Beräkning f- ^ I -^ af Planeten Panopeas ßanelementer.

Akademisk Afhandling,

som, med vidtberönida Philosophiska Facultetens i Lund tillständ

für erhällande af Philosophiska graileii

tili oflfentlig granskning framställes

af NILS CHRISTOFFER DUNfiR, Philos. Cand., c. o. Amanuens, Skän.,

pä Auditorium N:o 1, Lördagen den 24 Maj 1862, kl. 10 f. m.

Lund, Iryckl Uli Berlingska Boktryckeriet, 18ß2. 1. o Aret 1861 var ovanligt rikt pä planetupptäckter. Till de re- dan kända tillkommo nemligen ej mindre an 10 nya planeter *), alla tillhörande den mellan Jupiters och Mars' banor belägna, sannolikt mycket talrika asteroidgruppen. De flesta af dessa smäplaneter upptäcktes under mänaderna Miirs, April och Maj och ätskilliga af dem blefvo derföre, dels tillfölje af däligt vä- der, dels tillfölje af deras egen Ijussvaghet, de Ijusa sommar- nätterna och den utomordentliga stjernrikedomen i de himlii- trakter, der de för tillfället befunno sig, högeligen ofullständigt observerade. Det är alltsä tydiigt att det behöfves en möjligast noggrann beräkning af de fä observationer, som företinnas, pä det att de ej i likhet med asteroiden Daphne mä gä förlorade. Da jag derföre tili föremäU för denna afhandling tagit en ban- bestämning, som ännu ej blifvit med noggrannhet verkställd och som, tillfölje af den myckna tid, beräkningen af det allt- jemt vexande antalet smäplaneter och andra astronomiska arbe- ten ta i anspräk, ej tyckes skola bli utförd af nägon annan, synes valet af ämne berättigadt. 2. Planeten Panopea, den 70:de af asteroiderna, upptäcktes af Goldschmidt i Fontenay aux Roses nära Paris den 5:te Maj 1861. Den hade da lika Ijusstyrka med en stjerna af 10 . 11 storleken och visade en stark retrograd rörelse. Den 5:te Juni

*) Nemligen: , 64 Angelina, 65 (Cybele), 66 Maja, , , , 70 Panopea, 71 Niobe ocli 72; se Astron. Nachr. N:o 1295, 1299, 1300, 1308, 1309, 1310, 1313, 1323 ooli 1353. 1 hade den nedsjunkit tili 11 storleken och med den 13:de Juni upphöra alla mig bekanta observationer. Jag sammanställer här samteliga observationer jag kunnat Unna, anmärkande att de alla äro ditferensobservationer, hvadan säledes planetens ort är be- stämd genom den skillnad i ascensio recta och declination som vid observationstiden egde rum mellan planeten och en närbe- lägen, antingen förut bestämd eller sedan observerad flxstjerna. I Berlin ha dessa differenser blifvit observerade med filarmikro- meter, uti Bilk och Fontenay deremot med ringmikrometer, till­ följe hvaraf de förra ega en större noggrannhet an Bilkerob- servationerna och isynnerhet an observationerna i Fontenay, hvilka säsom anställda med ett för litet instrument mäste vid banbestämniugen uteslutas. Jag anför dem dock för att, sedan elementerna blifvit funna, dermed jemföra dem.

Observationer pä Panopea är 1861 *). Ohservationsortens « ö Ohservationsori Medelüd Maj 5-, 4 220"55'45" — 14"20' Paris (Gra- phiskt) „ 10"10"44'" 219»37'30" —14"21'54" Paris „ ll"ll'-45"' 219"21'15" — 14»23' Paris „ 15"13" 9'"38",6 218"18'15",20 — 14"27' 8",5 Bilk (4 jem- förelser) „ 17"13"51- 5" 217"47'47",25 — 14"29'26",2 Berlin „ 18n0''37"' 217»34'38",4 —14»30'56" Paris „ 26-10-34'" 7%6 215"46' 5",80 — 14042' 4",5 Bilk(10jem- förelser) Juni 5"11'>58"'42» 214» 1' 4",20 — 15" 3' 6",5 Berlin „ 12"11- 2-61%9 213"13'21",60 — 16"23'10",4 Bilk (2 jem- förelser) „ 13*'11''10'"52«,7 213» 8'34",30 —15»26'12",7 Bilk (5 jem- förelser).

*) Astron. Nachr. N:o 1310, 1311, 1315, 1327. 3. För att nu ur alla de noggrannare observationerna härleda elementerna, beslöt jag att först jemföra dem med de redan be- räknade elementerna och derur bilda normalorter. Som tili följe af observationernas ringa antal dessa normalorter blott künde bli tre, syntes mig den annars vanligen använda metho- den, enligt hvilken man utvecklar de conditionssequationer, ge­ nom hvars lösning elementernas correctioner Annas, för detta fall ej böra tagas i anspräk. Den Gaussiska methoden att ur trenne observationer beräkna en planets elementer borde vara fullkomligt tillräcklig. Jag utgick säledes frän följande af Förster beräknade elementer *).

Epoch = 1861 Juni 0,0 M = 314»8'36",5 TT = 299"3' 0",2; ß = 48"21' 0",3> Epochens medelsequinoctium i = ll»14'37",l) (p = 12"55' 2",4 ' /( = 813",222

Ur dessa härledde jag de diflerentialcoefflcienter, medelst hvilka elementerna künde hänföras tili en annan ecliptica och ett an- nat medeleequinoctium och fann följande elementsystem.

