ECONOMIC and REGIONAL STUDIES PDF OPEN ACCESS Eissn 2451-182X STUDIA EKONOMICZNE I REGIONALNE ISSN 2083-3725 Volume 14, No

ECREG STUDIES Vol. 14, No. 1, 2021 www.ers.edu.pl ECONOMIC AND REGIONAL STUDIES PDF OPEN ACCESS eISSN 2451-182X STUDIA EKONOMICZNE I REGIONALNE ISSN 2083-3725 Volume 14, No. 1, 2021

Authors’ contribution/ COMPARISON OF SELECTED PORTFOLIO STRATEGIES BASED ON THE EXAMPLE OF CRYPTOCURRENCY PORTFOLIOS Wkład autorów: A. Study design/ PORÓWNANIE WYBRANYCH STRATEGII PORTFELOWYCH Zaplanowanie badań NA PRZYKŁADZIE PORTFELI KRYPTOWALUT B. Data collection/ Zebranie danych C. Statistical analysis/ Kinga Kądziołka Analiza statystyczna 1(A,B,C,D,E,F) D. Data interpretation/ Interpretacja danych/ 1 E. Manuscript preparation/ WSB University, Poland Przygotowanie tekstu Akademia WSB w Dąbrowie Górniczej, Polska F. Literature search/ Opracowanie Economic piśmiennictwa andKądziołka, Regional K. Studies,(2021). 14Comparison of selected portfolio strategies based on the example of cryptocurrency G. Funds collection/ portfolios / Porównanie wybranych strategii portfelowych na przykładzie portfeli kryptowalut. ORIGINALPozyskanie ARTICLE funduszy (1), 44-60. https://doi.org/10.2478/ers-2021-0004Abstract S ubje c t a nd pu r p o s e of work :

The purpose of this work was to compare selected portfolio strategies JEL code: C10, C61, G11 in terms of return rates in order to answer the question whether the method of determining the weightsMaterials of andthe portfolio methods: and reduction of the number of portfolio elements characterized by strong Submitted: positive correlation of rates of return have an impact on its profitability. December 2020 Results: The analysis used publicly available data, selected portfolio methods and hierarchical clustering. Both short- and long-term investment strategies were examined. Accepted: None of analyzed strategies allows to achieve higher rates of return in any given February 2021 (arbitrarily selected) period than other analyzed strategies. Portfolios with a reduced number of elementsConclusions: in most cases did make it possible to achieve a higher rate of return than the benchmark Tables: 4 portfolios consisting of 15 cyptocurrencies. Figures: 5 While making investment decisions, one should bear in mind that the realized rate References: 27 of return may significantly differ from the expected rate of return of the portfolio, which is only a forecast.Keywords:

cryptocurrency portfolios, hierarchical clustering, Markowitz portfolio, semivariance, conditional value at risk Streszczenie NAUKOWY Przedmiot i cel pracy: ORYGINALNY ARTYKUŁ Przedmiotem analiz było porównanie wybranych strategii portfelowych pod kątem uzyskiwanych stóp zwrotu, celem udzielenia odpowiedzi na pytanie, czy sposób usta- Klasyfikacja JEL: C10, C61, leniaMateriały wag portfela i metody: oraz redukcja liczby jego składników charakteryzujących się silnym dodatnim G11 skorelowaniem stóp zwrotu ma wpływ na jego dochodowość. Do analiz wykorzystano ogólnodostępne w Internecie dane dotyczące kur- Zgłoszony: sów kryptowalut oraz wybrane metody portfelowe i grupowanie hierarchiczne. Rozważano za- grudzień 2020 równoWyniki: pasywne strategie krótkoterminowe jak również aktywne strategie o dłuższym horyzoncie inwestycji. Zaakceptowany: Żadna z analizowanych strategii nie umożliwia uzyskiwania wyższych stóp zwrotu (niż luty 2021 inne analizowane strategie) w każdym (dowolnym) okresie czasu. Portfele o zredukowanej licz- bieWnioski: składników w większości przypadków nie umożliwiały osiągnięcia wyższej stopy zwrotu niż Tabele: 4 portfel bazowy o równych wagach składający się z 15 kryptowalut. Rysunki: 5 Podejmując decyzje inwestycyjne należy mieć na uwadze, iż zrealizowana stopa zwrotu Literatura: 27 możeSłowa znacznie kluczowe: się różnić od oczekiwanej stopy zwrotu portfela, która jest tylko pewną prognozą.

portfele kryptowalut, grupowanie hierarchiczne, portfel Markowitza, semiwariancja, warunkowa wartość zagrożona

Address for correspondence/ Adres korespondencyjny: dr Kinga Kądziołka (ORCID 0000-0001-9506-3044), Akademia WSB w Dąbrowie Górniczej, ul. Cieplaka 1c, 41-300 Dąbrowa Górnicza, Poland; +48 32 295 93 16; e-mail: [email protected] Journal indexed in/ Czasopismo indeksowane w:

AgEcon Search; AGRO; Arianta; Baidu Scholar; BazEkon; Cabell's Whitelist; CNKI Scholar; CNPIEC – cnpLINKer; EBSCO Discovery Service; EBSCO-CEEAS;Copyright: EuroPub; Google Scholar; Index Copernicus ICV 2017-2019: 100,00; J-Gate; KESLI-NDSL; MyScienceWork; Naver Academic; Naviga (Softweco); POL-index; Polish Ministry of Science and Higher Education 2015-2018: 9 points; Primo Central; QOAM; ReadCube; Semantic Scholar; Summon (ProQuest); TDNet; WanFang Data; WorldCat. © Pope John Paul II State School of Higher Education in Biała Podlaska, Kinga Kądziołka. All articles are distributed under the terms of the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/), allowing third parties to copy and redistribute the material in any medium or format and to remix, transform, and build upon the material, provided the original work is properly44 cited and states its license. Comparison of selected portfolio strategies... Porównanie wybranych strategii portfelowych... Introduction Wstęp

