Tangential families and minimax solutions of Hamilton-Jacobi equations Gianmarco Capitanio To cite this version: Gianmarco Capitanio. Tangential families and minimax solutions of Hamilton-Jacobi equations. Mathematics [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2004. English. tel-00008669 HAL Id: tel-00008669 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00008669 Submitted on 3 Mar 2005 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. UNIVERSITE´ PARIS VII { DENIS DIDEROT UFR de Math´ematiques These` de Doctorat pour l'obtention du Dipl^ome de Docteur de l'Universite´ Paris VII Sp´ecialit´e : Math´ematiques Pr´esent´ee et soutenue publiquement par : Gianmarco Capitanio Familles tangentielles et solutions de minimax pour l'´equation de Hamilton{Jacobi soutenue le 25 Juin 2004 devant le jury compos´e de Vladimir Arnold Directeur Marc Chaperon Victor Goryunov Rapporteur Harold Rosenberg Jean-Claude Sikorav Rapporteur Claude Viterbo ii Remerciements Je voudrais tout d'abord exprimer ma profonde gratitude a` mon ma^ıtre Vladimir Arnold, pour m'avoir transmis son amour pour la Math´ematique et pour m'avoir appris la Math´ematique que j'aime. Je remercie Marc Chaperon pour avoir ´et´e mon directeur pendant une ann´ee, pour m'avoir pos´e le probl`eme dont la r´eponse est (je l'´esp`ere) le Chapitre 4 de la Th`ese. C'est pour moi un grand plaisir qu'il soit membre du jury. Je suis reconnaissant a Victor Goryunov et Jean-Claude Sikorav pour avoir accept´e de rapporter ma Th`ese et d'^etre membres du jury. Je r´emercie ´egalement Harold Rosenberg et Claude Viterbo pour avoir accept´e d'etre membres du jury. Je remercie tr`es chaleureusement Franco Cardin, qui a ´et´e mon Professeur a` Padoue, pour m'avoir introduit a` la G´eom´etrie avec son cours de Topologie, pour m'avoir conseill´e un certain livre de M´echanique, et pour m'avoir toujours encourag´e. Je remercie tous ceux qui m'ont aid´e pendant la pr´eparation de cette Th`ese: F. Aicardi, Yu. Chekanov, E. Ferrand, M. Garay, R. Uribe et les autres membres de notre seminaire. Je voudrais r´emercier le personnel de l'Universit´e Paris VII, notamment Mich`ele Wasse et Claudine Roussel pour leur aide et leur patience. Je remercie tous mes amis qui m'ont soutenu et support´e pendant ces ann´ees, en partic- ulier Ana, Gianmarco, Hyacinth, Emanuela, Malek, Miriam, Ronald et Zo´e. Grazie, gracias, choukran et merci! Ringrazio di tutto cuore la mia famiglia, mamma, pap`a e Gabriele, per la fiducia che hanno sempre avuto in me, per essermi sempre stati vicini per incoraggiarmi e sostenermi, e per avermi dato i mezzi per realizzare le mie scelte. Et naturellement je remercie ma Mannou pour... tout! iii iv R´esum´e Cette Th`ese porte sur les familles tangentielles et les ´equations de Hamilton{Jacobi. Ces deux sujets sont reli´es a` des th`emes classiques en th´eorie des singularit´es, comme la th´eorie des enveloppes, les singularit´es des fronts d'onde et des caustiques, la g´eom´etrie symplectique et de contact. Les premiers trois chapitres de la Th`ese sont consacr´es a` l'´etude des familles tangentielles, a` la classification de leurs singularit´es stables et simples, et a` leurs interpr´etation dans le cadre de la G´eom´etrie de Contact. Le dernier chapitre est d´edi´e a` l'´etude des solutions de minimax pour l'´equation de Hamilton{Jacobi, notamment a` la classification des leurs singularit´es g´en´eriques de petite codimension. Premier Chapitre. Dans ce chapitre on introduit la d´efinition de famille tangentielle: il s'agit d'un syst`eme de rayons ´eman´es tangentiellement par une source curviligne (appel´ee support). Cette classe de familles de courbes planes appara^ıt dans plusieurs domaines des math´ematiques, comme par exemple la g´eom´etrie diff´erentielle, la th´eorie des singularit´es des caustiques et des fronts d'onde, et l'optique g´eom´etrique. Par exemple, les g´eod´esiques tangentes a` une courbe dans une surface riemannienne forment une famille tangentielle (g´eod´esique). Toutefois, la d´efinition de famille tangentielle a ´et´e donn´ee explicitement pour la premi`ere fois dans cette Th`ese. Dans l'esprit du mod`ele physique qui a inspir´e la d´efinition de famille tangentielle, il est naturel de d´eformer les familles tangentielles parmi les familles tangentielles: ces d´eformations sont appel´ees tangentielles. Une telle d´eformation survient, par exemple, lorsqu'on consid`ere les familles des g´eod´esiques tangentes a` une courbe et on perturbe la m´etrique. Dans ce chapitre on ´etudie les singularit´es stables de germes de familles tangentielles (par rapport a` la L{R ´equivalence). Le r´esultat principal est le suivant. Theor´ eme.