A Dyson-Schwinger Approach to Finite Temperature QCD Vom Fachbereich Physik der Technischen Universit¨atDarmstadt zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigte Dissertation von Dipl.-Phys. Jens Andreas M¨uller aus Ottweiler Darmstadt 2011 D17 B Referent: Prof. Dr. Christian Fischer Korreferent: Prof. Dr. Jochen Wambach Tag der Einreichung: 16. November 2010 Tag der Pr¨ufung:15. Dezember 2010 i Ein Dyson-Schwinger Zugang zu QCD bei endlichen Temperaturen Zusammenfassung Die verschiedenen Phasen der Quantenchromodynamik bei endlicher Temperatur werden untersucht. Zu diesem Zweck wird der nicht-perturbative Quark-Propagator im Matsu- bara Formalismus ¨uber seine Bewegungsgleichung in Form der Dyson-Schwinger Glei- chung bestimmt. Es wird ein neuartiges Trunkierungsschema eingef¨uhrt,welches den nicht-st¨orungstheoretischen, temperaturabh¨angigen Gluon-Propagator aus reiner Gitter- eichtheorie beinhaltet. Im ersten Teil der Arbeit werden ein confinement-deconfinement Ordnungsparameter, das sogenannte Duale-Kondensat, und die kritische Temperatur aus der Abh¨angigkeit des Quark-Propagators von den Randbedingungen in zeitlicher Richtung bestimmt. Der chi- rale Ubergang¨ wird mit Hilfe des Quark-Kondensats als Ordnungsparameter untersucht. Desweiteren werden Unterschiede zwischen den Eichgruppen SU(2) und SU(3) am chiralen und deconfinement Ubergang¨ erforscht. Im Folgenden wird der quenched Quark-Propagator bei endlicher Temperatur hinsicht- lich einer m¨oglichen Spektraldarstellung studiert. Hierbei zeigt sich, dass die analy- tischen Eigenschaften des Quark-Propagators unterhalb und oberhalb des deconfinement Ubergangs¨ unterschiedlich sind. Dieses Ergebnis motiviert die Betrachtung eines alter- nativen deconfinement Ordnungsparameters, der Positivit¨atsverletzung der Spektralfunk- tion signalisiert. Ein Kriterium f¨urPositivit¨atsverletzung der Spektralfunktion, welches die Kr¨ummung der Schwinger-Funktion benutzt, wird hergeleitet. Das m¨ogliche Quasiteilchen-Spektrum wird unter Verwendung einer Auswahl von An- s¨atzenf¨urdie Spektralfunktion hinsichtlich seiner Quarkmassen- und Impulsabh¨angigkeit analysiert. Die Ergebnisse motivieren eine direktere Bestimmung der Spektralfunktion im Rahmen der Dyson-Schwinger Gleichungen. In den zwei folgenden Kapiteln werden Erweiterungen des Trunkierungsschemas be- trachtet. Der Einfluss dynamischer Quark-Freiheitsgrade auf den chiralen und deconfine- ment Ubergang¨ wird untersucht. Dies dient als erster Schritt in Richtung einer vollst¨andig selbstkonsistenten Behandlung dynamischer Quarkfreiheitsgrade und der Erweiterung zu endlichem chemischen Potential. Die G¨uteunserer Trunkierung wird zun¨achst bei ver- schwindendem chemischen Potential ¨uberpr¨uft.Neben guter Ubereinstimmung¨ der Uber-¨ gangstemperaturen mit Gitter-QCD-Rechnungen, ergeben die unterschiedlichen decon- ii finement Kriterien des Dualen-Kondensats und der Schwinger-Funktion interessanter- weise ¨ahnliche Ergebnisse. Im Anschluss werden die Auswirkungen eines endlichen quark- chemischen Potentials untersucht. Diese Rechnungen erlauben einen ersten Einblick, ¨uber Molekularfeld N¨aherungenphenomenologischer Modelle hinausgehend, auf das Duale- Kondensat bei nichtverschwindendem Potential. Desweiteren wird eine M¨oglichkeit der R¨uckkopplung von langreichweitigen Fluktuationen in der N¨aheeines Phasen¨ubergangs zweiter Ordnung ausgearbeitet. Im Bereich der skalierenden L¨osungergeben sich aus einer analytischen Untersuchung Nebenbedingungen f¨ureine selbstkonsistente L¨osung. iii A Dyson-Schwinger approach to finite temperature QCD Abstract The different phases of quantum chromodynamics at finite temperature are studied. To this end the nonperturbative quark propagator in Matsubara formalism is determined from its equation of motion, the Dyson-Schwinger equation. A novel truncation scheme is introduced including the nonperturbative, temperature dependent gluon propagator as extracted from lattice gauge theory. In the first part of the thesis a deconfinement order parameter, the dual condensate, and the critical temperature are determined from the dependence of the quark propagator on the temporal boundary conditions. The chiral transition is investigated by means of the quark condensate as order parameter. In addition differences in the chiral and deconfinement transition between gauge groups SU(2) and SU(3) are explored. In the following the quenched quark propagator is studied with respect to a possible spectral representation at finite temperature. In doing so, the quark propagator turns out to possess different analytic properties below and above the deconfinement transition. This result motivates the consideration of an alternative deconfinement order parameter signaling positivity violations of