Cryptographic Hash Functions from Expander Graphs Christophe Petit Based on joint works with Giacomo de Meulenaer, Kristin Lauter, Jean-Jacques Quisquater, Jean-Pierre Tillich, Nicolas Veyrat, Gilles Z´emor UCL Crypto Group Microelectronics Laboratory LGG seminars - Feb 2009 1 Cryptographic hash functions... I Compressing functions: (key, message) ! hash value H : f0; 1gκ × f0; 1g∗ ! f0; 1gλ I Used everywhere in Cryptography: I Digital signatures I Message authentication codes I Commitment I Pseudo-random number generation I Entropy extraction I ... UCL Crypto Group Microelectronics Laboratory LGG seminars - Feb 2009 2 I There exist standards (SHA)... I ... but they are being broken ! Cryptographic hash functions... I Properties: I Collision resistance I Preimage resistance I Second preimage resistance I ... UCL Crypto Group Microelectronics Laboratory LGG seminars - Feb 2009 3 Cryptographic hash functions... I Properties: I Collision resistance I Preimage resistance I Second preimage resistance I ... I There exist standards (SHA)... I ... but they are being broken ! UCL Crypto Group Microelectronics Laboratory LGG seminars - Feb 2009 3 I While expander hashes look like this: (2(2,,194)95) (2(0, 124)245) (0, 21)43) (2, 290) (0, 306) (1, 64) (0(2,,286)98) (0(2,,91)2) (2, 159)324) (0(1,,14)7) (0(2,,151)21) (1(1,,170)58) (2, 115)252) (2(1, 107), 0) (0, 186) (0, 229) (1(2, 244), 4) (2(1, 175)337) (0(2(1,,302)333)237)44) (2(0, 278), 5) (2(2,,164)90) (2(0, 151)191)200)266) (0(1,,283)19) (2(1(2(0,,293)40)13)60) (0, 145)213) (2, 127)259) (0(2, 110)243) (1(0,,150)87) (2(0,,219)40) (0, 273) (0, 217) (1(2, 274), 3) (2(2(0,,101)23)104)115) (1(2(0(2,,260)146)65)93) (0(1(0(0,,221)277)126)231),272)95) (2(0(1(1,,248),96)254)88) (2(2(1(0,,173),22)281)23) (1(0, 113)332) (2, 279)301) (1, 152)296) (1(1, 153), 6) (2(0,,131)17) (2(1(1(0,,169)252),165)13) (2, 106)183) (0(1,,339)68) (0(2(1,,172)221)159)177) (2(1(0(1,,217)322),227)85) (1(0, 225)330) (2(1(0,,113)171)325)72) (0(2(1, 179)256), 17)66) (1(0,,120)191)109)275) (1(0(0(2,,,285),36)111)81) (0(0,,181)80) (1(0,,202)38) (1(1,,230)18) (2(0, 186)263) (2(0, 224), 6) (0(1,,234)36) (0, 240) (2, 176) (1(1,,213)92) (1(0(2,,24)39)242)288) (1(0(1,,200)299)239)280) (2(1, 185)217) (2(0(1(2,,135)168)134)234) (1, 221)331) (2(1, 332), 5) (2, 208)239) (0(2(1, 118)270)287)309) (1(2, 273)305) (2(0(2(2,,295),47)157)20) (0(1, 266)267) (1(0, 