On K-Fibonacci Numbers of Arithmetic Indexes

On K-Fibonacci Numbers of Arithmetic Indexes

<p>Applied Mathematics and Computation 208 (2009) 180–185 </p><p>Contents lists available at <a href="/goto?url=http://www.sciencedirect.com/science/journal/00963003" target="_blank">ScienceDirect </a></p><p>Applied Mathematics and Computation </p><p>journal homepage: <a href="/goto?url=http://www.elsevier.com/locate/amc" target="_blank">w</a><a href="/goto?url=http://www.elsevier.com/locate/amc" target="_blank">ww.elsevier.com/locate/amc </a></p><p>On k-Fibonacci numbers of arithmetic indexes </p><p>*</p><p>Sergio Falcon&nbsp;, Angel Plaza </p><p>Department of Mathematics, University of Las Palmas de Gran Canaria (ULPGC), Campus de Tafira, 35017 Las Palmas de Gran Canaria, Spain </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a r t i c l e&nbsp;i n f o </li><li style="flex:1">a b s t r a c t </li></ul><p></p><p>Keywords: </p><p>k-Fibonacci numbers Sequences of partial sums </p><p>In this paper, we study the sums of k-Fibonacci numbers with indexes in an arithmetic sequence, say an þ r for fixed integers a and r. This enables us to give in a straightforward way several formulas for the sums of such numbers. <br>Ó 2008 Elsevier Inc. All rights reserved. </p><p>1. Introduction </p><p>One of the more studied sequences is the Fibonacci sequence [1–3], and it has been generalized in many ways [4–10]. <br>Here, we use the following one-parameter generalization of the Fibonacci sequence. </p><p>Definition 1.&nbsp;For any integer number k P 1, the kth Fibonacci sequence, say fF<sub style="top: 0.1322em;">k;n</sub>g<sub style="top: 0.1842em;">n2N </sub>is defined recurrently by </p><p>F<sub style="top: 0.1134em;">k;0 </sub>¼ 0; F<sub style="top: 0.1134em;">k;1 </sub>¼ 1; and F<sub style="top: 0.1134em;">k;nþ1 </sub>¼ kF<sub style="top: 0.1134em;">k;n </sub>þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;nÀ1 </sub>for n P 1: </p><p>Note that for k ¼ 1 the classical Fibonacci sequence is obtained while for k ¼ 2 we obtain the Pell sequence. Some of the properties that the k-Fibonacci numbers verify and that we will need later are summarized below [11–15]: </p><p>pffiffiffiffiffiffiffiffi </p><p>kþ k<sup style="top: -0.2079em;">2</sup>þ4 </p><p>2</p><p>pffiffiffiffiffiffiffiffi </p><p>r<sup style="top: -0.1606em;">n </sup>r<sup style="top: -0.1606em;">n</sup><sub style="top: 0.1937em;">2 </sub></p><p>À</p><p>kÀ k<sup style="top: -0.2079em;">2 </sup></p><p><sup style="top: -0.2929em;">þ4</sup>. These roots verify r<sub style="top: 0.0992em;">1 </sub></p><p>þ</p><p>r<sub style="top: 0.0992em;">2 </sub>¼ k, and r<sub style="top: 0.0992em;">1 </sub>r<sub style="top: 0.0992em;">2 </sub>¼ À1 </p><p>Á</p><p>r<sup style="top: -0.4299em;">1</sup><sub style="top: 0.0992em;">1</sub>Àr<sub style="top: 0.0992em;">2 </sub></p><p>2</p><p>ꢀ [Binet’s formula] F<sub style="top: 0.1084em;">k;n </sub></p><p>¼</p><p>, where r<sub style="top: 0.0992em;">1 </sub></p><p>¼</p><p>and r<sub style="top: 0.0992em;">2 </sub></p><p>¼</p><p>ꢀ [Catalan’s identity] F<sub style="top: 0.1039em;">k;nÀr</sub>F<sub style="top: 0.1039em;">k;nþr </sub>À F<sup style="top: -0.3165em;">2 </sup>¼ ðÀ1Þ<sup style="top: -0.3307em;">nþ1Àr</sup>F<sub style="top: 0.1843em;">k</sub><sup style="top: -0.3165em;">2</sup><sub style="top: 0.1843em;">;r </sub></p><p>k;n n</p><p>ꢀ [Simson’s identity] F<sub style="top: 