<p>The Algebra of Open and <br>Interconnected Systems </p><p>Brendan Fong </p><p>Hertford&nbsp;College <br>University&nbsp;of&nbsp;Oxford </p><p>A&nbsp;thesis&nbsp;submitted&nbsp;for&nbsp;the&nbsp;degree&nbsp;of </p><p>Doctor of Philosophy in Computer Science </p><p>Trinity&nbsp;2016 </p><p>For all those who have prepared food so I could eat and created homes so I could live over the past four years. You too have laboured to produce this; I hope I have done your labours justice. </p><p>Abstract </p><p>Herein&nbsp;we&nbsp;develop&nbsp;category-theoretic&nbsp;tools&nbsp;for&nbsp;understanding&nbsp;networkstyle&nbsp;diagrammatic&nbsp;languages.&nbsp;The&nbsp;archetypal&nbsp;network-style&nbsp;diagrammatic&nbsp;language&nbsp;is&nbsp;that&nbsp;of&nbsp;electric&nbsp;circuits;&nbsp;other&nbsp;examples&nbsp;include&nbsp;signal flow&nbsp;graphs,&nbsp;Markov&nbsp;processes,&nbsp;automata,&nbsp;Petri&nbsp;nets,&nbsp;chemical&nbsp;reaction </p><p>networks,&nbsp;and&nbsp;so&nbsp;on.&nbsp;The&nbsp;key&nbsp;feature&nbsp;is&nbsp;that&nbsp;the&nbsp;language&nbsp;is&nbsp;comprised </p><p>of&nbsp;a&nbsp;number&nbsp;of&nbsp;components with&nbsp;multiple&nbsp;(input/output)&nbsp;terminals,&nbsp;each </p><p>possibly&nbsp;labelled&nbsp;with&nbsp;some&nbsp;type,&nbsp;that&nbsp;may&nbsp;then&nbsp;be&nbsp;connected&nbsp;together along&nbsp;these&nbsp;terminals&nbsp;to&nbsp;form&nbsp;a&nbsp;larger&nbsp;network.&nbsp;The&nbsp;components&nbsp;form </p><p>hyperedges&nbsp;between&nbsp;labelled&nbsp;vertices,&nbsp;and&nbsp;so&nbsp;a&nbsp;diagram&nbsp;in&nbsp;this&nbsp;language forms&nbsp;a&nbsp;hypergraph.&nbsp;We&nbsp;formalise&nbsp;the&nbsp;compositional&nbsp;structure&nbsp;by&nbsp;introducing&nbsp;the&nbsp;notion&nbsp;of&nbsp;a&nbsp;hypergraph&nbsp;category.&nbsp;Network-style&nbsp;diagrammatic languages&nbsp;and&nbsp;their&nbsp;semantics&nbsp;thus&nbsp;form&nbsp;hypergraph&nbsp;categories,&nbsp;and&nbsp;semantic&nbsp;interpretation&nbsp;gives&nbsp;a&nbsp;hypergraph&nbsp;functor. </p><p>The&nbsp;first&nbsp;part&nbsp;of&nbsp;this&nbsp;thesis&nbsp;develops&nbsp;the&nbsp;theory&nbsp;of&nbsp;hypergraph&nbsp;categories. In&nbsp;particular,&nbsp;we&nbsp;introduce&nbsp;the&nbsp;tools&nbsp;of&nbsp;decorated&nbsp;cospans&nbsp;and&nbsp;corela- </p><p>tions.&nbsp;Decorated&nbsp;cospans&nbsp;allow&nbsp;straightforward&nbsp;construction&nbsp;of&nbsp;hypergraph&nbsp;categories&nbsp;from&nbsp;diagrammatic&nbsp;languages:&nbsp;the&nbsp;inputs,&nbsp;outputs,&nbsp;and their&nbsp;composition&nbsp;are&nbsp;modelled&nbsp;by&nbsp;the&nbsp;cospans,&nbsp;while&nbsp;the&nbsp;‘decorations’ specify&nbsp;the&nbsp;components&nbsp;themselves.&nbsp;Not&nbsp;all&nbsp;hypergraph&nbsp;categories&nbsp;can&nbsp;be constructed,&nbsp;however,&nbsp;through&nbsp;decorated&nbsp;cospans.&nbsp;Decorated&nbsp;corelations are&nbsp;a&nbsp;more&nbsp;powerful&nbsp;version&nbsp;that&nbsp;permits&nbsp;construction&nbsp;of&nbsp;all&nbsp;hypergraph categories&nbsp;and&nbsp;hypergraph&nbsp;functors.&nbsp;These&nbsp;are&nbsp;often&nbsp;useful&nbsp;for&nbsp;constructing&nbsp;the&nbsp;semantic&nbsp;categories&nbsp;of&nbsp;diagrammatic&nbsp;languages&nbsp;and&nbsp;functors&nbsp;from diagrams&nbsp;to&nbsp;the&nbsp;semantics.&nbsp;To&nbsp;illustrate&nbsp;these&nbsp;principles,&nbsp;the&nbsp;second&nbsp;part of&nbsp;this&nbsp;thesis&nbsp;details&nbsp;applications&nbsp;to&nbsp;linear&nbsp;time-invariant&nbsp;dynamical&nbsp;systems&nbsp;and&nbsp;passive&nbsp;linear&nbsp;networks. </p><p>Contents </p><p>Preface </p><p>v</p><p>I Mathematical&nbsp;Foundations </p><p>1</p><p>1 Hypergraph&nbsp;categories: the algebra of interconnection </p><p>1.1&nbsp;The&nbsp;algebra&nbsp;of&nbsp;interconnection&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. 1.2&nbsp;Symmetric&nbsp;monoidal&nbsp;categories&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. <br>1.2.1&nbsp;Monoidal&nbsp;categories&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. 