156)258) (1(2(1(1(0,,262)294),31)93),235)69) (2(2,,177)18) (2(1,,338)98) (1(2(1(2,,,183)308)188)39) (2(1(2,,134)203)207)273) (2(0, 307)320) (1, 298)318) (0, 309)340) (0(1,,74)9) (2, 19) (2, 30) (2(0,,335)19) (1, 128)194) (1(2, 38)89) (0(1(2(0,,335)63)73)86) (0(1(1(2,,156)245)189)225) (2, 149)237) (1, 117)205) (0(2,,165)45) (2(0, 316)327) (2(1, 116)261) (1(2, 242)320) (1(0,,41)9) (1(1,,241)29) (0, 269)280) (2(2,,251)61) (1(2(2(0, 329)330), 199)236)150)205) (0(2, 267)318) (1(1(0(2(1,,100)300),17)37)276)288) (0(1,,264)79) (0, 278)329) (2(0(2,,288)308)298)265) (1(0(2,,204)319)232)309) (1(0, 101)143) (0, 114)224) (1(1(0,,,139)227)114)42) (0(0(2,,,167)279)220)72) (0, 157)126) (2, 119)296) (1(0, 292), 2) (1(2,,142)38) (1(2, 211)287) (1(1,,151)74) (0(1,,125)20) (0, 94) (0, 98) (2(1, 102)268) (0, 71)90) (2(1, 84)30) (0(1(0(1,,131)338)20)52) (2(1, 193)340) (1(1,,123)34) (0(2, 262), 8) (1(2(0(1, 236)253)190)331), 228)301) (1(1,,332)59) (0(1(2,,,294)290)323)71) (2(2,,226)76) (2(1, 70)77) (0(0,,318)79) (1(2(0(1,,,272)256)287)82) (1(0(1(0,,115)136)172)297) (0(1,,296)14) (1(0, 179)310) (2(1,,112)13)(1(0(2,,127)282),281)85)(2(2(0,,155)192)111)154) (0(1, 107)324) (0(1,,336)50) (1(0(0(2,,,264),88)242)94) (2(0, 283)338) (1, 35)49) (2(2,,201)88) (0(0,,158)52) (1(2,,271)12) (0(2(2,,,41)63)154)34) (0(2,,195)65) (0(0, 307), 4) (2(0, 232)247) (0, 18)35) (2, 227)238) (0(2(1(2,,142)264)256)339) (1(0, 210)215) (1, 108)(2(2,,129)63) (1, 138)281) (2(1, 240)305) (1(0, 239)333) (1, 249) (2(2,,233)67) (2(0(1,(2(1195)259),,168)41)56)91) (0(1(2,(1163)275)152)222),,188)72) (1(0(0,,,149)270)268)70) (2(0(1(2,,,321)325)80)40) (2(0, 235)319) (0(0,,123)67) (0(2(2,,147)146)289)83) (0(0,,304)30) (2(1,,261)61) (2, 152)327) (2(2, 323), 1) (2(1,,142)71) (1(1,,209)94) (0(1, 194)286) (0(1(0(1,,230)284)225)297) (0(1(2,,124)310)123)257) (2(1,(1(0138)335)(2(1, 39)77),(0(1258)312)(1, 211)320), 122)132) (0(1,,153)60) (0(1(0,(0170)198),,246)48) (2(0, 137)188) (1(0,,112)46) (0, 183)276) (2(2,,300)69) (0(2(1(2, 116)198),,283)50) (2(1,,103)62) (0(1(2,,200)204)197)326) (2(0,,168)73) (2(1,,114)73) (0(1,,119)87) (1(0,,147)31) (2(2,,328)14) (0(1,,174)76) (2(0, 145)321) (2(0,,230)51) (0(1, 112)121) (0, 236)265) (0, 219)316) (0(2,,132)49) (1(1, 184), 1) (1(0(0,,185)291)290)92) (2(1,,267)37) (1(2, 182)210) (1(2,,125)51) (2(0, 229)337) (0, 135)300) (0(1(0,,127)336)206)12) (2(0, 228)270) (0(2, 105)187) (1(1,,154)67) (0, 160)292) (0(1, 