Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Eingebracht von Julia Lang
Angefertigt am Institut der Didaktik der Mathematik
Betreuer A. Univ. Prof. Univ. Doz. Dr. Jürgen Maaß
Mai 2017
Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen Ein Unterrichtsvorschlag zum Thema Skispringen für die Schule
Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades
Magistra der Naturwissenschaften im Diplomstudium
Lehramt Mathematik und Physik
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Eidesstattliche Erklärung
„Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe. Die vorliegende Diplomarbeit ist mit dem elektronisch übermittelten Textdokument identisch.“
Linz, Mai 2017
…...... Julia Lang
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Danksagung
Zuerst möchte ich mich vor allem bei meinem Betreuer A. Univ. Prof. Univ. Doz. Dr. Jürgen Maaß herzlichst bedanken. Er wusste anfangs noch nicht sehr viel über den Sport Skispringen, doch er hat sich intensiv mit diesem Thema auseinandergesetzt und mir stets weitergeholfen. Er hat mir einen hilfreichen Kontakt, zu Univ. Prof. Dr. Bernd Thaller, vermittelt. Dadurch konnte ich noch mehr Informationen zu diesem Sport erhalten. Herzlichen Dank auch dafür. Seine Kompetenz und ständige Bereitschaft waren für mich eine große Hilfe. Er hat es mir möglich gemacht, meine Begeisterung für den Sport so niederzuschreiben, dass der Sport auch für SchülerInnen greifbar und verständlich wird.
Anschließend darf ich mich bei meinen Eltern und meiner Familie bedanken, die es mir ermöglicht haben, dieses Studium zu absolvieren. Sie haben meine Begeisterung für diesen Sport immer unterstützt. Durch sie konnte ich schon in jungen Jahren diesen Sport und meine Sportidole live und vor Ort beobachten.
Weiters möchte ich mich bei meinen StudienkollegInnen bedanken. Ohne ihre Unterstützung wäre ich nie an dem Punkt angekommen, an dem ich meine Leidenschaft in Form einer Diplomarbeit niederschreiben darf. Danke für alles. Es war eine tolle Zeit und eine unbeschreibliche Lebenserfahrung.
Während meines Studiums und meiner Diplomarbeit hat es viele Menschen gegeben, ohne die ich niemals so weit gekommen wäre. Danke an alle, für eure Unterstützung.
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Inhaltsverzeichnis
1. Kurzfassung...... 6 1.1 Thema der Diplomarbeit...... 6 1.2 Zielsetzung...... 6 1.3 Durchführung des Unterrichtsvorschlags...... 7 2. Abstract...... 8 2.1 Topic of the diploma thesis...... 8 2.2 Purpose of the thesis...... 8 2.3 Methods of the execution...... 9 3. Motivation...... 10 4. Details und Hintergründe zu diesem Unterrichtsvorschlag...... 11 4.1 Idee...... 11 4.2 Warum dieses Thema...... 12 4.3 Vorwissen...... 13 4.4 Lernziele...... 14 4.4.1 Behandelte mathematische Kompetenzen...... 15 4.4.2 Behandelte physikalische Kompetenzen...... 16 4.5 Schulstufe und Bezug zum Lehrplan...... 16 4.5.1 Lehrplan AHS Physik ...... 17 4.5.2 Lehrplan AHS Mathematik...... 18 4.6 Ablauf und Umfang der Unterrichtsplanung...... 21 4.6.1 Gruppeneinteilung nach Hueber...... 22 5. Unterrichtsvorschlag: Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen ...... 24 5.1 Aufgabenblock 1: Einführung in den Sport Skispringen...... 24 5.1.1 Motivation...... 24 5.1.2 Allgemeine Infos zum Sport Skispringen...... 26 5.1.3 GeoGebra Simulation einer Skisprungschanze...... 44 5.1.4 Daten einer Schanze ...... 45 5.1.5 Mathematik beim Skispringen ...... 48 5.1.6 Didaktischer Kommentar zum Aufgabenblock 1...... 49 5.2 Aufgabenblock 2: Flugbahn und Aufsprungbahn...... 51 5.2.1 Flugbahn eines Skispringers...... 51 5.2.2 Aufsprungbahn...... 54 5.2.3 Didaktischer Kommentar zum Aufgabenblock 2...... 56 5.3 Aufgabenblock 3: Genaue Betrachtung von Sprunganlagen...... 57
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5.3.1 Schanzenanlage in Garmisch-Partenkirchen...... 57 5.3.2 Schanzenanlage in St.Moritz...... 60 5.3.3 Schanzenanlage Berg-Isel...... 62 5.3.4 Didaktisches Kommentar zum Aufgabenblock 3...... 64 5.4 Aufgabenblock 4: Ausflug in die Physik ...... 65 5.4.1 Finde die Physik im Sport Skispringen...... 65 5.4.2 Aerodynamik im Skisprungsport...... 66 5.4.3 Physikalische Einführung in den Sport...... 67 5.4.4 Schräger Wurf im Skisprung ...... 71 5.4.5 Kräfte beim Skispringen...... 76 5.4.6 Didaktischer Kommentar zum Aufgabenblock 4...... 79 5.5 Aufgabenblock 5: Entwicklungen im Skisprungsport (Gruppenaufgabe)...... 81 5.5.1 Warum keine größeren Schanzenanlagen?...... 81 5.5.2 Didaktischer Kommentar zum Aufgabenblock 5...... 82 5.6 Aufgabenblock 6: Baue deine eigene Schanzenanlage (Gruppenaufgabe)...... 83 5.6.1 Konstruktion deiner Schanzenanlage...... 83 5.6.2 Umsetzung deiner Konstruktion ...... 84 5.6.3 Didaktischer Kommentar zum Aufgabenblock 6...... 86 6. Aufgabenliste...... 87 7. Zusammenfassung...... 89 8. Abkürzungsverzeichnis...... 90 9. Tabellenverzeichnis...... 90 10. Abbildungsverzeichnis...... 91 11. Literaturverzeichnis...... 97
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1. Kurzfassung
1.1 Thema der Diplomarbeit
Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen: ein Unterrichtsvorschlag zum Thema Skispringen für die Schule.
1.2 Zielsetzung
Die SchülerInnen sollen anhand des Unterrichtsvorschlages viele mathematische Sachverhalte wiederholen und anwenden. Es soll gelernt werden, wie Mathematik anwendungsbezogen verwendet werden kann. Es sollen auch fächerübergreifende Problemstellungen gelöst werden. Auch soll durch den Unterrichtsvorschlag das Allgemeinwissen der SchülerInnen verbessert werden. Das Suchen von Antworten im Internet wird zusätzlich geübt.
Die SchülerInnen sollen aus der Sicht eines Sportlers verschiedene Phasen eines Sprunges genauer betrachten und die Mathematik, aber auch die Physik dahinter entdecken. Durch den Bezug zum Skisprung soll ihnen das Problemlösen mehr Spaß machen, denn ich möchte mich an der Interessenlage der SchülerInnen orientieren. Durch den abschließenden Arbeitsblock können sie ihre Überlegungen und ihre Ergebnisse umsetzten und sich selber mal wie ein Skispringer fühlen. Sie sollen dabei die vorher erarbeiteten Sachverhalte anwenden und umsetzen.
Das miteinbezogene Arbeiten in Gruppen fördert das gemeinsame Arbeiten an Problemen, das Sozialverhalten der SchülerInnen und das Klassenklima.
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1.3 Durchführung des Unterrichtsvorschlags
Anfangs möchte ich die SchülerInnen durch ein gemeinsames Gespräch in das Thema einführen. Sie bekommen dabei die Chance, zu erzählen, was sie schon über den Sport wissen. Vielleicht hat schon jemand Erfahrungen im Sport Skispringen gesammelt. Einige SchülerInnen haben eventuell auch tolle Geschichten zum Thema Skispringen zu erzählen. Dadurch soll sich herauskristallisieren, wofür sich die SchülerInnen besonders interessieren, wenn es um das Thema Skispringen geht. Wenn die SchülerInnen beispielsweise mehr über die Regeln im Sport Skispringen oder wie sich die Weitenpunkte berechnen lassen, wissen wollen, ist dazu ein Arbeitsblock in der Unterrichtsplanung zu finden. Falls sich einige SchülerInnen für die Kräfte, die während eines Sprunges wirken, interessieren, gibt es dazu ebenfalls einen Arbeitsblock im Unterrichtvorschlag.
Die anschließende Planung dreht sich rund um das Thema Skispringen. Sie sollen selbstständig an den Beispielen arbeiten können und ihr eigenes Tempo beim erledigen der Aufgaben finden. Trotzdem sollten sich die SchülerInnen die Zeit so einteilen, dass sie pünktlich mit den ausgegebenen Aufgaben fertig werden. Zeitmanagement ist dabei gefragt. Gut ist es, ihnen eine Aufgabenliste zu geben, wo sie festhalten können, welche Aufgaben sie schon erledigt haben und welche Aufgaben noch offen sind. Somit können sie sich die Zeit besser einteilen. Durch ein abschließendes Gespräch kann festgestellt werden, was den SchülerInnen besonders Spaß gemacht hat und was nicht. Ebenfalls kann man dadurch herausfinden, wo die SchülerInnen Schwierigkeiten hatten.
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2. Abstract
2.1 Topic of the diploma thesis
The mathematics behind the sport ski jumping: a proposal for lessons on the subject of ski jumping for school.
2.2 Purpose of the thesis
The students in school should repeat and exercise some mathematical chapters. The proposal for lessons in this thesis should help them to do this. So they should learn how to use applied mathematics. They should also solve interdisciplinary problems.
In addition the proposal for lessons should improve their general knowledge and the searching for answers in the internet should get improved. They students should see from the sight of a athlete the different stages of a ski jump and they should find the mathematics and the physics behind the sport ski jumping.
With the connection to sky jumping mathematics should be more fun doing. To work in groups is good for solving problems in groups, for the social behavior and for the climate in class.
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2.3 Methods of the execution
To start i want to speak with the students about the planing and about ski jumping. They also get the chance to tell what they know about ski jumping. Maybe someone has experiences or some good story's about ski-jumping. On this way I can find out something about the interests of the students to the topic ski-jumping. For example if they are interested in the rules of the sport ski-jumping or how the ski-jumpers get their points for a jump, you can find some exercises to this topic in the planing. The whole proposal for lessons is about ski jumping. They should work alone and independent on the exercises and so they should find their own tempo. But they should also show time management so that they can continue the exercises in time. It is good to give them a list with all the exercises. So they can hold on which exercises they have done and which exercises are still open to do. This should help them by their time management. At the end it is good to talk with them about the exercises. So you can find out where the students had problems and you can also find out which things were a lot of fun for them to do.
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3. Motivation
Skispringen ist ein Sport, der schon viele Menschen sehr beeindruckt hat, darunter auch mich. Schon als Kind wollte ich kein Skispringen im Fernsehen verpassen. Wenn man sich viele Springen ansieht, bekommt man auch viele Stürze der Athleten mit. Dabei merkt man, wie schmal der Grad zwischen fliegen und fallen ist.
Mich hat dabei schon immer interessiert, was die Springer, die fallen, anders gemacht haben, als die, die fliegen. Man konnte von außen keinen Unterschied erkennen. Mir wurde damals gesagt, dass ich das ohne Physikstudium nicht verstehen kann. Und hier bin ich. :)
Ich muss dazu sagen, dass mich nicht nur der Sport interessiert, sondern auch vor allem der Charakter der SportlerInnen, die diesen Sport ausüben. Schon als Kind hatte ich Skispringer auf meiner Zimmerwand hängen und deren Namen in meine Bücher geschrieben. Ich war fasziniert von den mutigen SportlerInnen. Daraufhin habe ich mich informiert, was man als Athlet absolvieren muss, bevor man auf solchen Schanzen springen darf. Ich habe dabei gelernt, dass diese Springer in ganz jungen Jahren auf sehr kleinen Schanzen beginnen.
Der lange Weg, bevor man im Weltcup springen darf, hat mich beeindruckt. Man muss so viele Wettkämpfe bestreiten, bevor man überhaupt von dem Verein zum Continentalcup kommt. Dort dürfen nur die Besten und die Gewinner zum Europacup. Über den Europacup muss man sich dann wieder über die FIS für den Weltcup qualifizieren. Es muss ein harter und manchmal deprimierender Weg sein.
Ich finde es sehr erfreulich, dass ich dieses Thema, das, wie meine Freunde und Familie wissen, immer schon faszinierend für mich war, nun auch in meiner Diplomarbeit bearbeiten darf. Was besseres hätte mir für meine Diplomarbeit nicht passieren können.
Ich wünsche allen, die sich dieser Diplomarbeit annehmen, viel Spaß beim lesen. :) Ich hoffe, dass es der eine oder der andere auch mal in der Schule einsetzen will. :)
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4. Details und Hintergründe zu diesem Unterrichtsvorschlag
4.1 Idee
Zur Einführung kann man mit den SchülerInnen darüber sprechen, was sie schon über Skispringen wissen. Vielleicht hat schon jemand Erfahrungen im Sport Skispringen gemacht. Je nach Interessenalge der SchülerInnen kann man dann die Aufgaben für den Unterricht auswählen. Die SchülerInnen bekommen dann einen Arbeitsbogen, den sie mit Hilfe des Internets und ihrem Vorwissen aus der Schule bearbeiten sollen. Der anschließende Arbeitsbogen dreht sich rund um das Thema Skispringen. Sie sollen hier aus der Sicht eines Sportlers verschiedene Phasen eines Sprunges genauer betrachten und die Mathematik, aber auch die Physik dahinter entdecken.
Sie sollen dabei nicht nur ihre Mathematik verbessern, sondern auch logisch Denken üben und anwendungsbezogene Beispiele behandeln. Bei vielen Aufgaben sollen die SchülerInnen lernen, wie man im Internet Antworten auf Fragen findet. Ich habe bei manchen Aufgaben darauf geachtet, dass nicht ich die Frage vorgebe, sondern dass sich die SchülerInnen selber überlegen sollen, was ihnen noch nicht klar ist und dann sollen sie die Antwort darauf suchen. Dabei müssen sie selber ihre Fragen formulieren. Das halte ich für sehr wichtig, auch für das spätere Berufsleben.
Der Arbeitsbogen ist fächerübergreifend und benötigt auch Vorwissen aus der Physik.
Vor allem sollte den SchülerInnen das Thema Mathematik durch den Anwendungsbezug mit Skispringen mehr Spaß machen. Sie sollen selbstständig daran arbeiten können und ihr eigenes Tempo beim Erledigen der Aufgaben finden. Trotzdem sollten sich die SchülerInnen die Zeit so einteilen können, dass sie pünktlich mit den Aufgaben fertig werden. Zeitmanagement ist dabei gefragt.
Wenn die Aufgaben des Arbeitsblockes erledigt sind, gibt es noch Gruppenarbeiten, wo die SchülerInnen einerseits noch eine Forschungsfrage zu lösen haben und im Anschluss bekommen sie die Möglichkeit, ihre eigene Schanze zu konstruieren und zu bauen.
