UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS TESIS DOCTORAL Bishop operators: invariant subspaces and spectral theory (Operadores de Bishop: subespacios invariantes y teoría espectral) MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Miguel Monsalve López Directora Eva Antonia Gallardo Gutiérrez Madrid © Miguel Monsalve López, 2020 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ FACULTAD DE Ciencias Matemáticas ​ ​ ​ ​ ​ TESIS DOCTORAL ​ ​ ​ Bishop operators: invariant subspaces and spectral theory (Operadores de Bishop: subespacios invariantes y teoría espectral) MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ PRESENTADA POR ​ ​ Miguel Monsalve López DIRECTOR ​ Eva Antonia Gallardo Gutiérrez Agradecimientos La distancia que separa una promesa de un acto es comparable a la existente entre una simple opini´ony la demostraci´onde un teorema. Concretamente, un mundo. Agradecer es una promesa, quiz´asllena de humildad y fidelidad. Hacerlo por escrito, un acto para la posteridad. Quisiera dedicar mis primeras palabras de agradecimiento a Eva Gallardo. Destacar tu apoyo constante y tu inagotable paciencia, tu implicaci´onsincera, tu esfuerzo y tus inestimables ideas y consejos. Gracias por toda la ayuda recibida tanto a nivel acad´emicocomo personal, y por conseguir que me sienta tremendamente orgulloso de esta tesis doctoral. Llevar´econmigo para siempre tu amor por las Matem´aticas. Tambi´enme gustar´ıa agradecer a otras personas que, en mayor o menor medida, han contribuido a lo largo de esta bonita etapa de desarrollo personal y profesional. A Fernando Chamizo y Adri´anUbis, muchas gracias por vuestra aportaci´onesencial en este proyecto. A Vladim´ır M¨ullerpor tu hospitalidad y brillantes ideas. A Dmitry Yakubovich, por tus valiosas sugerencias en los art´ıculosque conforman esta tesis doctoral. A Josechu Fern´andez por provocarme una hermosa vocaci´onmatem´atica.A Pepe Gal´epor tu estima y bonhom´ıa, tangibles desde Madrid. A Daniel Rodr´ıguezpor tus consejos y ´animosdurante la redacci´onde la tesis. Y, por ´ultimo,a Cristina Villalba por convertirte en mi primera mentora y se~nalarme el camino. Asimismo, me gustar´ıadar las gracias a mis queridos amigos Julio Aroca, Justyna Or- lowska y Adri´anDelgado por hacer de este exigente camino, un sendero m´asllevadero. A mis antiguos compa~nerosde clase y cafeter´ıaDaniel Mar´ın,Silvia Rodr´ıguez,Elena Mart´ın y Yue Fern´andez.A Mario Santos por tu amistad verdadera. A Andrea Santos por tu preciado apoyo en algunos momentos dif´ıciles.Y a Irene Gonz´alez, as´ıcomo a sus padres, por el incalculable afecto recibido durante a~nos.Menci´onespecial para mis inseparables amigos Cristina Santori, Andrea Estell´es,Mario Nogales, Dulce Molano, Marta Hell´ın,Pepe Carretero, Cristina Pu- yuelo, Monica Navarro, Marina Casti~neiras,Unai D´ıaz-Chir´ony Juanma Cornet por tantos momentos inolvidables. Gracias de coraz´ona Claudia S´anchez por tu alegr´ıacontagiosa, tu inmensa bondad y tu confianza. Jam´asolvidar´etu apoyo incondicional durante los d´ıasde frustraci´one inseguridad. Guardar´eun bonito recuerdo de mis compa~nerosy amigos de la Facultad de Ciencias Ma- tem´aticasde la Universidad Complutense de Madrid. Especialmente de aquellos caf´esy con- versaciones con Hern´anCabana, Pedro Chocano, Miguel Garc´ıa,Elena Castilla, Xabi Mart´ınez y Blanca Besoy. Gracias a todos. Por ´ultimo, quisiera aprovechar estas l´ıneaspara agradecer a las personas m´asimportantes de mi vida: mi familia. Especialmente a mis padres, Monta~nay Rafael. Gracias por vuestro cari~no,dedicaci´ony ejemplo, por toda la comprensi´ondurante estos meses tan complicados. A mis hermanos Monti, Rafa y B´arbarapor esa mezcla infalible de humor y ´animos.A Borja y a los dos reyes de la casa, Pablo y Luc´ıa.Y por supuesto, a mis abuelos Blanca, Timoteo, Teresa y Pepe por vuestro amor, por vuestra huella indeleble. Gracias a todos porque s´elo orgullosos que estar´eisde verme conseguir este sue~no. Miguel Monsalve L´opez, 23 de octubre de 2020. Mirabile dictu, >no crees? The author gratefully acknowledges financial support from the grant Ayudas de la Universidad Complutense de Madrid para contratos predoctorales de personal investi- gador en formaci´on (ref. CT27/16). In addition, the author has been partially supported by the research projects Plan Na- cional I+D grant nos. MTM2013-42105-P, MTM2016-77710-P and PID2019-105979GB- I00 (Spain) as well as by the Severo Ochoa Programme for Centers of Excelence in R&D (ref. SEV-2015-0554). Contents Resumen iii Abstract v Part I. Background: Introduction and Preliminaries 1 Introduction 3 Chapter 1. Preliminaries 19 1.1. Banach algebras and Gelfand Theory 24 1.2. Spectral Theory and invariant subspaces 28 1.3. Beurling algebras and functional calculus 39 1.4. Diophantine Approximation and metric properties of exceptional sets 45 1.5. Weighted translation operators 48 Part II. Main contributions 59 Chapter 2. Invariant subspaces of Bishop operators 61 2.1. Quasitriangular Bishop operators 62 2.2. Bishop operators Tα with invariant subspaces: the results of Davie and