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Topics in Positional Games

Topics in Positional Games

<p>Tel&nbsp;Aviv&nbsp;University <br>Raymond&nbsp;and&nbsp;Beverly&nbsp;Sackler <br>Faculty&nbsp;of&nbsp;Exact&nbsp;Sciences <br>School&nbsp;of&nbsp;Mathematical&nbsp;Sciences </p><p>Topics in Positional Games </p><p>THESIS&nbsp;SUBMITTED&nbsp;FOR&nbsp;THE&nbsp;DEGREE&nbsp;OF </p><p>DOCTOR&nbsp;OF&nbsp;PHILOSOPHY by </p><p>Asaf Ferber </p><p>The&nbsp;research&nbsp;work&nbsp;for&nbsp;this&nbsp;thesis&nbsp;has&nbsp;been&nbsp;carried&nbsp;out </p><p>under&nbsp;the&nbsp;supervision&nbsp;of&nbsp;Prof.&nbsp;Michael&nbsp;Krivelevich </p><p>Submitted&nbsp;to&nbsp;the&nbsp;senate&nbsp;of&nbsp;Tel&nbsp;Aviv&nbsp;University </p><p>July&nbsp;2013 </p><p>iii </p><p>Acknowledgements </p><p>It&nbsp;would&nbsp;not&nbsp;have&nbsp;been&nbsp;possible&nbsp;to&nbsp;write&nbsp;this&nbsp;dissertation&nbsp;without&nbsp;the&nbsp;help&nbsp;and&nbsp;support&nbsp;of the&nbsp;kind&nbsp;people&nbsp;around&nbsp;me,&nbsp;to&nbsp;only&nbsp;some&nbsp;of&nbsp;whom&nbsp;it&nbsp;is&nbsp;possible&nbsp;to&nbsp;give&nbsp;particular&nbsp;mention </p><p>here. </p><p>Above&nbsp;all,&nbsp;I&nbsp;would&nbsp;like&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;the&nbsp;one&nbsp;and&nbsp;only,&nbsp;my&nbsp;supervisor,&nbsp;Professor&nbsp;Michael </p><p>Krivelevich,&nbsp;for&nbsp;his&nbsp;guidance,&nbsp;patience&nbsp;and&nbsp;continuous&nbsp;support&nbsp;throughout&nbsp;my&nbsp;studies.&nbsp;You </p><p>are&nbsp;my&nbsp;role&nbsp;model&nbsp;of&nbsp;a&nbsp;great&nbsp;mathematician&nbsp;and&nbsp;a&nbsp;great&nbsp;teacher.&nbsp;It&nbsp;was&nbsp;a&nbsp;great&nbsp;honor&nbsp;to&nbsp;be </p><p>your&nbsp;student. </p><p>Special&nbsp;thanks&nbsp;to&nbsp;Danny&nbsp;Hefetz,&nbsp;who&nbsp;took&nbsp;me&nbsp;under&nbsp;his&nbsp;wings,&nbsp;acted&nbsp;as&nbsp;a&nbsp;second&nbsp;supervisor&nbsp;for&nbsp;me,&nbsp;and&nbsp;also&nbsp;turned&nbsp;into&nbsp;a&nbsp;close&nbsp;friend.&nbsp;I&nbsp;am&nbsp;very&nbsp;grateful&nbsp;for&nbsp;all&nbsp;you&nbsp;have&nbsp;done&nbsp;for me&nbsp;and&nbsp;I&nbsp;hope&nbsp;to&nbsp;continue&nbsp;this&nbsp;legacy&nbsp;with&nbsp;the&nbsp;younger&nbsp;generation. </p><p>Moreover,&nbsp;I&nbsp;would&nbsp;like&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;all&nbsp;the&nbsp;professors&nbsp;from&nbsp;whom&nbsp;I&nbsp;had&nbsp;the&nbsp;pleasure&nbsp;and honor&nbsp;of&nbsp;learning.&nbsp;In&nbsp;particular,&nbsp;I&nbsp;would&nbsp;like&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;Noga&nbsp;Alon,&nbsp;Moti&nbsp;Gitik,&nbsp;Michael </p><p>Krivelevich,&nbsp;Benny&nbsp;Sudakov&nbsp;and&nbsp;Tibor&nbsp;Szab´o. </p><p>Next,&nbsp;I&nbsp;would&nbsp;like&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;all&nbsp;of&nbsp;my&nbsp;co-authors&nbsp;from&nbsp;all&nbsp;around&nbsp;the&nbsp;world.&nbsp;It&nbsp;was&nbsp;a great&nbsp;joy&nbsp;and&nbsp;honor&nbsp;to&nbsp;work&nbsp;with&nbsp;each&nbsp;of&nbsp;you!&nbsp;In&nbsp;particular&nbsp;I&nbsp;would&nbsp;like&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;my&nbsp;fellow </p><p>graduate&nbsp;students&nbsp;from&nbsp;Berlin,&nbsp;Dennis&nbsp;Clemens&nbsp;and&nbsp;Anita&nbsp;Liebenau,&nbsp;for&nbsp;the&nbsp;continuous inspiring&nbsp;collaboration. </p><p>I&nbsp;also&nbsp;wish&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;all&nbsp;my&nbsp;friends&nbsp;from&nbsp;the&nbsp;university&nbsp;for&nbsp;making&nbsp;my&nbsp;time&nbsp;there&nbsp;more enjoyable.