Universit´eLibre de Bruxelles Facult´edes Sciences Service de Physique Th´eorique et Math´ematique Kac-Moody Algebras in M-theory Sophie de Buyl Aspirant F.N.R.S. arXiv:hep-th/0608161v1 23 Aug 2006 Ann´ee acad´emique 2005–2006 Mes remerciements s’adressent tout d’abord `aMarc Henneaux, mon directeur de th`ese. Quand j’´etais petite, ses cours sur les repr´esentations des groupes finis et sur la Relativit´e G´en´erale m’ont fortement s´eduite. Je garde un excellent souvenir de ses expos´es d’une clart´e remarquable. J’ai donc os´efrapper `asa porte et c’est avec joie que j’ai entrepris un m´emoire, puis la pr´esente th`ese dans le cadre de la gravitation d’Einstein, non plus sur les groupes finis, mais sur des structures beaucoup plus grandes: les alg`ebres de Kac–Moody infini di- mensionnelles. Il m’a propos´edes probl`emes stimulants et bien pos´es me permettant d’entrer rapidement dans des sujets pointus. J’ai beaucoup appr´eci´esa mani`ere positive de voir les choses, ainsi que son intuition qui —`ama connaissance— n’a jamais ´et´emise en d´efaut. J’ai ´et´eimpressionn´ee par son efficacit´e: d`es qu’il se d´ecide `aterminer un projet, c’est comme si c’´etait fait! Et malgr´esa pr´esence euh... disons fort al´eatoire, il a ´et´epour moi un promo- teur exemplaire. Maintenant que je suis grande, j’esp`ere ˆetre `ala hauteur de ses attentes et pouvoir voler de mes propres ailes. Je remercie de tout coeur Christiane Schomblond. Elle a guid´emes premiers pas, parfois trop hatifs, dans le monde de la recherche scientifique et a ´et´eune source de r´eponses indis- pensable tout au long de l’´elaboration de cette th`ese. Je lui en suis fort reconnaissante et suis tr`es sensible `asa grande disponibilit´e. C’est avec grand plaisir que j’ai travaill´eavec Laurent Houart. La porte de son bureau toujours ouverte, et `adeux pas de la mienne, a contribu´eau partage de son enthousiasme (d´ebordant certains jours et ayant le don d’acc´el´erer le d´ebit de ses propos) pour les very interesting Kac–Moody algebras. Je le remercie pour son attention face `ames angoisses diverses, dont celles de parler en anglais devant des monsieurs s´erieux. Louis Paulot a ´et´eun collaborateur hors pair pour affronter le monde sans piti´edes fermions et les diagrammes de Satake, je lui suis reconnaissante pour les nombreuses choses qu’il m’a apprises. Je remercie ´egalement Nassiba Tabti et Ga¨ia Pinardi pour des collabora- tions pass´ees ainsi que Geoffrey Comp`ere pour collaboration sur le feu... Je remercie St´ephane Detournay pour les mille et un projets qu’il m’a propos´es et que je compte bien partager avec lui malgr´eles embˆuches sur notre chemin de post–doctorants. Sandrine Cnockaert occupe certainement une place particuli`ere dans ces remerciements. Nous avons effectivement suivi un parcours tr`es proche (mais dans des ´etats de stress plus ou moins oppos´es). Je la remercie pour plein de petites choses qui ont contribu´eau bon d´eroulement de cette th`ese. Aujourd’hui nos voies semblent s’´eloigner mais je suis sˆure qu’elles garderont des points communs. J’ai eu la chance de rencontrer diverses personnes qui m’ont accompagn´ee le long de mon parcours scientifique. Je pense ici `aPhilippe L´eonard qui a ´eveill´emon int´eret pour la physique. Puis `aKim Claes, Laura Lopez–Honorez, Sandrine Cnockaert, Claire No¨el, Georges Champagne et Yannick Kerckx [par ordre de taille] qui ont contribu´e`acr´eer une atmosph`ere stimulante pendant nos quatre ann´ees d’´etudes universitaires. J’ai eu la chance de faire partie d’un service fort dynamique qui semble grandir de plus en plus. J’en re- mercie tous les membres, les secr´etaires si efficaces, les habitu´es de la salle caf´eet les doc- torants (et ex–doctorant) du couloir N du 6i`eme ´etage et puis tous ceux que j’oublie. J’ai profit´ede l’expr´erience de mes ain´es, Xavier Bekaert et Nicolas Boulanger, que je tiens beaucoup `aremercier. L’enthousiasme contagieux de Jarah Evslin, Daniel Persson, Carlo Maccafferi, Nazim Bouatta, Geoffrey Comp`ere, Mauricio Leston, St´ephane Detournay et Stanislav Kuperstein [l’interpretation de l’ordre de pr´esentation est laiss´ee au lecteur] lors des “Weinberg lectures” dont j’ai malheureusement manqu´e nombre d’´episodes ainsi que le bruit qu’ils font en discutant de physique est extrˆement motivant! Je leur souhaite `atous les meilleures d´ecouvertes ... Pour diverses discussions, je remercie [dans un ordre al´eatoire] Philippe Spindel, Glenn Barnich, Fran¸cois Englert, Thomas Fischbacher, Pierre Bieliavsky, Axel Kleinschmidt, Arjan Keurentjes, Riccardo Argurio et Nicolas Boulanger. Il me tient `a coeur d’´evoquer la premi`ere “Modave Summer School in Mathematical Physics” et tous ses participants si avides de savoir. Etant de nature plutˆot anxieuse et ne maˆitrisant pas vraiment la langue de Shakespeare, j’ai beaucoup de remerciements `aadresser concernant ma r´edaction. Ma th`ese a subi d’innom- brables am´eliorations suite aux lectures et re–lectures de Christiane Schomblond. Je lui suis fort reconnaissante pour sa patience, ses conseils avis´es et son exigence face `amon style parfois invontairement peu clair... Je remercie vivement Marc Henneaux pour sa lecture tr`es attentive et les pr´ecisions apport´ees. Daniel Persson m’a encourag´ee, aid´ee et a ponctu´e diff´erentes ´etapes de ma r´edaction de “I think this is a good job!”