Epoch == 1861 Juni 0,0 M = 314» 8'36",5 M = 250»41'59",9 + 2",0640 {)!'--1861 Juni 0,0) ß = 48»21' 0",3 4- 48",2157 «' —1861 Juni 0,0) i = 11»14'37",1 + 0",27644 (f — 1861 Juni 0,0) (p = 12»55' 2",4 /( = 813",222

Med detta elementsystem beräknade jag för den 10 och 30 Maj och 19 Juni banans sequatorsconstanter, hänförda tili apparenta

*j Astron. Nacl]r. N;o 1316. sequinoctiet för dessa dagar, ") och, sedan jag genom Interpo­ lation funnit dessa quantiteter för hvar fjerde af de mellanlig- gande dagarna, planetens geocentriska orter **), hvadan jag er- höll en för hvar fjerde dag gällande ephemerid. Genom att interpolera i midten, erhölls en ephemerid för hvarannan dag och slutligen, genom att äfven här interpolera i midten, följande för hvarje Berlinermiddag gällande ephemerid.

Berl. Med.-tid a 6 log. J

Maj 14,0 218»42' 2",19 —14»25'32' ',28 0,14074 15,0 218 26 36, 84 — 14 26 34, 23 0,14084 16,0 218 1121, 60 — 14 27 38, 60 0,14102 17,0 217 56 17, 48 — 14 28 45, 57 0,14128 18,0 217 41 25, 80 — 14 29 55, 37 0,14161 19,0 217 26 47, 43 — 14 31 8, 16 0,14202 20,0 217 12 22, 87 — 14 32 24, 07 0,14250 21,0 216 68 13, 13 —14 33 43, 25 0,14306 22,0 216 44 19, 04 -^ 14 35 5, 98 0,14369 23,0 216 30 41, 45 — 14 36 32, 41 0,14439 24,0 216 17 22, 09 —14 38 2, 56 0,14517 25,0 216 4 21, 60 — 14 39 36, 59 0,14603 26,0 215 5140, 83 —14 4114, 69 0,14693 27,0 215 39 20, 44 — 14 42 57, Ol 0,14791 28,0 215 27 20, 82 — 14 44 43, 76 0,14895 29,0 215 15 42, 70 — 14 46 35, 09 0,15006 30,0 215 4 26, 86 — 14 48 31, 15 0,15123 31,0 214 53 33, 91 — 14 50 32, 06 0,15246 Juni 1,0 214 43 4, 49 — 14 52 38, Ol 0,15375 2,0 214 32 59, 13 - 14 54 49, 11 0,15510 3,0 214 23 18, 60 —14 57 5, 49 0,15650 4,0 214 14 3, 33 — 14 59 27, 25 0,15796 5,0 214 5 13, 84 — 15 154, 53 0,15947 6,0 213 56 50, 55 — 15 4 27, 42 0,16103 7,0 213 48 53, 89 — 15 7 6, 00 0,16263 8,0 213 41 24, 18 — 15 9 50, 29 0,16428 9,0 213 34 22, 05 — 15 12 40, 55 0,16598

*) Gauss theoria Motus Corporum Coelestium Lib. I Sect. II Artt. 55 och 53, i livilken senare formlerna egentligen äro utvecklade för ecliptiean, men tydligcii gälla för ajquatorn, om i st. f. de tili eclipti- can hänförda quantiteterna de tili aequatorn hänförda införas. **) Theor. Motus Lib. I Sect II Art. 60 om hvilka formler samma anmärkning gäller som i föregäende not. Berl. Med.-tid a d log. J

10,0 213"27'47",61 — 15"15'36",82 0,16772 11,0 213 21 41, 36 — 15 18 39, 10 0,16950 12,0 213 16 3, 20 — 15 21 47, 47 0,17132 13,0 213 10 53, 50 — 15 25 1, 97 0,17318 14,0 213 612, 26 — 15 28 22, 68 0,17507 15,0 213 159, 72 — 15 31 49, 66 0,17700 16,0 212 58 15, 76 — 15 35 22, 92 0,17897

4. Med denna ephemerid jemfördes nu observationerna pä föl­ jande satt. Den aberrationstid, som motsvarade hvarje obser- vationsmoment, bestämdes först och subtraherades frän den mot- svarande observationstiden och för den sälunda frän aberration befriade tiden söktes planetens orter genom Interpolation. Pa­ rallaxerna beräkuades pä vanligt satt*) och lades tili dessa orter, hvarefter de observerade ascensionerna och declinatio- nerna drogos derifrän. Jag erhöll derigenom följande skillna- der mellan beräkning och Observation, vid sidan af hvilka jag anför de antagna vigtsquadraterna för hvarje Observation.

Berl. Med. tid da Cos ä dd vv Maj 15",558870 — 8",71 ^-^ 6",80 0,4 17",569235 -|- 3",72 — 4",07 1,0 Maj 26^450755 — 0",71 — 1",36 1,0 Juni 5",490843 + 1",81 — 7",42 1,0 Juni 12^,470240 +13",99 — 12",81 0,2 13*',475769 -f 3",88 — 28",96 0,5

Ur denna jemförelse har jag genom att taga differenserua mellan räkning och Observation sä tillsamman, som de genom strecken äro indelade, erhällit följande normalafvikelser **).

