Stochastic Methods for the Fermion Determinant in Lattice Quantum Chromodynamics DISSERTATION zur Erlangung des akademischen Grades Dr. Rer. Nat. im Fach Physik eingereicht an der Bergischen Universität Wuppertal Fachbereich C von Herrn Dipl.-Phys. Jacob Friedrich Finkenrath Rektor der Bergischen Universität Wuppertal: Prof. Dr. Lambert Tobias Koch Dekan des Fachbereichs C: Prof. Dr. Wolfgang Wagner Gutachter: 1. Prof. Dr. Francesco Knechtli 2. Prof. Dr. Ulrich Wolff eingereicht am: 22.12.2014 Tag der mündlichen Prüfung: 17.02.2015 Abstract In this thesis, algorithms in lattice quantum chromodynamics will be pre- sented by developing and using stochastic methods for fermion determinant ratios. For that an integral representation will be proved which can be used also for non hermitian matrices. The stochastic estimation or the Monte Carlo integration of this integral representation introduces stochastic fluctuations which are controlled by using Domain Decomposition of the Dirac operator and introducing interpolation techniques. Determinant ratios of the lattice fermion operator, here the Wilson Dirac op- erator, are needed for corrections of the Boltzmann weight. These corrections have interesting applications e.g. in the mass by using mass reweighting. It will be shown that mass reweighting can be used e.g. to improve extrapolation in the light quark mass towards the chiral or physical point or to introduce an isospin breaking by splitting up the mass of the light quark. Furthermore the extraction of the light quark masses will be shown by using dynamical 2 flavor CLS ensembles. Stochastic estimation of determinant ratios can be used in Monte Carlo al- gorithms, e.g. in the Partial Stochastic Multi Step algorithm which can sam- ple two mass–degenerate quarks. The idea is to propose a new configura- tion weighted by the pure gauge weight and including afterwards the fermion weight by using Metropolis accept–reject steps. It will be shown by using an adequate interpolation with relative gauge fixing and a hierarchical filter structure that it is possible to simulate moderate lattices up to (2.1 fm)4. Fur- thermore the iteration of the pure gauge update can be increased which can decouple long autocorrelation times from the weighting with the fermions. Moreover a novel Hybrid Monte Carlo algorithm based on Domain Decom- position and combined with mass reweighting will be presented. By using Domain Decomposition it is possible to split up the mass term in the Schur complement and the block operators. By introducing a higher mass in the Schur complement an effective cut–off parameter is introduced and sampling of smaller quark masses is possible. By using mass reweighting the weight can be corrected towards 1+1 ensembles. In summary it will be shown how stochastic estimation of fermion deter- minant ratios can be used to improve lattice results in an efficient way with limited numerical effort. ii Abstract In dieser Arbeit werden Algorithmen, die die stochastische Schätzung von Determinanten-Verhältnissen verwenden, im Bereich der Gittereichtheorie be- schrieben und eingeführt. Dafür wurde für die Schätzung eine Integraldarstel- lung einer komplexen Matrix bewiesen und verwendet. Die Schätzung kann dabei durch Methoden, wie die Gebietszerlegung des Dirac Operators oder Interpolationstechniken verbessert und kontrolliert werden. Im Boltzmannfaktor der Gittereichtheorie müssen genau dann Determinan- ten-Verhältnisse betrachtet werden, wenn die Wirkung der Fermionen geän- dert wird, hier die Wilson-Dirac Wirkung. Dies ist der Fall bei Massenkor- rekturen der Quarks, auch als “Mass Reweighting” bekannt. Hier wird Mass Reweighting benutzt, um die Extrapolation in der Masse der leichten Quarks zum chiralen oder physikalischen Punkt zu verbessern und um die Brechung der Isospin–Symmetrie in den leichten Quarks herbeizuführen. Des Weiteren werden die Massen der leichten Quarks auf CLS Ensembles für einen finiten Gitterabstand bestimmt. Die stochastische Schätzung kann auch in Monte Carlo Algorithmen benutzt werden, wie dem Partial Stochastic Multi Step Algorithmus, der Ensembles gewichtet mit zwei Quarks der gleichen Masse. Es wird gezeigt, dass es mit einer adäquaten Interpolationstechnik mit relativer Eichfixierung und einer hierarchischen Filterstruktur möglich ist, moderat große Gitter bis zu einer Größe von (2.1 fm)4 zu simulieren. Die Idee des Algorithmus ist, die neue Konfiguration durch ein reines Eich-Update vorzuschlagen und im Nachhi- nein unter Einbeziehung des Fermionengewichts durch Metropolis Akzep- tanzschritte zu berichtigen. Dies hat den Vorteil, dass die Iteration des Eichup- dates unabhängig von der Fermionengewichtung erhöht werden kann, so dass die Autokorrelationszeit dabei reduziert wird. Des Weiteren wird ein