N◦ d'ordre NNT : 2019LYSE1102 THESE` DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE´ DE LYON op´er´eeau sein de l'Universit´eClaude Bernard Lyon 1 Ecole´ Doctorale N◦ 512, InfoMaths Sp´ecialit´ede doctorat : Informatique Soutenue publiquement le 09/07/2019 par : Marc Heinrich Reconfiguration and Combinatorial Games Devant le jury compos´ede : Isabelle Guerin-Lassous, Professeure, Universit´eLyon 1 Pr´esidente Celina De Figueiredo, Professeure, Universit´eF´ed´eralede Rio de Janeiro Rapportrice Claire Mathieu, Directrice de Recherche { CNRS, Universit´eParis 7 Rapportrice Isabelle Guerin-Lassous, Professeure, Universit´eLyon 1 Examinatrice Jan Van den Heuvel, Professeur, Ecole´ d'´economieet de science politique de Londres Examinateur Eric´ Duch^ene, Ma^ıtrede conf´erences, Universit´eLyon 1 Directeur de th`ese Sylvain Gravier, Directeur de Recherche { CNRS, Universit´eGrenoble Alpes Co-directeur de th`ese Nicolas Bousquet, Charg´ede Recherche { CNRS, Universit´eGrenoble Alpes Co-encadrant Contents 1 Introduction9 1.1 General Organisation............................... 11 1.2 Computational Complexity........................... 12 1.3 Graph Theory................................... 14 1.4 Markov Chains.................................. 19 I Reconfiguration Problems 23 2 Introduction to Reconfiguration Problems 24 2.1 Definitions and notations............................ 24 2.2 Applications and motivations.......................... 26 2.3 Colouring reconfiguration............................ 27 2.4 Hardness of reconfiguration problems...................... 33 3 Colouring Reconfiguration 35 3.1 Hardness of Kempe recolouring......................... 36 3.2 Shortest transformation on stars........................ 44 3.3 Single vertex recolouring............................. 49 4 Perfect Matching Reconfiguration 56 4.1 Introduction.................................... 56 4.2 PSPACE-completeness............................. 59 4.3 Cographs..................................... 64 II Algorithmic Applications of Reconfiguration Aspects 73 5 Random Edge-Colourings with Glauber Dynamics 74 5.1 Introduction.................................... 75 5.2 Result and Proof Overview........................... 83 5.3 Preliminaries................................... 84 5.4 Comparison of Markov chains.......................... 86 5.5 Glauber dynamics for list-colourings of a clique................ 90 5.6 Glauber dynamics on edge-colourings of trees................. 98 6 Online Colouring with Kempe Chains 104 6.1 Introduction.................................... 104 6.2 Chordal graphs.................................. 108 6.3 Planar graphs................................... 109 6.4 Graphs of bounded genus............................ 114 6.5 Bad graphs for online algorithms with Kempe exchanges........... 118 2 6.6 Conclusion.................................... 119 III Adding a Second Player 121 7 Combinatorial Game Theory 122 7.1 Introduction.................................... 123 7.2 Game Values................................... 130 7.3 Subtraction Games................................ 133 7.4 Compounds of games............................... 134 8 Composition of Combinatorial Games: the Push-Compound 136 8.1 The switch compound: push-the-button.................... 137 8.2 Zeruclid ..................................... 139 8.3 Other push compounds............................. 142 8.4 Push-sums and push-canonical forms...................... 147 8.5 Conclusion.................................... 159 9 Rules Decomposition: Partizan Subtraction Games 160 9.1 Introduction.................................... 160 9.2 Complexity.................................... 162 9.3 When SL is fixed................................. 164 9.4 When one set has size 1............................. 168 9.5 When both sets have size 2........................... 171 9.6 Conclusion.................................... 176 Appendix A Missing proofs from Chapter5 203 A.1 Proof of Proposition 35............................. 203 A.2 Proof of Proposition 42............................. 