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Die Idee hinter der ganzen Planung war, dass ich die SchülerInnen mehr für Mathematik interessieren möchte. Das möchte ich durch die Anwendungsbezogenen Beispiele schaffen. Ich möchte mich an der Interessenlage der SchülerInnen orientieren.
4.2 Warum dieses Thema
Das Thema kann gewählt werden, wenn es die SchülerInnen interessiert. Gut ist es auch, wenn die Lehrperson eine Begeisterung für diesen Sport aufbringen kann, da dies die SchülerInnen zusätzlich motivieren kann. Es ist ein anwendungsbezogenes Thema und vor allem im Winter bzw. nach der Vierschanzentournee, also nach den Ferien, gut einsetzbar, da es in dieser Zeit aktuell in den Medien besprochen wird. In Österreich ist Skispringen ein sehr populärer Sport. Es ist sogar der zweitbeliebteste Wintersport, nach Skifahren. Es gibt sehr viele erfolgreiche, österreichische Skispringer, die in den Medien stark vertreten und daher auch bekannt sind. Das macht den Sport für die SchülerInnen interessanter.
Mit den schwankenden Leistungen der österreichischen Skispringer schwankt auch das Interesse der SchülerInnen und die Medienpräsenz des Sportes.
Darauf sollte man vielleicht auch achten, wenn man dieses Thema im Unterricht einsetzen will.
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4.3 Vorwissen
Die SchülerInnen benötigen aus der Mathematik:
• Lesen von Diagrammen
• Gleichungen und Gleichungssysteme
• Trigonometrie (Winkelfunktionen)
• Umgang mit GeoGebra
• Kurvendiskussion
• Differentialrechnung
• ….
Die SchülerInnen benötigen aus der Physik:
• Schräger Wurf
• Bewegungslehre
• Grundwissen Aerodynamik (Auftriebskraft, Luftwiderstandskraft,...)
• Kräftegleichgewicht aufstellen
• Grundwissen Drehmoment (Was ist das?, Wo kommt es vor?, Was bewirkt es?, ...)
• Energieerhaltung
• ….
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4.4 Lernziele
Die Lernziele hängen stark davon ab, welchen Schwerpunkt man aufgrund der Interessen der SchülerInnen in diesem Sport, wählt. Wenn die Planung, so wie in dieser Diplomarbeit ausgearbeitet, durchgeführt wird, dann sollen die SchülerInnen dabei
• lernen, wie sie sich die Zeit einteilen müssen, um pünktlich mit den Aufgaben fertig
zu werden.
• mehr über den Umgang mit dem Internet lernen.
• lernen, wie man im Internet recherchiert und Antworten findet.
• den Bezug zur Mathematik in der Sportart Skispringen finden.
• den Bezug zur Physik in der Sportart Skispringen finden.
• ihr Allgemeinwissen erweitern.
• logisch Denken üben.
• die Flugbahn eines Skispringers mathematisch beschreiben können.
• die Weite des Springers mit Hilfe des Modells des schrägen Wurfes berechnen
können.
• Daten aus einer Graphik ablesen können.
• den Umgang mit GeoGebra üben.
• Winkelfunktionen wiederholen.
• die Kurvendiskussion wiederholen.
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• ein Gefühl dafür bekommen, warum die Skispringer genau in den heutigen
Stellungen die Schanze absolvieren.
• Teile der Differentialrechnung anwenden und verstehen können.
• wissen, welche Kräfte in welcher Phase auf den Skispringer wirken.
• die Aerodynamik beim Skispringen verstehen und wiederholen.
• wissen, wo beim Skispringen das Prinzip des Drehmoments ausgenutzt wird.
• die Energieerhaltung anwenden und wiederholen.
• durch das vorher angeeignete Wissen und mit Hilfe des Internets, in der Gruppe,
überlegen, warum keine größeren Schanzen gebaut werden.
• in Gruppen eine Schanze konstruieren und bauen.
4.4.1 Behandelte mathematische Kompetenzen
Die mathematischen Kompetenzen hängen wieder stark von den gewählten Aufgaben ab. Wird die Planung, so wie im Anschluss gezeigt, durchgeführt, so werden dabei folgende mathematische Kompetenzen behandelt.
• Funktionen zweiten Grades
• GeoGebra Computersystem
• Winkelfunktionen
• Kurvendiskussion
• Differentialrechnung
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4.4.2 Behandelte physikalische Kompetenzen
Die physikalischen Kompetenzen hängen ebenfalls stark von den gewählten Aufgaben ab. Wird die Planung, so wie im Anschluss gezeigt, durchgeführt, so werden dabei folgende physikalische Kompetenzen behandelt.
• Schräger Wurf
• Kräftegleichgewicht
• Aerodynamik
• Drehmoment
• Energieerhaltung
4.5 Schulstufe und Bezug zum Lehrplan
Das Thema bzw. der Unterrichtsvorschlag würde sich sehr gut für die 11. Schulstufe in der AHS eignen, zur Wiederholung und als Einstieg in das neue Jahr, im Jänner zum Beispiel. Im Jänner ist das Thema Skispringen sehr aktuell und in allen Medien, da zu dieser Zeit auch die Vierschanzentournee und anschließend die Raw-Air-Tour veranstaltet wird. In der Mathematik wurden dann schon Gleichungen und Gleichungssysteme, die Einführung in die Trigonometrie (Winkelfunktionen), die Kurvendiskussion und die Differentialrechnung durchgenommen. In der Physik wird in der 10. und 11. Schulstufe AHS die Bewegungslehre inkl. Schräger Wurf, Kräftegleichgewicht, Aerodynamik, Drehmoment und die Energieerhaltung besprochen, somit müssten alle Aufgaben in der 11. Schulstufe AHS für die SchülerInnen machbar sein.
Die Planung würde sich also sehr gut als Start in das neue Kalenderjahr in der 11. Schulstufe eignen.
Es sind auch viele Aufgaben dabei, die man schon vor der 11. Schulstufe einsetzen kann. Bei den BHS ist es schulabhängig bzw. zweigabhängig, wann der Unterrichtsvorschlag einsetzbar ist. In einer HTL mit Mechanikunterricht könnte die Planung schon in der 10. Schulstufe eingesetzt werden.
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4.5.1 Lehrplan AHS Physik
Lehrplan AHS Physik 5. bis 8. Klasse:
Abbildung 1: Originalauszug aus dem Lehrplan für AHS – Physik/5.-8. Klasse https://www.bmb.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_neu_ahs_10_11862.pdf
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4.5.2 Lehrplan AHS Mathematik
Lehrplan AHS Mathematik 5. bis 8. Klasse:
Abbildung 2: Originalauszug aus dem Lehrplan AHS – Mathematik/5.Klasse https://www.bmb.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_neu_ahs_07_11859.pdf
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Abbildung 3: Originalauszug aus dem Lehrplan AHS – Mathematik/6. Klasse https://www.bmb.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_neu_ahs_07_11859.pdf
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Abbildung 4: Originalauszug aus dem Lehrplan AHS – Mathematik/7. - 8.Klasse https://www.bmb.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_neu_ahs_07_11859.pdf
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4.6 Ablauf und Umfang der Unterrichtsplanung
Anfangs möchte ich die SchülerInnen mit einem gemeinsamen Gespräch in den Arbeitsbogen und in das Thema einführen. Die SchülerInnen bekommen dabei die Chance, zu erzählen, was sie schon über den Sport wissen. Vielleicht haben manche schon eigene Erfahrungen gemacht. Es gibt öfter die Möglichkeit, selber über einen Aufsprunghang runter zu fahren. Dabei bekommt man ein Gespür dafür, wie schnell man bei dieser Steigung werden kann und welche Kräfte auf einen wirken, wenn der Radius der Schanze die Richtung wechselt. Dann bekommen die SchülerInnen den Arbeitsbogen, den sie ca. in den nächsten 7 Einheiten bearbeiten sollen. Sie bekommen dazu eine Aufgabenliste, wo sie festhalten können, welche Aufgaben sie schon erledigt haben und welche Aufgaben noch offen sind. Somit können sie sich die Zeit besser einteilen. Anschließend gibt es noch Aufgaben in Gruppen. Bei der zweiten Gruppenarbeit dürfen die SchülerInnen eine Schanze konstruieren und bauen, dabei sollen sie lernen, auf welche Details man achten muss und wie man die Weite richtig bestimmt. Ebenfalls können sie dabei selber erfahren, welche Kräfte auf einen Skispringer wirken und wie sensibel dieser Sport ist. Die Umsetzung der Schanzenkonstruktion eignet sich sehr gut für den Skikurs. Vor allem braucht man dafür viel Schnee. Abschließend werden die Punkte, die für die SchülerInnen noch unklar sind, bzw. die Punkte, die stofflich für mich wichtig sind, gemeinsam besprochen.
Alle Aufgabenblöcke werden dann abgesammelt und von der Lehrperson kontrolliert.
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4.6.1 Gruppeneinteilung nach Hueber
In diesem Abschnitt möchte ich kurz ein paar Möglichkeiten dafür finden, wie man in der Schule die Klasse in Gruppen einteilen kann. Ich halte spezielle Methoden für sehr wichtig, da es sonst passieren kann, dass sich immer dieselben Schüler und SchülerInnen in einer Gruppe finden. Neue Gruppenpartner sind meiner Meinung nach wichtig, da man dann auch mal von Anderen was lernen kann und man muss zusätzlich lernen, wie man mit Menschen zusammenarbeitet, mit denen man bis jetzt noch nicht zusammen gearbeitet hat. Viele Studien zeigen, laut Hueber, dass das Arbeiten in Gruppen auch sehr förderlich für das Klima im Klassenzimmer und für das Sozialverhalten der SchülerInnen ist.
Abbildung 5: Bild zum Thema Gruppeneinteilung https://hu.hueber.de/media/36/Gruppen-bilden.pdf
Möglichkeiten zur Einteilung von Gruppen nach Hueber:
• Man kann verschiedenfarbige „Zuckerl“ mitbringen und die SchülerInnen, die die selbe Farbe ziehen, gehen in eine Gruppe. Dadurch kann man de Gruppen später auch gut unterscheiden (Gruppe orange, Gruppe Rot,...)
• Man kann auch einfach die SchülerInnen in eine Gruppe geben, die zur selben Zeit mit den anderen Arbeitsblöcken fertig geworden sind. Nachteil dabei ist, dass man die Gruppen nachher nicht unterscheiden kann und es ist gefährlich, dass wieder die gleichen SchülerInnen in eine Gruppe kommen, da sie vielleicht gemeinsam oder gleich schnell den Arbeitsbogen bearbeitet haben. Eine andere Gefahr dabei ist, dass die Schnelleren bzw. die Besseren und die Langsameren in eine Gruppe kommen, was evtl. nicht förderlich für den Lernfortschritt ist.
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• Man kann die SchülerInnen einfach abzählen lassen. Z.b. kann man die SchülerInnen immer bis 5 zählen lassen und alle 1er, 2er, 3er, 4er und 5er kommen zusammen. (Je nach Gruppengröße wählt man die größte zu zählende Zahl) Dadurch sind die Gruppen später auch noch unterscheidbar. (1er Gruppe, 2er Gruppe,...)
• Für zweier Gruppen kann man sehr gut Memory - Karten oder Spielkarten verwenden und diese von den SchülerInnen ziehen lassen. Alle Pärchen gehören zusammen. Man kann dabei die Gruppen später auch noch gut unterscheiden.
• ….
(Hueber, Gruppen bilden, Zugriff am 31.10.2016: https://hu.hueber.de/media/36/Gruppen-bilden.pdf)
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5. Unterrichtsvorschlag: Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Ich habe ein paar Aufgaben und mögliche Fragestellungen zum Thema Skispringen für den Mathematikunterricht ausgearbeitet. Wird die Planung, so wie hier aufgelistet, durchgeführt, so werden ca. 7 Einheiten dafür benötigt.
5.1 Aufgabenblock 1: Einführung in den Sport Skispringen
5.1.1 Motivation
Geringes Körpergewicht, hohe Sprungkraft, Aerodynamik im Flug und vor allem Mut entscheiden über den Erfolg eines Skispringers. Auch die Haltung zählt dazu. Der weiteste Sprung, bis jetzt, im Skisprungsport war der von Stefan Kraft auf 253,5 m. Wenn die Springer mit ca. 100 km/h zum Schanzentische kommen, sehen sie nicht, wohin sie springen. Sie müssen sich mit aller Kraft nach vorne werfen und darauf verlassen, dass ein Luftpolster sie auffängt und nach unten trägt. Drei Parameter beeinflussen dabei die Weite enorm: Die Abfluggeschwindigkeit normal zur Schanze, das richtige Drehmoment des Körpers beim Absprung und der Winkel zwischen Körperachse und Skier. Beim Skispringen gibt es viele, die sich diese Sportart gerne ansehen, aber nur wenige, die den Sport wirklich betreiben. Beim Sport Skifahren ist das wieder ganz anders. Der Grund liegt in der Schwierigkeit des Sportes. Nur wenige SportlerInnen besitzen die nötigen Voraussetzungen (Sprungkraft und Körpergewicht) und vor allem den nötigen Mut.
Die große Verletzungsgefahr macht es für viele Zuseher noch interessanter.
(Wikipedia: Skisprungweltrekorde, Zugriff am 15.05.17: https://de.wikipedia.org/wiki/Skiflugweltrekord)
(Leopold Mathelitsch, Sigrid Thaller: Menschliche Adler, Zugriff am 15.5.2017)
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Eine toller Film zum Thema Skispringen ist der Film „Eddie the Eagle – Alles ist möglich!“. Der Film beruht auf einer wahren Begebenheit. Es ist eine Filmbiographie über den britischen Skispringer Michael Edwards. In dem Film geht es darum, dass Eddie als Kind nur einen Traum hat und zwar, zu den olympischen Spielen zu fahren und daran teilzunehmen. Von seinen Eltern wird er für diesen Traum nur belächelt. Eddie trägt aus gesundheitlichen Gründen eine Scheibe in seinem linken Knie. Sport wurde somit für ihn in dieser Phase unmöglich. Doch nach ein paar Jahren ist sein Knie genesen. Ab diesem Zeitpunkt versucht er sich an verschiedenen olympischen Disziplinen. Die Geräte dazu hat er sich auf komische Art und Weise selber zusammengebaut.
Nachdem er dabei seinen Vater mit einem selbst gebastelten Speer fast verletzte, verbot dieser ihm jegliche Art von Sport. Eddies Traum konnte jedoch noch in Erfüllung gehen. Er versuchte sich an dem Sport Skispringen.