&nbsp;In&nbsp;particular,&nbsp;I&nbsp;would&nbsp;like&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;Lev&nbsp;Buhovsky,&nbsp;Yaniv&nbsp;Dvir,&nbsp;Gal&nbsp;Kronenberg, </p><p>Alon&nbsp;Naor,&nbsp;Edva&nbsp;Roditty-Gershon,&nbsp;Wojciech&nbsp;Samotij&nbsp;and&nbsp;Amit&nbsp;Weinstein. </p><p>Of&nbsp;course,&nbsp;I&nbsp;would&nbsp;also&nbsp;like&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;my&nbsp;parents&nbsp;Malka&nbsp;and&nbsp;Arie,&nbsp;my&nbsp;brothers&nbsp;Benny&nbsp;and <br>Gadi,&nbsp;and&nbsp;my&nbsp;sister&nbsp;Daniela&nbsp;for&nbsp;their&nbsp;unequivocal&nbsp;support,&nbsp;for&nbsp;which&nbsp;my&nbsp;mere&nbsp;expression&nbsp;of </p><p>thanks&nbsp;does&nbsp;not&nbsp;suffice. </p><p>Last&nbsp;but&nbsp;not&nbsp;least,&nbsp;I&nbsp;would&nbsp;like&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;my&nbsp;lovely&nbsp;wife&nbsp;Shiran&nbsp;for&nbsp;her&nbsp;love&nbsp;and&nbsp;support. <br>I&nbsp;could&nbsp;not&nbsp;have&nbsp;asked&nbsp;for&nbsp;a&nbsp;better&nbsp;partner&nbsp;for&nbsp;life. </p><p>iv </p><p>Abstract </p><p>Positional&nbsp;Games&nbsp;is&nbsp;a&nbsp;rapidly&nbsp;evolving,&nbsp;relatively&nbsp;young&nbsp;topic&nbsp;in&nbsp;Combinatorics&nbsp;that&nbsp;is&nbsp;deeply linked&nbsp;to&nbsp;several&nbsp;popular&nbsp;areas&nbsp;of&nbsp;Mathematics&nbsp;and&nbsp;Theoretical&nbsp;Computer&nbsp;Science,&nbsp;such&nbsp;as Ramsey&nbsp;Theory,&nbsp;Classical&nbsp;Game&nbsp;Theory&nbsp;and&nbsp;Algorithms.&nbsp;Positional&nbsp;games&nbsp;are&nbsp;finite&nbsp;games </p><p>of&nbsp;complete&nbsp;information&nbsp;with&nbsp;no&nbsp;chance&nbsp;moves.&nbsp;Therefore,&nbsp;in&nbsp;theory,&nbsp;one&nbsp;can&nbsp;solve&nbsp;them completely&nbsp;by&nbsp;a&nbsp;finite&nbsp;(though&nbsp;absurdly&nbsp;large)&nbsp;case&nbsp;study.&nbsp;Note&nbsp;that&nbsp;this&nbsp;case&nbsp;study&nbsp;yields an&nbsp;optimal&nbsp;deterministic&nbsp;strategy&nbsp;for&nbsp;each&nbsp;such&nbsp;game.&nbsp;In&nbsp;practice,&nbsp;this&nbsp;is&nbsp;impossible&nbsp;as for&nbsp;example,&nbsp;given&nbsp;some&nbsp;initial&nbsp;board&nbsp;position&nbsp;in&nbsp;HEX,&nbsp;which&nbsp;is&nbsp;a&nbsp;positional&nbsp;game,&nbsp;it&nbsp;is PSPACE-complete&nbsp;to&nbsp;decide&nbsp;who&nbsp;wins.&nbsp;Clearly,&nbsp;from&nbsp;the&nbsp;view&nbsp;point&nbsp;of&nbsp;Combinatorics&nbsp;as well&nbsp;as&nbsp;Complexity&nbsp;Theory&nbsp;this&nbsp;is&nbsp;not&nbsp;the&nbsp;end,&nbsp;but&nbsp;rather&nbsp;the&nbsp;starting&nbsp;point&nbsp;of&nbsp;research.&nbsp;It turns&nbsp;out&nbsp;that,&nbsp;even&nbsp;though&nbsp;brute&nbsp;force&nbsp;is&nbsp;impractical,&nbsp;even&nbsp;for&nbsp;such&nbsp;naive&nbsp;looking&nbsp;games as&nbsp;5&nbsp;× 5&nbsp;× 5&nbsp;Tic-Tac-Toe,&nbsp;there&nbsp;exists&nbsp;in&nbsp;fact&nbsp;a&nbsp;very&nbsp;successful&nbsp;theory.&nbsp;This&nbsp;theory&nbsp;has experienced&nbsp;explosive&nbsp;growth&nbsp;in&nbsp;recent&nbsp;years,&nbsp;and&nbsp;for&nbsp;a&nbsp;systematic&nbsp;study&nbsp;of&nbsp;this&nbsp;subject&nbsp;the reader&nbsp;is&nbsp;referred&nbsp;to&nbsp;the&nbsp;excellent&nbsp;book&nbsp;by&nbsp;J.&nbsp;Beck&nbsp;[9]. </p><p>The&nbsp;beginning&nbsp;of&nbsp;the&nbsp;systematic&nbsp;study&nbsp;of&nbsp;the&nbsp;theory&nbsp;of&nbsp;Positional&nbsp;games&nbsp;can&nbsp;be&nbsp;definitely attributed&nbsp;to&nbsp;two&nbsp;classical&nbsp;papers:&nbsp;that&nbsp;of&nbsp;Hales&nbsp;and&nbsp;Jewett&nbsp;from&nbsp;1963&nbsp;[36],&nbsp;and&nbsp;that&nbsp;of Erdo˝s&nbsp;and&nbsp;Selfridge&nbsp;from&nbsp;1973&nbsp;[24].