Bolet´ınde Matem´aticas 23(1) 7–19 (2016) 7

Dimensiones de las pir´amidesegipcias

Borut JurˇciˇcZlobec1,a, Gustavo N. Rubiano O.2,b

Resumen. Se revisa la repetida, generalizada y esot´ericacreencia que en las dimensiones de la Gran Pir´amidede Egipto se encuentran cifrados dos n´umeros: φ (el n´umero´aureo)y π (la raz´onentre el per´ımetroy el di´ametro de una circunferencia). Palabras claves: Raz´on´aurea,n´umerosde Fibonacci, pir´amidesegipcias.

Abstract. In this article we review the repeated argument and belief that in the dimensions of the Great Pyramid of Egypt are ciphered two numbers, φ (the golden number) and π (the ratio between the perimeter and the diameter of a circumference), in spite of the fact of that the golden ratio in Egypt was not mentioned anywhere, and the number π is not known as precisely as we find it in the dimensions of the pyramid (Great Pyramid) of Khufu (Cheops). Whether that the planners of the construction of the pyramids knew these facts though not historically documented, or it is a question rather of pure coincidence? We will demonstrate that the random coincidence is much more probable than it seems at first glance. Keywords: Linear fractional transformation, cubic equation, roots.

Mathematics Subject Classification: 01-00, 68Wxx.

Recibido: septiembre de 2015 Aceptado: enero de 2016

En este art´ıculorevisamos el repetido argumento y creencia que en las dimen- siones de la Gran Pir´amide de Egipto se encuentran cifrados dos n´umeros, φ (el n´umero´aureo)y π (la raz´onentre el per´ımetroy el di´ametrode una circun- ferencia), a pesar del hecho de que la raz´on´aureaen Egipto no se menciona en ninguna parte, y el n´umero π no es conocido como precisamente lo encontramos cifrado en las dimensiones de la pir´amide(Gran Pir´amide)de Khufu (Keops). Ser´aentonces, que los planificadores de la construcci´onde las pir´amides conoc´ıanestos n´umerosaunque no estuvieran hist´oricamente documentados, o ¿se trata m´asbien de pura coincidencia? Demostraremos que la coincidencia

1Faculty of Electrical Engineering, University of Ljubljana, Ljubljana, Slovenia 2Departamento de Matem´aticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a,Colombia [email protected] [email protected] 8 Borut JurˇciˇcZlobec & Gustavo N. Rubiano O. aleatoria es mucho m´asprobable de lo que parece a primera vista, tratando de explicar, c´omolos constructores determinaron las dimensiones de esta pir´ami- de y el porqu´eson como son. En particular, nos centraremos en la raz´ondel tri´angulorect´anguloformado por, la mitad del lado de la base de la pir´amide,la altura de la misma y la altura de su cara lateral (ver la Figura 1b). Nuestro su- puesto es que las dimensiones de las pir´amidesse determinaron principalmente por pragmatismo, como un compromiso entre las propiedades f´ısicasdel mate- rial utilizado, las instrucciones simples para su construcci´ony por supuesto, de la escasez de recursos.

