Linear Logic and Sub-polynomial Classes of Complexity Clément Aubert To cite this version: Clément Aubert. Linear Logic and Sub-polynomial Classes of Complexity. Computational Complexity [cs.CC]. Université Paris-Nord - Paris XIII, 2013. English. tel-00957653v2 HAL Id: tel-00957653 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00957653v2 Submitted on 9 Nov 2014 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. Distributed under a Creative Commons Attribution - NonCommercial - ShareAlike| 4.0 International License Université Paris :3 Sorbonne Paris Cité Laboratoire d’Informatique de Paris Nord Logique linéaire et classes de complexité sous-polynomiales k Linear Logic and Sub-polynomial Classes of Complexity Thèse pour l’obtention du diplôme de Docteur de l’Université de Paris :3, Sorbonne Paris-Cité, en informatique présentée par Clément Aubert <[email protected]> F = f Mémoire soutenu le mardi 26 novembre 20:3, devant la commission d’examen composée de : M. Patrick Baillot C.N.R.S., E.N.S. Lyon Rapporteur M. Arnaud Durand Université Denis Diderot - Paris 7 Président M. Ugo Dal Lago I.N.R.I.A., Università degli Studi di Bologna Rapporteur Mme. Claudia Faggian C.N.R.S., Université Paris Diderot - Paris 7 M. Stefano Guerrini Institut Galilée - Université Paris :3 Directeur M. Jean-Yves Marion Lo.R.I.A., Université de Lorraine M. Paul-André Melliès C.N.R.S., Université Paris Diderot - Paris 7 M. Virgile Mogbil Institut Galilée - Université Paris :3 Co-encadrant = f F 1 Créteil, le 7 novembre 20:4 1 Errata ome minor editions have been made since the defence of this thesis (improvements in the bibliog- S raphy, fixing a few margins and some typos): they won’t be listed here, as those errors were not altering the meaning of this work.: However, while writing an abstract for TERMGRAPH 20:4, I realized that the simulation of Proof Circuits by an Alternating Turing Machine, in the Section 2.4 of Chapter 2 was not correct. More precisely, bPCCi is not an object to be considered (as it is trivially equal to PCCi) and Theorem 2.4.3, p. 5:, that states that “For all i > 0, bPCCi STA(log, ,logi)”, is false. The ATM ⊆ ∗ constructed do normalize the proof circuit given in input, but not within the given bounds. This flaw comes from a mismatch between the logical depth of a proof net (Definition 2.:.:0) and the height of a piece (Definition 2.2.6), which is close to the notion of depth of a Boolean circuit (Definition 2.:.2). First, remark that the class bPCCi (Definition 2.2.8) is ill-defined: recall that (Lemma 2.3.:) in the case of k and k pieces, one entry is at the same logical depth than the output, and all the other Disj Conj entries are at depth 3 plus the depth of the output. In the process of decomposing a single n-ary operation in n 1 binary operations, the “depth-efficient − way” is not the “logical depth-efficient way”. Let us consider a tree with n leafs (f) and two ways to organize it: f f f f f f f f f f f f Let us take the distance to be the number of edges between a leaf and the root of the tree. Then, on the left tree, every leaf is at the same distance log(n), and on the right tree, the greatest distance is n. Everything differs if one consider that every binary branching is a 2 or 2 piece and consider the Disj Conj logical depth rather than the distance. In that case, on the left-hand tree, the ith leaf (starting from the left) is at logical depth 3 times the number of 1 in the binary encoding of i.2 On the right-hand tree, every leaf is at logical depth 3, except for the red leaf (the left-most one), which is at logical depth 0. So the logical depth is in fact independent of the fan-in of the pieces, and it has the same “logical cost” in terms of depth to compute i or i for any i ¾ 2. A proof circuit of PCCi is a proof circuit of Disj Conj bPCCi: every piece of can be obtained from pieces of without increasing the logical depth. So Pu Pb we have that for all i N, ∈ PCCi = bPCCi. Secondly, the proof of Theorem 2.4.3 was an attempt to adapt the function value(n, g, p) [:35, p. 65] that prove that an ATM can normalize a Boolean circuit with suitable bounds. The algorithm is correct, :Except maybe for a silly mistake in Proposition 4.3.:, spotted by Marc Bagnol. 