•) Briinnow Lehrb. der Hphär. Astr. p. 100. *) Jfr. Theor. Mot. Lib. II Sect. III Art. 173. Berl. Med. tid da Cos S dd Maj 16^994845 — 0",12 — 4",81 Maj 31^470799 + 0",55 — 4",49 Junil3M07761 + 6",77 — 24",29 Ur dessa normalafvikelser bildades följande

Normalorter. Berl. Med. tid a 6 Maj 17'',0 217»56'17",60 —14"28'40",76 Maj 31*,5 214»48'15",71 —14"51'30",01 Juni 13^0 213»10'46",47 —15»24'37",68 5. Innan jag öfvergär tili sjelfva banbestämningen, anser jag det ej vara ur vagen att i största korthet redogöra för den me- thod att ur trenne fullständiga observationer beräkna en pla­ nets bana, hvilken, först framställd af Gauss i det vigtiga ar­ tetet "Theoria Motus Corporum Coelestium," med flera för- bättringar af Encke tinnes säsom ett tillägg i "Berliner Jahrbuch für 1854." Som i denna method observationsorten antages belägen i ecliptioans plan, och som ä ena sidan, tili följe af störningarna genom de öfriga planeterna, ej ens jordens medelpunkt upp- fyller detta vilkor och ä andra sidan, när banelementerna äro helt och hallet obekanta,' man ej kan hänföra observationerna dit, sä införes i stallet den punkt, hvari den genom planeten och observationsorten dragna linien skär eclipticans plan, och hvarest tydligen planetens längd och bredd äro desamma som i observationsorten. Denna punkts longitud och afständ frän Solen bestämmes ur planetens och solens longituder a» och 0» samt latituder ß" och CT», jordens radius vector ij», solens sequa- torealhorizontalparalla.x p", ohservationsortens afständ frän jor­ dens medelpunkt d» och den ur ohservationsortens geocentriska latitud cp och stjerntiden & vid observationstillfället härledda longituden /» och latituden h" för ohservationsortens zenith me­ delst följande formler: 7

L = 180" -{- 0" - (Praicession -(- Nutation) a»—p'Sin&", Sin («" — 0») - p' Cos 6» Sin (P — 0») igß^ lgE = lgiJ»-1 —-.-T^r ^"cos(a»-0")4-^'Cos 6"Cos(?»-0»)] ilf» \ y ß ) hvarest M" betecknar modulen för det Briggska logarithms}- stemet multiplicerad med Sin 1", och p' JR" = d"p'\ Vidare mäste planetens orter corrigeras för tixstjernaberration och hänföras tili samma eequinoctium som jordens längder. Dessa sälunda erhällna longituder och latituder betecknas med a, «', a", ß, ß', ß". 6. Man öfvergär härefter tili de öfriga förberedande räknin- garna. Betecknas observationstiderna med t, t', t" och den Gaussiska constanten *) med Ic sä beräknar man T = (t" — O Tc, %' = (t" — t) Je, T" (f — t) h samt _B' R"Sin{L" -~L') _RR' Sin (L' - L) "" RR" Sin iL" - L) RR" Sin [L" - L)

Betydelsen af N och N" är sjelfklar. Täljarne äro 2 ggT de triangelareor som omslutas af tvenne närgränsande radii vecto- res och de chordor som förbinda deras ändpunkter, och den ge- mensamma nämnaren är 2 ggr den af de bäda yttersta radii vectores pä samma satt uppkomna triangelarean. Vidare beräknar man för den mellersta observationstiden lutningen mot ecliptiean af det plan, som lägges genom jor­ dens radius vector och den linie, som förbinder jorden med planeten, hvilken lutning i motsats mot hvad vanligen sker räk- nas frän 0" tili 360», samt bestämmer den yttre vinkeln vid jorden i triangeln mellan jorden, solen och planeten. Man finner

•) Theor. Mot. Lib. I Sect. I. Art. 1. taw'--Jl^— ^^"^ -Sin{a'-L')

Cos«o' Hvad de quädranter beträffar, i hvilka dessa vinklar skola tagas, inses lätt, att, när planetens bredd är nordlig, faller w' inom första eller andra och, när d«n är sydiig, inom tredje el­ ler fjerde quadranterna, samt att den före Oppositionen faller inom första eller fjerde samt efter densamma inom andra eller tredje quadranterna. Tecknet för dess Cosinus är säledes be- stämdt genom dessa bäda vilkor. d' kan tydligen ej öfverstiga 180" och är säledes utan tvetydighet bestämd »genom tecknet för sin tangent. • Man lägger nu genom de bäda yttersta planetorterna en storcirkel och bestämmer längden för dess uppstigande nod samt dess lutning mot ecliptiean medelst sequationerna

Sin(i («"+ a) - K) tg J^ aSf^l, See i («" - a)