neuer Hybrid Monte Carlo Algorithmus kombiniert mit Mass Reweighting vorgestellt. Bei Benutzung von Gebietszerlegung ist es möglich, den Massenparameter im Schur-Komplement und in den Block Oper- atoren aufzuspalten. Eine größere Masse im Schur Komplement fungiert dabei als effektiver Cut-Off Parameter, wodurch kleinere Quark Massen simuliert werden können. Durch Benutzung von Mass Reweighting kann das Boltz- mann Gewicht eines Ensembles zu einem 1+1 Ensemble verändert werden. Zusammenfassend wird in dieser Arbeit gezeigt, wie stochastische Schät- zungen von Determinanten-Verhältnissen dazu genutzt werden können, Re- sultate vom Gitter zu verbessern bei gleichzeitig geringerem rechnerischen Aufwand. Die Dissertation kann wie folgt zitiert werden: urn:nbn:de:hbz:468-20150316-150522-7 [http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=urn%3Anbn%3Ade%3Ahbz%3A468-20150316-150522-7] Contents 1. Introduction 1 2. Theory 5 2.1. StrongInteraction............................. 5 2.1.1. ChiralSymmetry ......................... 7 2.2. Feynman’sPathIntegral . 8 2.2.1. PathIntegralwithFermions. 10 2.3. GluonsontheLattice........................... 11 2.4. WilsonFermions ............................. 12 2.5. MonteCarloMethods .......................... 17 2.5.1. HybridMonteCarloAlgorithm. 19 3. Numerical Computation of Determinants 23 3.1. Definition of the Pseudofermion Integral . ... 23 3.2. StochasticEstimation . 24 3.3. Fluctuations ................................ 25 3.4. Fluctuations of Ratio Matrices controlled by Interpolation.... .. 27 4. Techniques for Lattice QCD 29 4.1. DomainDecomposition . 29 4.1.1. SchurComplement. 29 4.1.2. DDinLQCD ........................... 30 4.2. Correlations ................................ 34 4.3. Observables ................................ 36 4.3.1. Correlation Functions on the Lattice . 36 4.3.2. Gluonic Observable t0 ...................... 41 4.3.3. TopologicalCharge. 42 5. Mass Reweighting 45 5.1. ReweightingFactor ............................ 46 5.1.1. Fluctuations............................ 47 5.1.2. Statistical Errors of Reweighting . 47 5.2. MassReweighting............................. 48 v Contents 5.3. StochasticFluctuations . 52 5.3.1. MassInterpolation . 52 5.3.2. DomainDecomposition . 55 5.3.3. Twisted–massDetour . 57 5.3.4. Scaling of Stochastic Fluctuations . .. 60 5.4. EnsembleFluctuations . 62 5.4.1. Scaling of Ensemble Fluctuations . 63 5.4.2. Errors................................ 68 5.4.3. Bias................................. 69 5.4.4. Beta-Shift ............................. 69 5.5. Applications................................ 71 5.5.1. CriticalMass ........................... 72 5.5.2. Scale setting with t0 ....................... 73 5.6. TuningofbareMassParameters . 73 5.6.1. Tuning of κu, κd and κs ...................... 73 5.6.2. StrangeQuarkReweighting . 74 5.6.3. IsospinReweighting . 76 5.6.4. Electromagnetic Reweighting . 80 5.7. Conclusion................................. 81 5.7.1. Summary ............................. 81 5.7.2. Prospects.............................. 82 6. Partial Stochastic Multi Step Algorithm 83 6.1. FluctuationandAcceptance . 83 6.2. StochasticFluctuations . 85 6.2.1. GaugeFieldInterpolation . 85 6.2.2. RelativeGaugeFixing . 87 6.2.3. DomainDecomposition . 89 6.2.4. NumericalResults . 90 6.3. EnsembleFluctuations . 92 6.3.1. HierarchicalSteps . 92 6.3.2. Correlations ............................ 94 6.4. NumericalTests .............................. 96 6.4.1. MasterTheorem ......................... 97 6.4.2. AcceptanceRate ......................... 99 6.4.3. Autocorrelation. 103 6.4.4. Conclusion ............................ 108 6.5. PartiallysmearedHYP-runs . 109 6.5.1. Runs ................................ 111 6.5.2. Results............................... 112 6.6. Prospects.................................. 113 6.6.1. UV-Improvements . 114 vi Contents 6.6.2. IR-Improvements . 115 6.6.3. Conclusion ............................ 115 7. Mass–SplitDomainDecompositionHMCAlgorithm 117 7.1. PropertiesoftheAlgorithm . 118 7.1.1. Motivation............................. 118 7.1.2. MDD-HMCSimulations . 119 7.1.3. ShiftoftheBlocks. 120 7.2. PropertiesoftheReweighting . 122 7.3. Costs .................................... 123 7.4. Conclusion................................. 125 8. Conclusion 127 Appendix 133 A. Proof of the Integral Representation . 134 A.1. Integral............................... 134 A.2. Proof: Gauß Elimination without Gauß Elimination . 137 B. Fluctuations ................................ 140 B.1. Fluctuations of a complex Estimate . 140 B.2. Fluctuations by using Stochastic Estimation . 141 B.3. Expansion ............................. 142 B.4. Comparing with nthRoot .................... 143 C. Recursive Domain Decomposition . 145