Der Vierfarbensatz Geschichte, topologische Grundlagen und Beweisidee von Prof. Dr. RudolfjFritsch Universität München unter Mitarbeit von Gerda Fritsch, Gräfelfing Wissenschaftsverlag Mannheim • Leipzig - Wien • Zürich Mathematische Institut dar Universität München Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Fritsch, Rudolf: Der Vierfarbensatz: Geschichte, topologische Grundlagen und Beweisidee / von Rudolf Fritsch. Unter Mitarb. von Gerda Fritsch. - Mannheim; Leipzig; Wien; Zürich: BI-Wiss.-Verl., 1994 ISBN 3-411-15141-2 Gedruckt auf säurefreiem Papier mit neutralem pH-Wert (bibliotheksfest) Alle Rechte, auch die der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Kein Teil dieses Werkes darf ohne schriftliche Einwilligung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. © Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim 1994 Druck: RK Offsetdruck GmbH, Speyer Bindearbeit: Progressdruck GmbH, Speyer Printed in Germany ISBN 3-411-15141-2 Für Dorothee Veronika Bernhard Inhalt s Verzeichnis Statt eines Vorworts 3 Wie man dieses Buch lesen kann 6 1 Geschichte 7 2 (Topologische) Landkarten 45 2.1 Heuristische Vorüberlegungen 45 2.2 Grenzlinien 48 2.3 Formale Definition 61 Ecken 63 Länder 64 Zusammenhang von Landkarten 66 Reduktion auf Landkarten aus Streckenzügen 67 2.4 Grundlegende Beispiele 70 2.5 Landesgrenzen 75 2.6 Gemeinsame Grenzlinien 79 2.7 Erweiterung von Landkarten 83 3 Der Vierfarbensatz (topologisch) 87 3.1 Formulierung und Beweisansatz 87 3.2 Erste Beweisschritte 88 4 Von der Topologie zur Kombinatorik 101 4.1 Vollständige (ebene) Graphen 101 4.2 Der Satz von Wagner und Färy 106 Gesättigte Graphen 107 2 INHALTSVERZEICHNIS Exkurs: Sternförmige Polygone 110 Der Satz 112 4.3 Die Eulersche Polyederformel 116 4.4 Dualisierung 120 4.5 Kubische Landkarten 127 4.6 Einige Abzahlungen 131 4.7 Intermezzo: Der Fünffarbensatz 135 4.8 Die Umformulierung von Tait 136 5 Der Vierfarbensatz (kombinatorisch) 141 5.1 Eckenfärbungen 141 5.2 Plättbare Graphen 143 5.3 Formulierung und weiteres Vorgehen 151 5.4 Ringe und Konfigurationen 154 5.5 Auf zum Beweis! 170 6 Reduzibilität 173 6.1 Kempe-Ketten-Spiele 173 6.2 Birkhoff-Zahl und ähnliches 185 6.3 Arten der Reduzibilität - Allgemeines 187 6.4 Der Dürre-Heesch-Algorithmus 188 Randfärbungen 188 Durchfärbbarkeit 192 Chromodendren 194 Kempe-Ketten-Spiel 200 6.5 A-, B- und C-Reduzibilität 207 7 Suche nach unvermeidbaren Mengen 219 7.1 Hindernisse und Faustregel 219 7.2 Entladungsprozeduren 223 Literaturverzeichnis 231 Namen- und Sachregister 245 Statt eines Vorworts .. .wie dieses Buch entstand Durch die Hochschulreform der 70er Jahre wurde die klassische mathematisch-na• turwissenschaftliche Fakultät der ehrwürdigen Ludwig-Maximilians-Universität in München in fünf kleine Fakultäten für Mathematik, Physik, Chemie und Pharmazie, Biologie und Geowissenschaften zerlegt. Um den Gedankenaustausch über die Fach• grenzen hinaus trotzdem aufrechtzuerhalten und damit die alte Idee der „universi• tär" nicht ganz untergehen zu lassen, lädt die Carl-Friedrich-von-Siemens-Stiftung die Professoren der ehemaligen mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakultät in regelmäßigen Abständen zu einem gemeinsamen Mittagessen ein. Es sind Arbeits• essen, bei denen durch Kurzreferate aktuelle Entwicklungen in den verschiedenen Disziplinen erläutert werden sollen. Der Anstoß zu einem derartigen Referat kommt meistens nicht aus dem jeweiligen Fach selbst, sondern von anderen, die irgendetwas „läuten" gehört haben. So hatte sich die Unruhe über den methodisch neuartigen Beweis des Vierfarben• satzes auch außerhalb der Mathematik verbreitet und ich wurde - als gebürtiger algebraischer Topologe - gebeten, dieses zu erklären. Natürlich war mir das Vier- farbenproblem bekannt, aber intensiv beschäftigt hatte ich mich bis dahin damit noch nicht. Ich stieg als Außenseiter in die Materie ein, nicht um dabei einen wis• senschaftlichen Fortschritt zu erzielen, sondern um ein erreichtes Ziel verständlich zu machen. Nachdem mein diesbezügliches Referat im Wintersemester 1987/88 bei den Kollegen auf Interesse gestoßen war, besann ich mich auf mein Hauptamt, den Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik an der Universität München und überlegte, wie man Leh• rern und Schülern, von denen viele das Vierfarbenproblem bereits fasziniert hatte, den mathematischen Gehalt nahebringen konnte. Dies führte zu einem Vortrag auf der 80. Hauptversammlung des Deutschen Vereins zur Förderung des mathemati• schen und naturwissenschaftlichen Unterrichts 1989 in Darmstadt [FRITSCH 1990], wo mich der zuhörende Leiter des B. I. - Wissenschaftsverlages anregte, meine Ge• danken eines Außenseiters für andere interessierte Außenseiter genauer, das heißt, in der vorliegenden Buchform, auszuführen.1 ^ls „Insider" sehe ich Mathematiker an, die sich der Graphentheorie und der Kombina• torik verschrieben haben. 