Cos (1 («" + «)-^) «^ J-= ^^^1^^ Cosec ^ (a" - or)

hvarest J är positiv och mindre an 90». Lägges genom den mellersta planetorten en mot ecliptiean vinkelrät storcirkel och man med ß" utmärker latituden för den punkt, hvari denna storcirkel skär den, som blifvit lagd genom de bäda yttersta, sä erhälles tgß'> = Sin (a' — K)tgJ. 7. Efter dessa förberedande räkningar införes det vilkor, som i den första Keplerska lagen uttalas, nemligen att de tre pla­ netorterna skola ligga i ett genom solen gäende plan. Betecknas planetens heliocentriska coordinater med x, y, e, x', y', e', x", y" och e" samt man med n och w" betecknar samma qvantiteter uti planetbanan som i jordens bana beteck- 9

nades med N och N", sä bli de eequationer, som uttrycka detta vilkor: *)

nx — x' -\- n"x" = 0 . ny — y' -\- n"y" = 0 m ^- g' -\- n"e" = 0

Dessa sequationer äro i sjelfva verket identiska och upp­ höra först att vara det när n och n" uttryckas i function af mellantiderna. I stallet för coordinaterna sjelfva inför man deras i följande sequationer uttryckta värden

a; = e Cos a 4- iJ Cos L, x' = Q' Cos a' -f R' Cos L', y = QSin a-{-R Sin L, y' = Q' Sin a' + R' Sin L', g = Qtgß, e'^Q'tgß'

x" = Q" Cos a" + R" Cos L'\ y" == q" Sin a" + R" Sin L", z" = Q" tg ß", hvarest Q, Q' och Q" beteckna planetens distantia curtatce. Här- igenom öfvergä vära sequationer tili

0 = w (e Cos a 4- i? Cos L) — (Q' COS a' + R' Cos L') -f 4- w" (e" Cos «" 4- R" Cos Z"), 0 = « (e Sin a 4- i? Sin L) -^^ (p' Sin a' -\- R' Sin Z') -|- 4- n" (Q" Sin a" -\- R" Sin i"), Q=nQtgß — Q'tgß'-\- n<'q" tg ß".

Som värdena pä n och w", säsom vi snart .skola se, ej kunna direct finnas, är det fördelaktigt att först bestämma Q' ur värdena pä n och n" och att sedermera derur bestämma Q och Q". Man eliminerar derföre dessa ur requationerna och erh&Iler

*) Jfr Theor. Mot. Lib. I Sect. IV Art. 112. Beteckniiigarna äro i sä mätto olika, att hos Gauss », n' och re" utmärka triangelareorna, hvilka i den Enckeska methoden betecknas med [r'r"], [?T"], [rr'l. 2 10

0= nR {tgßSin(a"^ L)^tgß" Sin (a^-L ))\ — R' (tg ß Sin (a" ^ L') — tg ß" Sin {tt ^ L')) 1 4-w"R" (tg ß Sin («" — L") — tg ß" Sin (a — L")) ] Q' (tg ß Sin («" ^a')^tgß' Sin («"— «) + tg ß" Sin a'--a)). Införas de i föregäende Art. bestämda vinklarna öfvergär detta tili Sin(/S' —/J") = i?'Sin(i' K)-^nRSin(L — E) \ Coaß'>Cosß'tgJ'^—^''""'^^ "^ '"^"--y^ -J 2 — n" R" Sin (i" — -K)) • För större beqvämlighets skuld beräknar man särskildt „ Sin f/?' — /?») E Sin (X — X) "' ^ tg J'Cos /S» ' a» ' ^ _iJ'Sin(i'—£•) B"Sin(i"—£") a" a" hvarigenom sequationen öfvergär tili: e' „ n, = c — ^« — dn". 3 Cos ß' Genom att söka värdena pä Q och Q" ur värdet pä Q' erhälles: _ /Sin ja" — «') , «» See /?' Sin (or" — L")\ q^\ ^ ~ \Sin (a" — a) "^ Sin {«"—«) " SiM^L" — K )) ' n ' Sin (£" — L) Sin («'^ — g) /Jf__,\ + • Sin («" — a) • SinTl"—J?) " \w "~ /' „_/Sin(a' — a) «»See /?' Sin(a—Z,)\ Q' ^ ~"\Sin («"-«) "' Sin {«"-«) ' Sin (i ^^^^T)/ ' ^' _L7?" Sin(X"-£) Sin (« - g) /J^'_.\ "^ "SinCa"- a) ' Sin {L" — K) ' \n" )' I dessa sequationer införas följande beteckningar, hvilka särskildt beräknas: f = See/?' _ RR" Sin (£" — X) •^ Sin (or" — a)' ~ ^ a» Sin (a" — a)"~' j^ ^ Sin (or" — or') i^" Sin («" — L") ' Sin(a" —or) + -^ ' d ' 11 „ „ _ Sin ja' — a) ^ R Sin (« — L) ' ~ Sin Ca" — ö) •^ b ' M, = k Sin(.''-_g)^^ Sin(.__^^ d 0 hvarigenom erhälles: fN

,"=itf/'f;,+M,"(^-i)i

8. Det i den andra Keplerska lagen uttalade vilkoret, att de tre planetorterna skola tillhöra en och samma ellips, i hvars focus solen stär, införes, när banans halfparameter betecknas med p, excentriciteten med e, perihelii afständ frän noden med 10 och breddens argumenter med u, u', u", genom sequationerna p - = 1 4" e Cos (M — w)

^ = 1 4- e Cos (M' — Ol) r

^ = 1 4- e Cos («" — w) *)

ur hvilka man genom eukla transformationer flnnör [y^rj , \r< r"'] 1 jp = rii " —14-w" • 2rr'»-"Cos(M"—M')COS(M' —I«)COS(M" —M) För att uttrycka n och w" i function af tiderna mäste man, säsom redan är antydt, taga sin tillflygt tili sucoessiva approxi­ mationer; man utvecklar dem derföre i convergenta serier, af hvilka sä smäningom allt flera termer medtagas, men redan vid första approximationen mäste sä mänga medtagas, att de fei man begär genom att utesluta de öfriga bli allt mindre ju mindre mellantiderna äro.

