DOKTORARBEIT The Weak Coupling Method for Coupling Continuum Mechanics with Molecular Dynamics Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.) der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat¨ der Rheinischen Friedirch-Wilhelms-Universitat¨ Bonn Vorgelegt von Konstantin Fackeldey aus Berlin Bonn, Februar 2009 Angefertigt mit Genehmigung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at der Rheinischen Friedirch-Wilhelms-Universit¨at Bonn 1. Gutachter: Prof. Dr. R. Krause 2. Gutachter: Prof. Dr. H. Harbrecht Tag der Promotion: 01.04.2009 Diese Arbeit ist mit Unterst¨utzung des von der Deutschen Forschungsgemeinschaft getragenen SFB 611 an der Universit¨at Bonn entstanden. Fur¨ meinen Stern. Maktub. Zusammenfassung F¨ur das globale Verhalten von Festk¨orpern in der Strukturmechanik bei nichtlinearen Prozessen sind lokale Effekte auf atomarer Ebene von wesentlicher Bedeutung. Oftmals ist eine direkte numerische Simulation des makroskopischen Verhaltens durch vollst¨andige Aufl¨osung der Mikroskala aus Aufwandsgr¨unden nicht m¨oglich. In den letzten Jahren wurden Methoden zur Mehrskalensimulationen entwickelt, die sowohl atomistische als auch kontinuierliche Modelle innerhalb eines Simulationsgebietes verwenden. Zeitgleich k¨onnen somit auf der Markoebene Finite Elemente und auf der Mikroebene eine Molek¨uldynamiksimulation benutzt werden. Einer der wichtigsten Aspekte in der Mehrskalensimulation ist dabei die Konstruktion von geeigneten Transferoperatoren welche entsprechend Informationen zwischen den beiden Skalen transportieren. In dieser Doktorarbeit wird ein neuartiger schwacher Kopplungsopera- tor (”weak coupling operator”) entwickelt, der eine Br¨ucke zwischen atomistischen Prozessen und kontinuierlichen Modellen schafft. Zun¨achst werden die Newtonschen Bewegungsgleichungen in der Molek¨uldynamik und die der Kontinuumsmechanik mit den jeweiligen Hamiltonschen und Lagrangeschen Energiebe- griffen vorgestellt. Anschließend werden die fundamentalen Unterschiede in der Modellierung der beiden Skalen und den damit verbundenen Problemen diskutiert. Die in der Literatur ¨uber Mehrskalenmethoden h¨aufig beschriebenen Reflexionen (“spu- rious reflections”), werden untersucht und deren Ursachen erl¨autert. Eine Identifikation der strukturellen Merkmale der in der Literatur bisher existierenden Mehrskalenmethoden erlaubt es, eine neue Klassifikation einzuf¨uhren. Diese hebt hervor, dass alle bisherigen Mehrskalenmethoden einen punktweisen Ansatz verfolgen. Der in dieser Arbeit entwickelte neue Kopplungsoperator basiert nicht auf einer punktweisen Auswertung sondern auf einer Mittelung. Dazu werden lokale Gewichtsfunktionen, mittels einer Partition der Eins, konstruiert. Dieser Ansatz erlaubt es nun, das Mikroskalenver- schiebungsfeld mit Hilfe einer L2 Projektion in einen hochfrequenten und niederfrequenten Teil aufzuteilen. Mit dieser Skalendekomposition und dem neuen Transferoperator betrachten wir zun¨achst eine vollst¨andige Uberlappung,¨ bei der das Gebiet mit der atomaren Modellierung eine Teilmenge des Gebietes mit der kontinuumsmechanischen Modellierung ist. Hierzu werden numerische 5 Beispiele in 1d und 2d pr¨asentiert. Alternativ zu diesem Ansatz stellen wir eine teil¨uberlappende Zerlegung vor, bei der die molek¨uldynamische und die kontinuumsmechanische Simulation in einem Teilgebiet koex- istieren. Dabei werden die Freiheitsgrade aus der atomaren und die der kontinuumsmechanis- chen Simulation ¨uber zus¨atzliche Lagrange Multiplikatoren, die die Einhaltung der Nebenbe- dingung garantieren, gekoppelt. Der schwache Kopplungsansatz erlaubt es uns dabei, die Nebenbedingungen im Funktionenraum zu interpretieren. Dies resultiert in einer sehr effizien- ten Kopplung zwischen den beiden Skalen, was in 1d, 2d und 3d Simulationen gezeigt wird. Danksagung An dieser Stelle m¨ochte ich mich herzlichst bei allen bedanken, die mir bei der Fertigstellung dieser Arbeit stets mit Rat und Tat zur Seite gestanden haben. Mein erster Dank, gilt meinem Mentor Prof. Dr. Rolf Krause, der mich in meiner bisheri- gen wissenschaftlichen Laufbahn sicher gef¨uhrt und verst¨andnisvoll begleitet hat. Besonders m¨ochte ich dabei f¨ur die zahlreichen fachlichen Ideen und Ratschl¨age bedanken. Danke daf¨ur, dass aus meinen spontanen fachlichen Funf-Minuten-Fragen“¨ auch halbe Stunden werden ” durften. Bei Prof. Dr. Helmut Harbrecht m¨ochte ich mich f¨ur wertvolle Tipps und f¨ur die Ubernahme¨ des Zweitgutachtens bedanken. In besonderem Maße gilt mein Dank auch an Dorian Krause, mit dem ich jede absurde Idee die ich hatte besprechen und diskutieren konnte. Bei Christina Mohr m¨ochte ich mich f¨ur das Korrekturlesen bedanken. Herrn Dr. M. A. Schweitzer danke ich f¨ur Diskussionen. Abschließend m¨ochte ich mich bei allen Mitarbeitern und Studenten der Arbeitsgruppe Krause und allen Mitarbeitern des Instituts f¨ur Numerische Simulation be- danken. Contents 1 Physical Fundamentals 5 1.1 Equations of Motion in the Molecular Setting . ....... 