Trailer: https://www.youtube.com/watch?v=WGGOManHhtg
(Wikipedie: Eddie the Eagle – Alles ist möglich, Zugriff am 14.5.2017 https://de.wikipedia.org/wiki/Eddie_the_Eagle_%E2%80%93_Alles_ist_m%C3%B6glich)
Aufgabe 1: Sieh dir folgende Videos an: Sprung von Stefan Kraft auf 253,5 m: https://www.youtube.com/watch?v=B1sqyq2pXck Sprung von Gregor Schlierenzauer am Kulm auf 151,5 m: https://www.youtube.com/watch?v=9bC8s9sYMRg Sprung von Gregor Schlierenzauer auf 243,5 m: https://www.youtube.com/watch?v=8GkwGfhddk0
Sieh dir folgenden Film an: https://www.youtube.com/watch?v=WGGOManHhtg
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Aufgabe 2: Ist dir in den Videos oder in dem Film etwas aufgefallen, was dir nicht klar war? Schreibe diese Sachverhalte auf und suche die Antworten im Internet oder frage deine MitschülerInnen. Es wird für die nächsten Aufgaben nützlich sein, wenn du die Regeln im Skisprungsport verstanden hast.
5.1.2 Allgemeine Infos zum Sport Skispringen
Lese dir diesen Teil zu Hause gut durch. Du wirst die Infos sicherlich im Unterricht noch brauchen.
Ursprung und Herkunft der Sportart
Der Ursprung der Sportart Skispringen lässt sich auf die norwegischen Bergbauern aus der Provinz Telemark zurückführen. Bei der Abfahrt nutzten die Bauern Hügel und Geländeunebenheiten zu kleinen Sprüngen. Die ersten schriftlichen Aufzeichnungen zum Sport Skispringen stammen von norwegischen Seeoffizieren. Sie berichteten über Soldaten, die mit ihren Skiern über Scheunendächer und Holzhaufen sprangen.
Abbildung 6: Telemark, eine Provinz in Norwegen https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
Abbildung 7: Norwegische Soldaten beim Skispringen https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
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Der erste gemessene Sprung der Skisprunggeschichte war 1808 und die Weite betrug 9,5m. Mit den heutigen Weiten ist dieser Wert kaum zu vergleichen. Mit der Zeit wurde die Sportart immer interessanter für die Norweger, so dass sich der Sport vom traditionellen Skifahren abtrennte und zu einer eigenen Sportart entwickelte. Der erste Wettbewerb im Skispringen wurde 1871 in Kristiania, einem norwegischen Ort, ausgetragen. Dort wurde auch der erste Skisprungclub gegründet.
(Skispringen bei Was ist Was, Zugriff am 5.10.16: http://www.wasistwas.de/archiv-sport-kultur- details/skispringen.html)
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
Entwicklungen in der Skisprungtechnik
Die Techniken der Skispringer haben sich in den letzten Jahrzehnten deutlich verändert. Der Anlauf wurde früher mit den Händen an den Knöcheln absolviert, später wurden die Hände nach vorne gehalten. Heute absolviert man den Anlauf mit den Händen nach hinten. Die ersten Wettkämpfe wurden mit einem Stock in der Hand durchgeführt, um die Balance zu halten. Zu dieser Zeit wurde bis zu 25 m weit gesprungen. Später ruderten die Skispringer mit den Armen. Die Ski wurden dabei immer parallel gehalten. Danach wurde nicht mehr gerudert, sondern die Arme wurden gerade nach vorne gehalten. Die Beine wurden beim Flug auch mal angezogen und mal ausgezogen. Es gab Zeiten, da hatte fast jeder Springer im Wettkampf einen anderen Sprungstil.
Abbildung 8: Erste bildlich aufgezeichnete Sprungstil im Wettkampf https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
(Skispirngen, Wikipedia, Zugriff am 8.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen)
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1910 konnte der erste Springer, Sepp Bildstein, durch Vorlage des Oberkörpers, 40 m erreichen. Nach diesem Sprung sagte er, dass er sich durch vorlegen seines Körpers wie ein Vogel fühlen konnte. Abbildung 9: Sprungstil mit dem Oberkörper nach vorne von Sepp Bildstein https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
Die erste Bewegungsgleichung für die Flugphase wurde 1920 vom Schweizer R. Straumann veröffentlicht, wobei in dieser Version noch viele Faktoren vernachlässigt wurden. Er berücksichtigte allerdings verschiedene Sprungstile.
Laut Straumann war die günstigste Flugposition die gestreckte Körperhaltung mit 23° Vorlage. Seine Arbeit blieb allerdings noch bis 1950 unbeachtet. 1936 konnte Sepp Bradl in Planica mit rudernden Armen erstmals 100 m springen. 1987 entwickelte dann Jan Bokloev, aus versehen, im Training den V-Stil, mit dem er bis ins Flache springen konnte. Der neue Stil wurde vorerst mit hohen Punkteabzügen bestraft, jedoch war es den Springern trotzdem möglich, damit zu gewinnen, da man größere Weiten erzielen konnte und der Stil wurde somit zum Standard. Nachdem seine Konkurrenten auch den Sprungstil entdeckten, konnte Jan Bokoev nicht mehr mithalten und er verschwand aus dem Weltcup.
Abbildung 10: Jan Bokloev springt im V-Stil https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
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(Skispirngen Wikipedia, Zugriff am 8.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen)
(Skispringen bei Was ist Was, Zugriff am 5.10.16: http://www.wasistwas.de/archiv-sport-kultur- details/skispringen.html)
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
Phasen beim Skispringen
Bei einem Skisprung unterscheidet man zwischen vier Phasen:
• Anlaufphase • Absprungphase • Flugphase • Landephase
Abbildung 11: Die vier Phasen beim Skispringen https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
Jede einzelne Phase und auch die Übergänge zwischen den Phasen sollen von den Skispringern optimal absolviert werden, um eine möglichst große Weite zu erzielen. Das Zusammenwirken aller vier Phasen steht dabei im Vordergrund.
(Kinematische Analyse der Flugphase, Zugriff am 5.10.16: http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf)
29 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Unterschied zwischen Skispringen und Skifliegen - Schanzendaten
Vom Skispringen spricht man in diesem Sport nur, wenn der K-Punkt (Konstruktionspunkt) der Schanze unter 145 m liegt. Liegt der K-Punkt der Schanze über 145 m, so spricht man vom Skifliegen. Wenn der K-Punkt bei 145 m liegt, so liegt die Hillsize der Schanze etwa bei 185 m.
Abbildung 12: Bezeichnungen einer Schanze https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruktionspunk
Der K-Punkt gibt den optimalen Landepunkt an, er ist ein Maß für die steilste Stelle des Aufsprunghanges. Ab diesem Punkt geht die Landepiste in eine negative Krümmung über. Überspringt man den K-Punkt, so landet man flacher im Auslauf. Das kann gefährlich werden. Der Landewinkel wird größer. In der Nähe der Hillsize ist es schon nicht mehr einfach, für die Springer, zu landen. Die Hillsize gibt die Schanzengröße an. Genauer definiert geht die Hillsize so weit, dass das Schanzengefälle noch 32° ausmacht. Hillsize und K-Punkt werden mit roten Linien mit einem K bzw. einem HS davor auf der Schanzenanlage gekennzeichnet. Ab der Hillsize wird der Rest der Strecke als Auslauf bezeichnet. Dort kann der Skispringer seine Geschwindigkeit von ca. 90 km/h verringern. Abbildung 13: K-Punkt und Hillsize auf einer Schanze gekennzeichnet https://de.wikipedia.org/wiki/Hillsize
(Wikipedia Skisprung, Zugriff am 15.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Hillsize https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruktionspunk https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringent)
(Labudde-Skispringen, Zugriff am 17.10.16: http://de-motu.net/wp-content/uploads/downloads/2013/02/Labudde_Skispringen.pdf)
30 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Von der Startposition startet der Springer und geht in die Anlaufposition am Anlauf. Im Anlauf erreichen die Springer ca. Geschwindigkeiten von ca. 100 km/h. Als Schanzentisch wird der Punkt bezeichnet, wo die Springer vom Anlauf in die Flugphase übergehen. Oft sagt man auch Kante zum Schanzentisch. Bei der Kante wird abgesprungen. Der Schanzentisch gibt das Ende der Anlaufbahn an. Dort springt der Springer weg und geht von der Anlaufposition in die Flugphase über. Ab dort wird die Schanzenanlage als Aufsprunghang bezeichnet, da der Springer ab da theoretisch aufspringen kann.
Die Skisprungschanzen werden ferner noch in mehrere Gruppen unterteilt:
• Kleine Schanze (HS: 20–49 m – K-Punkt: 20–45 m) • Mittlere Schanze (HS: 50–84 m – K-Punkt: 46–74 m) • Normalschanze (HS: 85–109 m – K-Punkt: 75–99 m) • Großschanze (HS: über 110 m – K-Punkt: 100–130 m) • Flugschanze (HS: über 185 m – K-Punkt: 145–200 m)
(Skispringen Wikipedia, Zugriff am 6.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Skisprungschanze https://de.wikipedia.org/wiki/Hillsize https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruktionspunk https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen)
31 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Schanzendaten zur Anlaufbahn
Die Spur im Anlauf besteht meist aus einer eingefrästen Eisspur. Manchmal sieht man auch Metallspuren. Die Spur ist 12 cm breit, so dass genau der 11,5 cm breite Ski platz hat. Im Schrägriss soll der Anlauf, laut FIS, aus einem geradlinigen Abschnitt (nicht steiler als 35° geneigt), einem kreisförmigen Verbindungsstück und einem geradlinigen Endstück (nicht steiler als 10° geneigt) bestehen. Das letzte geradlinige Endstück des Anlaufs wird nach unten geneigt, damit die Springer beim abspringen keinen Rückwärtssalto, aufgrund des Luftwiederstandes, machen. Um die Reibung zwischen Ski und Eisspur möglichst gering zu halten, wird der Kunststoffbelag der Ski mit fluoriertem Wachs behandelt.
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
Schanzendaten zur Aufsprungbahn
Die Aufsprungbahn besteht aus einem gekrümmten Teil, der beim K-Punkt die Krümmung ändert und dann immer flacher wird, bis zum Auslauf. Auf der Aufsprunbahn wird der K-Punkt und die Hillsize gekennzeichnet.
Ebenfalls werden seit zwei Jahren auf der Aufsprungbahn die Weiten mit einem Laser gekennzeichnet, die der aktuelle Springer überspringen muss, um die Führung zu übernehmen.
Schanzendaten zum Auslauf
Der Auslauf geht von der Hillsize weg, wird dann flacher und ist mit einer Linie gekennzeichnet, der Sturzlinie. Bis zur Sturzlinie müssen die Skispringer in Telemarkposition fahren. Ab dieser Linie werden für die Haltung keine Punkte mehr abgezogen. Auch für einen Sturz, werden ab dieser Linie keine Punkte genommen.
32 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Das Ziel eines Skispringers im Weltcup:
Der Wettkampf besteht aus einer Qualifikation und anschließend aus zwei Durchgängen. Bei der Qualifikation können sich 50 Springer für den Hauptbewerb qualifizieren. Nur 30 dieser 50 Springer dürfen dann auch in den zweiten Finaldurchgang. Beim Skispringen gewinnt der, der für seine Sprünge in den zwei Durchgängen die meisten Punkte sammeln kann. Punkte gibt es vor allem für die Weite. Pro Meter bekommen die Springer Punkte. Ebenfalls gibt es Punkte von Wertungsrichtern, wobei der Sprungstil bewertet wird. Die Wertungsrichter bewerten die Weite, die Stellung in der Flugphase und die Landung. Sie legen auf die sichere Landung viel Wert. (Telemarklandung) Wer in den zwei Durchgängen die meisten Punkte sammeln kann, der hat gewonnen.
(Skispringen bei Was ist Was, Zugriff am 5.10.16: http://www.wasistwas.de/archiv-sport-kultur- details/skispringen.html)
Welche Aufgaben muss ein Skispringer beim Skispringen erfüllen?
Anlaufphase
Ziel in der Anlaufphase ist es, eine möglichst hohe Geschwindigkeit zu bekommen. Ein Stundenkilometer Unterschied kann bis zu 10 m Unterschied in der Weite hervorrufen. Für eine hohe Geschwindigkeit braucht der Springer einen geringen Luftwiderstand in der Anlaufphase, dafür nimmt er die Hockstellung ein. Eine geringe Reibung zwischen Ski und Anlaufbahn ist dazu auch essentiell. Abbildung 14: Skispringer in der Hockstellung https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_ AUIBigB&biw=1366&bih=635
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(Skispringen bei Was ist Was, Zugriff am 5.10.16: http://www.wasistwas.de/archiv-sport-kultur- details/skispringen.html)
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
Absprungphase
Ein Skispringer muss vor allem in den Beinen genügend Kraft haben, um den Absprung kräftig bewältigen zu können. Er muss präzise abspringen können, also genau bei der Kante des Anlaufs. Wenn er zu spät abspringt, geht der Druck ins Leere, wenn er zu früh abspringt, verliert er an Weite. Das Timing spielt hier sogar eine größere Rolle, als der kräftige Absprung.
Abbildung 15: Skispringer beim abspringen https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUC XiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Der Springer springt beim Absprung nach vorne und gibt somit dem Körper einen vorwärts gerichteten Drehimpuls, damit er aufgrund des Luftwiederstandes keinen Rückwärtssalto macht.
(Skispringen bei Was ist Was, Zugriff am 5.10.16: http://www.wasistwas.de/archiv-sport-kultur- details/skispringen.html)
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
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Flugphase
Die Flugphase wird beim Skispringen in zwei Abschnitte geteilt. Die erste Flugphase dauert vom Absprung bis hin zu dem Moment, wo der Springer seine endgültige Flugposition erreicht hat. In dieser Phase ist es wichtig, dass der Springer schnell in seine Position kommt und den richtigen Winkel vom Körper zum Ski findet. Abbildung 16: Gregor Schlierenzauer in der Flugphase https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_ AUIBigB&biw=1366&bih=635
Braucht er zu lange, um in die Flugposition zu kommen, so verliert er unnötig an Geschwindigkeit. Im zweiten Abschnitt hält der Springer seine Flugposition und fliegt entlang der Schanzenform. Ziel ist es, bei beiden Phasen, die Luftkräfte möglichst optional zu nutzen.
(Skispringen bei Was ist Was, Zugriff am 5.10.16: http://www.wasistwas.de/archiv-sport-kultur- details/skispringen.html)
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
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Landephase
Bei der Landung ist es wichtig, dass die Flugphase harmonisch in die Landephase übergeht. Die V-Phase im Flug wird zugunsten der Parallelstellung für die Landung aufgegeben. Der Druck, den ein Skispringer bei einer Landung im K-Bereich verspürt, ist mit dem Druck vergleichbar, wenn man aus einem halben Meter Höhe auf den Boden springt. Abbildung 17: Gregor Schlierenzauer bei der Landung https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_ AUIBigB&biw=1366&bih=635
Je weiter der Sprung über den K-Punkt hinaus reicht, desto größer wird dieser Druck, da der Auslauf immer flacher wird. Für eine bessere Balance werden beim Landen im Telemarkstil die Arme seitlich ausgestreckt. Die Füße sollten, auch für gute Haltungsnoten, etwa einen Abstand von einer Schuhlänge haben. Das Knie des hinteren Beines in der Schrittstellung, sollte auf Knöchelhöhe des vorderen Beines sein. Dies Haltung muss bis zur schwarzen Sturzlinie im Flachen eingehalten werden, sonst werden auch Punkte abgezogen.