Existing literature offers a wide variety of Literatura przedmiotu oferuje bogaty wybór róż- portfolio strategies, e.g. naive strategy, classical norodnych strategii portfelowych, m. in. strategia Markowitz model and its modifications, optimization naiwna, klasyczne modele Markowitza i ich mody- strategies taking into account e. g. the value at risk, fikacje, strategie optymalizacyjne uwzględniające the diversification level, taxonomic measures of wartość zagrożoną, poziom dywersyfikacji, taksono- investment attractiveness or investment strategies miczne mierniki atrakcyjności inwestycji czy strate- based on different methods of computational gie inwestycyjne wykorzystujące różne metody inte- intelligence, such as genetic algorithms or hybrid ligencji obliczeniowej, jak np. algorytmy genetyczne models (see for example: Sefiane and Benbouziane, czy modele hybrydowe (np.: Sefiane i Benbouziane, 2012; Škarica and Lukač, 2012; Tarczyński, 2014; 2012; Škarica i Lukač, 2012; Tarczyński, 2014; Gluzic- Gluzicka, 2016; Goudarzi et. al., 2017; Hrytsiuk, ka, 2016; Goudarzi et. al., 2017; Hrytsiuk et al., 2019; 2019; Mercurio et. al., 2020). The aim of the article Mercurio et. al., 2020). Celem artykułu jest przed- is to review selected portfolio strategies and to stawienie wybranych strategii portfelowych i po- compare the realized rates of return of these równanie zrealizowanych stóp zwrotu tych strategii strategies. All computations will be conducted on the na przykładzie portfeli, których składnikami będą example of cryptocurrency portfolios. Investments kryptowaluty. Inwestycje w kryptowaluty stanowią in cryptocurrencies are a new form of alternative nową formę inwestycji alternatywnych a zaintere- investments. The interest in this type of investments sowanie nimi w ostatnim czasie wzrasta. Tego typu has been increasing recently. Cryptocurrencies allow inwestycje pozwalają osiągać wysokie stopy zwrotu, to achieve high rates of return, but at the same time ale jednocześnie cechują się dużo większym ryzy- they are characterized by higher risk than traditional kiem niż inwestycje w waluty tradycyjne (Kądziołka, investments (Kądziołka, 2015a). One of the way to 2015a). W celu zredukowania ryzyka, utożsamianego reduce the risk is to invest funds in several different ze zmiennością stóp zwrotu, można zainwestować cryptocurrencies (the so-called portfolio). One of the kapitał w kilka różnych kryptowalut, które utworzą problems that here appears is the problem of selection tzw. portfel. Jednym z problemów, jaki pojawia się of cryptocurrencies and portfolio strategy. In the podczas budowy portfela jest wybór instrumentów examples presented in this article, cryptocurrencies mających wejść w jego skład oraz ustalenie udziału included in the portfolios were selected arbitrarily. każdego ze składników w strukturze portfela. W pre- Some proposals of procedures for selecting zentowanych w niniejszym artykule przykładach, cryptocurrencies in the context of portfolio analysis kryptowaluty wchodzące w skład portfeli wybiera- can be found in the literature. Brauneis and Mestel ne będą w sposób arbitralny. Problematyką doboru (2019), constructing cryptocurrency portfolios, kryptowalut wchodzących w skład portfela zajmo- selected representatives from the set of the most wali się m. in.: Brauneis i Mestel (2019) oraz Ślepa- liquid cryptocurrencies. Ślepaczuk and Zenkova czuk i Zenkova (2018). Brauneis i Mestel (2019) wy- (2018) used the Support Vector Machines method to bierali do portfela kryptowaluty charakteryzujące choose cryptocurrencies according to values of their się największą płynnością, z kolei Ślepaczuk i Zenko- selected technical characteristics. va (2018) wykorzystali metodę wektorów nośnych There will be analyzed both short- and long-term (Support Vector Machines) do wyboru kryptowalut investments in this article. In the case of short-term w oparciu o wartości wybranych charakterystyk je investments, the structure of portfolios will not opisujących. be changed. In the case of long-term investments, W niniejszej pracy analizowane będą zarówno the portfolios’ structure will be changed once inwestycje krótko jak i długoterminowe. W przypad- per 30 days. There will be arbitrarily selected 15 ku inwestycji krótkoterminowych nie dokonywano cryptocurrencies, from which then there will be zmian składu portfela w czasie trwania inwestycji. chosen representatives that will be included into W przypadku inwestycji o dłuższym horyzoncie, do- constructed portfolios. To reduce the number of konywano zmian składu portfeli co 30 dni. Analizując cryptocurrencies characterized by strong positive inwestycje krótkoterminowe, wybrano arbitralnie 15 correlation of rates of return, hierarchical clustering potencjalnych kryptowalut mogących wejść w skład method will be used. Hierarchical clustering methods portfela. Następnie porównywano zrealizowane were applied in the portfolio analysis in the case stopy zwrotu portfeli, w których dokonano redukcji of shares portfolio (Skórska-Pokarowska, 2005; (z wykorzystaniem metody grupowania hierarchicz- Pośpiech, 2016). There exist papers presenting nego) liczby kryptowalut charakteryzujących się sil- the idea of application of hierarchical clustering nym dodatnim skorelowaniem stóp zwrotu z wynika- on the cryptocurrency market (Kądziołka, 2017b; mi inwestycji w portfele, w których nie redukowano Kądziołka, 2018), however, in these works only liczby składników. Metody grupowania hierarchicz- classical mean – variance strategy for portfolio nego były wykorzystywane w analizie portfelowej, weights optimization and the Pappenbrock’s method m. in. do wyboru portfela akcji (Skórska-Pokarowska, (with its modification) was used and only a few 2005; Pośpiech, 2016). We wspomnianych pracach examples of portfolios were considered. There will grupowano spółki w oparciu o wskaźniki finansowe be analyzed all combinations of portfolios obtained i wartości stóp zwrotu. Grupowanie hierarchiczne according to dendrograms. There will be no limitation było również wykorzystane w odniesieniu do kon-

45 Kinga Kądziołka to portfolios from efficient frontier, because the strukcji portfeli kryptowalut (Kądziołka, 2017b; Ką- selection of these portfolios does not guarantee dziołka, 2018), jednakże we wskazanych pracach K. obtaining higher return rate than in the case of other Kądziołki wykorzystana została tylko strategia opty- portfolios (Kądziołka, 2020). There will be compared malizacji wag portfela bazująca na klasycznej teorii four portfolio strategies: MVP (Mean - Variance portfelowej Markowitza oraz metoda Pappenbrocka Portfolio) strategy, 1/N strategy and strategies based (i jej modyfikacja) i rozważano tylko kilka przykła- on minimization of semivariance and conditional dowych portfeli. W tym artykule rozważane będą value at risk. This article focuses on the rates of wszystkie możliwe kombinacje uzyskane na podsta- return of analyzed portfolios. Formally, to evaluate wie dendrogramu. Rozważano wszystkie możliwe the effectiveness of investments, it is necessary to portfele uzyskane na podstawie dendrogramów za- take into account both the rate of return and risk. The miast ograniczyć się do portfeli z granicy efektywnej, performance of two popular investment strategies, gdyż wybór portfela z granicy efektywnej nie gwa- were earlier assessed according to their effectiveness rantuje, że zrealizowana stopa zwrotu będzie wyższa on the cryptocurrency market. Platanakis et. al. niż w przypadku innych portfeli (Kądziołka, 2020). (2018) compared Markowitz portfolios and equal Analizowane będą portfele, w Meanktórych – Variance do ustalania Port- weights portfolios according to the Omega measure wagfolio (udziału poszczególnych kryptowalut) oprócz and the Sharp’s ratio. Analyzed portfolios consisted klasycznej strategii MVP (ang. of 4 cryptocurrencies (Bitcoin, Litecoin, Ripple and ) wykorzystane zostaną strategie optymalizacji Dash). In the analyzed. case, the authors obtained the minimalizujące semiwariancję portfela oraz warun- result that considered1 measures were very similar kową wartość zagrożoną. Uzyskane wyniki zostaną for these strategies porównane z wynikami portfeli o równych wagach. This article focused on the realized rates of return Formalnie do oceny efektywności inwestycji wy- of the analyzed portfolios. As none of the analyzed korzystuje się wskaźniki uwzględniające zarówno strategies allowed to achieve higher rates of return zwrot z inwestycji jak i jej ryzyko. Wybrane strate- than other in both of the analyzed periods, the gie inwestycyjne na przykładzie portfeli kryptowalut effectiveness of strategies taking into account risk były porównywane pod kątem efektywności, np. Pla- was not additionally assessed. All calculations were tanakis et. al. (2018) porównali portfele Markowitza conducted using R software and publicly available z portfelami o równych wagach pod względem miary data published on the portal www.coingecko.com. Omega i współczynnika Sharpa. Portfele były złożo- ne z 4 kryptowalut (Bitcoin, Litecoin, Ripple i Dash). W analizowanym. przypadku uzyskali wynik, że pod względem wybranych1 charakterystyk strategie te są porównywalne W niniejszym artykule skupiono się w pierwszej kolejności na zrealizowanych stopach zwrotu analizowanych portfeli. Ponieważ żadna z rozważanych strategii nie umożliwiała w każdym z analizowanych okresów częstszego generowania wyższych stóp zwrotu niż pozostałe, nie rozważano kolejnych okresów ani nie oceniano dodatkowo efektywności strategii z wykorzystaniem dostępnych w literaturze odpowiednich miar. Wszelkie obliczenia wykonano z wykorzystaniem darmowego programu R na podstawie ogólnodostępnych danych publikowanych na Review of selected portfolio strategies portaluWybrane www.coingecko.com. strategie portfelowe

Equal – weighted portfolios Portfel równych udziałów

N N Assume that we construct a portfolio consisting Załóżmy, że chcemy utworzyć portfel złożony of ≥ 2 various cryptocurrencies. We define the z ≥ 2 różnych walut kryptograficznych. Wagi dla weights of each portfolio element as follows: poszczególnych kryptowalut w portfelu równych udziałów definiujemy następująco:

1 However, it seems that in order to conclude on the comparability 1 of selected strategies in terms of selected criteria, one analyzed Wydaje się jednak, że aby wnioskować o porównywalności wy- case is not enough to generalize. One example is enough to illu- branych strategii pod kątem wybranych kryteriów, jeden ana- strate, that the analyzed strategy does not always perform bet- lizowany przypadek nie wystarczy do generalizowania w sytu- ter than the other. In order to answer the question, whether the acji stwierdzenia podobieństwa. Jeden przypadek wystarczy do analyzed strategies produce comparable results, one confirming zobrazowania, że analizowana strategia nie zawsze daje lepsze case is not enough to generalize. rezultaty od innej.

