Intractability: P, NP, NP-Complete

Intractability: P, NP, NP-Complete

����� Intractability P,NP,NP-Complete 3-SAT ET -S AT poly-time reduces NDEPENDENT Tyler Moore 3-S to I CSE 3353, SMU, Dallas, TX INDEPENDENT-SET DIR-HAM-CYCLE GRAPH-3-COLOR SUBSET-SUM Lecture 20 VERTEX-COVER HAM-CYCLE PLANAR-3-COLOR SCHEDULING Some slides created by or adapted from Dr. Kevin Wayne. For more information see http://www.cs.princeton.edu/~wayne/kleinberg-tardos. Some code reused from Python Algorithms by Magnus Lie SET-COVER TSP 3-SAT poly-time reduces to all of Hetland. these problems (and many, many more) 2 2 / 36 ����������������� Decision problem. 8. INTRACTABILITY II �Problem � is a set of strings. �Instance ��is one string. ‣ P vs. NP �Algorithm � solves problem �: ���������� iff ��∈��. ‣ NP-complete Def. Algorithm � runs in polynomial time if for every string �, ���� ‣ co-NP terminates in at most ���������� "steps", where ��⋅� is some polynomial. ‣ NP-hard length of s Ex. Problem PRIMES�������������������������������������������������. ����������� � �Instance �������������������������. �AKS algorithm PRIMES in �������������steps� 3 3 / 36 4 / 36 ������������ � �� P. Decision problems for which there is a poly-time algorithm. Certification algorithm intuition. �Certifier views things from "managerial" viewpoint. �Certifier doesn't determine whether ��∈�� on its own; Problem Description Algorithm yes no rather, it checks a proposed proof � that ��∈��. ULTIPLE M Is � a multiple of ��? grade-school division 51, 17 51, 16 Def. Algorithm ������� is a certifier for problem � if for every string �, ��∈�� iff there exists a string � such that �������������. REL-PRIME Are � and � relatively prime ? Euclid (300 BCE) 34, 39 34, 51 "certificate" or "witness" PRIMES Is � prime ? AKS (2002) 53 51 Def. �� is the set of problems for which there exists a poly-time certifier. Is the edit distance between dynamic niether acgggt EDIT-DISTANCE ������� is a poly-time algorithm. � and � less than 5 ? programming neither ttttta � Certificate ��is of polynomial size: ������≤������������ for some polynomial ��⋅� ⎡� � �⎤� ⎡� �⎤� ⎡� � �⎤� ⎡�⎤ � Gauss-Edmonds ⎢� ⎥� ⎢� ⎥� ⎢� ⎥� ⎢� ⎥ Is there a vector � that � � � ���� � � � � ���� � L-SOLVE ⎢� − ⎥� ⎢� ⎥� ⎢� ⎥� ⎢� ⎥ satisfies �������? elimination ⎣⎢� � ��⎦⎥� ⎣⎢���⎦⎥� ⎣⎢� � �⎦⎥� ⎣⎢�⎦⎥ Is there a path between � depth-first search ST-CONN Remark. �� stands for nondeterministic polynomial time. �nd � in a graph ��? (Theseus) 5 6 5 / 36 6 / 36 ������������������������������������� ������������������������������������������� COMPOSITES. Given an integer �, is � composite? 3-SAT. Given a CNF formula Φ, is there a satisfying assignment? Certificate. A nontrivial factor � of �. Such a certificate exists iff � is Certificate. An assignment of truth values to the � boolean variables. composite. Moreover ������≤������. Certifier. Check that each clause in Φ has at least one true literal. Certifier. Check that ��������� and that � is a multiple of ��. ������������������� ������ ���������� Φ���� � ∨� � ∨� � ∧� � ∨� � ∨� � ∧� � ∨� � ∨� � ������������ ����or ��� 437,669 = 541 × 809 �� � � � � � � ������������ ����������������������������������������������� Conclusion. COMPOSITES ∈ ��. Conclusion. 3-SAT ∈ ��. 7 8 7 / 36 8 / 36 ����������������������������������������� ��������������� HAM-PATH. Given an undirected graph ����������, does there exist a simple NP. Decision problems for which there is a poly-time certifier. path � that visits every node? Certificate. A permutation of the � nodes. Problem Description Algorithm yes no ⎡� � �⎤� ⎡� �⎤� ⎡� � �⎤� ⎡�⎤� Is there a vector � that Gauss-Edmonds ⎢� ⎥� ⎢� ⎥� ⎢� ⎥� ⎢� ⎥� L-SOLVE � �−� ���� � � � � ���� � elimination ⎢� ⎥� ⎢� ⎥� ⎢� ⎥� ⎢� ⎥� Certifier. Check that the permutation contains each node in � exactly once, satisfies �������? ⎣⎢� � ��⎦⎥� ⎣⎢���⎦⎥� ⎣⎢� � �⎦⎥� ⎣⎢�⎦⎥� and that there is an edge between each pair of adjacent nodes. COMPOSITES Is � composite ? AKS (2002) 51 53 Does � have a nontrivial factor FACTOR ? (56159, 50) (55687, 50) less than ��? Is there a truth assignment that ����� �����∨����� SAT ? �����∨����� satisfies the formula�? ��������∨����� ��������∨����� 3-COLOR Can the nodes of a graph � be ? colored with 3 colors? ���������� ������������ Is there a simple path between HAM-PATH ? � and � that visits every node? Conclusion. HAM-PATH ∈ ��. 