1. La raz´on´aureaen la literatura

El ubicuo n´umero´aureo φ, tiene sin duda alguna muchas e interesantes propie- dades, lo cual ha llevado a que la gente lo encuentre d´ondeno est´a,o lo relacione casi que de manera esot´erica con muchos objetos o construcciones. El n´umero´aureo φ es de por s´ı,lo suficientemente interesante para gozar de toda nuestra atenci´on.Es un n´umeroirracional y en cierta medida el m´as irracional de todos los irracionales [4]. Este n´umeroresulta ser crucial y es frecuente que lo encontremos en la naturaleza; por ejemplo, lo encontramos cuando queremos encontrar la distribuci´on´optimaque deben tener las hojas alrededor de los tallos en las plantas (phyllotaxis) y en la distribuci´onde las semillas en la inflorescencia del girasol [7]. Menos convincentes son las conexio- nes del n´umero´aureocon las estructuras helicoidales en la naturaleza, como la estructura en forma de espiral en la concha del nautilus, o en la estructura espiral de las galaxias. La caracter´ısticaestructural m´asimportante de la concha del nautilus es su autosimilaridad. Como lo expres´oJacob Bernoulli (1655–1705) Eadem mutata resurgo (est´acreciendo, pero contin´uasiendo la misma). Esta ocurrencia de la autosimilaridad es frecuente en la naturaleza y es probable que exista debido a la econom´ıaen el c´odigogen´etico.Sin embargo, las espirales autosimilares pertenecen a la clase de las espirales logar´ıtmicas,donde la espiral ´aurea(aso- ciada a la construcci´onde la raz´on´aurea)es tan solo un caso especial. Por otra parte, la formaci´onde galaxias con forma de espiral est´asubordinada a leyes diferentes y, en general, no son ni siquiera logar´ıtmicas.Lo m´ascomplicado es encontrar a φ en la m´usica,la arquitectura, la pintura, el arte y la filosof´ıaen general. La gente ha solido atar una fuerte carga sem´antica a φ, lo que a menudo conduce a la exageraci´ony la interpretaci´onerr´onea.Siempre ha sido un objeto de mistificaci´on,tanto en los tiempos antiguos (con los fil´osofosgriegos), como en la Edad Media y tambi´enen la actualidad. Veamos una de las descripciones contempor´aneasde la proporci´on´aurea. La proporci´on´aurea es una puerta de entrada al entendimiento de la vida. Esta proporci´onse llama ´aurea o divina, y representa una puerta de entrada para una comprensi´onm´asprofunda de la belleza, la maravilla y la espirituali-

Bolet´ınde Matem´aticas 23(1) 7-19 (2016) Dimensiones de las pir´amidesegipcias 9 dad de la vida. Es casi incre´ıble,que un ´unico n´umero tenga tanta influencia en la naturaleza, la historia humana, la ciencia, el arte y el universo en general. George Markowsky, Profesor de Ciencias de la Computaci´onen la Universi- dad de Maine (EE. UU.), ha revisado algunos de los argumentos mejor conoci- dos que se han escrito sobre la raz´on´aurea,en textos escolares, art´ıculos,etc. y se ha sorprendido de la poca verdad que existe en todas estas afirmaciones. En respuesta a esta experiencia escribi´oel art´ıculo Misconceptions about the Golden Ratio [5].

2. Proporci´on´aurea,rect´angulo´aureoy tri´angulode Kepler

Esta secci´onest´adedicada a introducir y entender los conceptos de propor- ci´on´aurea,rect´angulo´aureoy tri´angulode Kepler. Definici´on2.1 (Proporci´on´aurea). Tome un segmento de l´ınearecta y div´ıda- lo en dos partes con longitudes distintas, de suerte que la raz´onentre la parte mayor y la parte menor sea igual a la raz´onentre el segmento inicial y la parte mayor. Esta raz´ono proporci´ones llamada la raz´on´aurea. La raz´on´aurease nota φ, en honor a Fidias (500 a. C.–432 a. C.), el gran matem´aticoy fil´osofogriego quien fue el primero en definirla. Si asumimos que la longitud del segmento inicial es φ y la longitud de la parte mayor es 1, podemos expresar la definici´onanterior por medio de la f´ormula 1 φ = , la cual conduce a la ecuaci´on: φ2 − φ − 1 = 0 (1) φ − 1 1 cuya ´unica soluci´onpositiva es √ 1 + 5 φ = ≈ 1, 61803398874989 ... (2) 2 La proporcionalidad o relaci´onde aspecto para un rect´angulo,es la raz´onen su forma (como en un monitor), es decir, es la relaci´onentre el largo y el alto. Cuando construimos un rect´anguloque tiene como aspecto la raz´on ´aurea tenemos la siguiente propiedad: si removemos un cuadrado que tenga como lado, al lado corto del rect´angulo,entonces el aspecto del rect´angulorestante es de nuevo la raz´on´aurea. El rect´angulode la construcci´onanterior se llama rect´angulo´aureo o dorado. La Figura 1a muestra el proceso para su construcci´on. 1. Primero dibuje un cuadrado y a continuaci´ontome el punto medio de su lado superior. 2. Seleccione uno de los v´erticesen el lado opuesto, y dibuje un arco de circunferencia que tenga como centro el punto medio del lado inicial, y como radio la distancia del punto medio al v´erticeseleccionado.