(Skispringen bei Was ist Was, Zugriff am 5.10.16: http://www.wasistwas.de/archiv-sport-kultur- details/skispringen.html)
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
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Welche Materialeinschränkungen und Regeln gibt es beim Skispringen
Materialvorschriften
Die Skilänge darf 145% der Körpergröße betragen. Der Ski beim Skispringen darf aber nicht länger als 2,7 m sein. Hat der Springer einen geringeren Body-Mass-Index als 20, so muss er seine Ski kürzen. Die Breite liegt bei 11,5 cm und die Dicke der Ski bei 8 mm. Für alle Springer besteht Helm – und Anzugpflicht. Die Enge des Anzuges und das Material wird ebenfalls streng vorgeschrieben. Die Sportler tragen Einteiler mit maximalen Luftdurchlässigkeitswerten von 30 l/min – 40 l/min. Als Material dient der Chintz-Stoff, der 3 – 5 mm dick sein muss. Am Saisonbeginn werden die Anzüge vermessen und die Werte festgehalten. Während der Saison werden dann bei jedem Springen wieder Kontrollen durchgeführt. Anzüge und Sportler werden dabei mit einem digitalen Body- Scanner genau vermessen. Nach der Messung im Scanner dürfen die Springer nicht mehr am Anzug ziehen.
Abbildung 18: Skisprunganzug https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm =isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_ AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 19: Stefan Kraft im Body-Scanner, kurz vor seinem Sprung https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUC XiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
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(Skispringen bei Was ist Was, Zugriff am 5.10.16: http://www.wasistwas.de/archiv-sport-kultur- details/skispringen.html)
(Skispringen Wikipedia, Zugriff am 8.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen#Bewertung)
Durch die Bindung wird, wie beim Skifahren, der Ski mit dem Schuh verbunden. Die Bindung besteht aus drei Teilen, einer Halteplatte, einem Drehteller und einem Keil. Die Halteplatte ist auf dem Drehteller befestigt und hält den Schuh. Zwischen Ferse und Keil gibt es verschiedene Bindungsarten. Man kann ein Band oder einen Bindungsstab verwenden. 2010 wurde von Simon Ammann die sogenannte „Wunderbindung“ verwendet und zwar die gebogene Koppelstange. In diesem Jahr wurde er doppelter Olympiasieger. Seitdem benützen die meisten Nationen diese Bindungsart. Mit dieser Bindung ist eine flachere Skiführung möglich. (Siehe Abbildung 15) Wenn die Bindung weiter hinten am Ski sitzt, sind bessere Schräglagen möglich und der Winkel zwischen Springer und Ski kann verringert werden. Somit wird die „Anströmfläche“ vergrößert und der Auftrieb erhöht. Es sind weitere Sprünge möglich. Sitzt die Bindung weiter vorne, wird das Drehmoment des Skispringers reduziert. Die Kontrolle über die Ski wäre leichter. Mehr Stürze könnten somit verhindert werden. Aus Sicherheitsgründen wurde von der FIS daher festgelegt, dass das Verhältnis von Vorderskilänge zur Gesamtskilänge maximal 57% annehmen darf. Die Materialvorschriften wurden mit den Jahren immer strenger, mittlerweile wird sogar die Unterwäsche vorgeschrieben.
Abbildung 20: Links: Bindungsstab und gebogener Bindungsstab (flachere Skiführung möglich) Rechts: Skisprungschuhe https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUC XiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
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Abbildung 21: Noriaki Kasai, deutlich zu sehen, dass die Bindung weiter hinten am Ski sitzt https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUC XiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
(Skispringen auf skispringen.com, Zugriff am 27.10.2016: http://www.skispringen.com/glossar/bindung/)
(Universität Salzburg: Kinematische Analyse Skispringen, Zugriff am 24.10.16: http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf)
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
Regeln beim Skispringen
Die Startnummern sind für die Skispringer wichtig. Ohne Nummer werden die Springer disqualifiziert. Genauso werden jene Springer disqualifiziert, die nicht an die Materialvorschriften halten.
(Skispirngen Wikipedia, Zugriff am 8.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen#Bewertung)
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Wie werden Ergebnispunkte beim Skispringen berechnet
Beim Skispringen bekommt man für die Weite Punkte. Die Punkte werden pro Meter vergeben. Meistens gibt es 60 Grundpunkte, wenn man den K-Punkt der Schanze erreicht. Dann werden pro Meter weniger oder mehr Punkte abgezogen oder addiert.
Normalschanzen: 2 Punkte pro Meter Großschanze: 1,8 Punkte pro Meter Flugschanze: 1,2 Punkte pro Meter
Grund dafür, dass man auf größeren Schanzen weniger Punkte bekommt, ist, dass auf den größeren Schanzen die Streuung der verschiedenen Weiten der Springer größer ist.
(FIS Weitenpunkte, Zugriff am 5.10.16: http://www.skispringen.com/glossar/weitenpunkte/)
Addiert werden diese Punkte noch mit den Punkten der Wertungsrichter. Die fünf Wertungsrichter aus fünf verschiedenen Ländern, werden jedes mal neu ausgelost. Sie bewerten die Weite, die Flugphase, die Landung und die Ausfahrt bis zur Sturzlinie. Für einen Sprung können von jedem Wertungsrichter maximal 20 Punkte vergegeben werden. In 0,5 er Schritten werden Punkte abgezogen, falls zum Beispiel bei der Landung Fehler waren. Abschließend kann man noch Punkte mithilfe der Wind- und Gateregel dazu oder abgezogen bekommen. Die Windregel berücksichtigt die Windstärke. Die Windstärke wird durch Windsensoren gemessen. Bei Aufwind werden Punkte abgezogen, bei Rückenwind bekommt man Punkte dazu. Die Gateregel wird nur verwendet, falls während eines Durchgangs der Anlauf verlängert oder verkürzt werden muss. Es kann passieren, dass aufgrund der Wetterbedingung die Springer mehr oder weniger Anlauf brauchen, damit das Springen weiterhin fair verläuft bzw. die Springer nicht gefährdet werden. In diesem Fall wird dann mit der Gateregel im Vergleich zu den anderen Springern, die schon gesprungen sind, ausgeglichen.
(Skispirngen Wikipedia, Zugriff am 8.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen#Bewertung)
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Psychische Belastungen eines Skispringers
Ein Skispringer muss nicht nur die körperlichen Voraussetzungen mitbringen (geringe Körpermasse und hohe Sprungkraft), die er sich durch 8 h Training pro Tag erarbeitet. Er braucht auch viel Mut, um sich bei ca. 100 km/h nach vorne zu werfen. Beim Absprung sehen die Springer nicht, wo sie hin springen und sie verlassen sich darauf, dass sie von einem Luftpolster aufgefangen werden. Für die Springer ist jeder Sprung ein Adrenalinkick. Bei einem Interview in einer Fernsehshow mit Gregor Schlierenzauer hat er verraten, dass man vor jedem Sprung wieder Respekt hat und angespannt ist, aber das ist auch wichtig für eine gute Leistung. Manchmal ist der Adrenalinkick nach einem Sprung so groß, dass die Springer dann in der Nacht nicht schlafen können, weil sie noch so aufgeregt sind. Vor allem nach einem Sieg, bei dem auch noch der ganze Trubel mit den Medien und Fans dazu kommt, konnte Gregor oft nicht schlafen. Es ist aber wichtig für einen Skispringer, zur Ruhe zu kommen, um wieder Kräfte für den nächsten Tag zu sammeln.
In den Medien heißt es immer: “Kein Sport ist so ein Kopfsport, wie das Skispringen.“ Dabei meinen die Medien folgendes: Beim Skispringen wirkt es sich enorm aus, wie psychisch stabil du bist und wie viel Selbstvertrauen du gerade hast. Das wurde auch schon in vielen Statistiken nachgewiesen. Je mehr Selbstvertrauen du gerade hast, desto mehr kannst du an deine Grenzen gehen. Selbstbewusstere Skispringer schaffen es oft, sich während des Fluges mehr nach vorne zu beugen und den Kopf direkt zwischen die Skier zu befördern. Das führt zu einer größeren Weite, ist aber auch extrem riskant, da das Drehmoment überhand gewinnen kann und der Springer leichter abstürzen kann. Wenn dann eine Windböe kommt, ist das Sturzrisiko enorm groß.
Für einen Siegsprung ist dieses Risiko aber unverzichtbar.
Es gibt viele Skispringer, die ein Jahr lang alles gewinnen und die Saison darauf sind sie auf einmal aus dem Weltcup verschwunden, weil sie die Leistungen nicht mehr bringen können. Als Beispiel fällt mir dazu Thomas Diethart ein. Er hat die Vierschanzentournee gewonnen und verschwand dann aus der Bildfläche. In Interviews sagt er, dass er körperlich noch genauso fit wie früher sei, aber er bringe seinen Kopf nicht frei und kann daher seine Leistungen nicht auf die Schanze bringen.
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Genauso geht es gerade dem besten Skispringer aller Zeiten, Gregor Schlierenzauer, mit 54 Weltcupsiegen. Nachdem er ein paar mal nicht mehr gewinnen konnte und dann auch noch seine Beziehung zur Langzeitfreundin zerbrach, konnte er seinen Kopf für seine Sprünge nicht mehr frei bekommen, wie er selber sagt.
Selbstbewusst zu sein und ein stabiles, familiäres Umfeld sind für einen Skispringer sehr wichtig um erfolgreich zu sein. Man muss sich konzentrieren können und auch nach den Sprüngen wieder zur Ruhe kommen, um für längere Zeit erfolgreich zu sein, erklärt uns Gregor Schlierenzauer in einigen Interviews.
Reisetipp für Skisprung interessierte SchülerInnen
Abbildung 22: Skisprungsimulator in Saalfelden, Anfahrt https://www.jochen-schweizer.de/geschenk/kleines-skisprung-abenteuer,default,pd.html
In Saalfelden gibt es einen Skisprungsimulator. Dabei wird man an einen Rollschlitten befestigt und mit Drahtseilen verbunden. Bevor man sich hinunter stürzen darf, wird man mithilfe einer Grundschulung darauf vorbereitet. 150 m kann man mit dieser Vorrichtung fliegen. Gut zu wissen: Man muss 1,2 m groß sein und mindestens 50 Kilo wiegen. Abbildung 23: Skisprungsimulator in Saalfelden, Flug https://www.jochen-schweizer.de/geschenk/kleines-skisprung-abenteuer,default,pd.html
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(Skisprungsimulator Saalfelden, Zugriff am 8.10.16: https://www.jochen-schweizer.de/geschenk/kleines- skisprung-abenteuer,default,pd.html)
Wie kommt dabei Mathematik ins Spiel
MathematikerInnen können zum Beispiel Anlauf und Auslauf genau aufeinander abstimmen. Die MathematikerInnen berechnen dazu, wo der Skispringer vermutlich landen wird und wie die Radien von Anlauf und Schanze abgestimmt werden müssen. Auch die Länge des Auslaufes kann berechnet werden, damit die Springer hier ihre Geschwindigkeit auf 0 m/s reduzieren können. Im Skisprungsport geht es oft darum, noch weiter zu springen. MathematikerInnen können sich damit beschäftigen, wie man Schanzen konstruieren müsste, um noch weitere Sprünge zeigen zu können.
Bei jedem Springen spielt das Wetter eine große Rolle. Die MathematikerInnen können auch den Einfluss des Windes berechnen. Mithilfe von programmierten Computersystemen von MathematikerInnen wird das heutzutage automatisch gemacht. Kommt der Wind zu stark aus einer gefährlichen Richtung, wird der Springer nicht hinuntergelassen. Die Gesamtpunkte nach einen Sprung werden auch durch programmierte Computersysteme von MathematikerInnen ermittelt. Man kann sich auch damit beschäftigen, wie man auf den bestehenden Schanzen weiter springen kann. Auf der Bergisel Schanze in Innsbruck wurde ein modernes Messsystem für die österreichischen Springer eingerichtet, mit integrierten Druckmessplatten und Hochgeschwindigkeitskameras. Dadurch will man herausfinden, welche Werte verbessert werden müssen, damit die Springer noch weiter springen.
(Universität Salzburg: Kinematische Analyse Skispringen, Zugriff am 24.10.16: http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf)
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5.1.3 GeoGebra Simulation einer Skisprungschanze
Aufgabe 3: Gib den folgenden Link im Internet ein und probiere die Simulation aus: https://www.geogebra.org/m/ZgQYVq3y
(Geogebra, Zugriff am 15.10.16: https://www.geogebra.org/m/ZgQYVq3y)
Aufgabe 4: Achte genau auf die Flugbahn des Skispringers. Mit welchem physikalischen Modell lässt sich diese Flugbahn beschreiben?
Abbildung 24: Simulation Skisprungschanze GeoGebra https://www.geogebra.org/m/ZgQYVq3y Lösungsvorschlag: Die Flugbahn lässt sich mit dem physikalischen Modell des „Schrägen Wurfes“ beschreiben.
(Geogebra, Zugriff am 15.10.16: https://www.geogebra.org/m/ZgQYVq3y)
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5.1.4 Daten einer Schanze Aufgabe 5: Beschrifte mit Hilfe des Internets und der allgemeinen Infos (Abschnitt 5.1.2 der Diplomarbeit) folgende Abschnitte bzw. Punkte der Skisprungschanze in dem darunter liegendem Bild: K-Punkt, Hillsize, Auslauf, Startposition, Sturzlinie, Schanzentisch, Aufsprungbahn und Anlauf.
Abbildung 25: Profil einer Skisprungschanze https://www.geogebra.org/m/ZgQYVq3y Lösungsvorschlag:
Abbildung 26: Profil einer Skisprungschanze mit Kennzeichnungspunkte https://www.geogebra.org/m/ZgQYVq3y
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Aufgabe 6: Schreibe hier mit Hilfe der allgemeinen Infos (Abschnitt 5.1.2 der Diplomarbeit) und des Internets eine kurze Erklärung zu jedem Abschnitt bzw. Punkt der Schanze (max. 2-3 Sätze): K-Punkt, Hillsize, Startposition, Anlauf, Schanzentisch, Aufsprungbahn, Auslauf und Sturzlinie. Lösungsvorschlag: • K-Punkt: Wird kritischer Punkt oder auch Konstruktionspunkt genannt. Gibt den Punkt des Hügels an, der die größte Steigung hat. Die Schanzen werden so konstruiert, dass die Skispringer im Durchschnitt dort landen. Ab diesem Punkt wird das Gefälle drastisch flacher und der Radius der Aufsprungbahn ändert seine Richtung. Der Punkt wird im Skisprungsport, auf der Schanze, durch eine rote Linie mit einem K davor gekennzeichnet. • Hillsize: Ist ein Maß für die Größe einer Skisprungschanze. Genauer gesehen geht die Hillsize genau so weit, das dass Schanzengefälle der Aufsprungbahn noch 32° ausmacht. Die Hillsize wird durch eine rote Linie auf der Schanze mit einem HS davor gekennzeichnet. Ab der Hillsize beginnt der Auslauf.