1.2.2&nbsp;String&nbsp;diagrams&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. 1.2.3&nbsp;Symmetry&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. </p><p>2</p><p>25679</p><p>1.3&nbsp;Hypergraph&nbsp;categories&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;10 <br>1.3.1&nbsp;Frobenius&nbsp;monoids&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;10 1.3.2&nbsp;Hypergraph&nbsp;categories&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;12 1.3.3&nbsp;Hypergraph&nbsp;categories&nbsp;are&nbsp;self-dual&nbsp;compact&nbsp;closed&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;13 1.3.4&nbsp;Coherence&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;15 <br>1.4&nbsp;Example:&nbsp;cospan&nbsp;categories&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;17 </p><p>2 Decorated&nbsp;cospans: from closed systems to open </p><p>22 </p><p>2.1&nbsp;From&nbsp;closed&nbsp;systems&nbsp;to&nbsp;open&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;22 2.2&nbsp;Decorated&nbsp;cospan&nbsp;categories&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;25 <br>2.2.1&nbsp;Composing&nbsp;decorated&nbsp;cospans&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;26 2.2.2&nbsp;The&nbsp;hypergraph&nbsp;structure&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;30 2.2.3&nbsp;A&nbsp;bicategory&nbsp;of&nbsp;decorated&nbsp;cospans&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;35 <br>2.3&nbsp;Functors&nbsp;between&nbsp;decorated&nbsp;cospan&nbsp;categories&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;35 2.4&nbsp;Decorations&nbsp;in&nbsp;Set&nbsp;are&nbsp;general&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;40 2.5&nbsp;Examples&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;43 <br>2.5.1&nbsp;Labelled&nbsp;graphs&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;43 2.5.2&nbsp;Linear&nbsp;relations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;44 </p><p>i</p><p>2.5.3&nbsp;Electrical&nbsp;circuits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;45 </p><p>3 Corelations:&nbsp;a tool for black boxing&nbsp;48 </p><p>3.1&nbsp;The&nbsp;idea&nbsp;of&nbsp;black&nbsp;boxing&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;48 3.2&nbsp;Corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;52 <br>3.2.1&nbsp;Factorisation&nbsp;systems&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;53 3.2.2&nbsp;Corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;56 3.2.3&nbsp;Categories&nbsp;of&nbsp;corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;58 <br>3.3&nbsp;Functors&nbsp;between&nbsp;corelation&nbsp;categories&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;62 3.4&nbsp;Examples&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;66 <br>3.4.1&nbsp;Equivalence&nbsp;relations&nbsp;as&nbsp;corelations&nbsp;in&nbsp;Set&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;67 3.4.2&nbsp;Linear&nbsp;relations&nbsp;as&nbsp;corelations&nbsp;in&nbsp;Vect&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;68 </p><p>4 Decorated&nbsp;corelations: black-boxed open systems </p><p>71 </p><p>4.1&nbsp;Black-boxed&nbsp;open&nbsp;systems&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;71 4.2&nbsp;Decorated&nbsp;corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;74 <br>4.2.1&nbsp;Adjoining&nbsp;right&nbsp;adjoints&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;75 4.2.2&nbsp;Decorated&nbsp;corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;76 4.2.3&nbsp;Categories&nbsp;of&nbsp;decorated&nbsp;corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;78 <br>4.3&nbsp;Functors&nbsp;between&nbsp;decorated&nbsp;corelation&nbsp;categories&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;80 