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3. La intersecci´onde la circunferencia con la prolongaci´ondel lado bisectado es ahora uno de los v´erticesdel rect´angulo´aureo. 4. El resto de la construcci´onse sigue de la Figura 1a. Mostremos que en realidad hemos construido un rect´angulo´aureo.Si asumimos que la longitud del lado del cuadrado inicial es 1, de acuerdo al teorema de p √ Pit´agorasel radio de la circunferencia es 1√ + 1/4 = 5/2. Por tanto, la longitud del lado mayor del rect´anguloes (1 + 5)/2 = φ, el cual es la raz´on ´aurea.

Figura 1: Rect´angulo´aureo(a) Tri´angulode Kepler (b).

Existe otra figura en la geometr´ıaque est´arelacionada de manera muy estrecha a la raz´on´aurea,el tri´angulo de Kepler, el cual es un caso particular de tri´angulo rect´angulo. En su libro Mysterium Cosmographicum (Misterio C´osmico)Johannes Ke- pler (1571–1630) se refiere a la raz´on´aureaen estos t´erminos: La geometr´ıatiene dos grandes tesoros; uno es el teorema de Pit´agoras; el otro, la divisi´onde una l´ınea en relaci´onextrema y media. El primero lo podemos comparar a una medida de oro, y con el segundo podemos nombrar a una joya preciosa. El tri´angulode Kepler es entonces, una manera de relacionar estos dos conceptos. Es un tri´angulocuyos lados est´anen la progresi´ongeom´etrica

1 : pφ : φ.

La Figura 1b muestra la construcci´ondel tri´angulode Kepler.

1. Dibujamos un rect´angulo´aureoy escogemos uno de sus v´ertices. 2. Dibujamos entonces una circunferencia centrada en el v´erticeseleccionado y con radio igual al lado mayor del rect´angulo. 3. El resto es evidente de la Figura 1b.

Mostremos que la Figura 1b es el tri´angulode Kepler. Asumimos que la longitud del lado mayor del rect´anguloes φ y la longitud del m´ascorto es 1. Denotemos

Bolet´ınde Matem´aticas 23(1) 7-19 (2016) Dimensiones de las pir´amidesegipcias 11 por x la longitud del cateto desconocido. Por el teorema de Pit´agorastenemos√ φ2 − 1 = x2. De la ecuaci´on(1) se sigue que x2 = φ, es decir x = φ. Existe, sin embargo, otra figura geom´etricaque juega un papel importante en la historia Egipcia. Es el tri´angulorect´anguloque tiene sus lados en progre- si´onaritm´eticay como ´unicasoluci´onal tri´angulocon lados de raz´onigual a 3 : 4 : 5, la cual es la tripla Pitag´oricam´aspeque˜na32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 (una tripla Pitag´oricaes una tripla de n´umerosnaturales a, b, c ∈ N, tales que a2 + b2 = c2). Las triplas pitag´oricasfueron usadas para determinar los ´angulosrectos en la construcci´onde las pir´amides(ver Figura 2).

(a) 3 + 4 + 5 = 12 (b) 3 : 4 : 5

Figura 2: Construcci´onde un ´angulorecto [3].

3. La raz´on´aureainmersa en las dimensiones de la pir´amidede Keops (o Khufu)

El siguiente es uno de los mitos m´ascomunes en cuanto a las dimensiones de las pir´amidesde Egipto y atribuido al historiador griego Her´odoto(484 a. C.–425 a. C.). La historia cuenta que en una ocasi´on,el Sacerdote egipcio confi´oa Her´odoto el secreto de la pir´amideKeops de Giza. Sacerdote: Las dimensiones de la Gran Pir´amide fueron elegidas de tal ma- nera que, el ´area del cuadrado que tiene como lado la altura de la pir´amidees igual al ´area de una de sus caras triangulares ([2, p. 62].) Todas las pir´amidesegipcias son pir´amidesrectas, y en su mayor´ıacon base cuadrada como en el caso de la Gran Pir´amide(ver la Figura 1b). Denotemos con h la altura de la pir´amide,con b el lado de la base cuadrada, y con s la altura de la cara lateral. Con un simple c´alculoalgebraico obtenemos,

b s b2 h2 = , s2 = h2 + . (3) 2 4

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Dividiendo en (3) por b2/4 obtenemos