0.1087em;">k;nÀ1</sub>F<sub style="top: 0.1087em;">k;nþ1 </sub>À F<sup style="top: -0.3165em;">2 </sup>¼ ðÀ1Þ </p><p>k;n n</p><p>ꢀ [D’Ocagne’s identity] F<sub style="top: 0.1039em;">k;m</sub>F<sub style="top: 0.1039em;">k;nþ1 </sub>À F<sub style="top: 0.1039em;">k;mþ1</sub>F<sub style="top: 0.1039em;">k;n </sub>¼ ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1039em;">k;mÀn </sub>ꢀ [Convolution Product] F<sub style="top: 0.1087em;">k;nþm </sub>¼ F<sub style="top: 0.1087em;">k;nþ1</sub>F<sub style="top: 0.1087em;">k;m </sub>þ F<sub style="top: 0.1087em;">k;n</sub>F<sub style="top: 0.1087em;">k;mÀ1 </sub></p><p>In this paper, we study different sums of k-Fibonacci numbers. Sums of Fibonacci numbers appear in different contexts, even they are related with the dimensionality of heterotic superstrings [16,17]. We focus here on the subsequences of k-Fibonacci numbers with indexes in an arithmetic sequence, say an þ r for fixed integers a, r with 0 6 r 6 a À 1. Several formulas for the sums of such numbers are deduced in a straightforward way. </p><p>2. On&nbsp;the k-Fibonacci numbers of kind an þ r </p><p>Let us prove two lemmas that we will need later. </p><p>Lemma 2.&nbsp;For all integer n (n P 1): </p><p>r<sub style="top: 0.1935em;">1</sub><sup style="top: -0.2929em;">n </sup></p><p>þ</p><p>r<sup style="top: -0.2929em;">n</sup><sub style="top: 0.1935em;">2 </sub>¼ F<sub style="top: 0.1134em;">k;nþ1 </sub>þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;nÀ1</sub>: </p><p>ð1Þ </p><p>* Corresponding author. </p><p>E-mail address: <a href="mailto:[email protected]" target="_blank">[email protected] </a>(S. Falcon). </p><p>0096-3003/$ - see front matter Ó 2008 Elsevier Inc. All rights reserved. doi:10.1016/j.amc.2008.11.031 </p><p>S. Falcon, A. Plaza&nbsp;/ Applied&nbsp;Mathematics and Computation 208 (2009) 180–185 </p><p>181 </p><p>Proof. Applying Binet’s formula and taking into account that r<sub style="top: 0.0992em;">1</sub>r<sub style="top: 0.0992em;">2 </sub>¼ À1 </p><p>ꢀ</p><p>r<sup style="top: -0.2929em;">n</sup><sub style="top: 0.1935em;">2</sub>: </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁꢁ </li></ul><p></p><p>1</p><p>À</p><p>1</p><p>À</p><p>1</p><p>À</p><p>1</p><p>r<sub style="top: 0.0236em;">1 </sub></p><p>1</p><p>r<sub style="top: 0.0236em;">2 </sub></p><p>F<sub style="top: 0.1134em;">k;nþ1 </sub>þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;nÀ1 </sub></p><p>¼¼ðð</p><p>r<sup style="top: -0.2882em;">n</sup><sub style="top: 0.1937em;">1</sub><sup style="top: -0.2882em;">þ1 </sup></p><p>À</p><p>r<sup style="top: -0.2882em;">n</sup><sub style="top: 0.1937em;">2</sub><sup style="top: -0.2882em;">þ1 </sup></p><p>þ</p><p>r<sup style="top: -0.2882em;">n</sup><sub style="top: 0.1937em;">1</sub><sup style="top: -0.2882em;">À1 </sup></p><p>Àr<sup style="top: -0.2882em;">n</sup><sub style="top: 0.1937em;">2</sub><sup style="top: -0.2882em;">À1</sup>Þ ¼ </p><p>r<sup style="top: -0.2882em;">n</sup><sub style="top: 0.1937em;">1 </sub>r<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">þ</li><li style="flex:1">À</li></ul><p></p><p>r<sup style="top: -0.2882em;">n</sup><sub style="top: 0.1937em;">2 </sub>r<sub style="top: 0.1039em;">2 </sub></p><p>þ</p><p>r<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub>r<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub>r<sub style="top: 0.1039em;">2 </sub>r<sub style="top: 