bisec- F triz del ángulo EBD ¿Cuánto mide ABF? B A C 0 0 0 0 a) 20 b) 45 c) 22,5 a d) 67,5 e) 90 a A A E RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTA A A 1 2 1 adyacente al 2 3 4 2 adyacente al 4 4 adyacente al 3 3 adyacente al 1 5 6 7 8 5 adyacente al 6 6 adyacente al 8 8 adyacente al 7 7 adyacente al 5 1 opuesto por el vértice al 4 1 2 3 4 2 opuesto por el vértice al 3 5 opuesto por el vértice al 8 5 6 6 opuesto por el vértice al 7 7 8 Def.- ANGULOS CORRESPONDIENTES.- Son los que coinciden por traslación paralela.- Si trasladamos la recta R2 por la Transversal de manera que coincida con R1, el punto B 1 2 A R 1 queda sobre el punto A, entonces: 3 4 5 queda sobre el 1 5 6 R 2 B 6 queda sobre el 2 7 8 7 queda sobre el 3 T 8 queda sobre el 4 Los ángulos correspondientes son de la misma medida.- Def.- ANGULOS ALTERNOS INTERNOS.- Son los que están dentro de la cinta y a distinto lado de la transversal.- 3 es alterno interno con 6 4 es alterno interno con 5 1 2 3 4 Son iguales entre si porque: 6 = 2 (correspondientes) 5 6 3 = 2 ( op. Por el vértice 7 8 6 = 3 ( 2 cantidades iguales a una tercera, son iguales entre sí) T Def.- ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS.- Son los que están fuera de la cinta y a distinto 1 2 lado de la transversal.- 3 4 Son Alternos Externos: 1 con 8 5 6 2 con 7 7 8 Son iguales entre sí.- Def.- ANGULOS INTERNOS DEL MISMO LADO.- Son los que están dentro de la cinta y al mismo lado de la transversal. - 1 2 Son Internos del mismo lado: 3 4 3 con 5 4 con 6 Son suplementarios porque: 5 6 3 + 1 = 1800 (suplementarios) 7 8 5 = 1 ( correspondientes ) T 3 + 5 = 1800 ( cantidades iguales pueden reemplazarse una por otra ) Def.- ANGULOS EXTERNOS DEL MISMO LADO.- Son los que están fuera de la cinta y al mismo lado de la transversal. - Son Externos del mismo lado. - 1 2 2 con 8 3 4 1 con 7 5 6 Son suplementarios. - 7 8 Def.- ANGULOS CONTRARIOS O CONJUGADOS.- Son los que están uno dentro y otro fuera de la cinta y a distinto lado de la transversal.- 1 2 3 4 Son Contrarios o Conjugados: 1 con 6 5 6 2 con 5 7 8 3 con 8 4 con 7 Son ángulos suplementarios. Congruencia de triángulos: Dos triángulos y en general dos figuras son congruentes si estas son idénticas en forma y superficie; es decir si al sobreponerlas coinciden plenamente. Al ser congruentes los triángulos, ABC y A'B'C', de la figura anterior, se llaman lados correspondientes u homólogos a los opuestos a ángulos iguales (a con a’ ; b con b’; c con c’) y ángulos correspondientes u homólogos a los opuestos a lados iguales ( con ’ ; con ’; con ’), cumpliéndose que los elementos homólogos de triángulos congruentes son iguales. Siempre se dejan los vértices de triángulos congruentes en correspondencia; (A con A’ ; B con B’ ; C con C’) a los que les debe corresponder ángulos iguales. De las seis condiciones de igualdad entre ángulos y lados homólogos es necesario que se cumplan solo tres de ellas, donde por lo menos una debe ser referente a la medida de lados, condiciones que formalizan los teoremas de congruencia. Teoremas de congruencia: 1) Teorema a.l.a. Dos triángulos son congruentes si poseen dos pares de ángulos iguales, como también el lado comprendido entre tales ángulos; es decir: 2) Teorema l.a.l. Dos triángulos son congruentes si poseen dos pares de lados iguales, como también el ángulo comprendido entre tales lados; es decir: (1) 3) Teorema l.l.l. Dos triángulos son congruentes si poseen sus tres pares de lados iguales; es decir: 4) Teorema l.l.a. Dos triángulos son congruentes si poseen dos pares de lados iguales, como también el ángulo opuesto al mayor de tales lados; es decir: Ejercicios: 1) Entre los siguientes triángulos, escójanse los que sean congruentes y justifique con el teorema respectivo: 2) Indique si son congruentes las siguientes parejas de triángulos: 3) Si ABC isósceles base AB; H ortocentro. Determine (V) o (F): I) ADC BEC (..) II) ABE BAD (..) III) AHE BHD (..) Nota: Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos iguales; los terceros ángulos son también iguales. 3) Si AE ED con EAC EDB ; luego 4) Si DCE isósceles base DE con "x" e "y" valen: ACD BCE ; luego "x" e "y" valen: 5) Si AB = AD y BC = DC ; luego "x" e "y" 6) Si AE = EB y DE = CE ; luego "x" e "y" valen: valen: 7) Si ABC isósceles base AB; demostrar 8) Si ABCD romboide, demostrar en este que la bisectriz del ángulo del vértice es paralelogramo que sus diagonales se transversal de gravedad y altura. dimidian; es decir que AE = EC y DE = BE. SEMEJANZAS. 2ºESO 1 Si el dibujo de un rectángulo de 12 x 16 cm es ampliado con una fotocopiadora y el rectángulo de la fotocopia mide 24 cm en su lado mayor, ¿cuál ha sido el número que hemos puesto como porcentaje de ampliación? 150 Solución: 24 : 16 = 1,5 1,5 150% 100 2.- ¿Son semejantes las figuras siguientes? Solución: No, ya que sus lados no son paralelos, ni sus ángulos iguales ni sus lados proporcionales. 3.- Si tenemos dos rombos de 4 cm de lado, ¿son semejantes? Solución: No necesariamente. Además, sus ángulos interiores deberían ser iguales; veamos un ejemplo: 4.- Si tenemos un folio con un texto que ocupa 128 x 200 mm, ¿cuánto ocupará el texto en una fotocopia al 150%? Solución: Al ampliar una figura, ampliamos la longitud de sus lados multiplicándolos por el factor de semejanza. En este caso, 150% es igual que decir que multiplicamos las medidas por 150/100 = 1,5.