Non-anticipative functional calculus and applications to stochastic processes Yi Lu To cite this version: Yi Lu. Non-anticipative functional calculus and applications to stochastic processes. General Mathe- matics [math.GM]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2017. English. NNT : 2017PA066418. tel-01759395 HAL Id: tel-01759395 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01759395 Submitted on 5 Apr 2018 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. Universite´ Pierre et Marie Curie Ecole´ Doctorale de Sciences Math´ematiques de Paris Centre Laboratoire de Probabilit´eset Mod`elesAl´eatoires Calcul fonctionnel non-anticipatif et applications aux processus stochastiques Non-anticipative functional calculus and applications to stochastic processes Par Yi Lu Th`esede doctorat de Math´ematiques Directeur de th`ese:Rama Cont Pr´esent´eeet soutenue le 6 d´ecembre 2017 devant un jury compos´ede: M. Rama CONT CNRS Directeur Mme. Nathalie EISENBAUM CNRS Examinatrice M. Romuald ELIE Universit´eParis-Est Examinateur M. Peter FRIZ Technische Universitat Berlin Rapporteur M. Antoine LEJAY INRIA Nancy Grand-Est Rapporteur M. David PROEMEL University of Oxford Examinateur ii Abstract This thesis focuses on various mathematical questions arising in the non- anticipative functional calculus, a differential calculus for functionals of (right-)continuous paths with finite quadratic variation and the application of this calculus to functionals of stochastic processes. This functional calculus was initially developed by Dupire [20] and Cont & Fourni´e[8, 9] using the notion of vertical derivative of a functional, a concept based on pathwise directional derivatives. In this thesis we extend the scope and results of this functional calculus to functionals which may not admit such directional derivatives, either through approximations (Part I) or by defining a notion of weak vertical derivative (Part II). In the first part, we consider the representation of conditional expecta- tions as non-anticipative functionals. Such functional representations may fail, in general, to admit directional derivatives. We show nevertheless that it is possible under very general conditions to approximate such functionals by a sequence of smooth functionals in an appropriate sense. Combined with the functional It^ocalculus, this approach provides a systematic method for computing explicit approximations to martingale representations for a large class of Brownian functionals. We also derive explicit convergence rates of the approximations under some assumptions on the functionals. These re- sults are then applied to the problem of sensitivity analysis and dynamic hedging of (path-dependent) contingent claims. Numerical illustrations are provided, which show that this approach is competitive with respect to other methods for computing sensitivities. iii iv Abstract In the second part, we propose a concept of weak vertical derivative for non-anticipative functionals which may fail to possess directional derivatives. The definition of the weak vertical derivative is based on the notion of path- wise quadratic variation and makes use of the duality associated to the asso- ciated bilinear form. The weak vertical derivative operator with respect to a path of finite quadratic variation is shown to be the `inverse' of the pathwise (F¨ollmer)integral with respect to this path. Our approach involves only pathwise arguments and does not rely on any probabilistic notions. When applied to functionals of a semimartingales, this notion of weak derivative coincides with the probabilistic weak derivative constructed by Cont and Fourni´e[10] in a martingale framework. Finally, we show that the notion of weak vertical derivative leads to a functional characterization of local mar- tingales with respect to a reference process, and allows to define a concept of pathwise weak solution for path-dependent partial differential equations. R´esum´e Cette th`eseest consacr´ee`al'´etudedu calcul fonctionnel non-anticipatif, un calcul diff´erentiel pour des fonctionnelles sur l'espace des trajectoires `a variation quadratique finie. Ce calcul fonctionnel est bas´esur la notion de d´eriv´eeverticale d'une fonctionelle, qui est une d´eriv´eedirectionnelle partic- uli`ere.Dans cette th`esenous ´etendonsle cadre classique du calcul fonctionnel non-anticipatif `ades fonctionnelles ne poss´edant pas de d´eriv´eedirection- nelle au sens classique (trajectoriel). Dans la premi`erepartie de la th`ese nous montrons comment une classe importante