Abbildung 27: Hillsize und K-Punkt auf der Schanze gekennzeichnet https://de.wikipedia.org/wiki/Hillsize
• Startposition: Auch Balken genannt. Auf den Balken setzten sich die Skispringer und von dort fahren sie weg und begeben sich in die Anlaufposition. • Anlauf: Als Anlauf wird die Bahn von der Startposition bis zum Schanzentisch bezeichnet. Hier holt sich der Skispringer in einer Eisspur oder in einer Metallbahn seine Geschwindigkeit von ca. 100 km/h. Der Anlauf weist meist Neigungen um die 35 ° auf. • Schanzentisch: Wird auch Kante genannt. An diesem Punkt springen die Springer von der Anlaufposition in die Flugphase. Die Anlaufbahn endet hier. Der Schanzentisch befindet sich ca. 3 m über dem Absprunghang.
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Der Schanzentisch ist ca. 10° nach unten geneigt. • Aufsprungbahn: Als Aufsprungbahn wird die ganze Strecke der Schanzenanlage, ab dem Schanzentisch, bis zum Auslauf bezeichnet, da hier der Skispringer theoretisch überall aufspringen kann. Der K-Punkt und die Hillsize werden am Aufsprunghang gekennzeichnet. • Auslauf: Als Auslauf wir der Schanzenabschnitt ab der Hillsize bezeichnet. Hier ist die Strecke weniger steil und wird immer flacher. Die Skispringer können somit ihre Geschwindigkeit von ca. 90 km/h reduzieren. • Sturzlinie: Bis zu dieser Linie müssen die Skispringer in Telemarkposition durchfahren, damit sie keine Punkte von den Wertungsrichtern abgezogen bekommen. Die Sturzlinie wird durch eine schwarze Linie gekennzeichnet. Sie wird auch deswegen Sturzlinie genannt, weil die Skispringer ab dieser Linie stürzen dürfen, ohne dass ihnen Punkte abgezogen werden. Die Sturzlinie befindet sich schon im flachen Teil der Schanzenanlage.
(Wikipedia Skisprung, Zugriff am 15.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruktionspunkt https://de.wikipedia.org/wiki/Hillsize)
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5.1.5 Mathematik beim Skispringen
Aufgabe 7: Wo könnten deiner Meinung nach künftig MathematikerInnen rund um das Thema Skispringen gebraucht werden? Lösungsvorschlag: MathematikerInnen berechnen • das Verhältnis von Anlauf zur Aufsprungbahn. • den K-Punkt und die Hillsize. • die Geschwindigkeiten im Anlauf und während der Flugphase. • die zulässigen Windgeschwindigkeiten. • die ungefähre Flugbahn für einen Springer. • was verändert werden muss, damit die Springer noch weiter springen. • Wind – und Gateregel (durch Computersysteme). • die Gesamtpunkte der Springer (durch Computersysteme). • wie lang der Anlauf sein muss, damit die Springer ihre Geschwindigkeit auf 0 m/s reduzieren können. • ….
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5.1.6 Didaktischer Kommentar zum Aufgabenblock 1
Durch den Aufgabenblock 1, mit dem Titel „Einführung in den Sport Skispringen“, sollen die SchülerInnen mal den Sport Skispringen kennen lernen. Die erste Aufgabe dient zur Motivation. Die Videos zeigen tolle Sprünge und man sieht die Begeisterung der Springer, der Trainer und der Fans. Man lernt dabei auch einiges über das Skispringen. Zusätzlich ist noch der Hinweis auf einen lustigen Film zum Thema Skispringen vorhanden. Im Anschluss sollen sie, in der Aufgabe 2, überlegen, ob ihnen bei den Videos etwas nicht klar ist. Das hat den Hintergrund, dass manche SchülerInnen die Regeln im Skisprung schon genau kennen und manche vielleicht noch nicht. Diese unklaren Sachverhalte sollen sie dann im Internet recherchieren. Dadurch soll das Suchen nach Antworten im Internet gefördert werden, was meiner Meinung nach für das restliche Schulleben, für das Studium und für das Berufsleben sehr wichtig ist. Ebenfalls wird ihnen hier nicht die Frage vorgegeben, sondern sie müssen selber überlegen, was ihnen noch nicht klar ist und die Frage eigenständig formulieren. Durch die allgemeinen Infos können sie viel Wissen sammeln, das sie in den folgenden Aufgaben benötigen werden.
Die dritte Aufgabe behandelt eine GeoGebra Simulation. Dabei sollen die SchülerInnen mal ein Gespür dafür bekommen, wie die Flugbahn eines Skispringers und überhaupt die Schanze beim Skispringen im Schrägriss aussieht. Ebenfalls können sie gleich erkennen, was passiert, wenn man die Geschwindigkeit verringert oder vergrößert. Sie sollen auch, in der Aufgabe 4, erkennen, mit welchem physikalischen Modell die Flugbahn eines Skispringers vergleichbar ist. Diese Aufgabe halte ich für die Einführung ebenfalls sehr wichtig, da sie dadurch gleich ein Gefühl für die Flugbahn und für Skisprungschanzen bekommen. Danach dürfen sie, in der Aufgabe 5, die Punkte bzw. Abschnitte einer Skisprungschanze erarbeiten. Dabei sollen sie in die Sprache im Skisprungsport eingeführt werden. Für die folgenden Aufgaben ist es auch wichtig, dass sie die Begriffe im Skisprungsport kennen. Die Beschriftung der Punkte auf der Schanze reicht allerdings nicht aus, sie sollen auch beschreiben, was die Punkte und Abschnitte bedeuten und warum sie gebraucht werden. Dafür folgt die Aufgabe 6.
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Die abschließende 7. Aufgabe in diesem Aufgabenblock halte ich für sehr wichtig. Hierbei sollen sie überlegen, wo Mathematik hinter dem Sport Skispringen steckt und wofür MathematikerInnen im Skisprungsport gebraucht werden. Diese Aufgabe wirkt, finde ich, sehr motivierend und man kann dabei schon erahnen, was in den nächsten Aufgaben auf einen zukommt. Passt also sehr gut in den Aufgabenblock der Einführung.
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5.2 Aufgabenblock 2: Flugbahn und Aufsprungbahn
5.2.1 Flugbahn eines Skispringers
Aufgabe 8: Finde allgemein eine Funktion, mit der sich annähernd die Flugbahn eines Skispringers beschreiben lässt. Die Funktion der Flugbahn wird ab jetzt mit f(x) bezeichnet.
Abbildung 28: Beispiel für eine Funktion von einer Flugbahn eines Skispringers http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen-150825.pdf Lösungsvorschlag: Die Flugbahn eines Skispringers lässt sich annähernd mit folgender Funktion beschreiben:
…..horizontale Entfernung vom Schanzentisch in m (Meter) …...vertikale Entfernung vom Schanzentisch in m (Meter) an der Stelle x
(Bifie Skispringen, Zugriff am 15.10.2016, http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen- 150825.pdf)
51 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
In der folgenden Grafik sieht man die Aufsprungbahn der Bergisel-Schanze eingezeichnet. (blau) Daneben ist ein Beispiel einer Flugbahn von einem Skispringer zu sehen. (rot)
Abbildung 29: Absprungbahn und Beispiel einer Flugbahn zur Bergisel-Schanze http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen-150825.pdf
Aufgabe 9: Gib die Koordinaten für den Landepunkt des virtuellen Skispringers aus der obigen Graphik an. Wie weit springt unser virtueller Skispringer laut der Graphik? Informiere dich, für die richtige Angabe der Ergebnisse, wie die Weite beim Skisprung gerundet wird. Lösungsvorschlag:
Aus der Grafik kann man folgenden Punkt ablesen:
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Weite des virtuellen Skispringers:
Unser virtueller Skispringer springt hier 84,85 m, also 84,5 m, da im Skisprung immer nur Angaben mit 0,5 m Unterschied angegeben werden und dabei wird immer abgerundet.
(Bifie Skispringen, Zugriff am 15.10.2016, http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen- 150825.pdf)
Aufgabe 10: Ermittle den Wert der Konstante aus der obigen Funktion der Flugbahn des virtuellen Skispringers. Lösungsvorschlag:
Wir kennen aus vorheriger Aufgabe den Aufsprungpunkt:
Einsetzen:
(Bifie Skispringen, Zugriff am 15.10.2016, http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen- 150825.pdf)
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Aufgabe 11: Überlege, was passiert mathematisch und was könnte mit dem Springer passieren, wenn a verkürzt oder verlängert wird? Lösungsvorschlag: Der Parameter a legt die Form der Parabel für die Flugbahn fest. Wird a verringert, so wird die Parabel schmäler und umgekehrt wird a verlängert, so wird die Parabel breiter. Genauso betrifft das auch die Flugweite des Springers. Wird a verringert, dann ist die Flugbahn kürzer, wird a verlängert, dann ist die Flugbahn länger.
(Bifie Skispringen, Zugriff am 15.10.2016, http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen- 150825.pdf)
5.2.2 Aufsprungbahn
Abbildung 30: Absprungbahn und Beispiel einer Flugbahn zur Bergisel-Schanze http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen-150825.pdf
Die Funktion des Aufsprunghanges wird ab jetzt mit g(x) bezeichnet.
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Aufgabe 12: Wir suchen einen Punkt des Funktionsgraphen g, in dem der Hang auch das Größte Gefälle aufweist. Um welchen Punkt des Graphen handelt es sich mathematisch gesehen?
Lösungsvorschläge: Das größte Gefälle des Aufsprunghanges wird im Wendepunkt der Funktion g des Aufsprunghanges erreicht.
Aufgabe 13: Wie wird der oben, in Aufgabe 12, gesuchte Punkt im Skisprungsport noch genannt?
Lösungsvorschläge: Im Skisprungsport wird der Punkt auch als K-Punkt (kritischer Punkt) bezeichnet.
(Bifie Skispringen, Zugriff am 15.10.2016, http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen- 150825.pdf)
Aufgabe 14: Beschreibe, ohne Rechnung, wie man die x-Koordinate des Punktes aus Aufgabe 12 und 13 berechnen würde?
Lösungsvorschlag: Im Wendepunkt einer Funktion ist die 2.Ableitung gleich Null, so erhält man den x-Wert des Wendepunktes als Lösung der Gleichung:
Den dazugehörigen y-Wert kann man sich dann über die Funktionsgleichung des Aufsprunghanges g(x) berechnen.
(Bifie Skispringen, Zugriff am 15.10.2016, http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen- 150825.pdf)
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5.2.3 Didaktischer Kommentar zum Aufgabenblock 2
Im Aufgabenblock 2 geht es darum, sich näher mit der Flugbahn und der Aufsprungbahn beim Skispringen zu beschäftigen. In der 8. Aufgabe dürfen die SchülerInnen gleich auf eigene Faust eine Funktion für die Flugbahn eines Skispringers finden. Das sollte in der 11. Schulstufe kein Problem darstellen. In der nächsten Graphik kann man sehr schön Flug – und Aufsprungbahn sehen und wie sie sich zueinander verhalten. In der Aufgabe 9, sollen sie dann aus der Graphik den Landepunkt des virtuellen Skispringers ablesen und die Flugweite dazu berechnen. Bei der Aufgabe 10 können sie dann mit der vorher entwickelten Funktion arbeiten und den abgelesenen Punkt einsetzen. Danach, in der Aufgabe 11, sollen die SchülerInnen überlegen, was passiert, wenn man den konstanten Parameter der entwickelten Funktion verkürzt oder verlängert. Sie sollen dabei die Auswirkungen für den Skispringer und die mathematischen Auswirkungen finden. Die nächste Aufgabe, Aufgabe 12, beschäftigt sich mit der Aufsprungbahn. Hierbei wird die Kurvendiskussion, die im Skisprungsport auch eine große Rolle spielt, wiederholt, vor allem geht es um den Wendepunkt, der auf der Aufsprungbahn im Skisprungsport als K- Punkt bezeichnet wird. (Siehe Aufgabe 13) Aufgabe 14 beschäftigt sich ebenfalls mit der mathematischen Beschreibung des Wendepunktes (zweite Ableitung).
Mit Hilfe des zweiten Aufgabenblockes sollen sie sich die Mathematik hinter Flug – und Absprungbahn erarbeiten. Für den gesamten Aufgabenblock wird kein Internet benötigt. Die Aufgaben benötigen die Kurvendiskussion und das Themengebiet Funktionen und Ableitungen. Die Aufgaben sollten ohne Hilfe in der 11. Schulstufe machbar sein.
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5.3 Aufgabenblock 3: Genaue Betrachtung von Sprunganlagen
5.3.1 Schanzenanlage in Garmisch-Partenkirchen
Abbildung 31: Schanzenanlage in Garmisch-Partenkirchen bei der Vierschanzentournee https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUC XiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635#tbm=isch&q=schanze+garmisch+partenkirchen
Abbildung 32: Schanzenanlage im Profil http://brpmathe.jimdo.com/%C3%BCbungen-f%C3%BCr-die-matura/
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Aufgabe 15: Der geradlinige Teil der Anlage (Punkt A bis B, siehe Abbildung 32, Schanzenanlage im Profil) hat eine Neigung von 34°. Um wie viel verlängert sich der Anlauf, wenn man einen 5 m höheren Startplatz wählt? Lösungsvorschlag: Winkelfunktionen:
(Übungen für die Berufsreifeprüfung Skispringen, Zugriff am 29.10.16: http://brpmathe.jimdo.com/ %C3%BCbungen-f%C3%BCr-die-matura/)
Aufgabe 16: Der Übergangsbogen (Punkt P bis Q) sorgt dafür, dass die Krümmung der Bahn gleichmäßig zunimmt. Erkläre, warum eine Kurve dritten Grades für die Beschreibung des Abschnittes geeignet wäre? Lösungsvorschlag: Die Krümmung von einer Kurve ist durch die zweite Ableitung gegeben. Die 2.Ableitung einer Funktion dritten Grades ist eine lineare Funktion, sie nimmt also gleichmäßig zu.
(Übungen für die Berufsreifeprüfung Skispringen, Zugriff am 29.10.16: http://brpmathe.jimdo.com/ %C3%BCbungen-f%C3%BCr-die-matura/)
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Aufgabe 17: Der K-Punkt der Schanzenanlage in Garmisch-Partenkirchen liegt bei 125 m. Für einen Sprung auf 125 m erhält der Springer 60 Weitenpunkte. Für jeden Meter über oder unter 125 m werden Punkte addiert oder Punkte abgezogen. 1.) Wie viel Punkte bekommt man auf einer Normalschanze, Großschanze und auf einer Flugschanze pro Meter mehr oder weniger, wenn man weiter oder weniger weit als bis zum K-Punkt springt? 2.) Finde hier eine Formel zur Berechnung der Weitenpunkte. 3.) Beim Neujahrsspringen im Jahre 2012 sprang Gregor Schlierenzauer 138 m. Wie viele Weitenpunkte hat er für diesen Sprung bekommen? 4.) Wie weit sprang er im zweiten Durchgang, wenn er 76,5 Weitenpunkte bekommen hat? Lösungsvorschlag: 1.) Normalschanzen: 2 Punkte pro Meter Großschanze: 1,8 Punkte pro Meter Flugschanze: 1,2 Punkte pro Meter 2.)