&nbsp;The&nbsp;significance&nbsp;of&nbsp;these&nbsp;two&nbsp;papers&nbsp;certainly&nbsp;cannot&nbsp;be </p><p>overestimated&nbsp;and&nbsp;goes&nbsp;far&nbsp;beyond&nbsp;the&nbsp;realm&nbsp;of&nbsp;Positional&nbsp;Games:&nbsp;the&nbsp;Hales-Jewett&nbsp;theorem is&nbsp;one&nbsp;of&nbsp;the&nbsp;cornerstones&nbsp;of&nbsp;modern&nbsp;Ramsey&nbsp;Theory,&nbsp;the&nbsp;Erd˝os-Selfridge&nbsp;argument&nbsp;was essentially&nbsp;the&nbsp;first&nbsp;derandomization&nbsp;procedure,&nbsp;a&nbsp;central&nbsp;concept&nbsp;in&nbsp;the&nbsp;theory&nbsp;of&nbsp;algorithms. </p><p>This&nbsp;thesis&nbsp;contains&nbsp;several&nbsp;novel&nbsp;contributions&nbsp;to&nbsp;the&nbsp;theory&nbsp;of&nbsp;Positional&nbsp;Games.&nbsp;One </p><p>major&nbsp;contribution&nbsp;is&nbsp;to&nbsp;the&nbsp;theory&nbsp;of&nbsp;Strong&nbsp;games&nbsp;(“who&nbsp;does&nbsp;it&nbsp;first?”&nbsp;games).&nbsp;We&nbsp;show&nbsp;a connection&nbsp;between&nbsp;fast&nbsp;strategies&nbsp;in&nbsp;weak&nbsp;games&nbsp;and&nbsp;winning&nbsp;strategies&nbsp;in&nbsp;strong&nbsp;games.&nbsp;We </p><p>then&nbsp;solve&nbsp;few&nbsp;natural&nbsp;strong&nbsp;games&nbsp;by&nbsp;finding&nbsp;explicit&nbsp;winning&nbsp;strategies.&nbsp;This&nbsp;is&nbsp;surprising </p><p>since&nbsp;these&nbsp;games&nbsp;are&nbsp;known&nbsp;to&nbsp;be&nbsp;notoriously&nbsp;hard&nbsp;to&nbsp;analyze&nbsp;and&nbsp;not&nbsp;much&nbsp;is&nbsp;known. Another&nbsp;major&nbsp;contribution&nbsp;is&nbsp;to&nbsp;the&nbsp;study&nbsp;of&nbsp;Positional&nbsp;Games&nbsp;played&nbsp;on&nbsp;random&nbsp;boards, initiated&nbsp;by&nbsp;Stojakovi´c&nbsp;and&nbsp;Szab´o&nbsp;in&nbsp;[59].&nbsp;In&nbsp;this&nbsp;thesis&nbsp;we&nbsp;significantly&nbsp;improve&nbsp;the&nbsp;set&nbsp;of tools&nbsp;and&nbsp;enlarge&nbsp;our&nbsp;knowledge&nbsp;in&nbsp;the&nbsp;study&nbsp;of&nbsp;games&nbsp;played&nbsp;on&nbsp;the&nbsp;edge&nbsp;set&nbsp;of&nbsp;typical </p><p>random&nbsp;graphs.&nbsp;Such&nbsp;games&nbsp;are&nbsp;also&nbsp;interesting&nbsp;as&nbsp;purely&nbsp;random&nbsp;graph&nbsp;theoretic&nbsp;results </p><p>since&nbsp;they&nbsp;can&nbsp;be&nbsp;also&nbsp;viewed&nbsp;as&nbsp;a&nbsp;“measurement&nbsp;of&nbsp;robustness”&nbsp;of&nbsp;random&nbsp;models&nbsp;with </p><p>respect&nbsp;to&nbsp;some&nbsp;natural&nbsp;graph&nbsp;properties. </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">v</li><li style="flex:1">vi </li></ul><p></p><p>Contents </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1 Introduction </li><li style="flex:1">1</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">I Fast&nbsp;weak games VS strong games </li><li style="flex:1">9</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2 The&nbsp;strong Hamiltonicity and perfect matching games </li><li style="flex:1">11 </li></ul><p></p><p>2.1&nbsp;Introduction&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;11 <br>2.1.1&nbsp;Notation&nbsp;and&nbsp;terminology&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;13 <br>2.2&nbsp;The&nbsp;Perfect&nbsp;Matching&nbsp;Game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;13 2.3&nbsp;The&nbsp;Hamilton&nbsp;Cycle&nbsp;Game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;16 2.4&nbsp;Concluding&nbsp;remarks&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;21 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">3 