Alternating Sign Matrices, completely Packed Loops and Plane Partitions Tiago Fonseca To cite this version: Tiago Fonseca. Alternating Sign Matrices, completely Packed Loops and Plane Partitions. Mathemat- ical Physics [math-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. English. tel-00521884v1 HAL Id: tel-00521884 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00521884v1 Submitted on 28 Sep 2010 (v1), last revised 17 Nov 2010 (v2) HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. Th`esepresent´eepar Tiago DINIS DA FONSECA Pour obtenir le grade de Docteur de l’Universit´ePierre et Marie Curie Sp´ecialit´e: Physique Math´ematique Sujet: Matrices `asignes alternants, boucles denses et partitions planes Soutenue le 24 septembre 2010 devant le jury compos´ede M. Alain LASCOUX, examinateur, M. Bernard NIENHUIS, examinateur, M. Christian KRATTENTHALER, rapporteur, M. Jean-Bernard ZUBER, examinateur, M. Nikolai KITANINE, rapporteur, M. Paul ZINN-JUSTIN, directeur de th`ese. Remerciements Avant tout je remercie Paul qui m’a guid´edans ma th`eseet qui m’a propos´eplein de probl`emesint´eressants, quelques uns que j’ai su r´esoudre et d’autres non. Pendant trois ans il a ´et´etoujours pr´esent et disponible pour discuter et j’esp`ere,sinc`erement, qu’on pourra continuer `atravailler ensemble. Je laisse aussi un petit mot de remerciement `aJean-Bernard Zuber, Philippe Di Francesco, Philippe Nadeau, Luigi Cantini, Andrea Sportiello et Keiichi Shigechi pour toutes les discussions int´eressantes sur la physique, sur les math´ematiqueset aussi sur les banalit´esde la vie sans lesquelles je n’aurais pas progress´eautant. Je remercie les membres du jury pour m’avoir accord´ede leur pr´ecieuxtemps pour lire ma th`eseet venir `ama soutenance. Un merci particulier `aNikolai, Andrea, Paul, Jean-Bernard et Christian pour avoir cherch´eet trouv´edes fautes dans mon manuscrit (surtout les deux derniers). Je remercie aussi toutes les personnes du LPTHE (en commen¸cant par les femmes de m´enageet en finissant par notre chef Olivier) qui ont rendu le travail plus plaisant. Bien ´evidement, je n’oublierai jamais mes coll`eguesde th`ese: la ponctualit´ede Mathieu, les ragots de David, la joie de C´esar,les discours de Cl´ement, le m´etalde Quentin, les huit ans ensemble avec Jo˜ao,les ´etatsquadri-dimensionnels de Nicolas, le babyfoot de Benoit, le calme de Sebastian, la fuite de Camille, les 16-vertex de Demian, la d´etente d’Alberto et Bruno qui s’incrustait toujours avec nous pour d´ejeuner. Finalement, parce que la vie ne se r´esumepas juste `ala physique, je remercie du fond du cœur tous mes amis de Paris, de Porto, de Marco ou d’ailleurs, famille incluse. i ii Abstract This thesis is devoted to the study of identities which one observes at the interface between integrable models in statistical physics and combinatorics. The story begins with Mills, Robbins and Rumsey studying the Alternating Sign Matrices (ASM). In 1982, they came out with a compact enumeration formula. When looking for a proof of such formula they discovered the existence of other objects counted by the same formula: Totally Symmetric Self-Complementary Plane Partitions (TSSCPP). It was only some years later that Zeilberger was able to prove this equality, proving that both objects are counted by the same formula. At the same year, Kuperberg, using quantum integrability (a concept coming from statistical physics), gave a simpler and more elegant proof. In 2001, Razumov and Stroganov conjectured one intriguing relation between ASM and the ground state of the XXZ spin model (with ∆ = 1 ), also integrable. This − 2 conjecture was proved by Cantini and Sportiello in 2010. The principal goal of this manuscript is to understand the role of integrability in this story, notably, the role played by the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation. Using this equation, we prove some combinatorial conjectures. We prove a refined version of the equality between the number of ASM and TSSCPP conjectured in 1986 by Mills, Robbins and Rumsey. We prove some conjectured properties of the components of the XXZ groundstate. Finally we present new conjectures concerning the groundstate. Keywords Mathematical physics; • Statistical physics; • Combinatorics; • Quantum integrability; • Razumov–Stroganov; • Quantum Knizhnik–Zamolodchikov equation. • iii iv R´esum´ecourt Cette th`eseest consacr´ee`al’´etuded’identit´esqu’on observe `al’interface entre le domaine des mod`elesint´egrables en physique statistique et la combinatoire. L’histoire a commenc´equand Mills, Robbins et Rumsey ´etudiaient des Matrices `aSignes Alternants (ASM). En 1982, ils