3.)
4.)
(Übungen für die Berufsreifeprüfung Skispringen, Zugriff am 29.10.16: http://brpmathe.jimdo.com/ %C3%BCbungen-f%C3%BCr-die-matura/)
59 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
5.3.2 Schanzenanlage in St.Moritz
Abbildung 33: Schanzenanlage in St.Moritz https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUC XiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635#tbm=isch&q=schanze+st+moritz
Hier könnt ihr das Schanzenprofil der Anlage in St.Moritz sehen.
Abbildung 34: Schanzenprofil in St.Moritz http://de-motu.net/wp-content/uploads/downloads/2013/02/Labudde_Skispringen.pdf
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Aufgabe 18: Gib den K-Punkt in Meter von der obigen Schanzenanlage an.
Lösungsvorschlag: Auf dieser Schanze liegt der K-Punkt auf 92 m. Siehe Schanzenprofil: 72m + 20m = 92m
(Labudde-Skispringen, Zugriff am 17.10.16: http://de-motu.net/wp-content/uploads/downloads/2013/02/Labudde_Skispringen.pdf)
Aufgabe 19: Berechne, mit Hilfe der im vorherigen Aufgabenblock entwickelten Funktion, die Polynomfunktion für die Aufsprungbahn (hier Landebereich) vom Schanzentisch bis zu dem Punkt NP. (NP bedeutet Normalpunkt und stand früher für die Durchschnittsweite der Skispringer, diese Weite hat sich über die Jahre verändert. Der Begriff wird heute nicht mehr verwendet.)
Wähle ein geeignetes Koordinatensystem!!
Lösungsvorschlag:
Punkt einsetzen:
Polynomfunktion:
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5.3.3 Schanzenanlage Berg-Isel
Die Bergisel-Schanze gehört zu den bekanntesten Schanzenanlagen Österreichs. Sie ist ein Wahrzeichen von Innsbruck.
Mit einem Aufzug kommt man vom östlichen Stadioneingang bis zur Spitze des Schanzenturms.
Abbildung 35: Schanzenanlage in Innsbruck https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_ AUIBigB&biw=1366&bih=635#tbm=isch&q=schanze+innsbruck
Aufgabe 20: Welche Strecke legt dieser Aufzug zurück, wenn er mit 7,5 km/h fährt und die Besucher in 2 Minuten zur Spitze des Schanzenturms bringt? (Gib das Ergebnis in m/s an)
Lösungsvorschlag:
Es werden 250 m zurückgelegt.
(Bifie Skispringen, Zugriff am 15.10.2016, http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen- 150825.pdf)
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Aufgabe 21: Auf der Schanze können die Weitenpunkte nach folgender Formel berechnet werden:
Welchem Funktionsgraphen entspricht diese Gleichung? Woran erkennst du an der Funktion, ob es sich um eine Normalschanze, Großschanze oder um eine Flugschanze handelt?
Abbildung 36: Beispiele für Funktionsgraphen für diese Gleichung http://brpmathe.jimdo.com/%C3%BCbungen-f%C3%BCr-die-matura/
Lösungsvorschlag: Das mittlere Bild, k ist hier positiv und d ist negativ. Es handelt sich um eine Normalschanze. Erkennbar an dem 2er, mit dem die Flugweiten Differenz vom K-Punkt weg multipliziert wird. 2 Punkte für jeden Meter mehr oder weniger.
(Übungen für die Berufsreifeprüfung Skispringen, Zugriff am 29.10.16: http://brpmathe.jimdo.com/ %C3%BCbungen-f%C3%BCr-die-matura/)
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5.3.4 Didaktisches Kommentar zum Aufgabenblock 3
Im Aufgabenblock 3 werden reale Schanzenanlagen näher betrachtet. Hauptsächlich wird in diesem Aufgabenblock das Thema Funktionen behandelt. Begonnen wird mit der Schanze in Garmisch-Partenkirchen, die eine sehr beliebte Schanze, auch für ÖsterreicherInnen ist, da die Schanze nicht weit weg von Österreich liegt und viele ÖsterreicherInnen sich dort die Vierschanzentournee ansehen. Die Schanze ist sehr bekannt. Bei der Aufgabe 15 werden nur Winkelfunktionen benötigt. Bei der Aufgabe 16 müssen die SchülerInnen näher über Funktionen von Ableitungen nachdenken. Bei der Aufgabe 17 sollen Weitenpunkte, auch im Bezug auf Gregor Schlierenzauer, berechnet werden. Bei der nächsten Schanzenanlage, sollen sie den K-Punkt finden, danach geht es in Aufgabe 19 darum, die Polynomfunktion der Aufsprungbahn zu finden. Bei den Aufgaben zur Bergisel-Schanze dürfen sie sich in Aufgabe 20 zuerst mit dem berühmten Bergisel-Aufzug beschäftigen. Einige SchülerInnen sind vielleicht schon mal damit gefahren. Danach geht es bei Aufgabe 21 um die Weitenpunkte auf dieser Schanze. Sie müssen den passenden Graphen zur Funktion der Weitenpunkte finden. Dadurch wiederholen sie erneut das Thema Funktionen. Ebenfalls müssen sie sich wieder damit auseinandersetzten, wie die Weitenpunkte berechnet werden und wie viele Punkte man auf Normalschanzen, Großschanzen und Flugschanzen bekommt.
Da die Aufgaben in diesem Aufgabenblock einen großen Realitätsbezug haben, denke ich, dass diese Rechenaufgaben den SchülerInnen Spaß machen. Der gesamte Aufgabenblock 3 benötigt Wissen aus dem Themenbereich Funktionen. Das Internet wird ebenfalls benötigt, um die Rundung der Punkte beim Skispringen herauszufinden.
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5.4 Aufgabenblock 4: Ausflug in die Physik
5.4.1 Finde die Physik im Sport Skispringen
Aufgabe 22: Wo findest du Physik rund um das Thema Skispringen? Lösungsvorschlag: • Aerodynamik während der verschiedenen Phasen (Luftwiderstand, Auftrieb,...). • Kräfte auf den Skispringer in den verschiedenen Phasen. • Energieerhaltung (Kinetische Energie, Potentielle Energie, Reibungsenergie und Rotationsenergie). • Schräger Wurf für die Flugbahn. • …..
Der Springer absolviert den Anlauf in einer tiefen Hocke und nimmt dabei einen Kniewinkel von ca. 80 ° ein.
Abbildung 37: Severin Freund in der Hocke https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm = isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
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5.4.2 Aerodynamik im Skisprungsport
Die Aerodynamik spielt im Skisprung eine wichtige Rolle, um große Weiten zu erreichen. Es werden regelmäßig Messungen im Windkanal durchgenommen, um die Einflüsse der Kräfte auf die Flugbahn feststellen zu können.
(Aerodynamik beim Skispringen, Wolfram Müller, Zugriff am 29.10.2016 http://pluslucis.univie.ac.at/PlusLucis/032/s15_18.pdf)
Aufgabe 23: Halte während der Autofahrt deine Hand mit den Fingern in Fahrtrichtung aus dem Fenster. Bewege die Hand nun mit den Fingerspitzen nach oben und nach unten. Was fällt dir dabei auf? Wo können deine Beobachtungen für das Skispringen relevant sein? Lösungsvorschlag: Wenn man die Fingerspitzen leicht nach oben hält, wirkt eine starke Kraft auf meine Handfläche und will meine Hand nach oben ziehen. Wenn ich die Fingerspitzen leicht nach unten halte, wirkt eine starke Kraft auf meinen Handrücken, die meine Hand nach unten ziehen will. Je schneller das Auto fährt, desto stärker wird diese Kraft. Im Skispringsport wirken auch genau diese Kräfte. Die Auftriebskraft nützt der Springer, damit er weiter fliegen kann und sich von der Schanze weg bewegen kann.
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
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Aufgabe 24: Warum absolviert der Springer den Anlauf in Hockstellung und in der Flugphase will er sich so groß und breit wie möglich machen? Lösungsvorschlag: Im Anlauf stört der Luftwiderstand, um eine möglichst hohe Geschwindigkeit zu erzielen. In der Flugphase nützt der Skispringer die Auftriebskraft um weiter springen zu können und um sich während des Fluges von der Schanze wegbewegen zu können.
(Labudde-Skispringen, Zugriff am 17.10.16: http://de-motu.net/wp-content/uploads/downloads/2013/02/Labudde_Skispringen.pdf)
5.4.3 Physikalische Einführung in den Sport
Aufgabe 25: Der Schanzentisch ist meist 10° nach unten geneigt . Warum wird der Schanzentisch nicht gleich nach oben geneigt? TIPP: Stichwort „Drehmoment“
Lösungsvorschlag: Der Schanzentisch ist nach unten geneigt, damit die Skispitzen nicht gleich am Anfang der Flugphase von der anströmenden Luft nach oben gedrückt werden. Das könnte zu einem Drehmoment und somit zu einem Salto führen.
(Labudde-Skispringen, Zugriff am 17.10.16: http://de-motu.net/wp-content/uploads/downloads/2013/02/Labudde_Skispringen.pdf)
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Aufgabe 26: Was muss ein Skispringer umsetzen, während des Anlaufs, des Absprungs und während der Flugphase, um weit springen zu können.
Überlege dir für jede Phase, was ein Skispringer beachten muss.
Abbildung 38: Phasen während eines Skisprungs https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tb m=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_ AUIBigB&biw=1366&bih=635
Lösungsvorschlag: Anlauf: Der Springer muss eine möglichst hohe Geschwindigkeit erreichen. Dafür ist ein guter Ski mit wenig Reibung am Anlauf und ein geringer Luftwiederstand auf den Körper nötig. Darum geht er in die Hockstellung.
Absprung: Die Kante genau zu treffen ist wichtig, um keine Meter zu verschenken. Zu früh abzuspringen ist nicht gut für eine hohe Weite, da man dann Meter verschenkt und länger braucht, um in die Flugposition zu kommen. Wenn man zu spät abspringt, dann geht die Energie und der Druck beim Absprung ins Leere und man verschenkt dabei auch Meter für eine große Weite. Der Springer gibt beim Absprung dem Körper einen vorwärts gerichteten Drehimpuls (springt nach vorne), damit er aufgrund des Luftwiderstandes keinen Rückwärtssalto macht.
Flugphase: Übergang von Hockstellung in Flugstellung. Es ist wichtig, dass man schnell in die Flugposition kommt, damit man lange in der Position mit hohem Auftrieb verweilen kann. Je spitzer der Winkel zwischen Körper und Ski ist, desto besser, denn desto größer ist die „Anströmfläche“. Braucht man zu lange, um die Flugposition zu finden, so verliert man unnötig an Geschwindigkeit. In der Flugposition bietet die V-Technik die größte „Anströmfläche“ und daher kann man damit auch weiter springen.
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(Universität Salzburg: Kinematische Analyse Skispringen, Zugriff am 24.10.16: http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf)
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
Die Figur eines Skispringers wird im Reglement berücksichtigt. Im Skisprungsport wird der BMI verwendet um die Skilänge zu berechnen. Dabei will man auch zu untergewichtige Skispringer vermeiden.
Aufgabe 27: Welche Körperstatur ist für den Skispringer am besten um weit springen zu können? Überlege und schreibe deine Ideen und Vermutungen nieder. Wenn nötig, kannst du anschließend auch das Internet zur Hilfe nehmen.
Lösungsvorschlag: Ein geringeres Gewicht ist von Vorteil, da der Springer eine bessere Flugposition mit mehr Körpervorlage einnehmen kann. Leichtere Sportler können die Auftriebskraft besser für den Flug ausnützen. Diese Entdeckung führte vor allem in den 90 er Jahren zu untergewichtigen Skispringern, daher wurde das Reglement festgelegt, dass bei weniger BMI auch die Ski kürzer sein müssen.
Das hat den Nachteil, dass man bei kürzeren Ski auch weniger „Anströmfläche“ zu bieten hat. Es ist von Vorteil, wenn man groß ist, da man mehr Luftwiederstand hat, aufgrund der größeren „Anströmfläche“ und daher wieder einen größeren Auftrieb. Der Springer kann sich mit hohem Auftrieb besser von der Schanze weg bewegen. Gut ist es auch, für hohe Sprungweiten, wenn man muskulös ist, da man die Ski und seine Flugposition besser kontrollieren kann und ebenfalls kann man kräftiger abspringen.
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(Universität Salzburg: Kinematische Analyse Skispringen, Zugriff am 24.10.16: http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf)
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
Abbildung 39: Noriaki Kasai, deutlich zu sehen, dass die Bindung weiter hinten am Ski sitzt https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUC XiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Mit Hilfe solcher Aufnahmen wird der Winkel zwischen Springer und Ski berechnet.
Aufgabe 28: Warum wird den Skispringern vom Skisprungverband (der FIS) vorgegeben, an welcher Stelle des Ski´s die Bindung sitzen muss? Welche Regel hat die FIS beschlossen? Überlege dir, welche Gründe das haben könnte? Du kannst auch das Internet zur Hilfe nehmen.
Lösungsvorschlag: Wenn die Bindung weiter hinten am Ski sitzt, sind größere Schräglagen möglich und der Winkel zwischen Springer und Ski kann verringert werden. Somit wird die „Anströmfläche“ vergrößert und der Auftrieb erhöht. Es sind weitere Sprünge möglich. Sitzt die Bindung weiter vorne, wird das Drehmoment des Skispringers reduziert. Die Kontrolle über den Ski wäre leichter. Aus Sicherheitsgründen wurde von der FIS festgelegt, dass das Verhältnis von Vorderskilänge zur Gesamtskilänge maximal 57% annehmen darf.
(Universität Salzburg: Kinematische Analyse Skispringen, Zugriff am 24.10.16: http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf)
70 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
5.4.4 Schräger Wurf im Skisprung
Der schräge Wurf ist von Kindesbeinen an allgegenwärtig, von der Schneeballschlacht bis bin zum Ballspiel im Sportunterricht. Es wird im Kindesalter schon experimentiert, unter welchem Winkel man am Weitesten werfen kann.
Abbildung 40: Schräger Wurf http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
Erinnere dich zurück an den schrägen Wurf aus der Physik.
Die Differentialgleichung für den obigen punktförmigen Körper lautet:
Kürzen der Masse und anschließendes Integrieren führt zu:
71 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
mit
daraus folgt:
Wir müssen uns von der Realität etwas abwenden und wollen die maximale Fallweite eines idealen punktförmigen Skispringers berechnen, ohne Luftwiederstand und ohne Absprungenergie.
(Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf)
72 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Aufgabe 29: Als Beispiel nehmen wir wieder unseren Skispringer Gregor Schlierenzauer, der 65 kg auf die Waage bringt. Er springt über die Schanze in St.Moritz. Welche Flugweite w kann er bei einem perfekten Sprung zurücklegen? Wir arbeiten reibungsfrei, ohne Luftwiederstand und ohne Absprungenergie.
Kleiner Tipp: Finde die Absprunggeschwindigkeit über die Energien.