.1 Geoffrey Comp`ere a grandement contribu´e`ala clart´ede cet expos´e, je lui en suis fort reconnaissante. Je remercie ´egalement St´ephane Detournay, mon fabricant de phrases pr´ef´er´e, ainsi que Sandrine Cnock- aert pour leur aide indispensable dans la phase finale de r´edaction. Je n’oublie pas non plus ici Mauricio Leston, Louis Paulot, Laurent Houart et Paola Aliani. Finalement, je remercie le cnrs pour son dictionnaire en ligne http : //dico.isc.cnrs.fr/fr/index tr.html dont j’ai us´eet abus´e, je l’esp`ere `abon escient. Je remercie Thomas Hertog, Laurent Houart, Bernard Julia, Bernhard M¨uhlherr, Chris- tiane Schomblond, Philippe Spindel et Michel Tytgat pour avoir accept´ede faire partie de mon jury. Pour les longues heures pass´ees pendue au fil du t´el´ephone `ag´emir en leur assurant que non je n’y arriverais jamais, que je n’´etais un pauvre petit lapin, je remercie tout partic- uli`erement ma maman, mon fr`ere Pierre et Sophie Van den Broeck. Ils ont eu l’oreille plus qu’attentive `ames nombreux doutes quant au bon fonctionnement de mes neurones... Pour, lorsque j’habitais chez mes parents, avoir ´et´ed’une compr´ehension totale et plus tard pour avoir continu´e`asatisfaire mes petits caprices, je remercie mon papa. Pour me rappeler que la physique peut avoir des applications pratiques et ne pas c´eder `ames quatre volont´es, je re- 1Daniel Persson har st¨ott och hj¨alpt mig och godk¨ande alla avsnitt av min avhandling med “I think this is a good job!”. mercie mon fr`ere Martin. Je pense ici aussi `aAur´elie Feron, Fran¸coise de Halleux et encore `aSophie Van den Broeck dont l’amiti´em’est particuli`erement ch`ere. A ma famille et mes amis: j’oublie pas que j’vous aime! Je remercie beaucoup ma grand–m`ere, Grand–Mamy, pour son support informatique! A Pour sa disponibilit´eet ses connaissances en linux, LTEX , mathematica, maple et bugs divers et vari´es des nombreux ordinateurs que j’ai u(tili)s´es, je remercie Pierre de Buyl. Glenn Barnich a aussi ´et´ed’une patience exemplaire lors des r´einstallations de diff´erents syst`emes d’exploitation ainsi que pour divers probl`emes quotidiens. La physique m`ene `ades choses diverses et vari´ees ainsi qu’ `ade nombreuses rencontres, je vous laisse deviner celle qui m’a combl´ee au-del`ade toute esp´erance. Contents Introduction 9 I Cosmological Billiards 23 1 A First Approach 25 2 General Framework 37 2.1 GeneralModels................................... 38 2.2 Arnowitt–Deser–Misner Hamiltonian Formalism . .......... 38 2.3 Iwasawa Decomposition of the Spatial Metric . ........ 39 2.4 Hamiltonian in the Iwasawa Variables . ...... 40 2.5 Splitting of the Hamiltonian . ..... 42 2.6 Appearance of Sharp Walls in the BKL Limit . ..... 43 2.7 Cosmological Singularities and Kac–Moody Algebras . ........... 45 3 Homogeneous Cosmologies 47 3.1 GeneralSetting .................................. 48 3.1.1 Spatially Homogeneous Models, Hamiltonian . ...... 48 3.1.2 Generalised Iwasawa Variables . 50 3.1.3 BKLAnalysis................................ 51 3.2 d =3HomogeneousModels ............................ 52 3.2.1 IwasawaVariables ............................. 52 3.2.2 d =3PureGravityBilliards. 53 3.2.3 d = 3 Einstein–Maxwell Billiards . 58 3.3 d =4HomogeneousModels ............................ 59 5 3.3.1 Extension of the Notations and Iwasawa Variables . ....... 59 3.3.2 d =4PureGravity............................. 60 3.3.3 d =4Einstein–MaxwellModels. 63 3.4 Conclusions ..................................... 64 4 Oxidation 65 4.1 Walls associated with simple roots and oxidation . .......... 65 4.2 Obstructionstooxidation . 66 4.3 Maximaldimensions ............................... 67 4.4 p–formspectrumandoxidation . 68 4.5 Resultsandcomments .............................. 70 5 Hyperbolic Algebras 71 5.1 Rank3,4,5and6HyperbolicAlgebras . 73 5.2 Rank 7, 8, 9 and 10 Hyperbolic algebras . ..... 99 5.2.1 Overextensions of finite simple Lie algebras . ....... 100 (2) 5.2.2 The algebras CEq+2 = A2q ∧1 ....................... 101 − 5.3 Conclusions ....................................