0.1039em;">2 </sub></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub></li><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1039em;">2 </sub></li></ul><p></p><p>r<sub style="top: 0.1935em;">1</sub><sup style="top: -0.2929em;">n </sup></p><p>ð</p><p>r<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub></p><p>Àr<sub style="top: 0.1039em;">2</sub>Þ þ r<sup style="top: -0.2929em;">n</sup><sub style="top: 0.1935em;">2</sub>ðr<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub><br>Àr<sub style="top: 0.1039em;">2</sub>ÞÞ ¼ r<sup style="top: -0.2929em;">n</sup><sub style="top: 0.1935em;">1 </sub>þ</p><p>Ã</p><p>a</p><p>Lemma 3.&nbsp;F<sub style="top: 0.1087em;">k;aðnþ2Þþr </sub>¼ ðF<sub style="top: 0.1087em;">k;aÀ1 </sub>þ F<sub style="top: 0.1087em;">k;aþ1</sub>ÞF<sub style="top: 0.1087em;">k;aðnþ1Þþr </sub>À ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1087em;">k;anþr </sub></p><p>Proof. Taking into account Lemma 2 and Binet’s formula: </p><p>r<sup style="top: -0.3543em;">a</sup><sub style="top: 0.2078em;">1</sub><sup style="top: -0.3543em;">ðnþ1Þþr </sup></p><p>ÀÀ</p><p>r<sup style="top: -0.3543em;">a</sup><sub style="top: 0.2078em;">2</sub><sup style="top: -0.3543em;">ðnþ1Þþr </sup></p><p>r<sub style="top: 0.1039em;">2 </sub></p><p>1</p><p>À</p><p>r<sup style="top: -0.3543em;">a</sup><sub style="top: 0.2078em;">1</sub><sup style="top: -0.3543em;">ðnþ2Þþr </sup></p><p>À</p><p>r<sup style="top: -0.3543em;">a</sup><sub style="top: 0.2078em;">2</sub><sup style="top: -0.3543em;">ðnþ2Þþr </sup>þ ðÀ1Þ r<sub style="top: 0.1937em;">1</sub><sup style="top: -0.2882em;">anþr </sup>À ðÀ1Þ r<sup style="top: -0.2882em;">a</sup><sub style="top: 0.1937em;">2</sub><sup style="top: -0.2882em;">nþr </sup></p><p>Þ</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a</li><li style="flex:1">a</li></ul><p></p><p>ðF<sub style="top: 0.1134em;">k;aÀ1 </sub>þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;aþ1</sub>ÞF<sub style="top: 0.1134em;">k;aðnþ1Þþr </sub>¼ ðr<sub style="top: 0.1937em;">1</sub><sup style="top: -0.2882em;">a </sup></p><p>þ</p><p>r<sub style="top: 0.1937em;">2</sub><sup style="top: -0.2882em;">a </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">Þ</li><li style="flex:1">¼</li><li style="flex:1">ð</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub></li><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub></li><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1039em;">2 </sub></li></ul><p></p><p>a</p><p>¼ F<sub style="top: 0.1133em;">k;aðnþ2Þþr </sub>þ ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;anþr </sub></p><p>:</p><p>Ã</p><p>Let us denote F<sub style="top: 0.1039em;">k;nÀ1 </sub>þ F<sub style="top: 0.1039em;">k;nþ1 </sub>by L<sub style="top: 0.1039em;">k;n </sub>(numbers L<sub style="top: 0.1039em;">k;n </sub>are called k-Lucas numbers). <br>Then previous formula becomes </p><p>a</p><p>F<sub style="top: 0.1134em;">k;aðnþ2Þþr </sub>¼ L<sub style="top: 0.1134em;">k;a</sub>F<sub style="top: 0.1134em;">k;aðnþ1Þþr </sub>À ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;anþr </sub></p><p>:</p><p>ð2Þ </p><p>Eq. (2) gives the general term of the k-Fibonacci sequence fF<sub style="top: 0.1087em;">k;anþr</sub>g<sup style="top: -0.3307em;">1 </sup>as a linear combination of the two preceding terms. </p><p>n¼0 </p><p>Note that, applying iteratively this formula, the general term can be written as