46 Comparison of selected portfolio strategies... Porównanie wybranych strategii portfelowych...

The expected rate of return of the equal - weighted Oczekiwana stopa zwrotu z portfela równych portfolio is determined according to the formula: udziałów wyznaczana jest wg wzoru:

E(r i) E(r i) i i where: – the expected rate of return of the gdzie: – oczekiwana stopa zwrotu dla – tej – th element (here: cryptocurrency) from a given kryptowaluty z danego okresu. period.MVP strategy Strategia MVP Mean - Variance Portfolio Mean – Variance Portfolio

The MVP ( ) strategy is Strategia MVP (ang. ) ba- based on the modern portfolio theory developed by zuje na nowoczesnej teorii portfelowej, której twórcą H. Markowitz (1952). This strategy is presented in jest H. Markowitz (1952). Strategia ta jest szczegóło- details in the literature (Stepaniuk, 2015). In this case, wo przedstawiona w literaturze (Stepaniuk, 2015). determining the portfolio weights leads to minimizing Wyznaczenie składu portfela sprowadza się w tym risk (here, the portfolio Rvariance),* assuming that the przypadku do minimalizacji jego ryzyka (utożsamia- expected rate of return of the portfolio is not lower nego z wariancją portfela) przy założeniu, że ocze- than the rate of return ( ) given by the investor. The kiwanaR* stopa zwrotu z portfela jest nie mniejsza niż expected rate of return of the portfolio is determined założona przez inwestora minimalna stopa zwrotu according to the formula (Pichura, 2012, pp. 222): (ozn. ). Oczekiwana stopa zwrotu z portfela wyznaczana jest wg wzoru (Pichura, 2012, s. 222):

wi i i wi i E(r i) E(r i) where:i – weight of – th portfolio’s element ( – i gdzie: – waga – tej składowej (tu kryptowalu- th cryptocurrency), – the expected rate of return ty) w portfelu, – oczekiwana stopa zwrotu dla of the – th portfolio’s element from a given period. – tej kryptowaluty z danego okresu. The variance of the portfolio is given by the Wariancja portfela określona jest wzorem: formula:

Ri,Rj Ri,Rj i i j Ri,Rj E{[Ri- i j Ri,Rj E{[Ri-E Ri Rj-E Rj E Rwhere:i Rj-E cov(Rj ) – covariance of rates of return of gdzie: cov( ) – kowariancja stóp zwrotu – tej – th and – th portfolio’s element, cov( ) = – tej kryptowaluty, cov( ) = ( )][ ( )]}. ( )][ ( )]}. Skład portfela będzie wyznaczany poprzez roz- The weights of the portfolio will be determined by wiązanie problemu optymalizacyjnego: solving the optimization problem:

subject to: przy ograniczeniach:

The portfolio obtained as a result of solving Portfel inwestycyjny otrzymany w wyniku roz- the above problem has a minimal variance and the wiązania powyższego problemu ma minimalną wa- expected rate of return not lower than that assumed riancję i oczekiwaną stopę zwrotu nie niższą niż za- byLPM the strategy investor. łożonaStrategia przez LPM inwestora. Lower Partial Moments Lower Partial Moments

The LPM ( ) strategy is Strategia LPM (ang. ) jest similar to the MVP strategy, with the difference podobna do strategii MVP, z tą jednak różnicą, że that portfolio’s semivariance instead of variance zamiast wariancji minimalizowana jest semiwarian- is minimized. Semivariance as a measure of risk cja portfela. Semiwariancję, jako alternatywną do was proposed by Markowitz (1959). Changes in wariancji miarę ryzyka zaproponował Markowitz

47 Kinga Kądziołka variance are influenced both by positive and negative (1959). Na zmiany wariancji wpływają zarówno do- deviations of rates of return from the average. datnie jak i ujemne odchylenia stóp zwrotu od śred- Investors associate often risk with the loss and are niej. Inwestorzy często traktują ryzyko jako per- interested only in negative deviations. In such a case, spektywę poniesienia strat. Wówczas przy wyborze it seems more appropriate to use semivariance that składników portfela interesować ich będą głównie incorporates only negative deviations. Deviations odchylenia ujemne. W takim przypadku bardziej od- above the target return are not considered as risk and powiednie wydaje się wykorzystanie semiwariancji, are not taken into account. gdyż analizowane są wówczas tylko ujemne odchyle- The expected rate of return of the portfolio is nia stóp zwrotu od wartości oczekiwanej. determined according to the formula: Oczekiwana stopa zwrotu z portfela wyznaczana jest wg wzoru:

wi i E(r i) wi i i E(r i) where: – weight of – th portfolio’s element, i gdzie: – waga – tej składowej (tu kryptowalu- – the expected rate of return of the – th portfolio’s ty) w portfelu, – oczekiwana stopa zwrotu dla element from a given period. – tej kryptowaluty z danego okresu. The semivariance of the portfolio is determined by2 Semiwariancja portfela określona2 jest wzorem the formula (Borkowski, Krawiec, 2013, pp. 68-69) : (Borkowski, Krawiec, 2013, s. 68-69) :

where: gdzie:

m m

rPt t –. number of time units in which the rates of r Pt– liczba jednostek czasowych, w którycht. reje- return are recorded, – portfolio’s rate of return at strowane są stopy zwrotu walorów (tu: kryptowa- time lut), – stopa zwrotu portfela w momencie The weights of the portfolio will be determined by Skład portfela będzie wyznaczany poprzez roz- solving the optimization problem: wiązanie problemu optymalizacyjnego:

subject to: przy ograniczeniach:

The portfolio obtained as a result of solving the Portfel inwestycyjny otrzymany w wyniku roz- above problem has a minimal semivariance and the wiązania powyższego problemu ma minimalną semi- expected rate of return not lower than that assumed wariancję i oczekiwaną stopę zwrotu nie niższą niż byStrategy the investor. using conditional value at risk założonaStrategia przez wykorzystująca inwestora. warunkową wartość za- grożoną CVaR There will be also used the strategy that minimize the conditional value at risk of the W prowadzonych w niniejszym artykule analizach portfolio. This method was proposed by Uryasev and wykorzystana zostanieCVaR również strategia portfelowa Rockafellar (2000). Value at risk of an investment polegająca na minimalizacji warunkowej wartości zagrożonej portfela . Metoda ta została zapro- 2 2 Borkowski and Krawiec denote the semivariance by the letter W przytoczonej tu pracy semiwariancja oznaczana jest literą d d and the corresponding rates of return by the letters z. In this a odpowiednie stopy zwrotu literami z. W niniejszym artykule article, the semivarianceγ. is denoted by the symbol because semiwariancję oznaczono symbolem ponieważ γliterą d będzie the letter d will be used to denote the distance. In this article R* w dalszej części oznaczana odległość. W prezentowanych w dal- plays the role of szej części artykułu przykładach rolę parametru pełni R*.

48 Comparison of selected portfolio strategies... Porównanie wybranych strategii portfelowych...

portfolio is expressed by the formula (Pichura, 2012, ponowana Uryaseva i Rockafellara (2000). Wartość pp. 225-226): zagrożona ryzykiem portfela inwestycyjnego wyraża się wzorem (Pichura, 2012, s. 225-226):

ω ζ P{y | f ω y ζ ω ζ P{y | f ω y ζ f ω y f ω y where: ω Ψ ( , ) = ( , ) ≤ } – ζ probability that α gdzie: Ψ ( , ) = ( , ) ≤ ω}– prawdopodo- the portfolio’s loss function ( , ) will not exceedCVaR the bieństwo, że funkcja stratyζ portfela (ozn. ( , ) nieα limit, – vector of portfolio weights, – loss limit, – przekroczy wartości granicznej, – wektor wag significance level. The Conditional Value at Risk składowychCVaR portfela, – wartość graniczna straty, is expressed by the formula: – poziom istotności. WarunkowaVaR wartość zagrożona to oczekiwana wartość strat pod warunkiem, że przekraczają one wartość . Wyraża się ona za pomocą wzoru:

+ + ζα ω) ζα ω) VaR. VaR. where , ( – the gdzie: , ( – stra- loss exceeding the ta przekraczająca

The weights of the portfolio will be determined by Wyznaczenie optymalnego składu portfela solving the optimization problem: w przypadku strategii wykorzystującej CVaR sprowadza się do rozwiązania następującego problemu optymalizacyjnego:

subject to: przy ograniczeniach:

Reduction of the number of portfolio’s elements Redukcja liczby składników portfela

Hierarchical clustering will be used to reduce Do redukcji liczby kryptowalut charakteryzu- the number of cryptocurrencies characterized jących się dodatnim skorelowaniem stóp zwrotu by strong positive correlation of return rates. As wykorzystana zostanie hierarchiczna metoda aglo- a result of hierarchical clustering, we get the so- meracyjna. W wyniku grupowania hierarchicznego called dendrogram (a tree of hierarchically arranged uzyskuje się tzw. dendrogram (drzewo hierarchicz- clusters). The algorithm works according to the nie ułożonych skupień). Algorytm działa według na- following scheme (Gatnar, 2009, p. 413): stępującego schematu (Gatnar, 2009, s. 413): 1. In the distance matrix, find a few classes 1. W macierzy odległości znajdź parę klas (sku- (clusters) that are most similar to each other pień) najbardziej podobnychPi i Pk. (najmniej odle- (leastPi P distantk. in the sense of the distance głych w sensie przyjętej miary odległości). Za- measure). Let us assume that these are classes łóżmy,Pi i Pżek. są to klasy and Pi Pk. 2. Zredukuj liczbę skupień o jeden, łącząc skupie- 2. Reduce the number of clusters by merging the nia clusters and 3. Przekształć odległości (zgodnie z przyjętą me- 3. Transform the distances (according to the 4. todą wiązania skupień) między połączonymi 4. adopted cluster linking method) between the skupieniami a pozostałymi skupieniami. merged clusters and the remaining clusters. Powtarzaj kroki 1 – 3 aż wszystkie obiekty znaj- Repeat steps 1 - 3 until all objects are in one dą się w jednej klasie.d X Y r r class. Jako miarę odległości między obiektami przyjęto As a ddistanceX Y (here:r measurer of dissimilarity w niniejszym artykule ( , ) = 1 – , gdzie ozna- between cryptocurrencies) there was used cza współczynnik korelacji liniowej między stopami formula ( , ) = 1 – , where denotes the linear zwrotu kryptowalut. Natomiastcomplete do linkage wyznaczania od- correlation coefficient between the rates of return of ległości między skupieniami wykorzystano metodę cryptocurrencies. To determine the distance between pełnego wiązania (ang. ), w której the clusters, the complete linkage method was used, odległość między skupieniami jest równa najwięk- in which the distance between the clusters is equal szej odległości między dwoma dowolnymi obiektami to the greatest distance between any two objects