the spectral function. A criterion for positivity violations of the spectral function based on the curvature of the Schwinger function is derived. Using a variety of ans¨atzefor the spectral function, the possible quasi-particle spectrum is analyzed, in particular its quark mass and momentum dependence. The results motivate a more direct determination of the spectral function in the framework of Dyson-Schwinger equations. In the two subsequent chapters extensions of the truncation scheme are considered. The influence of dynamical quark degrees of freedom on the chiral and deconfinement transition is investigated. This serves as a first step towards a complete self-consistent consideration of dynamical quarks and the extension to finite chemical potential. The goodness of the truncation is verified first at vanishing chemical potential. Interestingly, besides good agreement of the transition temperatures with lattice QCD calculations, the different deconfinement criteria of the dual condensate and of the Schwinger-function yield similar results. In the following, the effects of a finite quark chemical potential are studied. These calculations allow for a first insight on the dual condensate at finite chemical potential beyond mean-field calculations in phenomenological models. In addition, a possibility to iv include the back-reaction of long-range fluctuations in the vicinity of a second order phase transition is elaborated. In the scaling region constraints for a self-consistent solution arise from an analytic investigation. Contents 1 Introduction 1 2 Aspects of Finite Temperature QCD 6 2.1 The QCD Partition Function . .6 2.2 Global Symmetries . 12 2.3 Finite Temperature QCD Phase Transitions . 17 2.4 Dyson-Schwinger Equations in the Vacuum . 19 2.5 Dyson-Schwinger Equations at Finite T .................... 23 3 Chiral and Deconfinement Transition from the Quark Propagator 31 3.1 The Dual Quark Condensate . 32 3.2 The Truncation Scheme . 35 3.3 Numerical Results . 41 3.4 Summary . 48 4 Quark Spectral Properties above Tc 50 4.1 Matsubara Propagator below and above Tc .................. 51 4.2 Quark Spectral Function and Representation . 53 4.3 Quark Spectral Function at Zero Momentum . 55 4.4 Momentum Dependence of the Spectral Function in the Chiral Limit . 62 4.5 Summary . 66 5 A Hard Thermal Loop Truncation 68 5.1 The Truncation Scheme . 68 5.2 Numerical Results at Vanishing µq ...................... 71 5.3 Numerical Results at Non-Vanishing µq ................... 75 5.4 Summary . 80 6 Critical Modes and the Chiral Phase Transition 81 6.1 Quark Propagator and Pion Effects . 82 v vi Contents 6.2 Goldstone Modes in QCD . 84 6.3 Summary . 89 7 Conclusions and Outlook 90 A Conventions 95 B Derivation of the Quark DSE 100 C Gluon Propagator and Quark-Gluon Vertex 102 D Analytic Expression of the Meson Exchange 106 E Numerical Implementation 110 Chapter 1 Introduction Quantum chromodynamics (QCD) is the theory describing the strong interaction be- tween the nucleon constituents. Confidence for QCD as the correct theory of the strong interaction was gained from the success of perturbative calculations at high energy trans- fer. The peculiarity of asymptotic freedom [1{3], meaning that the interaction strength tends to zero at small distances, makes these calculations possible. However, at large distances above 0:1 fm the interaction strength becomes strong and perturbation theory fails. A large part of today's fascination in QCD is founded in this nonperturbative, strongly coupled regime which accommodates a large variety of physical phenomena. To these phenomena belong among others the wealth of observable bound state objects, the hadrons, and corresponding hadron observables. The agreement of the hadron spectrum calculated in the framework of lattice QCD with known experimental results indeed con- firms the theory also beyond perturbation theory. Nevertheless, details as to how the complex `macroscopic' physics emerges from the very assessable and plain microscopic description of QCD still remain unclear. The quantitative derivation of `macroscopic' physics governed by simple microscopic physical laws is one of the major challenges of theoretical physics. In this respect QCD states a prime example; though, a special role is granted to QCD due to particular prop- erties. One of the most striking is the fact that the only fundamental elements of the theory, the quarks and gluons, are notoriously not directly observable. Moreover, the physical spectrum may only contain color neutral objects and there are no long-range forces. This is referred to as confinement. No less fascinating, QCD provides the mech- anism generating 95 percent of the observable mass of the universe. This mechanism of mass generation is the direct