a non-linear combination of the two first terms of the sequence: </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">1</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">nÀ1 </li><li style="flex:1">nÀ2 </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">½</li><li style="flex:1">ꢁ</li><li style="flex:1">½</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">2</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">X</li><li style="flex:1">X</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n À 1 À i </li><li style="flex:1">n À 2 À i </li></ul><p></p><p>ðÀ1Þ<sup style="top: -0.3496em;">ðaþ1Þi </sup></p><p>L</p><p>F<sub style="top: 0.1941em;">k;aþr </sub></p><p>þ</p><p>ðÀ1Þ<sup style="top: -0.3496em;">ðaþ1Þðiþ1Þ </sup></p><p>L</p><p>F<sub style="top: 0.1941em;">k;r </sub></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">nÀ1À2i </li><li style="flex:1">nÀ1À2i </li><li style="flex:1">nÀ2À2i </li><li style="flex:1">nÀ2Ài </li></ul><p></p><p>:</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">@</li><li style="flex:1">A</li><li style="flex:1">@</li><li style="flex:1">A</li></ul><p></p><p>F<sub style="top: 0.1134em;">k;anþr </sub></p><p>¼</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">k;a </li><li style="flex:1">k;a </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">i</li><li style="flex:1">i</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">i¼0 </li><li style="flex:1">i¼0 </li></ul><p></p><p>In this way, the general term of sequence fF<sub style="top: 0.1039em;">k;anþr</sub>g is written in function of the two first terms. In particular, for a ¼ 1 it is r ¼ 0, see [12], we have </p><p>nÀ1 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">½</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p>2</p><p>X</p><p>n À 1 À i </p><p>F<sub style="top: 0.1134em;">k;n </sub>¼ k<sup style="top: -0.3732em;">nÀ1À2i </sup></p><p>:</p><p>i</p><p>i¼0 </p><p>2.1. Generating&nbsp;function of the sequence fF<sub style="top: 0.1039em;">k;anþr </sub></p><p>g</p><p>Let f<sub style="top: 0.099em;">a;r</sub>ðk; xÞ be the generating function of the sequence fF<sub style="top: 0.1039em;">k;anþr</sub>g, with 0&nbsp;6 r 6 a À 1. That is, f<sub style="top: 0.0992em;">a;r</sub>ðk; xÞ ¼ F<sub style="top: 0.1039em;">k;r </sub></p><p>þ¼</p><p>F<sub style="top: 0.1085em;">k;aþr</sub>x þ F<sub style="top: 0.1087em;">k;2aþr</sub>x<sup style="top: -0.241em;">2 </sup>þ Á Á Á. After some easy algebra </p><p>X</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">À</li><li style="flex:1">Á</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a</li><li style="flex:1">a</li></ul><p></p><p>ð1 À L<sub style="top: 0.1181em;">k;a</sub>x þ ðÀ1Þ x<sup style="top: -0.2882em;">2</sup>Þf<sub style="top: 0.1087em;">a;r</sub>ðk; xÞ ¼ F<sub style="top: 0.1181em;">k;r </sub>þ ðF<sub style="top: 0.1181em;">k;aþr </sub>À F<sub style="top: 0.1181em;">k;r</sub>L<sub style="top: 0.1181em;">k;a</sub>Þx þ </p><p>F<sub style="top: 0.1181em;">k;aðnþ2Þþr </sub>À L<sub style="top: 0.1181em;">k;a</sub>F<sub style="top: 0.1181em;">k;aðnþ1Þþr </sub>þ ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1181em;">k;anþr </sub>x<sup style="top: -0.2885em;">n</sup>: </p><p>nP2 </p><p>First, taking into account Lemma 3, the series of the Right Hand Side vanishes. <br>On the other hand, the Convolution Product Identity establishes that F<sub style="top: 0.1085em;">k;rþa </sub>¼ F<sub style="top: 0.1087em;">k;r</sub>F<sub style="top: 0.1087em;">k;aþ1 </sub>þ F<sub style="top: 0.1087em;">k;rÀ1</sub>F<sub style="top: 0.1087em;">k;a</sub>, so F<sub style="top: 0.1087em;">k;aþr </sub>À F<sub style="top: 0.1087em;">k;r</sub>L<sub style="top: 0.1087em;">k;a </sub></p><p>F<sub style="top: 0.1039em;">k;a</sub>F<sub style="top: 0.1039em;">k;rþ1 </sub>À F<sub style="top: 0.1039em;">k;aþ1</sub>F<sub style="top: 0.1039em;">k;r </sub></p><p>.