2Sic. This sequence is known as A000:20 and starts with 0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,.... iii iv but not the bounds: it is stated that “Each call to f uses a constant number of alternations, and O(d(Pn)) i i calls are made. As Pn is of depth log (n), O(log (n)) calls are made.”, and this argument is wrong. Consider that P PCCi (this is harmful taking the first remark into account), when the ATM calls f n ∈ to evaluate the output of a k or k piece, it makes k 1 calls to f at a lesser depth, and one call at Disj Conj − the same depth. The only bound on the fan-in of the pieces, k, is the size of the proof circuit, that is to say a polynomial in the size of the input: this is a disaster. tl;dr: bPCCi should not be considered as a pertinent object of study and the correspondence between the proof circuits and the Alternating Turing Machines is partially wrong. This does not affect anyhow the rest of this work and this part has never been published nor submitted. Créteil, 7 November 20:4. c This thesis is dedicated to the free sharing of knowledge. Cette thèse est dédiée au libre partage des savoirs. b vi Disclaimer: It is not possible for me to write these acknowledgements in a language other than French. Remerciements. Il est d’usage de commencer par remercier son directeur de thèse, et je me plie à cet usage avec une certaine émotion : Stephano Guerrini m’a accordé une grande confiance en acceptant de m’encadrer dans cette thèse en Informatique alors que mon cursus ne me pré-disposait pas tellement à cette aventure. Par ses conseils, ses intuitions et nos discussions, il a su m’ouvrir des pistes, en fermer d’autres, conseiller et pointer de fructueuses lectures. Virgile Mogbil a co-encadré cette thèse avec une attention et un soin qui m’ont touchés. Il a su m’accompagner dans tous les aspects de celles-ci, m’initier à la beauté de la recherche sans me cacher ses défauts, me guider dans le parcours académique et universitaire bien au-delà de ma thèse. Il su faire tout cela dans des conditions délicates, ce qui rend son dévouement encore plus précieux. Patrick Baillot fût le rapporteur de cette thèse et comme son troisième directeur : il a su durant ces trois années me conseiller, me questionner, chercher à comprendre ce que je ne comprenais pas moi-même. C’est un honneur pour moi qu’il ait accepté de rapporter ce travail avant autant de justesse et de clairvoyance. Je suis également ravi qu’Ugo Dal Lago ait accepté de rapporter ce travail, et m’excuse pour l’avalanche de coquilles qui ont dû lui abîmer l’œil. Sa place centrale dans notre communauté donne une saveur toute particulière à ses remarques, conseils et critiques. Je suis honoré qu’Arnaud Durand — qui fût mon enseignant lorsque je me suis reconverti aux Mathématiques — ait accepté d’être le président de ce jury. La présence de Claudia Faggian, Jean-Yves Marion et Paul-André Melliès place cette thèse à l’interscetion de communautés auxquelles je suis ravi d’appartenir. Je les remercie chaleureusement pour leur présence, leurs conseils, leurs encouragements. Une large partie de ce travail n’aurait pas pu voir le jour sans la patience et la générosité de Thomas Seiller, avec qui j’ai toujours eu plaisir à rechercher un accès dans la compréhension des travaux de Jean-Yves Girard. § Mon cursus m’a permis de rencontrer de nombreux enseignants qui ont tous, d’une façon ou d’une autre, rendu ce cheminement possible. J’ai une pensée particulière pour Louis Allix, qui m’a fait découvrir la logique et pour Jean-Baptiste Joinet, qui a accompagné, encouragé et rendu possible ce cursus. De nombreux autres enseignants, tous niveaux et matières confondus, m’ont fait aimer le savoir, la réflexion et le métier d’enseignant, qu’ils m’excusent de ne pouvoir tous les nommer ici, ils n’en restent pas moins présents dans mon esprit. § J’ai été accueilli au Laboratoire d’Informatique de Paris Nord par Paulin Jacobé de Naurois (qui encadrait mon stage), Pierre Boudes et Damiano Mazza (qui ont partagé leur bureau avec moi), et je ne pouvais rêver de meilleur accueil.