2h4 2h2 2h2 = + 1, r = y finalmente r2 − r − 1 = 0. (4) b b b √ La ´unicasoluci´onpositiva√ de la ecuaci´onanterior es r = φ = (1 + 5)/2. Lo que implica 2h/b = φ. El√ tri´angulo(b/2, h, s) es un tri´angulode Kepler y la raz´onentre sus lados es 1 : φ : φ. De hecho, en el libro Historia de Her´odoto,existe un ´unicop´arrafoque habla acerca de la Gran Pir´amide(ver el art´ıculode George Markowski [5]) que dice: Her´odoto: La Pir´amideen s´ıdemor´oveinte a˜nosen su construcci´on.Es cuadrada donde cada lado mide ochocientos pies, lo mismo que la altura. Su superficie est´ahecha de piedra pulida unida con much´ısimocuidado. Cada una de las piedras con que est´acompuesta no tiene menos de treinta pies de longitud. Her´odotoescribi´oestas l´ıneasen el a˜no440 a. C., dos mil a˜nosdespu´esque la pir´amide hab´ıasido construida, siguiendo seguramente la tradici´onoral o sus propias especulaciones. Las dimensiones mencionadas no corresponden al estado actual de la misma. Con algo de imaginaci´onpodemos encontrar c´omo es que distorsionando de manera intencional el significado de las palabras en el p´arrafoanterior de Her´odoto,se puede concluir que el ´areadel cuadrado que tiene como lado a la altura de la pir´amide,coincide con el ´areade sus caras triangulares. Aqu´ıtenemos todas las palabras claves que son necesarias: la altura y el ´area(superficie), mientras que el resto es dejado a la imaginaci´on y al deseo de encontrar la raz´on´aurea. En la gran Pir´amidela raz´onentre√ la altura y la mitad del lado de la base es 14/11, el cual es muy cercano a φ, y sugiere que en las dimensiones√ de la Pir´amideest´acifrada la raz´on´aurea.Por otro lado, el valor 4/ φ es muy cercano a π y por ello algunas personas argumentan que la Gran Pir´amide tiene tambi´encodificado al n´umero π o a su valor aproximado 22/7, el cual era la aproximaci´onm´ascercana a π en ese entonces del antiguo Egipto. Durante casi mil a˜nos,los documentos en el nuevo Egipto utilizaban a´unel valor 256/81 como una aproximaci´ona π.

4. La medici´onde ´angulosy longitudes en el antiguo Egipto

La raz´onentre las dimensiones de las pir´amidesegipcias es mejor entendida si miramos las unidades utilizadas en la medici´onde las longitudes y los ´angulos. La base para medir la longitud era el codo real que ten´ıaun papel como el de nuestros pies o metros. El codo real ten´ıa28 pulgadas. La longitud de una pulgada no ha sido determinada de manera exacta. En el tiempo ha variado de 18.70 mm. a 18.88 mm., as´ıque la longitud de un codo real ha variado

Bolet´ınde Matem´aticas 23(1) 7-19 (2016) Dimensiones de las pir´amidesegipcias 13 entre 52.36 cm. y 52.64 cm. Adem´asdel codo real tambi´enera usado el codo corto, que ten´ıa24 pulgadas. Los ´angulosse median en grados. Sin embargo, en la construcci´ony en la topograf´ıalos ´anguloseran expresados en sekeds. El seked era una unidad de medida usada por los egipcios para medir superficies inclinadas (la pendiente). Un seked era igual a la longitud, medida en pulgadas, del cateto adyacente al ´anguloen el tri´angulorect´angulo,cuya longitud del cateto opuesto es un codo real (ver la Figura 3b).

(a) Tri´angulocentral de pir´amide (b) Seked

Figura 3: Tri´angulocentral de pir´amidey seked.

