GRUNDRISS DER PYRAMIDALEN LOGIK mit einer logischen Kritik der mathematischen Logik und Bibliographie der Logik Lehrmaterialien aus dem Philosophischen Institut der HHU Düsseldorf Forschungsabteilung für Wissenschaftstheorie Prof. Dr. L. Geldsetzer A AB AC ABD Copyright 2000 vorbehalten Kopieren zum Studiengebrauch erlaubt 2 INHALTSVERZEICHNIS Vorbemerkung Zum Konzept der pyramidalen Logik 4 I. Einführung 4 II. Die logischen Elemente 20 1. Intensionen 20 2. Extensionen 21 3. Der Begriff 24 a. Die reguläreBegriffsstrukturDielogische a. 24 b. Negative Begriffe 25 c. Der widersprüchliche Begriff (contradictio in adiecto bzw. contradictio in terminis) 26 d. Der Dispositionsbegriff 30 e. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 32 f. Der Zahlbegriff 33 g. Sogenannte Relationsbegriffe, Ähnlichkeitsbegriffe und "Familienähnlichkeit" 44 h. Der Begriff des Begriffs in der stoischen Logik 47 i. Methoden der Begriffsbildung: Induktion, Deduktion, Analyse und Synthese 50 4. Die Junktoren 55 a. Die urteilsbildendenDie a.Junktoren 57 1. Die unbeschränkteDie (allgemeine)1.Implikation 57 2. Das unbeschränkte (allgemeine) "Zukommen" 58 3. Die korrelierende Implikation 58 4. Die Kopula bzw. die materiale Implikationmateriale 58Kopula die Diebzw. 4. 5. Das spezielle "Zukommen" bzw. die formale Implikation oder Inklusion 58 6. Die Negation 59 7. Der Existenz- bzw. Produktjunktorbzw.Existenz- Der 7. 59 b. Die ausdrucksbildendenDie b. Junktoren 61 1. Die QuantifikationDie 1. 62 2. Die ÄquivalenzDie 2. 63 3. Die unvollständigeDie Disjunktion3. 63 4. Die vollständige Disjunktion oder Alternative 63 5. Die AdjunktionDie 5. 64 c. Die mathematischenJunktorenDie c. 65 1. Die Summenbildung Die 1. (Additionsjunktor) 68 2. Die SubtraktionDie (Differenzenjunktor)2. 68 3. Die ProduktbildungDie 3. (Multiplikationsjunktor) 68 4. Die Division (Quotienten- oder Proportionsjunktor) 69 5. Die PotenzbildungDie (Potenzjunktor)5. 70 6. Das WurzelziehenDas (Wurzeljunktor)6. 71 7. Die mathematische Gleichung: einfache Gleichungen, Gleichungen mit einer 71 Unbekannten, Funktionsgleichungen 3 8. Der DifferentialquotientDer 8. 75 9. Das Integral 76 5. Die Definitionen 78 a. Definition durchDefinition Negation 78a. b. Klarheit der Extension und Deutlichkeit der Intensionen bei Descartes als Definition 78 c. Die klassische aristotelische Definition durch Angabe des Genus proximum und der differentia specifica 78 d. Die Definition durchDefinitionpyramidaleNotationDie 78 d. e. Die pyramidale Definition höchster Gattungen und unterster Arten bzw. Individuen 79 f. Partikuläre und individualisierende "Urteile" als Definitionen 79 6. Die "Definition" der logischen Junktoren und ihre Äquivalenzen 81 a. Äquivalenzen zwischen urteilsbildenden Junktoren 82 b. Äquivalenzen zwischen ausdrucksbildenden Junktoren 82 c. Äquivalenzenc. Quantorenzwischen 82 d. Die sogenannten de Morganschen Äquivalenzgesetze 82 e. Äquivalenzen zwischen urteils- und ausdrucksbildenden Junktoren 83 7. Die Urteile 84 a. Die klassische Urteilsklassifikation und ihre Mängel 85 b. Die WahrscheinlichkeitsurteileDie b. 88 c. Entscheidungenc. 91 d. Paradoxale Urteile 92 e. Die entscheidbaren Urteile 93 1. Die kopulativen Urteile 93 Existenzurteile 2. 