49 Kinga Kądziołka

3 3 belonging to different clusters (Stanisz, 2007, pp. należącymi do różnych skupień (Stanisz, 2007, 120). 120). Analizy przeprowadzono dla dwóch arbitralnie The analyzes were performed for two arbitrarily wybranych okresów. Dendrogramy generowano selected periods. Dendrograms were generated w oparciu o dane dotyczące 60-ciu kolejnych dzien- based on 60 consecutive daily rates of return for nych stóp zwrotu 15 arbitralnie wybranych krypto- 15 arbitrarily selected cryptocurrencies. The same walut. W każdym z okresów wykorzystano ten sam fifteen cryptocurrencies were used in each period. początkowy zbiór piętnastu kryptowalut. W przy- In the case of the first period, the dendrogram was padku pierwszego okresu dendrogram generowano generated based on daily rates of return for the na podstawie danych dotyczących dziennych stóp period 12.01.2020–11.03.2020. In the second period, zwrotu za okres 12.01.2020–11.03.2020. W drugim the dendrogram was generated based on daily rates z okresów dendrogram generowano na podstawie of return for the period 14.04.2020–12.06.2020. danych dotyczących dziennych stóp zwrotu za okres Figures 1 and 2 show dendrograms for particular 14.04.2020–12.06.2020. Rysunki 1 i 2 przedstawia- periods. A dashed line marks the adopted place of the ją dendrogramy dla poszczególnych okresów. Prze- dendrogram’s division. rywaną linią zaznaczono przyjęte miejsce podziału dendrogramu.

Figure 1. Rysunek 1. Dendrogram for period I (12.01.2020–11.03.2020) Dendrogram dla danych za okres 12.01.2020–11.03.2020 Source: Own elaboration. Źródło: Opracowanie własne.

3 3 K. Kądziołka (2017b, 2018) wykorzystała grupowanie hierar- This method was used by Kądziołka (2017b, 2018) to construct chiczne do konstrukcji portfeli kryptowalut. Jednakże we wspo- cryptocurrency portfolios. In the first mentioned paper, there mnianych pracach były wykorzystane pewne inne modyfikacje was used the Ward’s method to linking clusters. In the second tej metody. W pierwszej z prac, z 2017, do wyznaczania odległo- paper, there was proposed to use as a dissimilarity measure ści między skupieniami wykorzystana została metoda Warda, a formula based on the Spearman’s correlation coefficient and natomiast w drugiej z prac, z 2018, do wyznaczania niepodo- this measure was finally used in comparisons of MVP strategy bieństwa między obiektami zaproponowano wykorzystanie for- and a strategy for determining weights of portfolio, proposed in muły bazującej nie na współczynniku korelacji liniowej, ale na that work. współczynniku korelacji Spearmana.

50 Comparison of selected portfolio strategies... Porównanie wybranych strategii portfelowych...

Figure 2. Rysunek 2. Dendrogram for period II (14.04.2020–12.06.2020) Dendrogram dla danych za okres 14.04.2020–12.06.2020 Source: Own elaboration. Źródło: Opracowanie własne.

In––group the case 1: of the first period, cryptocurrencies W––grupa przypadku 1 pierwszego okresu przyjęto podział were––group divided 2: into four groups: kryptowalut––grupa 2: na cztery grupy: ––group 3: {Ethereum Classic, Dash, Zcash} ––grupa 3:: {Ethereum Classic, Dash, Zcash} {Peercoin, Novacoin} {Peercoin, Novacoin} ––group 4: {Bitcoin, Litecoin, Ethereum, NEM, ––grupa 4: {Bitcoin, Litecoin, Ethereum, NEM, Mo- Monero, Ripple, Cardano, Stellar} ––nero, Ripple, Cardano, Stellar} {Chainlink, Tezos} {Chainlink, Tezos} In––group the case 1: of the second period, cryptocurrencies ––Wgrupa przypadku 1: drugiego okresu przyjęto podział were––group divided 2: into three groups: ––kryptowalutgrupa 2: na trzy grupy: {Novacoin} {Novacoin} ––group 3: {Bitcoin, Litecoin, Ethereum, Dash, ––grupa 3: {Bitcoin, Litecoin, Ethereum, Dash, Pe- Peercoin, Monero, Ripple, Zcash} ercoin, Monero, Ripple, Zcash} {Ethereum Classic, NEM, Cardano, {Ethereum Classic, NEM, Cardano, Cha- Chainlink, Stellar, Tezos} inlink, Stellar, Tezos} Portfolios were constructed in such a way that Portfele tworzono w ten sposób, że z każdej grupy one representative was selected from each group. wybierano po jednym reprezentancie wchodzącym In this way, 96 portfolios were obtained for the data w jego skład. W ten sposób dla danych z pierwszego from the first period. The portfolios weights were okresu uzyskano 96 portfeli, których wagi następnie then determined according to described methods. ustalano zgodnie z opisanymi metodami. Do oceny In the first case the data for the period 12.03.2020– stopy zwrotu portfeli wykorzystano w pierwszym 10.04.2020 were used to assess the realized rate przypadku dane za okres 12.03.2020–10.04.2020 of return of the portfolios (i.e. it was assumed that (tzn. przyjęto, że w dniu 12.03.2020 zakupiono on 12.03.2020 a cryptocurrency was bought in kryptowalutę w proporcjach odpowiadających wa- proportions corresponding to the portfolio weights, gom poszczególnych portfeli a w dniu 10.04.2020 ją and it was sold on 10.04.2020). For the data from sprzedano). Dla danych z drugiego okresu uzyskano the second period, 48 portfolios were obtained. In 48 portfeli, których wagi następnie ustalano zgod- the second case, the data for the period 13.06.2020– nie z opisanymi metodami. Do oceny stopy zwrotu 12.07.2020 were used to assess the realized portfolios portfeli wykorzystano w drugim przypadku dane za returns. okres 13.06.2020–12.07.2020.

51 Kinga Kądziołka Results and conclusions Wyniki i wnioski

Rates of return of short-term investments Stopy zwrotu inwestycji krótkoterminowych