204 3 Remerciements Tout d'abord, je souhaite remercier mes rapporteurs, Claire Mathieu et Celina de Figueiredo pour leur lecture attentive de ma th`ese,ainsi que les autres membres du jury, Isabelle Guerin Lassous et Jan van den Heuvel, pour avoir fait le d´eplacement et assist´e`ama soutenance. Je souhaite ´egalement remercier mes encadrants de th`ese,Eric, Sylvain, et Nicolas, qui m'ont permis de travailler sur plein de probl`emesvraiment int´eressants. Vous m'avez donn´ele go^utde me casser la t^ete sur des maths pendant 3 ans, et j'esp`erepouvoir continuer `ale faire pendant encore longtemps. Merci aussi pour les parties de truco, les jeux de soci´et´een tout genre, et les pique-niques `ala T^eted'or. Merci aussi aux autres permanents et doctorants de l'´equipe GOAL, notamment Aline, Valentin, Gabrielle, Antoine, et Alice, pour leurs contributions `aces activit´es,et qui ont permis de faire de cette th`eseune exp´erienceagr´eableet plaisante. Je remercie aussi les autres doctorants du laboratoire, sans qui les midis ne seraient juste pas pareils. Je pense aussi `ames amis de pr´epa,et notamment `aceux qui ont fait le d´eplacement juste pour pouvoir me supporter pendant 1h, Sylvain et Jonathan (retape toi bien). Je pense aussi `atout ceux que j'ai oubli´ede mentionner ici (me connaissant, il y en a forc´ement). Mes pens´eesvont enfin `atoute ma famille, qui a r´eussi`ame supporter jusque l`a,et sur qui je peux toujours compter d`esqu'il est question de g^ateaux,de s´eancesde cin´e,ou de me rappeler que ¸cafait longtemps que je ne me suis pas coup´eles cheveux. Finalement merci `aAlice (l'autre) qui me tra^ınedehors tous les week-ends, et me raconte ses journ´eestous les soirs jusqu’`apas-d'heure. A` tous ces gens: Merci. 4 R´esum´e(French) Cette th`eseexplore des probl´ematiquesli´ees aux jeux. Le terme `jeu' est assez vague et englobe beaucoup de concepts diff´erents. Par exemple, cela peut d´esignerles jeux de soci´et´e,qui poss`edent une grande vari´et´ede r`egles,et qui sont souvent jou´es`aplusieurs ; les jeux vid´eos,qui ont souvent un aspect temporel important et requi`erent des r´eflexeset de la pr´ecision; les jeux ´economiques, pour lesquels il y a une notion de gains et de revenus ; ou encore les jeux sportifs qui demandent plut^otde la technique et de la force. Dans cet ouvrage, nous sommes int´eress´espar les jeux pour lesquels toute l'information est connue d`esle d´ebutde la partie. En d'autres termes, il n'y a pas d'information cach´ee: tous les joueurs ont acc`es`atoute l'information relative au jeu ; il n'y a pas non plus d'al´ea, et tout est d´eterministe. Parmi les jeux mentionn´es plus haut, seuls certains jeux de soci´et´e(comme les ´echecs ou le go) satisfont ces propri´et´eset sont repr´esentatifs des jeux que nous consid´erons ici. Dans la suite, nous utiliserons le terme de `jeu' uniquement pour d´esigner ces jeux `ainformation parfaite. La notion de strat´egieest au centre de l'´etudede ces jeux. En termes simples, une strat´egieest une fa¸conde jouer qui permet de s'assurer un certain r´esultat. La question centrale, `ala fois quand on joue `aun jeu et quand on l'´etudie,consiste `atrouver la `meilleure' strat´egie,qui assure la victoire du joueur qui l'applique. Dans cette th`ese,nous allons consid´erer`ala fois des jeux `aun joueur, appel´espuzzles com- binatoires, et des jeux `adeux joueurs. Le Rubik's cube, Rush-Hour, le Sokoban, ou le taquin sont des exemples biens connus de puzzles combinatoires. D'un point de vue historique, les jeux `aun et deux joueurs faisaient partie de ce qui ´etaitappel´eles `math´ematiquesr´ecr´eatives', et peu de motivations ´etaient donn´eespour ´etudierces jeux, `apart une curiosit´enaturelle pour essayer de comprendre, `al'aide des math´ematiques,leur structure et leur complexit´e. Cependant, plus r´ecemment un certain nombre de jeux { des jeux `aun joueur notamment { ont connu un regain d'int´er^eten tant qu'objets d'´etudedans un domaine plus grand appel´ereconfiguration. Les puzzles que l'on vient de mentionner peuvent tous ^etred´ecritsde la fa¸con suivante : il y a un ensemble de configurations, qui repr´esente tous les ´etatspossibles du jeu ; et le joueur est autoris´e`atransformer une configuration en une autre via un certain nombre de r`egles.Le but est d'atteindre une certaine configuration cible `apartir d'une configuration initiale. Dans le cas du Rubik's cube par exemple, le but est d'atteindre la configuration o`utous les carr´esd'une m^emeface ont la m^emecouleur. Le domaine de la reconfiguration ´etendcette d´efinition`ades probl`emes de recherche : l'ensemble des configurations devient l'ensemble des solutions `aune instance d'un probl`emedonn´e,et l'on se demande si l'on peut transformer une solution donn´eeen une autre en utilisant uniquement un ensemble de r`eglesde transformation pr´ecises. Ainsi, en plus des puzzles combinatoires, les probl`emesde reconfiguration incluent aussi un cer- tain nombre de `jeux' qui ne sont plus des jeux jou´espar le grand public, mais plut^otdes probl`emes math´ematiquespartageant un certain nombre de similarit´esavec les puzzles combinatoires. La 5 recherche sur ce type de probl`emesa ´et´eguid´eepar plusieurs motivations. Ces motivations con- cernent par exemple des applications algorithmiques : ce processus peut ^etrevu comme un moyen d'adapter une solution d´ej`aen place pour former une nouvelle solution `al'aide de changements locaux. Il y a ´egalement des connexions avec d'autres probl`emescomme la g´en´erational´eatoire,