</p><p>r</p><p>Finally, F<sub style="top: 0.1085em;">k;aÀr </sub>¼ F<sub style="top: 0.1087em;">k;Àr</sub>F<sub style="top: 0.1087em;">k;aþ1 </sub>þ F<sub style="top: 0.1087em;">k;ÀrÀ1</sub>F<sub style="top: 0.1087em;">k;a </sub>¼ ðÀ1Þ ðÀF<sub style="top: 0.1087em;">k;aþ1</sub>F<sub style="top: 0.1087em;">k;r </sub>þ F<sub style="top: 0.1087em;">k;a</sub>F<sub style="top: 0.1087em;">k;rþ1</sub>Þ, and the generating function for the initial power series is </p><p>r</p><p>F<sub style="top: 0.1181em;">k;r </sub>þ ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1181em;">k;aÀr </sub></p><p>x</p><p>f<sub style="top: 0.1039em;">a;r</sub>ðk; xÞ ¼ </p><p>:</p><p>ð3Þ </p><p>a</p><p>1 À L<sub style="top: 0.1132em;">k;a</sub>x þ ðÀ1Þ x<sup style="top: -0.2032em;">2 </sup></p><p>2.1.1. Particular&nbsp;cases </p><p>The generating functions of sequences fF<sub style="top: 0.1085em;">k;anþr</sub>g for different values of parameters a and r are </p><p>x</p><p>(1) a ¼ 1 and then r ¼ 0: f<sub style="top: 0.099em;">1;0</sub>ðk; xÞ ¼ </p><p>[12,15] </p><p>1ÀkxÀx<sup style="top: -0.1228em;">2 </sup></p><p>(2) a ¼ 2: </p><p>kx </p><p>(a) (b) </p><p>r ¼ 0: f<sub style="top: 0.1038em;">2;0</sub>ðk; xÞ ¼ </p><p>1Àðk<sup style="top: -0.2078em;">2</sup>þ2Þxþx<sup style="top: -0.1276em;">2 </sup></p><p>1Àx </p><p>r ¼ 1: f<sub style="top: 0.0992em;">2;1</sub>ðk; xÞ ¼ </p><p>1Àðk<sup style="top: -0.2078em;">2</sup>þ2Þxþx<sup style="top: -0.1228em;">2 </sup></p><p>182 </p><p>S. Falcon, A. Plaza&nbsp;/ Applied&nbsp;Mathematics and Computation 208 (2009) 180–185 </p><p>(3) a ¼ 3: </p><p>ðk<sup style="top: -0.2079em;">2</sup>þ1Þx </p><p>(a) (b) (c) </p><p>r ¼ 0: f<sub style="top: 0.0991em;">3;0</sub>ðk; xÞ ¼ r ¼ 1: f<sub style="top: 0.0992em;">3;1</sub>ðk; xÞ ¼ r ¼ 2: f<sub style="top: 0.0992em;">3;2</sub>ðk; xÞ ¼ </p><p>1Àðk<sup style="top: -0.2125em;">3</sup>þ3kÞxÀx<sup style="top: -0.1276em;">2 </sup></p><p>1Àkx </p><p>1Àðk<sup style="top: -0.2078em;">3</sup>þ3kÞxÀx<sup style="top: -0.1228em;">2 </sup></p><p>kþx </p><p>1Àðk<sup style="top: -0.2078em;">3</sup>þ3kÞxÀx<sup style="top: -0.1276em;">2 </sup></p><p>2.2. Sum&nbsp;of k-Fibonacci numbers of kind an þ r </p><p>In this section, we study the sum of the k-Fibonacci numbers of kind an þ r, with a an integer number, and </p><p>r ¼ 0; 1; 2; . . . ; a À 1. </p><p>Theorem 4.&nbsp;Sum of the k-Fibonacci numbers of kind an þ r </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a</li><li style="flex:1">r</li></ul><p>n</p><p>X</p><p>F<sub style="top: 0.1134em;">k;aðnþ1Þþr </sub>À ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;anþr </sub>À F<sub style="top: 0.1134em;">k;r </sub>À ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;aÀr </sub><br>F<sub style="top: 0.1181em;">k;aiþr </sub></p><p>¼</p><p>:</p><p>ð4Þ </p><p>a</p><p>F<sub style="top: 0.1134em;">k;aþ1 </sub>þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;aÀ1 </sub>À ðÀ1Þ À&nbsp;1 </p><p>i¼0 </p><p>P</p><p>n</p><p>Proof. Applying Binnet’s formula to S<sub style="top: 0.1039em;">k;anþr </sub></p><p>¼</p><p><sub style="top: 0.1843em;">i¼0</sub>F<sub style="top: 0.1039em;">k;aiþr</sub>, we get </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">&nbsp;</li><li style="flex:1">!