Flattot 64 2.3. Bishop operators Tα with invariant subspaces: enlarging the set of irrationals α 70 2.4. Hausdorff dimensions of exceptional sets 76 Chapter 3. The limits of Atzmon's Theorem 85 3.1. The threshold of Atzmon's Theorem for Bishop operators 85 Chapter 4. Local spectral properties of Bishop operators 89 4.1. A deeper insight on Local Spectral Theory and power-regular operators 89 4.2. A characterization of the local spectral properties for Bishop operators 98 Chapter 5. Spectral decompositions of Bishop operators 111 5.1. Regularity in Banach algebras: partitions of unity and the hull-kernel topology 112 5.2. Algebra actions and local spectral decompositions 116 5.3. Local spectral decompositions of Bishop operators 122 Bibliography 131 Index 135 i ii CONTENTS Resumen Operadores de Bishop: subespacios invariantes y teor´ıaespectral Desde hace casi un siglo, se han propuesto varias clases de operadores como posibles contraejemplos para el Problema del Subespacio Invariante: quiz´as,la pregunta abierta m´as importante en Teor´ıade Operadores en espacios de Banach reflexivos y, en particular, en espa- cios de Hilbert. Uno de los candidatos m´assencillos viene dado por la familia de los operadores de Bishop definidos sobre los espacios Lp[0; 1) para 1 p < , los cuales fueron sugeridos por Errett Bishop durante la d´ecadade los cincuenta. A≤ pesar de1 su aparente sencillez, resulta que las propiedades de los operadores de Bishop Tα siguen siendo ampliamente desconocidas. En particular, hasta la fecha, es una cuesti´onabierta determinar si Tα dispone de subespacios invariantes no triviales en Lp[0; 1) para cualquier irracional α (0; 1). 2 El objetivo principal de esta Tesis Doctoral es analizar la existencia de subespacios inva- riantes para todos los operadores de Bishop. En aras de una mejor comprensi´on,la memoria se ha dividido en dos partes bien diferenciadas. La primera parte est´adedicada a introducir los preliminares necesarios (Cap´ıtulo 1); mientras que, en la segunda parte se detallar´anlas contribuciones m´asrelevantes realizadas por el autor en dicho problema (Cap´ıtulos2{5). Al comienzo del Cap´ıtulo2, demostramos que todos los operadores de Bishop son bicuasi- triangulares, concluyendo por tanto que deben ser el l´ımite(en la topolog´ıafuerte) de ope- radores nilpotentes. Posteriormente, mediante estimaciones aritm´eticas precisas y junto con un teorema cl´asicode Atzmon [15, Theorem 1.1], extendemos considerablemente el conjunto de los irracionales α (0; 1) tales que el operador de Bishop asociado Tα posee subespacios invariantes; mejorando2 los resultados previos conocidos de Davie [44] y Flattot [60]. De hecho, en el Cap´ıtulo3, establecemos el l´ımitede las t´ecnicasbasadas en el Teorema de Atzmon en este contexto. Posteriormente, en el Cap´ıtulo4, con la ayuda de algunos resultados de Teor´ıaErg´odica, probamos que una amplia gama de operadores de traslaci´oncon pesos (entre ellos, los opera- dores de Bishop) son power-regular, calculando el valor exacto de sus radios espectrales locales. Como consecuencia, deducimos que ciertas descomposiciones espectrales no pueden darse para ning´unoperador de Bishop. Adem´as,caracterizamos aquellas propiedades espectrales locales satisfechas simult´aneamente por todos los operadores Tα, independientemente del irracional α (0; 1). En cierto sentido, esto parece indicar que los operadores de Bishop podr´ıanca- recer2 de un comporamiento espectral verdaderamente ´util, ya que por ejemplo, nunca son descomponibles. Finalmente, en el Cap´ıtulo5, generalizamos el Teorema de Atzmon mediante la aplicaci´on de modelos funcionales m´asd´ebiles,los cuales permitir´anconstruir subespacios invariantes a partir de variedades espectrales locales. Nuestra estrategia combina propiedades inherentes a las particiones de la unidad con un c´alculofuncional para producir descomposiciones espectra- les no nulas. En particular, en el caso concreto de los operadores de Bishop, demostramos la existencia de subespacios espectrales no triviales para cada Tα que verifique las hip´otesisdel Teorema de Atzmon, proporcionando descomposiciones espectrales locales no triviales para tales Tα. iii Abstract Bishop operators: invariant subspaces and spectral theory For nearly a century, various classes of linear bounded operators have been posed as potential counterexamples to the Invariant Subspace Problem: maybe, the most important long-standing open question in Operator Theory. One of the simplest candidates consists of p the family of Bishop operators Tα acting on L [0; 1) spaces, which were suggested by Errett Bishop in the fifties. Unlike their seeming simplicity, the structure and features of Bishop operators remain largely uncharted. In particular, hitherto, it is still unknown whether Tα has non-trivial invariant subspaces in Lp[0; 1) for each 1 p < and any irrational α (0; 1). ≤ 1 2 The major purpose of the present PhD thesis is to analyse the existence of invariant subspaces for all Bishop operators. Aiming for a better comprehension of the subject, this monograph has been divided into two parts.