193)232) (1(1(2(1,,328),47)249)259)110)144) (0, 284)(2, 166)223) (1(0(2(0, 130)233)176)284), 218)291) (1(0(0(1,,307)144)58)56) (0(0,,311)16) (2, 277)297) (2(0,,247)66) (0(1,,162)53) (1(2, 163)306) (0(0,,108)53)(1, 161) (0, 222)226) (2(1(2(1,,,214)308)302)12) (1(0,(2109)306),(1(1,182)92),(0(1,223)15),(2(2175)238)(1,(0,272)29),,233)99) (0(0,,199)62) (0(2, 122), 6) (0(2, 141)254) (2(2,,118)74) (2(2,,292)54) (1(2,,321)91) (2(0(2(1,,171)189)182)243) (1(2,,140)42) (1(0,,278)59) (0(1, 137)293) (0(0(1(2,,214)27)214)275) (2(1(0(2,,55)81)102)77) (2(0,,179)68) (0, 251)295) (2(1,,,180)99)176)229) (2(1(2(0,,141)317),317)25) (1(2(0(1,,,,195)133)33)89) (1(2(0(1,,,218)250)241)83) (0(1(0,,,271)240)274)44) (2(2,,274)57) (2(0, 215), 1) (0(2(2(1,,255),25)24)70) (2(0(1(0,,,209)83)175)207) (0(2, 196)311) (2(2,,121)60) (1(1(0(2,,,190)46)45)59) (0(2,,257)15) (0(2, 138)220) (0(2(2,,106)325)282)75) (2(1(2(1(1(0,,111)202),27)69)174)301) (1(2(2(0,,104)167)105)293)(2(1(0,,128)248)299)253)(1(2(2(0,,162)212)160)184)(0(2, 128)313) (0, 64)97) (1, 157)(1, 253)266) (0, 129) (1(2,,289)26) (2, 139)150) (1, 42)86) (0, 208)305) (1(0, 199), 8) (1(2,,302)43) (0(2,,235)37) (2(2,,205)44) (1(0(2(1,,,257)161)108)48) (1(0(2,,166)171)147)271) (1(2,,226)22) (1(2, 102)299) (2(1(1(2,,,,244)237)57)11) (0(2(0(2,,,198)218)192)47) (1(0, 269)334) (1(2,,136)62) (1(0(1(2(0, 141)202),,118)156)310)22) (2, 148)241) (2(2, 170), 5) (0(1(0(1,(1,101)294)316),89),181)27) (0(1, 187)250) (2, 174)269) (2(0,,334)76) (1(2, 186)315) (2, 337) (0(1, 159)231) (2(1, 144)164) (0(2(1,,324)246)286)54) (0(1, 103)234) (1, 208) (0(1(0(2,,,133)224)24)58) (1(0,,45)7) (2(1,,191)16) (1(2, 187)197) (1(2, 160)216) (1(0, 215)243) (0(2,,285)68) (1(1,,255)78) (2(1(0(2,,,140)11)11)86) (2(0(1,,126)177)124)192) (2(1, 130)180) (0(2,,314)96) (2(0,,190)15) (1(2, 107)291) (0(0,,210)29) (2(1,,304)95) (1(0, 43)75) (1, 105)220) (1(0,,313)34) (1(2, 178)193)206)333) (2(2,,245)303)16)82) (2(2,,213)79) (0(1, 100)155) (2(1, 10)75) (1(1,,28)3) (1(0(0(2, 103)203), 49)66) (1(0, 119)140) (2(1,,110)90) (0, 32) (2, 312) (0(1,,322)26) (0, 84)93) (2(0,,53)0) (2, 120)222) (0, 120)328) (1, 10)21) (0, 117)238) (0(1, 139)173) (0, 250)312) (1(2(1(1,,201),78)334)23) (2(1, 204)265) (0(1, 197)295) (1(0(0(2(1,,,314),61)223)130)46)32) (2(0(1(2(1, ,162)244)145)181)178)247) (1(2(0(2,,,311),48)180)36) (0(1, 113)279) (0(2,,317)87) (0(2, 104), 9) (0(2(1,,260)262)327)96) (2(0(2(1,,,163)82)117)303) (1(0, 