The&nbsp;k-connectivity game </li><li style="flex:1">23 </li></ul><p></p><p>3.1&nbsp;Introduction&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;23 <br>3.1.1&nbsp;Notation&nbsp;and&nbsp;terminology&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;24 <br>3.2&nbsp;A&nbsp;family&nbsp;of&nbsp;k-vertex-connected&nbsp;graphs&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;25 3.3&nbsp;Auxiliary&nbsp;games&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;27 <br>3.3.1&nbsp;A&nbsp;large&nbsp;matching&nbsp;game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;27 3.3.2&nbsp;A&nbsp;weak&nbsp;positive&nbsp;minimum&nbsp;degree&nbsp;game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;29 3.3.3&nbsp;A&nbsp;strong&nbsp;positive&nbsp;minimum&nbsp;degree&nbsp;game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;31 <br>3.4&nbsp;The&nbsp;Maker-Breaker&nbsp;k-vertex-connectivity&nbsp;game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;33 3.5&nbsp;The&nbsp;strong&nbsp;k-vertex-connectivity&nbsp;game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;38 3.6&nbsp;Concluding&nbsp;remarks&nbsp;and&nbsp;open&nbsp;problems&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;41 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">4 The&nbsp;specific tree game </li><li style="flex:1">43 </li></ul><p></p><p>4.1&nbsp;Introduction&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;43 </p><p>vii </p><p>4.1.1&nbsp;Notation&nbsp;and&nbsp;terminology&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;45 <br>4.2&nbsp;Auxiliary&nbsp;results&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;46 <br>4.2.1&nbsp;Playing&nbsp;several&nbsp;biased&nbsp;games&nbsp;in&nbsp;parallel&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;47 4.2.2&nbsp;A&nbsp;perfect&nbsp;matching&nbsp;game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;49 4.2.3&nbsp;A&nbsp;Hamiltonicity&nbsp;game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;50 <br>4.3&nbsp;Embedding&nbsp;a&nbsp;spanning&nbsp;tree&nbsp;quickly&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;52 <br>4.3.1&nbsp;Following&nbsp;Maker’s&nbsp;strategy&nbsp;for&nbsp;Case&nbsp;I&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;53 4.3.2&nbsp;Following&nbsp;Maker’s&nbsp;strategy&nbsp;for&nbsp;Case&nbsp;II&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;56 <br>4.4&nbsp;Concluding&nbsp;remarks&nbsp;and&nbsp;open&nbsp;problems&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;59 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">5 Very&nbsp;fast specific tree game </li><li style="flex:1">61 </li></ul><p></p><p>5.1&nbsp;Introduction&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;61 <br>5.1.1&nbsp;Notation&nbsp;and&nbsp;terminology&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;63 <br>5.2&nbsp;Trees&nbsp;which&nbsp;admit&nbsp;a&nbsp;long&nbsp;bare&nbsp;path&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;64 5.3&nbsp;Trees&nbsp;which&nbsp;do&nbsp;not&nbsp;admit&nbsp;a&nbsp;long&nbsp;bare&nbsp;path&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;68 5.4&nbsp;Building&nbsp;trees&nbsp;in&nbsp;optimal&nbsp;time&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;76 5.5&nbsp;Concluding&nbsp;remarks&nbsp;and&nbsp;open&nbsp;problems&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;86 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">II