94 3. Implikative Urteile: die materiale, formale und korrelierende Implikation. Die Selbstimplikation 95 4. Äquivalenzen als Definitionen. Ihr umstrittener Urteilscharakter 96 5. Die stoische Urteils- bzw. Aussagenlehre 97 8. Die Schlüsse 104 a. Die aristotelische Syllogistik 107 b. Die stoische Schlußlehre 117 9. Die platonische logische Begründung der Mathematik bei Euklid 125 10. Die sogenannten logischen Axiome 149 III. Anhang: Pyramidale Notation des logischen Gehaltes der hegelschen Theorie des Geistes in der "Phänomenologie des Geistes" 155 IV. Bibliographie zur Logik 158 4 Vorbemerkung Zum Konzept der pyramidalen Logik Das hier vorgelegte Konzept der Logik unterscheidet sich von den bisher entwickelten Logiktypen in mehrfacher Hinsicht. 1. Intensionale und extensionale Aspekte der logischen Verhältnisse werden rückintegriert in eine intensional-extensionle Logikkonzeption, die Defizite und Fehler der einseitig "intensionalen Logiken" und der "extensionalen Logiken" aufdeckt und vermeidet. 2. Es wird eine neue "pyramidale" Notation für die logischen Elemente der Intensionen und Extensionen der Begriffe, der Begriffe selbst, der Junktoren, der Urteilsformen und der Schlußformen eingeführt. Diese Notation stellt eine Weiterentwicklung der traditionellen "porphyrianischen Bäume" bzw. der (dazu inversen) Begriffspyramiden dar. Die Notation besteht aus einem graphischen Pyramiden- schema für die Darstellung von Begriffsextensionen sowie Buchstaben für die Darstellung der Begriffsintensionen. Die Beziehungen zwischen den Begriffspositionen in den Pyramiden werden je nach ihrer Richtung als Junktoren gelesen. Zusammen mit den verknüpften Begriffen ergeben sie Ausdrücke und Urteile bzw. Schlüsse. 3. Die pyramidale Notation legt die Vernetzung von Intensionen (Merkmalen) und Extensionen (Umfänge) von Begriffen, Urteilen und Schlüssen offen. Begriffe werden durch den Formalismus der Notation zugleich definiert. 4. Die pyramidale Notation bzw. der logische Formalismus löst eine alte Forderung der Logik- theorie ein: Wahrheit, Falschheit und Unentscheidbarkeit von Urteilen und Schlüssen werden unmittelbar im Formalismus sichtbar und ablesbar. 5. Grundelemente der pyramidalen Logik sind Intensionen und Extensionen der Begriffe sowie die Junktoren als Verknüpfungen zwischen Begriffen. Sie werden durch die Grundzeichen und die Lage- verhältnisse im pyramidalen Formalismus dargestellt. 6. Urteile (Aussagen) und Schlüsse werden davon abgeleitet und somit in ihrer logischen Funktion als formale Gestalten von Wahrheit, Falschheit und Unentscheidbarkeit erklärt. Begriffe und aus Begriffen jungierte Ausdrücke sind nicht wahrheitswertfähig . 7. Als Testfälle für die Leistungsfähigkeit des pyramidalen Logikkonzeptes werden der Behand- lung der sog. logischen Axiome, der Begriffsdefinition, der sog. Dialektik (des Widerspruchs), der Wahr- scheinlichkeit, der Implikation und der Induktion besondere Aufmerksamkeit gewidmet. 