*) Theor. Mot. Lib. I Sect I Art. 8 aequ. II, emedan sanna ano- malien v är lika med u — ii>. 12

Genom att uttrycka alla de i sequationen 1 Art. 7 för de bäda yttersta observationerna gällande quantiteter genom de motsvarande, för den mellersta Observationen gällande, uti serier, som fortgä efter stigande potenser af T och %", flnner man att sequationen för g' blir af formen 0» 1» 2» I 3» e'= 30 + 30 + 30 + 30 + ' hvaraf synes att i täljarne minst termerna af tredje ordningen mäste medtagas. Som emellertid coefficienterna tili n och »" bli af minst första ordningen, behöfver i utvecklingen af n och w" blott termerna af tili och med andra ordningen medtagas. Lägger man i banans plan ett rätvinkligt coordinatsystem och nodlinien tages tili x axel samt triangelareorna uttiyckas genom coordinaterna för sina spetsar, sä erhälles y'x-^x'y y"x — x" y y"x''—a^' y' y"x —x"y . Genom att uttrycka x, x" och «/', «/', genom x', y' samt med tillhjelp af Newtonska attractionslagen och tredje Keplerska la­ gen fäs följande utvecklingar: T"/ 1T(T' + T") IT'C-T' + CT" —F"^) drl_ \ « — ^(^1 + 6 *^3 "4 r'« 'd»'^''') T / lT"(-r'4-T) 1 y"(-r"'4-CT"—77') dr^. \ '*~^T'\'^6 r" +4 r" ' d&^ ' ' ') , , 1 Tv" 1 TT" {T — T") dr' . „ + „" = 14-2.^-2 r'"^ d»^ , rf__T^/ 1 (^7 —-r") T' w " T\ "1 6 r» "' Insättas dessa värden i sequ. 3 Art. 7 samt man i utveck- lingarna för n och n" blott medtager termerna af tili och med andra, och i sjelfva sequationen blott termerna af tili och med tredje ordningen, i öfverensstämmelse med de grundsatser för uppgörandet af första hypothesen, hvilka ofvan blifvit fram- ställda, sä visar det sig vid jemförelsen mellan den Ursprung- 13 liga sequationen och den sälunda transformerade, att man egent­ ligen infört värdena

n" T" 1 „ 1 I ^•^" — = — och w 4- n" = 1 + K—r% • n T ' I 2 r'ä Man inför derföre säsom första hypothes

P=- = -, Q = {n-\-n" -1)2 r'^ = TT", n T Härigenom öfvergär sequ. 3 Art. 7 tili h-\-Fd/.., Q Cos /S' 1 4- P (>+.!-.)• samt om följande beteckningar & + ^^_.o , ,o_.o OOQ 1+-P användas, tili:

n' 7» Cos ß' »-"' Ur triangeln mellan solen, jorden och planeten flnner man:

r'> = J?'^ 4- 2 ^'4 Cos d' 4- ^-- , eller ' Cos ß' ' Cos ^ ß'

R' Cos ö' ±, Vr''' — W Sin ^ d' Cos/?' Genom att eliminera q' ur sequ. 1 och 2 erhälles Z» r — -75 = - E' Cos 6' ± J/ r'^ — m Sin» d', hvilken sequation vid hyfsningen blir af 8:de graden. För att förenkla den, införas quantiteterna j.i och q, bestämda genom följande sequationer och det vilkor, att f.i skall hafva samma tecken som ?» iJ' Sin d' = n Sin q, k" + R' Cos 6' = fi Cos q. Vidare införes en ny hjelpvinkel g', för hvilken man antager r'« Sin (.?'-(/) = PSinq, /•" Cos(.e' q) = ,«*•" .— l" Cos g. 14