Al escribir este art´ıculo,no hemos tenido ni hemos podido contar, con la misma precisi´onpara las dimensiones de todas las pir´amides.Tanto en la literatura como en la internet, las dimensiones de las pir´amidesno siempre concuerdan, pues existen en las fuentes diferencias de hasta 50 cm. Cuando convertimos las dimensiones expresadas en pies o metros a codos, mantenemos el principio que las longitudes de los lados b´asicosde las pir´amides expresadas en codos son redondeados, y la raz´onentre la altura y la base de las pir´amideses expresada en t´erminosde enteros peque˜nos.A estos datos los llamamos ‘datos idealizados’, lo cual tiene sentido, ya que en este caso las instrucciones que se dan para la construcci´onde las pir´amidesson m´assimples. Cuando las dimensiones que hemos obtenido para las pir´amides,no concuerdan, hemos escogido aquellas que se expresan en codos con valores redondeados.

5. Las dimensiones de las pir´amidesde Egipto

Al considerar las dimensiones de las pir´amidesde Egipto, nos enfocamos prin- cipalmente en la raz´onentre los lados del tri´anguloque tiene como lados: la mitad del lado de la base de la pir´amide,la altura de la pir´amidey la altura de su cara (tri´angulo)lateral. Como este tri´angulo lo mencionamos de manera reiterada, lo llamamos tri´angulocentral recto de la pir´amide (ver la Figura 3a). Creemos que los constructores, desde un punto de vista tanto est´eticocomo

Bolet´ınde Matem´aticas 23(1) 7-19 (2016) 14 Borut JurˇciˇcZlobec & Gustavo N. Rubiano O. geom´etrico,estaban tambi´eninteresados en que las pir´amidestuvieran otras simetr´ıas adicionales. En general, solo construyeron pir´amidesrectas, en su mayor´ıade base cuadrada. La ´unicaexcepci´ones la pir´amideno. 3 de la Tabla 1 la cual tiene una base rectangular y llamada pir´amidede Micerino (nombre helenizado) o de Menkaura (seg´unsu nombre egipcio). Entre las pir´amidesque tienen simetr´ıa adicional, se destacan las que tienen tri´angulocentral recto, con lados en raz´onde 3 : 4 : 5 (tripla Pitag´orica). En la Tabla 1 est´anmarcadas con el s´ımbolo ♣ y son las pir´amidesm´asnumero- sas, hay 8 de estas y tienen un ´angulode inclinaci´onpara sus caras laterales de 53.13◦. Luego est´anlas pir´amides cuyas caras laterales son cercanas a ser tri´angulosequil´ateros con un ´angulode inclinaci´onpara sus caras laterales de 54.74◦ y tienen un n´umeroirracional como raz´onentre la altura y el lado de la base. En la Tabla 1 aparecen 4 pir´amidesmarcadas con el s´ımbolo N que son cercanas a esto, con un ´angulode inclinaci´onde 54.46. A continuaci´onsiguen tres pir´amidescon raz´on2 : 3 entre los catetos del tri´angulocentral recto y a las cuales les corresponde un ´angulode inclinaci´onde 56.31◦ y se encuentran marcadas con el s´ımbolo 4.

(a) Pir´amidedoblada en Dahshur. (b) Pir´amideRoja en Dahshur.

(c) Pir´amidede Khufu en Giza. (d) Pir´amidede Khafre Giza.

Figura 4: Pir´amides [1].

En la Tabla 1 no aparecen (no existen) las pir´amides cuya secci´ontransversal axial ser´ıaun tri´anguloequil´atero,las cuales tendr´ıanun ´angulode inclinaci´on

Bolet´ınde Matem´aticas 23(1) 7-19 (2016) Dimensiones de las pir´amidesegipcias 15 para sus caras laterales de 60◦. Las pir´amidesque m´asllaman la atenci´anson las pir´amidesno. 1 y 4 ya que la raz´onentre los lados del tri´angulocentral recto en estas pir´amideses cercano a un tri´angulode Kepler. De manera condicional pertenece a este grupo la pir´amideno. 3, ya que aunque no posee una base cuadrada, dos de los ´angulosde inclinaci´onde las caras laterales son aproximadamente 51.84◦, y estos caracterizan a los otros dos. Est´anidentificadas en la Tabla 1 con el s´ımbolo ♠. En un principio se construyeron las pir´amidesescalonadas, y posteriormente entre las dinastias III y IV comenzaron a ser construidas las pir´amidescon caras laterales lisas. La pir´amidede Seneferu representa una forma de transici´onentre las dos clases anteriores (ver Figuras 4a y 5) y se cree que al comienzo la estructura estaba concebida para tener una cara lateral con pendiente cercana a 60◦, m´asexacto 58.60◦ pero esta fue reducida ampliando la base da la pir´amide de longitud del lado de base de 300 codos a 360 codos, obteniendo as´ıuna inclinaci´onde 54.83◦ para sus caras laterales. Este´ ´ultimo´anguloes cercano al ´anguloque tiene una pir´amidecon caras equil´ateras.