137)326) (1, 116)315) (2(0, 28)56) (0(1(0(2,,134)143)185)322) (0(0(1,,,212)57)219)263) (1(0, 148)209) (2(1, 143), 2) (1, 258) (1, 84) (2, 172)329) (0(0,,164)28) (0, 121)166) (2(1(0(1,,184)169)261)55) (1(2(0(0,,135)268)216)55) (0(2(1(2,,248),260)33)33) (2(0,,100)50) (1(2(2,,206)280)158)282) (0(0,,173)85) (1(2, 276)319) (2(0, 196)249) (1(2(1(2,,167)331),339)35) (2(0(1(2,,132)155)158)336) (2(1, 109)212) (0(2, 252), 7) (1(0,,133)78) (1(0(1(2,,,207)228)178)129)51)97) (0(1, 148)304)251)326) (2(0, 203)254) (0, 169)315) (0(0,,81)3) (1, 146) (2(1,,263)25) (0(1(0,,313)201)65)26) (0(2(2,,289)122)80)99) (0, 323) (1(2, 131)285) (2, 231)255) (2(2, 161), 0) (1, 106)216) (2(1, 32)97) (2(1, 314), 8) (2, 125) (0, 54) (2(0,,136)10) (1(2, 246)340) (2(1, 211), 4) (2, 153)165) (2, 31)64) (2, 52) (1, 196) (2(0, 189)277) (0(1, 298)330) (0, 149)303) ...from expander graphs I Current hash functions look like this: UCL Crypto Group Microelectronics Laboratory LGG seminars - Feb 2009 4 (2(2,,194)95) (2(0, 124)245) (0, 21)43) (2, 290) (0, 306) (1, 64) (0(2,,286)98) (0(2,,91)2) (2, 159)324) (0(1,,14)7) (0(2,,151)21) (1(1,,170)58) (2, 115)252) (2(1, 107), 0) (0, 186) (0, 229) (1(2, 244), 4) (2(1, 175)337) (0(2(1,,302)333)237)44) (2(0, 278), 5) (2(2,,164)90) (2(0, 151)191)200)266) (0(1,,283)19) (2(1(2(0,,293)40)13)60) (0, 145)213) (2, 127)259) (0(2, 110)243) (1(0,,150)87) (2(0,,219)40) (0, 273) (0, 217) (1(2, 274), 3) (2(2(0,,101)23)104)115) (1(2(0(2,,260)146)65)93) (0(1(0(0,,221)277)126)231),272)95) (2(0(1(1,,248),96)254)88) (2(2(1(0,,173),22)281)23) (1(0, 113)332) (2, 279)301) (1, 152)296) (1(1, 153), 6) (2(0,,131)17) (2(1(1(0,,169)252),165)13) (2, 106)183) (0(1,,339)68) (0(2(1,,172)221)159)177) (2(1(0(1,,217)322),227)85) (1(0, 225)330) (2(1(0,,113)171)325)72) (0(2(1, 179)256), 17)66) (1(0,,120)191)109)275) (1(0(0(2,,,285),36)111)81) (0(0,,181)80) (1(0,,202)38) (1(1,,230)18) (2(0, 186)263) (2(0, 224), 6) (0(1,,234)36) (0, 240) (2, 176) (1(1,,213)92) (1(0(2,,24)39)242)288) (1(0(1,,200)299)239)280) (2(1, 185)217) (2(0(1(2,,135)168)134)234) (1, 221)331) (2(1, 332), 5) (2, 208)239) (0(2(1, 118)270)287)309) (1(2, 273)305) (2(0(2(2,,295),47)157)20) (0(1, 266)267) (1(0, 156)258) (1(2(1(1(0,,262)294),31)93),235)69) (2(2,,177)18) (2(1,,338)98) (1(2(1(2,,,183)308)188)39) (2(1(2,,134)203)207)273) (2(0, 307)320) (1, 298)318) (0, 309)340) (0(1,,74)9) (2, 19) (2, 30) (2(0,,335)19)