Aristotle University of Thessaloniki Faculty of Sciences School of Physics Gorantis Anastasios Quantum Electrodynamics with application to Bhabha Scattering Supervisor: N.D. Vlachos June 2014 Quantum Electrodynamics with application to Bhabha scattering Thesis (Final year project) Author: Gorantis Anastasios Supervisor: Nikolaos Vlachos Aristotle University of Thessaloniki Faculty of Sciences School of Physics Κβαντική Ηλεκτροδυναμική με εφαρμογή στη σκέδαση Bhabha Πτυχιακή Εργασία Συγγραφέας: Γοράντης Αναστάσιος Επιβλέπων Καθηγητής: Νικόλαος Βλάχος Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Copyright c Gorantis Anastasios 2014 All rights reserved. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. 1 2 Contents Acknowledgments.................................... ... 5 Abstract........................................... 6 AbstractinGreek .................................... 7 Conventionsandnotation . ..... 9 1 Elements of Classical Field Theory 11 1.1 TheLagrangianFormalism . 11 1.2 TheHamiltonianFormalism. ..... 12 1.3 Noether’sTheorem................................ 12 1.4 A few important conserved quantities . ........ 13 1.5 Causality ....................................... 15 2 The Klein-Gordon Field 17 2.1 CanonicalQuantization . ..... 17 2.2 TheKlein-GordonEquation . ..... 18 2.3 TheQuantumHarmonicOscillator . ...... 18 2.4 TheFreeScalarField .............................. 19 2.5 ComplexScalarField.............................. 22 2.6 Causality and the Heisenberg picture . ......... 23 2.7 TheFeynmanPropagator . .. .. .. .. .. .. .. .. 27 3 The Dirac Field 31 3.1 A short discussion on Lorentz invariance . .......... 31 3.2 TheSpinorRepresentation . ..... 32 3.3 TheDiracequation................................ 34 3.4 TheDiracequationparaphernalia. ........ 36 3.5 TheDiracequationsolutions . ...... 39 3.6 The Quantization of the Dirac field . ....... 42 3.7 TheFeynmanPropagator . .. .. .. .. .. .. .. .. 46 4 The Electromagnetic Field 49 4.1 Maxwell’sequations .............................. 49 4.2 Gaugesymmetry ................................... 50 4.3 Quantization of the electromagnetic field . ........... 51 4.4 Thephotonpropagator ............................. 55 5 Interacting Fields 57 5.1 Theinteractionpicture. ...... 57 5.2 Dyson’sformula.................................. 58 5.3 Wick’stheorem................................... 59 3 5.4 Scattering...................................... 60 5.5 Couplingvariousfields . ..... 63 5.6 Feynmandiagrams ................................. 66 5.7 Tracetechnology ................................. 67 6 Bhabha Scattering 69 Bibliography ...................................... 77 4 Acknowledgments First of all, I would like to thank my supervisor, professor Nikolaos Vlachos for being so helpful and patient with me, especially at the time that I had doubts about which path I should follow in Physics. I would also like to express my gratitude towards professor Anastasios Petkou, for his valuable assistance. Furthermore, I want to thank all the professors in the Department of Physics that helped me understand Physics just a little deeper and filled me with inspiration. Last, but not least, I want to thank my parents, Anastasia Beka and Gorantis Konstantinos, for their