` Il existe exactement deux singularit´es de germes de familles tangentielles, stables par petites d´eformations tangentielles, not´ee I, II et repr´esent´ees par les germes (ξ + t; t2) et (ξ + t; ξt2), la courbe support ´etant y = 0; les enveloppes correspondantes sont lisses ou bien ont une auto-tangence d'ordre 2. Ce r´esultat a des applications en g´eom´etrie riemannienne. Par exemple, on en d´eduit que les auto-tangences d'ordre 2 des enveloppes des (germes de) familles tangentielles g´eod´esiques sont g´en´eriquement stables par petites d´eformation de la m´etrique. Ce r´esultat ´el´ementaire est, a` ma connaissance, nouveau. On ´etudie aussi des exemples de familles tangentielles globales, les familles des grands cercles sur la sph`ere, tangents a` un m´eridien g´en´erique. Cet exemple porte a` g´en´eraliser aux enveloppes les ´enonc´es et les conjectures du \dernier Th´eor`eme g´eom´etrique de Jacobi", v vi R´esum´e concernant le nombre de cusps dans les caustiques associ´ees a` un point donn´e sur une surface riemannienne. Notamment, lorsque l'on remplace un point de la surface par une petite courbe ferm´ee, la notion de caustique (d'ordre n) de ce point est remplac´ee par celle d'enveloppe (d'ordre n) des g´eod´esiques tangentes a` la courbe. Les ´enonc´es et les conjectures sur le nombre de cusps des caustiques sont remplac´es par des ´enonc´es et des conjectures sur le nombre de cusps des enveloppes. Cet exemple montre les liens entre les familles tangentielles, le \dernier enonc´e g´eom´etrique de Jacobi", les singularit´es des caustiques et des fronts d'onde, le collapse lagrangien et la g´en´eralisation de Tabachnikov de la th´eorie de Sturm classique. Deuxieme` Chapitre. Le deuxi`eme chapitre de la Th`ese est d´edi´e a` la classification des sin- gularit´es simples des familles tangentielles (i.e., dont la modalit´e est z´ero). Nous d´emontrons que les singularit´es simples (non stables) de germes de familles tangentielles forment deux s´eries infinies et quatre singularit´es sporadiques, dont nous donnons les formes normales et les enveloppes correspondantes. En suite, on ´etudie les d´eformations tangentielles miniverselles des ces germes, ce qui conduit a` ´etudier les diagrammes de bifurcation et les perestroikas de petite codimension des enveloppes correspondantes. Parmi les perestroikas d´ecrites ici, certaines n'avaient jamais ´et´e ´etudi´ees avant ce travail. Les r´esultats de ce chapitre sont reli´es et parfois g´en´eralisent des th´eories tr`es remar- quables, comme par exemple la th´eories des projections des surfaces de l'espace dans le plan, la th´eorie des fonctions sur une vari´et´e ayant un bord, la th´eorie des applications du plan dans le plan. Troisieme` Chapitre. Dans le troisi`eme chapitre nous construisons la version de contact de la th´eorie des enveloppes. A toute famille tangentielle on peut associer une surface dans le fibr´e cotangent projectivis´e, appel´ee le graphe Legendrien de la famille tangentielle. Theor´ eme.` Les graphes Legendriens des germes de familles tangentielles ayant une singu- larit´e I ou II sont respectivement lisses ou ont g´en´eriquement une singularit´e de type \double parapluie de Whitney" (c’est-`a-dire A1 ). Les autres singularit´es des graphes legendriens des germes de familles tangentielles ayant une singularit´e II sont aussi ´etudi´ees: on retrouve ici deux s´eries de singularit´es, An and Hn, qui apparaissent d´ej`a dans la Th´eorie de Mond des applications du plan dans l'espace. Ensuite, nous ´etudions la stabilit´e des graphes legendrians sous d´eformations induites par d´eformations tangentielles des familles correspondantes. Theor´ eme.` Les doubles parapluies de Whitney sont des singularit´es des graphes Legendriens stables par petites d´eformations tangentielles des familles qui les engendrent. Dans la th´eorie de Mond d´ej`a cit´ee, les doubles parapluies de Whitney ne sont pas stables. Ces r´esultats sont aussi reli´es a` la th´eorie des fonctions sur les vari´et´es avec un bord. On ´etudie aussi les projections des graphes Legendriens dans le plan. Pour cette ´etude, on consid`ere une relation d'´equivalence sur l'ensemble des graphes Legendriens, pr´eservant la structure fibr´ee de leur espace ambiant.