</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">n</li></ul><p>aiþr </p><p>X</p><p>r<sub style="top: 0.2078em;">1 </sub></p><p>ÀÀ</p><p>r<sup style="top: -0.274em;">a</sup><sub style="top: 0.2078em;">2</sub><sup style="top: -0.274em;">iþr </sup></p><p>r<sub style="top: 0.1039em;">2 </sub></p><p>1</p><p>À</p><p>1</p><p>À</p><p>r<sup style="top: -0.274em;">a</sup><sub style="top: 0.2078em;">1</sub><sup style="top: -0.274em;">nþrþa </sup></p><p>À</p><p>r<sup style="top: -0.2551em;">r</sup><sub style="top: 0.1939em;">1 </sub>r<sup style="top: -0.274em;">a</sup><sub style="top: 0.2078em;">2</sub><sup style="top: -0.274em;">nþrþa </sup></p><p>À</p><p>r<sub style="top: 0.1939em;">2</sub><sup style="top: -0.2551em;">r </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">X</li><li style="flex:1">X</li></ul><p></p><p>S<sub style="top: 0.1134em;">k;anþr </sub></p><p>¼¼¼¼<br>¼</p><p>r<sup style="top: -0.2882em;">a</sup><sub style="top: 0.1937em;">1</sub><sup style="top: -0.2882em;">iþr </sup></p><p>À</p><p>r<sup style="top: -0.2882em;">a</sup><sub style="top: 0.1937em;">2</sub><sup style="top: -0.2882em;">iþr </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">¼</li><li style="flex:1">À</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub></li><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub></li><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1039em;">2 </sub></li><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1039em;">1 </sub></li><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1039em;">2 </sub></li><li style="flex:1">r<sup style="top: -0.2409em;">a</sup><sub style="top: 0.2081em;">1 </sub>À 1 </li><li style="flex:1">r<sup style="top: -0.2409em;">a</sup><sub style="top: 0.2081em;">2 </sub>À 1 </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">i¼0 </li><li style="flex:1">i¼0 </li><li style="flex:1">i¼0 </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢂ</li><li style="flex:1">ꢃ</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">1</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a</li><li style="flex:1">a</li></ul><p></p><p>r<sup style="top: -0.2929em;">a</sup><sub style="top: 0.1935em;">1</sub><sup style="top: -0.2929em;">nþr</sup>ðr<sub style="top: 0.1039em;">1</sub>r<sub style="top: 0.1039em;">2</sub>Þ À&nbsp;r<sub style="top: 0.1935em;">1</sub><sup style="top: -0.2929em;">r </sup>r<sup style="top: -0.2929em;">a</sup><sub style="top: 0.1935em;">2 </sub><br>À</p><p>r<sup style="top: -0.3591em;">a</sup><sub style="top: 0.2031em;">1</sub><sup style="top: -0.3591em;">ðnþ1Þþr </sup></p><p>þ</p><p>r<sub style="top: 0.1935em;">1</sub><sup style="top: -0.2929em;">r </sup></p><p>Àr<sup style="top: -0.2929em;">a</sup><sub style="top: 0.1935em;">2</sub><sup style="top: -0.2929em;">nþr</sup>ðr<sub style="top: 0.1039em;">1</sub>r<sub style="top: 0.1039em;">2</sub>Þ þ&nbsp;r<sub style="top: 0.1935em;">1</sub><sup style="top: -0.2929em;">a</sup>r<sup style="top: -0.2929em;">r</sup><sub style="top: 0.1935em;">2 </sub>þ</p><p>r<sup style="top: -0.3591em;">a</sup><sub style="top: 0.2031em;">2</sub><sup style="top: -0.3591em;">ðnþ1Þþr </sup></p><p>À</p><p>r<sub style="top: 0.1935em;">2</sub><sup style="top: -0.2929em;">r </sup></p><p>a</p><p>r<sub style="top: 0.1087em;">1</sub>r<sub style="top: 0.1087em;">2</sub>Þ À&nbsp;r<sup style="top: -0.241em;">a</sup><sub style="top: 0.2081em;">1 </sub><br>À</p><p>r<sup style="top: -0.241em;">a</sup><sub style="top: 0.2081em;">2 </sub>þ 1 </p><p>r</p><p><sub style="top: 0.1087em;">1 </sub>À r<sub style="top: 0.1087em;">2 </sub></p><p>ð</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">&nbsp;</li><li style="flex:1">!</li></ul><p></p><p>1</p><p><sub style="top: 0.1276em;">a </sub>r<sup style="top: -0.2787em;">anþr </sup></p><p><sup style="top: -0.7559em;">1</sup>r<sub style="top: 0.1087em;">1 </sub></p><p>ÀÀ</p><p>r</p><p>r<sup style="top: -0.2787em;">a</sup><sub style="top: 0.2031em;">2</sub><sup style="top: -0.2787em;">nþr </sup>r<sup style="top: -0.359em;">a</sup><sub style="top: 0.2031em;">1</sub><sup style="top: -0.359em;">ðnþ1Þþr </sup></p><p>r<sub style="top: 0.1087em;">2 </sub></p><p>ÀÀ</p><p>r<sup style="top: -0.359em;">a</sup><sub style="top: 0.2031em;">2</sub><sup style="top: -0.359em;">ðnþ1Þþr </sup>r<sup style="top: -0.2551em;">r</sup><sub style="top: 0.1985em;">1 </sub></p><p>ÀÀ</p><p>r<sub style="top: 0.1985em;">2</sub><sup style="top: -0.2551em;">r </sup></p><p>r<sub style="top: 0.1087em;">2 </sub></p><p>À</p><p>r<sub style="top: 0.1985em;">2</sub><sup style="top: -0.2551em;">a </sup></p><p>ð</p><p>r<sup style="top: -0.2551em;">a</sup><sub style="top: 0.1985em;">1</sub>ðÀr<sub style="top: 0.1087em;">1</sub>Þ<sup style="top: -0.3496em;">Àr </sup></p><p>À</p><p>r<sub style="top: 0.1087em;">2</sub>Þ<sup style="top: -0.3496em;">Àr </sup></p><p>ðÀ1Þ </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">À</li><li style="flex:1">þ</li><li style="flex:1">þ</li></ul><p></p><p>a</p><p>ðÀ1Þ À&nbsp;ðr<sup style="top: -0.2409em;">a</sup><sub style="top: 0.2081em;">1 </sub>þr<sup style="top: -0.2409em;">a</sup><sub style="top: 0.2081em;">2</sub>Þ þ 1 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1087em;">1 </sub></li><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1087em;">2 </sub></li><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1087em;">1 </sub></li><li style="flex:1">r<sub style="top: 0.1087em;">1 </sub></li></ul><p></p><p>À</p><p>r<sub style="top: 0.1087em;">2 </sub></p><p>a</p><p>F<sub style="top: 0.1134em;">k;aðnþ1Þþr </sub>À ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;anþr </sub>À F<sub style="top: 0.1134em;">k;r </sub>À ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;aÀr </sub></p><p>;</p><p>a</p><p>F<sub style="top: 0.1134em;">k;aþ1 </sub>þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;aÀ1 </sub>À ðÀ1Þ À&nbsp;1 </p><p>where we have used Eq. (2). </p><p>h</p><p>For k ¼ 1; 2; 3 different sequences of these partial sums are listed in OEIS [18]. </p><p>Corollary 5.&nbsp;Sum of odd k-Fibonacci numbers </p><p>If a ¼ 2p þ 1 then Eq. (4) is </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">r</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>X</p><p>F<sub style="top: 0.1134em;">k;ð2pþ1Þðnþ1Þþr </sub>þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;ð2pþ1Þnþr </sub>À F<sub style="top: 0.1134em;">k;r </sub>À ðÀ1Þ F<sub style="top: 0.1134em;">k;ð2pþ1ÞÀr </sub><br>F<sub style="top: 0.1134em;">k;ð2pþ1Þiþr </sub></p>

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