250

200

150

100

50

50 100 150 200 250 300 350

Figura 5: Pir´amide doblada.

Finalmente, cuando la altura era aproximadamente de 100 codos, la pendiente fue reducida a 43.37◦. Este ´angulose repetir´anuevamente en la pir´amideRoja, la cual tambi´enfue construida durante el reinado del Fara´onSeneferu (ver la Figura 4b). La pir´amideque tiene la menor inclinaci´onpara sus caras laterales es la pir´amideno. 19 de la Tabla 1, con una pendiente de 42◦; mientras que, las de mayor pendiente con 56.31◦ son las no. 8, 20 y 21 pertenecientes al grupo de pir´amidescon altura baja y semi–baja. A mayor altura en las pir´amidesdeber´ıa haber una inclinaci´onmenor de sus caras laterales, con el fin de garantizar su estabilidad estructural. Pero tampoco deber´ıanser demasiado planas, tanto por

Bolet´ınde Matem´aticas 23(1) 7-19 (2016) 16 Borut JurˇciˇcZlobec & Gustavo N. Rubiano O. la apariencia, pues las pir´amidescon pendiente grande tienen un mayor impacto visual, como por la cantidad de material necesario para su construcci´on. Los ´angulosde inclinaci´onde las pir´amidesest´anen el rango de 42◦ a 56◦, los cuales se encuentran en la pir´amide ‘doblada’, tambi´enllamada Pir´amide Romboidal o Pir´amidesur de Dahshur (Figura 4b). Existen dos teor´ıasprin- cipales concernientes con el cambio de la pendiente para la pir´amidedoblada, ver [6]. Hay un criterio adicional que afecta la elecci´onde las dimensiones, y es adem´asmuy pr´actico.Es este: ¿c´omohacer que las instrucciones para la cons- trucci´onsean lo m´assimple posibles? Veamos como las unidades egipcias para la medici´onde la longitud y los ´angulosafectan la determinaci´onde las dimen- siones.

6. Angulos´ de inclinaci´onde las pir´amides egipcias

Las dimensiones de la Gran Pir´amideson extremadamente precisas. Los lados de la base difieren s´oloen algunos cent´ımetros, al igual que los ´angulosentre los lados de la base difieren en menos de 20. El seked (el cateto) del ´angulo de inclinaci´onde la Gran pir´amidees 22 pulgadas y la desviaci´ones menor a 10. Tambi´en,la pir´amide Khafre de Giza (la segunda en mayor tama˜no)tiene dimensiones muy exactas. El seked (el cateto) del ´angulode inclinaci´onde ´esta pir´amidees 22 pulgadas y la desviaci´ones menor a 10. En la Tabla 1 est´anescritas las dimensiones de las 24 pir´amidesde Egipto. La s´eptimacolumna de esta tabla describe la raz´onentre la mitad del lado de la base y la altura de la pir´amidepara un caso idealizado. Si el denominador es 28, entonces el numerador revela (corresponde) al seked. La octava columna muestra las diferencias entre el ´anguloobtenido al idealizar los datos, y el ´anguloque corresponde a los datos reales de la cuarta y quinta columna. En la Tabla 1, se encuentran diecis´eispir´amidesque tienen la inclinaci´onde sus caras laterales expresada con un seked entero (como n´umero)de pulgadas, y cinco pir´amides donde se expresa la raz´onentre los catetos del tri´angulo central recto como x : 10 o 10 : y y est´anmarcadas en la tabla con el s´ımbolo 2. La excepci´onson las pir´amidescon raz´onde 2 : 3 entre los catetos marcadas con el s´ımbolo 4, y la pir´amideno. 2 con raz´on21 : 21 marcada con el s´ımbolo ♦. La pir´amide18 tiene un seked con un n´umeroentero de pulgadas que no pertenece a ning´ungrupo de los mencionados anteriormente, y por tanto, la hemos marcado con el s´ımbolo ♥. Si escribimos la raz´on 2 : 3, que tienen las tres pir´amidescomo 10 : 15, queda tan solo una pir´amide,la pir´amideno. 2, cuya raz´onentre los catetos del tri´angulocentral recto no se expresa mediante x : 10 o 10 : y; ni siquiera se expresa la inclinaci´onde sus caras laterales con un seked entero.