Tables 1 and 2 show the rates of return of portfolios, W tabelach 1 i 2 przedstawiono zrealizowane which weights were determined in accordance to the stopy zwrotu portfeli, których wagi wyznaczano presented methods, based on data for the first and zgodnie z przedstawionymi metodami na podsta- second analyzed periods, respectively. The maximal wie danych dotyczących odpowiednio pierwszego rate of return for a given portfolio (among the rates i drugiego z analizowanych okresów. Kolorem sza- of return of the analyzed strategies) is marked in rym zaznaczono maksymalną dla danego portfela gray. In the case of the first period, most investments stopę zwrotu (wśród stóp zwrotu analizowanych would lead to a loss of capital (negative rates of strategii). W przypadku I okresu większość inwesty- return). In the second period, most of the portfolios cji prowadziłaby do straty części zainwestowanego were characterized by high rates of return. kapitału (ujemne stopy zwrotu). Z kolei w II okresie większość portfeli charakteryzowała się wysokimi stopami zwrotu. Table 1. Tabela 1. Return rates of the portfoliosElements (period of I) the portfolio/ Portfolio’s rate of return/ Stopy zwrotu portfeli (okres ISkładowe – dane testowe) portfela Stopa zwrotu portfela Portfolio/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Portfel Kryptowaluta Kryptowaluta Kryptowaluta Kryptowaluta MVP LPM CVaR 1/N 1 2 3 4 Bitcoin -7,60% Bitcoin -5,84% 1 Ethereum Classic Peercoin Chainlink -8,77% -8,55% -9,05% -7,16% 2 Ethereum Classic Peercoin Tezos -10,08% -10,20% -9,82% 4 -6,38% 3 Ethereum Classic Peercoin Litecoin Chainlink -7,89% -7,89% -8,13% -8,91% Ethereum Classic Peercoin Litecoin Tezos -8,90% -8,87% -8,90% -8,83% 5 Ethereum Classic Peercoin Ethereum Chainlink -9,27% -9,04% -10,13% NEM -7,89% 6 Ethereum Classic Peercoin Ethereum Tezos -10,49% -10,26% -10,91% NEM -7,74% 7 Ethereum Classic Peercoin Chainlink -9,09% -9,06% -9,73% -5,09% 8 Ethereum Classic Peercoin Tezos -10,28% -10,23% -10,51% -5,86% 9 Ethereum Classic Peercoin Monero Chainlink -7,51% -7,51% -7,56% -7,41% 10 Ethereum Classic Peercoin Monero Tezos -8,45% -8,43% -5,89% -6,07% 11 Ethereum Classic Peercoin Ripple Chainlink -7,79% -7,65% -8,43% -6,88% 12 Ethereum Classic Peercoin Ripple Tezos -8,75% -8,59% -9,20% -6,86% 13 Ethereum Classic Peercoin Cardano Chainlink -8,25% -8,11% -9,42% -6,35% 14 Ethereum Classic Peercoin Cardano Tezos -9,39% -9,12% -10,19% -6,51% 15 Ethereum Classic Peercoin Stellar Chainlink -7,98% -7,98% -7,06% Bitcoin -12,03% 16 Ethereum Classic Peercoin Stellar Tezos -8,75% -8,98% -7,12% Bitcoin -11,23% 17 Ethereum Classic Novacoin Chainlink -16,93% -29,57% -18,70% -17,78% 18 Ethereum Classic Novacoin Tezos -16,93% -30,15% -19,47% -18,55% 19 Ethereum Classic Novacoin Litecoin Chainlink -27,74% -28,12% -27,58% -19,79% 20 Ethereum Classic Novacoin Litecoin Tezos -28,65% -29,77% -28,16% -20,56% 21 Ethereum Classic Novacoin Ethereum Chainlink -23,10% -24,01% -23,69% NEM -19,39% 22 Ethereum Classic Novacoin Ethereum Tezos -23,65% -24,56% -24,24% NEM -20,16% 23 Ethereum Classic Novacoin Chainlink -24,15% -24,76% -21,94% -14,74% 24 Ethereum Classic Novacoin Tezos -25,22% -26,50% -23,99% -15,52% 25 Ethereum Classic Novacoin Monero Chainlink -26,95% -27,50% -29,39% -18,09% 26 Ethereum Classic Novacoin Monero Tezos -29,57% -28,93% -29,96% -18,86% 27 Ethereum Classic Novacoin Ripple Chainlink -19,59% -25,17% -28,71% -19,07% 28 Ethereum Classic Novacoin Ripple Tezos -21,28% -27,08% -29,28% -19,84% 29 Ethereum Classic Novacoin Cardano Chainlink -23,16% -25,27% -26,53% -16,00% 30 Ethereum Classic Novacoin Cardano Tezos -24,18% -25,85% -27,11% -16,78% 31 Ethereum Classic Novacoin Stellar Chainlink -25,40% -27,84% -27,11% Bitcoin -0,54% 32 Ethereum Classic Novacoin Stellar Tezos -25,23% -28,96% -27,69% Bitcoin -0,08% 33 Dash Peercoin Chainlink -8,37% -8,62% -2,72% 0,62% 34 Dash Peercoin Tezos -9,48% -10,40% -3,49% 35 Dash Peercoin Litecoin Chainlink -7,57% -8,17% -1,80%

52 Comparison of selected portfolio strategies... Porównanie wybranych strategii portfelowych... Elements of the portfolio/ Portfolio’s rate of return/ Składowe portfela Stopa zwrotu portfela Portfolio/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Portfel Kryptowaluta Kryptowaluta Kryptowaluta Kryptowaluta MVP LPM CVaR 1/N 1 2 3 4 0,62% 2,76% 36 Dash Peercoin Litecoin Tezos -8,16% -9,20% -2,57% 2,39% 37 Dash Peercoin Ethereum Chainlink -8,61% -9,20% -3,81% NEM 3,91% 38 Dash Peercoin Ethereum Tezos -9,87% -10,61% -4,58% NEM 3,53% 39 Dash Peercoin Chainlink -8,06% -9,22% -3,40% 1,24% 40 Dash Peercoin Tezos -9,15% -10,56% -4,18% 0,47% 41 Dash Peercoin Monero Chainlink -7,41% -7,80% -0,44% -0,05% 42 Dash Peercoin Monero Tezos -7,88% -8,76% -0,49% 44 -0,07% 43 Dash Peercoin Ripple Chainlink -7,58% -7,94% -2,10% 1,64% Dash Peercoin Ripple Tezos -8,14% -8,92% -2,88% 1,22% 45 Dash Peercoin Cardano Chainlink -7,74% -8,39% -3,09% 1,54% 46 Dash Peercoin Cardano Tezos -8,76% -9,45% -3,86% 1,90% 47 Dash Peercoin Stellar Chainlink -7,61% -8,27% -0,02% Bitcoin -11,86% 48 Dash Peercoin Stellar Tezos -8,02% -9,31% -0,80% Bitcoin -10,97% 49 Dash Novacoin Chainlink -16,37% -16,74% -12,37% -11,45% 50 Dash Novacoin Tezos -16,76% -17,21% -13,15% -12,23% 51 Dash Novacoin Litecoin Chainlink -24,48% -24,39% -16,97% -10,24% 52 Dash Novacoin Litecoin Tezos -25,61% -26,01% -17,02% -11,14% 53 Dash Novacoin Ethereum Chainlink -20,49% -21,34% -13,46% NEM -10,00% 54 Dash Novacoin Ethereum Tezos -21,02% -23,80% -14,23% NEM -10,37% 55 Dash Novacoin Chainlink -20,79% -20,51% -13,06% -8,41% 56 Dash Novacoin Tezos -22,04% -23,44% -13,83% -9,19% 57 Dash Novacoin Monero Chainlink -25,63% -25,16% -19,48% -11,76% 58 Dash Novacoin Monero Tezos -26,50% -26,11% -16,01% -12,53% 59 Dash Novacoin Ripple Chainlink -18,50% -23,13% -18,53% -12,74% 60 Dash Novacoin Ripple Tezos -19,15% -24,56% -16,39% -13,51% 61 Dash Novacoin Cardano Chainlink -21,28% -22,80% -15,28% -9,68% 62 Dash Novacoin Cardano Tezos -21,35% -23,85% -16,02% -10,45% 63 Dash Novacoin Stellar Chainlink -22,69% -24,07% -16,32% Bitcoin -2,87% 64 Dash Novacoin Stellar Tezos -21,14% -24,69% -17,58% Bitcoin -3,07% 65 Zcash Peercoin Chainlink -8,71% -8,50% -5,92% -2,52% 66 Zcash Peercoin Tezos -9,31% -10,08% -6,69% -2,53% 67 Zcash Peercoin Litecoin Chainlink -7,31% -7,71% -5,00% -6,41% 68 Zcash Peercoin Litecoin Tezos -7,58% -8,66% -5,77% -6,17% 69 Zcash Peercoin Ethereum Chainlink -8,72% -8,73% -7,00% NEM -3,43% 70 Zcash Peercoin Ethereum Tezos -9,22% -10,04% -7,78% NEM -3,34% 71 Zcash Peercoin Chainlink -8,41% -8,88% -6,60% -1,96% 72 Zcash Peercoin Tezos -8,81% -9,94% -7,38% -2,73% 73 Zcash Peercoin Monero Chainlink -6,95% -7,33% -2,80% -2,56% 74 Zcash Peercoin Monero Tezos -7,18% -8,22% -3,01% -2,77% 75 Zcash Peercoin Ripple Chainlink -7,37% -7,47% -5,30% -2,30% 76 Zcash Peercoin Ripple Tezos -7,49% -8,38% -6,08% -2,36% 77 Zcash Peercoin Cardano Chainlink -7,59% -7,93% -6,29% -2,54% 78 Zcash Peercoin Cardano Tezos -7,89% -8,91% -7,06% -2,03% 79 Zcash Peercoin Stellar Chainlink -7,40% -7,81% -3,22% Bitcoin -12,18% 80 Zcash Peercoin Stellar Tezos -7,68% -8,77% -4,00% Bitcoin -11,52% 81 Zcash Novacoin Chainlink -17,07% -22,54% -15,57% -14,65% 82 Zcash Novacoin Tezos -17,03% -17,56% -16,35% -15,43% 83 Zcash Novacoin Litecoin Chainlink -26,13% -27,09% -19,98% -16,66% 84 Zcash Novacoin Litecoin Tezos -26,07% -28,09% -21,32% -17,43% 85 Zcash Novacoin Ethereum Chainlink -22,52% -24,30% -24,50% NEM -16,26% 86 Zcash Novacoin Ethereum Tezos -22,28% -24,93% -25,05% NEM -17,03% 87 Zcash Novacoin Chainlink -22,78% -23,55% -17,89% 88 Zcash Novacoin Tezos -23,06% -25,62% -18,27%