Games&nbsp;on random boards </li><li style="flex:1">89 </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">6 Introduction </li><li style="flex:1">91 </li></ul><p></p><p>6.0.1&nbsp;Random&nbsp;graphs&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;91 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">7 Hitting&nbsp;time results </li><li style="flex:1">95 </li></ul><p></p><p>7.1&nbsp;Introduction&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;95 <br>7.1.1&nbsp;Our&nbsp;results&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;96 7.1.2&nbsp;Notation&nbsp;and&nbsp;terminology&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;98 7.1.3&nbsp;Organization&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;98 <br>7.2&nbsp;Auxiliary&nbsp;results&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;99 <br>7.2.1&nbsp;Basic&nbsp;positional&nbsp;games&nbsp;results&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;99 7.2.2&nbsp;(R, c)-expanders&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;100 <br>7.3&nbsp;An&nbsp;expander&nbsp;game&nbsp;on&nbsp;pseudo-random&nbsp;graphs&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;101 7.4&nbsp;Properties&nbsp;of&nbsp;random&nbsp;graphs&nbsp;and&nbsp;random&nbsp;graph&nbsp;processes&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;105 </p><p>viii </p><p>7.5&nbsp;Hitting&nbsp;time&nbsp;of&nbsp;the&nbsp;k-vertex&nbsp;connectivity&nbsp;and&nbsp;perfect&nbsp;matching&nbsp;games&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;110 <br>7.5.1&nbsp;k-vertex&nbsp;connectivity&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;110 7.5.2&nbsp;Perfect&nbsp;matching&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;111 <br>7.6&nbsp;Hitting&nbsp;time&nbsp;of&nbsp;the&nbsp;Hamiltonicity&nbsp;game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;113 7.7&nbsp;Remarks&nbsp;on&nbsp;possible&nbsp;generalizations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;116 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">8 Fast&nbsp;Maker-Breaker games on random boards </li><li style="flex:1">117 </li></ul><p></p><p>8.1&nbsp;Introduction&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;117 <br>8.1.1&nbsp;Notation&nbsp;and&nbsp;terminology&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;119 <br>8.2&nbsp;Auxiliary&nbsp;results&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;119 <br>8.2.1&nbsp;Basic&nbsp;positional&nbsp;games&nbsp;results&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;119 8.2.2&nbsp;General&nbsp;graph&nbsp;theory&nbsp;results&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;121 8.2.3&nbsp;Properties&nbsp;of&nbsp;G(n, p)&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;122 8.2.4&nbsp;Expanders&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;123 <br>8.3&nbsp;The&nbsp;Perfect&nbsp;Matching&nbsp;Game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;127 8.4&nbsp;The&nbsp;Hamiltonicity&nbsp;Game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;130 8.5&nbsp;The&nbsp;k-Connectivity&nbsp;Game&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;133 8.6&nbsp;Open&nbsp;problems&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;133 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">9 Biased&nbsp;games on random boards </li><li style="flex:1">135 </li></ul><p></p>

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