Abbildung 41: Gregor Schlierenzauer in der Flugphase https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnm s& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_ AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 42: Schanzenprofil der Schanze in St. Moritz http://de-motu.net/wp-content/uploads/downloads/2013/02/Labudde_Skispringen.pdf
Lösungsvorschlag:
73 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Aus kinetischer und potentieller Energie:
Auf die Absprunggeschwindigkeit umformen:
Die Höhe aus dem Schanzenprofil entnehmen:
Zum schrägen Wurf: Gleichung I:
Gleichung II:
Gleichung III:
In Gleichung III die Gleichung II und die Gleichung I einsetzen. Daten für die Winkel aus dem Schanzenprofil ablesen. Auf die Zeit t umformen:
Das Ergebnis für die Zeit t in Gleichung I und Gleichung II für x und y einsetzen:
74 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Die Flugweite berechnen:
Gregor würde bei einem perfekten Sprung, ohne Luftwiederstand, ohne Reibung und ohne Absprungenergie, 77,3 m springen.
(Physik-Forum: Simulation Schräger Wurf Skispringen, Zugriff am 24.10.16: http://forum.physik- lab.de/ftopic7176.html)
Aufgabe 30: Mit speziellen Kameras, die auf der St.Moritz Schanze montiert wurden, konnte man feststellen, dass die Springer ihre Flugposition nach ca.12 Meter eingenommen haben. In welcher Zeit schaffen es die Springer also in die Flugposition? Lösungsvorschlag:
Die Winkel aus dem Schanzenprofil ablesen. Die Wurfweite aus der Angabe entnehmen. Die Zeit t berechnen:
Die Springer schaffen es in einer halben Sekunde in ihre Flugposition.
(Universität Salzburg: Kinematische Analyse Skispringen, Zugriff am 24.10.16: http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf) 75 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
5.4.5 Kräfte beim Skispringen
Während der verschiedenen Phasen im Skisprung wirken auch verschiedene Kräfte auf den Skispringer.
Aufgabe 31: Sieh dir folgendes Video an, schreibe kurz nieder, was die Kernaussagen des Videos sind (3-4 Sätze) und mache eine Skizze: https://www.youtube.com/watch?v=JgDIo7S1ePQ
Lösungsvorschlag: Es wirken drei essentielle Kräfte auf den Skispringer, die Luftwiderstandskraft, die Auftriebskraft und die Gewichtskraft. Die Ausrüstung spielt eine wichtige Rolle im Skisprungsport, man kann damit auch weiten Flügen eine Grenze setzen.
Abbildung 43: Kräfte auf Skispringer in Flugphase https://www.youtube.com/watch?v=JgDIo7S1ePQ Die „Schattenfläche“ entspricht der „Anströmfläche“. Die V-Technik bietet die größte „Anströmfläche“ und daher kann man damit auch eine höhere Weite erzielen.
(Physik des Schattens – Skispringen, Zugriff am 29.10.2016: https://www.youtube.com/watch? v=JgDIo7S1ePQ)
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Aufgabe 32: Welche Kräfte wirken während der Flugphase auf den Springer? Zeichne einen Skispringer in der Flugphase im Profil und zeichne die Kräfte ein, die auf den Springer bzw. auf seinen Schwerpunkt wirken. Benenne die Kräfte und führe die Formel dazu an. Wähle ein geeignetes Koordinatensystem. Abbildung 44: Skispringer in der Flugphase https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms & tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_A UIBigB&biw=1366&bih=635 Lösungsvorschlag:
Abbildung 45: Kräfte während der Flugphase auf den Skispringer http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf
(Universität Salzburg: Kinematische Analyse Skispringen, Zugriff am 24.10.16: http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf)
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Aufgabe 33: Welche Kräfte wirken während des Anlaufs auf den Skispringer?
Zeichne einen Skispringer im Anlauf im Profil und zeichne die Kräfte ein, die auf den Springer bzw. auf seinen Schwerpunkt wirken. Benenne die Kräfte und führe die Formel dazu an. Wähle ein geeignetes Koordinatensystem.
Abbildung 46: Stefan Kraft in der Anlaufspur https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&t bm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_ AUIBigB&biw=1366&bih=635
Lösungsvorschlag:
Abbildung 47: Kräfte während des Anlaufs auf den Skispringer http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf
(Universität Salzburg: Kinematische Analyse Skispringen, Zugriff am 24.10.16: http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf)
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5.4.6 Didaktischer Kommentar zum Aufgabenblock 4
Im Aufgabenblock 4 kommt die Physik ins Spiel. Bis jetzt wurde die Physik nicht wirklich benötigt, um die Aufgaben zu lösen. Bei der Aufgabe 22 sollen die SchülerInnen allgemein darüber nachdenken, wo Physik im Skisprung vorkommt. Diese Aufgabe halte ich für sehr wichtig, da die Physik im Skisprungsport, neben der Mathematik, nicht für alle offensichtlich ist. Man kann dabei auch gleich erkennen, um was es in den folgenden Aufgaben gehen wird. Anschließend wird die Aerodynamik beim Skispringen angesprochen. Jedes Kind hat schon mal beim Autofahren die Hand aus dem Fenster gehalten und analysiert, was da passiert. Diese Beobachtungen sollen sie bei Aufgabe 23 auf den Skisprungsport übertragen. Diese Übertragung halte ich für didaktisch wertvoll, da sich dadurch viele Phänomene, die mit Aerodynamik zu tun haben, beschreiben lassen. Bei Aufgabe 24 dürfen sie diese Beschreibung noch erweitern. Sie sollen überlegen, warum man den Anlauf in der Hockstellung absolviert und die Flugphase ausgestreckt. Die Beschreibung verläuft sehr ähnlich. Bei Aufgabe 25 wird besprochen, warum die Kante beim Anlauf nach unten geneigt ist. Die SchülerInnen sollen dadurch selber den Zusammenhang von Luftwiederstandkraft und Drehmoment finden. Bei Aufgabe 26 wird mit dem vorher angeeigneten Wissen nochmal jede Phase im Skisprung physikalisch genau durchleuchtet. Bei Aufgabe 27 geht es um die Körperstruktur der Skispringer. Dafür wird auch das Internet benötigt. Einige Überlegungen sollten allerdings mit Hilfe der vorher erarbeiteten Aerodynamik beim Skispringen möglich sein. Bei Aufgabe 28 geht es um die Lage der Bindung am Skisprungski. Dabei können sie auch das Internet verwenden. Somit wird trainiert, wie man Antworten auf seine Fragen im Internet findet. Darauf folgt der schräge Wurf. Er wird nochmal kurz wiederholt, falls der Unterricht des schrägen Wurfs schon etwas länger her ist. Die Formeln werden die SchülerInnen brauchen. Bei der ersten Aufgabe dazu, Aufgabe 29, wird wieder Gregor Schlierenzauer und die Schanze in St.Moritz als Beispiel herangezogen, um die Motivation dieses etwas schwierigeren Abschnittes zu erhöhen. Sie sollen die Sprungweite mit Hilfe des schrägen Wurfes und der Energieerhaltung berechnen. Etwas weniger motivierend ist, dass man sich von der Realität abwenden muss, aber genaue Berechnungen sind sehr komplex.
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Die Aufgabe 30 behandelt auch den schrägen Wurf, aber es wird die Phase zur Einnehmung der Flugposition genauer betrachtet. Im nächsten Abschnitt geht es um die Kräfte während eines Skisprungs. Die erste Aufgabe beinhaltet ein tolles Video, das Skispringen und die Kräfte in der Flugphase erklärt. Ich bin normal kein Fan von Zusammenfassungen, aber dieses Video ist sehr gut gemacht und es hilft den SchülerInnen, wenn sie sich die Formeln, die dabei aufgestellt werden, heraus schreiben, damit sie die folgenden Aufgaben lösen können. In Aufgabe 32 sollen sie dann die Kräfte in der Flugphase und in Aufgabe 33 die Kräfte im Anlauf auf den Skispringer finden. Das sollte mit dem Video lösbar sein.
Der gesamte Aufgabenblock dreht sich rund um die Physik beim Skispringen. Es werden Themenbereiche wie Aerodynamik, Kräftegleichgewicht, schräger Wurf und Energieerhaltung wiederholt.
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5.5 Aufgabenblock 5: Entwicklungen im Skisprungsport (Gruppenaufgabe)
5.5.1 Warum keine größeren Schanzenanlagen?
Im Skisprungsport will man den Zuschauern und den Fans immer weitere Sprünge zeigen, um sie zu beeindrucken. In 3er Teams könnt ihr folgende Aufgabe durcharbeiten und diskutieren. Gruppeneinteilung wird durch die Lehrperson gemacht.
Aufgabe 34: Warum werden noch keine Schanzen konstruiert, auf denen man 300 m springen kann, um die Zuschauer mehr zu unterhalten? Überlegt selber, was könnte bei so großen Schanzen hinderlich oder gefährlich sein? Was könnte passieren? Benützt anschließend das Internet und sucht euch Argumente, die hinderlich für eine 300 m Schanze sind. Findet mindestens 5 Argumente. Macht diese Aufgabe in dreifacher Ausführung, damit ihr die Aufgabe gemeinsam mit den anderen Aufgabenblöcken abgeben könnt.
Lösungsvorschlag: Größere Flugweiten bedeuten auch längere Flugzeiten. Derzeit sind die Springer maximal 5 Sekunden in der Luft. Noch längere Flugzeiten können bedeuten, dass sich der Wind in dieser Zeit auch radikal ändern kann und das kann sehr gefährlich für den Skispringer sein. Wenn die Skispringer noch weiter springen sollen, müssen sie auch Schanzen konstruieren, bei denen die Springer eine größere Höhe zum Absprunghang einnehmen können. Das kann wiederum wettertechnisch ein Problem sein, da die Luft in größeren Höhen gefährlicher wird und turbulente Strömungen häufiger und stärker werden. Zusätzlich bedeuten weitere Sprünge auch größere Geschwindigkeiten beim Absprung. Dadurch wäre es für die Skispringer fast unmöglich, genau auf der Kante abzuspringen. Das kann aufgrund des wirkenden Drehmomentes auch gefährlich werden. Im Skisprung will man daher eine Beschleunigung von 2g im Anlauf auf keinen Fall überschreiten, da sonst ein sauberer Absprung bzw. überhaupt ein Absprung unmöglich wäre. 81 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Eine andere Möglichkeit wäre, dass man den Aufsprunghang steiler macht, so dass die Skispringer einfach länger und tiefer in den Hang fliegen. Das ist aufgrund der Landung nicht möglich. Die Skispringer können bei einem steileren Winkel als 40° nicht mehr sicher landen. Der optimale Landewinkel beträgt 38°. Daher kann man den ganzen Aufsprunghang nicht steiler gestalten, die Springer müssen ja auf jeder Stelle des Aufsprunghanges sicher landen können.
5.5.2 Didaktischer Kommentar zum Aufgabenblock 5
Der Aufgabenblock 5 behandelt die Entwicklungen im Skisprungsport und dabei sollen die SchülerInnen etwas in die Zukunft denken. In Gruppen soll bei der Aufgabe 34 diskutiert werden, warum nicht einfach größere Schanzenanlagen gebaut werden, um die Fans zu unterhalten. Dabei können sie das ganze Wissen, das sie sich vorher erarbeitet haben, gut gebrauchten. Auch das Internet kann verwendet werden. Der Aufgabenblock behandelt Flugzeiten, den Wettereinfluss, turbulente Strömungen, Geschwindigkeiten, Drehmomente, die Landung und den Absprung. Diese Aufgabe gefällt mir sehr gut, da sich die SchülerInnen wirklich mit aktuellen Themen beschäftigen und dazu auch aktuelle Zeitungsartikel im Internet finden werden. Das Suchen im Internet wird trainiert. Die Aufgabe fördert auch das Arbeiten in Gruppen und das Problemlösen in Gruppen.
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5.6 Aufgabenblock 6: Baue deine eigene Schanzenanlage (Gruppenaufgabe)
5.6.1 Konstruktion deiner Schanzenanlage
In diesem Aufgabenblock hast du selber die Möglichkeit, eine Schanze zu bauen und ein Gespür dafür zu bekommen, welchen Kräften die Skispringer standhalten müssen. Die Aufgaben dieses Blockes sind in 3er Teams zu bewältigen. Gruppeneinteilung wird von der Lehrperson durchgeführt.
Aufgabe 35: Überlegt euch mit euren Gruppenmitgliedern, wie die Schanze gebaut werden müsste, um möglichst nahe an der Realität zu bleiben. Macht eine Skizze und überlegt euch vor allem auch die Größe, die ihr euch mit euren Skiern springen traut. Bedenkt zusätzlich, dass wir nicht die Bindungen und die Skier der Skispringer zur Verfügung haben. Was bedeutet das für eure Schanze und für euren Sprung? Skizziert ungefähr die Maße eurer Schanze. Bedenkt auch, dass jedes Gruppenmitglied in der Lage sein soll, die Schanze zu absolvieren. Erledigt die Aufgabe in dreifacher Ausführung, damit ihr es gemeinsam mit den anderen Aufgabenblöcken abgeben könnt.
Lösungsvorschlag: Hierzu kann ich keinen Lösungsvorschlag bieten, da die SchülerInnen selber überlegen müssen, was sie sich zutrauen und was sie probieren wollen. TIPP: Man kann als Lehrperson allerdings darauf achten, dass die SchülerInnen realistisch bleiben. Ebenfalls sollte man kontrollieren, ob die SchülerInnen darauf achten, dass wir durch die Skibindung eingeschränkt sind und daher sind keine Vorlagen des Körpers auf die Skier möglich. Man sollte auch überprüfen, ob die SchülerInnen die Schanze so konstruieren, dass die Kante, wie auch bei den Wettkampfschanzen, nach unten geneigt ist. Dadurch fällt ihnen das Abspringen leichter. Wenn man das Ende der Schanze nach oben neigt, ist es mehr ein Abheben, ohne Sprung.
83 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
5.6.2 Umsetzung deiner Konstruktion
Deine Konstruktion kann nun im Skikurs, in einer freien Stunde im Turnunterricht oder in einer Mathestunde bei viel Schnee realisiert werden. Falls kein Schnee zur Verfügung steht, kann man auch mit Bausätzen eine Schanze bauen und Gegenstände darüber rollen lassen. Somit können die SchülerInnen ebenfalls Weitenmessungen durchführen.
Aufgabe 36: Setzt eure Konstruktion in die Tat um. Macht ein Foto eurer Schanze und dokumentiert, welche Kräfte ihr verspüren konntet. Schreibt Sachverhalte auf, die euch aufgefallen sind. (Sachen, die euch vorher nicht so bewusst waren. Sachen, die ihr euch leichter vorgestellt habt,...) Konntet ihr eure Konstruktion exakt umsetzen? Wenn nicht, warum nicht und wo gab es Probleme? Danach sollt ihr die Weiten notieren, die ihr erreichen konntet. Wie wurde dabei die Weitenmessung durchgeführt? Von wo wurde weg gemessen? (Macht evtl. eine kleine Skizze dazu) Fertigt ein Versuchsprotokoll in dreifacher Ausführung an, damit ihr es gemeinsam mit den anderen Aufgabenblöcken abgeben könnt.