53 Kinga Kądziołka Elements of the portfolio/ Portfolio’s rate of return/ Składowe portfela Stopa zwrotu portfela Portfolio/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Portfel Kryptowaluta Kryptowaluta Kryptowaluta Kryptowaluta MVP LPM CVaR 1/N 1 2 3 4 -11,61% -12,39% 89 Zcash Novacoin Monero Chainlink -26,93% -26,57% -22,30% -14,96% 90 Zcash Novacoin Monero Tezos -26,97% -27,66% -24,11% -15,73% 91 Zcash Novacoin Ripple Chainlink -19,65% -24,82% -21,43% -15,94% 92 Zcash Novacoin Ripple Tezos -20,37% -26,15% -23,06% -16,71% 93 Zcash Novacoin Cardano Chainlink -23,02% -25,02% -18,12% -12,88% 94 Zcash Novacoin Cardano Tezos -23,04% -25,62% -18,99% 95 Zcash Novacoin Stellar Chainlink -25,50% -26,79% -19,33% 96 Zcash Novacoin Stellar Tezos -25,32% -27,46% -20,60% -13,65% Source: Own elaboration. TableŹródło: 2. Opracowanie własne. Tabela 2. Return rates of the portfoliosElements (period of theII) portfolio/ Portfolio’s rate of return/ Stopy zwrotu portfeli (okresSkładowe II – dane testowe)portfela Stopa zwrotu portfela Portfolio/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Portfel Kryptowaluta Kryptowaluta Kryptowaluta MVP LPM CVaR 1/N 1 2 3 Bitcoin 0,22% Bitcoin NEM 0,95% 1 Novacoin Ethereum Classic 0,18% -0,26% -0,48% Bitcoin 18,27% 2 Novacoin 0,87% 0,44% -0,05% 4 Bitcoin 30,85% 3 Novacoin Cardano 12,81% 12,55% 12,55% Bitcoin 8,76% Novacoin Chainlink 28,81% 21,53% 15,59% Bitcoin -0,77% 5 Novacoin Stellar -1,28% -2,27% 3,73% 0,81% 6 Novacoin Tezos -0,95% -1,14% -1,83% NEM 2,07% 7 Novacoin Litecoin Ethereum Classic 0,79% 0,58% 0,29% 22,30% 8 Novacoin Litecoin 1,89% 1,48% 0,71% 32,31% 9 Novacoin Litecoin Cardano 21,93% 19,28% 19,04% 12,57% 10 Novacoin Litecoin Chainlink 31,31% 31,00% 16,35% 0,23% 11 Novacoin Litecoin Stellar 12,52% 11,05% 9,52% 1,12% 12 Novacoin Litecoin Tezos 0,22% 0,10% -0,01% NEM 2,13% 13 Novacoin Ethereum Ethereum Classic 1,11% 0,92% 0,56% 20,32% 14 Novacoin Ethereum 1,99% 1,77% 0,99% 30,51% 15 Novacoin Ethereum Cardano 12,53% 10,92% 19,31% 13,13% 16 Novacoin Ethereum Chainlink 29,05% 25,95% 16,63% 0,49% 17 Novacoin Ethereum Stellar 12,36% 0,85% 9,80% 0,54% 18 Novacoin Ethereum Tezos 0,44% 0,43% 0,27% NEM 1,73% 19 Novacoin Dash Ethereum Classic 0,48% 0,43% 0,04% 22,43% 20 Novacoin Dash 1,59% 1,44% 0,46% 30,04% 21 Novacoin Dash Cardano 22,27% 17,00% 18,78% 12,67% 22 Novacoin Dash Chainlink 28,69% 10,16% 16,10% -0,09% 23 Novacoin Dash Stellar 12,18% 8,85% 9,27% 2,06% 24 Novacoin Dash Tezos -0,12% -0,36% -0,26% NEM 3,18% 25 Novacoin Peercoin Ethereum Classic 2,05% 1,74% 1,54% 21,90% 26 Novacoin Peercoin 3,04% 2,72% 1,96% 33,51% 27 Novacoin Peercoin Cardano 15,14% 14,78% 20,29% 10,77% 28 Novacoin Peercoin Chainlink 30,98% 15,31% 17,60% 1,25% 29 Novacoin Peercoin Stellar 8,80% 10,33% 8,59% 2,79% 30 Novacoin Peercoin Tezos 0,99% 1,06% 1,14% NEM 3,78% 31 Novacoin Monero Ethereum Classic 2,16% 2,21% 1,85% 22,01% 32 Novacoin Monero 3,61% 2,55% 2,27% 26,20% 33 Novacoin Monero Cardano 21,84% 20,33% 20,60% 12,14% 34 Novacoin Monero Chainlink 25,28% 20,18% 17,92% 3,17% 35 Novacoin Monero Stellar 12,11% 11,13% 11,08% 36 Novacoin Monero Tezos 3,03% 1,55% 1,56%

54 Comparison of selected portfolio strategies... Porównanie wybranych strategii portfelowych... Elements of the portfolio/ Portfolio’s rate of return/ Składowe portfela Stopa zwrotu portfela Portfolio/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Cryptocurrency/ Portfel Kryptowaluta Kryptowaluta Kryptowaluta MVP LPM CVaR 1/N 1 2 3 2,33% NEM 3,31% 37 Novacoin Ripple Ethereum Classic 2,33% 1,99% 1,73% 25,57% 38 Novacoin Ripple 3,13% 2,60% 2,15% 32,09% 39 Novacoin Ripple Cardano 25,57% 19,86% 20,48% 15,53% 40 Novacoin Ripple Chainlink 31,81% 27,33% 17,80% 2,22% 41 Novacoin Ripple Stellar 15,31% 11,76% 10,96% 3,46% 42 Novacoin Ripple Tezos 2,20% 1,54% 1,44% 44 NEM 4,72% 43 Novacoin Zcash Ethereum Classic 3,35% 3,11% 3,02% 23,56% Novacoin Zcash 4,59% 4,72% 3,44% 33,13% 45 Novacoin Zcash Cardano 19,99% 20,45% 21,77% 15,32% 46 Novacoin Zcash Chainlink 30,06% 13,79% 19,08% 47 Novacoin Zcash Stellar 12,37% 11,50% 12,25% 48 Novacoin Zcash Tezos 1,20% 2,04% 0,94% 2,72% Source: Own elaboration. Źródło: Opracowanie własne.

In the case of period I, the equal - weighted W przypadku okresu I portfele, w których udział portfolios allowed most often to obtain the maximal poszczególnych składowych był taki sam (równe rate of return. During this period, the LPM strategy wagi) najczęściej pozwalały uzyskać maksymalną allowed to obtain the maximal rate of return for only stopę zwrotu. W tym okresie strategia LPM tylko one of the portfolios. In the second period, the LPM w przypadku jednego z portfeli prowadziła do uzy- strategy allowed to obtain the maximal rate of return skania maksymalnej stopy zwrotu. Z kolei w drugim for more than 50% of the analyzed portfolios. Table okresie strategia LPM dla ponad połowy rozważa- 3 presents the percentage of portfolios for which nych portfeli pozwoliła uzyskać maksymalną stopę analyzed strategies allowed to obtain the maximal zwrotu (spośród rozważanych czterech strategii rate of return. None of the analyzed strategies wyznaczania wag portfela). Tabela 3 przedstawia od- allowed to achieve in the both periods higher rate of setek portfeli w danym okresie, dla których poszcze- return more often than the others. gólne strategie pozwoliły uzyskać maksymalną (spo- Table 3. śród analizowanych strategii) stopę zwrotu. Tabela 3. Percentage of best scores for each strategy MVP LPM CVAR 1/N/ Równe wagi Odsetek najlepszych wyników poszczególnych strategii Period/ Okres I Period/ Okres II 6,25% 1,04% 45,83% 46,88% 25,00% 54,17% 8,33% 12,50% Source: Own elaboration. Źródło: Opracowanie własne. Benchmark vs. Reduced portfolios Portfele o zredukowanej liczbie składowych a portfel bazowy

For the analyzed periods, the rates of return of portfolios with reduced number of elements according Dla analizowanych okresów porównano zrealizo- to dendrograms were compared with the rates of wane stopy zwrotu portfeli o zredukowanym skła- return of benchmark portfolios (equal - weighted dzie ze stopami zwrotu portfeli, w których skład portfolios consisting of all 15 cryptocurrencies). In wchodziło wszystkie 15 kryptowalut w równych pro- the case of period I, only 21.35% of the portfolios porcjach (równe wagi). W przypadku okresu I tylko allowed to obtain a higher rate of return than the 21,35% zredukowanych portfeli pozwoliło uzyskać benchmark portfolio. The rate of return of benchmark wyższą stopę zwrotu niż portfel zawierający wszyst- portfolio, in this case the loss, was equal to -7.40%. In kie kryptowaluty, dla którego stopa zwrotu (w tym the case of period I, the average rate of return of the przypadku strata) wyniosła -7,40%. W przypadku analyzed reduced portfolios was equal to -13.58%. okresu I przeciętna stopa zwrotu zredukowanych In the case of period II, 43.23% of analyzed reduced portfeli wyniosła -13,58%. W przypadku okresu II portfolios allowed to achieve higher rate of return odsetek zredukowanych portfeli, które pozwoliły than the benchmark portfolio. The rate of return of uzyskać wyższą stopę zwrotu niż portfel zawierający benchmark portfolio was equal to 10.62%. In the wszystkie kryptowaluty (dla którego stopa zwrotu case of period II, the average rate of return of the wyniosła 10,62%), wyniósł 43,23%. W przypadku analyzed reduced portfolios was equal to 9.73%. okresu II przeciętna stopa zwrotu zredukowanych

55 Kinga Kądziołka

Table 4 presents the percentage of reduced portfolios portfeli wyniosła 9,73%. Tabela 4 przedstawia, jak which allowed for particular methods of determining kształtował się dla poszczególnych strategii odsetek the weights to achieve higher rate of return than the portfeli o zredukowanej liczbie składowych, pozwa- benchmark portfolio. lających uzyskać wyższą stopę zwrotu niż portfel 15-składnikowy o równych udziałach kryptowalut (nazwany tu portfelem bazowym).