4 Es geht also in diesem Buch um eine Erläuterung des Vierfarbensatzes für einen nicht darauf spezialisierten Leserkreis. Dazu gehört auch eine Darstellung der historischen Entwicklung und der handelnden Personen in ihrem Umfeld. Nachdem sich meine Bemühungen hierum sehr schwierig gestalteten, konnte ich meine Frau gewinnen sich dieses Teiles anzunehmen. Sie hat das mit großem Einsatz getan, wofür ich ihr herzlich danke. Aus der Sicht der mathematischen Forschung wurde über den Vierfarbens atz vor, während und nach der Vollendung seines Beweises schon viel geschrieben. Es gibt ganz hervorragende Gesamtdarstellungen, in denen der interessierte und spezialisier• te Mathematiker sich informieren kann. Ich nenne für die Zeit „davor" das Buch von Oysten Ore [ORE 1967], für „während" das von Thomas Saaty und Paul Kainen [SAATY und KAINEN 1977] und für „danach" das von Martin Aigner [AIGNER 1984]. Bei der mir gestellten Aufgabe ergab sich das folgende Problem: Die intuitive Vor• stellung von Landkarten ist topologischer Natur, das lange Ringen um den Beweis des Vierfarbensatzes befaßte sich jedoch mit rein kombinatorischen Schwierigkeiten. Die topologische Seite wird in den meisten Darstellungen etwas vernachlässigt, viel• leicht weil sie als trivial oder uninteressant angesehen wird. Manche der benötigten Sätze sind so anschaulich klar, daß man sie nicht für beweisbedürftig hält. Wir geben ein Beispiel: In der Ebene sei ein Jordanbogen B gegeben und x sei ein Endpunkt von B. Dann kann jeder Punkt außerhalb mit x durch einen Jordanbogen verbunden werden, der B nur in x trifft. Der Beweis dieser Aussage findet sich aber nicht einmal in dem wirklich umfassenden „Lehrbuch der Topologie" [RlNOW 1975]; der Autor schreibt dazu auf Seite 409: Da wir diesen speziellen Erreichbarkeitssatz weiterhin nicht benötigen, verzichten wir auf den Beweis, der etwas aufwendig ist. Die heute viel diskutierte fraktale Geometrie hat nun aber den Blick gerade für solche Fragen geschärft2 und da stellt sich heraus, daß der Ubergang von der Topologie zur Kombinatorik zwar in der gewünschten Weise mögÜch ist, aber eben tiefliegende Resultate der modernen Topologie erfor• dert, die auch im Rahmen dieses Bändchens nicht vollständig, das heißt, mit allen 2Es wird sogar vorgeschlagen, die die Schwierigkeiten der mathematischen Definition von Landkarten verdeutlichenden „Monster-Kurven" im Schulunterricht zu behandeln [NEID• HARDT 1990]. 5 Beweisen, dargestellt werden können. Es werden aber die Fakten genannt und für umfangreiche Beweise Fundstellen angegeben. Die am meisten benutzte Quelle ist [RlNOW 1975]. Auch dieses Buch enthält - wie am Beispiel gezeigt - nicht alles, was nötig ist. Man muß noch spezielle Techniken heranziehen, die der stückweis linea• ren und der geometrischen Topologie zuzurechnen sind, die sich im wesentlichen in Moises „Geometrie Topology in Dimensions 2 and 3" [MOISE 1977] finden. Im dritten Teil dieses Buches geht es um die kombinatorischen Methoden, um das, was den eigentlichen Gehalt des Vierfarbensatzes ausmacht. Dies braucht hier nicht genauer begründet zu werden. Für die Erweiterung unserer historischen und mathematischen Kenntnisse ist vie• len Kollegen und Freunden zu danken, die in Gesprächen und Briefwechseln mit Fragen belästigt wurden. Bei der Jubiläumstagung der Deutschen Mathematiker- Vereinigung 1990 in Bremen stand Wolfgang Haken Rede und Antwort. Sehr hilf• reiche Briefe kamen von Jean Mayer; überaus freundlich und geduldig auf ständige Rückfragen mit „electronic mail" antworteten Karl Dürre, Kenneth Appel und John Koch. Wir können hier nicht alle nennen, die geholfen haben; sie mögen es verzeihen. Ein abschließender Dank gebührt Frau Bartels und Herrn Engesser vom B. I. Wis• senschaft sverlag, die Sonderwünsche in Bezug auf die Ausstattung mit Faksimile und Bildern bereitwillig angenommen und sich mit der zum Teil sehr schwierigen Beschaffung große Mühe gegeben haben. Ein Freund und Kollege, der sich durch Korrekturlesen sehr um dieses Buch verdient gemacht hat, hat sich verbeten, na• mentlich genannt zu werden. München, 23. Oktober 1993 TZUVÖCT T1ZITSCH Wie man dieses Buch lesen kann ... das richtet sich vor allem nach den persönlichen Interessen! Kapitel 1 enthält die geschichtliche Entwicklung, soweit sie ohne umfangreichere mathematische Begriffserklärungen dargestellt werden kann, also insbesondere biographische Angaben zu den Darstellern unseres Spiels. Auch in den folgenden Kapiteln gibt es immer wieder Hinweise auf die historische Entwicklung,