Active Brownian Particles with α Stable Noise in the Angular Dynamics: Non Gaussian Displacements, Adiabatic Eliminations, and Local Searchers Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades Doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) im Fach Physik Spezialisierung: Theoretische Physik eingereicht an der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Humboldt-Universität zu Berlin von Dipl. Phys., Jörg Nötel Präsidentin der Humboldt-Universität zu Berlin: Prof. Dr.-Ing. Dr. Sabine Kunst Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät: Prof. Dr. Elmar Kulke Gutachter: 1. L. Schimansky-Geier 2. H. Engel 3. E.E.N. Macau Tag der mündlichen Prüfung: 04. 12. 2018 i ABSTRACT Active Brownian particles described by Langevin equations are used to model the behavior of simple biological organisms or artificial objects that are able to perform self propulsion. In this thesis we discuss active particles with constant speed. In the first part, we consider angular driving by white α-stable noise and we discuss the mean squared displacement and diffusion coefficients. We derive an overdamped description for those particles that is valid at time scales larger the relaxation time. In order to provide an experimentally accessible property that distinguishes between the considered noise types, we derive an analytical expression for the kurtosis. Afterwards, we consider an Ornstein-Uhlenbeck process driven by Cauchy noise in the angular dynamics of the particle. While, we find normal diffusion with the diffusion coefficient identical tothewhite noise case we observe a Non-Gaussian displacement at time scales that can be considerable larger than the relaxation time and the time scale provided by the Ornstein-Uhlenbeck process. In order to provide a limit for the time needed for the transition to a Gaussian displacement, we approximate the kurtosis. Afterwards, we lay the foundation for a stochastic model for local search. Lo- cal search is concerned with the neighborhood of a given spot called home. We consider an active particle with constant speed and α-stable noise in the dy- namics of the direction of motion. The deterministic motion will be discussed before considering the noise to be present. An analytical result for the steady state spatial density will be given. We will find an optimal noise strength for the local search and only a weak dependence on the considered noise types. Several extensions to the introduced model will then be considered. One ex- tension includes a distance dependent coupling towards the home and thus the model becomes more general. Another extension concerned with an erroneous understanding by the particle of the direction of the home leads to the result that the return probability to the home depends on the noise type. Finally we consider a group of searchers. iii ZUSAMMENFASSUNG Das Konzept von aktiven Brownschen Teilchen kann benutzt werden, um das Verhalten einfacher biologischer Organismen oder künstlicher Objekte, welche die Möglichkeit besitzen sich von selbst fortzubewegen zu beschreiben. Als Bewegungsgleichungen für aktive Brownsche Teilchen kommen Langevin Glei-chungen zum Einsatz. In dieser Arbeit werden aktive Teilchen mit kon- stanter Geschwindigkeit diskutiert. Im ersten Teil der Arbeit wirkt auf die Bewegungsrichtung des Teilchen weißes α-stabiles Rauschen. Es werden die mittlere quadratische Verschiebung und der effektive Diffusionskoeffizient bes- timmt. Eine überdampfte Beschreibung, gültig für Zeiten groß gegenüber der Relaxationszeit wird hergleitet. Als experimentell zugängliche Meßgröße, welche als Unterscheidungsmerkmal für die unterschiedlichen Rauscharten herangezogen werden kann, wird die Kurtose berechnet. Neben weißem Rauschen wird noch der Fall eines Ornstein-Uhlenbeck Prozesses angetrieben von Cauchy verteiltem Rauschen diskutiert. Während eine normale Diffusion mit zu weißem Rauschen identischem Diffusionskoeffizienten bestimmt wird, kann die beobachtete Verteilung der Verschiebungen Nicht-Gaußförmig sein. Die Zeit für den Übergang zur Gaußverteilung kann deutlich größer als die Zeitskale Relaxationszeit und die Zeitskale des Ornstein-Uhlenbeck Prozesses sein. Eine Grenze der benötigten Zeit wird durch eine Näherung der Kurtosis ermittelt. Weiterhin werden die Grundlagen eines stochastischen Modells für lokale Suche gelegt. Lokale Suche ist die Suche in der näheren Umgebung eines bestimmten Punktes, welcher Haus genannt wird. Abermals diskutieren wir ein aktives Teilchen mit unveränderlichem Absolutbetrag der Geschwindigkeit und weißen α-stabilem Rauschen in der Bewegungsrichtungsdynamik. Die deterministis- che Bewegung des Teilchens wird analysiert bevor die Situation mit Rauschen betrachtet wird. Die stationäre Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird bestimmt. Es wird eine optimale Rauschstärke für die lokale Suche, das heißt für das Auffinden eines neuen Ortes in kleinstmöglicher Zeit fest- gestellt. Die kleinstmögliche Zeit wird kaum von der Rauschart abhängen. Wir werden jedoch feststellen, dass die Rauschart deutlichen Einfluß auf die Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Haus hat, wenn die Richtung des zu Hauses fehlerbehaftet ist. Weiterhin wird das Model durch eine an das Haus ab- standsabhängige Kopplung erweitert werden. Zum Abschluß betrachten wir eine Gruppe von Suchern. v ACKNOWLEDGEMENT First of all I would like to thank my supervisor Prof. Schimansky-Geier for discussions and critical remarks. I thank him for the scientific knowledge he shared and the anecdotes. I thank my second supervisor Prof. Macau for interesting ideas and his support especially during my stay in Brazil. I would also like to thank Prof. Sokolov as well as Bartek Dybiec for fruitful discussions. David Hansmanns support on bureaucratic affairs and his personal engagement deserves special acknowledgment. João Eliakin, Frank Choque and Vander Freitas made me feel welcome during my stay in Brazil. I thank Christophe Haynes, Fabian Baumann, Malte Kähne, Patrick Pöschke and Justus Kromer for helpful discussions and their support. This work was supported through the DFG by the IRTG 1740. vii SELBSTSTÄNDIGKEITSERKLÄRUNG Ich erkläre, dass ich die Dissertation selbstständig und nur unter Verwendung der von mir gemäß §7 Abs. 3 der Promotionsordnung der Mathematisch- Naturwissen-schaftlichen Fakultät, veröffentlicht im Amtlichen Mitteilungs- blatt der Humboldt-Universität zu Berlin Nr. 126/2014 am 18.11.2014 angegebe- nen Hilfsmittel angefertigt habe. Jörg Nötel Ort, Datum ix PREFACE Parts of the material in this thesis have been previously published, or submitted for publication. Most results of section II A were published in [1],[2] and [3]. The majority of the results of section II B were published in [1]. Main parts of section III have been submitted for publication [4] and [5]. xi CONTENTS Selbstständigkeitserklärung vii Preface ix I. Introduction 1 A. Brownian Motion 4 B. Active Brownian Particles 6 1. Active Brownian Motion 6 2. The Limit Of Constant Speed 8 C. Stable Distributions 9 D. The Fokker Planck Equation 12 E. Adiabatic Elimination For Brownian Particles 13 II. Active Brownian Particle With Constant Speed And Angular Driving 16 A. Active Brownian Particle With Angular Driving By White α-Stable Noise 16 1. Mean Squared Displacement And Diffusion Coefficient 18 2. Coarse Grained Description 20 3. Kurtosis 28 B. Active Brownian Particle With Angular Driving By An Ornstein-Uhlenbeck Process For The Cauchy Distribution 33 1. Mean Squared Displacement And Diffusion Coefficient 34 2. Displacement Distribution 35 3. Kurtosis 38 C. Discussion 41 III. A Model For Local Search 43 A. The Model 44 B. The Deterministic Model 47 1. Fixed Points And Separatrices 48 2. The Oscillatory (r; z) Dynamics 48 3. Period Length And Shift Of The Position Angle 50 4. Dynamics In The (x; y) Plane 51 5. Newtonian Mechanics 52 C. The Stochastic Model 53 1. Stochastic Dynamics 54 2. Spatial Distribution 55 3. The Relaxation Time τ 57 D. Local Search 62 1. Sojourn Time 62 2. Mean First Hitting Time 64 E. Reset At The Home 66 F. Distance Dependent Coupling 68 G. Limited Knowledge Of The Position Angle 71 1. The Deterministic Case 72 2. Stochastic Dynamics 73 H. Groups Of Searchers 80 I. Discussion 86 xii IV. Conclusion 89 A. Appendix 91 1. Moments Of The Angular Dynamics 91 2. Higher Moments Of The Velocities 92 3. Telegraphers Equation 92 4. Kurtosis OUP Cauchy 93 5. Derivation Of The Stochastic X-Dynamics 94 6. Derivation Of The Overdamped Smoluchowski-Equation 95 References 97 xiii LIST OF ABBREVIATIONS AND SYMBOLS Abbreviations ABP - active Brownian particle • CLT - central limit theorem • EQM - equation / equations of motion • FPE - Fokker Planck equation • l.h.s. - left hand side • MSD - mean squared displacement • OUP - Ornstein Uhlenbeck process • PDF - probability density function • r.h.s. - right hand side • RTP - run and tumble particle • SDE - stochastic differential equation • Symbols ::: - ensemble averaged property •h i ::: - ensemble average over ϕ •h iϕ δ(:::) - Dirac delta distribution • δ - Kronecker delta • ij ξ(t) - noise, or random fluctuating force • x_ - total time derivative of x • ~e - unit vector in direction of v • v Θ(x) - Heavyside stepfunction with Θ(x) = 0 for x < 0 and Θ(x) = 1 • otherwise 1 I. INTRODUCTION The motion of living organisms has received much interest over the past years [6]. Modern tracking techniques and other elaborated tools allowed for exper- iments that lead to the description of observed trajectories, examples are the works on dicstyostelium [7], also under