The expected rates of return of portfolios with Oczekiwane stopy zwrotu portfeli o zreduko- reduced number of elements were often higher than wanej liczbie składników wg uzyskanych dendro- the expected rates of return of benchmark portfolios. gramów często były większe niż oczekiwane stopy For example, for data from period I, as many as 91,67% zwrotów dla portfeli benchmarkowych. Przykłado- of MVP - portfolios with a reduced number of elements wo, dla danych z okresu I aż 91,67% portfeli o zredu- were characterized by a higher expected daily rate kowanej liczbie składników, w których wagi ustala- of return than the benchmark portfolio, for which no zgodnie ze strategią MVP charakteryzowało się it was equal to 0,45%. However, the realized rate of wyższą oczekiwaną dzienną stopą zwrotu niż portfel return of investment in these portfolios was higher benchmarkowy, dla którego wynosiła ona 0,45%. Na- only for about 5% of them than the rate of return tomiast zrealizowana stopa zwrotu z inwestycji w te of the benchmark portfolio. There was observed portfele tylko dla około 5% z nich była wyższa niż negative correlation relationship between expected w przypadku portfela benchmarkowego. W przypad- and realized rate of return for MVP portfolios with ku portfeli MVP o zredukowanej liczbie składników reduced number of elements. Correlation coefficient współczynnik korelacji liniowej między oczekiwa- was equal to -0,199. ną dzienną i zrealizowaną stopą zwrotu był ujemny Duration of the investment vs. Achieved results iCzas wynosił trwania -0,199. inwestycji a uzyskiwane rezultaty

Analyzed strategies were then applied to long- Porównano ponadto dla dwóch arbitralnie wybra- term investments. There was made comparison for nych okresów i dwóch arbitralnie wybranych zbiorów two arbitrarily selected periods and two arbitrarily kryptowalut rozważane strategie w długim horyzon- selected sets of cryptocurrencies.4 There were used cie czasowym. Z uwagi na dynamiczną zmianę kur- active strategies with recalculation of the structure sów kryptowalut4 i niestabilność w dłuższym okresie of portfolios after each 30 days . In the first case the czasu zależności korelacyjnej między stopami zwrotu data for the period 28.07.2019–21.07.2020 were used kryptowalut , wykorzystano w analizie długotermi- (i.e. it was assumed, that cryptocurrency was bought nowej strategie aktywne, polegające na modyfikacji on 28.07.2019). The analyzed portfolios consisted wag co 30 dni po uwzględnieniu stóp zwrotu z ostat- of 5 cryptocurrencies (Bitcoin, Ethereum, Dash, nich 30 dni. W przypadku pierwszego okresu przy- Ripple and Chainlink). In the second case the data jęto czas trwania inwestycji 28.07.2019–21.07.2020 for the period 25.10.2019–21.07.2020 were used. The i założono, że inwestycja dokonywana jest w krypto- analyzed portfolios consisted of 3 cryptocurrencies waluty: Bitcoin, Ethereum, Dash, Ripple i Chainlink. (Bitcoin, Ethereum, Dash). In the first period, an W przypadku drugiego okresu przyjęto czas trwania investment in equal weights portfolio allowed to inwestycji 25.10.2019–21.07.2020 i założono, że in- achieve the highest (positive) rate of return. The westycja dokonywana jest w kryptowaluty: Bitcoin, realized rates of return of other analyzed strategies Ethereum, Dash. W przypadku inwestycji dla pierw- were negative. The worst result (the highest loss) szego okresu, inwestycja w portfel o równych wagach was obtained with the LPM strategy. In the second pozwoliła uzyskać najwyższą (dodatnią) stopę zwro- analyzed period, the LPM strategy5 allows to generate tu. Pozostałe strategie aktywne, uwzględniające mo- the highest rate of return . In the second case, the dyfikacje składu portfela doprowadziłyby do straty worst 4 result was obtained by the 1/N strategy. None części zainwestowanego kapitału. W analizowanym przypadku najgorszy wynik (największa strata) zo- This instability can be observed on the example of presented dendrograms (fig. 1, fig. 2). Structures of created clusters differ stał4 uzyskany w przypadku strategii LPM. Z kolei 5form each other significantly. w drugim analizowanym okresie to właśnie strategia In the presented examples transaction costs were omited. After Niestabilność wyników grupowania można zaobserwować na taking them into account, realized rates of return of the analy- przykładzie zaprezentowanych dendrogramów. Dla odstępu zed investments would be lower. In the case of active strategies, czasowego wynoszącego kilka miesięcy między danymi wyko- frequent recalculation of portfolios’ weights may have a signifi- rzystanymi do generowania dendrogramów, podziały krypto- cant impact on the profitability of portfolio. walut na grupy istotnie się różniły.

56 Comparison of selected portfolio strategies... Porównanie wybranych strategii portfelowych... sku of the analyzed active strategies, allows in both LPM5 umożliwiłaby wygenerowanie największego zy- considered periods to realize higher rate of return . Natomiast najgorszy rezultat zostałby uzyska- than the other analyzed strategies. Figures 3 and 4 ny przy wykorzystaniu strategii 1/N. Zatem podob- show the performance of analyzed strategies in two nie jak w przypadku inwestycji krótkoterminowych, selected periods. It was assumed that 100,000 USD również żadna z rozważanych aktywnych strate- was invested. gii długoterminowych, nie umożliwia w dowolnym okresie generowania większych zysków niż pozosta- łe analizowane strategie. Rysunki 3 i 4 przedstawiają zmiany stanu zainwestowanego kapitału w kolejnych dniach inwestycji w ramach poszczególnych okre- sów, przy założeniu, że zainwestowano 100 000 USD.

5 W prezentowanych rozważaniach pominięte zostały koszty transakcyjne, po uwzględnieniu których stopy zwrotu analizowanych inwestycji byłyby niższe. W przypadku strategii aktywnych, częsta zmiana składu portfela może mieć istotny wpływ na ich wysokość.

57 Kinga Kądziołka

In the case of long-term active investment W przypadku długoterminowych aktywnych stra- strategies, one of the crucial problem is to determine tegii inwestycyjnych problemem jest też wyznacze- the frequency of recalculation of portfolios’ weights. nie częstotliwości, z jaką należy aktualizować skład This problem is particularly important in the case of portfela. Problem ten jest szczególnie istotny w przy- investments in cryptocurrencies, due to instability padku inwestycji w kryptowaluty, gdyż, jak zostało of correlation relationships between their rates of zauważone, charakteryzują się one niestabilnością return in the long period. In the analyzed case of zależności między stopami zwrotu w dłuższym okre- active strategies, it was arbitrarily assumed that sie i większą zmiennością kursu niż np. waluty tra- the portfolios’ structure was recalculated once per dycyjne. W analizowanym przypadku strategii ak- 30 days. In the analyzed cases, the obtained weights tywnych przyjęto arbitralnie, że aktualizacja składu after each recalculation, differed often from each portfela następowała raz na 30 dni. W analizowanych other significantly. It was presented on the example przykładach można było zauważyć, że uzyskiwane of the structure of the Markowitz portfolio for the struktury wag poszczególnych składowych portfeli period I (Figure 5). w ramach kolejnych aktualizacji jego składu często istotnie się różniły w kolejnych okresach. Zostało to zaprezentowane na przykładzie składu portfela Mar- kowitza dla okresu I po kolejnych modyfikacjach wag (Rysunek 5).