Man eliminerar nu r'* ur dessa bäda sequationer och ge­ nom ny elimination mellan den sälunda uppkomna och den första, erhälles den frän r' fria sequationen Z» Sin {z — g) = -^^^^T- Sin * g, och slutligen om man för korthetens skuld satter F /ii* R'^'Sin^'~'^' Sin (g — q) = w Sin * g. I det fall, som här är i fräga, nemligen att bestämma ele­ menter för en , mäste, sä framt de observationer, frän hvilka man utgär, verkligen tillhöra en sädan, denna sequation ge en enda reel och positiv rot mindre an d'. Tillika mäste den nära satisfleras af 6'. Det värde pä g, som i beräkningen skall införas, är intet annat an vinkeln vid planeten i den nyssnämnda triangeln mel­ lan solen, jorden och planeten. 9. Sedan sequationen med tillhjelp af regula falsi blifvit löst, beräknas r' och q' samt n och n" ur formlerna , _ R' Sin d' q' _ R'Sin(d' — g') ^ ShTg' ' C^' ~ Sin«' »* =0+27^3)1^?.-" = -^ samt q och q" ur sequ. 5 Art. 8. Derefter bestämmas de heliocentriska orterna och radii vectores för alla tre observationerna ur formlerna i Theoria Motus Lib. I Sect. II Art. 62, derigenom att man satter L^N och, säsom i ifrägavarande fall är tydiigt, i? = 0. Härvid mäste säsom första prof pä räkningens riktighet det nu funna värdet pä r' öfverensstämma med det förut funna. Inclinationen och uppstigande nodens längd samt breddens argumenter beräknas ur de bäda yttersta heliocentriska orterna med tillhjelp af form- 15 lerna i Lib. I Sect. IV Art. 110 och Sect. III Art. 78, II, och säsom andra och tredje prof mäste de värden, som erhällas ur tg v' = Sin {l' — ii) tg i . r' r" Sin u" — u') rr' Sin («' — u) rr" Sin (w" — u) ' rr" Sin (M" — u) stämma med de förut funna. Med tillhjelp af de sälunda funna approximerade värdena corrigeras de data, som blifvit lagda tili grund för hypothesen. Först befrias observationstiderna frän aberration. Det är nem­ ligen tydiigt, att da Ijusets hastighet ej är oändligt stör, mäste alla hindakroppar synas, ej i den riktning, de verkligeu hafva, utan som de haft sä läng tid tillbaka, som det behöfves för Ijuset att hinna frän dem tili jorden. Utmärker derföre •/. den tid Ijuset behöfver för att öfverfara en jordbanradie, sä mäste man frän observationstiderna subtrahera x q" See ß" för att er- hälla de sanna observationstiderna. Härpä kommer förbättrin- gen af värdena pä triangelareorna. Man antager: y[rr']^T"\/p, y'[rr"] = T']/p y[r'r"] = T|/p, hvarest säledes y, y', y" uttrycka förhällandet mellan triangel­ areorna och de motsvarande elliptiska sectorerna. Medelst hufvudsequationerna i planettheorien flnner man: , , _•£:" — E Sin (E'-~E) ( Sin > (u" — u) Yrr" \ ' ^ "^yp— Sin'\(E"--E) i YP )y^ 4" rr" Sin (w" — u) och om y' införes,

E"—ESia[E"—E)/Sin ' 1 iE" — E) \ 2 Cos \ (u" T>— u) yrr"/ \V-3 y'^1 +^ , T'y'' Utvecklar man den forste factorn i serie, sä erhälles ^'=^ + (| + |Sin^U-E"--E) + II Sin* i iE"-E)^. . . .) (^^^_^^3 _L och dessutom finnes 16

Sin^ 1 tE" - E)=^^{ = ^ V 4 t-^ ^O y, 2 ^^2 Cos I iu" — u) Yrr") r 4- r" — 2 Cos ^ (M" — u) Yrr" 4 Cos J (M" — M) |/»T^^ • Införas följande hjelpvinklar,

tg t/y ==\/ j samt

Cos y' = Sin 2 ilj' Cos ^ (M" — u) sä erhälles ^' = J-+(| + |Sin4(i?"-^)

+ ||Sin'i(i?"-£)4- . . . ^((^.p^^-,)^^ och Sin ^ X (£" - ij)=^: (, , ,f^^ > - '4^f^ * «/'^ \(r4-^ )Cos// ^Cos / och om man satter rtY^(lz^tlcoa^^'=.'J^*l sä erhälles ykJ r'^ (rr")

^,2 4- II Sin' J (E" --E)+. ...) ^^y-3- . ^

V'^ Sin'*/ samt Sini(i;"-ü;)=^^^-^--^^f.

Insättes detta i den förra sequationen, sä flnner man ,._!,/ A 8 Si^L/ 4- 04 Sin^J A r ^^^XSGOS'Y' 'Cos'^y'^^ Goa>//y" ,/ ^8___^,,Sinn_A5:! , __.. ' ^V5Cos«/ '^^ Cos'//«/"~ • kallas coefficienterna för A, B, . . . . . och man i stallet för tj'^ skrifver g' sä fäs 2/' = i4-^«'y —24-5.ä;'^«/ —44-..... Men enligt Mac Laurinska theoremet är 17 »•=*'•+©/•+* (£Ä).^-+----- Bestämmer man ur dessa bäda sequationer, enligt methoden

för obestämda coefflcienter, quantiteterna (y')^, iJ'-A och

— •^ ' sä erhälles ^\dg'^}<, y' <=1 + Ag' — (2 A' — B) g'^ -\- Pä denna sequation tillämpas den logarithmiska Serien *), hvilken här är gällande, emedan y' är blott föga större an 1. Härigenom öfvergär den tili: hj' = Arj"~^-(lA''^B)ri'>+ , och när coefficienternas värden insättas, tili: ly' = ^r/^ + %i (Sin^ J/ f j;'2)y2 4- I denna sequation har jag utelemnat alla termer af högre ordning an den fjerde, ett förfarande som är fullkomligen be­ rättigadt, emedan dessa termer först vid en mellantid af öfver ett är välla en ändring af en enhet i sista decimalen för log y', när man, säsom lämpligast är, verkställer beräkningen med sex- siffriga logarithmer. Uttryckes y' genom Briggska logarithmer, erhälles

log y'— a' (l'V 2 Ordn.

4-a"(f)^-i"(|)' 4 Ordn.