unconditional love and support. This work is dedicated to them. 5 Abstract In this thesis we provide a short introduction to Quantum Electrodynamics. First, we discuss the Klein-Gordon, the Dirac and the electromagnetic field as free fields. Then we add interaction terms in the Lagrangian of the fields and develop all the necessary tools to compute amplitudes with Feynman diagrams. Furthermore, we establish the connection of these amplitudes to dif- ferential scattering cross sections. Then we apply all these techniques we developed, to compute the differential cross section of an elementary scattering process in Quantum Electrodynamics, namely the Bhabha scattering, which includes the scattering of an electron and a positron to an electron and a positron: e+ + e− e+ + e− → 6 Abstract in Greek - Περίληψη Η παρούσα πτυχιακή εργασία αποτελεί μια σύντομη εισαγωγή στην Κβαντική Ηλεκτροδυναμική, με εφαρμογή στη σκέδαση Bhabha. Στο πρώτο κεφάλαιο κάνουμε μια αναφορά σε διάφορα στοιχεία από την κλασική θεωρία πεδίου τα οποία θα χρησιμοποιήσουμε στη μελέτη της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής. Αναφερόμαστε στις εξισώσεις Euler-Lagrange, στο φορμαλισμό του Hamilton, στο θεώρημα της Noether καθώς και σε κάποιες συνέπειες της αρχής της αιτιότητας. Το δεύτερο κεφάλαιο πραγματεύεται την κβάντωση του βαθμωτού πεδίου Klein-Gordon, α- κολουθώντας τη μέθοδο της κανονικής κβάντωσης. Εισάγουμε την εξίσωση Klein-Gordon για πραγματικό και μιγαδικό πεδίο, η λύση της οποίας συμπεριλαμβάνει μια επαλληλία κβαντικών αρ- μονικών ταλαντωτών που ταλαντώνονται ανεξάρτητα μεταξύ τους. Στη συνέχεια επιβάλουμε τις σχέσεις μετάθεσης, βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του τελεστή Hamilton, και στρεφόμαστε στην εικόνα του Heisenberg για να διερευνήσουμε κατά πόσο τα αποτελέσματα της θεωρίας μας είναι αναλλοίωτα κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz. Τέλος, υπολογίζουμε εκτενώς τον διαδότη Feynman για το βαθμωτό πεδίο Klein-Gordon. Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται στην κβάντωση του πεδίου Dirac. Ξεκινάμε με μια γενική συ- ζήτηση για την ομάδα και την άλγεβρα που σχετίζεται με τους μετασχηματισμούς Lorentz και κατασκευάζουμε την αναπαράσταση των spinors. Στη συνέχεια εισάγουμε την εξίσωση Dirac και αναφερόμαστε σε μια πληθώρα αντικειμένων που σχετίζονται με αυτήν (κατασκευή διαφόρων διγραμ- μικών μεγεθών, εξίσωση Weyl και Weyl spinors, πίνακες γ5, τελεστής της ομοτιμίας, Majorana spinors, συζυγία φορτίου), προχωράμε στην εύρεση λύσεων της εξίσωσης Dirac με τη μορφή ε- πίπεδων κυμάτων και παραθέτουμε μια σειρά από ταυτότητες που σχετίζονται με εσωτερικά και εξωτερικά γινόμενα, οι οποίες αποδεικνύονται πολύ χρήσιμες παρακάτω. ΄Επειτα επιχειρούμε να κβαντώσουμε το πεδίο Dirac, αρχικά επιβάλλοντας σχέσεις μετάθεσης, γεγονός που οδηγεί σε α- συνέπειες, και αργότερα επιβάλλοντας σχέσεις αντιμετάθεσης, οι οποίες ταιριάζουν σε σωματίδια που ικανοποιούν τη στατιστική Fermi-Dirac. Τέλος, βρίσκουμε το διαδότη Feynman για το πεδίο Dirac. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναπτύσσουμε τη θεωρία περί κβάντωσης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Αρχικά, κάνουμε μια σύντομη αναφορά στις εξισώσεις του Maxwell για το κενό και τις ξαναγρά- φουμε σε τανυστική μορφή, κατάλληλη για την Ειδική Θεωρία Σχετικότητας. ΄Επειτα, συζητάμε τη συμμετρία βαθμίδας η οποία παίζει καθοριστικό ρόλο στην κβάντωση. Προχωράμε στην κβάντωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, την οποία εκτελούμε μια φορά για τη βαθμίδα Coulomb (η οποία έχει το μειονέκτημα ότι δεν παραμένει αμετάβλητη κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz) και μια φο- ρά για τη βαθμίδα Lorenz. Ακόμη, αναφερόμαστε στη συνθήκη Gupta-Bleuer η οποία εξασφαλίζει ότι οι καταστάσεις αρνητικού μέτρου αποκλείονται από το φυσικό χώρο Hilbert του συστήματος. Η συζήτηση για τα ελεύθερα πεδία κλείνει με την εξαγωγή του φωτονικού διαδότη Feynman. Στο πέμπτο κεφάλαιο διαπραγματευόμαστε τα αλληλεπιδρώντα πεδία. Από την εικόνα του Schr¨odinger και την εικόνα του Heisenberg που χρησιμοποιούσαμε μέχρι τώρα, μεταβαίνουμε στην εικόνα της αλληλεπίδρασης, η οποία επιτρέπει την ευκολότερη επίλυση συστημάτων με συναρτήσεις Lagrange οι οποίες περιέχουν διαταρακτικούς όρους αλληλεπίδρασης μεταξύ πεδίων. Στη συνέχεια αναφερόμαστε στη σχέση του Dyson και το θεώρημα του Wick. ΄Επειτα συζητάμε τη σκέδαση, εξάγουμε το Χρυσό Κανόνα του Fermi, την έκφραση της πιθανότητας διάσπασης, καθώς και την έκφραση της διαφορικής ενεργούς διατομής, την οποία μάλιστα θα χρησιμοποιήσουμε για τη μελέτη της σκέδασης Bhabha. Στη συνέχεια υποδεικνύουμε τον τρόπο σύζευξης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου με τα άλλα πεδία, και γράφουμε τη συνάρτηση Lagrange της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής. Κατόπιν αναφερόμαστε στα διαγράμματα και τους κανόνες Feynman που πρέπει να χρησιμοποιη- θούν για την εύρεση των πλατών πιθανότητας. Τέλος, παραθέτουμε μια σειρά από σχέσεις που σχετίζονται με τα ίχνη διαφόρων συνδυασμών γινομένων των πινάκων γ, οι οποίες είναι απαραίτητες 7 για τη μετατροπή των πλατών πιθανότητας σε συνηθισμένες εκφράσεις για τη διαφορική ενεργό διατομή. Στο τελευταίο κεφάλαιο, εφαρμόζουμε τις τεχνικές που αναπτύξαμε στην εργασία στον υπολο- γισμό της διαφορικής ενεργούς διατομής για τη σκέδαση Bhabha, η οποία περιλαμβάνει τη σκέδαση ενός ηλεκτρονίου και ενός ποζιτρονίου σε ένα ηλεκτρόνιο και ένα ποζιτρόνιο: e+ + e− e+ + e− → 8 Conventions and notation Throughout this thesis we will use natural units: ~ = c = 1 Following the convention in the standard textbooks on Quantum Field Theory, we will use the Minkowski space metric: +1 0 0 0 0 1 0 0 ηµν = − 0 0 1 0 − 0 0 0 1 − Greek indices will run over 0, 1, 2, 3 while Latin indices will run over 1, 2, 3 (used solely for spatial components). We will abide to the Einstein convention, that is repeated indices shall be summed. The totally antisymmetric tensor (also referred to as the Levi-Civita tensor) ǫµνρσ will be defined so that: ǫ0123 = +1 Note that this implies that ǫ = 1. Moreover, for four-vectors we have: 0123 − xµ = (x0 , ~x ) Consequently: x = g xν = (x0 , ~x ) µ µν − In this notation the derivative becomes: ∂ ∂ ∂ = = , µ ∂xµ ∂x0 ∇ Furthermore, we follow the usual conventions for Quantum mechanics: ∂ E = i , ~p = i ∂x0 − ∇ which in relativistic notation combine to pµ = i∂µ The Pauli sigma matrices are: 0 1 0 i 1 0 σ1 = σ2 = − σ3 = 1 0 i 0 0 1 − Finally, for electrodynamics, we use the Heaviside - Lorentz conventions. The fine structure constant is: e2 e2 1 α =