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b ∗∗ Pir´amide dimensiones 2 : h, error ´angulo no. Fara´on sitio b[m] h[m] b0 s : q [0] φ[◦] 1 Snefru Maidum 147,0 93,5 280 22:28 0,8 ♠ 51,84 2 Snefru∗ Dahshur 220,0 105,0 420 21:20 3,9 ♦ 43,60 3 Menkaure Giza 103,0 65,6 195 22:28 1,4 ♠ 51,84 3 Menkaure? Giza 105,0 65,6 200 8:10 0,6 2 51,34 4 Khufu (Cheops) Giza 230,3 146,6 440 22:28 0,5 ♠ 51,84 5 Khafre Giza 215,2 143,5 410 21:28 0,4 ♣ 53,13 6 Sahure Abusir 78,7 47,2 150 10:12 0,7 2 50,19 7 Userkaf Sakkara 73,5 52,5 140 7:10 0,0 2 55,01 8 Unas Sakkara 57,7 43,3 110 2:3 0,9 4 56,31 9 Neferirkare Abusir 105,0 73,5 200 20:28 0,0 N 54,46 10 Niuserre Abusir 78,7 52,5 150 21:28 1,0 ♣ 53,13 11 Djedkare Isesi Sakkara 78,7 52,5 150 21:28 1,0 ♣ 53,13 12 Teti Sakkara 78,7 52,5 150 21:28 1,0 ♣ 53,13 13 Pepi-I Sakkara 78,7 52,5 150 21:28 1,0 ♣ 53,13 14 Merenre Sakkara 78,7 52,5 150 21:28 1,0 ♣ 53,13 15 Pepi-II Sakkara 78,7 52,5 150 21:28 1,0 ♣ 53,13 16 Qakare Ibi Sakkara 31,5 21,0 60 21:28 0,0 ♣ 53,13 17 Amenemhat-I El-Lisht 84,0 58,8 160 20:28 0,0 N 54,46 18 Senusret-I El-Lisht 105,0 61,2 200 24:28 1,4 ♥ 49,40 19 Senusret-II El-Lahun 105,0 47,2 200 10:9 1,8 2 41,99 20 Senosret-III Dahshur 105,0 78,7 200 2:3 1,0 4 56,31 21 Amenemhat-III Dahshur 105,0 78,7 200 2:3 1,0 4 56,31 22 Amenemhat-III Hawara 105,9 57,7 200 10:11 1,5 2 47,73 23 Ameny Qemau Sakkara 52,5 36,7 100 20:28 0,0 N 54,46 24 Khendjer Sakkara 52,5 36,7 100 20:28 0,0 N 54,46 ∗∗ El significado de los s´ımbolos est´aexplicado en las p´aginas5 y 6. ∗ Pir´amideRoja, v´easela Figura 4b. b0 Longitud del lado de base, expresado en codos reales. ? La pir´amideno. 3 no tiene base cuadrada.

Tabla 1: Dimensiones de las pir´amidesde Egipto.

7. ¿Por qu´e el seked de la Gran pir´amidede Keops es de 22 pulgadas?