8. Die pyramidale Explikation der Junktorentheorie, der Zahlentheorie und der hegelschen Theo- rie des Geistes demonstrieren die Leistungsfähigkeit der pyramidalen Notation für Theoriedarstellungen "auf einem Blatt". I. Einführung Die Logik dürfte wohl zu den schwierigsten und am wenigsten über sich selbst aufgeklärten Wissen- schaftsdisziplinen gehören. Und zwar deswegen, weil sie eine Voraussetzung für alle anderen Wissen- schaften bildet. Es ist schwer einzusehen, wie die Logik als Voraussetzung aller Wissenschaften selber durch wissenschaftliche Mittel, die sich ihrer immer schon bedienen müssen, auf ihre eigenen Voraus- setzungen hin geprüft, durchschaut und geklärt werden könnte. Diese Eigentümlichkeit verleiht ihr im Konzert der Wissenschaften und im Zusammenhang der philosophischen Begründungsdiziplinen eine einzigartige Autonomie. Wo diese Autonomie anerkannt und alle anderen wissenschaftlichen Gesetzlichkeiten auf ihre Kompetenz zur Gesetzgebung zurückgeführt wurden - und das war die längste Zeit ihrer Geschichte der Fall - da wurde die Logik wie eine Offenbarungslehre gepflegt, ihre Prinzipien und "Gesetze" als Dog- men geglaubt und ihre Begründer als "Orakel" verehrt. Man sollte nicht davon ausgehen, daß das heute ganz und gar vorbei sei. 5 Im Gegenteil. Die Logik hat wie alle Wissenschaften am neuzeitlichen Modernisierungsschub teil- genommen und sich durch mancherlei neue Themenstellungen bereichert, aber dadurch ihre Autonomie weder eingebüßt noch auch nur geschwächt. Es ist jetzt üblich, ihre vormoderne Geschichte und deren dogmatischen Gehalt als "klassische Logik" von ihren neueren Entwicklungen abzugrenzen. Dabei heißt "klassisch" nach modernem Begriff zugleich grundlegend für Späteres und daher aller Ehren wert, aber doch im ganzen überholt und durch das Neuere ersetzt. Das Neue aber ist dabei die Verschmelzung der klassischen Logik mit der Mathematik zu dem, was man seither "mathematische Logik" nennt. Die Ehe, die die klassische Logik mit der Mathematik eingegangen ist, ist weder problemlos noch dürfte absehbar sein, ob die daraus entsprungenen Abkömmlinge an logischen Spezialdisziplinen frucht- bar sind oder eher die Natur von Maultieren aufweisen. Auf jeden Fall hat das Bündnis den Autonomie- charakter und die Orakelhaftigkeit der neueren Logik eher verstärkt. Da die Mitgift der Mathematik als eines Voll- und Spezialstudiums selber so voraussetzungs- und mühevoll ist, hat dies dahin geführt, daß die ehemalige gelehrte Kundschaft der klassischen Logik es längst aufgegeben hat, sich überhaupt noch mit dieser mathematischen Logik zu befassen. Naturgemäß besteht gleichwohl Bedarf, die Gehalte der Logik (inklusive des Mathematischen an ihr) wenigstens plausibel und für Anwendungen in wissenschaftlichen Verfahren handhabbar zu machen. Und das geschah und geschieht in immer neuen Schüben von Reduktionsversuchen, in denen die Logik von anderen Wissenschaften eine gewisse Beleuchtung erfahren oder gar auf diese begründet werden sollen. Der neueste und anhaltende Versuch dazu ist das, was man den linguistizistischen Reduktio- nismus nennen könnte. Hier wird die Logik ebenso wie die Mathematik, und also auch die mathema- tische Logik als Idealsprache (G. Frege, B. Russell, L. Wittgenstein, R. Carnap u. a.) behandelt. Das ist umso erstaunlicher, als die Propagatoren dieser Auffassung sich mit Entschiedenheit dagegen wendeten, daß die Logik vordem von vielen