9 10 9 / 36 10 / 36 ������������ �� �������������� NP. Decision problems for which there is a poly-time certifier. P. Decision problems for which there is a poly-time algorithm. NP. Decision problems for which there is a poly-time certifier. EXP. Decision problems for which there is an exponential-time algorithm. Claim. ���⊆����. ������������������������������������������������������������������������� Pf. Consider any problem � ∈ �. ����������������������������������������������������������������������������� �By definition, there exists a poly-time algorithm ���� that solves �. ��������������������������������������������������������������������������� �Certificate ����ε, certifier ��������������. ▪ Claim. ����⊆�����. Pf. Consider any problem � ∈ ��. ������������������������������������������������������������������������ �By definition, there exists a poly-time certifier ������� for �. �To solve input �, run ������� on all strings � with �������≤����������. �Return ��� if ������� returns ��� for any of these potential certificates. ▪ Remark. Time-hierarchy theorem implies ���⊊�����. 11 12 11 / 36 12 / 36 ���������������������������� ���������������������������� Q. How to solve an instance of 3-SAT with � variables? Does P = NP? [Cook 1971, Edmonds, Levin, Yablonski, Gödel] A. Exhaustive search: try all �� truth assignments. Is the decision problem as easy as the certification problem? Q. Can we do anything substantially more clever? Conjecture. No poly-time algorithm for 3-SAT. ��� �� ��� "intractable" � ������ ������≠��� ���������� If yes. Efficient algorithms for 3-SAT, TSP, 3-COLOR, FACTOR, … If no. No efficient algorithms possible for 3-SAT, TSP, 3-COLOR, … Consensus opinion. Probably no. 13 14 13 / 36 14 / 36 ����������������� ����������������� P ≠ NP. P ≠ NP. ������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������������� �������������������������� ��������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������� ���������������������������������� 15 16 15 / 36 16 / 36 ����������������� ����������������������� P = NP. � = ��, but only Ω������ algorithm for 3-SAT. � ≠ ��, but with ��������� algorithm for 3-SAT. �������������������������������������������������������������������������� � = �� is independent (of ZFC axiomatic set theory). ������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������� 17 18 17 / 36 18 / 36 ���������������� ������������������ Millennium prize. $1 million for resolution of ������ problem. Some writers for the Simpsons and Futurama. �J. Steward Burns. ����������������������������������. �David X. Cohen. ���������������������������������������. �Al Jean. ����������������������������������. �Ken Keeler. ������������������������������������������. �Jeff Westbrook. �����������������������������������������. Copyright © 1990, Matt Groening Copyright © 2000, Twentieth Century Fox 19 20 19 / 36 20 / 36 ������������������������� Def. Problem � polynomial (Cook) reduces to problem � if arbitrary 8. INTRACTABILITY II instances of problem � can be solved using: �Polynomial number of standard computational steps, plus ‣ P vs. NP �Polynomial number of calls to oracle that solves problem �. ‣ NP-complete Def. Problem � polynomial (Karp) transforms to problem � if given any ‣ co-NP input � to �, we can construct an input � such that � is a ��� instance of � ‣ NP-hard iff � is a ��� instance of �. we require |y| to be of size polynomial in |x| Note. Polynomial transformation is polynomial reduction with just one call to oracle for �, exactly at the end of the algorithm for �. Almost all previous ����������� reductions were of this form. Open question. Are these two concepts the same with respect to ��? we abuse notation ≤ p and blur distinction 24 21 / 36 22 / 36 ����������� ��������������������� NP-complete. A problem � ∈ �� with the property that for every CIRCUIT-SAT. Given a combinational circuit built from AND, OR, and NOT gates, problem � ∈ ��, ��≤����. is there

View Full Text

Details

  • File Type
    pdf
  • Upload Time
    -
  • Content Languages
    English
  • Upload User
    Anonymous/Not logged-in
  • File Pages
    9 Page
  • File Size
    -

Download

Channel Download Status
Express Download Enable

Copyright

We respect the copyrights and intellectual property rights of all users. All uploaded documents are either original works of the uploader or authorized works of the rightful owners.

  • Not to be reproduced or distributed without explicit permission.
  • Not used for commercial purposes outside of approved use cases.
  • Not used to infringe on the rights of the original creators.
  • If you believe any content infringes your copyright, please contact us immediately.

Support

For help with questions, suggestions, or problems, please contact us