5 1.2 Crystalline Structures . 14 1.3 The Equations of Motion in the Continuum Mechanics Setting ........ 19 2 Challenges of Coupling Atomistic and Continuum Models 25 2.1 TheDispersionRelation . 25 2.2 Determining the Reflection Coefficient . ...... 34 2.3 Boundary Conditions in the Molecular Setting and Spurious Reflections . 37 2.4 The Numerical Treatment of Boundary Conditions . ....... 39 3 A New Classification of Multiscale Methods 45 3.1 Demands on Multiscale Methods and Domain Decompositions........ 45 3.2 OverlappingMethods..... ...... ..... ...... ..... ... 49 3.3 Interface Methods / Non-Overlapping Methods . ....... 51 4 The Function Space Oriented Multiscale Decomposition 53 4.1 Design of a Function Space Oriented “Coupling Space” . ......... 53 4.1.1 Approximation Properties . 60 4.1.2 Particle Distribution and Crystalline Structures . .......... 62 4.2 TheScaleTransfer ............................... 63 4.3 A Simplified Model Problem and the Saddle Point Formulation........ 63 5 The Weak Multiscale Method for the Completely Overlapping Case 73 5.1 Multiscale Decomposition . 73 5.2 Multiscale Decomposition in Function Space . ....... 74 5.2.1 The Weak Approach for a Multiscale Decompostion in Function Space 75 5.2.2 Discrete Representation of the Weak Approach . ..... 79 5.3 Frequency Sensitivity of the Coupling Operator . ......... 85 5.4 NumericalExamples .............................. 88 5.4.1 A One Dimensional Example . 88 5.4.2 A Two Dimensional Example . 89 6 The Weak Multiscale Method and Coupling with Constraints 93 6.1 Deriving Constraints in the Lagrangian Setting . ......... 94 i 6.2 Imposing Constraints in a Weak Sense . 96 6.3 NumericalExamples .............................. 100 6.3.1 A One Dimensional Example . 101 6.3.2 A Two Dimensional Example . 102 6.3.3 Three Dimensional Examples . 104 Bibliography 109 Introduction Various phenomena in material science involve processes over a wide range of length scales from the atomistic to the continuum. A deeper understanding of solids detect that the mul- tiscale methods, i.e. the coupling of different levels of description are needed, since each individual framework is inadequate on its own at the scale in question. Here, we consider two scales, which we associate to the continuum mechanics and the molecular dynamics. In continuum mechanics, which we refer to the coarse scale, atomistic details are neglected, whereas in molecular dynamics (the fine scale) the atoms and their mechanics are accounted for. The continuum mechanics is based on partial differential equations describing the conservation laws and the constitutive relations. This approach is impressively successful in a number of areas like solid mechanics close to equilibrium. However, this description may become inaccurate for problems in which the detailed atomistic processes affect the macroscopic behavior of the material. Linear elasticity, as a prominent representative of a continuum mechanical description, is inaccurate when the dynamics of the system are too far from equilibrium. One reason for this can be found in the fact that it is assumed in elasticity, that the materials are homogeneous, even at the smallest scales. If the sample is large enough, this approximation is valid, since one can effectively average over the inhomogeneities. Thus, elasticity can be seen as a statistical theory. This averaging in elastic theory becomes inaccurate, if we consider smaller length scales, where the fine grained structure and its effects like thermal fluctuations determine the system inherently. The authors of [RB05] claim, that this inaccuracy appears in sizes smaller than one micro meter. Then, at these length scales, the dynamic of solids far from equilibrium comes into play. Usually the simulation scene on the fine scale starts with a set of atoms which are described A as point like masses. The evaluation of this system then can either be done by energy minimization at zero temperature or by Monte Carlo methods, or by molecular mechanics. The absence of an intrinsic time scale makes the Monte Carlo method attractive for the study of equilibrium states. In molecular dynamics, the interaction between the atoms is described by an empirical inter-atomic potential, tailored to reproduce some physical properties of a given material such as the zero temperature lattice parameter and elastic constants. This method is preferable for non-equilibrium states or time dependent quantities. However a detailed theoretical description of many macroscopic properties down to the atom- istic scale, lies