Universität Potsdam Mathias Rafler Gaussian Loop- and Pólya Processes A Point Process Approach Universitätsverlag Potsdam Mathias Rafler Gaussian Loop- and Pólya Processes Mathias Rafler Gaussian Loop- and Pólya Processes A Point Process Approach Universitätsverlag Potsdam Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de/ abrufbar. http://info.ub.uni-potsdam.de/verlag.htm Am Neuen Palais 10, 14469 Potsdam Tel.: +49 (0)331 977 4623 / Fax: 3474 E-Mail: [email protected] Dieses Werk ist unter einem Creative Commons Lizenzvertrag lizenziert: Namensnennung - Keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland Um die Bedingungen der Lizenz einzusehen, folgen Sie bitte dem Hyperlink: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/ Zugl.: Potsdam, Univ., Diss., 2009 Online veröffentlicht auf dem Publikationsserver der Universität Potsdam: URL http://pub.ub.uni-potsdam.de/volltexte/2009/3870/ URN urn:nbn:de:kobv:517-opus-38706 http://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:kobv:517-opus-38706 Zugleich gedruckt erschienen im Universitätsverlag Potsdam: ISBN 978-3-86956-029-8 Zusammenfassung Zuf¨alligePunktprozesse beschreiben eine (zuf¨allige)zeitliche Abfolge von Ereignissen oder eine (zuf¨allige)r¨aumliche Anordnung von Objekten. Deren wichtigster Vertreter ist der Poissonprozeß. Der Poissonprozeß zum Inten- sit¨atsmaß λ, das Lebesgue-Maß λ ordnet jedem Gebiet sein Volumen zu, erzeugt lokal, d.h in einem beschr¨anktenGebiet B, gerade eine mit dem Volumen von B poissonverteilte Anzahl von Punkten, die identisch und unabh¨angigvoneinander in B plaziert werden; im Mittel ist diese Anzahl λpBq. Ersetzt man λ durch ein Vielfaches aλ, so wird diese Anzahl mit dem a-fachen Mittelwert erzeugt. Poissonprozesse, die im gesamten Raum unendlich viele Punkte realisieren, enthalten bereits in einer einzigen Stich- probe gen¨ugend Informationen, um Statistik betreiben zu k¨onnen:Bedingt man lokal bzgl. der Anzahl der Teilchen einer Stichprobe, so fragt man nach allen Punktprozessen, die eine solche Beobachtung h¨attenliefern k¨onnen. Diese sind Limespunktprozesse zu dieser Beobachtung. Kommt mehr als einer in Frage, spricht man von einem Phasen¨ubergang. Da die Menge dieser Limespunktprozesse konvex ist, fragt man nach deren Extremalpunk- ten, dem Rand. Im ersten Teil wird ein Poissonprozeß f¨urein physikalisches Teilchen- modell f¨urBosonen konstruiert. Dieses erzeugt sogenannte Loops, das sind geschlossene Polygonz¨uge,die dadurch charakterisiert sind, daß man an einem Ort mit einem Punkt startet, den mit einem normalverteilten Schritt l¨auftund dabei nach einer gegebenen, aber zuf¨alligen Anzahl von Schrit- ten zum Ausgangspunkt zur¨uckkehrt. F¨urverschiedene Beobachtungen von Stichproben werden zugeh¨origeLimespunktprozesse diskutiert. Diese Beobachtungen umfassen etwa das Z¨ahlender Loops gem¨aßihrer L¨ange,das Z¨ahlender Loops insgesamt, oder das Z¨ahlender von den Loops gemachten i Schritte. Jede Wahl zieht eine charakteristische Struktur der invarianten Punktprozesse nach sich. In allen hiesigen F¨allenwird ein charakteris- tischer Phasen¨ubergang gezeigt und Extremalpunkte werden als spezielle Poissonprozesse identifiziert. Insbesondere wird gezeigt, wie die Wahl der Beobachtung die L¨angeder Loops beeinflußt. Geometrische Eigenschaften dieser Poissonprozesse sind der Gegenstand des zweiten Teils der Arbeit. Die Technik der Palmschen Verteilungen eines Punktprozesses erlaubt es, unter den unendlich vielen Loops einer Realisierung den typischen Loop herauszupicken, dessen Geometrie dann untersucht wird. Eigenschaften sind unter anderem die euklidische L¨ange eines Schrittes oder, nimmt man mehrere aufeinander folgende Schritte, das Volumen des von ihnen definierten Simplex. Weiterhin wird gezeigt, daß der Schwerpunkt eines typischen Loops normalverteilt ist mit einer festen Varianz. Der dritte und letzte Teil befaßt sich mit der Konstruktion, den Eigen- schaften und der Statistik eines neuartigen Punktprozesses, der P´olyascher Summenprozeß genannt wird. Seine Konstruktion verallgemeinert das Prin- zip der P´olyaschen Urne: Im Gegensatz zum Poissonprozeß, der alle Punkte unabh¨angigund vor allem identisch verteilt, werden hier die Punkte nach- einander derart verteilt, daß der Ort, an dem ein Punkt plaziert wird, eine Belohnung auf die Wahrscheinlichkeit bekommt, nach der nachfolgende Punkte verteilt werden. Auf diese Weise baut der P´olyasche Summen- prozeß "T¨urmchen", indem sich verschiedene Punkte am selben Ort stapeln. Es wird gezeigt, daß dennoch grundlegende Eigenschaften mit denjeni- gen des Poissonprozesses ¨ubereinstimmen, dazu geh¨orenunendliche Teil- barkeit sowie Unabh¨angigkeit der Zuw¨achse. Zudem werden sein Laplace- Funktional