propos`erent une formule d’´enum´eration. Pendant qu’ils cherchaient une preuve de cette formule ils d´ecouvrirent l’existence d’autres objets compt´espar la mˆemeformule : les Partitions Planes Totalement Sym´etri- ques Auto-Compl´ementaires (TSSCPP). C’est seulement quelques ann´eesplus tard que Zeilberger fut capable de prouver cette ´egalit´e,prouvant que les deux objets sont compt´espar la mˆeme formule. La mˆemeann´ee, Kuperberg utilise l’int´egrabilit´equantique (notion venue de la physique statistique) pour donner une preuve plus simple. En 2001, Razumov et Stroganov conjectur`erent une intrigante relation entre les ASM et l’´etatfondamental du mod`elede spins XXZ (pour ∆ = 1 ), lui aussi int´egrable.Cette − 2 conjecture a ´et´ed´emontr´eeen 2010 par Cantini et Sportiello. L’objectif principal de ce manuscrit est de comprendre le rˆolede l’int´egrabilit´edans cette histoire, notamment le rˆolejou´epar l’´equationde Knizhnik-Zamolodchikov quan- tique. Grˆace`acette ´equationnous avons ´et´ecapables de d´emontrer plusieurs conjectures combinatoires, dont une version raffin´eede l’´equalit´eentre le nombre des TSSCPP et des ASM propos´eeen 1986 par Mills, Robbins et Rumsey et certains propri´et´esdes composantes du vecteur fondamental du mod`eleXXZ. Est pr´esent´eeaussi une s´eriede nouvelles conjectures concernant l’´etatfondamental. Mots-cl´es – Physique math´ematique ; – Physique statistique ; – Combinatoire ; – Int´egrabilit´equantique ; – Razumov–Stroganov ; – Equation´ de Knizhnik–Zamolodchikov quantique. v vi Resumo curto Esta tese deriva do estudo de identidades que se observam na interface entre o dom´ınio dos modelos integr´aveis em f´ısicaestat´ısticae a combinat´oria.A hist´oriacome¸cacom o estudo das Matrizes de Sinal Alternante (ASM) por Mills, Robbins e Rumsey. Em 1982, eles propuseram uma f´ormula para as contar. Enquanto procuravam provar esta f´ormula eles descobriram a existˆencia de outros objectos contados pela mesma f´ormula: as Parti¸c˜oesPlanas Totalmente Sim´etricase Auto-Complementares (TSSCPP). Foi somente alguns anos mais tarde que Zeilberger foi capaz de provar esta igualdade, provando que ambos os objectos s˜aocontados pela mesma f´ormula. No mesmo ano, Kuperberg utiliza a integrabilidade quˆantiqca (no¸c˜aovinda da f´ısicaestat´ıstica)para dar uma prova mais simples e elegante. Em 2001, Razumov e Stroganov conjecturaram uma intrigante rela¸c˜aoentre as ASM e o estado fundamental do modelo de spins XXZ (para ∆ = 1 ), tamb´emele integr´avel. − 2 Esta conjectura foi demonstrada em 2010 por Cantini e Sportiello. O principal objectivo deste manuscrito ´ede compreender o papel da integrabilidade nesta hist´oria,nomeadamente, o papel da equa¸c˜aoKnizhnik-Zamolodchikov quˆantica. Gra¸cas`aqual n´osfomos capazes de provar v´ariasconjecturas combinat´orias.Entre elas uma vers˜aorafinada da igualdade entre o n´umerode TSSCPP e de ASM proposta em 1986 por Mills, Robbins e Rumsey e algumas propriedades das componentes do vector fundamental do modelo XXZ. E´ tamb´emapresentada uma s´eriede novas conjecturas acerca do estado fundamental. Palavras chave F´ısicamatem´atica; • F´ısicaestat´ıstica; • Combinat´oria; • Integrabilidade quˆantica; • Razumov–Stroganov; • Equa¸c˜aoKnizhnik–Zamolodchikov quˆantica. • vii viii Contents Introduction 1 1 CPL and the qKZ equation 5 1.1 Completely Packed Loops . 5 1.1.1 Bond percolation . 6 1.1.2 Connectivity . 7 1.1.3 Transfer Matrix and Integrability . 8 1.1.4 The Hamiltonian and the Temperley–Lieb algebra . 11 1.1.5 A stochastic process in the link patterns . 12 1.2 The XXZ Spin Chain Model . 14 1.2.1 The quantum algebra Uq(su(2)) . 14 1.2.2 Translation between XXZ Spin Chain model and CPL . 15 1.3 The quantum Knizhnik–Zamolodchikov equation . 16 1.3.1 The operator Si ............................ 16 1.4 Finding a solution . 17 1.4.1 Building a solution . 17 1.4.2 A vector space . 22 1.5 Contour integral formulæ . 23 1.5.1 The action of the qKZ equation . 24 1.5.2 Space . 27 1.5.3 Link Patterns . 27 1.6 A third basis . 29 1.6.1 A new integral formula . 29 1.6.2 Basis transformation . 31 1.6.3 The homogeneous limit . 34 1.7 An example . 34 2 ASM and 6-Vertex model 39 2.1 Alternating Sign Matrices . 39 2.2 6-Vertex Model . 40 2.2.1 Square Ice Model and a path model . 40 2.2.2 Partition Function . 41 2.2.3 The case q3 =1............................. 46 2.2.4 The homogeneous limit . 47 2.3 Fully Packed Loops . 48 2.3.1 The Razumov–Stroganov–Cantini–Sportiello theorem . 49 2.3.2 Some symmetry classes . 50 ix x CONTENTS 3 TSSCPP 53 3.1 Plane Partitions . 53 3.1.1 Totally Symmetric Self complementary Plane Partitions . 54 3.2 Non-Intersecting Lattice Paths .