4.4&nbsp;All&nbsp;hypergraph&nbsp;categories&nbsp;are&nbsp;decorated&nbsp;corelation&nbsp;categories&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;84 <br>4.4.1&nbsp;Representing&nbsp;a&nbsp;morphism&nbsp;with&nbsp;its&nbsp;name&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;85 4.4.2&nbsp;A&nbsp;categorical&nbsp;equivalence&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;89 4.4.3&nbsp;Factorisations&nbsp;as&nbsp;decorations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;91 <br>4.5&nbsp;Examples&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;95 <br>4.5.1&nbsp;Matrices&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;95 4.5.2&nbsp;Two&nbsp;constructions&nbsp;for&nbsp;linear&nbsp;relations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;97 </p><p>II Applications </p><p>99 </p><p>5 Signal&nbsp;flow diagrams </p><p>100 </p><p>5.1&nbsp;Behavioural&nbsp;control&nbsp;theory&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;100 5.2&nbsp;Linear&nbsp;time-invariant&nbsp;dynamical&nbsp;systems&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;106 5.3&nbsp;Presentation&nbsp;of&nbsp;LTI&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;110 <br>5.3.1&nbsp;Syntax&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;110 5.3.2&nbsp;Presentations&nbsp;of&nbsp;Mat&nbsp;k[s, s<sup style="top: -0.3616em;">−1</sup>]&nbsp;and&nbsp;Cospan&nbsp;Mat&nbsp;k[s, s<sup style="top: -0.3616em;">−1</sup>]&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;111 5.3.3&nbsp;Corelations&nbsp;in&nbsp;Mat&nbsp;k[s, s<sup style="top: -0.3616em;">−1</sup>]&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;114 </p><p>ii </p><p>5.3.4&nbsp;Presentation&nbsp;of&nbsp;Corel&nbsp;Mat&nbsp;k[s, s<sup style="top: -0.3615em;">−1</sup>]&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;116 <br>5.4&nbsp;Operational&nbsp;semantics&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;119 5.5&nbsp;Controllability&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;121 <br>5.5.1&nbsp;A&nbsp;categorical&nbsp;characterisation&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;122 5.5.2&nbsp;Control&nbsp;and&nbsp;interconnection&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;124 5.5.3&nbsp;Comparison&nbsp;to&nbsp;matrix&nbsp;methods&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;125 </p><p>6 Passive&nbsp;linear networks </p><p>128 </p><p>6.1&nbsp;Introduction&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;129 6.2&nbsp;Circuits&nbsp;of&nbsp;linear&nbsp;resistors&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;136 <br>6.2.1&nbsp;Circuits&nbsp;as&nbsp;labelled&nbsp;graphs&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;137 6.2.2&nbsp;Ohm’s&nbsp;law,&nbsp;Kirchhoff’s&nbsp;laws,&nbsp;and&nbsp;the&nbsp;principle&nbsp;of&nbsp;minimum&nbsp;power139 6.2.3&nbsp;A&nbsp;Dirichlet&nbsp;problem&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;142 6.2.4&nbsp;Equivalent&nbsp;circuits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;145 6.2.5&nbsp;Dirichlet&nbsp;forms&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;148 <br>6.3&nbsp;Inductors&nbsp;and&nbsp;capacitors&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;150 <br>6.3.1&nbsp;The&nbsp;frequency&nbsp;domain&nbsp;and&nbsp;Ohm’s&nbsp;law&nbsp;revisited&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;151 6.3.2&nbsp;The&nbsp;mechanical&nbsp;analogy&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;154 6.3.3&nbsp;Generalized&nbsp;Dirichlet&nbsp;forms&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;155 6.3.4&nbsp;A&nbsp;generalized&nbsp;minimizability&nbsp;result&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;157 <br>6.4&nbsp;A&nbsp;compositional&nbsp;perspective&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;160 <br>6.4.1&nbsp;The&nbsp;category&nbsp;of&nbsp;open&nbsp;circuits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;161 