Lösungsvorschlag: Hier gibt es wiederholt keinen Lösungsvorschlag.
TIPP: Man sollte darauf achten, dass alle SchülerInnen mitarbeiten. Sie sollen die Fragestellungen in der Aufgabe gewissenhaft beantworten. Vor allem sollte man darauf achten, wie die SchülerInnen die Weite bestimmen. Damit sie die korrekte Weite, wie im Skisprungsport, berechnen können, brauchen sie die Formeln vom schrägen Wurf, siehe Aufgabenblock 4.
Falls kein Schnee zur Verfügung steht, könnte man auch mit Bausätzen eine Schanze bauen und dann Weitenmessungen durchführen. Empfehlen kann ich dazu den Koffer „Math & Science Creativ Teaching Tool“.
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Abbildung 48: Selbst konstruierte Skisprungschanze mit dem Bausatz „Math & Science Creative Teaching Tool“.
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5.6.3 Didaktischer Kommentar zum Aufgabenblock 6
Im Aufgabenblock 6 können die Schülerinnen ihre eigene Schanzenanlage konstruieren. In Gruppen wird die Aufgabe 35 bearbeitet, wo sie die Schanze mal theoretisch konstruieren sollen. Die SchülerInnen sollen dabei auch überlegen, was wirklich für sie möglich ist zu springen und was der Unterschied zu großen Skisprungschanzen ist. Die Aufgabe fördert das Arbeiten in Gruppen und auch die sozialen Kompetenzen. Auch der schlechteste Skifahrer in der Gruppe sollte die Schanze absolvieren können. Bei der Aufgabe 36 dürfen sie nun ihre Schanze im Schnee bauen und ihre Weiten messen. Falls kein Schnee zur Verfügung steht, kann man auch mit Bausätzen eine Schanze konstruieren und dann Weitenmessungen durchführen.
Die Aufgabe wirkt auf die SchülerInnen motivierend, da sie ihr Modell in die Tat umsetzen dürfen und sich bewegen können. Mathematik und Sport wird somit kombiniert.
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6. Aufgabenliste
Eine Aufgabenliste halte ich für didaktisch wertvoll, da sich die SchülerInnen die Zeit besser einteilen können und da sie Fragen zu den Aufgaben auf übersichtliche Weise festhalten können. Hier ein Beispiel zu einer Aufgabenliste, bezogen auf den obigen Unterrichtsvorschlag:
Aufgaben- Aufgaben Name der Aufgabe Erledigt Fragen dazu? block -nummer Einführung in den Hausübung Sport Skispringen 1 Motivation 2 Aufgabenblock GeoGebra 3 1: Simulation einer 4 Einführung in Skisprungschanze den Sport Daten einer 5 Skispringen Schanze 6 Mathematik beim 7 Skispringen 8 Flugbahn eines 9 Aufgabenblock Skispringers 2: 10 Flugbahn und 11 Aufsprung 12 -bahn Aufsprungbahn 13 14
Schanzenanlage in 15 Aufgabenblock Garmisch- 16 3: Partenkirchen 17 Genauere 18 Betrachtung Schanzenanlage in von Sprung- St.Moritz 19 anlagen Schanzenanlage 20 Berg-Isel 21
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Aufgaben- Aufgaben Name der Aufgabe Erledigt Fragen dazu? block -nummer Finde die Physik im 22 Sport Skispringen Aerodynamik im 23 Skispringen 24 25 Aufgabenblock Physikalische 26 Einführung in den 4: 27 Ausflug in die Sport Physik 28 Schräger Wurf im 29 Skisprung 30 31 Kräfte beim 32 Skispringen 33 Aufgabenblock 5: Gruppen Warum keine -aufgabe: größeren 34 Entwicklungen Schanzenanlagen? im Skisprung -sport Aufgabenblock 5: Gruppen 35 -aufgabe: Konstruiere deine Konstruiere Schanzenanlage diene eigene Schanzen 36 -anlage
Tabelle 1: Aufgabenliste für die Unterrichtsplanung: Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
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7. Zusammenfassung
Das hier ausgearbeitete Planung dient als Vorschlag, wie man Mathematik anwendungsbezogen gestalten kann und somit auch die SchülerInnen mehr motivieren kann. Je nach Wissenstand, Interessensstand, Zeit, Klasse oder Schulstufe kann die Planung beliebig erweitert oder verkürzt werden. Wie schon erwähnt, lassen sich gewisse Teile auch schon vor der 11. Schulstufe einsetzen.
Ziel dieser Diplomarbeit ist es, einen Vorschlag zu bieten, wie fächerübergreifender und anwendungsbezogener Unterricht gestaltet werden kann. Es wurde auch darauf Wert gelegt, dass die SchülerInnen moderne Mittel, die Ihnen zur Verfügung stehen, verwenden, wie das Internet oder GeoGebra. Ebenfalls wurde darauf geachtet, dass in Gruppen gearbeitet werden kann, da das, meiner Meinung nach, in der heutigen Berufswelt, aber auch im Studium, immer mehr benötigt wird. Ebenfalls wird durch Gruppenarbeiten das Klassenklima und das Sozialverhalten der SchülerInnen gestärkt.
Bei diesem Unterrichtsvorschlag ist auch Zeitmanagement gefragt. Die SchülerInnen können selbstständig arbeiten, müssen sich jedoch die Zeit einteilen können. Auch das sehe ich als eine sehr wichtige Eigenschaft, sei es im Beruf oder im Studium.
Nicht zu vergessen, dass bei dieser Planung der Schwerpunkt im Bereich Skispringen liegt und nicht bei einem bestimmten mathematischen Themenbereich. Das erschwert das Lösen der anwendungsbezogenen Aufgaben. Es ist Wissen aus verschiedenen Kapiteln der Mathematik und der Physik gefragt und für SchülerInnen ist es nicht immer einfach, herauszufinden, was verwendet werden muss, um das Beispiel zu lösen.
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8. Abkürzungsverzeichnis
BMB Bundesministerium für Bildung bzw. beziehungsweise etc. et cetera evt. Eventuell
FIS Federaton Internationale de Ski (Internationaler Skiverband) z.B. zum Beispiel
9. Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Aufgabenliste für den Unterrichtsvorschlag: Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
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10. Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Originalauszug aus dem Lehrplan für AHS – Physik/5.-8. Klasse https://www.bmb.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_neu_ahs_10_11862.pdf
Abbildung 2: Originalauszug aus dem Lehrplan AHS – Mathematik/5.Klasse https://www.bmb.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_neu_ahs_07_11859.pdf
Abbildung 3: Originalauszug aus dem Lehrplan AHS – Mathematik/6. Und 7. Klasse https://www.bmb.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_neu_ahs_07_11859.pdf
Abbildung 4: Originalauszug aus dem Lehrplan AHS – Mathematik/8.Klasse https://www.bmb.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_neu_ahs_07_11859.pdf
Abbildung 5: Bild zum Thema Gruppeneinteilung https://hu.hueber.de/media/36/Gruppen-bilden.pdf
Abbildung 6: Telemark, eine Provinz in Norwegen https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
Abbildung 7: Norwegische Soldaten beim Skispringen https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
Abbildung 8: Erste bildlich aufgezeichnete Sprungstil im Wettkampf https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
Abbildung 9: Sprungstil mit dem Obrkörper nach vorne https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
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Abbildung 10: Jan Bokloev springt im V-Stil https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
Abbildung 11: Die vier Phasen beim Skispringen https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
Abbildung 12: Daten einer Schanze https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruktionspunk
Abbildung 13: K-Punkt und Hillsize auf einer Schanze gekennzeichnet https://de.wikipedia.org/wiki/Hillsize
Abbildung 14: Skispringer in der Hockstellung https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 15: Skispringer beim Abspringen https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 16: Gregor Schlierenzauer in der Flugphase https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 17: Gregor Schlierenzauer bei der Landung https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
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Abbildung 18: Skisprunganzug https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 19: Stefan Kraft im Body-Scanner kurz vor seinem Sprung https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 20: Links: Bindungsstab und gebogener Bindungsstab (flachere Skiführung möglich) Rechts: Skisprungschuhe http://www.skispringen.com/glossar/bindung/ https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 21: Noriaki Kasai, deutlich zu sehen, dass die Bindung weiter hinten am Ski sitzt https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 22: Skisprungsimulator in Saalfelden, Anfahrt https://www.jochen-schweizer.de/geschenk/kleines-skisprung-abenteuer,default,pd.html
Abbildung 23: Skisprungsimulator in Saalfelden, Flug https://www.jochen-schweizer.de/geschenk/kleines-skisprung-abenteuer,default,pd.html
Abbildung 24: Simulation Skisprungschanze GeoGebra https://www.geogebra.org/m/ZgQYVq3y
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Abbildung 25: Profil einer Skisprungschanze https://www.geogebra.org/m/ZgQYVq3y
Abbildung 26: Profil einer Skisprungschanze mit Kennzeichnungspunkte https://www.geogebra.org/m/ZgQYVq3y
Abbildung 27: Hillsize und K-Punkt auf der Schanze gekennzeichnet https://de.wikipedia.org/wiki/Hillsize
Abbildung 28: Beispiel für eine Funktion von einer Flugbahn eines Skispringers http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen-150825.pdf
Abbildung 29: Absprungbahn und Beispiel einer Flugbahn zur Bergisel-Schanze http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen-150825.pdf
Abbildung 30: Absprungbahn und Beispiel einer Flugbahn zur Bergisel-Schanze http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen-150825.pdf
Abbildung 31: Schanzenanlage in Garmisch-Partenkirchen bei der Vierschanzentournee https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEw jvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635#tbm=isch&q=schanze+g armisch+partenkirchen
Abbildung 32: Schanzenanlage im Profil http://brpmathe.jimdo.com/%C3%BCbungen-f%C3%BCr-die-matura/
Abbildung 33: Schanzenanlage in St.Moritz https://www.google.at/search? q=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7 CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635#tbm=isch&q=schanze+st+moritz
94 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
Abbildung 34: Schanzenprofil in St.Moritz http://de-motu.net/wp-content/uploads/downloads/2013/02/Labudde_Skispringen.pdf
Abbildung 35: Schanzenanlage in Innsbruck https://www.google.at/search? q=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7 CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635#tbm=isch&q=schanze+innsbruck
Abbildung 36: Beispiele für Funktionsgraphen für diese Gleichung http://brpmathe.jimdo.com/%C3%BCbungen-f%C3%BCr-die-matura/
Abbildung 37: Severin Freund in der Hocke https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms& tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 38: Phasen während eines Skisprungs https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 39: Noriaki Kasai, deutlich zu sehen, dass die Bindung weiter hinten am Ski sitzt https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 40: Schräger Wurf http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf
Abbildung 41: Gregor Schlierenzauer in der Flugphase https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
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Abbildung 42: Schanzenprofil der Schanze in St. Moritz http://de-motu.net/wp-content/uploads/downloads/2013/02/Labudde_Skispringen.pdf
Abbildung 43: Kräfte auf Skispringer in Flugphase https://www.youtube.com/watch?v=JgDIo7S1ePQ
Abbildung 44: Skispringer in der Flugphase https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 45: Kräfte während der Flugphase auf den Skispringer http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf
Abbildung 46: Stefan Kraft in der Anlaufspur https://www.google.at/searchq=skispringer&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKE wjvibm16e_TAhUCXiwKHTf7CYgQ_AUIBigB&biw=1366&bih=635
Abbildung 47: Kräfte während des Anlaufs auf den Skispringer http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf
Abbildung 48: Selbst konstruierte Skisprungschanze mit dem Bausatz „Math & Science Creative Teching Tool“
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11. Literaturverzeichnis
1.) Skispringen bei Was ist Was, Zugriff am 5.10.16: http://www.wasistwas.de/archiv-sport-kultur-details/skispringen.html
2.) Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf
3.) Skispirngen, Wikipedia, Zugriff am 8.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen#Bewertung
4.) Kinematische Analyse der Flugphase, Zugriff am 5.10.16: http://www.ubs.sbg.ac.at/pdf/AC11175530.pdf
5.) Labudde-Skispringen, Zugriff am 17.10.16: http://de-motu.net/wp-content/uploads/downloads/2013/02/Labudde_Skispringen.pdf
6.) Skispringen Wikipedia, Zugriff am 6.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Skisprungschanze
7.) Wikipedia Skisprung, Zugriff am 15.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Hillsize
8.) Physik des Skispringens, Innsbruck Universität, Zugriff am 29.10.2016: http://physik.uibk.ac.at/lehre/R.Weitlaner_Physik_des_Schispringens.pdf
9.) Skispirngen Wikipedia-Bewertung, Zugriff am 8.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Skispringen
97 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
10.) Skispringen auf skispringen.com, Zugriff am 27.10.2016: http://www.skispringen.com/glossar/bindung/
11.) FIS Weitenpunkte, Zugriff am 5.10.16: http://www.skispringen.com/glossar/weitenpunkte/
12.) Skisprungsimulator Saalfelden, Zugriff am 8.10.16: https://www.jochen-schweizer.de/geschenk/kleines-skisprung-abenteuer,default,pd.html
14.) Lehrplan Mathematik Bundesministerium für Bildung, Zugriff am 29.10.2016: https://www.bmb.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_neu_ahs_07_11859.pdf
15.) Lehrplan Physik Bundesministerium für Bildung, Zugriff am 29.10.2016: https://www.bmb.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_neu_ahs_10_11862.pdf
16.) Hueber, Gruppen bilden, Zugriff am 31.10.2016: https://hu.hueber.de/media/36/Gruppen-bilden.pdf
17.) Youtube Weiteste Sprünge im Skisprung, Zugriff am 15.10.16: https://www.youtube.com/watch?v=8GkwGfhddk0 https://www.youtube.com/watch ? v=Aao4_7Gt50Y
18.) Sprung von Anders Fannamel auf 251,5 m: https://www.youtube.com/watch?v=Aao4_7Gt50Y
19.) Sprung von Gregor Schlierenzauer am Kulm auf 151,5 m: https://www.youtube.com/watch?v=9bC8s9sYMRg
20.) Sprung von Gregor Schlierenzauer auf 243,5 m: https://www.youtube.com/watch?v=8GkwGfhddk0
98 Julia Lang Die Mathematik hinter dem Sport Skispringen
21.) Geogebra, Zugriff am 15.10.16: https://www.geogebra.org/m/ZgQYVq3y
22.) Wikipedia Skisprung, Zugriff am 15.10.16: https://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fe_Olympiaschanze
23.) Bifie Skispringen, Zugriff am 15.10.2016, http://www.waldmathematik.com/pool_1/teil_a/Schispringen-150825.pd
24.) Übungen für die Berufsreifeprüfung Skispringen, Zugriff am 29.10.16: http://brpmathe.jimdo.com/%C3%BCbungen-f%C3%BCr-die-matura/
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26.) Physik-Forum: Simulation Schräger Wurf Skispringen, Zugriff am 24.10.16: http://forum.physik-lab.de/ftopic7176.html
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