Coefficienterna «', «" och 6" bestämmas ur: log a' = 3,233886, log a" = 3,614097 4- log (1 — Cos /) log b" = 0,034108 y och y" bestämmas ur samma sequation om man i staltet för T^ T" ' rf inför ri^ — j-r-,—n-, och rt" ^ = -.—r—rr, och 1 stallet för y' de motsvarande vinklarna y och y". För att undvika summe-

*) Schlömilch, Compendium der höheren Analysis p. 132 ecqu. 3 3 18

ringarna af radii vectores, införes det förutnämnda t// och de medelst följande sequationer bestämda hjelpvinklarna i// och rp

tg ip" = 1/ - , tg ip =• 1/ —. Härigenom bli de sequa­ tioner, ur hvilka man bestämmer { -r- ) > ( y ) och ( 4- ) (f)=<^!i-c...r. (f)- = 5^'c...,,.

ß)" ^^-"<=•••*• De stränga värden pä P och Q, som nu skola införas be­ stämmas pä följande satt. Söker man ur de sequationer, hvari betydelsen af y y' och y" först flnnes framställd, n och n" och dividerar dem med hvarandra, sä fäg

P=- -^ T' y" • Genom att ur samma sequationer insätta värdena pä [rr'] och \r'r"'\ i sequ. förj) i Art. 8 och lösa i anseende tili (n-\-n"-—l)2r'^ flnner man

^ TT" r' ^ m" ' rr" Cos l (u" — u') Cos { (u" — u) Cos i (u' — u) ' Andra approximationen verkställes nu pä det sättet, att man medelst ofvanstäende formler beräknar y och y", blott medtagande termen af andra ordningen, samt, med tillhjelp af dem, nya värden pä P och Q. Härefter beräknar man änyo, i enlighet med Artt. 8 och 9, de tre radii vectores och distantise curtatse, de heliocentriska orterna, samt uppstigande nodens längd och inclinationen, corrigerar änyo tiderna för möjligen äterstäende aberration och söker äter värdena pä P och Q, hvarvid i y och y" termerna af fjerde ordningen äfven med­ tagas. Stämma de sälunda funna värdena pä P och Q med dem, som man erhöll vid slutet af första hypothesen, sä är approxi­ mationen tillräckligt längt drifven. Annars förnyas samma för­ farande tili dess P och Q ej förändra sina värden. 19 10 Härefter sker den slutliga beräkningen af de öfriga ele­ menterna. Man bestämmer »// samt ur sequationerna Sin / Cos & = Sin \ (u" — u) Sin y' Sin G' = Cos i (u" — u) Cos 2 ip' Cos / = Cos 1 (u" — u) Sin 2 ip' y' och G' samt, säsom förut är visadt, y'. För beqvämlighets skuld begagnar man dock 2 Sin ^ ^ / i stallet för 1 — Cos / i uttrycket för a". För halfparameten har man de tre värdena y"rr'Sin(u'—u)'\^ __ ryr'r" Sin{u" — u')\ ( i" ) ~ V T ) y'rr" Sin (M" — u)'\^ ( 7' ) ' hvari tillika det fjerde profvet innehälies. Utur de i art. 8 anförda fequationerna mellan halfparame- tern, radii vectores, breddens argumenter, excentriciteten och perihelii afständ frän noden finner man genom enkla transfor­ mationer och införandet af vinkeln G':

e Sin (w — * (M" + W)) = ^—r,7--„ *ff Ct' ^ ' Cos / lA*"" P e CosC&j — 1 (M"4-M)) = r, T:r7-~7, -^ Sec 1 (u" — u). ^ ' Cos/]/rr" ' Medelst dessa formler bestämmas w och e samt ur det se­ nare, (f, genom den bekanta formein e=Sin^. Genom formlerna i Theoria motus Lib. I Sect. I Art. 8 beräknas större axeln, de excentriska anomalierna, sedan man ur värdena pä o» och breddens argumenter beräknat de sanna anomalierna, samt medelanomalierna. Je Den välbekanta formein /n = —- bestämmer slutligen dag- ai liga medelrörelsen. Säsom sista prof skola de tre värden som man erhäller om man ur hvardera af de trenne medelanoma­ lierna beräknar medelanomalien för en och samma tid, bli lika med hvarandra. 20 11. Vid tillämpningen af denna method pä beräkningen af Pa­ nopeas elementer mäste jag göra den förändringen af formlerna i Art. 8 att ohservationsortens afständ frän jordens medelpunkt sattes lika med 0, emedan normalorterna äro fria frän parallax. Härigenom öfvergingo dessa formler tili (j» L = 180" 4- 0» - (Prsecession 4-Nutation) - —^ Sin (a» - ©») och tg ß" log R = log Ro^M''^^ Cos («» - 0») Observationernas befriande frän aberration bortföll likaledes. För att redan vid uppgörandet af första hypothesen hinna tili nära riktiga värden, begagnade jag Försters elementer för att beräkna y och y". En följd häraf blef att sedan andra hy­ pothesen blifvit beräknad, befans approximationen tillräckligt längt drifven. Räkningen fördes nu tili slut, profven stämde pä ett till- fredsställande satt, och jag erhöll följande elementsystem. Epoch = 1861 Juni 0,0 M = 310»46'44",55, Tt — 299 47 31, 6, \ a := 48 16 27, 8, ) Epochens medelsequinoctium i = 11 31 56, 5, ) (p = 11 14 45, 0, ;t = 832"3233. För att jemföra det med observationerna, härledde jag, lik- som i Art. 3 följande transformerade elementer, Epoch = 1861 Juni 0,0 M = 310"46'44",55, w = 251 31 3, 8 4- 2", 0112 (f — 1861 Juni 0,0) ß = 48 16 27, 8 4- 48", 2451 (f - 1861 Juni 0,0) i = 11 31 56, 5 4- 0",27695 (f — 1861 Juni 0,0) q) — 11 14 45, 0 H = 832",3233 och beräknade dermed följande ephemerid. 21