Con un seked de 22 pulgadas, la raz´ondel tri´angulorecto central es cercano a la raz´ondel tri´angulode Kepler. Como la raz´on´aureanunca se mencion´oen la historia del antiguo Egipto, no debemos caer en la trampa de argumentar que el tri´angulode Kepler se eligi´odeliberadamente. Un seked de 21 pulgadas ser´ıa comprensible ya que est´adentro de los l´ımitespara construir una pir´amidede forma segura y, adem´as,la raz´onen el tri´angulocentral recto es 3 : 4 : 5 (tripla Pitag´orica). El Teorema de Pit´agorasera conocido en el antiguo Egipto, pero en ese tiempo no ten´ıaese nombre ya que se deb´ıaesperar m´asde 1500 a˜nos,ha que

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Pit´agorasnaciera. Los seked con n´umerosenteros para la pendiente del ´angulo de las pir´amides,que est´anen la tabla, son de 20, 21, 22 y 24 pulgadas. Por todo lo que hemos mencionado, concluimos que en la construcci´onde las grandes pir´amides´unicamente cuentan las pir´amidesque tienen sekeds de 21 o 22 pulgadas. Con sekeds m´aspeque˜nosse tiene mas riesgo, y con sekeds m´asgrandes demasiado desperdicio en t´erminosdel material para su construcci´on.Con una misma altura, el volumen de una pir´amidecon seked 22 es aproximadamente 10 % m´asgrande que una con seked 21. Vemos entonces que no hay muchas posibilidades para elegir. Antes del inicio de la construcci´on de la pir´amidede Keops, no se hab´ıalogrado construir con ´exitouna pir´amide m´asgrande con seked menor de 22 pulgadas, as´ıque, quienes planearon la construcci´onde la pir´amidede Keops, sabiendo que se ocupaban de la ma- yor pir´amidenunca antes construida, decidieron no arriesgarse, y en lugar de un seked de 21 pulgadas (la tripla Pitag´orica), escogieron un seked de 22 pulgadas. Despu´esdel ´exitoen la construcci´onde la pir´amidede Keops, decidieron arriesgarse para la construcci´onde la Pir´amidede Jafra, o Kefr´en en griego, con un seked de 21 pulgadas.

8. Conclusi´on

Queremos hacer hincapi´een que al planificar la construcci´onde las pir´amides las dimensiones seleccionadas corresponden en su mayor´ıaa un seked entero. A´un,en las pir´amidescuyo seked no es un n´umeroentero, la raz´onentre la altura y el lado de la base es expresada como el cociente de n´umerosenteros no muy grandes, ya que teniendo como datos a n´umerosenteros, era m´asf´acil describir las gu´ıas y planos de construcci´onpara los trabajadores. Adem´as, las opciones para elegir un seked que fuera un n´umeroentero que estuviera dentro de los l´ımites de la prudencia y la cantidad de materiales, era algo muy limitado. Por ello, podemos afirmar que la elecci´onde un seked de 22 pulgadas no fue por tener la raz´on´aureaescondida en el tri´angulode Kepler, sino m´as bien, por ‘la Aurea´ mediocritas’ o ‘Dorada moderaci´on’ del compromiso entre la seguridad y la econom´ıa.De hecho, para los constructores era m´asatractivo un seked de 21 pulgadas, que ocultar una terna pitag´orica,que era sin duda familiar a ellos.

Referencias

[1] http://www.bradshawfoundation.com/pyramids of egypt/, [Online; acces- sed 1-January-2016]. [2] David M. Burton, The History of Mathematic: An Introduction, Allyn and Bacon, Boston, 1985.

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[3] Off The Hypotenuse, Pythagorean theorem and egyptian knotted ropes, http://offthehypotenuse.blogspot.com/2010/02/7th-grade-pythagorean- theorem-and.html, [Online; accessed 5-August-2015]. [4] Mario Livio, The Golden Ratio, The Story of PHI, the World’s Most Asto- nishing Number, Brodway books, New York, 2002. [5] George Markowky, Misconceptions about the Golden Ratio, The College Mathematics Journal 23 (1992), no. 1, 2–19. [6] Ancient Egypt Online, Bent pyramid of dashur, http://www.ancientegyptonline.co.uk/bent-pyramid-dashur.html, [On- line; accessed 1-January-2016]. [7] Gustavo Rubiano, Iteraci´ony fractales [con Mathematica], ‘Obra selecta’, UN Editorial, Univ. Nacional. de Colombia. Bogot´a,Colombia, 2009, ISBN 958-719-208-7.

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