sowie seine Palmsche Verteilung bestimmt. Letztere zeigt, daß die H¨oheder T¨urmchen gerade geometrisch verteilt ist. Abschließend wer- den wiederum Statistiken, nun f¨urden Summenprozeß, diskutiert. Je nach Art der Beobachtung von der Stichprobe, etwa Anzahl, Gesamth¨oheder T¨urmchen oder beides, gibt es in jedem der drei F¨allecharakteristische Limespunktprozesse und es stellt sich heraus, daß die zugeh¨origenEx- tremalverteilungen wiederum P´olyasche Summenprozesse sind. ii Vorwort Diese Arbeit faßt die Ergebnisse meines Studiums der Punktprozesse von April 2006 bis Juni 2009 an der Universi¨atPotsdam unter der Betreuung von Prof. Dr. S. Rœlly und Prof. Dr. H. Zessin (Universit¨atBiele- feld) zusammen. Dabei war ich seit Oktober 2006 Stipendiat der Inter- national Research Training Group (IRTG) "Stochactic Models of Complex Processes" Berlin-Z¨urich (SMCP). Mein Dank gilt vor allem Prof. Dr. S. Rœlly f¨urdie Betreuung, ihr um- fangreiches Engagement, ihre wissenschaftliche Unterst¨utzungsowie eine fortw¨ahrendeBereitschaft zur Diskussion ¨uber den aktuellen Stand der Ar- beit. Des Weiteren m¨ochte ich bei Prof. Dr. H. Zessin bedanken, dessen Impulse und anregende Fragestellungen zu den beiden Themenbereichen f¨uhrten. Ausgesprochen wertvoll waren ihre zahlreichen, kritischen An- merkungen in der letzten Phase der Arbeit. F¨urdie finanzielle Unterst¨utzungsowie die F¨orderungbin ich dem IRTG sehr dankbar. Viele Veranstaltungen trugen wesentlich zu einer Erweiter- ung meines Horizonts sowie Einblicken in weitere Gebiete der Wahrschein- lichkeitstheorie bei, dazu m¨ochte ich neben den regelm¨aßigenSeminaren und Minikursen die Fr¨uhlingsschule in Potsdam sowie die Sommerschule in Disentis hervorheben. Das IRTG erm¨oglichte mir einen erfahrungsreichen Aufenthalt an der Universit¨atZ¨urich bei Prof. Dr. Bolthausen. Die in diesem Rahmen entstandenen Kontakte haben mich sowohl fachlich als auch pers¨onlich sehr bereichert. Dar¨uber hinaus sch¨atzeich die stets sehr angenehme und offene Atmo- sph¨are,die sowohl im IRTG, als auch in der Arbeitsgruppe in Potsdam herrschte. Insbesondere gilt mein Dank meiner Familie, meinen Eltern, die mich iii w¨ahrenddes gesamten Studiums sowie der Promotion in jeglicher Hinsicht unterst¨utzten. Potsdam, Juni 2009 Mathias Rafler iv "Je planm¨aßigerder Mensch vorgeht, um so wirkungsvoller trifft ihn der Zufall." Friedrich D¨urrenmatt 21 Punkte zu den Physikern, Punkt 8 Contents 0. Introduction 1 I. An Introduction to Point Processes 9 1. Point Processes 11 1.1. Point Processes . 12 1.1.1. Basic Notions . 12 1.1.2. Moment Measures and Functionals of Point Processes 16 1.1.3. The Poisson Process . 18 1.2. The Campbell Measure of a Point Process . 23 1.2.1. Disintegration with respect to the Intensity Measure: Palm Distributions . 24 1.2.2. Disintegration with respect to the Point Process: Pa- pangelou Kernels . 26 1.2.3. Construction of Point Processes from Papangelou Ker- nels . 27 2. Deviation Principles 39 2.1. General Large Deviation Principles . 40 2.2. Large Deviations for Poisson Processes at increasing Inten- sity . 42 2.3. Deviations for Brownian Motions and Brownian Bridges . 45 vii Contents II. A Bose Gas Model 49 3. Construction of the ideal Bose Gas 51 3.1. The Loop Space and the Brownian Loop Measure . 52 4. Limit theorems and Extremal Measures 63 4.1. The Construction of Martin-Dynkin Boundaries . 66 4.1.1. Local Specifications and Martin-Dynkin Boundary . 66 4.1.2. Counting Loops . 67 4.2. The Microcanonical Loop Ensemble . 69 4.3. The Canonical Loop Ensemble . 75 4.4. The Grand Canonical Loop Ensemble . 78 4.5. The Canonical Ensemble of Elementary Components . 79 5. Geometric Aspects of the ideal Bose Gas 91 5.1. Palm Distributions and Stationarity . 94 5.2. The Barycentre . 98 5.2.1. The Barycentre of a Brownian Loop . 98 5.2.2. The Barycentre of a Random Walk Loop . 102 5.3. k-Volumes . 108 5.3.1. k-Volumes of independent Vectors . 108 5.3.2. k-Volumes of dependent Vectors . 110 5.3.3. k-Volumes of Random Walk Loops . 112 5.3.4. Rotational invariant Distributions . 115 2 5.4. Convex Hulls in R . 116 5.5. Percolation of Loops . 122 III. A Generalisation of the P´olya Urn Schemes: the P´olya Sum Process 127 6. The P´olya Sum Processes 129 6.1. The Definition of the P´olya Sum Process . 130 viii Contents 6.2. Laplace Functionals . 132 6.3. Disintegration and Partial Integration . 135 7. Limit Theorems for Conditioned P´olya Sum Processes 139 7.1. The Turret Ensemble . 140 7.2. The Brick Ensemble . 142 7.3. The General Ensemble . 145 7.4. Large Deviations . 147 8. Concluding Remarks 155 ix 0. Introduction The accidental occurrence of certain events in time, like incoming phone calls in a call centre, the growth