Berl. Med.-tid 0! (J log. z/

Maj 4,0 221»21'32",31 — 14»16'23",32 0,14887 5,0 221 5 29, 84 — 14 17 13, 26 0,14825 6,0 220 49 25, 36 — 14 18 3, 68 0,14770 7,0 220 33 20, 11 — 14 18 54, 48 0,14723 8,0 220 17 15, 28 — 14 19 46, 40 0,14684 9,0 220 112, 14 — 14 20 39, 23 0,14654 10,0 219 4511, 95 — 14 21 33, 21 0,14632 11,0 219 29 15, 94 — 14 22 28, 54 0,14617 12,0 219 13 25, 49 — 14 23 25, 48 0,14611 13,0 218 57 41, 76 — 14 24 24, 19 0,14613 14,0 218 42 5, 92 — 14 25 24, 87 0,14624 15,0 218 26 39, 07 — 14 26 27, 69 0,14643 16,0 218 11 22, 47 '— 14 27 32, 85 0,14670 17,0 217 56 17, 13 — 14 28 40, 53 0,14705 18,0 217 41 24, 14 — 14 29 50, 93 0,14748 19,0 217 26 44, 47 — 14 31 4, 20 0,14797 20,0 217 12 19, 17 — 14 32 20, 63 0,14854 21,0 216 58 9, 18 — 14 33 40, 27 0,14917 22,0 216 44 15, 43 — 14 35 3, 40 0,14989 23,0 216 30 38, 68 — 14 36 29, 90 0,15069 24,0 216 17 19, 89 — 14 38 0, 13 0,15155 25,0 216 4 19, 79 — 14 39 34, 16 0,15246 26,0 215 51 39, 15 — 14 41 12, 27 0,15346 27,0 215 39 18, 66 — 14 42 54, 48 0,15453 28,0 215 27 19, 15 — 14 44 40, 98 0,15566 29,0 215 15 41, 25 — 14 46 31, 89 0,15684 30,0 215 4 25, 67 — 14 48 27, 46 0,15808 31,0 214 53 32, 95 — 14 50 27, 77 0,15939 Juni 1,0 214 43 3, 84 — 14 52 32, 96 0.16077 2,0 214 32 58, 83 — 14 54 43, 14 0,16218 3,0 214 23 18, 48 — 14 56 58, 48 0,16366 4,0 214 14 3, 24 — 14 59 19, 09 0,16520 5,0 214 5 13, 65 15 1 45, 07 0,16678 6,0 213 56 50, 13 — 15 4 16, 47 0,16840 7,0 213 48 53, 14 - 15 6 53, 50 0,17007 8,0 213 41 22, 98 - 15 9 36, 20 0,17179 9,0 213 34 20, 06 — 15 12 24, 65 0,17356 10,0 213 27 44, 57 — 15 15 18, 88 0,17536 11,0 213 21 36, 99 - 15 18 19, 06 0,17720 12,0 213 15 57, 41 — 15 21 25, 22 0,17910 13,0 213 10 45, 99 — 15 24 37, 35 0,18102 14,0 213 6 2, 88 -- 15 27 55, 51 0,18296 15,0 213 1 47, 89 — 15 3119, 68 0,18495 22

När observationerna pä förut nämndt satt jemfördes med denna ephemerid fann jag följande skillnader mellan beräkning och Observation:

1) Fbr Obst •rvationema i Berlin och, Bilk da dd Maj 15 — 7",56 — 0",63 17 4- 2",74 4- 0",71 26 — 2",33 + 1",17 Juni 5 4- 1",39 4- 2",76 12 4- 7",91 4- 10",64 13 — 4",23 — 3",05.

2) För Observationerna Fontenay. 5 -f 2',8 4-2',4 10 4- 51", — 11" 11 — 6" -0',1 18 — 3"4, + , 25". Af denna jemförelse visar sig ä ena sidan att observatio­ nerna i Berlin och Bilk betydligt närmare framställas genom mina elementer an genom Försters, och ä andra sidan att ute- slutandet af observationerna i Fontenay var fullkomligen be­ rättigadt. Att en ny beräkning ur ofvan anförda observationer vore af intet gagn, ätminstone innan jemförelsestjernorna blifvit änyo bestämda, är en äsigt, som jag tror mig kunna uttala. I hvad man mina elementer öfverensstämma med de sanna visar sig först vid nästa Opposition; kan planeten med tillhjelp af dem äterflnnas, är ändamälet för mitt arbete uppnädt.

Rättclser: Sid. 15 efter 4 rad. o. f. införes: när de heliocentriska or­ terna betecknas med l k' l" och v v' v". ,Sid. 16 rad 11 n.f. stär (rr")', las (r4-r")'. Sid. 16 rad 2 n.f.