6.4.2&nbsp;An&nbsp;obstruction&nbsp;to&nbsp;black&nbsp;boxing&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;163 6.4.3&nbsp;The&nbsp;category&nbsp;of&nbsp;Dirichlet&nbsp;cospans&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;165 6.4.4&nbsp;A&nbsp;category&nbsp;of&nbsp;behaviours&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;168 <br>6.5&nbsp;Networks&nbsp;as&nbsp;Lagrangian&nbsp;relations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;170 <br>6.5.1&nbsp;Symplectic&nbsp;vector&nbsp;spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;170 6.5.2&nbsp;Lagrangian&nbsp;subspaces&nbsp;from&nbsp;quadratic&nbsp;forms&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;173 6.5.3&nbsp;Lagrangian&nbsp;relations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;175 6.5.4&nbsp;The&nbsp;symmetric&nbsp;monoidal&nbsp;category&nbsp;of&nbsp;Lagrangian&nbsp;relations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;177 <br>6.6&nbsp;Ideal&nbsp;wires&nbsp;and&nbsp;corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;178 <br>6.6.1&nbsp;Ideal&nbsp;wires&nbsp;as&nbsp;corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;179 6.6.2&nbsp;Potentials&nbsp;on&nbsp;corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;180 6.6.3&nbsp;Currents&nbsp;on&nbsp;corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;182 6.6.4&nbsp;The&nbsp;symplectification&nbsp;functor&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;183 6.6.5&nbsp;Lagrangian&nbsp;relations&nbsp;as&nbsp;decorated&nbsp;corelations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;186 </p><p>iii </p><p>6.7&nbsp;The&nbsp;black&nbsp;box&nbsp;functor&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;189 <br>6.7.1&nbsp;Definition&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;189 6.7.2&nbsp;Minimization&nbsp;via&nbsp;composition&nbsp;of&nbsp;relations&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;191 6.7.3&nbsp;Proof&nbsp;of&nbsp;functoriality&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;192 </p><p>7 Further&nbsp;directions </p><p>195 </p><p>7.1&nbsp;Bound&nbsp;colimits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;195 7.2&nbsp;Open&nbsp;circuits&nbsp;and&nbsp;other&nbsp;systems&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;198 </p><p>Bibliography </p><p>200 </p><p>iv </p><p>Preface </p><p>This&nbsp;is&nbsp;a&nbsp;thesis&nbsp;in&nbsp;the&nbsp;mathematical&nbsp;sciences,&nbsp;with&nbsp;emphasis&nbsp;on&nbsp;the&nbsp;mathematics.&nbsp;But before&nbsp;we&nbsp;get&nbsp;to&nbsp;the&nbsp;category&nbsp;theory,&nbsp;I&nbsp;want&nbsp;to&nbsp;say&nbsp;a&nbsp;few&nbsp;words&nbsp;about&nbsp;the&nbsp;scientific </p><p>tradition&nbsp;in&nbsp;which&nbsp;this&nbsp;thesis&nbsp;is&nbsp;situated. <br>Mathematics&nbsp;is&nbsp;the&nbsp;language&nbsp;of&nbsp;science.&nbsp;Twinned&nbsp;so&nbsp;intimately&nbsp;with&nbsp;physics, over&nbsp;the&nbsp;past&nbsp;centuries&nbsp;mathematics&nbsp;has&nbsp;become&nbsp;a&nbsp;superb—indeed,&nbsp;unreasonably effective—language&nbsp;for&nbsp;understanding&nbsp;planets&nbsp;moving&nbsp;in&nbsp;space,&nbsp;particles&nbsp;in&nbsp;a&nbsp;vacuum, </p><p>the&nbsp;structure&nbsp;of&nbsp;spacetime,&nbsp;and&nbsp;so&nbsp;on.&nbsp;Yet,&nbsp;while&nbsp;Wigner&nbsp;speaks&nbsp;of&nbsp;the&nbsp;unreasonable </p><p>effectiveness&nbsp;of&nbsp;mathematics&nbsp;in&nbsp;the&nbsp;natural&nbsp;sciences&nbsp;[Wig60],&nbsp;equally&nbsp;eminent&nbsp;mathematicians,&nbsp;not&nbsp;least&nbsp;Gelfand,&nbsp;speak&nbsp;of&nbsp;the&nbsp;unreasonable&nbsp;ineffectiveness of&nbsp;mathematics </p><p>in&nbsp;biology&nbsp;[Mon07]&nbsp;and&nbsp;related&nbsp;fields.&nbsp;Why&nbsp;such&nbsp;a&nbsp;difference? <br>A&nbsp;contrast&nbsp;between&nbsp;physics&nbsp;and&nbsp;biology&nbsp;is&nbsp;that&nbsp;while&nbsp;physical&nbsp;systems&nbsp;can&nbsp;often </p>