de fonctionelles, d´efiniepar une esp´eranceconditionnelle, peuvent ^etreapproch´eesde fa¸consyst´ematique par des fonctionnelles r´eguli`eres.Dans la deuxi`emepartie, nous introduisons une notion de d´eriv´eeverticale faible qui couvre une plus grande classe de fonctionnelles, et notamment toutes les martingales locales. Dans la premi`erepartie, nous nous sommes int´eress´es`ala repr´esentation d'une esp´eranceconditionnelle par une fonctionnelle non-anticipative. D'une mani`ereg´en´erale,des fonctionnelles ainsi construites ne sont pas r´eguli`eres. L'id´eeest donc d'approximer ces fonctionnelles par une suite des fonction- nelles r´eguli`eresdans un certain sens. A l'aide du calcul d'It^ofonctionnel, cette approche fournit une fa¸consyst´ematiqued'obtenir une approximation explicite de la repr´esentation des martingales pour une grande famille de fonctionnelles Browniennes. Nous obtenons ´egalement un ordre de conver- gence explicite sous des hypoth`esesplus fortes. Quelques applications au probl`emede la couverture dynamique sont donn´ees`ala fin de cette partie. Dans la deuxi`emepartie, nous ´etendonsla notion de d´eriv´eeverticale v vi R´esum´e d'une fonctionnelle non-anticipative, et nous proposons une notion de d´eriv´ee verticale faible pour des fonctionnelles qui n'admettent pas n´ecessairement de d´eriv´eedirectionnelle. L'approche propos´eeest enti`erement trajectorielle, et ne repose sur aucune notion probabiliste. Cependant, nous montrons que si l'on applique cette notion `aun processus stochastique, elle co¨ıncideavec la notion de d´eriv´eefaible propos´eedans un cadre probabiliste par Cont et Fourni´e[10]. Cette notion nous permet ´egalement d'obtenir une car- act´erisationfonctionnelle d'une martingale locale par rapport `aun processus de r´ef´erencefix´e,ce qui donne lieu `aune notion de solution faible pour des ´equations aux d´eriv´eespartielles d´ependant de la trajectoire. Remerciements Je tiens avant tout `aremercier mon directeur de th`ese, Rama Cont, d'avoir accept´ed'encadrer mon doctorat. Il m'a prodigu´ede nombreux conseils, tout en m'accordant une grande ind´ependance au cours de mes recherches. Ses larges connaissances scientifiques et ses encouragements ont aussi ´et´ed´ecisifspour le bon d´ecoulement de ma th`ese. Je souhaite ensuite exprimer ma plus profonde gratitude `aPeter Friz et Antoine Lejay, qui ont accept´ed'^etreles rapporteurs de cette th`ese. Je suis tr`eshonor´epar leur lecture d´etaill´eede ce manuscrit et leurs pr´ecieux commentaires. Ma reconnaissance va ´egalement `aNathalie Eisenbaum, Ro- muald Elie et David Proemel pour avoir accept´ede faire partie du jury de ma soutenance. Je suis tr`esreconnaissant envers la Fondation Natixis pour avoir particip´e au financement de ma th`ese. Au LPMA, j'ai pu b´en´eficierd'excellentes conditions de travail. Je voudrais remercier tous les anciens et actuels membres du laboratoire pour une am- biance sympathique et agr´eable. Mes remerciements vont particuli`erement `aAlexandra, Alice, Candia, Chenguang, Eric, Minmin, Liping, Nina, Olga, Omar, Pamela, Saad, Sarah, Shen, Thibault, Wangru pour de bons moments pass´esensemble au cours de ces derni`eresann´ees. Je remercie ´egalement l'ensemble de l'´equipe administrative du laboratoire pour leur gentillesse et leur disponibilit´e,qui rendent la vie des th´esardsbeaucoup plus facile. Merci ´egalement `aAnis Al Gerbi, Pierre Blacque-Florentin, Jiatu Cai, Gaoyue Guo, Gang Liu, Zhenjie Ren, Sheng Fang, Dongli Wu, Junjian Yang, vii viii Remerciements Xiaochuan Yang, avec qui les discussions sont toujours un plaisir. Enfin, je remercie toute ma famille pour leur soutien et leurs encour- agements constants, dans les moments de joie comme dans les moments de frustration. Contents Notations xi Introduction 1 1 Pathwise calculus for non-anticipative functionals 11 1.1 Quadratic variation along a sequence of partitions . 12 1.2 Non-anticipative functionals . 19 1.3 Change of variable formula for functionals . 25 1.4 Functionals defined on continuous paths . 27 2 Functional It^ocalculus 31 2.1 Functional It^oformula . 32 2.2 Weak functional calculus and martingale representation . 38 2.3 Functional Kolmogorov equations . 43 3 Weak approximation of martingale representations 51 3.1 Introduction . 51 3.2 Euler approximations for path-dependent SDEs . 55 3.2.1 Euler approximations as non-anticipative functionals . 56 3.2.2 Strong convergence . 58 3.3 Smooth functional approximations for martingales . 63 3.4 Convergence and error analysis . 77 3.5 Comparison with approaches