Conclusions Podsumowanie

None of analyzed strategies allows to achieve Żadna z analizowanych strategii nie umożliwia higher rates of return in any given (arbitrarily w każdym (dowolnie wybranym) okresie osiągania selected) period than other analyzed strategies. częściej wyższych stóp zwrotu niż pozostałe ana- Portfolios with reduced number of elements in lizowane strategie. Portfele o zredukowanej liczbie most cases did not allow to achieve a higher rate of składników w większości przypadków nie umożli- return than the benchmark portfolios. There were wiały osiągnięcia wyższej stopy zwrotu niż port- portfolios with reduced number of cryptocurrencies fel bazowy o równych wagach składający się z 15 that allowed to achieve more than three times higher kryptowalut. Istniały portfele o zredukowanej licz- rates of return than the benchmark equal-weighted bie kryptowalut, które umożliwiały osiągnięcie po- portfolios consisting of 15 cryptocurrencies, nad trzykrotnie wyższej stopy zwrotu niż portfele however, in both of analyzed periods, for each of the bazowe składające się z 15 kryptowalut o równych considered strategies, the percentage of portfolios wagach, jednakże w obu analizowanych okresach, with a reduced number of elements that allowed dla każdej z rozważanych strategii, odsetek portfeli achieving a higher return rates than the benchmark o zredukowanej liczbie składników, które umożliwiły portfolios was less than 50%. osiągnięcie wyższej stopy zwrotu niż portfele bazo- There are many factors having an impact on the we był niższy niż 50%. rate of return of investment strategies, such as the Wpływ na stopę zwrotu portfeli inwestycyjnych choice of investment instruments included in the ma szereg czynników, jak np. wybór instrumentów

58 Comparison of selected portfolio strategies... Porównanie wybranych strategii portfelowych... portfolio, the method for determining its structure, inwestycyjnych wchodzących w skład portfela, meto- the frequency of weights recalculation, etc. There da ustalania jego składu i częstotliwość aktualizacji exists no universal method for determining these wag. Brak jest jednej, uniwersalnej metody wyzna- parameters, which would allow to obtain the maximal czania tych parametrów, która prowadziłaby w każ- rate of return in each case. dym przypadku do uzyskania maksymalnej stopy Making investment decisions, one should bear in zwrotu. mind that the realized rate of return may significantly Podejmując decyzje o zainwestowaniu środków, differ from the expected rate of return, which is only należy mieć na uwadze, że zazwyczaj towarzyszy a forecast. It was presented on the example of negative temu ryzyko. Oczekiwane stopy zwrotu portfeli in- correlation relationship between expected and westycyjnych są tylko pewnymi prognozami i zre- realized rate of return for MVP portfolios. Deciding alizowana stopa zwrotu może znacznie się od nich to invest funds, we shouldn’t forget about the risk. różnić. Sytuacja ta została zaprezentowana na przy- Investments in cryptocurrencies involve not only kładzie portfeli Markowitza, dla których zależność risk understood as the volatility of rates of return, korelacyjna między oczekiwaną i zrealizowaną sto- but also risk of the liquidity or the risk of collapse of pą zwrotu była ujemna. Należy też mieć na uwadze, cryptocurrency exchange (Kądziołka, 2015b, 2017). że z inwestycjami w kryptowaluty związane jest nie tylko ryzyko rozumiane jako zmienność stóp zwrotu, ale też m. in. ryzyko płynności czy ryzyko upadku giełdy walut kryptograficznych (Kądziołka, 2015b, 2017). References/ Literatura:

Polityki Europejskie, Finanse i Marketing 10 1. Borkowski, B., Krawiec, M. (2013). Modele zarządzania ryzykiem inwestycji kapitałowychFinance w sektorze Research rolno Letters, – spożywczym. 28, , (59), 64-78 (in Polish). 2. Brauneis, A., Mestel,Statystyczna R. (2019). Cryptocurrency-portfoliosanaliza danych z wykorzystaniem in a mean-variance programu R framework. 259- 4. 264. https://doi.org/10.1016/j.frl.2018.05.008 Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicz- 3. negoGatnar, we E. Wrocławiu (2009). 428, . Warszawa: Wydawnictwo PWN (in Polish). Gluzicka, A. (2016). Risk parity portfolios for selected measures of investment risk. , International 63-71. https://doi.org/10.15611/pn.2016.428.05 Journal of Economics and Financial Issues 7 5. Goudarzi, S., Jafari, M.J., Asfar, A. (2017). A Hybrid Model for Portfolio Optimization Based on Stock Clustering and DifferentAdvan- cesInvestment in Economics, Strategies. Business and Management Research 93, , (3), 602-608. 6. Hrytsiuk, P., Babych, T., Bachyshyna, L. (2019). Cryptocurrency Portfolio WspółczesnaOptimization Gospodarka, Using Value-At-Risk 6 Measure. , 385-389. https://doi.org/10.2991/smtesm-19.2019.75Rola informatyki w naukach ekonomicznych 7. iKądziołka, społecznych. K. (2015a).Innowacje Ocena i implikacje ryzyka interdyscyplinarne, inwestycji w kryptowalutę 1, bitcoin. (3), 1-8 (in Polish). 8. Kądziołka, K. (2015b). Transakcje kryptowalutą bitcoin – wybrane zagrożenia. Przedsię- biorstwo & Finanse, 2 24-35 (in Polish). 9. Kądziołka, K. (2017a). Ocena czasu funkcjonowania giełd Bitcoin z wykorzystaniem metod nieparametrycznych.Firma i Rynek, 1 (17), 103-114 (in Polish). 10. Kądziołka, K. (2017b). Zastosowanie strategii portfelowych do inwestycji w waluty kryptograficzne. Firma i Rynek, 1(51), 107-116 (in Polish). 11. Kądziołka, K. (2018). Zastosowanie metod grupowania hierarchicznego w strategiach portfelowych. (53), Firma115-124 i Rynek (in Polish).2 12. Kądziołka, K. (2020). Poziom dywersyfikacji a dochodowośćJournal of Finance, portfela 7 inwestycyjnego na przykładzie portfeli kryptowalut. , (58), 18-27 (in Polish). 13. Markowitz, H.M. (1952).Portfolio Portfolio selection: selection. efficient diversification of (1),investments 77-91. https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1952. tb01525.x https://doi.org/10.2307/2975974 Entropy 22 14. Markowitz, H.M. (1959). . New York: John Wiley and Sons. 15. Mercurio, P.J., Wu, Y., Xie, H. (2020). An Entropy – Based Approach to Portfolio Optimization.Studia Ekonomiczne, (3), Zeszyty 1-17. Naukowehttps://doi.org/10.3390/e22030332 Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach, 297 16. Pośpiech, E. (2016). Analiza porównawcza wybranych metod grupowania spółek giełdowych. Metody matematyczne, ekonometryczne i komputerowe w finansach, 153-165 i ubezpieczeniach (in Polish). 2010 17. Pichura, M. (2012). Wybrane portfelowe strategie inwestycyjne i ich efektywność. W: A. S. Barczak, D. Iskra (red.), (s. 220-240). Katowice:Economic Wydawnictwo Letters 171, Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach (in Polish). 18. Platanakis, E., Sutcliffe, C., Urquhart, A. (2018). Optimal vs naive diversification in cryptocurrencies.The Journal of Risk, 2( , . 93-96. https://doi.org/10.1016/j.econlet.2018.07.020 19. Rockafellar, R.T., Uryasev, S. (2000). Optimization of Conditional Value-at-Risk.Journal of Applied Finance & Banking,3), 21-41 2 https://doi.org/10.21314/JOR.2000.038 20. Sefiane, S., Benbouziane, M. (2012). Portfolio Selection Using Genetic Algorithm. Croatian(4), Operational143-154. Research Review 3, 21. Škarica, B., Lukač, Z. (2012). A Comparison of Basic and Extended Markowitz Model on Croatian Capital Market. Acta Physica Polonica, 8 , 236-244. 22. Skórska-Pokarowska, U. (2005). Effective Portfolios – Econometrics and Statistics in Search of Profitable Investments. (36), 2589-2599.

59 Kinga Kądziołka Przystępny kurs statystyki z zastosowaniem STATISTICA PL na przykładach z medycyny. Tom 3. Analizy wie- lowymiarowe 23. Stanisz, A. (2007). Studia Ekonomiczne, Prawne i Admini- stracyjne, 1, . Kraków: StatSoft (in Polish). 24. Stepaniuk, R. (2015). Ryzyko inwestycji w teorii portfelowej Harrego Markowitza. Central European141-151 (in Economic Polish). Journal 5 25. Ślepaczuk, R., Zenkova, M. (2018). Robustness of Support Vector Machines inFolia Algorithmic Oeconomica Trading Stetinensia on Cryptocurrency14 Mar- ket. , (52), 186-205. https://doi.org/10.1515/ceej-2018-0022 26. Tarczyński, W. (2014). Different variants of fundamental portfolio. , (1), 47-62. https://doi.org/10.2478/foli-2014-0104 27. www.coingecko.com (Data dostępu: 21.07.2020).